泛函分析复习重点
泛函分析知识点总结
泛函分析一,距离空间定义1.1.1设X是任一非空集合,对于X中的任意两点x,y,均有一个实数d(x,y)与它对应,且满足:1)d(x,y)≥0(非负性)2)d(x,y)=0当且仅当x=y(严格正)3)d(x,y)=d(y,x)4)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)(三角不等式)则称d(x,y)为X中的一个距离,定义了距离d的集合称为一个距离空间,记为(X,d),有时简记为X。
1.2设(X,d)是一个距离空间,X中的一个数列,存在X中的任意点,如果当n趋于无穷时,这个数列按照距离收敛到这个点,则称这个数列以这点收敛。
1.3d(x,y)是x,y的二元函数,若当存在一个x的数列收敛到x,存在一个y的数列收敛到y,则这个距离关于x,y的二元函数也收敛。
(利用三角不等式证明)2.1开球的定义(X,d)是一个距离空间,r>0,集合B(x0,r)={x∈X|d(x,x0)<r}则称以x0为中心,r为半径的开球。
有界集:称A为有界集,若存在一个开球,使得A属于这个开球。
内点:称x0为集合G的内点,若存在一个开球B(x0,r)属于G。
开集:称G为开集,若G中的每一个点都是它的内点。
闭集:开集的补集就是闭集。
(若用接触点定义闭集就是,A的接触点的全体称为A的闭包,也就是闭集。
)闭集的等价条件是这个集合中的收敛点列收敛到这个集合中的元素。
全空间和空集即使开集也是闭集。
任意个开集的并是开集,有限个开集的交是开集。
任意个闭集的交是闭集,有限个闭集的并是闭集。
等价距离:两个距离空间称为等价距离,如果它们之间可以互相表示。
连续映射:在两个距离空间之间存在一个映射:T,称T为连续映射。
若在定义域的距离空间中存在一个开集,经过映射T,在另一个距离空间定义的距离下是任意小的。
映射T是连续的等价于值域里的开集的原像仍然是开集。
接触点:点x0称为A的接触点,若存在一个x0的开球与A的交不为空集。
(点x0可以属于A,也可以不属于A)聚点:点x0称为点A的聚点,若存在点x0的任意一个开球与A\{x0}的交不为空集。
泛函分析期末复习提要
泛函分析期末复习提要一、距离空间与拓扑空间(一)教学内容1. 距离空间的基本概念：定义与例子、收敛性、距离空间的连续映射与等距。
2. 距离空间中的点集：开集与闭集、稠密子集，可分距离空间。
3. 完备距离空间：Cauchy 列，完备性、闭球套定理、纲，纲定理、距离空间完备化。
4. 压缩映射原理：不动点，压缩映射原理、压缩原理的一些应用。
5．拓扑空间的基本概：拓扑空间的定义、拓扑基、拓扑空间中的连续映射，同胚、分离公理。
6．紧性和距离空间的紧性：紧性的概念、紧空间的连续映射。
7．距离空间的紧性：列紧集，全有界集、Arzela 定理。
重点 掌握距离空间的基本概念、 距离空间中的点集、 完备距离空间、 压缩映射原理、拓扑空间的基本概念、紧性和距离空间的紧性。
难点 完备距离空间、 压缩映射原理。
(二)教学基本要求1.理解距离空间、距离空间中的点集等基本概念。
2.了解完备距离空间的概念，掌握压缩映射原理的证明。
3.理解拓扑空间的基本概念及其运算性质。
二、赋范线性空间(一)教学内容1. 赋范空间的基本概念：赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例。
2. 空间)1(≥p L p：Holder 不等式与Minkowski 不等式、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞。
3. 赋范空间进一步的性质：赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
4. 有穷维赋范空间。
重点 赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例、Holder 不等式与Minkowski 不等式、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞、赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
难点 Holder 不等式与Minkowski 不等式、赋范空间的完备化、空间)1)((≥p E L p 、空间)(E L ∞。
泛函分析复习与总结
泛函分析复习与总结泛函分析是数学中的一个重要分支，是研究无限维空间上的函数和线性算子的学科。
它的研究对象不再是有限维线性空间上的向量，而是函数或者函数空间，包括无限维的函数空间。
泛函分析在数学中有着广泛的应用，例如在微分方程的理论研究中，泛函分析有助于研究解的连续性、唯一性和存在性等问题；在概率理论中，泛函分析有助于研究随机过程的性质等。
下面将对泛函分析的重要内容进行复习和总结。
1.线性空间与拓扑空间线性空间是指具有线性结构的集合，泛函分析研究的对象就是线性空间上的函数或者函数空间。
拓扑空间是指在集合中引入一个拓扑结构，使得可以定义连续性和收敛性等概念。
泛函分析的研究对象通常是拓扑线性空间，即同时具有线性结构和拓扑结构的空间。
2.赋范空间与完备空间赋范空间是指在线性空间上定义了一个范数（或称规范），从而使得该空间成为一个度量空间。
范数的引入使得我们可以定义距离，并且可以定义收敛性。
完备空间是指其中的Cauchy列总是收敛于该空间中的点。
泛函分析中，赋范空间和完备空间是重要的概念，在研究函数的连续性和收敛性时起到了关键的作用。
3.内积空间与希尔伯特空间内积空间是指在线性空间上定义了一个内积，从而可以定义长度和夹角。
