1.3 多自由度耦合系统的振动概述
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结论：两个自由度无阻尼耦合系统的自由振动，每一 个质量的振动均为两个谐合振动的迭加。
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
定义： 简正振动，是多自由度耦合振动系统自由振动
的方式。多自由度耦合振动系统在自由振动时，在每
一个自由度上的振动，可分解成多个简谐振动的迭加
形式，其中的每一个简谐振动称为该系统的一个简正
方程可化为：
d x1 dx1 2 2 21 1 x1 k11 x2 0 2 dt dt
d 2 x2 dx2 2 2 2 2 2 x2 k 22 x1 0 2 dt dt
2
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
（2）简正振动： 为使问题简单，分析无阻尼情况（δ1＝0，δ2＝0）；有 d 2 x1 2 2 x k 1 1 1 1 x2 0 2 dt
~ F1 ~ ~ Z1 ~ |U ——F2开路时，从F1看进去的阻抗 0 U1 2 ~ F2 ~ ~ Z 2 ~ |U ——F1开路时，从F2看进去的阻抗 0 U2 1
（4）耦合阻抗 ：
Z0 1
j C m 3
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
~ ~ ~ 如果取： Z 1 Z 01 Z 0
又，若阻相对较小，即：R1R2<<X1X2，则有：
则：
1 Z12 Cm 3{( R1 X 1 R2 X 1 ) j ( X 1 X 2 2 2 )} Cm 3
分析：上式虚部为0时，系统中的 m2 振速的幅值达 到最大；（振速共振），有：
1 2 2 2 2 2 2 2 X 1 X 2 2 2 0 ( 1 )( 2 ) k 1 2 0 Cm 3
据‘网络理论’ 有：
~ ~ ~ Z2 Z02 Z0
~ ~ ~ ~ ~ F1 Z1 U1 Z0 U2
~ ~ ~ ~ ~ F2 Z2 U2 Z0 U1
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
例：简单情况，单端激励时，
上式化为：
~ ~ ~ ~ 0 Z2 U 2 Z0 U1 ~ ~ ~ ~ ~ F1 Z1 U1 Z0 U 2
（2）受迫振动 A.可利用机电类比电路分析其受迫振动。 B.受迫振动达到稳态后，每一个自由度上振子振动响 应取决于系统参数和激励力的频率及幅度。 C.n个自由度的振动系统有 n个谐振频率（速度共振频
max(1 ,2 )
min(1,2 )
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
所 以 ，可 得 方程 的 解为 ：
x1 (t ) Ae
x2 (t ) Be
jt
A e
'
jt
Ae
Be
jt
A e
'
'
jt
jt
B e
为简化表示，令：
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
D3 1 1 1 1 ； D3 D1 ； k1 Cm 3 C m 01 C m1 C m 3 D1
1 1 1 D3 D2 ；k 2 ； k k1k2 C m 02 C m 2 C m 3 D2 Rm1 ； Rm 2 ； 2 D1 ； 2 D2 1 1 2 2 m2 m1 2m2 2m1
此二频率为两个自由度小阻尼耦合系统受迫振动时， m2 的振速共振频率。可推知，它也是 m1 的振速共振 频率。 显然：
max( 1 , 2 ) min( 1 , 2 )
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动ຫໍສະໝຸດ Baidu
两个自由度小阻尼耦合系统受迫振动时m2（或m1） 的幅频特性曲线：（双峰结构）
Cm2 Rm2 m2 Cm3 V2 f2
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
其四端等效网络为：
1 ~ 其中： Z 01 R1 j ( m1 ) Cm1 1 ~ Z 02 R2 j (m2 ) C m 2
1 ~ Z0 j C m 3
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
振动，其频率称为该系统的一个简正频率。简正振动
的频率决定于系统参数，振幅决定于初条件。
简正频率是多自由度系统自由振动的固有频率，
小阻尼条件下，在数值上与该系统受迫振动的速度共
振频率相等。
（3） 能量在二振子间的传递
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
初条件：t=0时：x1=A，x2=0， x 1 则可得：
~ ~ F1 U2
其中：
Z12
