2021年新高考数学模拟试题与答案
2021年普通高等学校招生全国统一考试江苏新高考数学模拟试卷参考答案
2021年普通高等学校招生全国统一考试江苏新高考数学模拟试卷参考答案1.D 考查集合的并集,画出数轴即可2.B22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-,虚部是实数,故为1-. 3.D 由0ln 0x x ⎧⎨≠⎩≥得001x x x ⎧⎨>≠⎩且≥得(0,1)(1,)+∞4.A 解法一可以求出切线方程求出点P 坐标.法二,圆与x 轴切于(1,0)T ,12,PF PF 与圆的切点分别是,M N则1122,,PM PN F M FT F T F N ===有双曲线定义122,PF PF a -= 从而可得122FT F T a -=,从而可得1a =,2,c b ==渐近线方程为y =5.C 六个点任选四个有46C 15=,其中共面的情形有3个,所以共有12个三棱锥6.D 1()2(0)f x x x x'=+->,所以1()220f x x x'=+-=≥,所以()f x 在(0,)+∞上增, 所以2(1)(3)f x f x ->-得2130x x ->->2x <7.D2510315511C ()()(1)()C 22rr r r r r rr T x x x --+=-=-,令1031r -=,得3r =,所以系数为333515(1)()C 24-=-. 8.B 由e a 知ln 2ln323a <≤2()()0f x af x -<得0()f x a <<,ln ()xf x x=在(0,e)上增,在(e,)+∞ 上减,结合图象,并发现ln 2ln3(2)(4)23f f ==<,所以当[1,4]x ∈时候,满足0()f x a <<的整数是2和4,两个,根据(4)(4)f x f x +=-,可知()f x 图象关于4x =对称,故在(4,7]上整数解是1个,结合周期是6,可知在[1,7),[7,13)上各6个整数解,而在[13,15]上,只有14符合,故总共7个. 9.AC 略 10.ABD 略11.BD 由等差数列的性质,故A 错,B 对,等比数列类比等差数列时,注意公比为1-的情形,故C 错,易知D 正确.12.ACD 当21112444PM PF PM a PF PM PF MF +=+-=+-+=+≤正确22111(2)()222PM PF PM PF PM d +=+=+(d 是P 到准线的距离),经计算,最小值为32,B 错误易证当,PA PB 斜率存在时,2122b k k a=-,当一条直线斜率不存在时候,另一条斜率为0,所以C,D 都对. 13.8.8 方差公式直接计算得14.π6由πcos(2)06ϕ⨯+=结合ππ22ϕ-<<得π6ϕ=.15.1 计算发现甲乙丙应聘合格的概率都是13,甲乙恰有一人合格的概率是12114C ()(1)339-=三人中应聘合格人数X 服从二项分布1~(3,)3X ,所以X 的数学期望是1313⨯=.16. 3或- 抛物线上一点(,)P x y 到(,0)A a 的距离为PA22()2(2)f x x a x a =--+,对称轴为2x a =-因为(,)P x y 在抛物线上,所以0x ≥所以当20a -≥时,当2x a =-时,PA 取最小值,解得3a =当20a -<时,当0x =时,PA 取最小值,解得a =-。
数学模拟试题二含解析
A. 线段 上存在点E、F使得 B. 平面ABCD
C. 的面积与 的面积相等D. 三棱锥A-BEF的体积为定值
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据异面直线的定义可判断A；根据线面平行的判定定理可判断B；根据三角形的面积公式可判断C；利用直线平行平面，直线上的点到面的距离相等以及椎体的体积公式可判断D。
【详解】若甲走的红门盘道徒步线路，则乙,丙描述中的甲的去向均错误，又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路",“乙走红门盘道徒步线路”正确，与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路"正确，故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误，“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
A。 B。 C。 D.
【答案】D
【解析】
分析：根据直线的垂直,即可求出tanα=3,再根据二倍角公式即可求出．
详解：因为l1⊥l2,所以sinα﹣3cosα=0，
所以tanα=3，
所以sin2α=2sinαcosα=
故选D．
点睛：本题考查了两直线的垂直，以及二倍角公式,本题利用了sin2θ+cos2θ=1巧妙的完成弦切互化．常用的还有三姐妹的应用，一般 ， ,这三者我们成为三姐妹，结合 ，可以知一求三.
15. 函数 的部分图象如图所示，则 __;将函数 的图象沿x轴向右平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 ____.
【答案】 （1）. （2）。
【解析】
【分析】
根据图象求得周期，利用周期计算公式求得 ；根据 ,即可求得 ;再求得平移后的函数解析式,根据奇偶性，列出等式,则 可得.
2021年高考数学真题模拟试题专项汇编之立体几何(文)(Word版,含解析)
（8）立体几何（文）——2021年高考数学真题模拟试题专项汇编1.【2021年新高考Ⅰ卷，3】已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( ) A.2B.22C.4D.422.【2021年新高考Ⅱ卷，4】卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km （轨道高度指卫星到地球表面的最短距离）.把地球看成一个球心为O ，半径为6400km 的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α.该卫星信号覆盖的地球表面面积22π(1cos )S r α=-（单位：2km ），则S 占地球表面积的百分比为( ) A.26%B.34%C.42%D.50%3.【2021年北京卷，4】某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为( )33+ B.1213+3 4.【2021年浙江卷，4】某几何体的三视图如图所示(单位：cm )，则该几何体的体积(单位：3cm )是( )A.32B.3C.322D.325.【2021年新高考Ⅱ卷，5】正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则四棱台的体积为( ) A.5623B.562C.282D.28236.【2021年浙江卷，6】如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，,M N 分别是1A D ，1D B 的中点，则( )A.直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCDB.直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD BC.直线1A D 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCDD.直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B7.【2021年北京卷，8】定义：24小时内降水在平地上积水厚度（mm ）来判断降雨程度.其中小雨（10<mm ），中雨（10mm —25mm ），大雨（25mm —50mm ），暴雨（50mm —100mm ），小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，如图，则这天降雨属于哪个等级( )A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨8.【2021年全国乙卷(文)，10】在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为( ) A.π2B.π3C.π4D.π69.【2021年全国甲卷(文)，14】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为__________.10.【2021年上海卷，9】已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB 为上底面圆的一条直径，点C 为下底底面圆周上的一个动点，点C 绕着下底底面旋转一周，则ABC △面积的取值范围为____________.11.【2021年全国乙卷(文)，16】以图①为正视图，在图②③④③中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组答案即可）.12.【2021年全国乙卷(文)，18】如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.（1）证明：平面PAM ⊥平面PBD ；（2）若1PD DC ==，求四棱锥P ABCD -的体积.13.【2021年安徽怀宁模拟，18】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥底面11,2,ABC AA AC AC AB BC ====，且AB BC ⊥，O 为AC 的中点.（1）求证：平面11A B O ⊥平面1BCA ；（2）若点E 在1BC 上，且//OE 平面1A AB ，求三棱锥1E A BC -的体积.14.【2021年广西桂林模拟(文)，18】如图所示，在三棱锥A BCD -中，侧棱AB ⊥平面BCD ，F 为线段BD 中点，Q 为线段AB 中点，2π3BCD ∠=，3AB =，2BC CD ==.证明：（1）CF ⊥平面ABD ； （2）求点D 到平面QCF 的距离.15.【2021年全国甲卷(文)，19】已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形.2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，11BF A B ⊥，（1）求三棱锥F EBC -的体积；（2）已知D 为棱11A B 上的点，证明：BF DE ⊥.答案以及解析1.答案：B解析：本题考查圆锥的侧面展开图.设圆锥的底面半径为r ，母线长为l .由题意可得2ππr l =，所以222l r ==. 2.答案：C解析：由题意可知，6400cos 0.1536000640036000r r α==≈++，所以从同步卫星上可望见的地球的表面积222π(1cos )2π(10.15)S r r α=-≈-，此面积与地球表面积之比约为222π(10.15)100%42%4πr r -⨯≈.3.答案：A解析：画正方体，删点，剩下的4个点就是三棱锥的顶点，如图：1333311(11)2S +=⨯⨯⨯+=表. 4.答案：A解析：本题考查几何体的三视图.该几何体是高为1的四棱柱，其底面为三个全等的直角边为1的等腰直角三角形拼成的梯形，面积为32，故其体积是32. 5.答案：D解析：本题考查棱台的体积.将正四棱台1111A B C D ABCD -补成四棱锥P ABCD -，作PO ⊥底面ABCD 于点O ，交平面1111A B C D 于点1O ，则棱台1111A B C D ABCD -的体积1111P ABCD P A B C D V V V --=-.由题意，11112142PA PO A B PA PO AB ====，易知，4PA =，22AO =22224(22)22PO PA AO --=，所以12PO =，则1322(44)223P ABCD V -=⨯⨯⨯，1111142(22)23P A B C D V -=⨯⨯，所以棱台1111A B C D ABCD -的体积111132242282P ABCD P A B C D V V V --=-==.6.答案：A解析：本题考查空间的线线关系与线面关系.易知1A D ⊥平面1ABD ，故11A D D B ⊥，排除B ，C 项；连接1AD ，可知//MN AB ，所以//MN 平面ABCD ，A 项正确；因为AB 不垂直于平面11BDD B ，//MN AB ，所以直线MN 不垂直于平面11BDD B ，D 项错误.7.答案：B解析：由相似的性质可得，小圆锥的底面半径2002502r ==，故231π5015050π3V =⨯⨯⨯=⋅小圆锥，积水厚度3250π12.5π100V h S ⋅===⋅大小圆锥圆，属于中雨，故选B. 8.答案：D解析：本题考查立体几何中的线面关系及解三角形的应用.如图，记正方体的棱长为a ，则1111112AD C B A C B D a ====，所以1122B P PC a ==，221162BP B P B B a =+=.在1BC P 中，由余弦定理得22211113cos 22PB C B PC PBC PB C B +-∠==⋅，所以1π6PBC ∠=.又因为11//AD BC ，所以1PBC ∠即为直线PB 与1AD 所成的角，所以直线PB 与1AD 所成的角为π6.9.答案：39π解析：本题考查圆锥的体积与侧面积.由题可得圆锥的体积21π12π30π3V r h h ===，可得52h =，故圆锥的母线22132l r h +，所以圆锥的侧面积π39πS rl ==. 10.答案：5]解析：本题主要考查空间几何体.上顶面圆心记为O ，下底面圆心记为O '，连接OC ，过点C 作CM AB ⊥，垂足为点M ，则12ABCSAB CM =⨯⨯，根据题意，AB 为定值2，所以ABCS 的大小随着CM 长短的变化而变化.当点M 与点O 重合时，22125CM OC ==+=，取得最大值，此时12552ABCS =⨯⨯=.当点M 与点B 重合时，CM 取最小值2，此时12222ABCS=⨯⨯=.综上所述，ABCS 的取值范围为[2,5].11.答案：②⑤或③④解析：本题考查几何体的三视图.由高度可知，侧视图只能为②或③.当侧视图为②时，则该三棱锥的直观图如图1，平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC ==，5BA BC =2AC =，此时俯视图为⑤；当侧视图为③时，则该三棱锥的直观图如图2，PA ⊥平面ABC ，1PA =，5AC AB ==2BC =，此时俯视图为④.12.答案：（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂底面ABCD ， 所以PD AM ⊥.又因为PB AM ⊥，PD PB P ⋂=，PB ，PD ⊂平面PBD ， 所以AM ⊥平面PBD .因为AM ⊂平面PAM ，所以平面PAM ⊥平面PBD .（2）由PD ⊥底面ABCD ，所以PD 即为四棱锥P ABCD -的高，DPB 是直角三角形. 由题可知底面ABCD 是矩形，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥.设2AD BC a ==，取CD 的中点为E ，CP 的中点为F ，连接MF ，AF ， EF ，AE ，可得//MF PB ，//EF DP ，那么AM M F ⊥，AM F 为直角三角形，且12EF =，2144AE a =+，21AM a =+，222142AF EF AE a =++因为DPB 是直角三角形，所以根据勾股定理得224BP a =+，则2242a MF +=.由AM F 是直角三角形，可得222AM MF AF +=，解得22a =， 所以底面ABCD 的面积22S a ==，则四棱锥P ABCD -的体积11221333V S h =⋅⋅=⨯⨯-.13.答案：（1）1111,//,AB BC AB A B BC A B ⊥∴⊥，在1A AC 中，112AA AC AC ===，O 是AC 的中点，1AO AC ∴⊥，又平面11AAC C ⊥平面ABC ，平面11AAC C平面ABC AC =，1A O ∴⊥平面ABC .BC ⊂平面1,ABC AO BC ∴⊥. 111,A B AO ⊂平面111111,A B O A B AO A =，BC ∴⊥平面11A B O ， 又BC ⊂平面1BCA ，∴平面1BCA ⊥平面11A B O .（2）如图，连接1B C ，设1B C 与1BC 交于点E ，连接1,OE AB ， 易得1//OE AB ，1AB ⊂平面11,ABB A OE ⊄平面11ABB A ，//OE ∴平面11ABB A ，∴满足条件的E 为1BC 的中点.11111 1122E A BCC A BC B A CC V V V ---==三棱锥三棱锥三棱锥21133212346=⨯⨯⨯⨯=， 故三棱锥1E A BC -的体积为36.14.答案：（1）AB ⊥平面BCD ，CF ，BD ⊂平面BCD ，AB CF ∴⊥，AB BD ⊥.2BC CD ==，F 为BD 中点，CF BD ∴⊥.又CF AB ⊥，AB BD B =，AB ，BD ⊂平面ABD ，CF ∴⊥平面ABD .（2）在三棱锥Q DCF -中，设D 到平面QFC 距离为d . Q DCF D QCF V V --=，1133DCFQCFQB Sd S ∴⋅⋅=⋅⋅，DCFQCFQB S d S ⋅∴=.1112π322sin 2223DCFDCBSS ==⨯⨯⨯⨯=，2π44222cos 233BD =+-⨯⨯⨯.AB BD ⊥，3AB =，Q ，F 分别为AB ，BD 的中点.22912212ADAB BD QF ++∴====.QCF 中，π2cos 13CF ==，235422CQ ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21QF =. 25211244cos 55212QCF +-∴∠==⨯⨯，21sin QCF ∴∠=. 152121122QCFS∴=⨯⨯=. 33372221d ∴==.15.答案：（1）如图，取BC 的中点为M ，连接EM .由已知易得//EM AB ，2AB BC ==，1CF =，112EM AB ==，11//AB A B ， 由11BF A B ⊥得EM BF ⊥，又易得EM CF ⊥，BF CF F ⋂=，所以EM ⊥平面BCF ， 故1111121132323F EBC E FBC V V BC CF EM --==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥.（2）连接1A E ，1B M ，由（1）知11//EM A B ， 所以ED 在平面11EMB A 内.在正方形11CC B B 中，由于F ，M 分别是1CC ，BC 的中点，所以1tan 2CF CBF BC ∠==，111tan 2BM BB M BB ∠==， 且这两个角都是锐角，所以1CBF BB M ∠=∠， 所以111190BHB BMB CBF BMB BB M ∠=∠+∠=∠+∠=︒， 所以1BF B M ⊥，又11BF A B ⊥，1111B M A B B ⋂=，所以BF ⊥平面11EMB A ， 又DE ⊂平面11EMB A ，所以BF DE ⊥.。
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (10)
