2020届安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学(理)试题(解析版)
【数学】安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测试题(理)(解析版)
安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学试题（理）一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数（为虚数单位），则（）A. B. 2 C. D.【答案】A【解析】故本题选A.2.已知全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】或，因此集合=，，因此集合B＝故本题选D.3.已知实数，满足约束条件，则的最大值为（）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】设，显然是指数函数，是增函数.本题求的最大值就是求出的最大值.可行解域如下图所示：显然直线平行移动到点A时，有最大值，解方程组，解得A点坐标为（1，1），代入直线中，得的最大值为，故本题选C.4.在由直线，和轴围成的三角形内任取一点，记事件为，为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】图形如下图所示：直线，和轴围成的三角形的面积为；直线，和轴围成的三角形的面积为；直线，和轴围成的三角形的面积为；,故本题选D.5.若二项式的展开式中第项为常数项，则，应满足（）A. B.C. D.【答案】B【解析】二项式的展开式，第为，已知第项为常数项，所以有且，故本题选B.6.已知某几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 20B. 22C. 24D.【答案】B【解析】通过三视图可知，该几何体是正方体去掉两个“角”。
所以表面积S=.故本题选B.7.已知定义在上的函数，满足，则函数的图象关于（）A. 直线对称B. 直线对称C. 原点对称D. 轴对称【答案】B【解析】设函数, 所以有定义域为，所以函数是上的偶函数，图象关于轴对称，也就是关于直线对称.而的图象是由函数向右平移一个单位长度得到的。
因此函数的图象关于直线对称，故本题选B.8.已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数的图象关于轴对称，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】进行化简得，由题意可知，函数的图象关于轴对称也就是说函数是偶函数，所以有成立，即因为所以的最小值为，此时，故本题选A.9.如图，半径为的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的，则这两个圆锥高之差的绝对值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如已知图，设球的球心为，体积为，上面圆锥的高为,体积为，下面圆锥的高为,体积为；圆锥的底面的圆心为，半径为.由球和圆锥的对称性可知，,，由题意可知：而由于垂直于圆锥的底面，所以垂直于底面的半径，由勾股定理可知：，,可知，这两个圆锥高之差的绝对值为，故本题选D.10.已知抛物线：上点处的切线与轴交于点，为抛物线的焦点，若，则（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】设点的坐标，抛物线的焦点准线方程为：，,直线方程为：，令，所以点的坐标为，由抛物线的定义和已知可知：，故本题选B.11.已知圆，，是同心圆，半径依次为1，2，3，过圆上点作的切线交圆于，两点，为圆上任一点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设同心圆的圆心为，由切线性质可知：,又因为圆上点作的切线交圆于，两点，所以, ,在中,根据，可知，是AB的中点，根据向量加法的几何意义得代入上式得，故本题选C.12.已知函数，若的解集为，且中恰有两个整数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，,设，，问题就转化为在内，，且中恰有两个整数.先研究函数的单调性，当时，，所以函数在单调递减；当时，，所以函数在单调递增，注意到，当时，。
安徽省马鞍山市2020届高三第二次教学质量检测数学理试题含答案
2020年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测理科数学试题本试卷4页，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知{|21}x A x =>，2{|20}B x x x =+-≤，则A B =A ．{|2}x x >-B ．{|2}x x ≥-C ．{|01}x x <≤D ．{|01}x x ≤≤2．已知复数13i 22z =-+，则复数2z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数()f x 与它的导函数()f x '的定义域均为R ，则下列命题中，正确的是A ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=B ．若()f x 是偶函数，则()f x '一定是偶函数C ．若()22log f x x =，则()14f '=D ．若()f x 的图象在区间(),a b 连续不断，则()f x 在(),a b 上一定有最大值4．为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有A ．10种B ．40种C ．80种D ．240种5．已知非零向量a ，b 满足||3||3||a b a b a -=+=，则a 与b的夹角为A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ．4B ．5C ．6D ．77．关于函数21()cos 3sin cos 2f x x x x =+-有下述四个结论：①()f x 在区间[,]42ππ上是减函数；②()f x 的图象关于直线3x π=-对称；③()f x 的图象关于点()3,0π对称；④()f x 在区间[,]4ππ上的值域为3[1,]2-．其中所有正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．48．已知ABC △外接圆面积为π，1cos 2A =-，则ABC △周长的最大值为A ．23+B ．123+C ．3D ．3353T ≤？第6题图9．已知F 为椭圆22:12516x y C +=的左焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆C 上且位于x 轴上方，点(3,4)A -，若直线OA 平分线段PF ，则PAF ∠的大小为A ．60︒B ．90︒C ．120︒D ．无法确定10．如图是某三棱柱的正视图，其上下底面为正三角形，则下列结论成立的是A ．该三棱柱的侧视图一定为矩形B ．该三棱柱的侧视图可能为菱形C ．该三棱柱的表面积一定为1223+D ．该三棱柱的体积一定为2311．设,,,0a b m m ∈>Z ，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 模m 同余，记为(mod )a b m ≡，已知1223320202020202012222,(mod10)a C C C C b a =+⨯+⨯+⨯++⨯≡ ，则b 的值可能是A ．2018B ．2019C ．2020D ．202112．梯形ABCD 中，AD BC ∥，120DAB ∠=︒，AC BC ⊥，22BC AD ==，现将ABC △沿AC 折起，使得二面角B AC D --的大小为120︒，若,,,A B C D 四点在同一个球面上，则该球的表面积为A ．316πB ．340πC ．364πD ．376π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省马鞍山市高三下学期理数第二次教学质量监测试卷附解析
高三下学期理数第二次教学质量监测试卷一、单项选择题1.集合，，那么〔〕A. B. C. D.2.复数与在复平面内对应的点关于原点对称，且，那么〔〕A. B. C. D.3.设a，b为两条直线，那么的充要条件是〔〕A. a，b垂直于同一条直线B. a，b垂直于同一个平面C. a，b平行于同一个平面D. a，b与同一个平面所成角相等4.函数f(x)=xcosx- 在(－π，π)上的图象大致为〔〕A. B.C. D.5.sin = ，那么cos 的值为〔〕A. B. C. D.6.假设的展开式中存在常数项，那么可以是〔〕A. 8B. 7C. 6D. 57.2021年初，从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活.世界性与区域性温度的异常､早涝频繁发生给蝗灾发生创造了时机.蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据：由上表可得线性回归方程，那么〔〕A. -2B.C. 3D.8.小明去文具店购置中性笔，现有黑色､红色､蓝色三种中性笔可供选择，每支单价均为1元.小明只有6元钱，且全部用来买中性笔，那么不同的选购方法有〔〕A. 10种B. 15种C. 21种D. 28种9.我国的古代医学著作?神农本草经?中最早记录了蜜蜂蜂巢的药用成效.蜜蜂的蜂巢是由数千个蜂房组成的，如图是一个蜂房的结构示意图，它的几何结构是正六棱柱形，其一端是正六边形开口，另一端那么由三个全等的菱形组成.经过测量，某蜂巢一个蜂房的正六边形的边长约为，菱形边长约为，那么该菱形较小角的余弦值约为〔〕(参考数据：，)A. 0.333B. 0.4C. 0.510. 中，，，，那么的值为〔〕A. B. C. D.11.过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点，线段，的中点在轴上的射影分别为点，，假设与的面积之比为4，那么直线的斜率为〔〕A. B. C. D.12. ，，以下说法错误的选项是〔〕A. 假设，那么B. 假设，那么C. 恒成立D. ，使得二、填空题13.平面向量，，假设，那么实数的值为________.14.设变量，满足，那么目标函数的最小值为________.15.曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径越大，那么曲线在该点处的弯曲程度越小.椭圆：上点处的曲率半径公式为.假设椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，那么椭圆的离心率为________.16.球被平面截下的一局部叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式，其中为球的半径，为球缺的高.假设一球与一所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，那么该球与该正四棱锥的公共局部的体积为________.三、解答题17.等差数列的前项和为，，且.〔1〕求数列的通项公式；〔2〕记数列的前项和为.假设，( 为奇数)，求的值. 18.如图，六面体中，面且面，，，.〔1〕求证：平面；〔2〕假设二面角的余弦值为，求点到面的距离.19.为保护长江流域渔业资源，2021年国家农业农村部发布?长江十年禁渔方案?.某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点､汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业.政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人.假设渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训.假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第天选择汽修培训的概率是( ，2，3，…，7).〔1〕求；〔2〕证明：( ，2，3，…，7)为等比数列；〔3〕试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望( 近似看作0).20.双曲线的左焦点为，右顶点为，过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点.〔1〕设为坐标原点，求线段的长度；〔2〕求证：平分.21.函数，其中为常数.〔1〕当时，求的极值；〔2〕当时，求证：对，且，，不等式恒成立.22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为〔t为参数〕，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为(ρ∈R，∈[0，π))，且直线C2与曲线C1交于A，B两点.〔1〕求曲线C1的极坐标方程；〔2〕当|AB|最小时，求的值.23.函数.〔1〕解不等式；〔2〕记函数的最小值为，且，其中均为正实数，求证：答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】解：∵，，∴.故答案为：C.【分析】首先由二次函数的性质求出函数的值域由此得出集合M，再由交集的定义即可得出答案。
安徽省马鞍山市2020届高三数学第二次教学质量监测试题理(含解析)
安徽省马鞍山市 2020 届高三数学第二次教课质量监测试题理（含解析）一、选择题：本大题共12 个题，每题 5 分，共 60 分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1. 已知复数（为虚数单位），则（）A. B.2 C. D.【答案】 A【分析】【剖析】先用复数除法和乘法的运算法例化简复数，而后利用复数模的公式求出.【详解】故此题选 A.【点睛】此题考察了复数的除法、乘法运算法例。
考察了求复数模的求法。
2. 已知全集，会合，，则（）A. B. C. D.【答案】 D【分析】【剖析】经过解不等式，对会合A,B 化简，而后求出，最后求出.【详解】或，所以会合=，，所以会合B＝故此题选 D.【点睛】此题考察了会合的运算、对数函数的定义域、绝对值不等式、对数不等式。
考察了数形联合思想。
3. 已知实数，知足拘束条件，则的最大值为（）A. B. C. D.2【答案】 C【分析】【剖析】求的最大值，本质上就是求的最大值，设问题就先转变求在可行解域内求的最大值 .最后求出【详解】设，明显是指数函数，此题求的最大值就是求出的最大值.可行解域以下列图所示：的最大值是增函数..明显直线平行挪动到点 A 时，有最大值，解方程组解得 A 点坐标为（ 1， 1），代入直线中，得的最大值为，故此题选 C.【点睛】此题考察了线性归划问题、指数函数的性质.4. 在由直线，和轴围成的三角形内任取一点，记事件，为，为，则（）A. B. C. D. 【答案】 D【分析】【剖析】由所求问题可知，此题是求条件概率，所以能够运用公式求解。