（归结为分析1/Z12的频率特征）
~ ~ ~2 Z1 Z 2 Z 0 Z12 ~ Z0
若令：
~ Z0
1 1 ~ Z1 R1 j (m1 ) Cm1 j C m 3 1 1 ~ Z 2 R2 j (m2 ) Cm 2 jCm 3
0
，
2 0 x
12 22 x1 (t ) A cos( t ) cos( t ) A 2 2 sin( t ) sin( t) 2 2 2 2
x2 (t ) 2 A
2
m1 m2
对于四端网络，一般分析时定义： （1）输入阻抗：Z11，Z22
~ F2 ~ ~ Z 22 ~ |F 端短路时，从 1 0 F 1 U2
~ F1 ~ Z11 ~ | F U1 2 0
~ 端短路时，从 ~ F1 F2
~ F2
端看进去的阻抗
端看进去的阻抗
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
（2）转移阻抗（传输阻抗）Z12，Z21 ~ ~ F2 F1 ~ Z 21 ~ |F ~ Z12 ~ |F 1 0 2 0 U U2 1 （3）自阻抗：
输入阻抗
2
~ F2 0
~ ~2 F1 ~ Z0 1)消去U2得：Z11 ~ |F 0 Z1 ~ U1 Z2
~ ~ ~ ~2 F Z Z Z 1 1 2 0 2)消去U1得：Z ~ | ~ 12 F 0 U2 Z0
2
传输阻抗
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
在此情况下分析m2的振动：
因为，A，B不同时为0（？），则据线性代数方程 理论知，A，B的系数行列式为0，即：
( ) k 0 k2 ( )
2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2
此方程称为频率方程或特征方程。
解之可得λ的值，它有四个值：
j j
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
（其中 k，见后）
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
为简化表示，令：
D3 1 1 1 D1 ; k1 D1 C m 01 C m1 C m 3
1 1 1 D3 D2 ; k 2 C m 02 C m 2 C m 3 D2
;
1 D3 Cm 3
;
k k1k2
D2 m2
第一章 集中参数机械振动系统 的振动
1.3 两个自由度耦合系统的振动
内容提要
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动 二、两自由度耦合振动系统的自由振动 三、多自由度振动系统
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
Cm1 f1 Cm3 f2 m2 Rm2 Cm2
m1
Rm1
阻抗型类比电路：
m1 f1
Rm1 Cm1 V3 V1
d 2 x2 2 2 2 x2 k22 x1 0 2 dt
解之，令：
x1 Ae
2
t
x2 Be
2 1
t
代入方程，则方程化为 ：
2 1
( ) A k1 B 0
2 2 2 2 2
k2 A ( ) B 0
*
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
若，特殊情况：1
2
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
x1 (t ) A cos(
D1 x2 (t ) A sin( D2
2
2
t ) cos(
t ) sin(
2
2
t)
t)
振子1的能量全部传给振子2，振子2又把能量全部传 给振子1。能量在二振子间不断‘流动’。
1 j C m 3
1 1 X 1 m1 ( ) ; X 2 m2 ( 1 1 ) Cm1 Cm 3 C m 2 C m 3
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
1 Z12 Cm 3{( R1 X 1 R2 X 1 ) j ( X 1 X 2 2 2 R1 R2 )} Cm 3
三、 N个自由度耦合振动系统振动简述
（1）自由振动
A.由n个二阶常系数齐次微分方程构成的方程组描述其运动。 B.每一个自由度上振子的振动可以包括n个简正振动分量。 C.系统有n个固有频率（简正频率）。
D.固有频率（简正频率）由系统参数决定。
E.振子振动的各简正振动的幅值分布由初条件决定。
三、 N个自由度耦合振动系统振动简述
'
jt
jt
B e
jt
其中A+，A+`，A-，A-`，B+，B+`，B-，B-`有关系
（通过方程*形成的关系），真正独立的只有4个，
并且这4个独立量由初条件确定。
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
( ) A k1 B 0