希尔伯特空间是指满足内积空间中所有Cauchy列都收敛于该空间中的点的空间。
内积空间和希尔伯特空间在泛函分析中具有重要的作用，特别是在研究函数的正交性和投影等问题时。
4.线性算子与连续算子线性算子是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射。
连续算子是指在拓扑空间上保持连续性的线性算子。
泛函分析中，线性算子和连续算子是重要的研究对象，它们可以用来描述函数之间的关系和映射。
5. Banach空间与可分空间Banach空间是指在完备的范数空间上定义了一个范数，从而构成一个完备空间。
可分空间是指线性空间中存在可数稠密子集的空间。
Banach空间和可分空间是泛函分析中重要的类别，它们在研究最优性，特别是最优解的存在性和表示性时起到了关键的作用。
泛函分析知识总结
泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
《应用泛函分析》前四章重点复习大纲
《应用泛函分析》前四章重点复习大纲1第1章预备知识1.1集合的一般知识1.1.1概念、集合的运算上限集、上极限下限集、下极限1.1.2映射与逆映射1.1.3可列集可列集集合的对等关系~（定义1.1）1.2实数集的基本结构1.2.1建立实数的原则及实数的序关系阿基米德有序域（定义1.4）1.2.2确界与确界原理上确界sup E（定义1.5）下确界inf E确界原理（定理1.7）1.2.3实数集的度量结构数列极限与函数极限单调有界原理区间套定理Bolzano-Weierstrass定理Heine-Bore定理Cauchy收敛准则1.3函数列及函数项技术的收敛性1.3.1函数的连续性与一致连续函数的一致连续性（定义1.10）1.3.2函数列和函数项级数的一致收敛逐点收敛（定义1.11）一致收敛（定义1.12）Weierstrass M-判别法（定理1.15）1.3.3一致收敛的性质极限与积分可交换次序1.4 Lebesgue积分1.4.1一维点集的测度开集、闭集有界开集、闭集的测度m G m F外测度内测度可测集（定义1.16）1.4.2可测函数简单函数（定义1.18）零测度集按测度收敛1.4.3 Lebesgue积分有界可测集上的Lebesgue积分Levi引理Lebesgue控制收敛定理（性质1.9）R可积、L可积1.4.4 Rn空间上的Lebesgue定理1.5 空间Lp空间（定义1.28）Holder不等式Minkowski不等式（性质1.16）2第2章度量空间与赋范线性空间2.1度量空间的基本概念2.1.1距离空间度量函数度量空间（X，ρ）2.1.2距离空间中点列的收敛性点列一致收敛按度量收敛2.2度量空间中的开、闭集与连续映射2.2.1度量空间中的开集、闭集开球、闭球内点、外点、边界点、聚点开集、闭集2.2.2度量空间上的连续映射度量空间中的连续映射（定义2.7）同胚映射2.3度量空间中的可分性、完备性与列紧性2.3.1度量空间的可分性稠密子集（定义2.9）可分性2.3.2度量空间的完备性度量空间中Cauchy列（定义2.11）完备性完备子空间距离空间中的闭球套定理（定理2.9）闭球套半径趋于零，则闭球的交为2.3.3度量空间的列紧性列紧集、紧集（定义2.13）全有界集2.4 Banach压缩映射原理压缩映像不动点Banach压缩映射原理（定理2.16）2.4.1应用隐函数存在性定理（例2.31）2.5 线性空间2.5.1线性空间的定义线性空间（定义2.17）维数与基、直和2.5.2线性算子与线性泛函线性算子线性泛函（定义2.18）零空间ker(T)与值域空间R(T) 2.6 赋范线性空间2.6.1赋范线性空间的定义及例子赋范线性空间Banach空间（定义2.20）2.6.2赋范线性空间的性质收敛性——一致收敛绝对收敛连续性与有界性2.6.3有限维赋范线性空间N维实赋范线性空间3Riesz定理（引理2.2）第3章连续线性算子与连续线性泛函3.1连续线性算子与有界线性算子算子、线性算子、泛函、线性泛函线性算子连续←→有界有解线性算子的范数（定义3.3）有界线性算子空间L(X, Y)L(X, Y)的完备性3.2共鸣定理及其应用有界线性算子列的一致收敛、强收敛稀疏集、第一纲Baire纲定理算子列的一致有界原理（定理3.8）算子范数的有界→强收敛3.3 Hahn-Banach定理次可加正齐次泛函Hahn-Banach定理（定理3.12）Banach保范延拓定理（定理3.14）3.4共轭空间与共轭算子3.4.1共轭空间共轭空间（注定理3.6 p.93）嵌入子空间、等距同构（定义3.7）自反空间（定义3.8）嵌入算子（定理3.15）弱收敛点列（定义3.9）共轭空间上泛函的收敛（定义3.10）线性算子列弱收敛3.4.2共轭算子共轭算子（定义3.12）共轭算子的性质3.5开映射、逆算子及闭图像定理逆算子的有界性开映射Banach开映射定理Banach逆算子定理乘积赋范线性空间闭图像闭算子闭图像定理→算子连续3.6算子谱理论简介复Banach 空间线性算子的正则点谱点：特征值、连续谱、剩余谱正则集——开集谱——有界闭集谱半径（定义3.17）全连续算子（定义3.18）Riesz-Schauder定理4第4章内积空间4.1基本概念内积空间Schwaraz不等式内积空间 Hilbert空间4.2内积空间中元素的直交与直交分解4.2.1直交及其性质直交、直交补（定义4.2）直交投影最佳逼近元极小化向量定理（定理4.2）4.2.2投影定理投影定理（定理4.3）直交分解4.3直交系标准直交系元素x 关于的Fourier级数（定义4.6）Bessel不等式（定理4.5）标准直交系是完全的（定义4.7）Parseval等式（定理4.7）Gram-Schmidt标准正交化法4.4 Hilbert空间上的有界线性泛函4.4.1 Riesz定理Riesz定理4.4.2Hilbert空间上的共轭算子共轭算子（定义4.8）共轭算子的性质4.5自共轭算子自共轭算子（定理4.13）4.6投影算子、正算子和酉算子投影算子（定义4.10）投影算子<->自共轭算子<->幂等算子（定理4.19）正算子（定义4.11）平方根算子（定理4.21）酉算子（定理4.22）。