同时此题又是一个几何概型，这就波及到求面积，三角形面积能够直接使用三角形面积公式，而对于不规则图形的面积可以采纳定积分的方法来求解。
【详解】图形以下列图所示：直线，和轴围成的三角形的面积为；直线，和轴围成的三角形的面积为；直线，和轴围成的三角形的面积为；, 故此题选 D.【点睛】此题考察了几何概型、条件概率、定积分的应用.5. 若二项式的睁开式中第项为常数项，则，应知足（）A. B.C. D.【答案】 B【分析】【剖析】写出二项式睁开式的通项公式，对通项公式化简，让的指数为零，由题意可知第项为常数项，让，就能够知道，应知足的等式 .【详解】二项式的睁开式，第为，已知第项为常数项，所以有且，故此题选 B.【点睛】此题考察了二项式睁开式的通项. 分外要注意的是二项式睁开式的通项表示的是第项.6. 已知某几何体的三视图以下图，网格中小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为（）A. 20B. 22C. 24D.【答案】 B【分析】【剖析】由三视图可知，该几何体是正方体去掉两个“角”。
安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学(理)试题(解析版)
安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学（理）试题一、单选题1．复数521iz i i=++的共轭复数为( ） A. 12i - B. 12i + C. 1i - D. 1i -2．等比数列的前项和为，则的值为（ ）A. B. C. D.3．若实数满足约束条件则的最小值为（ ）A. 2B. 1C.D. 不存在4．已知函数 ，则函数的大致图象是（ ）A. B.C. D.5．从3名男生，2名女生中选3人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（ ）A. B. C. D.6．若，则的值不可能为（ ）A. B. C. D.7．如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为（ ）A. B. 2 C. D.8．如图，点在正方体的棱上，且，削去正方体过三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（）A. B.C. D.9．二项式n+的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为（）A. 3B. 5C. 6D. 710．设，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（）A. B. C. D.11．已知为椭圆上关于长轴对称的两点，分别为椭圆的左、右顶点，设分别为直线的斜率，则的最小值为（）A. B. C. D.12．已知数列满足对时，，且对，有，则数列的前50项的和为（）A. 2448B. 2525C. 2533D. 2652二、填空题13．已知向量满足，，则的夹角为__________．14．点分别为双曲线的焦点、实轴端点、虚轴端点，且为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．15．在三棱锥中，，当三梭锥的体积最大时，其外接球的表面积为__________．16．已知函数，函数有三个零点，则实数的取值范围为__________．三、解答题17．如图，中为钝角，过点作交于，已知.（1）若，求的大小；（2）若，求的长.18．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式(为大于0的常数).现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表:（1）根据所给数据，求关于的回归方程；（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.19．如图，在五棱锥中，四边形为等腰梯形，，和都是边长为的正三角形.（1）求证：面；（2）求二面角的大小.20．直线与抛物线交于两点，且，其中为原点.（1）求此抛物线的方程；（2）当时，过分别作的切线相交于点，点是抛物线上在之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交直线和于点，求与的面积比.21．已知函数.（1）若对恒成立，求的取值范围；（2）证明：不等式对于正整数恒成立，其中为自然对数的底数.22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为. （1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，求的大小.安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学（理）试题一、单选题1．复数521iz i i=++的共轭复数为( ） A. 12i - B. 12i + C. 1i - D. 1i -【答案】A【解析】根据题意化简得12z i =+， 12z i =-，选A. 2．等比数列的前项和为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】当时,,当时，所以，故选B.3．若实数满足约束条件则的最小值为（ ）A. 2B. 1C.D. 不存在 【答案】B【解析】由题得，不等式组对应的区域为如图所示的开放区域（阴影部分），当直线经过点C(0，1)时，直线的纵截距z 最小，所以的最小值为，故选B.4．已知函数，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】对于函数f(x),当x≥0时，-x≤0,所以，同理当x<0时，，所以函数f(x)是偶函数.令，所以，所以函数h(x)是偶函数，所以排除B,D.当时，，故选A.点睛：遇到函数的问题，大家都要联想到用函数的奇偶性、对称性、单调性和周期性等来帮助我们分析解答问题，所以本题要先研究函数f(x)、g(x)、h(x)的奇偶性，通过奇偶性排除选项.再利用其它性质分析求解.5．从3名男生，2名女生中选3人参加某活动，则男生甲和女生乙不同时参加该活动，且既有男生又有女生参加活动的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题得总的基本事件个数为,事件A分三类，第一类：从三个男生中选两个男生和另外一个女生组合，有种方法；第二类：选除了甲以外的两个男生和女生乙，有一种方法；第三类：选两个女生，从除了甲以外的两个男生中选一个，有种方法，共有6种方法，所以由古典概型的公式得，故选D.6．若，则的值不可能为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题得，所以，把代入，, 显然不成立，故选B.7．如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为（）A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】先读懂程序框图，由程序框图得，d表示的就是上半圆上的点到直线x-y-2=0的距离，画图由数形结合可以得到，故选C.8．如图，点在正方体的棱上，且，削去正方体过三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】先作出经过三点所在的平面，可以取的中点F ，则平行四边形就是过三点所在的平面（两个平行的平面被第三个平面所截交线平行），所以剩下部分的三视图是A ，故选A.9．二项式n+的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x 的指数为整数的项的个数为（ ）A. 3B. 5C. 6D. 7 【答案】D【解析】因为展开式中只有第11项的二项式系数最大,所以n=20.二项式展开式的通项为)42020203212020rrrr rr r T C C x ---+==，由题得4203r -为整数，所以0,3,6,9,12,15,18.r =故选D.10．设，函数的图象向右平移个单位长度后与函数图象重合，则的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】函数的图象向右平移个单位长度后，得到与函数图象重合，则：，解得：，，当时，，故选C.11．已知为椭圆上关于长轴对称的两点，分别为椭圆的左、右顶点，设分别为直线的斜率，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设,由题得，所以，故选C.点睛：本题的难点在于计算出要观察变形,再联想到基本不等式解答.观察和数学想象是数学能力中的一个重要组成部分，所以平时要有意识地培养自己的数学观察想象力.12．已知数列满足对时，，且对，有，则数列的前50项的和为（）A. 2448B. 2525C. 2533D. 2652【答案】B【解析】由题得，.故选B.点睛：本题的难点在于通过递推找到数列的周期. 可以先通过列举找到数列的周期，再想办法证明. 由于问题中含有的项数较多，且有规律性，所以要通过分析递推找到数列的周期.二、填空题13．已知向量满足，，则的夹角为__________．【答案】【解析】由题得, 因为,所以故填.14．点分别为双曲线的焦点、实轴端点、虚轴端点，且为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】由题得所以所以（舍去负根），所以，故填.15．在三棱锥中，，当三梭锥的体积最大时，其外接球的表面积为__________． 【答案】【解析】∵，∴即为直角三角形，当面时，三梭锥的体积最大，又∵，外接圆的半径为，故外接球的半径满足，∴外接球的表面积为，故答案为.点睛：考查四棱锥的外接球的半径的求法，考查空间想象能力，能够判断球心的位置是本题解答的关键；研究球与多面体的接、切问题主要考虑以下几个方面的问题：（1）球心与多面体中心的位置关系；（2）球的半径与多面体的棱长的关系；（3）球自身的对称性与多面体的对称性；（4）能否做出轴截面．16．已知函数，函数有三个零点，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】由题得有三个零点，所以有三个零点，所以函数h(x)的图像就是坐标系中的粗线部分，y=a(x-2)表示过定点（2,0）的直线，所以直线和粗线有三个交点. 所以由题得.所以所以a的取值范围为.点睛：本题的难点在作函数的图像. 要作函数的图像，由于含有绝对值，所以要分类讨论，写出它的表达式.如果把f(x)代进去求x的范围，那就复杂了，可以不需要求x 的范围，直接得到，再画出函数的图像，这样就简洁了很多.三、解答题17．如图，中为钝角，过点作交于，已知.（1）若，求的大小；（2）若，求的长.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接利用正弦定理得到，解答. (2)第（2）问，先在直角△ADC中，求出，再在△ABD中利用余弦定理求解BD的长.试题解析：（1）在中，由正弦定理得，，解得，又为钝角，则，故.(另解：在中，由余弦定理解得，从而是等腰三角形，得）（2）设，则.∵，∴，∴.在中由余弦定理得，，∴，解得，故.18．某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量与尺寸之间近似满足关系式(为大于0的常数).现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：对数据作了初步处理，相关统计位的值如下表:（1）根据所给数据，求关于的回归方程；（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，先对，两边取自然对数得，再换元将非线性转化成线性问题，求线性回归方程，再利用最小二乘法公式和参考数据求解. (2)第（2）问，先写出随机变量的值，再写出随机变量的分布列和期望.试题解析：（1）对，两边取自然对数得，令，得，由，，故所求回归方程为.（2）由，即优等品有 3 件，的可能取值是0，1，2, 3，且,,.其分布列为∴.点睛：本题的难点在于将非线性转化成线性后如何求最小二乘法公式中的各基本量，所以这里要理解公式中各字母的含义，再利用参考数据解答.19．如图，在五棱锥中，四边形为等腰梯形，，和都是边长为的正三角形.（1）求证：面；（2）求二面角的大小.【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，把面转化成证明线线垂直和.(2)第（2）问，直接利用空间向量的方法求二面角的大小.试题解析：（1）证明：分别取和的中点，连接.由平面几何知识易知共线，且.由得，从而，∴，又，∴.∴面，∴.在中，，∴，在等腰梯形中，，∴，∴，又，面，∴面.（2）由（1）知面且，故建立空间直角坐标系如图所示.则，.由（1）知面的法向量为.设面的法向量为，则由，得，令，得，∴.所以，二面角大小为.20．直线与抛物线交于两点，且，其中为原点.（1）求此抛物线的方程；（2）当时，过分别作的切线相交于点，点是抛物线上在之间的任意一点，抛物线在点处的切线分别交直线和于点，求与的面积比.【答案】（1）（2）2【解析】试题分析：（1）第（1）问，利用韦达定理和数量积公式把转化成p的方程，再解方程得解. (2)第（2）问，分别计算出与的面积，再计算出它们的面积比.试题解析：（1）设，将代入，得.其中，.所以，.由已知，.所以抛物线的方程.（2）当时，，易得抛物线在处的切线方程分别为和.从而得.设，则抛物线在处的切线方程为，设直线与轴交点为，则.由和联立解得交点，由和联立解得交点，所以，，所以与的面积比为2.点睛：本题的技巧在第（2）问，计算与的面积时，要注意灵活.,.计算准了，后面的面积比就容易求解了.21．已知函数.（1）若对恒成立，求的取值范围；（2）证明：不等式对于正整数恒成立，其中为自然对数的底数.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）第（1）问，方法一，构造函数，再分析f(x)的最大值和零的关系得到a的取值范围.方法二，分离参数得到恒成立，即a大于F(x)的最大值.(2)第（2）问，先要把证明的不等式转化，再由第（1）问，恒成立，得到恒成立，把数列的通项放缩，对数列求和，再化简证明不等式.试题解析：（1）法一：记，则，，①当时，∵，∴，∴在上单减，又，∴，即在上单减，此时，，即,所以a≥1.②当时，考虑时，，∴在上单增，又，∴，即在上单増，,不满足题意.综上所述，.法二：当时，等价于，，记，则，∴在上单减，∴，∴，即在上单减，，故.（2）由（1）知：取，当时，恒成立，即恒成立，即恒成立，即对于恒成立，由此，，，于是，故.点睛：本题的难点在第（2）问，先要把证明的不等式化简，由于的左边无法化简，所以要对左边进行化简，对不等式进行转化，不等式两边要取对数.再利用第（1）问的结论对数列的通项进行放缩，再求和，再证明不等式.22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数）.在极坐标系(与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为. （1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，求的大小.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）等式两边同时乘以，根据即可得圆的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入圆的方程，根据参数方程的几何意义结合韦达定理可得结果.试题解析：（1）由，得圆的直角坐标方程为：.（2）将直线的参数方程代入圆的方程可得：整理得：∴根据参数方程的几何意义，由题可得：.23．已知，.（1）若且的最小值为1，求的值；（2）不等式的解集为，不等式的解集为，，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用绝对值三角不等式可得，解出方程即可；（2）易得，即，即且，再根据列出不等式即可得结果.试题解析：（1）(当时，等号成立）∵的最小值为 1，∴，∴或，又，∴.（2）由得，，∵，∴，即且且.。
