四种命题以及相互关系
四种命题
逆否命题： x UA∪ UB ，xA∪B 。
假
练一练
1.判断下列说法是否正确。
2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。 2.四种命题真假的个数可能为（ ）个。 答：0个、2个、4个。 如：原命题：若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题：若A∩B=φ，则A∪B=A。 否命题：若A∪B≠A，则A∩B≠φ。 逆否命题：若A∩B≠φ，则A∪B≠A。
四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题
真 真 假 假
逆命题
真 假 真 假
否命题
真 假 真 假
逆否命题
真 真 假 假
课 堂 小 结
原命题 若p则q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p 互 否 命 题 真 假 无 关 逆否命题 若﹁ q则﹁p
总结
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
分析:直接证不好下手.
将“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”看成原命题。 由于原命题和它的逆否命题具有相同的真 假性，要证原命题为真命题，可以证明它 的逆否命题为真命题。
2 2 即证明 为真命题 “若p q 2, 则p q 2.”
例 证明：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
若a2能被2整除，a是整数， 求证：a也能被2整除.
证：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛 盾, ∴a能被2整除.
四种命题及其关系
对所有x, 存在某x， 对任何x 对所有x, 存在某 ， 对任何x， 成立 不成立 不成立 P且 q
┐p或┐q 或
P或 q
┐p且┐q 且
条
原命题 逆命题 否命题
件
结论
两直线平行 同位角相等
同位角相等， 同位角相等， 两直线平行， 两直线平行，
同位角不相等， 两直线不平行 同位角不相等，
两直线不平行， 逆否命题 两直线不平行， 同位角不相等 互为逆否命题：一个命题的条件 结论分别是另一个 互为逆否命题：一个命题的条件和结论分别是另一个 条件和 命题的结论的否定 条件的否定， 结论的否定和 命题的结论的否定和条件的否定， 互为逆否命题。 这两个命题叫做互为逆否命题 这两个命题叫做互为逆否命题。 其中一个命题叫做原命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 另一个命题叫做原命题的逆否命题。 逆否 命 题：另一个命题叫做原命题的逆否命题。 逆否命题:若 逆否命题 若┐q ,则┐ p 则 原命题: p,则 原命题:若p,则q
条
原命题 逆命题 否命题
件
结论
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； f(x)是正弦函数 是正弦函数， f(x)是周期函数 是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； f(x)是周期函数 是周期函数， f(x)是正弦函数 是正弦函数； 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； f(x)不是正弦函数 不是正弦函数， f(x)不是周期函数 不是周期函数；
例: “若x2+y2≠0，则x，y至少有一个不为0” ≠0， 至少有一个不为0” 是命题A的否命题，写出命题A及其逆命题、 是命题A的否命题，写出命题A及其逆命题、 逆否命题并判断它们的真假。 逆否命题并判断它们的真假。
四种命题间的相互关系--优质获奖精品课件 (27)
否命题中，真命题的个数为 ( )
A．1
B原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是 “若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故 真命题的个数是2.]
3．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是 ________．
若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1 [原命题的等价命题是其逆 否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则 m≤1”．]
(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边 三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．
等价命题的应用
[探究问题] 1．命题“若x≠1，则x2－2x－3≠0”的等价命题是什么，其命 题真假如何？ 提示：等价命题为“若x2－2x－3＝0，则x＝1”，其为假命 题．
2．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方 便，我们可以研究哪一个命题？
1．写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的方法 (1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后 写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出 所求命题． (2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词 语，但不能改变条件和结论．
2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：
命题这四个命题中，真命题是( )
A．原命题、否命题
B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题
C [原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命
题不正确．故选C．]
2．给出以下命题： ①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形的对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形的对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆； ⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．
1.1.3四种命题间的相互关系
反证法的步骤：
1. 假设命题的结论不成立，即假设结论的 反面成立。 推理过程中一定要用到才行
王新敞
奎屯 新疆
2. 从这个假设出发，通过推理论证，得出 矛盾。 显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾). 3. 由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题 的结论正确。
可能出现矛盾四种情况：
• • • • 与题设矛盾； 与反设矛盾； 与公理、定理矛盾； 在证明过程中，推出自相矛盾的结论。
(真 ) (假 ) (假 ) (真 )
例题讲解
例1：设原命题是：当c>0时，若a>b,则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。 并分别判断它们的真假。
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。 原命题的条件是“a>b”， 结论是“ac>bc”。 解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b. （真） （真） （真） （真）
A O
已知：如图，在⊙O中，弦AB、 CD交于点P，且AB、CD不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
由于P点一定不是圆心O，连结OP， 根据垂径定理的推论，有
P
C
B
OP⊥AB，OP⊥CD， 即过点P有两条直线与OP都垂直，这与垂 线性质矛盾。
所以，弦AB、CD不被P平分。
所以假设不成立, 从而______________ x =y=0。 成立。
反 证 法
例 2
用反证法证明 : 如果a b 0, 那么 a b .