2021年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题10学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．已知集合A ={x |-1<x <2},B ={x |2x -1≥0},则A ∩B =A.(1,+∞)B.[12,1) C.(12,2) D.[12,2) 2．若复数1-bi 2+i(b ∈R )的实部与虚部相等,则b 的值为A.-6B.-3C.3D.6 3．函数f (x )=2x2+1，x ∈[−1, √2]的值域为A.[2, 8]B.[4, 8]C.[1, 3]D.[2, 3]4．设△ABC,P 0是边AB 上一定点,满足P 0B=14AB,且对于边AB 上任一点P,恒有PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥P 0⃗⃗⃗⃗ ·P 0⃗⃗⃗⃗ ,则A.∠ABC=90°B.∠BAC=90°C.AB=ACD.AC=BC5．定义在R 上的奇函数f (x )连续且可导,若f (x )-f'(x )<x -1恒成立(其中f'(x )为f (x )的导函数),则A.f'(0)<1B.f (-1)+f'(-1)<0C.f (1)<f (0)<f (-1)D.f (-1)<f (0)<f (1)6．在2019年亚洲杯前,某商家为了鼓励中国球迷组团到阿联酋支持中国队,制作了3种不同的精美海报,每份“中国队球迷礼包”中随机装入一份海报,集齐3种不同的海报就可获得中国队在亚洲杯上所有比赛的门票.现有4个球迷组成的球迷团(每人各买一份球迷礼包),则他们能获得该门票的概率为A.1027B.49C.59D.17277．已知m ,n 是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βB.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nC.若m ⊥α,n ⊥α,则m ∥nD.若m ∥α,m ∥β,则α∥β8．若执行如图的程序框图,则输出i 的值等于A.2B.3C.4D.59．在等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=36,a 11+a 12+a 13=84,则a 5+a 9=A.30B.35C.40D.4510．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),以原点O 为圆心的圆(圆的半径小于b )的面积为4π,且经过椭圆的焦点,P 为椭圆上任意一点,Q 为圆上任意一点,若P ,Q 两点间的距离的最小值为1,则椭圆的离心率为A.2√1313 B.√1313C.√32 D.12 11．下列区间中,函数f (x )=7sin(x -π6)单调递增的区间是A.(0,π2)B.(π2,π)C.(π,3π2)D.(3π2,2π)12．如图,已知圆柱OO 1的轴截面是边长为2的正方形,A 1,B 1,C 1是圆O 1的三等分点,BB 1∥AA 1∥OO 1,那么异面直线AC 1与OB 所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．曲线f (x )=e x 2-e x (e 是自然对数的底数)在x =1处的切线方程为 . 14．已知数列{a n }与{b n }满足a n =2b n +3(n ∈N ∗),若{b n }的前n 项和为S n =32(3n −1)且λa n >b n +36(n −3)+3λ对一切n ∈N ∗恒成立,则实数λ的取值范围是 . 15．某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近5年的年广告支出m 与年销售额t (单位:百万元) 进行了初步统计,得到下列表格中的数据:经测算,年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程t ＾=6.5m +17.5,则p = .16．已知某双曲线的渐近线方程为3x ±2y =0,且该双曲线经过点(2,-3√2),则该双曲线的实轴长为 .三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,已知向量m =(cos∠B ,2cos 2∠C 2-1),n =(c ,b -2a ),且m ·n =0.(1)求∠C 的大小;(2)若点D 为边AB 上一点,且满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7,c =2√3,求△ABC 的面积. 18．(本题12分)如图,棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是菱形.侧棱长为5,平面ABCD ⊥平面A 1ACC 1,AB =3√3,∠BAD =60°,点E 是ΔABD 的重心,且A 1E =4.(1)求证:平面A 1DC 1∥平面AB 1C ; (2)求棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积.19．(本题12分)某省在高考改革试点方案中规定:从2017年秋季高中入学的新生开始,不分文理科;从2020年开始,高考总成绩由语、数、外三门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目考生的原始成绩从高到低依次划分为A,B+,B,C+,C,D+,D,E 共8个等级,参照正态分布的原则,确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科目成绩计入考生总成绩时,将A 至E 等级内的考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,50],[31,40],[21,30]八个分数区间,得到考生的等级成绩.某校高一年级共2 000人,为给高一学生合理选科提供依据,对六门选考科目进行测试,其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N (60,132). (1)求该校高一年级学生的物理原始成绩在区间(47,86)的人数;(2)按高考改革方案,若从全省考生中随机抽取3人,X 表示这3人中某门选考科目的等级成绩在区间[61,80]的人数,求X 的分布列和数学期望.附:若随机变量ξ~N (μ,σ2),则P (μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 7,P (μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5,P (μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 3.20．(本题12分)已知以F 为焦点的抛物线C :y 2=2px (p >0)过点P (1,-2),直线l 与C 交于A ,B 两点,M 为AB 的中点,O 为坐标原点,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOF⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)当λ=3时,求点M 的坐标; (2)当OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12时,求直线l 的方程.21．(本题12分)已知函数f (x )=(x −1)e x +ax 2,e 为自然对数的底数.(1)若函数f (x )在(1,f(1))处的切线方程为y =−ex +a +e ,求实数a 的值; (2)讨论f (x )的单调性.请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。
2021年新高考数学全国卷模拟(附参考答案和详解)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（全国卷Ⅰ）数学（适用新高考地区）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数2(2i)-对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设集合{|3213}A x x =-≤-≤，集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B =（ ）A.(1,2)B.[1,2]C.[1,2)D.(1,2]3.已知向量(,3)k =a ，(1,4)=b ，(2,1)=c ，且(23)-⊥a b c ，则实数k =（ ） A.92-B.0C.3D.1524.使3nx⎛+ ⎝()n +∈N 的展开式中含有常数项的最小的n 为（ ）A.4B.5C.6D.75.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：A.0.35B.0.45C.0.55D.0.656.已知过点(2,2)P 的直线与圆22(1)5x y -+=相切，且与直线10ax y -+=垂直，则a =（ ） A.12-B.1C.2D.127.命题"存在一个无理数，它的平方是有理数"的否定是（ ） A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数8.已知50,log ,lg ,510db b a bc >===，则下列等式一定成立的是（ ）A.d ac =B.a cd =C.c ad =D.d a c =+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（ ）A.甲的成绩的平均数大于乙的成绩的平均数B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差10.如果双曲线的离心率51e +=有（ ）A.双曲线221251x =-是黄金双曲线 B.双曲线22151y -=+是黄金双曲线 C.在双曲线22221x y a b-=中，1F 为左焦点，2A 为右顶点，1(0,)B b ，若11290F B A ∠=，则该双曲线是黄金双曲线D.在双曲线22221x y a b-=中，过焦点2F 作实轴的垂线交双曲线于M ，N 两点，O 为坐标原点，若120MON ∠=，则该双曲线是黄金双曲线11.已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给出下列4个命题，其中真命题有（ ） A.若m α⊂，n α，则m n B.若m α⊥，n α，则m n ⊥ C.若m α⊥，m β⊥，则αβD.若m α，n α，则m n12.已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，有(1)()f x f x +=-，且当[0,1)x ∈时，2()log (1)f x x =+．给出下列命题，其中正确的命题的为（ ）A.(2016)(2017)0f f +-=B.函数()f x 在定义域上是周期为2的周期函数C.直线y x =与函数()f x 的图像有1个交点D.函数()f x 的值域为(1,1)-第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分。
2021年浙江省新高考测评卷数学(第六模拟)
2021年浙江省新高考测评卷数学（第六模拟）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}24A x x =-<<，{}2B x x =≥，{}3C x x =<，则A B C ⋂⋂=（ ）A ．{}24x x -<< B ．{}24x x ≤<C ．{}23x x -<<D ．{}23x x ≤<2．复数z =）A ．1B ．79C ．59D ．133．若实数x ，y 满足约束条件1,31,1,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则2020z x y =-的最大值为（ ）A ．2020-B ．2020C ．4039D ．40404．5x ⎛ ⎝的展开式中2x 的系数是（ ）A ．60B ．80C ．90D ．1205．已知p ：2x a +<，q ：x a ≥，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞-C ．[)1,+∞D ．()1,+∞6．若12ln 2a =，b =，4log 3c =，则（ ） A ．c b a >> B ．c a b >>C ．a c b >>D ．a b c >>7．设1x ，2x ，{}31,0,1,2x ∈-，那么满足32212308x x x ≤++≤的所有有序数组()123,,x x x 的组数为（ ）A ．45B ．46C ．47D ．488．已知椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 在椭圆上，O 是坐标原点，12123F PF FOP π∠=∠=，则椭圆的离心率是（ ）A．32- BC．2D．29．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22b a bc -=，则sin sin 2A B +=（ ）A ．0B ．12C．2D ．13-10．已知函数()()()()22673,log 113,x x x f x x x ⎧-+-≥⎪=⎨+-<<⎪⎩若关于x 的方程()()220f x mf x m +++=⎡⎤⎣⎦有6个根，则m 的取值范围为（ ）A．(,2-∞- B．(2,2--C ．()2,-+∞D．2,2--⎡⎣二、填空题11．已知三倍角公式()()sin34sin sin 60sin 60αααα=+-°°，则sin 20sin60sin100sin140=°°°°______．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．13．已知向量a ，b 满足23a b a b +≥-，则ba在a 方向上的投影的最小值是______．三、双空题14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．若17102S =，1112a =，则d =______，20S =______．15．已知随机变量X 的分布列为()()()12aP X n n n ==++（1,2,3n =），其中a 为16．已知双曲线C 的右焦点为()2,0F ，且C 经过点(A ，则双曲线C 的标准方程为______；若直线AF 与y 轴交于点B ，点(),P x y 是C 右支上一动点，且(y ∈-，直线AP 与以AB 为直径的圆相交于另一点D ，则PA PD ⋅的最大值是______．17．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，13AA =，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，过点1D ，E ，F 的平面记为α，则平面α截直四棱柱1111ABCD A B C D -所得截面的面积为______，平面α与平面11BB C C 所成角的余弦值为______．四、解答题18．已知函数()227cos 24cos 32πx f ωx ωx ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象与x 轴的两个相邻交点间的最短距离为6π． （1）求()0f ；（2）求函数()f x 在[]0,π上的单调递增区间．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，二面角P AD C --的余弦值为13，M 是棱PC 的中点，2PA PD AD ===，1BC =，CD =．（1）求证：AD PB ⊥；（2）求直线MA 与平面PAD 所成角的正弦值．20．已知数列{}n a 满足113a =，11113n n na a +++=． （1）证明：数列1134n na +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：1235n a a a ++⋅⋅⋅+<． 21．设O 为坐标原点，M 是x 轴上一点，过点M 的直线交抛物线C ：24y x =于点A ，B ，且4OA OB ⋅=-．（1）求点M 的坐标； （2）求232BM AM-的最大值．22．已知函数()e 1xx a f x =-+（a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，令()()ln g x f x =，若函数()g x 的图象与直线y kx m =+相交于不同的两点A ，B ，设1x ，2x （12x x <）分别为点A ，B 的横坐标，求证：21111k x x <+<．参考答案1．D 【分析】根据交集的概念运算可得结果. 【详解】{}24A B x x ⋂=≤<，{}23A B C x x ⋂⋂=≤<，故选：D ． 2．A 【分析】利用复数的四则运算以及复数的概念即可求解. 【详解】3i 11i3z +===，所以z 的虚部为13，实部为3-，故z 的虚部和实部的平方和是221133⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A 3．B 【分析】作出可行域，将目标函数进行变形，根据目标函数的几何意义并数形结合可得最优解，得到目标函数的最值． 【详解】根据题意作出可行域如图中阴影部分所示，由2020z x y =-得1120202020y x z =-，数形结合可知当直线2020z x y =-经过点()0,1-时，z 取得最大值，为2020．故选：B 4．C 【分析】 利用通项公式35215C 3r rr r T x-+=⋅，得2r，可得系数【详解】5x⎛+ ⎝的展开式的通项公式为3552155C C 3rr r r r r r T x x --+==⋅， 令3522r -=，得2r ，则2x 的系数为225C 390⨯=．故选：C 【点睛】求二项式展开式指定项的系数，利用通项公式1C r n r rr n T a b -+=和x 的幂指数相等可求．5．A 【分析】首先求出p ，记为A ，再求出q ，记为B ，依题意可得A B ，即可得到不等式，解得即可； 【详解】解：因为p ：2x a +<，所以:22p a x a --<<-+，记为{}|22A x a x a =--<<-+；:q x a ≥，记为{}|B x x a =≥．因为p 是q 的充分不必要条件，所以AB所以2a a ≤--，解得1a ≤-． 故选：A 6．B 【分析】 由已知可得2log e 2a =，ln 22b =，2log 32c =，利用对数式的单调性可得答案. 【详解】2log e 12ln 22a ==，ln 22b ==，24log 3log 32c ==，由于22log 3log e 1>>，0ln 21<<，∴c a b >>．故选：B. 7．C 【分析】对1x 的取值进行分类讨论，结合已知分析2x 和3x 的取值情况，然后利用排列组合知识求解即可． 【详解】①当12x =时，22230x x +=，则230x x ==，共1组；②当11x =时，222317x x -≤+≤，则2x ，3x 不同时为2，共1124414115C C ⋅-=-=组； ③当10x =时，222308x x ≤+≤，则2x ，3x 为1,0,1,2中任一元素，共11244416C C ⋅==组；④当11x =-时，222319x x ≤+≤，则2x ，3x 不同时为0，共1124414115C C ⋅-=-=组．故满足题意的有序数组共有47组． 故选：C. 8．D 【分析】利用12123F PF FOP π∠=∠=，得到121PFO F F P ∽△△，利用11121PF F O F F PF =，求得1PF =，利用定义得到22PF a =，再利用余弦定理得解. 【详解】根据12123F PF FOP π∠=∠=以及121PF F OF P ∠=∠，得121PFO F F P ∽△△，于是11121PF F O F F PF =，所以1PF =，又122PF PF a +=，所以22PF a =．在21F F P △中，由余弦定理，得)()()22214222()2c a a =+-⨯-，即2220c a -=，所以220e -=，因为01e <<，所以椭圆的离心率e = 故选D 【点睛】本题以椭圆为载体，考查三角形相似、余弦定理以及椭圆的定义与性质．利用三角形相似、椭圆定义得到焦半径是解题关键. 9．A 【分析】由余弦定理得2cos b A b c =+，再由正弦定理得2sin cos B Asin sin cos sin cos B A B B A =++，化简可得()sin sin B B A =-，结合三角函数的性质得2B πA =+可得答案.【详解】由22b a bc -=得2222b c a bc c +-=+，由余弦定理得2cos b A b c =+， 再由正弦定理得()2sin cos sin sin sin sin B A B C B A B =+=++sin sin cos sin cos B A B B A =++，即sin cos sin sin cos B A B A B =+，得()sin sin B B A =-，由于()0,B π∈，(),B A ππ-∈-，所以B A B -=（舍去）或B A B π-+=，故2B πA =+，于是()sin 2sin sin B πA A =+=-，所以sin sin 20A B +=．故选：A. 10．B 【分析】作出函数()f x 的图象,令()t f x =，则原方程可化为220t mt m +++=在()0,2上有2个不相等的实根，再数形结合得解. 【详解】作出函数()f x 的图象如图所示．令()t f x =，则()()220f x mf x m +++=⎡⎤⎣⎦可化为220t mt m +++=，要使关于x 的方程()()220f x mf x m +++=⎡⎤⎣⎦有6个根，数形结合知需方程220t mt m +++=在()0,2上有2个不相等的实根1t ，2t ，不妨设1220t t <<<，()22t m t m g t =+++，则()()()2420,02,2020,24220m m m g m g m m ⎧-+>⎪⎪<-<⎪⎨⎪=+>⎪=+++>⎪⎩解得22m -<<-，故m 的取值范围为(2,2--， 故选B ． 【点睛】形如()y g f x =⎡⎤⎣⎦的函数的零点问题与函数图象结合较为紧密，处理问题的基础和关键是作出()f x ，()g x 的图象．