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泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。
本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。
一、 度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推 广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。
1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。
（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。
这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。
⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。
⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。
为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。
⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。
上海市考研数学四十三复习资料泛函分析(统考)重点梳理与案例分析
上海市考研数学四十三复习资料泛函分析（统考）重点梳理与案例分析一、泛函分析概述泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的对象是函数的推广，即泛函。
泛函分析在数学理论和实际应用中都具有广泛的意义。
在上海市考研数学四十三中，泛函分析作为一门必修课程，对于考生来说是一个具有较高难度和重要性的知识点。
下面将从重点概念、定理与证明、重要案例等几个方面进行梳理与分析。
二、重点概念1. Banach空间与Hilbert空间Banach空间是一个完备的赋范向量空间，满足了度量空间的完备性和线性空间的结构特点。
Hilbert空间是一个内积空间，具有完备性和正交性的性质，是泛函分析中较为重要的空间。
根据Banach空间和Hilbert空间的特点，可以推导出许多重要的定理和结论。
2. 连续性与可测性在泛函分析中，连续性和可测性是两个重要概念。
连续性是指函数在某个点附近变化不大，可测性是指函数在某个测度空间上的可观测性。
这两个概念在泛函分析中应用广泛，对于理解和证明定理具有重要意义。
3. 紧算子与谱分析紧算子是泛函分析中一个重要的概念，它具有正规性和有界性。
谱分析是研究算子特征值和特征向量的理论，包括有界线性算子、紧算子和自伴算子等。
这些概念在泛函分析的定理与证明中具有重要作用。
三、定理与证明1. Hahn-Banach定理Hahn-Banach定理是泛函分析中的一大重要定理，它是推广了线性泛函的存在性和唯一性的定理。
定理的证明通常采用分离集和有限子集的方法，通过构造一个满足条件的线性泛函来证明存在性。
这个定理的应用十分广泛，是泛函分析中必须掌握的内容之一。
2. Banach-Steinhaus定理Banach-Steinhaus定理是推广了一致有界原理的定理。
在定理的证明中，一般采用Baire范畴定理和Baire范畴性质来证明。
这个定理的应用范围广泛，例如在泛函分析中的均一化原理和有界线性算子定理中都有应用。
3. 开放映射定理与闭图像定理开放映射定理和闭图像定理都是泛函分析中的重要定理，它们分别给出了开映射和闭图像的条件和性质。
应用泛涵 复习知识点
复习知识点一、概念(1线性有界算子空间(2)闭算子(与有界线性算子关系)(3)不动点(4)压缩映射(5)Cauchy列或者基本列；(6)度量空间或者距离空间；(7)完备的度量空间；(8)可分的度量空间(离散度量空间)；(9)稠密的定义；(10)列紧集，紧集(n R中紧集如何？)；(11)全有界集；(12)连续映射；(13)线性赋范空间；(14)内积空间；(15)线性独立系；(16)希尔伯特空间；(17)巴拿赫空间；(18)标准正交系；(19)完全标准正交系；(20)线性泛函，线性算子(21)线性连续，线性有界(22)傅立叶级数；(23)等价的范数(有限维空间)；(24)线性等距同构；(25)正交补；(26)共轭空间二、定理与结论(1)有界性与连续性* P82定理4.1.2；(2)Riesz表示定理* P89定理4.1.4；(3)线性算子有界性与连续性* P99定理4.3.2；(4)极限的性质P38定理2.1.1；(5)连续的充要条件P42定理2.1.5；(6)基本列的性质* P45定理2.2.3；(7)列紧集的性质P50定理2.3.1；(8)最大值最小值定理P51定理2.3.3；(9)全有界集的性质P52定理2.3.4；(10)闭球套定理P48定理2.2.6；(11)线性赋范空间极限* P59定理3.1.1；(12)范数等价的充要条件* P62定理3.2.2；(13)列紧充要条件P63定理3.2.4；(14)Schwarz不等式* P66引理3.3.1；(15)线性赋范空间成为内积空间的充要条件P67定理3.3.1；(16)勾股定理* P68定理3.3.2；(17)Banach不动点定理* P133定理5.1.1及推论5.1.1，5.1.2；(18)投影定理P69定理3.3.3；(19)正交化定理P71定理3.4.1；(20)最佳逼近定理* P73定理3.4.3；(21)傅立叶级数收敛的充要条件* P75定理3.4.5；(22)正交系完全的充要条件P75定理3.4.6；三、习题布置的作业考试命题基本原则基础题60分左右；中等题25分左右；稍难10分左右；综合5分左右。