或者 a b
证明: 假设 a不大于 b , 则或者 a b ,
因为a 0, b 0, 所以 a b a a b a与 a b b b a b a bab
四种命题间的相互关系
此处是命题的否定，要区别于否命题.
反证法的一般步骤： 反设 归谬 结论
（1）假设命题的结论不成立 , 即假设结论的反面成立; （2）从这个假设出发 , 经过推理论证 , 得出矛盾; （3）由矛盾判定假设不正确 , 从而肯定命题的结论正确
例2： 若a2能被2整除，a是整数，
练习2 证明：若p2 ＋ q2 ＝2，则p ＋ q ≤ 2．
证明：若p＋q ＞2，则
p2＋q2＝ 1 ［（p －q）2＋（p ＋q）2］ 2
≥ 1（p ＋q）2＞ 1×２２＝２ 1
2
2
2
所以p2 ＋ q2≠2． 这表明，原命题的逆否命题为真命题，从而 原命题为真命题.
在数学的证明中，我们会常常用到一种方法 ——反证法.
6. 求证：若一个三角形的两条边不相等， 则这两条边所对的角也不相等.
证明：如果一个三角形的两边所对的角相等， 则这个三角形是等腰三角形， 且这两条边是等腰三角形的两条腰， 也就是说两条边相等. 这就证明了原命题的逆否命题是真命题 所以原命题也是真命题.
课堂小结
1. 四种命题的相互关系：
2. 四种命题的真假性：
求证：a也能被2整除.
证明：假设a不能被2整除，则a必为奇数， 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数， 这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾 ∴a能被2整除.
练习
1. (2008山东文)给出命题：若函数是幂函数，
观察与分析
（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数；真 （2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数；假 （3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；假 （4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. 真
四种命题及四种命题间的相互关系
1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个互逆命题的真假性相同.( ) ) )
(2)若两个命题为互否命题,则它们的真假性肯定不相同.( (3)对于一个命题的四种命题,可以一个真命题也没有.( 【解析】(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系.
原命题：若a>b，则a+c>b+c真 逆命题：若a+c>b+c，则a>b真
题的真假没有关系。
原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。假 原命题：若a>b，则ac2>bc2 假 逆命题：若ac2>bc2，则a>b 真
假 原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。 逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等。 假
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论
和条件，这两个命题就叫做互逆命题。其中一个叫做
原命题，则另一个叫做原命题的逆命题。
原命题：若p，则q
它的逆命题：若q，则p.
例如： 原命题： 若a>b，则a+c>b+c . 它的逆命题：若a+c>b+c，则a>b.
什么叫互否命题？
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件
“正难则反”的处理原则：在证明某一个命题的真假性有 困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证 明原命题为真(假)命题.
【变式训练】证明:已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0. 【解题指南】由于原命题不易证明,可转化为证明其逆否命题为真命题 . 【证明】原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函 数,a,b∈R,若a+b<0, 则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)”.
四种命题及其相互关系-课件
• 由图示可知？处应为互逆关系．
• 解法2：用特殊命题探究
• p：若x>2，则x>1，r：若x>1，则x>2，s： 若x≤1，则x≤2，p的否命题：若x≤2，则x≤1， 故s是p的否命题的逆命题．
典例探究学案
•四种命题的概念
写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题． (1)正数的平方根不等于 0； (2)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0； (3)若 a>b，则 ac2>bc2.
若命题 p 的否命题为 q，命题 p 的逆否命题为 r，
则 q 与 r 的关系是( )
A．互逆命题
B．互否命题
C．互为逆否命题
D．以上都不正确
• [答案] A
• [分析] 研究命题之间的关系，将命题写成 “若p则q”形式，然后依据四种命题的定义解 答．
• [解析] 设p为“若A，则B”，那么q为“若¬A， 则¬B”，r为“若¬B，则¬A”．由于q和r的条件 和结论互换，故q和r互为逆命题．
• [方法规律总结] 1.写出四种命题的方法
• (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是 逆命题；
• (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命 题是否命题；
• (3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定， 所得的命题是逆否命题．
• 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命 题．
• (1)若x2＋y2＝0，则x、y全为0； • (2)若a＋b是偶数，则a、b都是偶数． • [解析] (1)逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2
• [解析] 本题主要考查命题的四种形式．写逆 否命题时，将原命题的题设和结论分别否定 再交换．故选C.
