四种命题以及相互关系

原命题

若p 则q 否命题若┐p 则┐q

逆命题若q 则p

逆否命题若┐q 则┐p

互为逆否互逆否

互为逆否

互

互逆

否

互四种命题的形式

1、命题

什么叫命题？

其中，判断为真的语句，叫真命题，判断为假的语句，叫假命题。 命题的构造？〔条件+结论〕假如…，那么…。 问题1：我是你的教师。 真

X ＞15 不是命题 全等三角形的面积相等。 真 3是10的约数吗？ 不是命题 两直线平行，同位角相等。 真 上课请不要讲话 不是命题 注：〔1〕疑问句，祈使句，感慨句不是命题。

〔2〕要判断一个语句是不是命题，关键是能不能判断真假。

〔3〕判断命题真假的方法有：逻辑推理法、要证明命题是假命题，只需要举出满足条件，不满足结论的例子即可；要证明命题为真，就需要证明满足命题的条件，就一定能推出命题的结论。 2、推出关系

假如α成立可以推出β成立，那么就说由α可以推出β，记作：α＝＞β，换言之，α＝＞β表示以α为条件、β为结论的命题是真命题。

假如α成立不能推出β成立，记作：α≠＞β，换言之，α≠＞β表示以α为条件、β为结论的命题是假命题。 3、四种命题形式

问题2:判断以下命题的真假，你能发现各命题之间有什么关系？

①假如两个三角形全等，那么它们的面积相等； 〔假如α，那么β〕 ②假如两个三角形的面积相等，那么它们全等； 〔假如β，那么α〕 ③假如两个三角形不全等,那么它们的面积不相等； 〔假如α，那么β〕 ④假如两个三角形的面积不相等，那么它们不全等； 〔假如β，那么α〕 注：1 两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系2两个命题为互为逆否命题,它们的真假性一样

3假设原命题为真，它的逆命题和否命题可以为真也可以为假；4在同一个命题的四种命题中，真命题的个数要么

是0个，要么是2个，要么是4个。

例1.写出命题“假设a=0,那么ab=0〞的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。

例2．写出命题“两直线平行，同位角相等〞的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。

4、否命题及命题的否认

1、 否命题是既否都条件，也否认结论，而命题的否认只否认结论。命题的否认与否命题：假设命题为“假

设p ，那么q 〞，那么其命题的否认为：“假设p ，巩那么q ⌝〞，而其否命题是：“假设p ⌝，那

么q ⌝〞。

（1）常见词语的否认形式 “至少〞比“至多〞多一个：比方，“至多3个〞的否认是“至少4个〞； “至多〞比“至少〞少一个：比方，“至少3个〞的否认是“至多2个〞。 对任意x A ∈使()p x 真 的否命题为 存在x A ∈使()p x 假。

例3.原命题：

（1） 假设一个三角形为锐角三角形，那么它的三个内角都为锐角； （2） 菱形的对角线互相垂直； （3） 面积相等的三角形是全等三角形。 写出原命题的否认及否命题。

例4. 写出命题“假设m ≤2或n ≤3，那么m n +≤5〞的否命题

例5．写命题“假设1x ≠，那么2

210x x -+>〞的否认和否命题。

例6.写出命题“平行四边形是中心对称图形〞的否认及否命题

充分条件与必要条件

1、定义法

①假设p ⇒q ，那么p 叫q 的充分条件，同时q 叫p 的必要条件 ②假设q ⇒p ，那么p 叫q 的必要条件，同时q 叫p 的充分条件 ③假设p ⇔q ，那么p 叫q 的充要条件，q 也是p 的充要条件 2、集合的包含关系

假设条件p 以集合A 的形式出现，结论q 以集合B 的形式出现，那么

①假设A ⊆B ，那么A 是B 的充分条件； ②假设A ⊇B ，那么A 是B 的必要条件； ③假设A = B ，那么A 是B 的充要条件； 3、根据命题的真假来判断充分条件与必要条件

假设p 那么q 〔或假设┐q 那么┐p 〕为真命题，那么p 是q 的充分条件； 假设q 那么p 〔或假设┐p 那么┐q 〕，那么p 是q 的必要条件.

例题1：〔用充分条件和必要条件填空〕

⒈“a 和b 都是偶数〞是“a+b 也是偶数〞的 条件； ⒉“四边相等〞是“四边形是正方形〞的 条件； ⒊“x ≠3〞是“|x|≠3〞的 条件； ⒋“x-1=0〞是“x 2

-1=0〞的 条件；

⒌“两个角是对顶角〞是“这两个角相等〞的 条件；

⒍“至少有一组对应边相等〞是“两个三角形全等〞的 条件；

⒎对于一元二次方程ax 2

+bx+c=0〔其中a,b,c 都不为0〕来说，“b 2

-4ac ≥0〞是“这个方程有两个正根〞

的 条件；

⒏“a=2，b=3〞是“a+b=5〞的 条件；

⒐“a+b 是偶数〞是“a 和b 都是偶数〞的 条件；

⒑“个位数字是5的自然数〞是“这个自然数能被5整除〞的 条件. 例题2：

1、指出以下各题中，p 是q 的的什么条件？〔指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件〕 〔1〕 p ：两个三角形相似，q ：两个三角形全等。 (2) p ： (x-2)(x-3)=0, q ：x-2=0 (3) p ：x=y q ：22

y x

=

〔4〕 p ：x >y >0，q ：

y

x 1

1< (5) p: x>2 q ：x>0 〔6〕

M P p ⊆:且N P ⊆ )(:N M P q ⋂⊆

〔7〕p ：同位角相等；q ：两直线平行。

〔8〕p ：四边形的对角线相等；q ：四边形是平形四边形。 〔9〕

232:x x x p =+；q ：2x+3=x 2

.

注：本质分析：原命题真逆命题假，那么p 是q 的充分不必要条件。