安徽省马鞍山市普通高中2020届高三下学期第二次教学质量检测(二模)数学(理)试题及答案
绝密★启用前安徽省马鞍山市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次教学质量检测(二模)数学(理)试题2020年5月本试卷4页，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12个题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1．已知{|21}x A x =>,2{|20}B x x x =+-≤,则A B =UA ．{|2}x x >-B ．{|2}x x ≥-C ．{|01}x x <≤D ．{|01}x x ≤≤2．已知复数12z =-,则复数2z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数()f x 与它的导函数()f x '的定义域均为R ,则下列命题中,正确的是A ．若0x 是()f x 的极值点,则()00f x '=B ．若()f x 是偶函数,则()f x '一定是偶函数C ．若()22log f x x =,则()14f '=D ．若()f x 的图象在区间(),a b 连续不断,则()f x 在(),a b 上一定有最大值4．为抗战新冠病毒,社会各界积极捐赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩,现需将这6箱口罩分配给4家医院,每家医院至少1箱,则不同的分法共有 A ．10种 B ．40种C ．80种D ．240种5．已知非零向量a r ,b r满足||||a b a b a -=+=r r r r r,则a r 与b r的夹角为A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π6．执行如图所示的程序框图,输出的结果为 A ．4B ．5C ．6D ．77．关于函数21()cos cos 2f x x x x =-有下述四个结论： ①()f x 在区间[,]42ππ上是减函数；②()f x 的图象关于直线3x π=-对称；③()f x 的图象关于点()3,0π对称；④ ()f x 在区间[,]4ππ上的值域为[-．其中所有正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．48．已知ABC △外接圆面积为π,1cos 2A =-,则ABC △周长的最大值为A．2B．1+C ．3D．9．已知F 为椭圆22:12516x y C +=的左焦点,O 为坐标原点,点P 在椭圆C 上且位于x 轴上方,点(3,4)A -,若直线OA 平分线段PF ,则PAF ∠的大小为第6题图。
安徽省马鞍山市2020届高三数学第二次教学质量检测试题文
安徽省马鞍山市2020届高三数学第二次教学质量检测试题A B =（▲）D ．{2,--2．已知复数z 满足1,(,)1a b a b =+∈+i R i，则a b +=（▲） A ．0 B ．1 C ．1- D ．23．命题:0,1x p x e ∀>>，则命题p 的否定是（▲） A ．:0,1x p x e ∀>≤B ．:0,1x p x e ∀≤≤C ．00:0,1x p x e ∃>≤ D ．00:0,1x p x e ∃≤≤ 4．如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（▲）A ．乙所得分数的极差为26B ．乙所得分数的中位数为19C ．两人所得分数的众数相同D ．甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 5．已知a b c ∈，，R ,32a =，45b =，54c=，则下列不等关系中正 确的是（▲）A ．B ．C ．D ．8．已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法中正确的个数是（▲）①若//m α， //αβ，则//m β； ②若//m α， //m β，则//αβ；③若m α⊥， n β⊥，//αβ，则//m n ； ④若m α⊥， n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥； 10．若点A 为抛物线4=y x 上一点,F 是抛物线的焦点，||6AF =，点P 为直线1x =-上的动点，则||||PA PF +的最小值为（▲）4232213650220962173210乙甲B 1D 1A 1BCC 1DPAB． C ．D ．8P ABC -中，1PA =，PB 2CA CB AB ===，平面PAB ⊥平面ABC ，则此三A ．253πB ． 163πC ． 73πD ． 53π12．已知函数f x ()的定义域为22ππ-(,)，f x '()是f x ()的导函数.若+0f x x f x x '<()cos ()sin ，则关于x 的不等式4f x x π<()()cos 的解集为（▲）A ．24ππ-(,)B ．44ππ-(,)C ．42ππ(,)D ． 24ππ--(,)42ππ(,)15．已知双曲线221mx y +=的一条渐近线方程为2y x =，则其焦点到渐近线的距离为 ▲ ． 16．根据疾病防控的需要，某医院要从感染科抽调两名医生随省医疗队赴武汉参加抗疫工作，现有甲、乙、丙、丁、戊五名优秀医生申请作为志愿者参加.为确定最终驰援武汉的人选，医院领导组五位成员先各推荐两名人员，分别为“丁、戊”，“丙、戊”，“甲、乙”，“乙、戊”，“甲、丁”．根据最终入选名单发现五位领导中有一人推荐的两人都没有入选，其余四人推荐的人选中各有一人入选.根据以上信息判断，最后随省医疗队参加抗疫的两名医生是 ▲ ．18．（12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，2AB =，P 为11A B 的中点． （1）证明：平面1PA D ⊥平面1ABC ； （2）求多面体11PA BDD 的体积．19．（12分）已知椭圆E : 22142+=x y ，点A B ，分别是椭圆的左，右顶点，P 是椭圆上一点. （1）若直线AP 的斜率为2，求直线PB 的斜率；（2）若点P的坐标为1）的直线l 与椭圆相交于E F ，（异于P 点）两点.证明：PE PF ,的斜率12k k ，的和为定值.20． (12分)为了研究昼夜温差与引发感冒的情况，医务人员对某高中在同一时间段相同温差下的学生感冒情况进行抽样调研，所得数据统计如表1所示，并将男生感冒的人数与温差情况统计如表2所示．（1）写出m n p ，，的值； （2）判断是否有95%的把握认为在相同的温差下认为“性别”与“患感冒的情况”具有相关性； （3）根据表2数据，计算y 与x 的相关系数r ，并说明y 与x 的线性相关性强弱（若0.75||1r ≤≤，则认为y 与x 线性相关性很强；0.3||0.75r ≤≤，则认为y 与x 线性相关性一般；||0.25r ≤，则认为y 与x 线性相关性较弱）()()iix x yy r --=∑()52110i i x x =-=∑，()521164i i y y =-=∑20.2485≈．21． (12分)已知函数2()ln f x x x =. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()10f x ax -+≥恒成立，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分。
2020年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷1（含答案解析）
2020年安徽省马鞍山市高考数学二模试卷1一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1. 己知集合A={"(x-2)£0}, B = {—1,O, 1, 2, 3).则4AB =()A. (-1,0, 3}B. {0,1}C. {0,1, 2}D. (0,2, 3)2. 己知i 为虚数单位，若^i = a + bi(a >bER').贝lj a b =()A. IB. V2C.巨D.23. 命题x 2^x-的否定是()A. Vx e R. x 2 xC・ A, x2*x B. Vx e R. x 2 =x D. lx ER. x 2 = x4.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组 甲乙罚球40个.每组命中个数的茎叶图如图所示,则下列结论错误的 “ft 0 9是（）A.甲命中个数的极差是29是21C.甲的命中率比乙高5. 若"，b, c,满足2@ = 3, b = log 2S>A. c <a <b B. b <c < a 3 276 S42 07B. 乙命中个数的众数D.甲命中个数的中位数是253。
= 2,则（）C. a < b < cD. c < b < a1 13 4 8 92 0 11336. 将函数y = sin （s + ：）3>0）的图象向右平移:个单位后，得到y =。
⑴的图象，g （Q 为偶函数，则3的最小值为（）A. IB. 2C. ；D.；2 Z7. '（%）=零三的部分图象大致为（）8.己知互相垂直的平而。
，8交于直线若直线〃满足m〃o. nl/?t 则（）A. m//IB. m//nC. n 11D. m 1 n9.△ABC中，sinC=（y]3cosA+sinA）cosB♦贝U（）A B萼 B.2b=a+cC. A ABC是直角三角形D.a2=b z+c2或2B=4+C10.己知点P是抛物线y2=2x上的动点，F为抛物线的焦点，A（?,4）.则|P4|+|PF|的最小值是（）A.\B.5C.|D.4IL己知三棱^A-BC D中，BC LCD,AB=AD=BC=1, CD=焰，则该三棱锥的外接球的体积为（）A.号B.罕C.亨D.36/r12.偶函数『0）定义域为（一：,o）u（o,9.其导函数是?⑴，当0VXV利.有「（功：心+/（工）/心<（）,则关于x的不等式M jW的解集为（）A（W） B.（-；T）U（M）c. （-：，0）u（0,：） D.（-；，0）u《，9二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.I1/知向量q=（2,。
安徽省马鞍山市2020届 高三 数学 第二次教学质量检测 理(扫描版,马鞍山二模) 新人教A版
安徽省马鞍山市高三数学第二次教学质量检测理（扫描版，马鞍山二模）新人教A版高三理科数学参考答案及评分标准（2）【命题意图】本题考查集合运算、基本初等函数定义域，简单题. （3）【命题意图】本题考查空间线面位置关系，简单题. （4）【命题意图】本题考查三角函数图象变换，诱导公式，简单题. （5）【命题意图】本题考察参数方程与极坐标方程之间的相互转化.简单题. （6）【命题意图】本题考查程序框图，数列求和，中等题. （7）【命题意图】考查等差数列，直线的方向向量，中等题. （8）【命题意图】本题考查圆锥曲线的离心率，不等式的性质，中等题. （9）【命题意图】本题考查函数的周期性、奇偶性，中等题. （10）【命题意图】本题综合考查平面区域、参数方程、最值、数形结合思想，较难题. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分．请在答题卡上答题． （11）【答案】40.【命题意图】本题考查二项式定理，容易题.（12）【答案】1683π+. 【命题意图】本题考查三视图的识别，几何体体积计算，简单题.（13）【答案】1017. 【命题意图】考查条件概率，中等题.（14）【答案】35， 【命题意图】考查排列组合应用，中等题. 提示：只要确定向下的读法数即可，37C . （15）【答案】①②④. 【命题意图】考查命题、统计、逻辑、函数零点、指对数函数性质等，较难题.三、解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（16）(本题满分12分) 已知在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，向量222(,)m a b c ab =+-u r ，(sin ,cos )n C C =-r ，且m n ⊥u r r . （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）当1c =时，求22a b +的取值范围.【解】（Ⅰ）由m n ⊥u r r得：222()sin cos 0a b c C ab C +--= …………………………………………2分结合余弦定理得：1sin 302C C =⇒=︒（∵C 是锐角）……………………………………5分（Ⅱ）由正弦定理得：12sin sin sin sin30a b c A B C ====︒…………………………………7分 ∴2sin a A =，2sin 2sin(150)2sin(30)b B A A ==︒-=+︒∴22a b +=224sin 4sin (30)A A ++︒2(1cos2)2[1cos(260)]A A =-+-+︒42cos22(cos60cos2sin 60sin 2)A A A =--︒-︒42cos2cos22A A A =--423cos 2460)A A A =-=+-︒………………………………10分∵△ABC 是锐角三角形，由090A ︒<<︒及015090B A ︒<=︒-<︒，得： 60901202180A A ︒<<︒⇒︒<<︒，从而60260120A ︒<-<︒sin(260)1360)A A <-︒≤⇒<-︒≤2274a b <+≤+……………………………………………………………………12分注：（Ⅱ）用基本不等式求得224a b+≤+可给3分（本题易漏掉015090B A︒<=︒-<︒，导致sin(260)1A<-︒≤而得2214a b<+≤+）（17）（本小题满分12分）现对某市工薪阶层关于“楼市限购政策”的态度进行调查，随机抽查了50人，他们月收入的频数分布及对“楼市限购政策”赞成人数如下表：选中的4人中不赞成“楼市限购政策”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望. （参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.）