四种命题间的相互关系 课件
它们之间的关系为:
互逆命题
互否命题
互为逆否命题
原命题与逆命题 原命题与否命题 原命题与逆否命题 否命题与逆否命题 逆命题与逆否命题 逆命题与否命题
2.对四种命题真假关系的两点说明 (1)由于一个命题与其逆否命题具有相同的真假性,四种命题中 有两对互为逆否命题,所以四种命题中真命题的个数必须是偶 数,即真命题可能有4个、2个或0个. (2)由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆 否命题是等价命题,因此,当直接证明原命题困难时,可以转化为 证明与其等价的逆否命题,这种证法是间接证明命题的方法,也 是反证法的一种变通形式.
【拓展提升】原命题与逆否命题等价关系的应用 (1)若一个命题的条件或结论含有否定词时,直接判断命题的真 假较为困难,这时可以转化为判断它的逆否命题的真假. (2)当证明某一个命题有困难时,可以证明它的逆否命题为真 (假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.
【互动探究】若题2(2)的命题变为: 若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根,如何判断此命题的 真假? 【解析】命题“若a>1,则方程x2+2ax+a2+a-1=0无实数根” 的逆否命题为“若方程x2+2ax+a2+a-1=0有实数根,则 a≤1”,由于Δ=(2a)2-4(a2+a-1)=4(1-a)≥0,得a≤1,故原命 题是真命题.
提示:(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系,可能一个真命 题也没有. (2)正确.原命题的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题,真 假性相同,为等价命题. (3)正确.一个命题的四种命题中,可能都是假命题,如若0<x<1, 则x>1,此命题的四种命题均为假命题. 答案:(1)× (2)√ (3)√
四种命题及其关系-初中数学知识点
四种命题及其关系
1．四种命题及其关系
四种命题及其关系．
1、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
2、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的否命题．
3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆否命题．
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四种命题间的相互关系课件PPT
2.与命题“已知点A，直线l0，l，A∈l0,若l0∥l，则l0唯一”为 互否命题的是( ) (A)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0唯一，则l0∥l (B)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不唯一，则l0∥l (C)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0不平行于l，则l0不唯一 (D)已知点A，直线l0，l,A∈l0,若l0∥l，则l0不唯一
【想一想】解题2用的什么方法？此种方法的思路是什么？ 提示：用的方法是排除法，这种方法的思路是：首先将选择支 进行合理分类，再选择比较简单的一类作出判断，依此判断进 行排除.
互为逆否的命题同真同假的应用 【技法点拨】
命题真假判断的一种策略 当判断一个命题的真假比较困难，或者在判断真假时涉及到分 类讨论时，通常转化为判断它的逆否命题的真假，因为互为逆 否命题的真假是等价的，也就是我们讲的“正难则反”的一种 策略.
互 否
逆否命题 若﹁ q,则﹁p
2.四种命题的真假性 (1)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性的关系是: _没__有__关__系__. (2)①原命题与它的逆否命题真假性的关系是:有_相__同__的__真假 性; ②逆命题与否命题真假性的关系是:有_相__同__的__真假性. 综上，互为逆否命题具有相同的_真__假__性__.
1.在四种命题中，只有命题“若p，则q”和“若 p，则 q” 是互否命题吗？ 提示：不是，如命题“若q，则p”和“若q，则 p”也是互 否命题.
2.互逆命题的真假性一定不等价吗？ 提示:不一定，如命题“若一条直线垂直于一个平面内的任意一 条直线，则这条直线就垂直于这个平面”就和它的逆命题同真.
1.1.3 四种命题间的相互关系
1.认识四种命题间的相互关系及真假关系. 2.会利用命题真假的等价性解决简单问题.
四种命题 四种命题间的相互关系
否命题：若 m·n≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数 根，假命题．
逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 m·n ≥0，真命题．
(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的 弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直 线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题．
3．四种命题真假性之间的关系 (1)两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假 性没有关系．
温馨提示 在四种命题中，真命题的个数可能为 0，2，4 个，不 会出现奇数个．
1．下列判断中不正确的是( ) A．命题“若 A∩B＝B，则 A∪B＝A”的逆否命题 为真命题 B．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题 C．“已知 a，b，m∈R，若 am2<bm2，则 a<b”的逆 命题是真命题 D．“若 x∈N*，则(x－1)2>0”是假命题
解析：A 中，逆否命题“若 A∪B≠A，则 A∩B≠B” 是真命题，正确；B 中，否命题“不是矩形的四边形的两 条对角线不相等”是假命题，正确；C 中，逆命题“已知 a，b，m∈R，若 a<b，则 am2<bm2”是假命题．所以 C 错误，符合题意．D 中，因为 x＝1 时，(1－1)2＝0，所以 是假命题，正确．
答案：C
2．命题“若 a＞b，则 2a＞2b－1”的否命题为 ___________________________________________． 解析：否命题为“若¬ p，则¬ q”，则否命题为“若 a≤b，则 2a≤2b－1”． 答案：“若 a≤b，则 2a≤2b－1”
3．下列命题： ①“等边三角形三内角都为 60°”的逆命题； ②“若 k>0，则 x2＋2x－k＝0 有实根”的逆否命题； ③“全等三角形的面积相等”的否命题； ④“若 ab≠0，则 a≠0”的否命题； 其中真命题的序号为________． 解析：①逆命题“三内角都为 60°的三角形为等边 三角形”，真命题；②逆否命题“若 x2＋2x－k＝0 没有实 根，则 k≤0”，因为Δ＝4＋4k<0，所以 k<－1，满足 k
1.1.2四种命题及其相互关系
练一练 1.判断以下说法是否正确. 1.一个命题的逆命题为真,它的逆否命题不一定为真；
〔对〕
2.一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真〔. 对〕 3.一个命题的原命题为假,它的逆命题一定为假〔. 错〕 4.一个命题的逆否命题为假,它的否命题为假. 〔错〕
2.四种命题中真命题的个数可能为___________个. 答：0个、2个、4个.