2 2 1 2 1
k2 A ( ) B 0
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
Cm1 m1 Rm1 Cm3 m2 Rm2 Cm2
下面由运动方程，求解自由振动：
（1）运动方程：
d 2 x1 dx1 1 1 m1 2 Rm1 x1 ( x1 x2 ) 0 dt dt Cm1 Cm 3
d 2 x2 dx2 1 1 m2 2 Rm 2 x1 ( x2 x1 ) 0 dt dt Cm 2 Cm 3
2 2 2 2 2
上式中，取第一个等式，得：
(2 12 ) j A k112 B 0 B (2 12 ) j k112
12 2 A B A 2 k11 2 2 ` ` B 1 2 A k11
x1 (t ) a cos( t ) a cos( t )
12 2 12 2 x2 (t ) a cos( t ) a cos( t ) 2 2 k11 k11
其中： a , a , , 由初条件确定。
2
2
sin(
2
t ) sin(
2
t)
形成拍振动。
D3 式中， 在莫尔斯《振动与声》中称之为 m1m2
‚耦合系数‛。
能量在二振子间‚流动‛的过程：
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
振子1的机械能在振动过程中传给振子2，经一段时间 后，振子2又把机械能全部还给振子1；而振子1的能量 并不全部给振子2，但振子2的能量全部还给振子1。 这个过程循环往复。
2 2
Rm1 1 2m1
;
Rm 2 2 2m2
;
D1 m1
2 1
;
解上式可得：
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 (1 2 ) (1 2 ) 4k 1 2 2 2
1 2 1 2 (1 2 ) (12 22 ) 2 4k 21222 2 2
1 2 1 2 (1 2 ) (12 22 ) 2 4k 21222 2 2
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 (1 2 ) (1 2 ) 4k 1 2 2 2
分析：a、若k=0（无耦合），则：
b、若k≠0，则：
1 2
(2 12 ) j A k112 B 0 B
(2 12 ) j k112
12 2 A B A 2 k11
2 2 ` ` B 1 2 A k11
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
又若，实初条件，经过运算可得：
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
定义： 简正振动，是多自由度耦合振动系统自由振动
的方式。多自由度耦合振动系统在自由振动时，在每
一个自由度上的振动，可分解成多个简谐振动的迭加
形式，其中的每一个简谐振动称为该系统的一个简正
方程可化为：
d x1 dx1 2 2 21 1 x1 k11 x2 0 2 dt dt
d 2 x2 dx2 2 2 2 2 2 x2 k 22 x1 0 2 dt dt
2
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
（2）简正振动： 为使问题简单，分析无阻尼情况（δ1＝0，δ2＝0）；有 d 2 x1 2 2 x k 1 1 1 1 x2 0 2 dt
~ F1 ~ ~ Z1 ~ |U ——F2开路时，从F1看进去的阻抗 0 U1 2 ~ F2 ~ ~ Z 2 ~ |U ——F1开路时，从F2看进去的阻抗 0 U2 1
（4）耦合阻抗 ：
Z0 1
j C m 3
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
~ ~ ~ 如果取： Z 1 Z 01 Z 0
又，若阻相对较小，即：R1R2<<X1X2，则有：
则：
1 Z12 Cm 3{( R1 X 1 R2 X 1 ) j ( X 1 X 2 2 2 )} Cm 3
分析：上式虚部为0时，系统中的 m2 振速的幅值达 到最大；（振速共振），有：
1 2 2 2 2 2 2 2 X 1 X 2 2 2 0 ( 1 )( 2 ) k 1 2 0 Cm 3
据‘网络理论’ 有：
~ ~ ~ Z2 Z02 Z0
~ ~ ~ ~ ~ F1 Z1 U1 Z0 U2
~ ~ ~ ~ ~ F2 Z2 U2 Z0 U1
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
例：简单情况，单端激励时，
上式化为：
~ ~ ~ ~ 0 Z2 U 2 Z0 U1 ~ ~ ~ ~ ~ F1 Z1 U1 Z0 U 2
（2）受迫振动 A.可利用机电类比电路分析其受迫振动。 B.受迫振动达到稳态后，每一个自由度上振子振动响 应取决于系统参数和激励力的频率及幅度。 C.n个自由度的振动系统有 n个谐振频率（速度共振频