应用泛函分析复习小结精讲
应用泛函分析复习小结精讲第一章实分析概要本章将简要的介绍数学分析与实变函数的一些基础知识，特别是点集的勒贝格测度与勒贝格积分理论。
这些知识不仅是学习泛函分析的必要准备，而且在数学及其它学科中有直接的应用。
第一节集合及其运算第二节实数的完备性第三节可数集与不可数集第四节直线上的点集与连续函数第五节点集的勒贝格测度与可测函数1第六节勒贝格积分第一节集合及其运算1）A∪A=A,A∩A=A;2）A∪ Φ=A,A∩ Φ=Φ；3）若A?B，则A∪B=B,A∩B=A,A\B=Φ；4) 设X为基本集，则A ∪ A C= X , A ∩ A C=Φ, ( A C)C= A, A \B = A ∩ B C又若A?B，则A C?B C。
集合的运算法则：2交换律A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A ；结合律( A∪B) ∪C=A∪ (B∪C) =A∪B∪C；( A∩B) ∩C=A∩ (B∩C) =A∩B∩C；分配律( A∪B) ∩C= ( A∩C) ∪ (B∩C) ；( A∩B) ∪C= ( A∪C) ∩ (B∪C) ；( A \ B) ∩C= ( A∩C) \ (B∩C) .定理 1.1 设X为基本集，Aα为任意集组，则1) ( U Aα )C=I ( Aα )C (1.6)α∈I α∈I2) ( I Aα )C=U ( Aα )C (1.7)α∈I α∈IA \ ( A \ B)= A I B3第二节实数的完备性2.1有理数的稠密性2.2实数的完备性定理定义 2.1(闭区间套)设{[a n,b n]}(n=1,2,L, )是一列闭区间，a n1）渐缩性，即[a1,b1]?[a2,b2]?L?[a n,b n]?L;2) 区间长度数列{b n?a n }趋于零，即lim(b n?a n)=0n→∞4定理 2.1 (区间套定理)设{[a n,b n]}为实数轴上的任一闭区间套，其中a n与b n都是实数，那么存在唯一的一个实数ξ属∞于一切闭区间[a n,b n](n=1,2,L)，即ξ∈ ∩[a n,b n]，并且n=1lim a n= lim b n=ξn→∞n→∞利用区间套定理，可以直接推出所谓的列紧性定理（定理 2.2），这个定理的名称的含义在第二章中解释。
泛函分析复习与总结汇编
泛函分析复习与总结汇编泛函分析是数学中的一个重要分支，它研究的是无穷维空间中的函数和函数空间的性质。
泛函分析具有很强的抽象性和广泛的应用性，在数学和物理学中都有着重要的地位。
本文将对泛函分析的基本概念、定理与应用进行复习与总结。
一、基本概念1.线性空间与赋范线性空间：线性空间是指满足线性运算规则的集合，包括实数域上的向量空间和复数域上的向量空间。
赋范线性空间是在线性空间的基础上，引入了范数的概念，即给每个向量赋予一个非负实数，满足非负性、齐次性和三角不等式等性质。
2.内积空间与希尔伯特空间：内积空间是在赋范线性空间的基础上，引入了内积的概念，即给每一对向量赋予一个复数，满足线性性、共轭对称性和正定性等性质。
希尔伯特空间是一个完备的内积空间，即内积空间中的柯西序列收敛于该空间中的元素。
3.函数空间：函数空间是指由特定性质的函数组成的集合，常见的函数空间有连续函数空间、可微函数空间和L^p空间等。
二、定理与性质1.希尔伯特空间的性质：希尔伯特空间是一个完备的内积空间，任意一序列收敛于希尔伯特空间中的元素，该序列收敛于该元素的充分必要条件是该序列的柯西序列。
2. Riesz表示定理：Riesz表示定理是希尔伯特空间的一个重要定理，它指出了希尔伯特空间中的任意线性连续泛函都可以由内积表示。
具体地说，对于希尔伯特空间中的任意线性连续泛函f，存在唯一的y∈H，使得对于所有的x∈H，有f(x)=(x,y)。
3.泛函分析的基本算子理论：算子是泛函分析中的一个重要概念，它用来描述线性变换的性质。
常见的算子包括线性算子、连续算子和紧算子等。
4.开放映射定理：开放映射定理是泛函分析中的一个重要定理，它指出了一个连续算子的开集的像还是开集。
具体地说，如果X和Y是两个赋范线性空间，并且T:X→Y是一个连续线性算子，如果T是开映射，则其像T(X)也是Y中的开集。
三、应用泛函分析在数学和物理学的各个领域都有重要的应用，包括偏微分方程、最优控制理论和量子力学等。
泛函分析知识点总结
泛函分析知识点总结1.Baire定理定理（Baire纲定理）完备的距离空间是第⼆类型集。
解释：完备的距离空间(X,d)，∀x∈X都是内点，因为X在X中是开集。
⼀个⽆处稠密（nowhere dense）的集合就是闭包不含内点的集合不会是整个X，即X不是第⼀类型集，所以只能是第⼆类型集。
注：完备的距离空间是第⼆类型集，那么它的闭包⾄少存在⼀个内点。
这个经常被⽤来证明。
例如，开映射定理、闭图像定理等。
2. 闭包和导集的区别根据定义，集合的闭包是集合的导集和集合的并。
导集是集合所有聚点组成的集合，不包含孤⽴点。
所以闭包是集合导集和孤⽴点组成的集合。