逆命题： 假设x2-5x+6=0，那么x=2或x=真3. 否命题： 假设x≠2且x≠3，那么x2-5x+6≠真0. 逆否命题：假设x2-5x+6≠0，那么x≠2且x≠真3.
问题3：由上面的两个例子,你能发现命题间 的真假关系有何规律吗?请试着写出你的结论.
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真Leabharlann 真真真1.填空
(1)命题“末位数字是0的整数,可以被5整除 〞 (的2)逆命命题题“线是段：的垂直平分线上的点到这条 线段两端点的距离相等〞的否命题是：
(3)命题“到圆心的距离不等于半径的直线 不是圆的切线〞的逆否命题是：
(线距(它213))上离的到假假，不末圆设 设那 相 位 心一一么等数的个个条它。字距点整直到是离不数线这等0在可是。条于线以圆线半段被的段 径的切5整两。垂线除端直，,那点平那么的分么
2.有下列四个命题: (1)"若xy 1,则x、y互为倒数"的逆命题; (2)" 相似三角形的周长相等"的否命题; (3)"若b 1,则方程x2 2bx b2 b 0有实根"的逆否命题;
C (4)"若A B B,则A B"的逆否命题.其中真命题是( )
A.(1)(2) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(3)(4)
学案2:1.1.2—3 四种命题及其相互关系
1.1.2——3 四种命题及其相互关系课标点击1.了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题的定义.2.掌握四种命题之间的关系并会判断四种命题的真假性.预习导学►基础梳理1．四种命题的概念．(1)一般地，对于两个命题，如果一个命题的分别是另一个命题的，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的．(2)如果一个命题的恰好是另一个命题的，我们把这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的．(3)如果一个命题的恰好是另一个命题的，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的．2．四种命题的相互关系．3．四种命题的真假性．由于逆命题和否命题也是互为逆否命题，因此四种命题的真假性之间的关系如下：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．►自测自评1．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是( ) A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数2．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是( ) A．1或2或3或4B．1或3C．0或4D．0或2或43．若命题p的逆命题为q，命题q的否命题为r，则p是r的．随堂巩固1．“若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2＝0，则x，y全为1”的否命题是( )A．若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0，则x，y全不为1B．若x，y∈R且(x－1)2＋(y－1)2≠0，则x，y不全为1C．若x，y∈R且x，y全为1，则(x－1)2＋(y－1)2＝0D．若x，y∈R且xy≠1，则(x－1)2＋(y－1)2＝02．下列命题中，不是真命题的是( )A．“若b2－4ac>0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“x2＝9，则x＝3”的否命题D．“内错角相等”的逆命题3．命题“a，b是实数，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”，用反证法证明时反设为：________________________________________________________________________.4．已知命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．5．已知函数y＝f(x)是R上的增函数，对a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)成立，证明a＋b≥0.课时训练1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是( )A ．有一个解B ．有两个解C ．至少有三个解D ．至少有两个解2．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3．已知原命题“若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题；②“若a >b ，则a 2>b 2”的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题；④“若ab 是无理数，则a 、b 是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5．命题“若c >0，则函数f (x )＝x 2＋x －c 有两个零点”的逆否命题的是：________________________________________________________________________________________________________________________________________________，则c ≤0.6．若命题p 的否命题是q ，命题q 的逆命题是r ，则r 是p 的逆命题的________．7．(x －1)(x ＋2)＝0的否定形式是__________________________________________________．8．命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为____________________________________________ ________________________________________________________________________.9．