若已知零点个数求参数的范围，通常的做法是令()t f x =，先估计关于t 的方程()0g t =的解的个数，再根据()f x 的图象特点，观察直线y t =与()y f x =图象的交点个数，进而确定参数的范围．11．316【分析】根据三倍角公式，诱导公式及40α=︒，代入求值即可． 【详解】因为sin 20sin100sin140sin 20sin100sin 40=°°°°°°()()sin 40sin 6040sin 6040+-=°°°°°1sin1204==°，所以3sin 20sin 60sin100sin14016==°°°°． 故答案为：31612．133【分析】根据三视图确定空间几何体的形状，运用体积公式进行求解即可. 【详解】由该几何体的三视图可知，该几何体为一个长方体与一个三棱锥的组合体，24=， 三棱锥的体积为：111211323⨯⨯⨯⨯=，故该几何体的体积为113433+=．故答案为：13313．12【分析】对已知不等式两边平方并化简，利用平面向量数量积的定义和投影的概念，可得最小值． 【详解】由23a b a b +≥-得2223a b a b +≥-，得22224496a a b b a a b b +⋅+≥-⋅+，所以22a b a ⋅≥．设a ，b 的夹角为θ，则22cos a b θa ⋅≥，所以cos 12b θa≥，即b a 在a方向上的投影的最小值是12． 故答案为：1214．3 210 【分析】利用等差数列的通项公式与前n 项和公式求出1a ，d ，再利用等差数列的前n 项和公式求出20S . 【详解】由已知及等差数列的通项公式与求和公式可得1111012a a d =+=①，1711716171022S a d ⨯=+=②，由①②得118a =-，3d =， ∴()202019201832102S ⨯=⨯-+⨯=． 故答案为:3；210 15．103296【分析】利用分布列的性质求得103a =，进而求得()1P X =，()2P X =，()3P X =，得到()E X ，最后利用数学期望的相关公式求解即可． 【详解】()()()1212P X aa a n n n n n ==-+=+++， 由()()()1231P X P X P X =+=+==，即125a a -=，得103a =，则()519P X ==，()5218P X ==，()136P X ==，∴()55129123918618E X =⨯+⨯+⨯=，即()()2929338316E X E X =⨯==． 故答案为：103，296. 16．2213y x -=48【分析】设双曲线C 的标准方程为()222210,0x y a b a b-=>>，利用待定系数法可求得双曲线C 的标准方程，利用平面向量数量积的运算法则可得出249PA PD PF ⋅=-，求出PF 的最小值，即可得解. 【详解】由题意可设双曲线C 的标准方程是()222210,0x y a b a b-=>>，则22222416451a b c a b⎧+==⎪⎨-=⎪⎩，解得2213a b ⎧=⎨=⎩，所以，双曲线C 的标准方程为2213y x -=.直线AF的斜率为422AF k ==-，直线AF的方程为)22y x =-，在直线AF 的方程中，令0x =，可得y =-，即点(0,B -， 因为2A B F x x x +=，2A BF y y y +=，所以，点F 为线段AB 的中点， 故以AB 为直径的圆的圆心为F ，且半径为7AF =， 如图，连接PB 、PF 、BD ，由于点D 是以AB 为直径的圆上异于A 、B 的一点，则BD AD ⊥， 由双曲线的几何性质可知min 1PF c a =-=，PA PF FA =+，PB PF FB PF FA =+=-，()PA PD PA PD PA PB BD PA PB BD PA PA PB ⋅=-⋅=-⋅+=-⋅-⋅=-⋅ ()()222224949148PF FA PF FA AF PF AF PF PF =-+⋅-=-=-=-≤-=.故答案为：2213y x -=；48.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是会转化，会根据向量数量积的几何意义把PA PD ⋅转化为PA PB -⋅，再根据平面向量的知识求解.173【分析】设直线EF 分别与DA ，DC 的延长线交于点P ，Q ，连接1D P ，交1AA 于点M ，连接1D Q ，交1CC 于点N ，得到截面，再利用直四棱柱的棱长和结构特征得到截面的各边长，利用分割法求得截面面积；取FN 的中点G ，连接QG ，CG ，结合平面与平面所成角的定义得到QGC ∠为平面α与平面11BB C C 所成的角或其补角，最后利用余弦定理求解即可．【详解】设直线EF 分别与DA ，DC 的延长线交于点P ，Q ，连接1D P ，交1AA 于点M ，连接1D Q ，交1CC 于点N ，连接ME ，FN ，∴平面α截直四棱柱1111ABCD A B C D -的截面为五边形1D MEFN ．由平行线分线段成比例知：1AP BF ==，故13DP DD ==，故△1DD P 为等腰直角三角形，∴1AM AP ==，故12A M =，则11D M D N ==ME EF FN ==MN ，易知MN =∴五边形1D MEFN 可以分成等边三角形1D MN 和等腰梯形MEFN 两部分，等腰梯形MEFN 的高h ==MEFN 的面积为=．又(12D MNS ==∴五边形1D MEFN 的面积为=．易知1CF CQ CN ===，则由勾股定理得FN NQ FQ ===取FN 的中点G ，连接CG ，QG ，则CG FN ⊥，QG FN ⊥，且CG =，QG =，故QGC ∠为平面α与平面11BB C C 所成角或其补角．在△QGC中，由余弦定理得222131cos 23CG QG QC QGC CG QG +-+-∠===⋅，∴平面α与平面11BB C C，3. 【点睛】关键点点睛：根据直棱柱的性质，应用平面的延展性补全截面，得到面α截1111ABCD A B C D -的截面为五边形1D MEFN ，求各边长度，进而求面积；根据二面角定义，找到其对应的平面角并求其余弦值. 18．（1）0；（2）单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【分析】（1）将0x =代入函数()f x 的解析式，直接求值即可； （2）先由三角恒等变换得到()3232πx x f ω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，令()0f x =，解出方程的根，结合()f x 的图象与x 轴的两个相邻交点间的最短距离为6π，求出1ω=，即可得到()f x 的解析式，然后利用正弦函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）()22717cos 4cos 04003222f π⎛⎫=-+-=-+-= ⎪⎝⎭． （2）()11cos 272cos 24222ωx ωx ωx f x +=-+⨯-332cos 222ωx ωx =+- 3232πωx ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．令()0f x =，则sin 232πωx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以2233ππωx k π+=+或22233ππωx k π+=+，k ∈Z ， 故k x πω=或6πk πx ωω=+，k ∈Z ， 所以()f x 的图象与x 轴的两个相邻交点间的最短距离为66ππω=，故1ω=，()3232πf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 当[]0,x π∈时，72,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 当2,332πππx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即[0,]12x π∈或372,323πππx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即7[,]12x ππ∈时，()f x 单调递增，故()f x 的单调递增区间为0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,12ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】关键点点睛：熟练掌握三角恒等变换公式以及三角函数的图象和性质是解题关键.19．（1）证明见解析；（2）51． 【分析】（1）取AD 的中点Q ，连接PQ ，BQ ，可知AD ⊥平面PBQ ，从而可证明.（2）先证明平面PBQ ⊥平面ABCD ，过点P 作PG BQ ⊥于点G ，则PG ⊥平面ABCD ，故以G 为原点，以GB ，GP 所在直线分别为y ，z 轴，过点G 且与AD 平行的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解线面角. 【详解】（1）、证明：取AD 的中点Q ，连接PQ ，BQ ， 因为PA PD =，所以PQ AD ⊥． 由题意知//BC AD ，12BC AD =， 又12DQ AD =，所以//BC DQ ，BC DQ =， 所以四边形BCDQ 为平行四边形，所以//DC BQ ， 因为90ADC ∠=︒，所以DC AD ⊥，所以BQ AD ⊥． 又PQ ，BQ ⊂平面PBQ ，PQ BQ Q =，所以AD ⊥平面PBQ ，又PB ⊂平面PBQ ，所以AD PB ⊥．（2）由AD ⊥平面PBQ ，AD ⊂平面ABCD ，得平面PBQ ⊥平面ABCD ，过点P 作PG BQ ⊥于点G ，则PG ⊥平面ABCD ，故以G 为原点，以GB ，GP 所在直线分别为y ，z 轴，过点G 且与AD 平行的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．易知PQB ∠为二面角P AD C --的平面角，所以1cos 3PQB ∠=．在Rt PQG △中，PQ =1cos 3PQG ∠=，得QG =PG =，则13QG BQ =，1,,03A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,3D ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,3C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,3P ⎛ ⎝⎭，1,,233M ⎛- ⎝⎭，所以1,,33PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,33PD ⎛=--- ⎝⎭，3,233AM ⎛=- ⎝⎭． 设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，则0,0n PA n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x y z x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩则0x =，令y =1z =-，故()0,22,1n =-为平面PAD 的一个法向量． 设直线MA 与平面PAD 所成的角为θ，则sin cos ,θn AM ===， 即直线MA 与平面PAD ． 【点睛】方法点睛：向量法求解空间几何问题的步骤：建、设、求、算、取1、建：建立空间直角坐标系，以三条互相垂直的直线的交点为原点，没有三条垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，尽可能的使得较多的关键点落在坐标轴或坐标平面内.2、设：设出所需的点的坐标，得出所需的向量坐标.3、求：求出所需平面的法向量4、算：运用向量的数量积运算，验证平行、垂直，利用线面角公式求线面角，或求出两个平面的法向量的夹角的余弦值5、取：根据题意，或二面角的范围，得出答案.20．（1）证明见解析；()14331nn n a -=⎡⎤+-⎣⎦；（2）证明见解析． 【分析】（1）由题得211131344n n n n a a +++⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即得数列1134n na +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，再求数列{}n a 的通项公式；（2）对n 分类讨论利用放缩法求证. 【详解】 （1）因为11113n n na a +++=， 所以2211111313131334444n n n n n n n n n a a a a ++++++⎛⎫-=--=-+=-- ⎪⎝⎭， 又119933444a -=-=， 所以数列1134n na +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以34为首项，1-为公比的等比数列，所以()11133144n n n a +--=⋅-， 即()113314n n n a -⎡⎤=+-⎣⎦，故()14331nn n a -=⎡⎤+-⎣⎦． （2）由113a =，216a =，得121325a a +=<， 当4n ≥且n 为偶数时，11111141143341133131333231333n nn n n n n n n n n a a ------+⎛⎫⎛⎫+=+=⋅<+ ⎪⎪+-⋅+⋅-⎝⎭⎝⎭， 所以1234111411113633333n n n a a a -⎛⎫++⋅⋅⋅+<++⨯++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭114123132712322754513+⨯=+=<<-； 当3n ≥且n 为奇数时，1n +为偶数，则12135n n a a a a +++⋅⋅⋅++<， 由于0n a >，则1235n a a a ++⋅⋅⋅+<． 综上，1235n a a a ++⋅⋅⋅+<． 【点睛】 方法点睛：方法技巧若数列的通项公式中含有()1n-，则在求数列的前n 项和时，常需要对n 分奇偶分别求解．21．（1）()2,0；（2）2．【分析】（1）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0M m ，由4OA OB ⋅=-得到128y y =-，设直线:AB x ty m =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系得到2m =，即可得到点M 的坐标； （2）由题意及弦长公式得到AM ，BM ，利用根与系数的关系得到221114AM BM +=，进而得232BM AM-的表达式，然后构造函数，利用函数的单调性求函数的最大值，即可得到232BM AM -的最大值．【详解】（1）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0M m ， 则222212121212,,44416y y y y OA OB y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得128y y =-，设直线:AB x ty m =+，联立方程，得2,4,x ty m y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty m --=， 由根与系数的关系知，1248m y y -==-，所以2m =，故点M 的坐标为()2,0．（2）由（1）知，124y y t +=，128y y =-．易知1AM y =，2M B =， 所以()()22222212111111t y t y AM BM +=+++()()222122222121616141641y y t t y y t ++===++， 则222321132||3284BM BM BM AM BM BM ⎛⎫-= -⎪-=-- ⎪⎝⎭． 令()2328u f u u =--，2u >，则()3641f u u='-， 所以()f u 在()2,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减，所以()()min 42f u f ==，即232BM AM -的最大值是2，当且仅当4BM =时取等号． 【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：一是几何方法，即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解． 22．（1）当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递增，在()ln ,a -+∞上单调递减．；（2）证明见解析．【分析】（1）求导后，分类讨论a ，利用导数的符号可得函数()f x 的单调性；（2）求出()g x 的解析式，利用斜率公式求出2121ln ln 1x x k x x -+=-，将所证不等式化为11ln 1t t t-<<-（1t >），再构造两个函数，利用导数可证结论成立. 【详解】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，且()1e xf x a ='-． 当0a ≤时，()0f x '>，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增．当0a >时，若(),ln x a ∈-∞-，则()0f x '>，()f x 在(),ln a -∞-上单调递增； 若()ln ,x a ∈-+∞，则()0f x '<，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递减．综上所述，当0a ≤时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递增，在()ln ,a -+∞上单调递减．（2）当1a =时，()e 1xx x f =-+，所以()()ln ln 1g x f x x x =-+=， 所以()()21221121212121ln ln ln ln 1g x g x x x x x x x k x x x x x x ---+-===----， 所以2121ln ln 1x x k x x -+=-． 要证21111k x x <+<，即证212211ln 1ln 1x x x x x x -<<-． 因为210x x >>，所以210x x ->，即证21221211ln x x x x x x x x --<<． 令21x t x =，则1t >，即证11ln 1t t t-<<-（1t >）． 令()ln 1t t φt =-+（1t >），则()1110φt t t t-=='-<， 所以()t ϕ在()1,+∞上单调递减， 所以()0t ϕ<，即ln 10t t -+<，ln 1t t <-（1t >）．①令()1ln 1h t t t =+-（1t >），则()221110t h t t t t'-=-=>， 所以()h t 在()1,+∞上单调递增，则()0h t >，即1ln 1t t >-（1t >）．②综合①②得11ln 1t t t-<<-（1t >）， 所以21111k x x <+<. 【点睛】 关键点点睛：将所证不等式化为11ln 1t t t-<<-（1t >），再构造两个函数，利用导数证明不等式成立是解题关键.。
2021届全国新高考仿真模拟试题(二)数学(文)(解析版)
∴CD⊥平面
ABD，∴CD
是三棱锥
C
ABD
的高，∴VC
ABD＝13×12×2×2×sin
60°×2＝2 3， 3
故选 A.
8．答案：C
解析：由射线测厚技术原理公式得I20＝I0e－7.6×0.8μ，∴12＝e－6.08μ，－ln 2＝－6.08μ，μ≈0.114，
故选 C.
9．答案：C
解析：从题图(1)可以看出，该品牌汽车在 1 月份所对应的条形图最高，即销售量最多，
商品销售 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 y10
额 y/万元
且已知 错误!i＝380.0
(1)求第 10 年的年收入 x10. (2)若该城市居民年收入 x 与该种商品的销售额 y 之间满足线性回归方程y^＝363x＋^a，
254 (ⅰ)求该种商品第 10 年的销售额 y10； (ⅱ)若该城市居民年收入为 40.0 亿元，估计这种商品的销售额是多少？(精确到 0.01) 附：①在线性回归方程y^＝b^x＋^a中，b^＝错误!，^a＝－y －b^－x ；
(1)求轨迹Γ的方程； (2)过点 F 作互相垂直的直线 AB 与 CD，其中直线 AB 与轨迹Γ交于点 A，B，直线 CD 与轨迹Γ交于点 C，D，设点 M，N 分别是 AB 和 CD 的中点，求△FMN 的面积的最小值．
-5-
21．(12 分)[2020·安徽省示范高中名校高三联考]函数 f(x)＝aex＋x2－ln x(e 为自然对数的底数，a 为常 数)，曲线 f(x)在 x＝1 处的切线方程为(e＋1)x－y＝0.