max(1 ,2 )
min(1,2 )
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
所 以 ，可 得 方程 的 解为 ：
x1 (t ) Ae
x2 (t ) Be
jt
A e
'
jt
Ae
Be
jt
A e
'
'
jt
jt
B e
为简化表示，令：
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
D3 1 1 1 1 ； D3 D1 ； k1 Cm 3 C m 01 C m1 C m 3 D1
1 1 1 D3 D2 ；k 2 ； k k1k2 C m 02 C m 2 C m 3 D2 Rm1 ； Rm 2 ； 2 D1 ； 2 D2 1 1 2 2 m2 m1 2m2 2m1
此二频率为两个自由度小阻尼耦合系统受迫振动时， m2 的振速共振频率。可推知，它也是 m1 的振速共振 频率。 显然：
max( 1 , 2 ) min( 1 , 2 )
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动ຫໍສະໝຸດ Baidu
两个自由度小阻尼耦合系统受迫振动时m2（或m1） 的幅频特性曲线：（双峰结构）
Cm2 Rm2 m2 Cm3 V2 f2
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
其四端等效网络为：
1 ~ 其中： Z 01 R1 j ( m1 ) Cm1 1 ~ Z 02 R2 j (m2 ) C m 2
1 ~ Z0 j C m 3
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
振动，其频率称为该系统的一个简正频率。简正振动
的频率决定于系统参数，振幅决定于初条件。
简正频率是多自由度系统自由振动的固有频率，
小阻尼条件下，在数值上与该系统受迫振动的速度共
振频率相等。
（3） 能量在二振子间的传递
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
初条件：t=0时：x1=A，x2=0， x 1 则可得：
~ ~ F1 U2
其中：
Z12
（归结为分析1/Z12的频率特征）
~ ~ ~2 Z1 Z 2 Z 0 Z12 ~ Z0
若令：
~ Z0
1 1 ~ Z1 R1 j (m1 ) Cm1 j C m 3 1 1 ~ Z 2 R2 j (m2 ) Cm 2 jCm 3
0
，
2 0 x
12 22 x1 (t ) A cos( t ) cos( t ) A 2 2 sin( t ) sin( t) 2 2 2 2
x2 (t ) 2 A
2
m1 m2
对于四端网络，一般分析时定义： （1）输入阻抗：Z11，Z22
~ F2 ~ ~ Z 22 ~ |F 端短路时，从 1 0 F 1 U2
~ F1 ~ Z11 ~ | F U1 2 0
~ 端短路时，从 ~ F1 F2
~ F2
端看进去的阻抗
端看进去的阻抗
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
（2）转移阻抗（传输阻抗）Z12，Z21 ~ ~ F2 F1 ~ Z 21 ~ |F ~ Z12 ~ |F 1 0 2 0 U U2 1 （3）自阻抗：
输入阻抗
2
~ F2 0
~ ~2 F1 ~ Z0 1)消去U2得：Z11 ~ |F 0 Z1 ~ U1 Z2
~ ~ ~ ~2 F Z Z Z 1 1 2 0 2)消去U1得：Z ~ | ~ 12 F 0 U2 Z0
2
传输阻抗
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
在此情况下分析m2的振动：
因为，A，B不同时为0（？），则据线性代数方程 理论知，A，B的系数行列式为0，即：
( ) k 0 k2 ( )
2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2
此方程称为频率方程或特征方程。
解之可得λ的值，它有四个值：
j j
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
（其中 k，见后）
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
为简化表示，令：
D3 1 1 1 D1 ; k1 D1 C m 01 C m1 C m 3
1 1 1 D3 D2 ; k 2 C m 02 C m 2 C m 3 D2
;
1 D3 Cm 3
;
k k1k2
D2 m2
第一章 集中参数机械振动系统 的振动
1.3 两个自由度耦合系统的振动
内容提要