有下列五个命题：①“若a 2＋b 2＝0，则ab ＝0”的逆否命题；②“若a >b ，则ac >bc ”的逆命题③“若a <b <0，则1a >1b”的逆否命题； ④“若1a <1b<0，则ab <b 2”的逆否命题； ⑤“若b a ＞a b，则a <b <0”的逆命题其中假命题有________．10．若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0.►体验高考1．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个2．已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝33．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A ．若一个数是负数，则它的平方不是正数B ．若一个数的平方是正数，则它是负数C ．若一个数不是负数，则它的平方不是正数D ．若一个数的平方不是正数，则它不是负数4．命题“若p 则q ”的逆命题是( )A ．若q 则pB ．若﹁p 则﹁qC ．若﹁q 则﹁pD ．若p 则﹁q5．命题“若a ＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4πD．若tan α≠1，则α＝4答案预习导学►基础梳理1．(1)条件和结论结论和条件逆命题(2)条件和结论条件的否定和结论的否定否命题(3)条件和结论结论的否定和条件的否定逆否命题►自测自评1．【答案】A2．【答案】D3．【解析】设p为：“若m，则n”，则q为：“若n，则m”，所以r为：“若﹁n，则﹁m”．故p是r的逆否命题．随堂巩固1．【答案】B2.【答案】D3.【答案】若a≠1或b≠14.【答案】逆命题：已知，a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．否命题：已知，a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．逆否命题：已知，a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．5.【答案】证明：原命题的逆否命题为：a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．以下证明其逆否命题：若a＋b<0，则a<－b，b<－a，又因为y＝f(x)是R上的增函数，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，即逆否命题为真命题．又因为原命题和逆否命题有相同的真假性，所以求证成立．课时训练1.【答案】C2.【答案】D【解析】否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．3. 【答案】B4. 【答案】B5. 【答案】若函数f (x )＝x 2＋x －c 没有两个零点6. 【解析】本题主要考查四种命题的相互关系．显然，r 与p 互为逆否命题．【答案】否命题7. 【答案】(x －1)(x ＋2)≠08. 【答案】若a ≤b ，则2a ≤2b －19. 【解析】①逆否命题为“若ab ≠0，则a 2＋b 2≠0”，这是一个真命题．②逆命题为“若ac >bc ，则a >b ”，这是一个假命题．③原命题是一个真命题，所以逆否命题也为真命题．④若1a <1b<0，则b <a <0，则ab >b 2故原命题为真命题，所以逆否命题也为真命题． ⑤逆命题为“若a <b <0，则b a >a b”． 若a <b <0，则⎩⎪⎨⎪⎧－a >－b >0，1b <1a<0， 则⎩⎪⎨⎪⎧－a >－b >0，－1b >－1a>0，故a b >b a . 故这是一个假命题．【答案】②⑤10.【答案】证明(用反证法)：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0，而a ＋b ＋c ＝⎝⎛⎭⎫x 2－2y ＋π2＋⎝⎛⎭⎫y 2－2z ＋π3＋⎝⎛⎭⎫z 2－2x ＋π6 ＝(x 2－2x )＋(y 2－2y )＋(z 2－2z )＋π＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，显然a ＋b ＋c >0，这与假设a ＋b ＋c ≤0相矛盾．因此a ，b ，c 中至少有一个大于0.►体验高考1．【答案】C【解析】本小题主要考查四种命题的真假，易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个，选C.2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】C。
高中数学 同步教学 四种命题 四种命题间的相互关系
逆否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形不等底或不等
高.
(4)逆命题:若x2-3x+2<0,则1<x<2.
否命题:若x≤1或x≥2,
则x2-3x+2≥0.
逆否命题:若x2-3x+2≥0,则x≤1或x≥2.
(5)逆命题:若a=0或b=0,则ab=0.
两个命题之间的关系,具有双向性,而逆否命题指的是一个命题,具
有单向性.
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π
3
1
2
【做一做 1】 已知命题 p:若 x= ,则 cos x= ,则命题 p 的逆命题
为
p 的逆否命题为
;命题 p 的否命题为
;命题
.
1
2
π
3
答案:若 cos x= ,则 x=
π
3
1
2
若 x≠ ,则 cos x≠
1
2
π
3
(填
命题.(填
,其真
首页
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)有的命题没有逆命题. (
)
(2)在四种命题中,只有原命题与否命题具有互否关系. (
)
(3)互逆命题的真假性一定相反. (
)
(4)在原命题及其逆命题、否命题和逆否命题中,假命题的个数一
定是偶数. (
x,y互为相反数”的否命题是真命题.
(2)法一:“对顶角相等”的逆命题是“若两个角相等,则它们是对顶
角”,是假命题.