于 8 月份，所以该公司 7 月份汽车的总销售量比 8 月份少，所以选项 C 是错误的；从题图(1)
2021届高考高三模拟考试数学试题
2021届高考高三模拟考试数学试题1、已知集合A={x|-2≤x<4}，B={x|-5<x≤3}，则A∩B=（）A、{x|-5<x<4}B、{x|-5<x≤-2}C、{x|-2≤x≤3}D、{x|3≤x<4}答案：C2、“a>1”是“(a-1)(a-2)<0”的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件答案：B3、已知变量x，y之间的一组数据如下表：若y关于x的线性回归方程为ŷ=ax+b，则a=（）x。
y3.2.54.35.46.4.5A、0.1B、0.2C、0.35D、0.45答案：D4、已知a，b为不同直线，α,β为不同平面，则下列结论正确的是（）A、XXX⊥α，b⊥a，则b//αB、若a,b∥α，a//β,b//β，则α//βC、若a//α,b⊥β,a//b，则α⊥βD、若α∩β=b,XXXα,a⊥b，则α⊥β答案：C5、高一某班有5名同学报名参加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（）A、15种B、90种C、120种D、180种答案：B6、已知α∈(π,π)，tanα=-3，则sin(α-π/4)等于（）A、-5/24πB、-3/5C、3/5D、5/24π答案：B7、随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益。
假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N（单位：XXX）与时间t（单位：天）满足函数关系N(t)=P(t)P，其中P为t=0时该放射性同位素的含量。
已知t=15时，该放射性同位素的瞬时变化率为-10ln2，则该放射性同位素含量为4.5贝克时衰变所需时间为（）A、20天B、30天C、45天D、60天答案：C8、定义运算⊕：①对∀m∈R，m⊕m=m；②对∀m,n,p∈R，(m⊕n)⊕p=p⊕(mn)+m⊕p+n⊕p。
2021届新高考全国100所名校高考模拟示范卷(一)数学试题(word版,含解析)
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.若,2z i i =-+则z= A.2-iB.1-2iC.-1+2iD.-2+i 2.已知集合2{|30},{2,2}A x x x a B =-+==-,若A∩B={2},则A ∪B=A.{-2,1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,3,2}D.{-2,2}3.62()x x-的展开式的常数项为 A.-120 B.-60 C.120 D.604.某实验室针对某种新型病毒研发了一种疫苗,并在500名志愿者身上进行了人体注射实验,发现注射疫苗的志愿者均产生了稳定的免疫应答｡若这些志愿者的某免疫反应蛋白M 的数值X(单位:mg/L)近似服从正态分布2(15,),N σ且X 在区间(10,20)内的人数占总人数的19,25则这些志愿者中免疫反应蛋白M 的数值X 不低于20的人数大约为A.30B.60C.70D.140 5.天文学中为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus,又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念｡星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大,它的光就越暗｡到了1850年,由于光度计在天体光度测量中的应用,英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念｡天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述｡两颗星的星等与亮度满足12212.5(lg lg )m m E E -=-,其中星等为i m 的星星的亮度为(1,2).i E i =已知"角宿一"的星等是0.97,"水委一"的星等是0.47.“水委一”的亮度是"角宿一"亮度的r 倍,则与r 最接近的是(当|x|较小时,2101 2.3 2.7x x x ≈++)A.1.56B.1.57C.1.58D.1.596.已知圆C:22(3)(3)9x y -++=,直线l:(m+1)x+(2-m)y-3m=0,则当圆心C 到直线l 的距离最大时,直线l 被圆C 所截得的弦长为A.4 .25B .23C .27D7.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥平面ABCD,底面ABCD 是梯形,2//,,43AB CD BCD AB π∠==,PD=BC=CD=2,则四棱锥P-ABCD 的外接球的表面积为A.16πB.18πC.20πD.24π8.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F(1,0),准线为l,过焦点F 的直线交抛物线C 于点A ､B(A 在x 轴上方),且点A 的横坐标为3,D 是y 轴正半轴上一点,O 为坐标原点,∠ODA 的角平分线过AF 的中点,则点D 的坐标为A.(0,2) 53.(0,)2B C.(0,3) .(0,33)D二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡9.已知曲线C:221.x y a b+= A.若C 是双曲线,则ab<0B.若a>0,C 是离心率为2的双曲线,则3b a =- C.若ab>0,则C 是椭圆D.若C 是离心率为12的椭圆,则34b a = 10.已知()cos()(0,0,0)f x A x B A ωϕωϕπ=++>><<,其部分图象如图所示,M ､N 分别为最高点､最低点,则A.A=7B.B=29 .4C πϕ= D.f(11)=32.511.如图,平面α∩平面β=直线l,点A,C ∈α,点B,D ∈β,且A ､B ､C ､D ∉l,点M ､N 分别是线段AB ､CD 的中点｡A.当直线AC 与BD 相交时,交点一定在直线l 上B.当直线AB 与CD 异面时,MN 可能与l 平行C.当A ､B ､C ､D 四点共面且AC//l 时,BD//lD.当M 、N 两点重合时,直线AC 与l 不可能相交12.已知数列{}n a 的通项公式是2,n n a =1a 和2a 之间插入1个数11,x 使1112,,a x a 成等差数列;在2a 和3a 之间插入2个数2122,x x ,使221223,,,a x x a 成等差数列;…;在n a 和1n a +之间插入n 个数12,,,n n n n x x x ,使121,,,,,n nn n n n a x x x a +成等差数列｡这样得到新数列{}:n b 1112212233132334,,,,,,,,,a x a x x a x x x a …,记数列{}n b 的前n 项和为,n S 则836.A a b =B.112132n n n n n n n a x x x a n -++++++=⋅ 38.320C b = 45.6401D S =三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡把答案填在答题卡中的横线上｡13.若向量a =(1,2),b -a =(-2,1),则a ·b =____.14.若函数21()7ln 2f x x x a x =-++在x=2处取极值,则a=____ ,f(x)的极大值为____.15.已知正实数a,b,c 满足22243,a b c +=则2c c a b +的最小值为____. 16.如图,在△ABC 中,,3BAC A π∠=B=3,AC=2,点D 为边BC 上一个动点,将△ABD 沿AD 翻折,使得点B到达B '的位置,且平面AB D '⊥平面ACD.当CD=_____时,B C '到最小值｡四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡17.(本小题满分10分)在3210,9,3a S b ==<-①②③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中｡设n S 为各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和,满足____2,36nn n a a S b +=+是否存在实数b,使得数列{}n a 成为等差数列?若存在,求出b 和数列{}n a 的通项公式;若不存在,请说明理由｡(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)18.(本小题满分12分)第七次全国人口普查是指中国在2020年开展的全国人口普查,普查标准时点是2020年11月1日零时,将彻查人口出生变动情况以及房屋情况｡普查对象是普查标准时点在中华人民共和国境内的自然人以及在中华人民共和国境外但未定居的中国公民,不包括在中华人民共和国境内短期停留的境外人员｡普查主要调查人口和住户的基本情况,内容包括:姓名､公民身份证号码､性别､年龄､民族､受教育程度､行业､职业､迁移流动､婚姻生育､死亡､住房情况等｡普查登记方式全程电子化方式普查,由普查员使用手机上门入户登记或由普查对象通过互联网自主填报｡某机构调查了100位居名的普查登记方式,数据统计如下表,部分数据缺失 普查员使用手机上门入户登记 通过互联网自主填报 年龄不超过40岁10 a 年龄超过40岁b 15已知从调查的居民中任取一人,其年龄不超过40岁的概率比其年龄超过40岁的概率大110. (1)求a,b 的值；(2)是否有99%的把握认为年龄与普查登记方式有关?附:22()()()()()n ad bc a b c K d a c b d -=++++其中n=a+b+c+d.P(K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001K 0 3.841 6.635 10.82819.(本小题满分12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知28sin 72cos2.2B C A -+-=(1)求A;(2)若7,a =b+c=5,求BC 边上的高.20.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,∠ACB=90°,1,.AC BC AB AA ==D ､E 分别是1CC 、1BB 的中点.(1)证明:1C E ⊥平面ACB 1；(2)求二面角1C AB D --的余弦值.21.(本小题满分12分)已知12F F 、分别为椭圆C:22184x y +=的左､右焦点,点M 是椭圆C 上异于左､右顶点的一点,过点1F 作12F MF ∠的外角平分线的垂线交2F M 的延长线于P 点.(1)当M 点在椭圆C.上运动时,求P 点的轨迹方程E.(2)设点N(t,0)(t≠0),过点N 作一条斜率存在且不为0的直线l 交椭圆C 于A,B 两点,点B 关于x 轴的对称点为B '直线AB '交x 轴于点T,O 是坐标原点,求证:|ON|·|OT|为定值.22.(本小题满分12分)已知函数2()ln 1.f x x x =-+(1)求曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若方程f(x)=b 有两个实数根12,,x x 且12,x x <证明:2112.x x b -<-。
2021年全国高考数学模拟试卷(三)(5月份)
2021年全国高考数学模拟试卷（三）（5月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|9﹣x2＞0}，B＝{x|0＜x﹣1≤3}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣3，4]B．[3，4]C．[﹣3，3）D．（3，4]2．（5分）若复数z满足z﹣iz＝3i+4，则|z|＝（）A．B．C．D．53．（5分）已知点P（，），O为坐标原点，线段OP原点O时针旋转，到达线段OP1，则点P1的坐标为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）4．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，若a n＝，则S99＝（）A．7B．8C．9D．105．（5分）命题“∀x＞2，x2+2＞6”的否定（）A．∃x≥2，x2+2＞6B．∃x≤2，x2+2≤6C．∃x≤2，x2+2＞6D．∃x＞2，x2+2≤66．（5分）在平面直角坐标系中，四点坐标分别为A（2，0），B（3，2﹣），C（1，2+），D（4，a），若它们都在同一个圆周上，则a的值为（）A．0B．1C．2D．7．（5分）《九章算术》是中国古代的一部数学著作，著作中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”．现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD是边长为4的正方形，△ADE与△BCF是等边三角形，EF∥AB，AB＝2EF，则该刍甍的外接球的半径为（）A．B．C．D．8．（5分）若不等式lnx≤ax+b恒成立，则2a+b的最小值为（）A．2B．3C．ln2D．5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．（5分）下列说法正确的是（）A．若，，为平面向量，∥，∥，则∥B．若，，为平面向量，⊥，⊥，则∥C．若||＝1，||＝2，（）⊥，则在方向上的投影为﹣D．在△ABC中，M是AB的中点，＝3，BN与CM交于点P，＝+，则λ＝2μ10．（5分）若正实数a，b满足a+b＝2，则下列说法正确的是（）A．ab的最大值为1B．的最大值为2C．a2+b2的最小值为1D．2a2+b2的最小值为11．（5分）在（x2+x+1）3（x2+）2的展开式中，下列说法正确的是（）A．x4的系数为16B．各项系数和为108C．无x5项D．x2的系数为812．（5分）若函数f（x）＝，g（x）＝xf（x），则下列说法正确的是（）A．f（x）为周期函数，无最小正周期B．g（x）为单调函数C．∀x1，x2∈R，∃x3∈R满足g（x3）＝成立D．∀x1∈R，∃x2∈R满足g2（x2）＝g（x1）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年山东省新高考高考数学二模试卷(学生版+解析版)
2021年山东省新高考高考数学二模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知M ，N 均为R 的子集，且RM N ⊆，则(R MN = )A ．∅B ．MC ．ND ．R2．（5分）若复数z 满足12||2i z ⋅=，则(z = ) A ．12B ．12-C ．12i -D ．12i3．（5分）在ABC ∆中，“3A π=”是“1cos 2A =”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）实数x 、y 满足22326x y x +=，则22x y +的最大值为( ) A ．72B ．4C ．92D ．55．（5分）若过点(4,3)A 的直线l 与曲线22(2)(3)1x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[B ．(C ．[D ．(6．（5分）在ABC ∆中，9AC =，60A ∠=︒，D 点满足2CD DB =，AD =，则BC 的长为( )A ．B ．C ．D ．67．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是( ) A ．20202020S =，20156a a < B ．20202020S =，20156a a >C ．20202020S =-，20156a aD ．20202020S =-，20156a a8．（5分）在探索系数A ，ω，ϕ，b 对函数sin()(0y A x b A ωϕ=++>，0)ω>图象的影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin(2)13g x x π=-+的图象，且已知其中有一步是向右平移3π个单位，则变换的方法共有( ) A ．6种B ．12种C ．16种D ．24种二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）如图，正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A SBE -底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是( )A ．AS CD ⊥B ．正四棱锥S BCDE -2C ．正四棱锥S BCDE -的内切球半径为2(1a D ．由正四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱10．（5分）一个等腰直角三角形ABC 内有一个内接等腰直角三角形PQR ，（即P ，Q ，R 三点分别在三角形ABC 三边或顶点上），则两三角形面积比PRQ ABCS S ∆∆的值可能为( )A ．14B ．15C ．16D ．1711．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，A 、B 分别为双曲线的左，右顶点，1F 、2F 为左、右焦点，12||2F F c =，且a ，b ，c 成等比数列，点P 是双曲线C 的右支上异于点B的任意一点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是( ) A ．当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒B ．双曲线的离心率15e +=C ．12k k 15+D ．若I 为△12PF F 的内心，满足1212()IPF IPF IF F SSxSx R =+∈，则x =12．（5分）若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +和()G x kx b +恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数2()()f x x x R =∈，1()(0)g x x x=<，()2(h x elnx e =为自然对数的底数），则()A ．()()()m x f x g x =-在(x ∈内单调递增B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4-，1]D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线” y e =- 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ． 14．（5分）2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方” ( “三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是 ． 15．（5分）已知三棱锥A BCD -，5AB AD BC CD ====，8BD =，3AC =，则以点C 为球心，ABD 的交线长为 ．16．（5分）任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m =，则经过 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为 ．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②sinsin 2B Cb a B +=，③sin cos()6a Bb A π=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b c +=，___，求A 和C ． 18．（12分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件，若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为(1)n -千元时多卖出2nb件(*)n N ∈． （1）求当1n =时，销售量1a ；当2n =时，销售量2a ； （2）试写出当广告费为n 千元时，销售量n a ；（3）当10a =，4000b =时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？ 19．（12分）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且2FB =，M ，N 分别为EF ，AB 的中点．（1）求证：//MN 平面FCB ；（2）若直线AF 与平面FCB 所成的角为60︒，求平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份x1 2 3 4 5 6 不“礼让行人”驾驶员人数y120105100859080（1）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X ，若X 服从正态分布~(8,9)X N ，求该月没能在14天内缴纳人数．参考公式：112211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． ()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．21．（12分）已知函数32()231f x ax ax =-+，3()(0)42a g x x a =-+<．