……………………………………………………………………………………………………2分假设月收入以5500为分界点对“楼市限购政策” 的态度没有差异，根据列联表中的数据，得到：2250(311729)6.27 6.635(37)(2911)(329)(711)K⨯⨯-⨯=≈<++++………………………………………………4分假设不成立.所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购政策”的态度有差异. ……6分（Ⅱ）ξ的可能取值有0,1,2,3.22842251062884(0)1045225CCPC Cξ==⨯=⨯=21112882442222510510428616104(1)10451045225C C CC CPC C C Cξ==⨯+⨯=⨯+⨯=111228244222225105104166135(2)10451045225C CC C CPC C C Cξ==⨯+⨯=⨯+⨯=124222510412(3)1045225C C P C C ξ==⨯=⨯=所以ξ的分布列是……10分所以ξ的期望值是1047024022********E ξ=+++=……………………12分（18）（本小题满分13分）如图，在正三棱柱ABC DEF -中，2,1AB AD ==,P是CF 的延长线上一点，过,,A B P 三点的平面交FD 于M ，交EF 于N （Ⅰ）求证：MN ∥平面CDE ；（Ⅱ）当平面PAB ⊥平面CDE 时，求三棱台MNF ABC -的体积. 【证明】（Ⅰ）因为AB ∥DE ，AB 在平面FDE 外，所以AB ∥平面FDE ；………………………………………………2分MN 是平面PAB 与平面FDE 的交线，所以AB ∥MN ，故MN ∥DE ； ………………………………………………………4分 而MN 在平面CDE 外，所以MN ∥平面CDE ………………………6分 【解】（Ⅱ）解法一：取AB 中点G 、DE 中点H 则由GH ∥PC 知,,,P C G H 在同一平面上，并且由PA PB =知PG AB ⊥而与（Ⅰ）同理可证AB 平行于平面PAB 与平面CDE 的交线，因此，PG 也垂直于该交线，但平面PAB ⊥平面CDE ，所以PG ⊥平面CDE ，PG CH ⊥于是，CGH ∆∽PCG ∆，PCCGCG GH=……………8分设PF t =2t =⇒=…………………10分 从而43PF MF MF PC AC =⇒= MNF ABC P ABC P MNF V V V ---=-22143()2]33=⨯-⨯=……………13分 注：几何解法的关键是将面面垂直转化为线线垂直，阅卷时应注意考生是否在运用相关的定理. （Ⅱ）解法二：如图，取AB 中点G 、DE 中点H . 以G为原点，GB 为轴、GC 为轴、GH 为轴建立空间直角坐标系.则在平面PAB 中,(1,0,0),)B P t +，向量(1,0,0),).GB GP t ==+u u u r u u u r设平面PAB 的法向量,111(,,)n xy z =u r，则由 1100n GB n GP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu r u u u ru u r u uu r 即11110(1)0x y z t ⋅=⎧⎪⎨+=⎪⎩得1(0,1,n t =+uu r (7)分在平面CDE 中,(0,0,1),H C ，向量(0,(1,0,0).CH HE GB ===u u u r u u u r u u u r设平面CDE 的法向量2222(,,)n x y z =u u r，由222(010y z x ⎧⋅+=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2n =u u r (8)分20题 x平面PAB ⊥平面CDE ，120n n ∴⋅=u u r u u r，即130, 2.t t +-=∴=………………………………10分∵MF ∥AC ，∴43PF MF MF PC AC =⇒=从而22143()2]33MNF ABC P ABC P MNF V V V ---=-=⨯-⨯=…………………………13分 注：使用其它坐标系时请参考以上评分标准给分.【命题意图】本题考查线面位置关系、二面角等有关知识，考查学生空间想象能力，中等题. （19）（本题满分12分）设同时满足条件：①212n n n b b b +++>；②n b M <(N n +∈，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{}n b 叫“好数列”.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1n n aS a a =--（a 为常数，且0a ≠，1a ≠）． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21nn n S b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值，并证明此时数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“好数列”.【命题意图】本题考查数列的通项、前n 项和关系，考查学习能力，逻辑推理能力.解：（Ⅰ）因为11(1)1aS a a =--,所以1a a = ……………………………………………1分当2n ≥时，1111n n n n n a aa S S a a a a --=-=---，1n n a a a -⇒=，即{}n a 以a 为首项，a 为公比的等比数列．∴1n n n a a a a -=⋅=； ………………………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2(1)(31)211(1)n n n n naa a a a ab a a a ⨯----=+=-，若{}n b 为等比数列，则有2213b b b =⋅，而13b =，232a b a+=，232322a a b a ++=故22232322()3a a a a a +++=⋅，解得13a =……………………………………………………7分 再将13a =代入得3n n b =成等比数列， 所以13a =成立 (8)分由于①2121111122333n n n n n n b b b +++++=+>=…………………………………………10分（或作差：因为2212111151202333n n n n n n b b b ++++++-=-=>，所以21112n n n b b b +++>也成立) ②11133n n b =≤，故存在13M >； 所以符合①②,故1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“好数列”……… ………………………………………………………12分（20）（本题满分13分）已知椭圆2221(02)4x y b b+=<<的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B ，过F 、B 、C 作圆P .﹙Ⅰ﹚当b =P 的方程；（Ⅱ）直线AB 与圆P 能否相切？证明你的结论.【命题意图】本题考察解析几何综合题，能够强化学生对圆、椭圆有关知识的理解，考察计算能力，训练学生对平面解析几何相关知识的认识.中等题.解：（Ⅰ）设F 、B 、C 的坐标分别为(,0)0,)c b -、（、（2,0），则FC 、BC 的中垂线分别为22,(1)22c b x y x b -=-=-，联立两方程，解得22,22,2c x b c y b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,即222(,)22c b c P b --所以b1(2，半径PC=PC ==圆P 方程为2217()(23x y -+=……………………………………………………………6分（Ⅱ）直线AB 与圆P 不能相切. …………………………………………………………………7分理由如下：因为22222,,22(2)02AB PB b c b b b c b k k c b c --+===---如果直线AB 与圆P 相切，则2(2)12(2)b b c b c +=-- (10)分解得c=0或4，又224(0,4)(0.2)c b c =-∈⇒∈， 而0,4(0,2)∉，所以直线AB 与圆P 不能相切.………………………………………………13分（21）（本题满分13分）设函数()ln af x x x x=+，32()3g x x x =--.（Ⅰ）如果存在[]120,2x x ∈、 ，使得12()()g x g x M -≥成立，求满足上述条件的最大整数M ；（Ⅱ）如果对于任意的1,22s t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦、，都有()()f s g t ≥成立，求实数a 的取值范围.【命题意图】本题考察导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围，考察等价转化思想，这种常规的数学思想方法值得研究.问题（Ⅰ）等价于max min ()()g x g x M -≥ ；问题（Ⅱ）等价于min max ()()f x g x ≥.【解】（Ⅰ）存在[]1212,0,2()()x x g x g x M ∈-≥使得成立，等价于[]12max ()()g x g x M -≥……2分32()3g x x x =--，/22()323()3g x x x x x =-=-所以，2()(0,)3g x 在单调递减，2,23在（）上递增，于是min 285()()327g x g ==-，max()(2)1g x g ==，…………………………………………………4分[]12max min max 112()()()()27g x g x g x g x -=-=， 所以满足条件的最大整数4.M =…………………………………………………………………6分（Ⅱ）对于任意的1,,22s t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()f s g t ≥成立，等价于在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，函数min max ()()f x g x ≥.…………………………………………………8分由（1）可知，在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()g x 的最大值(2)1g =，在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()ln 1a f x x x x =+≥ 恒成立，等价2ln a x x x ≥-恒成立. …………………10分记2()ln h x x x x =-，则//()12ln ,(1)0h x x x x h =--= .当12x <<时，/()0;h x <当112x << 时，/()0h x >.即函数2()ln h x x x x =-，在区间1(,1)2上递增，在区间(1,2)上递减，所以max ()(1)1h x h ==即实数a 的取值范围是[)1,.+∞……………………………………………………………………13分。
安徽省马鞍山市2020届高三第二次教学质量检测(理综)woed版doc高中数学
安徽省马鞍山市2020届高三第二次教学质量检测（理综）woed版doc 高中数学理科综合能力测试试题本试卷分第I 卷(选择题)和II 卷(非选择题)两部分，第I 卷第1页至第5页，第II 卷第5页至第12页。
全卷总分值300分。
考生本卷须知：1．答题前。
考生务必在试题卷、答题卡规定的地点填写自己的姓名、准考证号。
2．答第I 卷时，每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。
3．答第II 卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4．考试终止，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷 (选择题 共120分)本卷共20小题，每题6分，共120分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
以下数据可供解题时参考：相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32 Fe 561．以下图为人体细胞生长、分裂、分化、衰老和死亡过程的示意图，图中①～⑥为各个时期 的细胞，a~c 表示细胞所进行的生理过程。
据图分析，以下表达正确的选项是A ．过程a 、b 可表示一个完整的细胞周期B ．c 过程有利于提高人体生理功能的效率C ．⑤⑥细胞的基因组相同，表达的基因也相同D ．与①细胞相比，②细胞的表面积增大，物质运输的效率增强2．以下关于生长素的表达，正确的选项是A ．用适宜浓度的生长素溶液处理番茄的花就能得到无子番茄B ．在太空中生长素不能进行极性运输，根失去了向地生长的特性C ．植物的向光性现象讲明生长素的生理作用具有两重性D ．不同浓度的生长素溶液促进根生长的成效可能相同3．在以下图A 、B 、C 三个密闭装置中，分不放入适量干重质量相等的三份种子：消毒且刚萌发的小麦种子、未消毒刚萌发的小麦种子及未消毒刚萌发的花生种子。
2020年马鞍山市二模理科数学试卷
涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知{|21}x A x =>，2{|20}B x x x =+-≤，则A B =A ．{|2}x x >-B ．{|2}x x ≥-C ．{|01}x x <≤D ．{|01}x x ≤≤2．已知复数12z =-+，则复数2z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数()f x 与它的导函数()f x '的定义域均为R ，则下列命题中，正确的是A ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=B ．若()f x 是偶函数，则()f x '一定是偶函数C ．若()22log f x x =，则()14f '=D ．若()f x 的图象在区间(),a b 连续不断，则()f x 在(),a b 上一定有最大值4．为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资．爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有A ．10种B ．40种C ．80种D ．2405．已知非零向量a，b 满足||||a b a b a -=+= ，则a 与b 的夹角为A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为A ．4B ．5C ．6D ．77．关于函数21()cos cos 2f x x x x =-有下述四个结论：①()f x 在区间[,]42ππ上是减函数；②()f x 的图象关于直线3x π=-对称；③()f x 的图象关于点()3,0π对称；④()f x 在区间[,]4ππ上的值域为3[1,]2-．其中所有正确结论的个数是A ．1B ．2C ．3D ．48．已知ABC △外接圆面积为π，1cos 2A =-，则ABC △周长的最大值为A．2+B ．1+C ．3D ．53T ≤？第6题图2020年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测理科数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填在答题卡上。
2020马鞍山市高三二模数学(理科)答案
（7 分）
（3）方案一：共支出 7 188 15 288 3 888 8300 元，
方案二：设一次摸奖所获得的的奖励额为 X ，则 X 的所有可能取值为 0,100,200，
且
P( X
200)
( 2 )3 5
8 125
，
P( X
100)
C32
(
2 5
)2
3 5
36 125
，
P( X
0)
1 8 125
2020 年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量监测
理科数学参考答案
一、选择题
题号 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
答案 B
C
A
A
C
D
C
A
B
D
D
C
二、填空题
13． 9
14． 200 17
三、解答题
（一）必考题：共 60 分。 17．【解】
15．
3 e2
或1
16． 5 5 8
（1） a1
1，
1 an1
2 an
36 125
81 125
，
故一次摸奖获得的奖励额的期望值为 8 200 36 100 81 0 41.6 ，
125
125
125
故方案二的总支出为 (28 60 2 12 3) 41.6 184 41.6 7654.4 元，
故而第二种方案支出较少．
（12 分）
第 2页（共 4页）
21．【解】（1）定义域为 R ．
f
x
ae x
ex
1
1 ex
2020届安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学(理)试题解析
绝密★启用前2020届安徽省马鞍山市高三第二次教学质量监测数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知{|21}x A x =>，2{|20}B x x x =+-≤，则A B =U （） A ．{|2}x x >- B ．{|2}x x ≥-C ．{|01}x x <≤D ．{|01}x x ≤≤答案：B根据指数不等式与二次不等式求解集合,A B 再求并集即可. 解：{}{|21}|0x A x x x =>=>,()(){}2{|20}|120B x x x x x x =+-≤=-+≤{}|21x x =-≤≤.故A B =U {|2}x x ≥-.故选：B 点评：本题主要考查了指数与二次不等式的求解以及并集的求解,属于基础题.2．已知复数1i 22z =-+，则复数2z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C先求解2z 根据复数的几何意义分析即可. 解：22112222z ⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭,故复数2z 在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C 点评：本题主要考查了复数的基本运算以及几何意义运用,属于基础题.3．已知函数()f x 与它的导函数()f x '的定义域均为R ，则下列命题中，正确的是（）A ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=B ．若()f x 是偶函数，则()f x '一定是偶函数C ．若()22log f x x =，则()14f '=D ．若()f x 的图象在区间(),a b 连续不断，则()f x 在(),a b 上一定有最大值 答案：A对A,根据极值点的性质辨析即可. 对B,举出反例判定即可.对C,先求解()f x 的解析式,再求导代入1x =即可. 对D,根据函数的图像性质辨析即可. 解：对A,根据极值点的性质可知,若0x 是()f x 的极值点,则()00f x '=.故A 正确.对B,若()2f x x =,则满足()f x 是偶函数,但()2f x x '=是奇函数.故B 错误.对C,令2log t x =则2t x =,则()()224tt f t ==,故()4xf x =,故()'4ln 4x f x =,()'14ln 4f =,故C 错误.对D,如()f x x =在区间()0,1上连续不断,但不存在最大值,故D 错误. 故选：A 点评：本题主要考查了函数性质的综合辨析,属于基础题.4．为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资.爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格的医用外科口罩，现需将这6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少1箱，则不同的分法共有（） A ．10种 B ．40种 C ．80种 D ．240种答案：A分四家医院分配到的口罩箱数分别为1,1,2,2与1,1,1,3两种情况,分别计算再求和即可. 解：由题意,因为6箱医用外科口罩的规格相同,故四家医院分配到的口罩箱数有1,1,2,2与1,1,1,3两种情况,则分配的方法有：①1,1,2,2：从4家医院中选择两家,分别分配1箱,共246C =种. ②1,1,1,3：从4家医院选出1家,分配给3箱,共14C 4=种.共6410+=种. 故选：A 点评：本题考查了分类求解组合的问题,需要注意6箱医用外科口罩的规格相同,故只需考虑每家医院所得的箱数.属于基础题.5．已知非零向量a r ，b r满足||||a b a b a -+=r rrrr，则a r 与b r的夹角为（） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π答案：C根据||||a b a b a -=+=r r r r r,分别平方再化简,利用数量积的公式求解即可.解：因为||||a b a b a -=+=r r r r r,平方可得()222222323a a b b a a b b a -⋅+=+⋅+=r r r r r r r r r ,由()22223232a a b b a a b b +⋅+=⇒⋅=-r r r r r r r r ,代入22223a a b b a -⋅+=r r r r r 可得a b =r r .设a r 与b r 的夹角为θ,代入22a b b ⋅=-r r r 有2212cos cos 2b b θθ⋅=-⇒=-r r .又[]0,θπ∈,故23πθ=.故选：C 点评：本题主要考查了平面向量的模长与数量积公式等的运用,需要根据题意化简得出模长与夹角等的关系.属于中档题.6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A ．4B ．5C ．6D ．7答案：D根据程序框图的循环结构,依次计算输出结果即可. 解： 开始：0,0,1S T i ===1.53T ≤判断为“是”,011S =+=,1011T =+=,112i =+=； 2.53T ≤判断为“是”,123S =+=,14133T =+=,213i =+=； 3.53T ≤判断为“是”,336S =+=,413362T =+=,314i =+=； 4.53T ≤判断为“是”,6410S =+=,3182105T =+=,415i =+=； 5.53T ≤判断为“是”,10515S =+=,8155153T =+=,516i =+=； 6.53T ≤判断为“是”,15621S =+=,51123217T =+=,617i =+=； 7.53T≤判断为“否”,输出7i =. 故选：D 点评：本题主要考查了根据程序框图写出输出结果的问题,属于基础题. 7．关于函数21()cos 3cos 2f x x x x =-有下述四个结论： ①()f x 在区间[,]42ππ上是减函数；②()f x 的图象关于直线3x π=-对称；③()f x 的图象关于点()3,0π对称；④()f x 在区间[,]4ππ上的值域为3[]-.其中所有正确结论的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C先将21()cos cos 2f x x x x =-利用降幂与辅助角公式化简,再根据三角函数的图像与性质分别判断即可. 解：211()cos cos cos 22sin 22226f x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭. ①当[,]42x ππ∈时,272,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,因为sin y x =在区间27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数.故①正确. ②当3x π=-时,262x ππ+=-.因为2x π=-是sin y x =的对称轴,故②正确. ③当3x π=时,5266x ππ+=,因为5,06π⎛⎫⎪⎝⎭不是sin y x =的对称中心,故③错误.④当[,]4x ππ∈时,2132,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,故()sin 2[1,26f x x π⎛⎫∈⎭-=+ ⎪⎝.故④正确.综上,①②④正确. 故选：C 点评：本题主要考查了三角函数的降幂与辅助角公式,同时考查了根据三角函数的性质,代入所给条件判断对称轴,对称中心以及单调性和值域等是否成立的问题.属于中档题.8．已知ABC V 外接圆面积为π，1cos 2A =-，则ABC V 周长的最大值为（）A ．2B ．1+C ．3D ．答案：A利用正弦定理可得a ,再利用余弦定理结合基本不等式求解b c +的最大值,进而求得周长的最大值即可. 解：设ABC V 外接圆半径为R ,则21R R ππ=⇒=.又sin 0A >,故sin A ==.由正弦定理得22sin 2a R a A =⇒=⨯=. 又由余弦定理可得()222222cos 332b c a b c bc A b c bc +⎛⎫=+-⇒+=+≤+ ⎪⎝⎭.即()242b c b c +≤⇒+≤.故ABC V 周长2a b c ++≤+,当且仅当1b c ==时取等号. 故选：A 点评：本题主要考查了解三角形中正余弦定理的应用以及基本不等式求边长之和的最大值问题,属于中档题.9．已知F 为椭圆22:12516x y C +=的左焦点，O 为坐标原点，点P 在椭圆C 上且位于x轴上方，点(3,4)A -，若直线OA 平分线段PF ，则PAF ∠的大小为（） A ．60︒ B ．90︒C ．120︒D ．无法确定答案：B设椭圆的上顶点为()0,4B ,注意到(3,4)A -横坐标与()3,0F -相等,纵坐标与()0,4B 相等.故分析可得P 在上顶点()0,4B 处,即可得PAF ∠大小.解：设椭圆的上顶点为()0,4B ,则因为(3,4)A -,()3,0F -.故AF x ⊥轴,AB y ⊥轴.则四边形ABOF 为矩形,故当P 在点B 时满足直线OA 平分线段PF . 又设右焦点为N ,因为OA 平分线段FB 与FN ,故BNAO P .故当直线OA 平分线段PF 时,P 只能在直线PN 上.又点P 在椭圆C 上且位于x 轴上方,故当且仅当P 在B 时满足直线OA 平分线段PF . 故90PAF BAF ∠=∠=︒.故选：B 点评：本题主要考查了的性质运用,需要根据题意画图,分析可得四边形ABOF 为矩形,进而猜测P 为上顶点,再证明求解即可.属于中档题.10．如图是某三棱柱的正视图，其上下底面为正三角形，则下列结论成立的是（）A ．该三棱柱的侧视图一定为矩形B ．该三棱柱的侧视图可能为菱形C ．该三棱柱的表面积一定为123+D ．该三棱柱的体积一定为23答案：D根据正视图可知底面正三角形的边长定为2,但不一定是正三棱柱,再分析即可. 解：注意到该三棱柱不一定为正三棱柱,也可能是斜三棱柱,故仅有体积为定值. 体积为2322234⨯=故选：D 点评：本题主要考查了根据正视图分析几何图形性质的问题,注意该几何体不一定是正三棱柱.属于基础题.11．设,,,0a b m m ∈>Z ，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 模m 同余，记为(mod )a b m ≡，已知1223320202020202012222,(mod10)a C C C C b a =+⨯+⨯+⨯++⨯≡L ，则b 的值可能是（） A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021答案：D根据二项展开式可知203a =,再分析203a =的个位数即可. 解：由题,()20122332020202020202012222123a C C C C =+⨯+⨯+⨯++⨯=+=L ,又(mod10)b a ≡,故,a b 的个位数字相同.又201053981a ===个位数字明显为1.故选：D 点评：本题主要考查了二项式定理的展开式的运用,需要观察题中所给的形式判断出展开式的原式,再利用指数函数的计算分析末尾数即可.属于中档题.12．梯形ABCD 中，//AD BC ，120DAB ∠=︒，AC BC ⊥，22BC AD ==，现将ABC V 沿AC 折起，使得二面角B AC D --的大小为120︒，若,,,A B C D 四点在同一个球面上，则该球的表面积为（） A ．316πB ．340πC ．364πD ．376π答案：C根据梯形中的关系可得ABC V ,ACD V 均为直角三角形.再分析翻折后球心到平面ABC 的距离,进而求得球的半径与表面积即可.解：因为//AD BC ,120DAB ∠=︒,AC BC ⊥,故90CAD ∠=︒,30CAB ∠=︒,且2224,1,23AB BC AD AC AB BC ====-=.设AB 中点M 与CD 中点N ,因为ABC V ,ACD V 均为直角三角形,故,M N 分别为ABC V ,ACD V 的外接圆圆心.连接MN 交AC 于Q ,易得11,2MQ QN ==.