法二:“对顶角相等”的否命题是“若两个角不是对顶角,则它们不
相等”,显然是假命题,而逆命题和否命题等价,故“对顶角相等”的逆
四种命题间的相互关系
1.1.3四种命题间的相互关系学习目标 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.2.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题间的关系思考原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间是什么关系？答案原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．梳理四种命题间的关系知识点二四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．(1)两个互逆命题的真假性相同．(×)(2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同．(√)(3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×)类型一 四种命题间的关系及真假判断例1 判断下列命题的逆命题、否命题与逆否命题的真假． (1)若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0； (2)若a 2＋b 2＝0，则a ，b 都为0. 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假解 (1)逆命题：若a ≤0或b ≤0，则ab ≤0.它为假命题． 逆否命题：若a ＞0且b ＞0，则ab ＞0.它为真命题．所以原命题的逆命题与否命题为假命题，逆否命题为真命题．(2)原命题与其逆命题“若a ，b 都为0，则a 2＋b 2＝0”均为真命题，所以原命题的逆否命题与否命题也均为真命题．反思与感悟 互为逆否关系的两个命题真假性相同，准确判断两个命题之间的关系是解题的关键．跟踪训练1 下列命题为假命题的是( ) A ．“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”的否命题 B ．“正三角形都相似”的逆命题C ．“若m ＞0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题D ．“若x －2是有理数，则x 是无理数”的逆否命题 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假 答案 B解析 A 中，原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”，是真命题．B 中，原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，是假命题．C 中，原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”，∵方程无实根，∴Δ＝1＋4m ＜0，∴m ＜－14，∴原命题的逆否命题是真命题．D 中，原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”，∵x不是无理数，∴x是有理数，又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，∴原命题的逆否命题是真命题．类型二 等价命题的应用例2 设m ，n ∈R ，证明：若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2. 考点 反证法逆否证法 题点 逆否证法证明 将“若m 2＋n 2＝2，则m ＋n ≤2”视为原命题， 则它的逆否命题为“若m ＋n ＞2，则m 2＋n 2≠2”． 因为m ＋n ＞2，所以m 2＋n 2≥12(m ＋n )2＞12×22＝2.所以m 2＋n 2≠2，所以原命题得证．反思与感悟 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，因此我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．跟踪训练2 证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1. 考点 反证法和逆否证法 题点 逆否证法证明 命题“若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若 a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”．由a ＝2b ＋1，得a 2－4b 2－2a ＋1＝(2b ＋1)2－4b 2－2×(2b ＋1)＋1＝4b 2＋4b ＋1－4b 2－4b －2＋1＝0，显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．故原命题得证.1．命题“若(綈p )，则q ”的逆否命题为( ) A ．若p ，则(綈q ) B ．若(綈q )，则(綈p ) C ．若(綈q )，则pD ．若q ，则p考点 四种命题的概念 题点 按要求写命题 答案 C2．下列命题为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＝1，则x 2>1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若x 2>1，则x >1”的逆否命题 考点 四种命题间的相互关系题点 写出四种命题利用四种命题的关系判断真假 答案 A解析 对A ，即判断：若x >|y |，则x >y 的真假，显然是真命题．3．命题“若x >1，则x >0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________． 考点 四种命题的概念 题点 按要求写命题答案 若x >0，则x >1 若x ≤0，则x ≤1 4．有下列命题：①“若k ＞0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题； ②“若1a ＞1b ，则a ＜b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题． 其中是假命题的是________． 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数 答案 ①②解析 对于①，其否命题为：若k ≤0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0无实根，显然为假命题；对于②，若a ＜b ，则1a ＞1b ，为假命题；③则为真命题，故假命题为①②.5．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c >0无解”． (1)写出命题p 的否命题； (2)判断命题p 的否命题的真假． 考点 四种命题间的相互关系题点 写出四种命题利用四种命题的关系判断真假解 (1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则二次不等式ax 2＋bx ＋c >0有解”． (2)命题p 的否命题是真命题．判断如下： 因为ac <0，所以－ac>0，Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．