3.闭集在度量空间中，如果⼀个集合所有的极限点都是这个集合中的点，那么这个集合是闭集。
4.不动点定理压缩映射：设(X,d)是距离空间，T是X到X的映射，如果存在⼀个常数θ(0≤θ<1)，对于所有的x,y∈X，满⾜下述不等式：d(Tx,Ty)<θd(x,y)则称T是X上的⼀个压缩映射。
不动点定理：设X是完备的距离空间，T是X到X的压缩映射，则T在X上有唯⼀的不动点x∗.即Tx∗=x∗是⽅程Tx=x在X上的唯⼀解。
5.施密特正交化将⼀个线性⽆关的集合{x n}进⾏施密特正交化。
e1=x1 ||x1||e2=x2−<x2,e1>e1 ||x2−<x2,e1>e1||e j+1=x j+1−j∑k=1<x j+1,e k>e k ||x j+1−j∑k=1<x j+1,e k>e k||注：本质上说就是让x j+1减去其在e k,k=0,…,j上的分量，就正交化了。
然后再除以对应范数，进⾏单位化。
6.Hilbert空间的同构n为的实（复）Hilbert空间与R n(C n)同构。
（保距离，保线性，保范数，保内积）⽆限维可分Hilbert空间与l2空间（L2[0,1]）等距同构。
7.算⼦的连续性和有界性连续性：对于X中的任何收敛于x0的点列{x n}，恒有Tx n→Tx0,n→=∞有界性：存在正常数M，使得对⼀切x∈X，有||Tx||≤M||x||⼀点连续，则处处连续：设X和Y是数域\textbf{F}上的线性赋范空间，T:X→Y是⼀个线性算⼦。
泛函分析课程重点
泛函分析单元知识总结与知识应用数学与计算科学学院 数学与应用数学 一、单元知识总结第七章、 度量空间和赋范线性空间§1 度量空间§1.1定义：若X 是一个非空集合，:d X X R ⨯→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ∀∈，有（1）(,)0d x y =当且仅当xy =；（2）(,)(,)d x y d y x =； （3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+，则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。
例：1、设X 是一个非空集合，,x y X ∀∈，当1,(,)0,=x y d x y x y ≠⎧=⎨⎩当当，则(,)X d 为离散的度量空间。
2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i i i i d x y ξηξη∞=∑是度量空间 3、有界函数全体()B A ，(,)sup|(t)-(t)|t Ad x y x y ∈=是度量空间4、连续函数[a,b]C ，(,)max|(t)-(t)|a t bd x y x y ≤≤=是度量空间 5、空间2l ，122=1(,)[(-)]k k i d x y y x ∞=∑是度量空间§2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间§2.1收敛点列：设{}n x 是(,)X d 中点列，如果∃x X ∈，使n lim (,)=0n d x x →∞，则称点列{}n x 是(,)X d 中的收敛点列。
例：1、n n x R ∈，{}n x 按欧氏距离收敛于x 的充要条件为1,i n ∀≤≤各点列依分量收敛。
2、[a,b]C 中(,)0k d x y x x →⇔→（一致）3、可测函数空间()M X 中点列(,)0n n d f f f f →⇔⇒（依测度） §3 连续映射§3.1对0Tx 的每个ε-领域U ，必有0x 的某个δ-领域V 是TV U ⊂,其中TV 表示V 在映射T 作用下的像。
泛函分析复习与总结
《泛函分析》复习与总结第一部分 空间及其性质泛函分析的主要内容分为空间和算子两大部分. 空间包括泛函分析所学过的各种抽象空间, 函数空间, 向量空间等, 也包括空间的性质, 例如完备性, 紧性, 线性性质, 空间中集合的各种性质等等。
以下几点是对第一部分内容的归纳和总结。
一．空间（1）距离空间 （集合+距离）！验证距离的三个条件：(,)X ρ称为是距离空间，如果对于,,x y z X ∈(i) 【非负性】(,)0x y ρ≥，并且(,)0x y ρ=当且仅当x y =【正定性】；(ii) 【对称性】(,)(,)x y y x ρρ=；(iii) 【三角不等式】(,)(,)(,)x y x y y z ρρρ≤+。
距离空间的典型代表：s 空间、S 空间、所有的赋范线性空间、所有的内积空间。
（2）赋范线性空间 （线性空间 + 范数）！验证范数的三个条件：(,||||)X ⋅称为是赋范线性空间，如果X是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,x y X ∈，成立(i) 【非负性】||||0x ≥，并且||||0x =当且仅当0x =【正定性】； (ii) 【齐次性】||||||||||ax a x =⋅；(iii) 【三角不等式】||||||||||||x y x y +≤+。
赋范线性空间的典型代表：n ¡空间（1,2,3,n =L ）、n £空间（1,2,3,n =L ）、p l 空间（1p ≤≤∞）、([,])p L ab 空间（1p ≤≤∞）、[,]Cab 空间、[,]k C a b 空间、Banach 空间、所有的内积空间（范数是由内积导出的范数）。
