泛函分析复习重点

复习要点:课上讲的重要知识点掌握基本结论和例子.

特别是几个重要的定理(压缩映象原理;开映象地理;Banach 逆算子定理;闭图像定理;共鸣定理;Hahn-Banach 定理及几何形式;凸集分离定理) 重要复习题:

一课堂例题

1.设X 是Hilbert 空间,M 是X 的闭子空间.证明: M M =⊥⊥)(.

2.设X 是Hilbert 空间,M 是X 的非空子集.证明:X spanM =的充分必要条件是}0{=⊥M .

3.设T 是],[b a L 到],[b a C 的线性算子,对],[b a L f ∈∀,定义⎰=x a dt t f x Tf )())((, (],[b a x ∈∀). 求.||||T

4.设T 是],[b a L 到],[b a L 的线性算子,对],[b a L f ∈∀,定义⎰=x a dt t f x Tf )())((, (],[b a x ∈∀). 求.||||T

5.在1l 上定义右推移算子T : ),,,,(21n x x x ),,,,,0(21 n x x x ,求T 的共轭算子*T 以及.||||T

6.用闭图像定理证明Banach 逆算子定理.

7.设X 是Banach 空间,线性算子X X T →:是幂等的,即T T =2,且T 的零空间)(T N 和值域)(T R 均是闭的.证明: T 是有界线性算子.

8.X 是线性赋范空间,X x ∈0.证明:|)(|sup ||||01

||||0*

x f x f X f =∈=

二课后习题

1.5.1.; 1.6.5;

2.

3.2; 2.

4.5; 2.4.6; 2.

5.12;

2.5.18; 2.5.20.