一、选择题1．以下说法错误的是()A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案 B2．一个命题和它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数不可能为()A．0 B．1C．2 D．4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析互为逆否关系的两个命题的真假性相同．3．“若x2－3x＋2＝0，则x＝2”为原命题，则它的逆命题、否命题与逆否命题中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 C解析只有其逆命题、否命题为真命题．4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假答案 A解析设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．5．命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A．若x<y，则x2<y2B．若x≤y，则x2≤y2C．若x>y，则x2>y2D．若x≥y，则x2≥y2考点四种命题的概念题点按要求写命题答案 B解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．6．给出下列四个命题：①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中为真命题的是()A．①②B．②③C．③④D．②④考点反证法和逆否证法题点逆否证法答案 D解析根据面面垂直的判定定理可知②是真命题；根据面面垂直的性质定理“若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线必垂直于另一个平面”，可知④是真命题．7．原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真、真、真 B ．假、假、真 C ．真、真、假D ．假、假、假考点 四种命题间的相互关系 题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 A解析 从原命题、逆命题的真假入手，a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题． 8．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题． 其中真命题为( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④ 考点 四种命题间的关系题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 C解析 ①逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，真命题；②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，假命题；③当q ≤1时，Δ＝4－4q ≥0，所以原命题是真命题，其逆否命题也是真命题；④逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假命题．故选C. 二、填空题9．命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2(a ，b ∈R )”的否命题的真假性为________．(填“真”或“假”) 考点 四种命题的概念 题点 判断四种命题的真假 答案 真解析 其否命题为：若a ≤b ，则ac 2≤bc 2，它为真命题．10．已知命题p ：若a ＞b ＞0，则12log a ＜12log b ＋1，则命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为________． 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 2解析 ∵a ＞b ＞0，∴12log a ＜12log b ，∴命题p 为真命题，其逆命题为“若12log a ＜12log b ＋1，则a ＞b ＞0”，∵当a ＝2，b ＝2时，12log a ＜12log b ＋1成立，而a ＝b ，∴逆命题为假命题．∵原命题与其逆否命题的真假相同，逆命题与否命题互为逆否命题， ∴命题p 及其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2.11．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．(只填序号) 考点 四种命题间的相互关系 题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 ②解析 ①的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC 1为模型来观察：上底面A 1B 1C 1D 1中任何三个顶点都不共线，但A 1，B 1，C 1，D 1四点共面，所以①的逆命题是假命题．②的逆命题是：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点．易知其是真命题． 三、解答题12．判断下列命题的真假．(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形； (2)若x ∉A ∩B ，则x ∉A 且x ∉B ； (3)若x 2＋y 2≠0，则xy ≠0. 考点 四种命题间的相互关系 题点 利用四种命题的关系判断真假解 (1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．(2)该命题的逆否命题是“若x ∈A 或x ∈B ，则x ∈A ∩B ”，它为假命题，故原命题为假． (3)该命题的逆否命题是“若xy ＝0，则x 2＋y 2＝0”，它为假命题，故原命题为假． 13．判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假．考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．四、探究与拓展14．已知命题“非空集合M 中的元素都是集合P 中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )①M 中的元素都不是P 的元素；②M 中有不属于P 的元素；③M 中有属于P 的元素；④M 中的元素不都是P 的元素．A ．1B ．2C ．3D ．4考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析 由于“M ⊆P ”为假命题，故M 中至少有一个元素不属于P ，∴②④正确．M 中可能有属于P 的元素，也可能都不是P 的元素，故①③错误．故选B.15．已知条件p ：|5x －1|＞a ＞0，其中a 为实数，条件q ：12x 2－3x ＋1＞0，请选取一个适当的a 值，利用所给出的两个条件p ，q 分别作为集合A ，B ，构造命题“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？ 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假解 由|5x －1|＞a ＞0，得5x －1＜－a 或5x －1＞a ，即x ＜1－a 5或x ＞1＋a 5. 由12x 2－3x ＋1＞0，得2x 2－3x ＋1＞0， 解得x ＜12或x ＞1. 为使“若A ，则B ”为真命题，而其逆命题为假命题，则需A B .令a ＝4，得p ：x ＜－35或x ＞1， 满足题意，故可以选取a ＝4，此时原命题是“若|5x －1|＞4，则12x 2－3x ＋1＞0”．。