（3）内积空间 （线性空间 + 内积）！验证内积的四个条件：(,(,))X ⋅⋅称为是内积空间，如果X 是数域K =¡（或K =£）上的线性空间，对于a K ∈和,,x y z X ∈，成立(i) 【非负性】(,)0x x ≥，并且(,)0x x =当且仅当0x =【正定性】；(ii) 【第一变元可加性】(,)(,)(,)x y z x z x z +=+；(iii) 【第一变元齐次性】(,)(,)ax z a x z =；(iv) 【共轭对称性】(,)(,)x z z x =。
泛函分析知识总结汇总
泛函分析知识总结汇总
一、函数的概念
函数是把特定的输入映射到特定的输出的规律。
常用的函数有：实数
函数、复数函数、多元函数和函数序列等。
二、函数的极限
极限是指当自变量的值向其中一数趋近时，函数的值向另一数趋近。
极限可以用来推导函数的行为，它也对定义微积分有着重要的意义。
三、函数的微分
微分是指将函数的变量的值变化一点点，函数值也发生一点点的变化。
微分是运用微积分最基本的操作，也是后续科学研究的基础。
四、函数的积分
积分是指将函数的不断变化的变量值，加以积分，求出函数的总积分，又称为定积分。
在实际应用中，经常使用积分来解决一些问题，如了解随
机变量的概率分布、求参数方程的解等。
五、函数的反函数
反函数就是由变量x的函数f(x)的一个变量y取得，满足条件
f(x)=y的一个函数。
反函数也是函数的一种，它的研究也是微积分的重
要内容之一
六、函数的条件积分
条件积分是指由两变量函数给定的函数在满足其中一种条件的情况下，确定它的积分。
在现实应用中，条件积分也是常用的一种积分方法，用以
求解参数方程的解等。
七、函数的级数
级数是由一系列的数序列组成的，并且它们满足其中一特定的规律。
泛函分析复习提要
泛函分析复习提要一、填空1. 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，如果 ，则称集M 在集E 中稠密。
如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是 空间。
2. 设X 是度量空间， M 是X 中子集，若 ，则称M 是第一纲集。
3. 设T 为复Hilbert 空间X 上的有界线性算子，若对任何x X ∈，有*Tx T x =，则T 为 算子。
( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是正常算子的充要条件是 。
) 4. 若复Hilbert 空间X 上有界线性算子T 满足对一切x X ∈，,Tx x <>是实数，则T 为 算子。
( Hilbert 空间H 上的有界线性算子T 是自伴算子的充要条件是 。
)5.设X 是赋范线性空间，X '是X 的共轭空间，泛函列(1,2,)n f X n '∈=，如果存在f X '∈，使得对任意的x X ∈，都有 ，则称{}n f 弱*收敛于f 。
6. 设,X Y 是赋范线性空间，(,)n T B X Y ∈，1,2,n =，若存在(,)T B X Y ∈使得对任意的x X ∈，有 ，则称{}n T 强收敛于T 。
7. 完备的赋范线性空间称为 空间，完备的内积空间称为 空间8. 赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 上的有界线性算子T 的范数T =9. 设X 是内积空间，则称 是由内积导出的范数。
10.设X 是赋范空间，X 的范数是由内积引出的充要条件是 。
11. 设Y 是Hilbert 空间的闭子空间，则Y 与Y ⊥⊥满足 。
12.设X 是赋范空间，:()T D T X X ⊂→的线性算子，当T 满足 时，则T 是闭算子。
二、叙述下列定义及定理1. 里斯（Riesz ）定理；2. 实空间上的汉恩-巴拿赫泛函延拓定理；3. 一致有界性定理（共鸣定理）；4. 逆算子定理；5. 闭图像定理6. Banach 压缩映象原理7. 内积空间8. 赋范线性空间三、判断题1. 距离空间中的收敛点列必是柯西点列.2. 距离空间中两个不相交的闭集的距离一定大于零.3. 柯西点列是有界点列.4.赋范线性空间上的范数一定可以由内积导出.5.设T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 的线性算子,若T 的零空间是闭集,则T 一定有界.6.赋范线性空间的共轭空间是Banach 空间.7.Hilbert 空间中任一非空子集的正交补必是闭线性子空间.8.在赋范线性空间中，弱收敛的点列必定强收敛.9.任一非零Hilbert 空间都有完全规范正交系.10. 疏朗集没有内点.11.赋范线性空间上的连续线性泛函一定有界.12. Hilbert 空间上的自伴算子必为正常算子.13. 度量空间中的单点集是疏朗集.四、证明题1. Hilbert 空间X 中的正交投影算子为有界线性算子。
山东省考研数学复习资料复分析与泛函分析重点知识点
山东省考研数学复习资料复分析与泛函分析重点知识点山东省考研数学复习资料：复分析与泛函分析重点知识点复分析是数学中一门重要的分支学科，它研究的是复数域上的函数，是实分析的拓展和一般化。
泛函分析则是研究函数空间以及这些空间上的线性算子的数学理论和方法。
在山东省考研数学复习中，复分析与泛函分析是考生们需要着重掌握的考点。
本文将为大家整理总结复分析与泛函分析的重点知识点，希望能对广大考生的复习备考有所帮助。
一、复分析的重点知识点1. 复数与复变函数复数的定义及运算规则，复平面及其表示方法，复变函数的极限、连续性和导数等基本概念。
2. 级数与幂级数复数级数的收敛与发散判定方法，常见级数的性质，幂级数的收敛域及其收敛半径的计算方法。
3. 解析函数与调和函数解析函数的定义及性质，调和函数的定义及性质，调和函数的调和性质和最大模原理。
