第4讲 数列中不等式的证明问题
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第4讲 数列中不等式的证明问题
高考定位 1.数列中不等式的证明是浙江高考数学试题的压轴题；2.主要考查数学归纳法、放缩法、反证法等数列不等式的证明方法，以及不等式的性质；3.重点考查学生逻辑推理能力和创新意识.
真 题 感 悟
(2017·浙江卷)已知数列{x n }满足：x 1＝1，x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)(n ∈N *). 证明：当n ∈N *时， (1)0＜x n ＋1＜x n ； (2)2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋12； (3)12
n －1≤x n ≤1
2
n －2.
证明 (1)用数学归纳法证明：x n ＞0. 当n ＝1时，x 1＝1＞0.
假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，x k ＞0，
那么n ＝k ＋1时，若x k ＋1≤0，则0＜x k ＝x k ＋1＋ln(1＋x k ＋1)≤0，矛盾，故x k ＋1＞0， 因此x n ＞0(n ∈N *).
所以x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)＞x n ＋1， 因此0＜x n ＋1＜x n (x ∈N *). (2)由x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)得，
x n x n ＋1－4x n ＋1＋2x n ＝x 2n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1). 记函数f (x )＝x 2－2x ＋(x ＋2)ln(1＋x )(x ≥0). f ′(x )＝2x 2＋x x ＋1
＋ln ()1＋x ＞0(x ＞0)，
函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x )≥f (0)＝0，
因此x 2
n ＋1－2x n ＋1＋(x n ＋1＋2)ln(1＋x n ＋1)＝f (x n ＋1)≥0，
故2x n ＋1－x n ≤x n x n ＋1
2(n ∈N *).
(3)因为x n ＝x n ＋1＋ln(1＋x n ＋1)≤x n ＋1＋x n ＋1＝2x n ＋1， 所以x n ≥12x n －1≥122x n －2≥…≥12n －1x 1＝1
2n －1.
故x n ≥
1
2
n －1.
由x n x n ＋1
2≥2x n ＋1－x n 得 1
x n ＋1－12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x n －12＞0，
所以1x n －12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n －1－12≥…≥2n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－12＝2n －
2，
故x n ≤
1
2n －2.
综上，12n －1≤x n ≤1
2
n －2(n ∈N *).
考 点 整 合
1.数学归纳法
证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立；
(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立. 2.反证法
一般地，由证明p ⇒q 转向证明：綈q ⇒r ⇒…⇒t ，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定綈q 为假，推出q 为真的方法，叫做反证法. 3.放缩法
放缩法是利用不等式的传递性，证明不等式的方法，要证A
热点一 数学归纳法证明数列不等式
【例1】 (2017·金丽衢联考)设数列{a n }满足：a 1＝a ，a n ＋1＝2a n
a 2n ＋1(a >0且a ≠1，
n ∈N *).
(1)证明：当n ≥2时，a n （b －a 2）（b ＋1） a 2（1－ b ） ＋1时，a k ＋1>b . 证明 (1)由a n ＋1＝2a n a 2n ＋1知，a n 与a 1的符号相同， 而a 1＝a >0，所以a n >0， 所以a n ＋1＝ 2 a n ＋1a n ≤1，当且仅当a n ＝1时，a n ＋1＝1， 下面用数学归纳法证明： ①因为a >0且a ≠1，所以a 2<1， a 3a 2＝2a 22＋1 >1，即有a 2 ＝ 2 a k ＋1＋ 1a k ＋1 <1， 且a k ＋2a k ＋1＝2a 2k ＋1＋1 >1，即a k ＋1a k ＋1>a k ≥b ； 若a k ≥1＋nx ， 而a 2k ＋1 所以a k ＋1＝a 2·a 3a 2 ·a 4a 3 ·…· a k ＋1a k ＝a 2·2k －1（1＋a 22）（1＋a 23）…（1＋a 2k ）>a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋b 2k －1 > a 2⎝ ⎛⎭ ⎪⎫21＋b k －1 ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－b 1＋b k －1≥a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1＋ 1－b 1＋b （k －1）. 因为k ≥ （b －a 2）（b ＋1） a 2（1－ b ） ＋1，