又翻折后二面角B AC D --的大小为120︒,此时设球心为O ,则易得OM ABC ⊥V ,ON ADC ⊥V .且,,,O M Q N 共面.画出四边形OMQN 平面图,延长,MQ ON 交于P .易得二面角B AC D --即120MQN∠=︒,故30P ∠=︒.故21QP QN ==,所以2MP MQ QP =+=,33OM ==. 故球O 的半径22163R OM AM =+=,故球O 的表面积26443S R ππ==.故选：C 点评：本题主要考查了平面图形中的计算以及外接球的问题,需要根据题意找到翻折后两个三角形ABC V ,ACD V 的外接球半径及其交线长,再画图分析球心到ABC V 所在的截面的距离求解球的半径.属于难题. 二、填空题13．若变量x ，y 满足约束条件102800x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则3z x y =+的最大值为______．答案：9.分析：画出可行域，然后结合目标函数求最值即可.详解：作出如图所示可行域：可知当目标函数经过点A （2,3）时取得最大值，故最大值为9.点睛：考查简单的线性规划的最值问题，准确画出图形，画出可行域确定最优解是解题关键，属于基础题.14．百鸟蛋，又称九巧板，是类似于七巧板的益智拼图.相传是纪念哥伦布所制作的蛋形拼图，故又有哥伦布蛋形拼图一称.如图，九巧板由2个不规则四边形、2个大三角形、1个小三角形、2个不规则三角形和两个小扇形组成.在拼图时必须使用所有组件，角与边可相连接，但组件不能重叠.九巧板能拼摆出一百多种飞禽图形，可说是变化无穷、极富趣味，因此也被称为“百鸟朝凤”拼板.已知拼图中两个大三角形（图中阴影部分）为直角边长为2的等腰直角三角形，现用随机模拟的方法来估算此九巧板的总面积，随机在九巧板内选取100个点，发现有34个点落在两个大三角形内，则此九巧板的总面积约为______.答案：10017根据两个大三角形占总面积的比例约等于34100,再计算两个大三角形的面积进而求得总面积即可. 解：由题可得两个大三角形的面积为21222⨯=,设九巧板的总面积为S ,则23410010017S S =⇒=. 故答案为：10017点评：本题主要考查了几何概型的面积型问题,需要根据题意确定阴影部分面积占总面积的比值即为选取的点中落在阴影部分的比值.属于基础题.15．已知函数()e ,0ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()21e g xf x x b =--（e 为自然对数的底数），若函数()g x 有且只有三个零点，则实数b 的值为______.答案：23e 或1由题可得()y f x =与21e y x b =+的图像有三个交点,再求导分析当()yf x=与21e y x b =+的图像相切时的情况,从而得出b 的值. 解：画出()e ,0ln ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩的图像,当21e y x b =+为()f x 的切线时,设切点为()00,P x y .1.当00x ≤时,()x f x e =,故()'x f x e =,故00212xe x e =⇒=-,此时212,P e ⎛⎫- ⎪⎝⎭,代入21e y x b =+可得()2221132b b e e e =⋅-+⇒=. 2.当00x >时,()ln f x x =,()1'f x x=,故202011x e x e=⇒=.此时()2,2P e ,代入21e y x b =+可得22121e b b e=⋅+⇒=. 根据图像可知当23b e =或1b =时均满足()y f x =与21e y x b =+的图像有三个交点.故答案为：23e或1 点评：本题主要考查了数形结合求解函数零点问题中参数的值.需要根据题意分析临界条件,利用导数的几何意义求解.属于中档题.16．已知双曲线2222:1x y E a b-=5，过E 的左焦点(5,0)F -作直线l ，直线l 与双曲线E 分别交于点,A B ，与E 的两渐近线分别交于点,C D ，若FA AC =u u u r u u u r，则||BD =u u u r______.答案：558根据双曲线的离心率与左焦点(5,0)F -可得双曲线22:1205x yE -=,再根据FA AC =u u u r u u u r 可得A 为,F C 的中点,再设(),A A A x y ,根据FA AC =u u u r u u u r可得C 坐标,代入渐近线方程可求得(),A A Ax y 关于A x的表达式,再代入双曲线求得(),A A A x y ,进而求出直线AF 的方程,再联立双曲线与其渐近线的方程即可得BD . 解：因为双曲线2222:1x y E a b -=,左焦点(5,0)F -,故5,c =又c a ,故a b ===故22:1205x y E -=.因为FA AC =u u u r u u u r ,故A 为,F C 的中点.设()(),,,A A C C A x y C x y ,因为FA AC =u u u r u u u r,故()()5,,A A c A c A x y x x y y +=--,解得()25,2A A C x y +.不妨设C 在渐近线12y x =-上,则522A A x y =--,即52,2A A A y y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.代入22:14x E y -=则252220A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭--215A y -=,解得118A y =,即2111,48A ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故直线l 的斜率11011821254k -==--+,故l 的方程：()1152y x =-+. 联立双曲线方程：()2212051152x y y x ⎧-=⎪⎪⇒⎨⎪=-+⎪⎩2242426090x x ++=即()()4216290x x ++=.设(),B B Bx y ,(),y D D D x 则296Bx=-. 再联立渐近线12y x =,即()121152y x y x ⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=-+⎪⎩5512D x =-.故2955612||8BD ==-+u u u r .55点评：本题主要考查了双曲线中的坐标计算以及联立直线与双曲线的以及渐近线的方程求解坐标与弦长的问题,需要根据题意设点的坐标,并根据点在双曲线或渐近线上进行计算求解.主要是计算难度较大,需要用到韦达定理以及弦长公式等进行简化,属于难题. 三、解答题17．已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 中，11a =，1121n n n a a +=+-，1n n b n a =+，11n n nc a b =-. （1）求证：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n S . 答案：(1)12n n a n =-,2nnb =.(2)222n nn S +=- (1)根据1121n n n a a +=+-构造出1n n b n a =+与1111n n b n a ++=++证明即可求得{}n b 的通项公式,进而求得{}n a 的通项公式.(2)代入(1)中所得的12n n a n =-,2nn b =可知2122n n n n n n c -=-=,再错位相减求和即可.解：(1)因为1121n n n a a +=+-,故1121122n n n n n n a a a +⎛⎫++=+=+ ⎪⎝⎭,即12n n b b +=, 故{}n b 是以1112a +=为首项,2为公比的等比数列.故2n n b =. 所以1122n n n n n a a n+=⇒=-. 故12n na n=-,2nn b =. (2)由(1)12112222n n n n nn n nc n-=-=-=-.所以123123...2222n nS n =++++23411231 (22222)12n n n n n S +-=+++++ 相减可得123411111111...2222222n n n n S +⎛⎫- ⎪⎝⎭=+++++- 故111122111222n n n n S +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--,1112122n n n S n+=--. 化简得222n nn S +=- 点评：本题主要考查了构造数列求通项的方法,同时也考查了错位相减的问题.属于中档题. 18．如图，多面体ABCED 中，面ABD ⊥面ABC ，面BCE ⊥面ABC ，//DE 面ABC ，23AB =，BE CE =，2AD BD BC ===.（1）求BEC ∠的大小；（2）若2DE =，求二面角B DE C --的余弦值. 答案：(1)90BEC ∠=︒；(2)17(1)取,AB BC 中点,M N ,连接,MD EN ,再证明矩形DMNE ,进而得到1EN =,从而得到BEC △为等腰直角三角形即可.(2)作BQ AC ⊥于Q ,作BP DE ⊥于P .连接PQ ,即可证明BPQ ∠为二面角B DEC --的平面角,再分别计算BPQ V 三边的长度,利用余弦定理求解cos BPQ∠即可. 解：(1)取,AB BC 中点,M N ,连接,MD EN .因为AD BD =,故DM AB ⊥.又面ABD ⊥面ABC ,且交于AB .DM ⊂面ABD ,故DM ⊥面ABC .同理EN ⊥面ABC .故DM EN P .故,,,D M N E 共面.又//DE 面ABC ,面DMEN ⋂面ABC 于MN .故DE MN P .故四边形DMEN 为平行四边形.故221EN DM DB MB ==-=.又BE CE =,2BC =.112BN NC BC ===,故BCE V 为等腰直角三角形. 故90BEC ∠=︒(2)作BQ AC ⊥于Q ,作BP DE ⊥于P .连接PQ .因为,M N 分别为,AB AC 中点,故MN AC P ,又MN DE P ,故AC DE P . 故BQ DE ⊥.又BP BQ B ⋂=,故DE ⊥面BPQ . 故BPQ ∠为二面角B DE C --的平面角. 又由(1),122AC MN DE ===,故4AC =.又222AC AB BC =+,故90ABC ∠=︒.故3AB BCBQ AC⋅==. 在DBE V 中,利用等面积法有22111222DE BP BE DE BE ⎛⎫⋅=⋅- ⎪⎝⎭,解得72BP =. 故2212EP BE BP =-=.221CQ BC BQ =-=.故()2272PQ EC QC PE =--=. 故2221cos 27PB PQ BQ BPQ PB PQ +-∠==⋅. 即二面角B DE C --的余弦值为17. 点评：本题主要考查了线面与线线平行和垂直的性质与判定,同时也考查了立体几何中的线段长度角度等的计算.计算二面角时需要根据题意找到线面垂直从而得到二面角的平面角,再根据平面几何的计算求解对应的长度进行求解.属于难题.19．已知F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，以F 为圆心作半径为R 的圆Γ，圆Γ与x 轴的负半轴交于点A ，与抛物线E 分别交于点,B C .（1）若ABC V 为直角三角形，求半径R 的值； （2）判断直线AB 与抛物线E 的位置关系，并给出证明. 答案：(1)R p =；(2)直线AB 与抛物线E 相切.(1)由对称性可知,ABC V 为等腰直角三角形,且BC x ⊥轴,BC 为直径,再根据B 的横坐标为2p ,代入抛物线2:2(0)E y px p =>的方程求解纵坐标即可得半径R . (2)画图观察可知AB 与抛物线E 相切,再设2,,02a B a a p ⎛⎫> ⎪⎝⎭,根据圆的半径相等求得点A 坐标.再根据导数的几何意义求解抛物线E 在B 处的切线斜率k ,进而证明k 与直线AB 的斜率相等即可. 解：(1)由抛物线与圆的对称性可知,点,B C 关于x 轴对称,故BAC ∠为直角.故ABC V 为等腰直角三角形,且BC x ⊥轴,BC 为直径.故B 的横坐标为2p ,代入22y px =可得y p =±.故R p =.(2)不妨设2,,02a B a a p ⎛⎫>⎪⎝⎭.则根据抛物线的定义以及圆的半径相等有2+22a pFA FB p ==,故A 的横坐标为22+2222p a p a p p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.即2,02a A p ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故直线AB 的斜率为22022a pa aa p p -=⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 又抛物线2:2(0)E y px p =>的上半部分为函数y =故'y =故在B 处切线的斜率为pk a ==.故直线AB 为在B 处切线. 故直线AB 与抛物线E 相切.点评：本题主要考查了抛物线的性质运用以及直线与抛物线的位置关系,需要先画出图像分析位置关系为相切,再利用导数的几何意义求解即可.属于中档题.20．随着生活水平的提高和人们对健康生活的重视，越来越多的人加入到健身运动中.国家统计局数据显示，2019年有4亿国人经常参加体育锻炼.某健身房从参与健身的会员中随机抽取100人，对其每周参与健身的天数和2019年在该健身房所有消费金额（单位：元）进行统计，得到以下统计表及统计图：平均每周健身天数不大于2 3或4 不少于5人数（男）20 35 9人数（女）10 20 6若某人平均每周进行健身天数不少于5，则称其为“健身达人”.该健身房规定消费金额不多于1600元的为普通会员，超过1600元但不超过3200元的为银牌会员，超过3200元的为金牌会员.（1）已知金牌会员都是健身达人，现从健身达人中随机抽取2人，求他们均是金牌会员的概率；（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系？（3）该健身机构在2019年年底针对这100位消费者举办一次消费返利活动，现有以下两种方案：方案一：按分层抽样从普通会员、银牌会员和金牌会员中共抽取25位“幸运之星”，分别给予188元，288元，888元的幸运奖励；方案二：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：摸奖箱中装有5张形状大小完全一样的卡片，其中3张印跑步机图案、2张印动感单车图案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一张，若摸到动感单车的总数为2，则获得100元奖励，若摸到动感单车的总数为3，则获得200元奖励，其他情况不给予奖励.规定每个普通会员只能参加1次摸奖游戏，每个银牌会员可参加2次摸奖游戏，每个金牌会员可参加3次摸奖游戏（每次摸奖结果相互独立）.