4. 牛顿－莱布尼茨公式与柯西定理牛顿－莱布尼茨公式的证明及应用，柯西定理及柯西积分公式的应用。
5. 解析函数的展开与留数定理解析函数的泰勒展开、幂级数展开和洛朗展开，留数定理及留数的计算方法。
6. 解析函数的全纯性与辐角原理全纯函数的定义及性质，辐角原理及其应用，全纯函数的最大模原理。
7. 积分变换与解析函数的性质拉普拉斯变换、傅里叶变换的定义与性质，解析函数的唯一性定理及其应用。
二、泛函分析的重点知识点1. 数学分析回顾度量空间、赋范空间、内积空间和希尔伯特空间的定义及性质，开集、闭集、紧集、连通集的概念与性质。
2. 巴拿赫空间与算子巴拿赫空间的定义及性质，完备性定理，线性算子的定义及性质，算子的范数及算子空间的性质。
3. 正交性与正交变换正交性的概念及正交集、正交基和正交补空间的定义与性质，正交变换的定义及性质。
4. 内积空间的正交投影与最小二乘逼近内积空间中的正交投影与投影定理，最小二乘逼近的定义及性质。
5. 可分希尔伯特空间与自伴算子可分希尔伯特空间的定义及性质，自伴算子的定义及性质，谱定理与谱分解。
数学考研泛函分析重点复习
数学考研泛函分析重点复习泛函分析是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。
对于数学考研来说，泛函分析是一个重要的考点，考生需要充分理解泛函分析的概念和定理，并能够熟练运用相关的数学工具和方法。
本文将重点介绍数学考研泛函分析的复习内容，以帮助考生们取得好的考试成绩。
一、范数空间和内积空间范数空间和内积空间是泛函分析的基础概念，考生需要了解其定义和性质。
范数空间是一个线性空间，配备了一个范数函数，满足非负性、齐次性和三角不等式等性质。
内积空间是一个线性空间，配备了一个内积函数，满足对称性、线性性和正定性等性质。
在复习中，考生需要掌握范数空间和内积空间的典型例子，如欧氏空间、连续函数空间和离散函数空间等。
此外，还需要了解不同范数之间的关系，如等价范数和共轭空间等概念。
二、线性算子和算子的谱线性算子是泛函分析中的重要概念，它是一个从一个线性空间到另一个线性空间的映射。
考生需要了解线性算子的定义和性质，包括线性性、有界性和紧性等方面。
此外，还需要学习算子的特征值和特征向量的概念，以及线性算子的谱半径和谱半径公式等内容。
在复习中，考生需要重点掌握线性算子的几个典型例子，如恒等算子、零算子和正规算子等。
此外，还需要了解算子的谱分解定理和函数解析表示定理等重要定理。
三、泛函分析的基本定理泛函分析中有一些重要的基本定理，这些定理被广泛应用于实际问题的求解中。
在复习中，考生需要重点学习这些基本定理的内容和证明过程。
其中，哈尔滨预测系数定理是泛函分析中的经典定理之一，它是关于具有最佳逼近性质的问题。
考生需要了解哈尔滨预测系数定理的条件和结论，并能够应用该定理解决具体问题。
此外，邓庄子定理和泛函分析的反射原理也是泛函分析中的重要定理。
考生需要了解这两个定理的内容和证明过程，并能够应用于实际问题的求解中。
四、弱收敛和弱*收敛弱收敛和弱*收敛是泛函分析中的重要概念，用于描述函数序列或算子序列的收敛性质。
泛函分析部分知识点汇总
度量空间：把距离概念抽象化，对某些一般的集合引进点和点之间的距离，使之成为距离空间，这将是深入研究极限过程的一个有效步骤。
泛函分析中要处理的度量空间，是带有某些代数结构的度量空间，例如赋范线性空间，就是一种带有线性结构的度量空间。
一、度量空间的进一步例子1、度量空间设x 是一个集合，若对于x 中任意两个元素x,y ,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°的充要条件为x=y 2°对任意的z 都成立， 则称 d(x,y) 是 x,y 之间的距离，称 d(x,y)为度量空间或距离空间。
x 中的元素称为点。
2、常见的度量空间（1）离散的度量空间 设 x 是任意的非空集合，对 x 中的任意两点 ，令 称为离散的度量空间。
（2）序列空间S令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中的任意两点令 称 为序列空间。
（3）有界函数空间B(A ）设A 是一个给定的集合，令B(A)表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B(A)中任意两点x,y ，定义（4）可测函数空间设M(X)为X 上实值（或复值）的勒贝格可测函数全体，m 为勒贝格测度，若 ，对任意两个可测函数 及 由于 ，所以这是X 上的可积函数。
令 （5）C[a,b]空间令C[a,b] 表示闭区间[a,b]上实值（或复值）连续函数全体，对 C[a,b]中任意两点x,y ，定义二、度量空间中的极限、稠密集、可分空间1、收敛点列设 是（X ，d ）中点列，如果存在 ，使 则称点列是（X ，d ） 中的收敛点列，x 是点列 的极限。
收敛点列性质：（1）在度量空间中，任何一个点列最多只有一个极限，即收敛点列的极限是唯一的。
（2）M 是闭集的充要条件是M 中任何收敛点列的极限都在M 中。