（1）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，总存在唯一一个1[1x ∈-，5]4，使得10()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（2）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，在区间[1-，5]4上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得120()()()f x f x g x ==成立，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，过右焦点(1,0)F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，点P 在x 轴上方，当PQ x ⊥轴时，//(OP AD O 为坐标原点）． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线AP 交直线BQ 于点M ，直线BP 交直线AQ 于点N ，则MFN ∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2021年山东省新高考高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知M ，N 均为R 的子集，且RM N ⊆，则(R MN = )A ．∅B ．MC ．ND ．R【解答】解：用Venn 图表示M ，N 如下：由Venn 图看出，RM N ⊆，R MN N =．故选：C ．2．（5分）若复数z 满足132||2i z ⋅=，则(z = ) A ．12B ．12-C ．12i -D ．12i【解答】解：由2213132||()()1222i z ⋅=+=+， 得211222i z i i i -===--． 故选：C ．3．（5分）在ABC ∆中，“3A π=”是“1cos 2A =”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：在ABC ∆中，若3A π=，则1cos 2A =，是充分条件， 在ABC ∆中，若1cos 2A =，则3A π=，是必要条件，故选：C ．4．（5分）实数x 、y 满足22326x y x +=，则22x y +的最大值为( )A ．72B ．4C ．92D ．5【解答】解：实数x 、y 满足22326x y x +=， 223302y x x ∴=-，因此02x ， 22221193(3)222x y x x x ∴+=-=--+，02x ，∴当2x =时，22x y +的最大值为4．故选：B ．5．（5分）若过点(4,3)A 的直线l 与曲线22(2)(3)1x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[B ．(C ．[D ．( 【解答】解：由题意，易知，直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为3(4)y k x -=-，即340kx y k -+-=， 曲线22(2)(3)1x y -+-=表示圆心(2,3)，半径为1的圆， 圆心(2,3)到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，∴1，即2|2|1k k -+，解得3k ， 故选：C ．6．（5分）在ABC ∆中，9AC =，60A ∠=︒，D 点满足2CD DB =，AD =，则BC 的长为( )A ．B ．C ．D ．6【解答】解：2CD DB =，∴1112()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+， ||37AD AD ==||9AC AC ==，60A =︒，设AB c =∴9||||cos 2AB AC AB AC A c ⋅==则222212144437()92339999AC AB AC AC AB AB c c =+=+⋅+=++，∴整理可得，2291260c c +-=0c >解可得，6c =，由余弦定理可得，2222cos a c b bc A =+-⋅ 22196296632=+-⨯⨯⨯=， BC ∴的长为37．故选：A ．7．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是( ) A ．20202020S =，20156a a < B ．20202020S =，20156a a >C ．20202020S =-，20156a aD ．20202020S =-，20156a a【解答】解：设3()2019f x x x =+，则()f x 为奇函数且单调递增， 因为366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-， 所以62015(1)(1)a a -=--，且6201511a a ->-， 即620152a a +=，62015a a >，202012020620151010()1010()2020S a a a a =+=+=，故选：A ．8．（5分）在探索系数A ，ω，ϕ，b 对函数sin()(0y A x b A ωϕ=++>，0)ω>图象的影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin(2)13g x x π=-+的图象，且已知其中有一步是向右平移3π个单位，则变换的方法共有( ) A ．6种B ．12种C ．16种D ．24种【解答】解：因为左右变换，是向右平移3π个单位，所以要求左右平移变换在周期变换之前，有其他三步可以自由排列，故有442212A A =中排法．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）如图，正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A SBE -底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是( )A ．AS CD ⊥B ．正四棱锥S BCDE -2C ．正四棱锥S BCDE -的内切球半径为2(1a D ．由正四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱 【解答】解：对于A ，取BE 的中点H ，连结AH ，SH ， 正三棱锥A SBE -中，AH BE ⊥，SH BE ⊥，又AH SH H =，AH ，SH ⊂平面SAH ，所以BE ⊥平面SAH ，因为AS ⊂平面SAH ，则BE AS ⊥，又//BE CD ，所以AS CD ⊥，故选项A 正确； 对于B ，设底面中心为O '，球心为O ，半径为R ，因为正四棱锥S BCDE -外接球的球心在O S '上，所以OS OB R ==， 因为正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，所以2O B O S ''==，由222()OB O B O S OS ''=+-，可得22222()()R a a R =+-，解得2R a =，故选项B 正确；对于C ，设内切球半径为r ，可求得侧面面积为2213sin 23S a a π=⋅⋅=， 由等体积法可得222121134333a a a r a r ⋅=⋅+⋅⋅⋅，解得(62)ar -=，故选项C 错误； 对于D ，取SE 的中点F ，连结AF ，DF ，BF ，则BFD ∠和BFA ∠分别是D SE B --和A SE B --的二面角的平面角，由222222233()()(2)122cos 2332()a a a BF DF BDBFD BF DFa +-+-∠===-⋅⋅， 222222233()()122cos 2332()a a a AF BF BAAFD AF BFa +-+-∠===⋅⋅， 故BFD ∠与BFA ∠互补，所以ASDE 共面，又因为AS AE ED SD BC ====，则ASDE 为平行四边形，故////AS ED BC ， 故四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱，故选项D 正确． 故选：ABD ．10．（5分）一个等腰直角三角形ABC 内有一个内接等腰直角三角形PQR ，（即P ，Q ，R 三点分别在三角形ABC 三边或顶点上），则两三角形面积比PRQ ABCS S ∆∆的值可能为( )A ．14B ．15C ．16D ．17【解答】解析：如图，由两种情况：（1）左图中R 为AB 中点，设ABC ∆的直角边长a ，为PQR ∆的直角边长为x ，PQC α∠= 则sin()2cos 2(cos sin )sin4x a CQ QB x x πααααπ-=+=+=+⇒12(cos sin )2sin()4x a πααα==++⇒21()4PRQ min ABC S x S a ∆∆==（2）右图中，3sin()4cos (2cos sin )sin 4x a CQ QB x x πααααπ-=+=+=+⇒ 12cos sin 5cos()x a αααθ==++，tan 2θ=， ⇒21()5PRQ maxABCS x S a ∆∆==， 所以1[4PRQ ABCS S ∆∆∈，1]5， 故选：AB ．11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b -=>>，A 、B 分别为双曲线的左，右顶点，1F 、2F 为左、右焦点，12||2F F c =，且a ，b ，c 成等比数列，点P 是双曲线C 的右支上异于点B的任意一点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是( ) A ．当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒B ．双曲线的离心率15e +=C ．12k k 15+D ．若I 为△12PF F 的内心，满足1212()IPF IPF IF F SSxSx R =+∈，则51x -=【解答】解：因为a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =，A 中，2PF x ⊥轴时，P 的坐标为：2(,)b c a即(,)P c c ，所以21212||1tan ||22PF c PF F F F c ∠===，所以1230PF F ∠≠︒，所以A 不正确； B 中，因为2b ac =，所以可得22c a ac -=，可得210e e --=，又1e >，解得：51e+=，所以B正确；C，设(P x，)y，则2200221x ya b-=，所以2222002x ay ba-=⋅，由题意可得(,0)A a-，(,0)B a，所以2200012222000y y y bk kx a x a x a a=⋅==+--，由2b ac=，可得1215ck ka+==，所以C正确；D中因为1212IPF IPF IF FS S xS=+，所以1212111||||||222PF r PF r x F F r⋅=⋅+⋅⋅，可得1212||||251||215PF PF axF F c--====+，所以D正确；故选：BCD．12．（5分）若存在实常数k和b，使得函数()F x和()G x对其公共定义域上的任意实数x都满足：()F x kx b+和()G x kx b+恒成立，则称此直线y kx b=+为()F x和()G x的“隔离直线”，已知函数2()()f x x x R=∈，1()(0)g x xx=<，()2(h x elnx e=为自然对数的底数），则( )A．()()()m x f x g x=-在3(2x∈内单调递增B．()f x和()g x之间存在“隔离直线”，且b的最小值为4-C．()f x和()g x间存在“隔离直线”，且k的取值范围是[4-，1]D．()f x和()h x之间存在唯一的“隔离直线”y ex e=-【解答】解：21:()()()A m x f x g x x x =-=-，(x ∈， ∴21()20m x x x '=+>，故()m x在(内单调递增，故A 正确； B ，C ：设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，则21x kx bkx b x ⎧+⎪⎨+⎪⎩对任意0x <恒成立， 故22010x kx b kx bx ⎧--⎨+-⎩对任意0x <恒成立，由210kx bx +-对任意0x <恒成立， 若0k =，则0b =符合题意，0k <，则20x kx b --对任意x 都成立，又102x k =<轴，从而2140k b =+，所以0b ，则02bx k'=-轴， ∴△2240b k =+，即24k b -且24b b -，421664k b k ∴-，故40k -<，同理可得，421664b k b -即40b -<，B 正确C 错误；D ：函数()f x 和()h x的图象在x =一定存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率k ，则隔离直线方程(y e k x -=，即y kx e =-， 由()(0)f x kx k e e x ->恒成立， 若0k =，则20x e -，(0)x >不恒成立， 若0k <，由20(0)x kx e x -+>恒成立，令2()u x x kx e =-+，(0)x >，则()u x 在上单调递增，0u =， 故0k <不恒成立，不符合题意，故0k >，可得20x kx e -+在0x >时恒成立，102x k '=>轴，则23(20k =-时只有k=y e =-，下面证明()2h x ex e -，令()()2G x e h x e elnx =--=--，则()G x '=，易得，当0x <<时，()0G x '<，函数单调递减，当x ()0G x '>，函数单调递增，故当x 0，也是最小值， 所以()0G x ，故()2h x e e -，所以()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线y e =-，故D 正确， 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 3 ． 【解答】解：而项式25201234555552108642111111(2)(1)(2)(1)x x C C C C C x x x x x x+-=+⋅⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-， 故它的展开式的常数项为4523C -=， 故答案为 3．14．（5分）2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方” ( “三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是 49． 【解答】解：将三药分别记为A ，B ，C 三方分别记为a ，b ，c ，选择一药一方的基本事件如表所示，共有9个组合，则两名患者选择药方完全不同的情况有116424m C C ==（种)，两名患者可选择的药方共有119654n C C ==（种)， 所以两人选取药方完全不同的概率是244549m P n ===． 故答案为：49． 15．（5分）已知三棱锥A BCD -，5AB AD BC CD ====，8BD =，3AC =，则以点C 为球心，22为半径的球面与侧面ABD 的交线长为 5π ．【解答】解：如图，取BD 中点E ，连接AE ，CE ，5AB AD ==，5BC CD ==，AE BD ∴⊥，CE BD ⊥，又8BD =，∴22543AE CE ==-=， 3AC =，AEC ∴∆为等边三角形，取AE 中点F ，则CF AE ⊥，可得223333()2CF -=．又设C 到AB （或)AD 的距离为h ， 由22111()222ABC S AB h AC AB AC ∆=⋅=- 可得9325391422h ⨯-==>∴以C 为球心，22ABD 的交线为圆，圆的半径为22335(22)()2r =-=， 则交线长为525ππ=． 5π．16．（5分）任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m =，则经过 5 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为 ． 【解答】解：当5m =时，5168421→→→→→共5步雹程变成1，若m 需经过5步雹程首次变成1则1248165←←←←←或12481632←←←←←两种情况，即5m =或32m =，则53237+=， 故答案为：5，37．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②sinsin 2B Cb a B +=，③sin cos()6a Bb A π=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b c +=，___，求A 和C ．【解答】解：若选①，22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，由正弦定理可得22()b c a bc -=-， 则222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又0A π<<， 3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 2C C -=sin()6C π∴-=， 64C ππ∴-=，512C π∴=． 若选②，sin sin 2B C b a B +=，由正弦定理可得sin sin()sin sin 22AB A B π-=， sin 0B ≠，cos 2sin cos 222A A A ∴=， cos 02A≠， 1sin 22A ∴=， 022A π<<， 3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 22C C -=sin()6C π∴-=， 64C ππ∴-=，512C π∴=． 若选③sin cos()6a B b A π=-，由正弦定理可得sin sin sin cos()6A B B A π=-，sin 0B ≠，sin cos()6A A π∴=-，62A A ππ∴+-=或26A A ππ+=-，3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 2C C -=sin()6C π∴-=，64C ππ∴-=，512C π∴=． 18．（12分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件，若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为(1)n -千元时多卖出2n b件(*)n N ∈． （1）求当1n =时，销售量1a ；当2n =时，销售量2a ； （2）试写出当广告费为n 千元时，销售量n a ；（3）当10a =，4000b =时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？ 【解答】解：（1）设0a 表示广告费为0千元时的销售量，则0a b =， 102b a a -=，所以132a b =； 2122b a a -=，所以274b a =． （2）设0a 表示广告费为0千元时的销售量，则0a b =， 由题：10212122........2n n nb a a b a a b a a -⎧-=⎪⎪⎪-=⎪⎨⎪⎪⎪-=⎪⎩，相加可得02....222n n b b ba a -=+++，即121112....(2)1222212n n n nb b b a b b b +-=++++=⨯=--； （3）当4000b =时，14000(2)2n na =-， 设获利为n T ，则有110100040000(2)10002n n n T a n n =⨯-=--， 欲使n T 最大，则11n n n n T TT T +-⎧⎨⎩，所以：111140000(2)100040000(2)1000(1)221140000(2)100040000(2)1000(1)22n n n n n n n n +-⎧----+⎪⎪⎨⎪-----⎪⎩，解得55n n ⎧⎨⎩，故5n =，此时7875n a =，即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．19．（12分）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且2FB =，M ，N 分别为EF ，AB 的中点．（1）求证：//MN 平面FCB ；（2）若直线AF 与平面FCB 所成的角为60︒，求平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取BC 的中点Q ，连接NQ ，FQ ，（1分） 则1//2NQ AC ，（2分）又1//2MF AC ，所以//MF NQ所以四边形MNQF 为平行四边形，所以//MN FQ ，（3分） 又因为FQ ⊂平面FCB ，MN ⊂/平面FCB ，（4分） 所以//MN 平面FCB （5分）（2）由四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒， 可得1BC =，3AC ，所以90ACB ∠=︒，所以AC BC ⊥．（6分） 又因为四边形ACFE 为矩形，所以AC CF ⊥，所以AC ⊥平面FCB ， 所以AFC ∠为直线AF 与平面FCB 所成的角，即60AFC ∠=︒，（7分） 所以1FC =．又因为2FB =222FB FC CB =+，所以FC BC ⊥．（8分） 则可建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，3(3,0,0),(0,1,0),(A B M ，所以3(,0,1),(3,1,0)MA AB =-=-设(,,)m x y z =为平面MAB 的法向量，则取23x =(23,6,3)m =为平面MAB 的一个法向量，（10分） 又(0,1,0)n =为平面MAC 的一个法向量，（11分） 所以657257cos ,||||571m n m n m n ⋅〈〉====⨯，故平面MAB 与平面MAC 257．（12分） 20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份x1 2 3 4 5 6 不“礼让行人”驾驶员人数y120105100859080（1）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X ，若X 服从正态分布~(8,9)X N ，求该月没能在14天内缴纳人数．