2018届二轮复习 微元法解决连续质量变动问题 学案(全国通用)

第2点微元法解决连续质量变动问题

应用动量定理分析连续体相互作用问题的方法是微元法，具体步骤为：

(1)确定一小段时间Δt内的连续体为研究对象；

(2)写出Δt内连续体的质量Δm与Δt的关系式；

(3)分析连续体的受力情况和动量变化；

(4)应用动量定理列式、求解．

对点例题飞船在飞行过程中有很多技术问题需要解决，其中之一就是当飞船进入宇宙微粒尘区时如何保持飞船速度不变的问题．我国科学家已将这一问题解决，才使得“神舟五号”载人飞船得以飞行成功．假如有一宇宙飞船，它的正面面积为S＝0.98 m2，以v＝2×103 m/s 的速度进入宇宙微粒尘区，尘区每1 m3空间有一微粒，每一微粒平均质量m＝2×10－4 g，若要使飞船速度保持不变，飞船的牵引力应增加多少？(设微粒与飞船相碰后附着到飞船上) 解题指导由于飞船速度保持不变，因此增加的牵引力应与微粒对飞船的作用力相等，据牛顿第三定律知，此力也与飞船对微粒的作用力相等．只要求出时间t内微粒的质量，再由动量定理求出飞船对微粒的作用力，即可得到飞船增加的牵引力．

时间t内附着到飞船上的微粒质量为：M＝m·S·v t，

设飞船对微粒的作用力为F，由动量定理得：

Ft＝M v＝mS v t·v，即F＝mS v2，

代入数据解得F＝0.784 N.

由牛顿第三定律得，微粒对飞船的作用力为0.784 N，故飞船的牵引力应增加0.784 N.

答案0.784 N

方法点评对这类有连续质量变动问题的解决关键在于研究对象的选取，通常采用的方法是选Δt时间内发生相互作用的变质量物体为研究对象，确定发生相互作用前后的动量，然后由动量定理解题．

如图1所示，水力采煤时，用水枪在高压下喷出强力的水柱冲击煤层，设水柱直径为d＝30 cm，水速为v＝50 m/s，假设水柱射在煤层的表面上，冲击煤层后水的速度变为零，求水柱对煤层的平均冲击力．(水的密度ρ＝1.0×103 kg/m3，结果保留三位有效数字)

图1

答案 1.77×105 N

解析 设在一小段时间Δt 内，从水枪射出的水的质量为Δm ，则Δm ＝ρS ·v Δt .

以质量为Δm 的水为研究对象，如题图所示，它在Δt 时间内的动量变化Δp ＝Δm ·(0－v )＝－ρS v 2Δt .

设F 为水对煤层的平均作用力，即冲力，F ′为煤层对水的反冲力，以v 的方向为正方向，根据动量定理(忽略水的重力)，有F ′·Δt ＝Δp ＝－ρv 2S Δt ，即F ′＝－ρS v 2.

根据牛顿第三定律知F ＝－F ′＝ρS v 2.

式中S ＝π4

d 2，代入数据解得F ≈1.77×105 N ．