(,)0,(,)0d x y d x y ≥=(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+,x y X ∈1,(,)0,if x y d x y if x y ≠⎧=⎨=⎩(,)X d 1212(,,...,,...),(,,...,,...),n n x y ξξξηηη==1||1(,)21||i i i i i i d x y ξηξη∞=-=+-∑(,)S d (,)sup |()()|t A d x y x t y t ∈=-()m X <∞()f t ()g t |()()|11|()()|f tg t f t g t -<+-|()()|(,)1|()()|X f t g t d f g dt f t g t -=+-⎰(,)max |()()|a t b d x y x t y t ≤≤=-{}n x x X ∈lim (,)0n n d x x →∞={}n x {}n x2、收敛点列在具体空间中的意义（1）n 维欧式空间中：为 中的点列， 即：按欧式距离收敛于x 的充要条件是 依坐标收敛于（2）序列空间S 中：为 S 中的点列，（3）C[a,b]空间设 及X 分别为C[a,b] 中的点列及点，（4）可测函数空间M(X)设 及 f 分别为可测函数空间中的点列及点，3、稠密集，可分空间（1）设X 是度量空间，E 和M 是X 中的两个子集，令 表示M 的闭包，如果 ，那么称集M 在集E 中稠密。
泛函分析知识点汇总
泛函分析知识点知识体系概述（一）、度量空间和赋线性空间 第一节 度量空间的进一步例子1.距离空间的定义：设X 是非空集合，若存在一个映射d ：X ×X →R ，使得∀x,y,z ∈X,下列距离公理成立：（1）非负性：d(x,y)≥0，d(x,y)=0⇔x=y;（2）对称性：d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x 与y 的距离，X 为以d 为距离的距离空间，记作（X ，d ） 2.几类空间例1 离散的度量空间 例2 序列空间S例3 有界函数空间B(A) 例4 可测函数空M(X)例5 C[a,b]空间 即连续函数空间 例6 l 2第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1. 开球定义 设（X,d ）为度量空间，d 是距离，定义U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε}为x 0的以ε为半径的开球，亦称为x 0的ε一领域. 2. 极限定义 若{x n }⊂X, ∃x ∈X, s.t. ()lim ,0n n d x x →∞= 则称x 是点列{x n }的极限.3. 有界集定义 若()(),sup ,x y Ad A d x y ∀∈=<∞，则称A 有界4. 稠密集定义 设X 是度量空间，E 和M 是X 中两个子集，令M 表示M 的闭包，如果E M ⊂,那么称集M 在集E 中稠密，当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。
5. 可分空间定义 如果X 有一个可数的稠密子集，则称X 是可分空间。
第三节 连续映射1.定义 设X=(X,d),Y=(Y, ~d )是两个度量空间，T 是X 到Y 中映射，x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε，存在正数0δ>，使对X 中一切满足()0,d x x δ<的x ，有()~0,d Tx Tx ε<，则称T 在x 连续.2.定理1 设T 是度量空间（X,d ）到度量空间~Y,d ⎛⎫ ⎪⎝⎭中的映射，那么T 在0x X∈连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时，必有()0n Tx Tx n →→∞3.定理2 度量空间X 到Y 中的映射T 是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -是X 中的开集.第四节 柯西（cauchy ）点列和完备度量空间1.定义 设X=(X,d)是度量空间，{}n x 是X 中点列，如果对任意给定的正数0ε>，存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时，必有(),n m d x x ε<，则称{}n x 是X 中的柯西点列或基本点列。
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复习要点:课上讲的重要知识点掌握基本结论和例子.
特别是几个重要的定理(压缩映象原理;开映象地理;Banach 逆算子定理;闭图像定理;共鸣定理;Hahn-Banach 定理及几何形式;凸集分离定理) 重要复习题:
一课堂例题
1.设X 是Hilbert 空间,M 是X 的闭子空间.证明: M M =⊥⊥)(.
2.设X 是Hilbert 空间,M 是X 的非空子集.证明:X spanM =的充分必要条件是}0{=⊥M .
3.设T 是],[b a L 到],[b a C 的线性算子,对],[b a L f ∈∀,定义⎰=x a dt t f x Tf )())((, (],[b a x ∈∀). 求.||||T
4.设T 是],[b a L 到],[b a L 的线性算子,对],[b a L f ∈∀,定义⎰=x a dt t f x Tf )())((, (],[b a x ∈∀). 求.||||T
5.在1l 上定义右推移算子T : ),,,,(21n x x x ),,,,,0(21 n x x x ,求T 的共轭算子*T 以及.||||T
6.用闭图像定理证明Banach 逆算子定理.
7.设X 是Banach 空间,线性算子X X T →:是幂等的,即T T =2,且T 的零空间)(T N 和值域)(T R 均是闭的.证明: T 是有界线性算子.
8.X 是线性赋范空间,X x ∈0.证明:|)(|sup ||||01
||||0*
x f x f X f =∈=
二课后习题
1.5.1.; 1.6.5;
2.
3.2; 2.
4.5; 2.4.6; 2.
5.12;
2.5.18; 2.5.20.。