参考公式：112211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． ()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．【解答】解：（1）请根据表中所给前5个月的数据，计算1(12345)35x =⨯++++=， 1(1201051008590)1005y =⨯++++=， 5152222221()()22015001(5)2(10)ˆ8(2)(1)012()ii i ii x x y y b x x ==---⨯-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑ ˆˆ100(8)3124ay bx =-=--⨯=， y ∴与x 之间的回归直线方程ˆ8124yx =-+， （2）由（1）知ˆ8124yx =-+，当6x =时，ˆ8612476y =-⨯+=， 且806745-=<，6∴月份该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”． （3）因为X 服从正态分布(8,9)X N ∽，所以(214)0.9544P X <<=， 该月没能在14天内缴纳人数为10.95449022-⨯=人． 21．（12分）已知函数32()231f x ax ax =-+，3()(0)42a g x x a =-+<． （1）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，总存在唯一一个1[1x ∈-，5]4，使得10()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（2）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，在区间[1-，5]4上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得120()()()f x f x g x ==成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，()6(1)f x ax x '=-， 因为514x -，所以由()0f x '<，解得10x -<或514x <，由()0f x '>，解得01x <<， 故()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为[1-，0)和(1，5]4， (1)15f a -=-，(0)1f =，f （1）1a =-，525()1432a f =-， 所以()f x 的值域为[1，15]a -，又因为()g x 在[1-，5]4上单调递增， 所以()g x 的值域为3[24a +，35]216a -，问题转化为直线y t=，3[24at∈+，35]216a-和曲线()([1y f x x=∈-，5])4的图象只有一个交点，结合图象，有31243515216aaaa⎧-<+⎪⎪⎨⎪--⎪⎩，解得a的取值范围是2(5-，8]75-．（2）由（1）可知，问题转化为y t=，3[24at∈+，35]216a-和曲线()([1y f x x=∈-，5])4二者的图象有两个不同的交点，结合图象，有31242535132216aa a⎧<+⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩，解得a的取值范围是16(2,)15--．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，过右焦点(1,0)F的直线交椭圆C于P，Q两点，点P在x轴上方，当PQ x⊥轴时，//(OP AD O为坐标原点）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线AP交直线BQ于点M，直线BP交直线AQ于点N，则MFN∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）当PQ x⊥轴时，点P的横坐标Px c=代入椭圆C的方程，可得点P的纵坐标2Pbya=，由题意知1c=，(,0)A a-，(0,)D b，又当OP x⊥轴时，//OP AD，所以2b ba a=，得1b=，所以2222a b c =+=，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=； （2）MFN ∠为定值，且定值为2π，理由如下： 由（1）得((0,1),A D B ，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，3(,)M t y ，设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程可得221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得22(2)210m y my ++-=， 则12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 由A ，P ，M因为221112x y +=，所以22111221)y x x x =-=，1=②， 由①②1=， 由B ，Q ，M=， 由③④12= 分别将111x my =+，221x my =+代入，21212121)()32m y y m y y y y -++-+=， 将12122221,22m y y y y m m +=-=-++代入并整理，3=-2t =，设4(,)N t y '，同理可得2t '=，由B ，P ，N=⑤，由③⑤得341y y =-，所以3434(21,)(21,)10FM FN y y y y ⋅=-⋅-=+=， 所以MFN ∠为定值2π．。
山东省(新高考)2021届高三第二次模拟考试卷 数学(一) Word版含答案
山东省（新高考）2021届高三第二次模拟考试卷数 学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，{}220B x x x =∈--≤Z ，若{}0,1A B =，则BA =（ ）A ．{}1,1-B ．{}1,2C ．{}1,1,2-D ．{}1,2-2．已知复数(3i)(32i)()z a a =-+∈R 的实部与虚部的和为7，则a 的值为（ ） A ．1B ．0C ．2D ．2-3．某自来水厂一蓄水池可以用甲､乙两个水泵注水，单开甲泵需15小时注满，单开乙泵需18小时注满，若要求10小时注满水池，并且使两泵同时开放的时间尽可能地少，则甲、乙两水泵同时开放的时间最少需（ ） A ．4小时B ．7小时C ．6小时D ．14小时4．33x y >⎧⎨>⎩是69x y x y +>⎧⎨⋅>⎩成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()2234x f x x x -=+-，且()()2log 3f a f >，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()(),28,-∞+∞B ．()0,2C ．()()0,28,+∞D ．()8,+∞6．已知数列{}n a 中，11a =，()111n n n n a a a n a ++*-=⋅∈N ，若110m a =，则m =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．117．已知函数()()π8sin 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，若()f x 在,243πm ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2π23m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．55π,π64⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．π,3π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,π8π3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8．若,,a b c 均为单位向量，且0⋅=a b ，()()0-⋅-≤a c b c ，则+-a b c 的最大值为（ ） A ．21- B ．1C ．2D ．2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知正方体1111ABC A B C D -的棱长为4，M 为1DD 的中点，N 为ABCD 所在平面上一动点，则下列命题正确的是（ ）A ．若MN 与平面ABCD 所成的角为π4，则点N 的轨迹为圆 B ．若4MN =，则MN 的中点P 的轨迹所围成图形的面积为2π C ．若点N 到直线1BB 与直线DC 的距离相等，则点N 的轨迹为抛物线D ．若1D N 与AB 所成的角为π3，则点N 的轨迹为双曲线 10．将4男、4女共8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组，则下列说法正确的是（ ）A ．4位女同学分到同一组的概率为135 B ．男生甲和女生乙分到甲组的概率为314C ．有且只有3位女同学分到同一组的概率为3235D ．4位男同学不同时分到甲组的概率为3435此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号11．意大利画家列奥纳多·达·芬奇（1452．4—1519．5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：()coshxf x a a=，其中a 为悬链线系数，cosh x 称为双曲余弦函数，其函数表达式为cosh 2x x e x e -+=，相应地双曲正弦函数的表达式为sinh 2x xe x e --=．若直线x ＝m 与双曲余弦函数C 1与双曲正弦函数C 2的图象分别相交于点A ，B ，曲线C 1在点A 处的切线l 1与曲线C 2在点B 处的切线l 2相交于点P ，则下列结论正确的为（ ）A ．cosh cosh cosh sinh s )inh (x y x y x y --=B ．sinh cosh y x x =是偶函数C ．()cosh sinh x x '=D ．若PAB △是以A 为直角顶点的直角三角形，则实数0m = 12．关于函数()2ln f x x x=+，下列判断正确的是（ ） A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数yf x x 有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则124x x +>第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．()6x y z +-的展开式中23xy z 的系数是________．14．如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，263BD =，AB AC ⊥，2AC AB =，则CD 的最小值为_______．15．已知函数2πcos ,11()21,||1x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，则关于x 的方程2()3()20f x f x -+=的实根的个数是_______．16．已知圆()221:31C x y ++=，()222:381C x y -+=，动圆C 与圆1C 、2C 都相切，则动圆C的圆心轨迹E 的方程为_____________；直线l 与曲线E 仅有三个公共点，依次为P 、Q 、R ，则PR的最大值为________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，63219S S =，1121a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）在①π2A C =+；②5415cos c a A -=；③ABC △的面积3S =．这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，且______，______，求c ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（12分）已知四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB DC ∥，2AD DC ==，4AB =，△ADE 为等边三角形，且平面ADE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AE ⊥BD ；（2）是否存在一点F ，满足EF EB λ= (01λ<≤)，且使平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为6513．若存在，求出λ的值，否则请说明理由．20．（12分）某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有*()n n ∈N 份血液样本，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n 次；②混合检验，将其(k k *∈N 且2k ≥)份血液样木分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为()01p p <<．（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中(k k *∈N 且2k ≥)份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ．①记E (ξ)为随机变量ξ的数学期望．若12()()E E ξξ=，运用概率统计的知识，求出p 关于k 的函数关系式()p f k =，并写出定义域； ②若141p e-=-，且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k 的最大值．参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln5 1.6094≈．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点12,F F 为椭圆C 的左、右焦点． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1F 分别作两条互相垂直的直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与直线1x =交于点P ．若11AF F B λ=，且点Q 满足QA QB λ=，求1PQF △面积的最小值．22．（12分）已知函数2()x f x e ax x =--．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若函数()()F x f x x =+有两个极值点1x ，2x ，求证：212(ln(2))x x a <．数 学答 案第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】由不等式22(2)(1)0x x x x --=-+≤，解得12x -≤≤，所以{}1,0,1,2B =-，又由{}0,1AB =且{}0,A a =，所以1a =，即{}0,1A =，由补集的概念及运算，可得{}1,2BA =-，故选D ．2．【答案】C【解析】2(3i)(32i)32i 9i 6i 36(29)i z a a a a a =-+=+--=++-， 所以复数z 的实部与虚部分别为36a +，29a -， 于是36297a a ++-=，解得2a =，故选C ． 3．【答案】C【解析】根据题意开放水泵的工序流程图有两个方案： 方案一：甲､乙两泵同时开放→甲泵开放 方案二：甲､乙两泵同时开放→乙泵开放如果用方案一注水，可设甲､乙两泵同时开放的时间为x 个小时，由题意得方程111(10)1181515x x ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，解得6x =(小时)； 如果用方案二注水，可设甲､乙两泵同时注水的时间为y 个小时， 则111(10)1181518y y ⎛⎫++-=⎪⎝⎭，解得602693y ==(小时)，所以选方案一注水，可得甲､乙两水泵同时开放注水的时间最少，需6个小时，故选C ． 4．【答案】A【解析】充分性显然成立， 必要性可以举反例：10x =，52y =，显然必要性不成立， 故选A ．5．【答案】C【解析】∵()()()()22224344434xx f x x x x x f x ---=+---=+-=，∴()f x 的图象关于直线2x =对称， ∵23x y -=和24y x x =-都在(),2-∞上是减函数，在()2,+∞上是增函数，∴()f x 在(),2-∞上为减函数，在()2,+∞上为增函数． 又()()2log 3f a f >，∴2log 2321a ->-=，即2log 1a <或2log 3a >，解得02a <<或8a >，故选C ． 6．【答案】C 【解析】111111n n n n n na a a a a a +++-=-=⋅，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以1为首项，公差1d =的等差数列， 所以11(1)1n n n a =+-⨯=，所以1n a n=， 由1110m a m ==，所以10m =，故选C ． 7．【答案】B 【解析】由题意可得2ππω=，求得2ω=，令πππ2π22π,232k x k k -≤-≤+∈Z ，求得π5πππ,1212k x k k -≤≤+∈Z ，由ππ3π2π22π,232k x k k +≤-≤+∈Z ，求得5π11πππ,1212k x k k +≤≤+∈Z ， 因为()f x 在,243πm ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2π23m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以5π5π5π3125π64212m m m ⎧≤⎪⎪⇒≤≤⎨⎪≥⎪⎩，所以实数m 的取值范围是55π,π64⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选B ． 8．【答案】B【解析】由题意知，2221===a b c ， 又0⋅=a b ，∵()()20-⋅-=⋅-⋅-⋅+≤a c b c a b a c c b c ， ∴21⋅+⋅≥⋅+=a c b c a c b ，∴()2222221110211+-=+++⋅-⋅+⋅≤+++-⨯=a b c a b c a b a c b c ， ∴1+-≤a b c ，即+-a b c 的最大值为1，故选B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．【答案】ACD 【解析】如图：对于A ，根据正方体的性质可知，MD ⊥平面ABCD ，所以MND ∠为MN 与平面ABCD 所成的角， 所以π4MND ∠=，所以1114222DN DM DD ===⨯=，所以点N 的轨迹为以D 为圆心，2为半径的圆，故A 正确；对于B ，在直角三角形MDN 中，22224223DN MN MD =--=，取MD 的中点E ，因为P 为MN 的中点，所以PE DN ∥，且132PE DN ==因为DN ED ⊥，所以PE ED ⊥，即点P 在过点E 且与1DD 垂直的平面内，又PE =所以点P 其面积为2π3π⋅=，故B 不正确； 对于C ，连接NB ，因为1BB ⊥平面ABCD ，所以1BB NB ⊥，所以点N 到直线1BB 的距离为NB ，所以点N 到点B 的距离等于点N 到定直线CD 的距离，又B 不在直线CD 上，所以点N 的轨迹为以B 为焦点，CD 为准线的抛物线，故C 正确； 对于D ，以D 为原点，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则(4,0,0)A ，(4,4,0)B ，1(0,0,4)D ， 设(,,0)N x y ，则(0,4,0)AB，1(,,4)D N x y =-，因为1D N 与AB 所成的角为π3，所以1π|cos ,|cos 3AB D N <>=，所以1||2=，整理得22311616y x -=，所以点N 的轨迹为双曲线，故D 正确， 故选ACD ． 10．【答案】AB【解析】8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组的不同分法为4484C C 70⋅=，A 选项，4位女同学分到同一组的不同分法只有2种，其概率为217035=，对； B 选项，男生甲和女生乙分到甲组的不同分法为2464C C 15⋅=，其概率为1537014=，对； C 选项，有且只有3位女同学分到同一组3144C 32C 2⋅⋅=种， 则有且只有3位女同学分到同一组的概率为32167035=，错； D 选项，4位男同学同时分到甲组只有1种，其概率为170， 则4位男同学不同时分到甲组的概率为16917070-=，错， 故选AB ． 11．【答案】ACD【解析】cosh cosh sinh sinh 2222x x y y x x y ye e e e e e e e x y x y ----++---=⋅-⋅()2cosh x y x y x y e e --++==-，A 正确；22sinh c 4osh x x y x x e e --==，记22()4x xe e h x --=， 则22()()4x xe e h x h x ---==-，()h x 为奇函数，即sinh cosh y x x =是奇函数，B 错误； ()22x x x x e e e e --+-'=，即()cosh sinh x x '=，C 正确；对于D ，因为AB x ⊥轴，因此若△P AB 是以A 为直角顶点的直角三角形， 则0PA k =，由02m A mP e k e --==，解得0m =，D 正确，故选ACD ． 