2018年高考新课标Ⅱ卷理科数学(含答案)

绝密★启用前
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
考前须知：
1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷与草稿纸上无效。

3．考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．
12i
12i
+=- A ．43
i 55
--
B ．43i 55
-+
C ．34i 55
--
D ．34i 55
-+
2．集合(){}
2
23A x y x
y x y =+∈∈Z Z ，≤，，，那么A 中元素的个数为 A ．9
B ．8
C ．5
D ．4
3．函数()2
e e x x
f x x --=的图像大致为
4．向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，那么(2)⋅-=a a b A ．4 B ．3
C ．2
D ．0
5．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>3
A ．2y x =
B ．3y x =
C ．2
y x =D ．3y = 6．在ABC △中，5
cos 2C =
1BC =，5AC =，那么AB = A ．2B 30C 29．25
7．为计算11111123499100
S =-
+-++-…，设计了右侧的程序框图，那么在空白框中应填入 A ．1i i =+ B ．2i i =+ C ．3i i =+ D ．4i i =+
8．我国数学家景润在哥德巴赫猜测的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜测是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和〞，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．
112B ．114C ．115D ．118
9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==
，1AA ，那么异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15B
C
10．假设()cos sin f x x x =-在[,]a a -是减函数，那么a 的最大值是
A ．
π4B ．π2C ．3π
4
D ．π 11．()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．假设(1)2f =，那么
(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=…
A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
12．1F ，2F 是椭圆22
221(0)x y C a b a b
+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率
的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，那么C 的离心率为 A ．
23B ．12C ．13D ．14
二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

13．曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．
14．假设,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，
，， 那么z x y =+的最大值为__________．
15．sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，那么sin()αβ+=__________． 16．圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为
7
8
，SA 与圆锥底面所成角为45°，假设SAB △的面积为515，那么该圆锥的侧面积为__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考
生都必须作答。

第22、23为选考题，考生根据要求作答。

〔一〕必考题：共60分。

17．〔12分〕
记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，17a =-，315S =-． 〔1〕求{}n a 的通项公式； 〔2〕求n S ，并求n S 的最小值． 18．〔12分〕
下列图是某地区2000年至2016年环境根底设施投资额y 〔单位：亿元〕的折线图．
为了预测该地区2018年的环境根底设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据〔时间变量t 的值依次为1217，
，…，〕建立模型①：ˆ30.413.5y t =-+；根据2010年至2016年的数据〔时间变量t 的值依次为127，，
…，〕建立模型②：ˆ9917.5y t =+． 〔1〕分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境根底设施投资额的预测值； 〔2〕你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．学科*网 19．〔12分〕
设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． 〔1〕求l 的方程；
〔2〕求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
20．〔12分〕
如图，在三棱锥P ABC -
中，AB BC ==4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． 〔1〕证明：PO ⊥平面ABC ；
〔2〕假设点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．
C
21．〔12分〕
函数2()e x f x ax =-．
〔1〕假设1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； 〔2〕假设()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．
〔二〕选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，那么按所做的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]〔10分〕
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，
〔θ为参数〕，直线l 的参数方程为
1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨
=+⎩
，
〔t 为参数〕． 〔1〕求C 和l 的直角坐标方程；
〔2〕假设曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． 23．[选修4－5：不等式选讲]〔10分〕
设函数()5|||2|f x x a x =-+--．
〔1〕当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； 〔2〕假设()1f x ≤，求a 的取值围． 参考答案: 一、选择题 1.D
2.A
3.B
4.B
5.A
6.A
7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D
二、填空题
13.2y x = 14.9
15.12
-
16.
三、解答题 17. (12分)
解：〔1〕设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-. 由17a =-得d =2.
所以{}n a 的通项公式为29n a n =-.
〔2〕由〔1〕得22
8(4)16n S n n n =-=--.
所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为−16. 18.(12分)
解：〔1〕利用模型①,该地区2018年的环境根底设施投资额的预测值为
ˆ30.413.519226.1y
=-+⨯=(亿元). 利用模型②,该地区2018年的环境根底设施投资额的预测值为
ˆ9917.59256.5y
=+⨯=(亿元). 〔2〕利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：
〔ⅰ〕从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5y t =-+上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境根底设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境根底设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境根底设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年
至2016年的数据建立的线性模型ˆ9917.5y
t =+可以较好地描述2010年以后的环境根底设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.学.科网
〔ⅱ〕从计算结果看,相对于2016年的环境根底设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比拟合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.(12分)
解：〔1〕由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->. 设1221(,),(,)A y x y x B ，
由2(1),4y k x y x
=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 2
16160k ∆=+>，故1222
24
k
x k x ++=. 所以122244
||||||(1)(1)x k AB AF BF k x +=+=+++=.
由题设知22
44
8k k
+=，解得1k =-〔舍去〕，1k =. 因此l 的方程为1y x =-.
〔2〕由〔1〕得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，那么
0022
0005,
(1)(1)16.2
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=
+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为2
2
(3)(2)16x y -+-=或2
2
(11)(6)144x y -++=. 20.(12分)
解：〔1〕因为4AP CP AC ===，O 为AC 的中点，所以OP AC ⊥
，且OP =连结OB .
因为AB BC AC ==，所以ABC △为等腰直角三角形， 且OB AC ⊥，1
22
OB AC =
=. 由222
OP OB PB +=知PO OB ⊥.
由,OP OB OP AC ⊥⊥知PO ⊥平面ABC .
〔2〕如图，以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.
由得(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),O B A C P AP -=取平面PAC 的法向量
(2,0,0)OB =.
设(,2,0)(02)M a a a -<≤，那么(,4,0)AM a a =-. 设平面PAM 的法向量为(,,)x y z =n .
由0,0AP AM ⋅=⋅=n n 得2230
(4)0
y z ax a y ⎧+=⎪⎨
+-=⎪⎩，可取(3(3,)a a a =--n ，
所以222
23(4)cos ,23(4)3a OB a a a -=
-++n 由得3
|cos ,|OB =
n 222
233223(4)3a a a -++.解得4a =-〔舍去〕，43
a =. 所以83434()3=-n .又(0,2,23)PC =-，所以3
cos ,PC =n . 所以PC 与平面PAM 3
21．〔12分〕
【解析】〔1〕当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10x
x -+-≤．
设函数2()(1)e
1x
g x x -=+-，那么22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--．
当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减． 而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥．
〔2〕设函数2()1e x
h x ax -=-．
()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点．
〔i 〕当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点； 〔ii 〕当0a >时，()(2)e
x
h'x ax x -=-．
当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >． 所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增． 故24(2)1e
a
h =-
是()h x 在[0,)+∞的最小值．学&科网 ①假设(2)0h >，即2
e 4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；
②假设(2)0h =，即2
e 4
a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；
③假设(2)0h <，即2
e 4
a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点，
由〔1〕知，当0x >时，2
e x
x >，所以33342241616161
(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a
=-=->-
=->． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．
综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2
e 4
a =．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]〔10分〕
【解析】〔1〕曲线C 的直角坐标方程为22
1416
x y +=．
当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．
〔2〕将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程
22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C ，所以①有两个解，设为1t ，2t ，那么120t t +=．
又由①得122
4(2cos sin )
13cos t t ααα
++=-
+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-． 23．[选修4-5：不等式选讲]〔10分〕
【解析】〔1〕当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． 〔2〕()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．
而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值围是(,6][2,)-∞-+∞．。