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动 二、两自由度耦合振动系统的自由振动 三、多自由度振动系统
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
Cm1 f1 Cm3 f2 m2 Rm2 Cm2
m1
Rm1
阻抗型类比电路：
m1 f1
Rm1 Cm1 V3 V1
d 2 x2 2 2 2 x2 k22 x1 0 2 dt
解之，令：
x1 Ae
2
t
x2 Be
2 1
t
代入方程，则方程化为 ：
2 1
( ) A k1 B 0
2 2 2 2 2
k2 A ( ) B 0
*
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
若，特殊情况：1
2
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
x1 (t ) A cos(
D1 x2 (t ) A sin( D2
2
2
t ) cos(
t ) sin(
2
2
t)
t)
振子1的能量全部传给振子2，振子2又把能量全部传 给振子1。能量在二振子间不断‘流动’。
1 j C m 3
1 1 X 1 m1 ( ) ; X 2 m2 ( 1 1 ) Cm1 Cm 3 C m 2 C m 3
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
1 Z12 Cm 3{( R1 X 1 R2 X 1 ) j ( X 1 X 2 2 2 R1 R2 )} Cm 3
三、 N个自由度耦合振动系统振动简述
（1）自由振动
A.由n个二阶常系数齐次微分方程构成的方程组描述其运动。 B.每一个自由度上振子的振动可以包括n个简正振动分量。 C.系统有n个固有频率（简正频率）。
D.固有频率（简正频率）由系统参数决定。
E.振子振动的各简正振动的幅值分布由初条件决定。
三、 N个自由度耦合振动系统振动简述
'
jt
jt
B e
jt
其中A+，A+`，A-，A-`，B+，B+`，B-，B-`有关系
（通过方程*形成的关系），真正独立的只有4个，
并且这4个独立量由初条件确定。
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
( ) A k1 B 0
2 2 1 2 1
k2 A ( ) B 0
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
Cm1 m1 Rm1 Cm3 m2 Rm2 Cm2
下面由运动方程，求解自由振动：
（1）运动方程：
d 2 x1 dx1 1 1 m1 2 Rm1 x1 ( x1 x2 ) 0 dt dt Cm1 Cm 3
d 2 x2 dx2 1 1 m2 2 Rm 2 x1 ( x2 x1 ) 0 dt dt Cm 2 Cm 3
2 2 2 2 2
上式中，取第一个等式，得：
(2 12 ) j A k112 B 0 B (2 12 ) j k112
12 2 A B A 2 k11 2 2 ` ` B 1 2 A k11
x1 (t ) a cos( t ) a cos( t )
12 2 12 2 x2 (t ) a cos( t ) a cos( t ) 2 2 k11 k11
其中： a , a , , 由初条件确定。
2
2
sin(
2
t ) sin(
2
t)
形成拍振动。
D3 式中， 在莫尔斯《振动与声》中称之为 m1m2
‚耦合系数‛。
能量在二振子间‚流动‛的过程：
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
振子1的机械能在振动过程中传给振子2，经一段时间 后，振子2又把机械能全部还给振子1；而振子1的能量 并不全部给振子2，但振子2的能量全部还给振子1。 这个过程循环往复。
2 2
Rm1 1 2m1
;
Rm 2 2 2m2
;
D1 m1
2 1
;
解上式可得：
一、两自由度耦合振动系统的强迫振动
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 (1 2 ) (1 2 ) 4k 1 2 2 2
1 2 1 2 (1 2 ) (12 22 ) 2 4k 21222 2 2
1 2 1 2 (1 2 ) (12 22 ) 2 4k 21222 2 2
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 (1 2 ) (1 2 ) 4k 1 2 2 2
分析：a、若k=0（无耦合），则：
b、若k≠0，则：
1 2
(2 12 ) j A k112 B 0 B
(2 12 ) j k112
12 2 A B A 2 k11
2 2 ` ` B 1 2 A k11
二、两自由度耦合振动系统的自由振动
又若，实初条件，经过运算可得：