12．【答案】BD【解析】A ：函数()f x 的定义域为0,，()22212x f x x x x-'=-+=， 当()0,2x ∈时，0f x，()f x 单调递减；当()2,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误；B ：()2ln y f x x x x x =-=+-，22221210x x y x x x-+'=-+-=-<， 所以函数在0,上单调递减，又()112ln1110f -=+-=>，()221ln 22ln 210f -=+-=-<， 所以函数yf x x 有且只有1个零点，故B 正确；C ：若()f x kx >，即2ln x kx x +>，则22ln xk x x<+． 令()22ln x g x x x=+，则()34ln x x xg x x -+-'=． 令()4ln h x x x x =-+-，则()ln h x x '=-，当()0,1∈x 时，()0h x '>，()h x 单调递增；当()1,∈+∞x 时，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以0g x ，所以()22ln x g x x x=+在0,上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立，故C 错； D ：因为()f x 在()0,2上单调递减，在2,上单调递增，∴2x =是()f x 的极小值点．∵对任意两个正实数1x ，2x ，且21x x >，若()()12f x f x =，则1202x x <<<． 令()211x t t x =>，则21x tx =， 由()()12f x f x =，得121222ln ln x x x x +=+，∴211222ln ln x x x x -=-， 即()2121212ln x x x x x x -=，即()11121ln t x t x tx -=⋅，解得()121ln t x t t -=，()2121ln t t x tx t t-==，所以21222ln t x x t t-+=．故要证124x x +>，需证1240x x +->，需证22240ln t t t -->，需证2224ln 0ln t t tt t-->． ∵211x t x =>，则ln 0t t >，∴证2224ln 0t t t -->． 令()()2224ln 1H t t t t t =-->，()()44ln 41H t t t t '=-->，()()()414401t H t t t t-''=-=>>，所以()H t '在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t '→，则()0H t '>，所以()H t 在1,上是增函数．因为1t →时，()0H t →，则()0H t >，所以2224ln 0ln t t tt t-->，∴124x x +>，故D 正确， 故选BD ．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】60- 【解析】()()66x y z x y z +-=+-⎡⎤⎣⎦，所以，()6x y z +-的展开通项为()616C rr r r A x y z -+=⋅⋅-，()ry z -的展开式通项为()()1C C 1k kk r k kr k k k r r B y z y z --+=⋅⋅-=⋅-⋅⋅，所以，()6x y z +-的展开式通项可以为()61,16C C 1kr kr r k k r k r T x y z --++=⋅⋅⋅-，其中06k r ≤≤≤且k 、r ∈N ，令6123r r k k -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得53r k =⎧⎨=⎩，因此，()6x y z +-的展开式中23xy z 的系数是()35365C C 160⋅-=-，故答案为60-．14．【答案】3【解析】设ADB θ∠=，在ABD △中，由正弦定理得sin sin AB BD BADθ=∠，即3sin sin AB BAD θ=∠，整理得sin AB BAD θ⋅∠=．由余弦定理得222112cos 33AB AD BD AD BD θθ=+-⋅⋅⋅=-，因为AB AC ⊥，所以π2BAD DAC ∠=+∠． 在ACD △中， 由余弦定理得22222cos 12sin CD AD AC AD AC DAC AB BAD =+-⋅⋅∠=+-⋅∠25258sin()33θθθϕ=-=-+（其中tan ϕ=， 所以当sin()1θϕ+=时，min CD =15．【答案】5【解析】由2()3()20f x f x -+=，知()2f x =或()1f x =，∴由函数()f x 解析式，知：当()2f x =时，有212x -=，解得x =||1x >； 当()1f x =时，若πcos12x=且11x -≤≤，有0x =； 若211x -=，解得x =||1x >， ∴综上知：方程一共有5个根，故答案为5．16．【答案】2212516x y +=或221167x y +=，152 【解析】已知圆()221:31C x y ++=，()222:381C x y -+=，则圆1C 内含于圆2C ， 圆1C 的圆心为()13,0C -，半径为11r =； 圆2C 的圆心为()23,0C ，半径为29r =． 设动圆C 的半径为r ，分以下两种情况讨论： ①圆C 与圆1C 外切，与圆2C 内切，由题意可得1219CC r CC r ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，121106CC CC CC ∴+=>=，此时，圆C 的圆心轨迹E 是以1C 、2C 分别为左、右焦点，长轴长为1210a =的椭圆，15a ∴=，13c =，则14b ==，此时，轨迹E 的方程为2212516x y +=； ②圆C 与圆1C 、2C 都内切，且12r r r <<，由题意可得1219CC r CC r ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，12186CC CC CC ∴+=>=，此时，圆C 的圆心轨迹E 是以1C 、2C 分别为左、右焦点，长轴长为228a =的椭圆，24a ∴=，23c =，2b ==E 的方程为221167x y +=，综上所述，轨迹E 的方程为2212516x y +=或221167x y +=． 由于直线l 与曲线E 仅有三个公共点，则直线l 与椭圆221167x y +=相切．①若直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为4x =±，可设直线l 的方程为4x =，联立22412516x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得4125x y =⎧⎪⎨=±⎪⎩，此时245PQ =； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，联立221167y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()()222167321670k x kmx m +++-=，()()()222222221324167167781670Δk m m k k m =-⨯-⨯+=⨯+-=，可得22167m k =+，设点()11,P x y 、()22,R x y ，联立2212516y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()()22225165025160k x kmx m +++-=，()()()()22222222250425162516160025161440010Δk m m k k m k =-⨯-+=+-=+>，由韦达定理得122502516kmx x k +=-+，()212225162516m x x k -=+，12PR x ∴=-=()2222212011201209251625162511k k k k k +====++-++， 120152592PR ∴≤=-，当且仅当0k =时，PR 取得最大值152．故答案为2212516x y +=或221167x y +=，152．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+． 【解析】（1）等差数列{}n a 的前n 项和()12n n n a a S +=， 得()()1636332121211163329212a a S a a a S a +===+， 因为1121a =，所以3263a =， 等差数列{}n a 的公差321163212321121a a d --===-，所以，()()11112121121n a a n d n n =+-=+-=-． （2）由（1）可知()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，11111111112335212122121n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 18．【答案】答案见解析．【解析】解：方案一：选条件①②．因为5415cos c a A -=，3b =，所以545cos c a b A -=， 由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=．因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，所以5cos sin 4sin B A A =．因为sin 0A >，所以cos 45B =，3sin 5B ==． 因为π2AC =+，πA B C ++=，所以π22B C =-，所以π3cos 2cos sin 25C B B ⎛⎫=-==⎪⎝⎭，所以21cos 21sin 25C C -==． 因为()0,πC ∈，所以sin C =在ABC △中，由正弦定理得3sin 53sin 5b Cc B===．方案二：选条件①③．因为1sin 32S ab C ==，3b =，所以sin 2a C =． 因为π2A C =+，πA B C ++=，所以π22B C =-．在ABC △中，由正弦定理得π3sin sin 3cos 2πsin cos 2sin 22C b A C a B C C ⎛⎫+ ⎪⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3sin cos 2cos 2C CC=，即3sin 24cos2C C =．因为π0π20πA C C ⎧<=+<⎪⎨⎪<<⎩，所以π02C <<，02πC <<， 所以sin 20C >，所以cos20C >． 又22sin 2cos 21C C +=，所以3cos 25C =， 所以21cos 21sin 25C C -==，所以sin 5C =．在ABC △中，由正弦定理得3sin sin sin 53πsin cos 2sin 252b Cb C b Cc BC C =====⎛⎫- ⎪⎝⎭．方案三：选条件②③．因为5415cos c a A -=，3b =，所以545cos c a b A -=， 由正弦定理得5sin 4sin 5sin cos C A B A -=， 因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以5cos sin 4sin B A A =． 因为sin 0A >，所以cos 45B =，3sin 5B ==． 因为1sin 32S ac B ==，所以10ac =．（ⅰ） 在ABC △中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2225a c +=．（ⅱ） 由（ⅰ）（ⅱ）解得c =c =．19．【答案】（1）证明见解析；（2）存在12λ=使得平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为13． 【解析】（1）取AB 的中点G ，连接DG ，12BG AB CD ==，BG CD ∥， ∴四边形BCDG 是平行四边形，2DG BC AG AD ====，ADG ∴△为等边三角形，12DG AB =，ABD ∴△是直角三角形，AD BD ∴⊥， 平面ADE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AD =平面ADE平面ABCD ，BD ∴⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，AE BD ∴⊥．（2）F 为EB 中点即可满足条件．取AD 的中点H ，连接EH ，则EH AD ⊥，取AD 的中点H ，连接EH ，平面ADE ⊥平面ABCD ，EH ⊂平面EAD ，所以EH ⊥平面ABCD ，3EH =，23BD =， 如图建立空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()0,23,0B ，()3,0C -，(3E ， 则()2,0,0DA =，()1,3,0CB =，(1,23,3EB =--，(),23,3EF EB λλλλ==--，()1,2333DF λλλ=-，设平面ADF 的法向量为111(,,)x y z =m ，平面BCE 的法向量为222(,,)x y z =n ．由00DF DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，得()()111112333020x y z x λλλ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，取()0,12λλ=-，m ； 由00CB EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得2222230330x x z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取()3,1,3=-n ， 于是，21665|cos ,|1313521λλλλ⋅-+〈〉===⋅⋅-+m n m n m n， 解得1=2λ或13λ=-（舍去），所以存在12λ=使得平面ADF 与平面BCE 65 20．【答案】（1）310；（2）①111kp k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（*k ∈N 且2k ≥）；②8． 【解析】（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为A 事件，则()3121322335A A C C 31A 0P A +==．（2）①根据题意，可知()1E k ξ=，2ξ的可能值为1，1k +，则()()211k P p ξ==-，()()2111kP k p ξ=+=--， 所以()()()()()()2111111kkkE p k p k k p ξ=-++--=+--，由()()12E E ξξ=，得()11kk k k p =+--，所以111kp k ⎛⎫=-⎪⎝⎭（*k ∈N 且2k ≥）． ②由于141p e -=-，则()421k E k keξ-=+-，所以41k k kek -+-<，即ln 04kk ->， 设()ln 4x f x x =-，()11444x f x x x-'=-=，0x >， 当()0,4x ∈时，()0f x '>，()f x 在()0,4上单调递增； 当()4,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 在()4,+∞上单调递减，()ln823n 2208l f =-=->，()99ln 92ln 30494f =-=-<， 所以k 的最大值为8．21．【答案】（1）22143x y +=；（2）6． 【解析】（1）由题意，得222221149141b e a a b⎧=-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a =，23b =， 所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）由（1）可得()11,0F -，若直线1l 的斜率为0，则2l 的方程为1x =-与直线1x =无交点，不满足条件； 设直线1:1l x my =-，若0m =，则1λ=则不满足QA QB λ=，所以0m ≠， 设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，由2234121x y x my ⎧+=⎨=-⎩，得()2234690m y my +--=， 122634m y y m +=+，122934y y m =-+， 因为11AF F B QA QBλλ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()()()1122101020201,1,,,x y x y x x y y x x y y λλ⎧---=+⎪⎨--=--⎪⎩，则12y y λ-=，()1020y y y y λ-=-， 所以101220y y y y y y λ-=-=-，解得1201223y y y y y m==-+，于是1F Q = 直线2l 的方程为11x y m=--， 联立111x y mx ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，解得(1,2)P m -，所以1PF =． 所以()12113111362PQF m S FQ F P m m m +⎛⎫=⋅==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭△， 当且仅当1m =±时，()1min6PQF S =△．22．【答案】（1）(3)1y e x =-+；（2）证明见解析．【解析】（1）当1a =时，2()xf x e x x =--，则()21xf x e x '=--， 所以(1)3k f e ='=-，又(1)2f e =-，所以切线方程为(3)(1)2y e x e =--+-，即(3)1y e x =-+．（2）由题意得2()x F x e ax =-，则()2xF x e ax '=-．因为函数()F x 有两个极值点1x ，2x ，所以()0F x '=有两个不相等的实数根1x ，2x ． 令()2xh x e ax =-，则()2xh x e a '=-．①当0a ≤时，()0h x '>恒成立，则函数()h x 为R 上的增函数，故()h x 在R 上至多有一个零点，不符合题意； ②当0a >时，令()0h x '=，得ln(2)x a =，当(,ln(2))∈-∞x a 时，()0h x '<，故函数()h x 在(,ln(2))a -∞上单调递减； 当(ln(2),)x a ∈+∞时，()0h x '>，故函数()h x 在(ln(2),)a +∞上单调递增， 因为函数()0h x =有两个不相等的实数根1x ，2x ， 所以min ()(ln(2))22ln(2)0h x h a a a a ==-<，得2e a >， 不妨设12x x <，则1ln(2)x a <，2ln(2)1x a >>， 又(0)10h =>，所以1(0,ln(2))x a ∈．令24()()(2ln(2))44ln(2)xx a G x h x h a x e ax a a e=--=--+，则24()440xxa G x e a a e '=+-≥=， 所以函数()G x 在R 上单调递增．由2ln(2)x a >，可得()2(ln(2))0G x G a >=，即()()222ln(2)h x h a x >-， 又1x ，2x 是函数()h x 的两个零点，即12h x h x ，所以()()122ln(2)h x h a x >-．因为2ln(2)x a >，所以22ln(2)ln(2)a x a -<， 又1ln(2)x a <，函数()h x 在(,ln(2))a -∞上单调递减， 所以122ln(2)x a x <-，即122ln(2)x x a +<．又12x x +>，所以2ln(2)a <，因此212(ln(2))x x a <．。
2021年海南高考数学试题模拟试题及答案
2021年海南高考数学试题模拟试题及答案注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}2．2i 12i -= +A．1 B．−1C．i D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为A．20°B．40°C．50°D．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A．62% B．56%C．46% D．42%6．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范用是 A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4-D ．()4,6-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省13市2021届高三第一次模拟考试数学试题分类汇编(新高考)：导函数及其应用(解析版)