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原命题
若p 则q 否命题若┐p 则┐q
逆命题若q 则p
逆否命题若┐q 则┐p
互为逆否互逆否
互为逆否
互
互逆
否
互四种命题的形式
1、命题
什么叫命题？
其中，判断为真的语句，叫真命题，判断为假的语句，叫假命题。
命题的构造？〔条件+结论〕假如…，那么…。
问题1：我是你的教师。
真
X ＞15 不是命题 全等三角形的面积相等。
真 3是10的约数吗？ 不是命题 两直线平行，同位角相等。
真 上课请不要讲话 不是命题 注：〔1〕疑问句，祈使句，感慨句不是命题。
〔2〕要判断一个语句是不是命题，关键是能不能判断真假。
〔3〕判断命题真假的方法有：逻辑推理法、要证明命题是假命题，只需要举出满足条件，不满足结论的例子即可；要证明命题为真，就需要证明满足命题的条件，就一定能推出命题的结论。
2、推出关系
假如α成立可以推出β成立，那么就说由α可以推出β，记作：α＝＞β，换言之，α＝＞β表示以α为条件、β为结论的命题是真命题。
假如α成立不能推出β成立，记作：α≠＞β，换言之，α≠＞β表示以α为条件、β为结论的命题是假命题。
3、四种命题形式
问题2:判断以下命题的真假，你能发现各命题之间有什么关系？
①假如两个三角形全等，那么它们的面积相等； 〔假如α，那么β〕 ②假如两个三角形的面积相等，那么它们全等； 〔假如β，那么α〕 ③假如两个三角形不全等,那么它们的面积不相等； 〔假如α，那么β〕 ④假如两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； 〔假如β，那么α〕 注：1 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系2两个命题为互为逆否命题,它们的真假性一样
3假设原命题为真，它的逆命题和否命题可以为真也可以为假；4在同一个命题的四种命题中，真命题的个数要么
是0个，要么是2个，要么是4个。
例1.写出命题“假设a=0,那么ab=0〞的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。
例2．写出命题“两直线平行，同位角相等〞的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。
4、否命题及命题的否认
1、 否命题是既否都条件，也否认结论，而命题的否认只否认结论。
命题的否认与否命题：假设命题为“假
设p ，那么q 〞，那么其命题的否认为：“假设p ，巩那么q ⌝〞，而其否命题是：“假设p ⌝，那
么q ⌝〞。
（1）常见词语的否认形式 “至少〞比“至多〞多一个：比方，“至多3个〞的否认是“至少4个〞； “至多〞比“至少〞少一个：比方，“至少3个〞的否认是“至多2个〞。
对任意x A ∈使()p x 真 的否命题为 存在x A ∈使()p x 假。
例3.原命题：
（1） 假设一个三角形为锐角三角形，那么它的三个内角都为锐角； （2） 菱形的对角线互相垂直； （3） 面积相等的三角形是全等三角形。
写出原命题的否认及否命题。
例4. 写出命题“假设m ≤2或n ≤3，那么m n +≤5〞的否命题
例5．写命题“假设1x ≠，那么2
210x x -+>〞的否认和否命题。
例6.写出命题“平行四边形是中心对称图形〞的否认及否命题
充分条件与必要条件
1、定义法
①假设p ⇒q ，那么p 叫q 的充分条件，同时q 叫p 的必要条件 ②假设q ⇒p ，那么p 叫q 的必要条件，同时q 叫p 的充分条件 ③假设p ⇔q ，那么p 叫q 的充要条件，q 也是p 的充要条件 2、集合的包含关系
假设条件p 以集合A 的形式出现，结论q 以集合B 的形式出现，那么
①假设A ⊆B ，那么A 是B 的充分条件； ②假设A ⊇B ，那么A 是B 的必要条件； ③假设A = B ，那么A 是B 的充要条件； 3、根据命题的真假来判断充分条件与必要条件
假设p 那么q 〔或假设┐q 那么┐p 〕为真命题，那么p 是q 的充分条件； 假设q 那么p 〔或假设┐p 那么┐q 〕，那么p 是q 的必要条件.
例题1：〔用充分条件和必要条件填空〕
⒈“a 和b 都是偶数〞是“a+b 也是偶数〞的 条件； ⒉“四边相等〞是“四边形是正方形〞的 条件； ⒊“x ≠3〞是“|x|≠3〞的 条件； ⒋“x-1=0〞是“x 2
-1=0〞的 条件；
⒌“两个角是对顶角〞是“这两个角相等〞的 条件；
⒍“至少有一组对应边相等〞是“两个三角形全等〞的 条件；
⒎对于一元二次方程ax 2
+bx+c=0〔其中a,b,c 都不为0〕来说，“b 2
-4ac ≥0〞是“这个方程有两个正根〞
的 条件；
⒏“a=2，b=3〞是“a+b=5〞的 条件；
⒐“a+b 是偶数〞是“a 和b 都是偶数〞的 条件；
⒑“个位数字是5的自然数〞是“这个自然数能被5整除〞的 条件. 例题2：
1、指出以下各题中，p 是q 的的什么条件？〔指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件〕 〔1〕 p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等。
(2) p ： (x-2)(x-3)=0, q ：x-2=0 (3) p ：x=y q ：22
y x
=
〔4〕 p ：x >y >0，q ：
y
x 1
1< (5) p: x>2 q ：x>0 〔6〕
M P p ⊆:且N P ⊆ )(:N M P q ⋂⊆
〔7〕p ：同位角相等；q ：两直线平行。
〔8〕p ：四边形的对角线相等；q ：四边形是平形四边形。
〔9〕
232:x x x p =+；q ：2x+3=x 2
.
注：本质分析：原命题真逆命题假，那么p 是q 的充分不必要条件。
〔由命题真假，定义，集合的包含关系三种方法来判断〕
例3 p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，那么p是q的
[ ] A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例4 p是q的充要条件的是
[ ] A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5
B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解
例5 假设A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，那么D是A成立的
[ ] A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例6 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的
[ ] A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
例7 设A、B、C三个集合，为使A(B∪C)，条件A B是
[ ] A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件。