请你比较该健身房采用哪一种方案时，在此次消费返利活动中的支出较少，并说明理由.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量.答案：(1)35；(2)不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系;(3)采用方案二时,在此次消费返利活动中的支出较少.(1)根据统计图与统计表分别求得金牌会员与健身达人的人数,再根据组合的方法求解从健身达人中随机抽取2人,他们均是金牌会员的概率即可.(2)根据图表分别求得非健身达人与健身达人中男女的人数,再计算2K 分析即可. (3)先求得普通会员、银牌会员与金牌会员的人数,再分别计算方案一和方案二中的支出.方案一计算分层抽样的各层次人数计算总支出,方案二中先计算一次摸奖的奖励数学期望,再分析所有的总奖励数学期望,再比较方案一、二的支出即可. 解：(1)由题意得,健身达人共9615+=人,金牌会员人数有8412+=人.又金牌会员都是健身达人,故从健身达人中随机抽取2人,他们均是金牌会员的概率为2122152235C C =.(2)由图表可知,非健身达人男性有：203555+=人,健身达人男性有：9人； 非健身达人女性有：102030+=人,健身达人女性有：6人. 列出列联表有：故()221005563090.123 3.84185156436K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯. 故不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为性别和是否为“健身达人”有关系. (3)由图,普通会员有62228+=人,银牌会员有253560+=人,金牌会员有8412+=人.方案一：抽取的普通会员、银牌会员与金牌会员分别有28257100⨯=,602515100⨯=,12253100⨯=人.故共支出71881528838888300⨯+⨯+⨯=元.方案二：摸一次奖获得奖励的数学期望为21323332322081002005555C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故总支出的数学期望为208208208286021237654.48300555⨯+⨯⨯+⨯⨯=<. 故采用方案二时,在此次消费返利活动中的支出较少. 点评：本题主要考查了利用组合求解概率以及独立性检验的问题,同时也考查了计算数学期望分析实际应用的问题,属于中档题.21．已知函数()e e x xf x a x -=-+（0a >）.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：()()121201f x f x x x -<<-.答案：(1)当14a ≥时,()f x 单调递减；当104a <<时,在,ln ⎛-∞ ⎝⎭与⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上()f x 单调递减；在⎛ ⎝⎭上()f x 单调递增. (2)证明见解析(1)求导得()2'x x xe e af x e-+-=,再将()2x xg x e e a =-+-看成关于0x t e =>的二次函数,根据判别式分析二次函数的零点在判断()2xx g x ee a =-+-的正负区间与()f x 的单调性即可.(2)由(1)可设两个极值点12x x >,再根据(1)中所得的单调区间,分别代入()f x 证明()()121201f x f x x x -<<-即可.解：(1)因为0a >,故()2'1x x xxxe e af x ae e e--+-=--+=. 设函数()2xx g x ee a =-+-,令0x t e =>,则讨论2y t t a =-+-.①当140a ∆=-≤,即14a ≥时,20y t t a =-+-<恒成立,则()'0f x ≤,()f x 单调递减.②当140a ∆=->,即104a <<时,令20t t a -+-=则两根12t t ==且120t t >>,此时()20x xg x e e a =-+-=的两根12x x ==.故在1,ln 2⎛⎫--∞ ⎪ ⎪⎝⎭与1ln 2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上,()'0f x <,()f x 单调递减；在11ln 22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上,()'0f x >,()f x 单调递增. 综上所述,当14a ≥时,()f x 在(),-∞+∞上单调递减；当104a <<时,在1,ln 2⎛-∞ ⎝⎭与1ln 2⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上()f x 单调递减；在ln ⎛ ⎝⎭上()f x 单调递增. (2)由(1)若函数()f x 存在两个极值点1x ,2x ,即10x x ae e ---+=的两根.不妨设12x x >.①先证()()12120f x f x x x -<-,即()()12f x f x >.由(1)可知,在()21,x x 上,()f x 单调递增,故()()12f x f x >显然成立. ②再证()()12121f x f x x x -<-,即()()11221212ee e e 1x x x x a x a x x x ---+--+<-,即证()()1212x x x x a ee e e ---<-.又11221010x x x x ae e ae e --⎧--+=⎨--+=⎩,故()()1212x x x x a e e e e ---=--, 即证()()1212120xx x x x x e eee e e --<-⇒->,显然成立.故()()121201f x f x x x -<<-点评：本题主要考查了分类讨论含参的函数单调性问题,同时也考查了极值点的不等式证明,需要根据前问的单调性,再代入原函数化简证明.属于中档题.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为224442x t ty t t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数，且0t >），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 3sin 10ρθρθ--=.（1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与x 轴交点记为M ，与曲线C 交于P ，Q 两点，求11PM QM+. 答案：(1)2:4C y x =,:310l x y --=；(2)1(1)根据曲线C 中的4222y t t t t ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,再结合22x t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭分析即可得C 的直角坐标方程.再根据极坐标的公式化简直线l 的极坐标即可.(2)将直线l 化简成直线的标准参数方程,再联立曲线C 的直角坐标方程,利用直线参数的几何意义,结合韦达定理求解即可. 解：(1)曲线C 的参数方程为2222444222x t x t t ty t y t t t ⎧⎛⎫⎧=-=+-⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=-=- ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩,因为0t >故22y t R t ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭,故曲线C 的直角坐标方程为24y x =.直线l 的直角坐标方程为310--=x y . (2)由(1),直线l 的斜率为13k =,设倾斜角为θ则cos θ==sin θ==.故直线l的标准参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 为参数). 联立抛物线24y x =有21041t ⎛= ⎝,整理得2400t --=. 12t t +=1240t t =-,1240t t -==.故12121211111t t PM QM t t t t -+=+==. 点评：本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标之间的化简,同时也考查了根据直线的参数方程的几何意义求解的问题.属于中档题. 23．已知a b ，为实数，且满足223412a b +≤.证明：（1）ab ≤ （2）24a b +≤.答案：(1)证明见解析；(2)证明见解析 (1)利用基本不等式证明即可. (2)利用三角换元证明即可. 解：(1)因为221234a b ≥+≥=,故12ab ≤⇒≤(2)由题,当223412a b +=,即22143a b +=时,设2cos ,a b θθ==.故22cos 4sin 46a b πθθθ⎛⎫+≤+=+≤ ⎪⎝⎭. 即24a b +≤,当且仅当3πθ=即31,2a b ==时取等号.点评：本题主要考查了基本不等式以及三角换元证明不等式的问题,属于中档题.。
安徽省马鞍山市2022届高三下学期第二次教学质量监测(二模)理科数学试题及答案
2022年高三第二次教学质量监测理科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B ．2．A ．3．D ．4．C ．5．C ．6．A ．7．B ．8．A ．9．C ．10．D ．11．B ．12．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．e ．14．180︒．15．78+．16．(0,2]．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
第22、23题为选考题，考生根据要求做答。
17．【解析】（1）成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计0.5，共50人，抽样比为110．（1分）所以成绩为“良好”的抽取130310⨯=人，成绩为“优秀”的抽取120210⨯=人．（3分）所以抽到的竞赛得分都是“优秀”的概率为2225110C P C ==．（5分）（2）由题意知，X 的可能取值0,1,2,3．（6分）由题可知，任意1名学生竞赛得分“优秀”的概率为12011005P ==，竞赛得分不是“优秀”的概率为21141155P P =-=-=．若以频率估计概率，则X 服从二项分布1(3,5B ．（7分）00331464(0)C ()()55125P X ===；11231448(1)C ()()55125P X ===；22131412(2)C ()()55125P X ===；3303141(3)()(55125P X C ===．所以X 的分布列为X 0123P271255412536125812513()355E X =⨯=．（12分）18．【解析】选①：（1）因为332AC CB ⋅=-u u u r u u u r ，所以33cos(π)2ab C -=-，又7a=，3b =，所以11cos 14C =，所以sin C =，所以1sin 2ABC S ab C ==△．（6分）（2）由余弦定理可得，2222cos 25c b a ab C =+-=，所以5c =．所以2221cos 22b c a A +-==-，由(0,π)A ∈，所以2π3A =．因为11sin sin 22224ABC A A S b AD c AD =⋅⋅+⋅⋅=△，所以158AD =．（12分）选②：（1）因为7a =，3b =，所以由正弦定理可得12cos 7sin 2cos 13sin A a A B b B-===-，所以sin 2sin cos 2sin cos sin B B A A B A -=-，sin sin 2sin cos 2sin cos 2sin A B B A A B C +=+=，由正弦定理可得2a b c +=，所以5c =，由余弦定理可得，2221cos 22b c a A +-==-，由(0,π)A ∈，所以2π3A =，所以1sin 2ABC S bc A ==△．（6分）（2）因为11sin sin 2222ABC A A S b AD c AD =⋅⋅+⋅⋅=△，所以158AD =．（12分）选③：（1）因为2sin 2A A =，所以22sin cos 222A A A =，由(0,π)A ∈，cos 02A >，所以tan 2A =2π3A =．由余弦定理可得，2221cos 22b c a A +-==-，5c =．所以1sin 24ABC S bc A ==△．（6分）（2）因为11sin sin 22224ABC A A S b AD c AD =⋅⋅+⋅⋅=△，所以158AD =．（12分）19．【解析】（1）取AD 中点N ，连接,NE NC ．因为ADE △是等腰三角形，所以EN AD ⊥，EN ==．因为平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE I 平面ABCD AD =，所以EN ⊥平面ABCD ，又因为CF ⊥平面ABCD ，所以EN CF ∥，又EN CF =，所以四边形ENCF 是平行四边形，所以EF NC ∥，又NC ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，所以EF ∥平面ABCD ．（6分）（2）连接BD 交AC 于O ，取AF 中点M ，连接OM ，所以OM CF ∥．因为CF ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ，因为,OA OB ⊂平面ABCD ，所以OM OA ⊥，OM OB ⊥，又因为四边形ABCD 是菱形，所以OA OB ⊥，所以,,OA OB OM 两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系，则A ，(0,2,0)B，(C -，(0,2,0)D -，1,0)N -，E -，(F -，(AF =-，(AE =-uu u r ．设平面AEF 的法向量为(,,)m x y z =u r ，则00AF m AE m y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩uuu r u r uu u r u r ，令1x =，得m =u r 又平面AFC 的法向量为(0,1,0)n =．设二面角E AF C --的大小为θ，则||cos 22||||m n m n θ⋅==⋅u r r u r r ，sin 22θ==．所以二面角E AF C --的正弦值为22．（12分）20．【解析】（1）联立直线:240l x y ++=与抛物线2:2(0)C y px p =>的方程得2480y py p ++=，由题意，2(4)480p p ∆=-⨯=，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =．（4分）（2）依题意设直线:20AB x y t ++=，与抛物线2:4C y x =的方程联立，得2840y y t ++=．由64160t ∆=->得4t <，由韦达定理可知，线段AB 的中点M 的纵坐标42A B M y y y +==-，横坐标28M M x y t t =--=-．由于点N 在x 轴上且2MP MN =u u u r u u u u r ，所以N 为线段PM 的中点，故4P M y y =-=，从而点P 的坐标为(4,4)，点N 的横坐标1222M P N x x t x +-==．于是，OPM △的面积1||||2422OPM P M S ON y y t =⋅-=-△，因为4t <，所以OPM △面积的取值范围是(16,)+∞．（12分）21．【解析】（1）21(1)()(1)1(1)1m x m f x x x x x--'=-=>-+++，令()0f x '=得1x m =-．因为0m >，所以11m ->-，当(1,1)x m ∈--时，()0f x '>；当(1,)x m ∈-+∞时，()0f x '<．故函数()f x 的单调增区间为(1,1)m --，单调减区间为(1,)m -+∞．（4分）（2）（i ）法一：因为{}n a 各项均为正整数，即1n a ≥，故112n n a a ≥+．于是2111121(2)2112n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a +++++-=-≥-++，又2112112n n n n a a a a +++-<+，所以121n n a a +-<，由题意12n n a a +-为整数，因此只能120n n a a +-=，即12n n a a +=．（8分）（i ）法二：由题，22111122111111212122222n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a +++++--<⇔<⇔--<-<+++，因为{}n a 各项均为正整数，即1n a ≥，故11022n a <≤，于是11(1,0)22n a --∈-且11(0,1)22n a +∈．由题意12n n a a +-为整数，因此只能120n n a a +-=，即12n n a a +=．（8分）（ii ）法一：由12a =，得2n n a =，11112n n n b a =-=-．原不等式532111115(1)(1(1e ln(1)22223n n k k -=⇔--->⇔->-∑L ．由（1）知1m =时，ln(1)(1)1x x x x +≥>-+，取12k x =-得11ln(1)221k k --≥-．因此只需证：11115ln(1)2213n n k k k k ==-≥->--∑∑，即证明115213n n k k S ==<-∑．记121k k c =-，则+1+1+1+1212111212222k k k k k k k kc c c c --=<=⇒<--．1513S =<；215133S =+<；当3n ≥时，1122222211(1)11153211222312n n n S c c c c c ---<+++++=+<-L ．故原不等式成立．（12分）（ii ）法二：由12a =，得2n n a =，11112n n nb a =-=-．原不等式532111115(1)(1(1e ln(1)22223n n k k -=⇔--->⇔->-∑L ．由（1）知1m =时，ln(1)(1)1x x x x +≥>-+，取12k x =-得11ln(1)221k k --≥-．因此只需证：11115ln(1)2213n n k k k k ==-≥->--∑∑，即证明115213n n k k S ==<-∑．1513S =<；215133S =+<；当3k ≥时，24k >，故4(21)32k k ->⋅，即1412132k k<⋅-．当3n ≥时，223311(1)414414451582132133233332312n n n n k k n k k S --==-=+<+=+⋅=-<-⋅-∑∑．故原不等式成立．（12分）（其它合理证明方法，请酌情给分）22．【解析】（1）曲线C 的极坐标方程：4sin 6cos ρθθ=-，得：24sin 6cos ρρθρθ=-，由222sin ,cos ,y x x y ρθρθρ===+，得曲线C 的直角坐标方程：22(3)(2)13x y ++-=．由直线l ：(32)(3)250m x m y m ++-++=，得：(32)2350x y m x y +++-+=，联立3202350x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得：1,1x y =-=，所以定点的极坐标为3π4．（5分）（2）由（1）得，曲线C ：22(3)(2)13x y ++-=，圆心(3,2)-，半径r =，由||6MN =，得圆心C 到直线l 的距离2d =．当直线l 的斜率不存在时，l :1x =-，经检验满足题意；当直线l 的斜率存在时，设:1(1)l y k x -=+，即：10kx y k -++=.32,4k ==，直线l 的方程为:3470x y -+=．所以，直线l 的方程：1x =-或3470x y -+=．（10分）23．【解析】（1）21,1()1,1325,3x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，故()3f x ≤解得，24x -≤≤，所以不等式的解集[2,4]M =-．（5分）（2）由（1）1m =，1111111114(11)(2)(22)1131131133b a a b a b a b a b +++=++++=++≥+=++++++，当且仅当1111b a a b ++=++时，即12a b ==时取等号．（10分）。
2020届安徽省马鞍山市高三测试数学（理）试题
2020届安徽省马鞍山市第二中学高三第二次阶段性素质测试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B ⋂=（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】先求出集合B 再求出交集. 【详解】21,x ≤∴11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B ⋂=-， 故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.2．设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】cos ,a b a b a b ⋅=⋅，由已知得cos ,1a b =，即,0a b =，//a b .而当//a b 时，,a b 还可能是π，此时a b a b ⋅=-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选A.【考点】充分必要条件、向量共线.3．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2xf x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2xf x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．4．平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是（ ） A ．250x y ++=或250x y +-= B ．250x y +=或250x y +-= C ．250x y -+=或250x y --= D ．250x y -+=或250x y -=【答案】A【解析】设所求直线为20x y c =＋＋， 由直线与圆相切得，22521c =+解得5c =±。
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【详解】
因为
AB 2BC 4,AD 1,AC AB
设AB中点M与CD中点N,因为VABC,VACD均为直角三角形 ,故M,N分别为1
VABC
【解析】 对A,根据极值点的性质辨析即可.
对B,举出反例判定即可.
对C,先求解f x的解析式 ,再求导代入x1即可.
对D,根据函数的图像性质辨析即可.
【详解】
对A,根据极值点的性质可知 ,若x0是f x的极值点 ,则f x00.故A正确.
2
对B,若f x x2,则满足f x是偶函数,但f x 2x是奇函数 .故B错误.
10．如图是某三棱柱的正视图，其上下底面为正三角形，则下列结论成立的是(
C．该三棱柱的表面积一定为12 2 3D．该三棱柱的体积一定为2 3【答案】D
【解析】 根据正视图可知底面正三角形的边长定为2,但不一定是正三棱柱 ,再分析即可
【详解】
注意到该三棱柱不一定为正三棱柱 ,也可能是斜三棱柱 ,故仅有体积为定值.
B．
6
3
2
5
C．
D．
3
6
【答案】
C
【解析】
根据|ar
rr
b|3 |arb|
3|ar|,分别平方再化简
,利用数量积的公式求解即可
0,
故选：C
点睛】
本题主要考查了平面向量的模长与数量积公式等的运用,需要根据题意化简得出模长与
夹角等的关系 .属于中档题.
6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）
A．4B．5
t
对
f ' x 4xln 4,f ' 1 4ln4,故C错误.
对D,如f x x在区间0,1上连续不断 ,但不存在最大值 ,故D错误.故选：A
【点睛】 本题主要考查了函数性质的综合辨析,属于基础题.
4．为抗战新冠病毒，社会各界积极捐赠医疗物资.爱心人士向某市捐赠了6箱相同规格
的医用外科口罩， 现需将这 6箱口罩分配给4家医院，每家医院至少 1箱，则不同的分 法共有（ ）
解析】 先求解z2根据复数的几何意义分析即可
详解】
故选：C
【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算以及几何意义运用,属于基础题 3．已知函数f x与它的导函数f x的定义域均为R，则下列命题中，正确的是 （）
A．若x0是f x的极值点，则f x00
2
C．若
D．若f x的图象在区间a,b连续不断，则f x在a,b上一定有最大值【答案】A
A．10种B．40种
C．80种D．240种
【答案】A
【解析】 分四家医院分配到的口罩箱数分别为 1,1,2,2与 1,1,1,3两种情况 ,分别计算再求 和即可.
【详解】
由题意,因为 6箱医用外科口罩的规格相同,故四家医院分配到的口罩箱数有1,1,2,2与
1,1,1,3两种情况 ,则分配的方法有：
11,1,2,2：从4家医院中选择两家 ,分别分配1 箱,共C426种.
C．6D．7
答案】D
解析】 根据程序框图的循环结构 ,依次计算输出结果即可
详解】
【点睛】 本题主要考查了根据程序框图写出输出结果的问题,属于基础题.
7．关于函数
①f (x)在区间[ , ]上是减函数；② f(x)的图象关于直线x对称；
4 2
3f (x)的图象关于点( ,0)对称；④ f (x)在区间[ , ]上的值域为[ 1,3].
342其中所有正确结论的个数是( )
A．1
B．2C．3Fra bibliotekD．4
【答案】
C
【解析】
先将f(x) cos2x 3sin
1 xcosx
2
利用降幂与辅助角公式化简 ,再根据三
角函数的图像与性质分别判断即可.
【详解】
f(x)
cos2x 3sin x cosx1
1
cos2x
3
sin2x sin
2x
2
2
2
6.
①当x
轴上方，点A( 3, 4)，若直线OA平分线段PF，则PAF的大小为( )
A．60B．90C．120D．无法确定
【答案】B
【解析】 设椭圆的上顶点为B 0,4,注意到A( 3,4)横坐标与F 3,0相等 ,纵坐标与
B 0,4相等.故分析可得P在上顶点B 0,4处,即可得PAF大小.
【详解】
设椭圆的上顶点为B 0,4,则因为A(3,4),F 3,0.故AF x轴,AB y轴.则四
值可能是( )
A．2018B．2019
C．
2020
D．2021
【答案】D
【解析】 根据二项展开式可知a 320,再分析
a
320的个位数即可.
【详解】
由题,a 1 C2102 C22022C23023L C2200
220
2020
1 220320,又b
a(mod10),故
a, b的个位数字相同.又a 320910815个位数字明显为1.
27
[ , ]时,2x,
,因为y
2
sin x在区间
,7
上为减函数.
4 2 6 3 6 3 6
故①正确.
确.
综上 ,①②④正确 故选：C
【点睛】
本题主要考查了三角函数的降幂与辅助角公式,同时考查了根据三角函数的性质 ,代入所
给条件判断对称轴 ,对称中心以及单调性和值域等是否成立的问题.属于中档题.
1
8．已知VABC外接圆面积为，cosA，则VABC周长的最大值为（ ）
2020
试题
一、单选题
1．已知
A．
【答案】B
【解析】根据指数不等式与二次不等式求解集合A,B再求并集即可.
【详解】
x2
A {x|2x1}x|x 0,B {x| x2x 20}x| x 1 x 2 0
x| 2 x 1
故选：B
【点睛】 本题主要考查了指数与二次不等式的求解以及并集的求解,属于基础题.
答案】C
边形ABOF为矩形 ,故当P在点B时满足直线OA平分线段PF.又设右焦点为N,因为OA平分线段FB与FN,故BN P AO.
故当直线OA平分线段PF时,P只能在直线PN上.又点P在椭圆C上且位于x轴上方 ,故当且仅当P在B时满足直线OA平分线段PF.
故PAF BAF 90 .
【点睛】
本题主要考查了的性质运用 ,需要根据题意画图 ,分析可得四边形ABOF为矩形 ,进而猜 测P为上顶点,再证明求解即可.属于中档题.
体积为3222 2 3.
4
故选：D
【点睛】
本题主要考查了根据正视图分析几何图形性质的问题,注意该几何体不一定是正三棱柱
属于基础题 11．设a,b,m Z,m0，若a和b被m除得的余数相同，则称
a b(modm)，已知a 1C2102C22022C23023LC2200220,ba(mod10)，则b的
2
A．
【答案】A
【解析】利用正弦定理可得a,再利用余弦定理结合基本不等式求解b c的最大值,进而
求得周长的最大值即可.
【详解】
等号.
故选：
点睛】 本题主要考查了解三角形中正余弦定理的应用以及基本不等式求边长之和的最大值问 题 ,属于中档题.
22
9．已知F为椭圆C:x y1的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上且位于x 25 16
1
21,1,1,3：从 4家医院选出 1家,分配给 3箱,共C144种.
共
故选：A
【点睛】
本题考查了分类求解组合的问题 ,需要注意 6箱医用外科口罩的规格相同,故只需考虑每
家医院所得的箱数
.属于基础题.
5．已知非零向量
r rra，b满足|a
br|3|arbr|3|ar|，
rr
则a与b的夹角为（）
A．