江苏省13市2021届高三第一次模拟考试数学试题分类汇编导数及其应用备注：（地区名后面，题号1-8为单选，9-12为多选）1. （2021·盐城、南京·一模）3．函数532()ln xf x x=在其定义域上的图象大致为【答案】：D【解析】：首先判断出该函数是奇函数，排除AB 选项，当x ＞1时，()0f x >，选D2. （2021·无锡·一模）3．函数f (x )＝ln x x x的大致图象为（ ）【答案】A3. （2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）11．若函数32, 1()1ln , 1x x m x f x x x x ⎧--++<=⎨+-≥⎩的值域为[2，+∞)，则A ．(3)(2)f f >B ．m ≥2C ．ln 21()()2ef f > D ．(1)log (1)log (2)m m m m ++>+ 【答案】ABD【解析】当1<x 时，03)(2<--='x x x f ，所以)(x f 在)1(，-∞上单调递减，），∞+∈m x f ()(；当1x ≥时，1()10f x x'=-≥，所以)(x f 在[)∞+，1上单调递增，[)∞+∈，2)(x f ．因为123>>，所以)2()3(f f >，所以A 正确；因为)(x f 的值域为[)∞+，2，所以2m ≥，所以B 正确；设ln ()(0e)x g x x x=<<，则0ln 1)(2>-='xx x g ，所以xx x g ln )(=在(0e)，上单调递增． 因为2e <，所以ln 2112e<<，所以ln 21()()2ef f >，所以C 错误；当2m ≥时，222lg lg(2)lg (2)lg lg(2)lg (1)22m m m m m m m +++⎡⎤⎡⎤⋅+<=<+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 所以)1lg()2lg(lg )1lg(++>+m m m m ，即)2(log )1(log )1(+>++m m m m ，故D 正确． 另解：构造函数)1(ln )1ln()(>+=x xx x h ，通过考察函数)(x h 的单调性，判断出D 正确． 故选ABD ．4. （2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）8．已知曲线ln y x =在A(1x ，1y )，B(2x ，2y )两点处的切线分别与曲线e x y =相切于C(3x ，3y )，D(4x ，4y )，则1234x x y y +的值为A ．1B ．2C ．52 D ．174【答案】B【解析】由题意，曲线x y ln =在)(11y x A ，点处的切线方程为1111ln ()y x x x x -=-，即得到111ln 1y x x x =+-，曲线e x y =在)(33y x C ，点处的切线方程为333e e ()x xy x x -=-，即得到333e e (1)x x y x x =+-，所以331131e ln 1e (1)x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，，解得1111ln 1x x x +=-．同理可得，11ln 222-+=x x x ，则21x x ，是方程11ln -+=x x x (*)的两个解．用x 1代入方程(*)也成立，所以121=x x ，又34341211e e 1x x y y x x ==⋅=，所以24321=+y y x x ，故答案选B ．5. （2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）6．函数sin 21xy x π=-的图象大致为A B C D6．函数sin 21xy x π=-的图象大致为A BC D【答案】D【解析】由题意可知()f x 的定义域为1122⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，令()0f x =，则x k k Z =∈，，即函数()f x 有无数个零点，则排除A 、B 选项；当112x <<时，2x πππ<<，则sin 0x π>，()0f x >，故答案选D.6. （2021·常州·一模）4．设函数2()ln f x a x bx =+，若函数()f x 的图象在点(1，(1)f )处的切线方程为y ＝x ，则函数()y f x =的增区间为A ．(0，1)B ．(0)C ．，+∞)D ．，1) 【答案】C【解析】2()ln f x a x bx =+的定义域为()0+∞，，()2af x bx x'=+ ∵函数()f x 的图象在点(1，(1)f )处的切线方程为y =x ，∴()()11121f b f a b ⎧='=⎪⎨=+=⎪⎩解得：11b a =⎧⎨=-⎩∴1()2f x x x'=-+ 欲求()y f x =的增区间只需()120f x x x +'=->，解得：2x >即函数()y f x =的增区间为(2，+∞) 故选：C【名师点睛】函数的单调性与导数的关系：已知函数()f x 在某个区间内可导，（1）如果()'f x >0，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()'f x <0，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减；（2）函数()y f x =在这个区间内单调递增，则有()0f x '≥；函数()y f x =在这个区间内单调递减，则有()0f x '≤；7. （2021·常州·一模）16．已知函数21()ln 245f x x x x =---+，则使不等式(21)(2)f t f t +>+成立的实数t 的取值范围是 ．【答案】111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】21()ln 2(2)1f x x x =---+， 21(2)ln 1f t t t -=-+， 21(2)ln (2)f t t f t t+=-=-，所以()f x 的图象关于直线2x =对称， 2x >时，21()ln(2)(2)1f x x x =---+设122x x <<，则22120(2)1(2)1x x <-+<-+，221211(2)1(2)1x x >-+-+，12022x x <-<-，12ln(2)ln(2)x x -<-，所以12221211ln(1)ln(1)(2)1(2)1x x x x -->---+-+，即12()()f x f x > 即()f x 是减函数，所以2x <时函数为增函数，因此由(21)(2)f t f t +>+得2122221222t t t t ⎧+-<+-⎪+≠⎨⎪+≠⎩，解得113t <<且12t ≠．．故答案为：111,,1322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【名师点睛】思路点睛：本题考查函数的对称性与单调性，利用对称性、单调性不等式，求解方法类似于二次函数：对开口向上的抛物线，离对称轴越近，函数值越小，开口向下的抛物线，离对称轴越近，函数值越大．8. （2021·无锡·一模）16．若ln 1x ax b x+≤+对于()0x ∈+∞，恒成立，当a =0时，b 的最小值为 ；当a >0时，ba的最小值是 ．(第一空2分，第二空3分) 【答案】1，1e-9. （2021·连云港·一模）6．函数3ln 2()(2)x f x x -=-的部分图象大致为【答案】A【解析】分析函数 f (x )的性质可知，f (x )的图象关于点(2,0)对称，排除 C 项；当 x 的值趋近于正无穷时，f (x )的值趋近于 0，排除 D 项； 当 x ∈(1,2)时，f (x )＞0，排除 B 项，故选A.10. （2021·连云港·一模）8．定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()f x 的“保值点”．如果函数()g x x =与函数()ln(1)h x x =+的“保值点”分别为α，β，那么α和β的大小关系是A ．α＜βB ．α＞βC ．α＝βD ．无法确定 【答案】B【解析】因为 g'(x)＝1，令 g(x)＝g'(x)，解得 α＝1；又 h'(x)＝1x 1+ ，令 h'(x)＝k(x)，结合k(x)和 h(x)两函数图象可知，β＜1，所以 α＞β，故选 B. 11. （2021·连云港·一模）12．已知函数sin ()e x xf x x=-，则 A ．()f x 是奇函数 B ．()f x ＜1C ．()f x 在(﹣1，0)单调递增D ．()f x 在(0，2π)上存在一个极值点 【答案】BCD【解析】f(x)为非奇非偶函数，A 错误；注意到 e x ≥x ＋1，当且仅当 x ＝0 时，取“＝”，故|f(x)| ≤ |sinx| ≤ 1 ，又两处等号无法同时成立，故|f(x)|＜1 ，B 正确； f’(x) ＝当 x∈(－1，0)时，f’(x)＞0，C 正确；注意到 f’(0)＝1＞0，f’(2π)＝－故 f’(x)在[0，2π]上存在零点，即 f (x )在[0，2π]上上上上上上上D 上上上12. （2021·南通、徐州、宿迁、淮安、泰州、镇江·一模）21．（本小题满分12分）已知函数22ln ()xf x x a x=--． （1）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围；（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，证明：121x x <．【解析】13. （2021·连云港·一模）22．（本小题满分12分）已知函数()e 1x f x =-，()sin g x a x =，a∈R．（1）若a＝﹣1，证明：当x≥0时，()()≥；f xg xϕ=-在x∈[0，π]上零点的个数．（2）讨论()()()x f x g x【解析】14. （2021·常州·一模）21．（本小题满分12分）已知函数()ln b f x x a x x=-+，a ，b ∈R ． （1）若a ＞0，b ＞0，且1是函数()f x 的极值点，求12a b+的最小值； （2）若b ＝a ＋1，且存在0x ∈[1e，1]，使0()0f x <成立，求实数a 的取值范围． 【解析】15.（2021·苏州·一模）22．（本小题满分12分）已知函数f(x)=xe ax−ln x，其中e是自然对数的底数，a＞0．（1）若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2e﹣1，求a的值；（2）对于给定的常数a，若f(x)≥bx+1对x∈(0，+∞)恒成立，求证：b≤a．【解析】（1）因为，所以切线斜率为，即，构造，由于，所以在上单调递增，又，所以；（2）设，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，若对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，设，由（*）可知，当且仅当时等号成立由，因为，所以单调递增，又，所以存在，使得，即方程有唯一解，所以b≤a得证．16. （2021·无锡·一模）22.(本小题满分12分)已知函数()ln a e f x x x -=+，其中e 是自然对数的底数．（1）设直线22y x e=-是曲线()()1y f x x =>的一条切线，求a 的值； （2）若a R ∃∈，使得()0f x ma +≥对()0x ∀∈+∞，恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】17. （2021·盐城、南京·一模）22．（本小题满分12分）设函数()e x x f x a -=+(a ＞1)．（1）求证：()f x 有极值点；（2）设()f x 的极值点为0x ，若对任意正整数a 都有0x ∈(m ，n )，其中m ，n ∈Z ，求n ﹣m 的最小值．【解析】解：（1）由题意得f '(x )＝a x ln a －e －x ，所以f ''(x )＝a x (ln a )2＋e －x ＞0，所以函数f '(x )单调递增，由f '(x )＝0，得(a e)x ln a ＝1，(a e)x ＝1ln a． 因为a ＞1，所以1ln a ＞0，所以x ＝log a e 1ln a． 当x ＞log a e 1ln a 时，f '(x )＞0，f (x )单调递增；当x ＜log a e 1ln a时，f '(x )＜0，f (x )单调递减． 因此，当x =log a e1ln a 时函数f (x )有极值． （2）方法一由（1）知，函数f (x )的极值点x 0(即函数f '(x )的零点）唯一，因为f '(－1)＝ln a a－e ． 令g (a )＝ln a a ，则g '(a )＝1－ln a a 2＝0，得a ＝e ． 当a ＞e 时，g '(a )＜0，g (a )单调递减；当0＜a ＜e 时，g '(a )＞0，g (a )单调递增，所以g (a )≤g (e )＝1e ，所以f '(－1) ＝ln a a－e ＜0． 而f '(0)＝ln a －1，当a ＝2时，f '(0)＜0，当a ≥3时，f '(0)＞0．又f '(1)＝a ln a －1e ．因为a 为正整数且a ≥2时，所以a ln a ≥2ln2＞1＞1e． 当a ≥2时，f '(1)＞0．即对任意正整数a ＞1，都有f '(－1)＜0，f '(1)＞0，所以x 0∈(－1，1)恒成立， 且存在a ＝2，使x 0∈(0，1)，也存在a ＝3，使x 0∈(－1，0)．所以n －m 的最小值为2．方法二由（1）知x 0＝log a e 1ln a ＝－ln(ln a )ln a ＋1． 令ln a ＝k ，k ＝ln2，ln3，…，则x 0＝－ln k k ＋1＝0，得k ＝1． 先证：ln k ≤k －1．令g (k )＝ln k －k ＋1，则g '(k )＝1－k k， 当k ＞1时，g '(k )＜0；当k ＜1时，g '(k )＞0．所以g (k )≤g (1)＝0，即ln k ≤k －1成立．所以x 0＝－ln k k ＋1＞－1． 又当k ≥ln3时，x 0＝－ln k k ＋1＜0， 而2ln2>1，所以ln2＞12＞1e ，所以1ln2＜e ． 当k ＝ln2时，x 0＝ln(ln2)ln2＋1＞0，且x 0＝ln(ln2)－1ln2＋1＜lne ln2＋1＜1， 所以x 0∈(－1，1)恒成立，且存在a ＝2，使x 0∈(0，1)，也存在a ＝3，使x 0∈(－1，0)． 所以n －m 的最小值为2.18. （2021·扬州·一模）21.(本小题满分12分)已知函数()()()222ln x f x e x mx m g x ax x ax x =++=++，．（1）若函数()f x 在1x =-处取极小值，求实数m 的值；（2）设0m =，若对任意()0x ∈+∞，，不等式()f x ≥()g x 恒成立，求实数a 的值．【解析】。
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[ 题后的话 ] 本题使用的算法在课本求圆锥曲线公式时也能有所体现，且较课本给出的算法更为简易， 另附上我们数学老师经常骂我们的一句话：本来就傻，越算越傻 / 汪汪
14.（Rainbow）已知菱形互成锐角的两边斜率分别为 1 和 2，则两边所夹对角线的斜率为
线的斜率为
.( 若斜率不存在，则只填 “ 不存在 ” 即可，本题第一空 3 分，第二空 2 分 )
【解答】103+1 ,1-310
设 ∠BAP = θ1,∠BAD = θ, 两边所夹对角线的斜率为 k,
所以 tanθ1 = 1,tan θ1 + 2θ
=
1 +tan2θ 1 - tan2θ
=
2
⇒
tan
2θ
=
2 tanθ 1 - tan2θ
=-ab22
⋅
x1+x2 x1 - 1 + x2 - 1
=-ab22
×
1
2
1 2
-
2
=
1
⇒ b2 = 3a2，又 a2 - b2 = 1
所以
a2
=
1 2
,b2
=
3 2
所以
x2
+
y2 3
=
21 ,
选
A.
5.（山东毒太阳）如图，矩形 ABCD 中，AB = 4，AD = 3，A、D 分别是位于 x 轴，y 轴的
明；明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺. ” 其对称工整，其和谐美丽，令人惊叹.数学中也有相类似美的数，被
称为回文数 ( 即从左到右与从右往左读都一样的数 )，如：52025 等，那么 2n + 1(n ∈ N+) 位的回文数有
( )个
A.n 个
B.2n 个
C.9 × 10n
D.9 × 102n-1
【解答】C
2n + 1 位数为回文数，则首尾数字不能为 0，有 C91 种选法，其余位数字可任选，共 10n-1 种选法，
所以总共有 C91∙ 10n-1 ∙ 10 = 9 × 10n 种选法，选 C.
3.（浙江温州艾源）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，则 “2an+1 ≥ an” 是 “an = S1 + S2 + … + Sn” 的 ( )
因此分子在定义域单调递增，注意到分母在定义域内也为递增函数且分子、分母零点均为 0，
因此分子、分母在定义域内同号，所以 f x > 0，C 正确；
由题意得 f x
+ f -x
=
ex-e-x x
≠
0，因此
D
错误.
故选 AC.
10.（浙江温州艾源）已知复数 z = x+ayi (a,x,y ∈ R,a ≠ 0,y ≠ 0,i 为虚数单位 ), 其共轭复数为 z, 下列说法
fx
=
2π⋅cos2πx⋅ cos2πx+3-sin2πx⋅ 2π⋅ -sin2πx cos2πx + 3 2
=
2π cos2cos2πx
,
x ∈ -41 ,41 时,2πx ∈ -π2 ,π2 ，1 + 3cos2πx ∈ 1,4 , x ∈ 41 ,34 时，2πx ∈ π2 , 32π ，1 + 3cos2πx ∈ -2,1 ,
f x
=
sin2πx cos2πx + 3
=
sin2πx-0 cos2πx - -3
,
可视为点 A-3,0 到单位圆 Ocos2πx,sin2πx 的斜率 k，
易知 fx max = k max = 42 ,A 错； f x =-f -x ，为奇函数，所以至少存在一个对称中心——原点，B 对；
得 5 分，部分选对得 2 分，有错得 0 分。
9.（Rainbow）已知函数 f x
=
ex -1 x
，则
(
)
A.f(x) 在定义域内单调性不变
B.f(x) 在定义域内有零点
C.f(x) 的导数在定义域内单调性不变
D.f(x) 为奇函数
【解答（本题解析由浙江宁波叶子秦提供）】AC
函数定义域为 x ≠ 0. 由题意得 f x
相等的三角锥铁架，此三棱锥的体积取值可为 ( )
A.1
B. 2
C. 3
D.2
【解答】ABC
12.（广东中山 starfer）设 f x
=
sin2πx 2cos2πx + 2
，则下列说法正确的是
(
)
A. ∃ x0 ∈ R,f x0
=
2 2
C.f x 在 -41 ,41 单调递增
【解答】BC
B.f x 存在对称中心 D.f x 在 41 ,34 单调递减
中正确的是 ( ) A. 存在 x, 使得 z = z
B. 对任意 x，恒有 z = z
C. 若 z = x + yi, 则 z 2 = a
D. 若 x = y = 1, 则 z - a + z1 的最小值为 2
【解答】BCD 对于 A，z = z ⇒ z 为实数，即 y = 0 时成立（而此时 y ≠ 0, 所以 z 只能为虚数），与 y 的值有关，与 x 的值无关， 所以不存在 x，能使得 z = z 成立，故 A 错误；
=
x-1ex +1 x2
，分子导函数
xex，因此分子在
x
=
0
处取最小值
0，考虑
定义域知分子恒正，而分母在定义域恒正，所以 f x > 0 在定义域恒成立，A 正确；
注意到 f(x) 的分子、分母都是定义在 R 上的增函数，且零点均为 0，因此分子、分母在定义域内同号，故 f(x)
恒正，B 错误；
由题意得 f x = x2-2xx+32ex -2 ，分子导函数 x2ex > 0 在定义域恒成立，
2021 届新高考八省天墟观高考命题研究组方向预测卷
高 三 数 学（解答版）
始于墟，行于途，抵于天.
2021.2
本套试卷完全由在校学生原创命制，时间仓促，且受水平视野所限，难免会有阙漏，如果有发现问题，还望广大师生不吝赐教
出题人：湖北小小小太阳，浙江宁波叶子秦，浙江温州艾源，Rainbow，福建三明佰，福建泉州 zhangkp， 浙江宁波王泽瑞，重庆傅筱晓，广东中山 starfer，湖南蓝蓝蓝月亮，山东毒太阳，湖北武汉云千年
【解答】D
memx - 1
-
1
-
1 x
lnx ≥ 0 ⇒ mxemx - 1
≥ x - 1 lnx,
令 gx = xex - 1 = xex - x,x > 0, 则 g x = exx + 1 - 1,g x = exx + 2 > 0,
∴ g x ↑ ,g x > g 0 = 0, ∴ gx 在 x > 0 上递增，
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件 【解答】B
D. 既不充分也不必要条件
对于必要性，由
an+1 = Sn+1 =
Sn+1 an+1
-
Sn an
⇒
2an+1
=
an,
当 n = 1 时，a2 = S2 - S1 = a2 - a1 - a1 ⇒ a1 = 0,an = 0, 满足；
对于
B，z
=
a x + yi
=
ax x2 + y2
-
(x2a+yy2
)i,z
=
ax x2 + y2
+
(
ay x2 + y2
)i,
所以 z =
a2 x2 + y2
,
z
=
a2 x2 + y2
,
二者相等，故
B
正确；
对于
C，z
=
x
+
yi,
则
z
=
a x + yi
=
x
-
yi
⇒
x2 +
y2 =
a
⇒
z
2=
的展开式
中 x2 的系数为 ( )
A.15 【解答】C
B.20
C.30
D.35
第 2 页（共 11 页）
7.（湖北小小小太阳）已知抛物线
y
=
1 4
x2
内有一定点
C
1,2
，过 C 作直线 l, 交抛物线于 A、B 两点，过 A、
B 作抛物线的切线交于点 P，当 l 旋转时，P 点所构成的直线轨迹方程为 ( )
第 5 页（共 11 页）
所以 BC 正确.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.（湖南蓝蓝蓝月亮）已知某六棱台高为 4，上下底面分别为边长为 3、5 的正六边形，上底面中心在下底面
的投影与下底面中心重合，则该六棱台的外接球表面积为
.
【解答（本题解析由湖北小小小太阳提供）】100π
审题人 ：北京海淀丹青 ，湖北天门佩奇 ，浙江宁波叶子秦 ，浙江温州艾源 ，四川成都黄钰喜 ，湖南永州 陶遥 特邀嘉宾：数学小丸子
未经允许 ，任何个人、机构、校方不得以任何理由涂抹出/审题人昵称.
一、选择题：本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
x
-
x2
②
相减得：x0
=
1 2
x1
+
x2
③
③带回①：y0