高等代数[北大版]第1章习题参考答案解析

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第一章 多项式

0时，代入

2)可得q

2pm

1. 用 g(x)除 f (x), 求商q(x)与余式r(x):

1) f (x) x 3 3x * 2

2

x 1, g(x) 3x 2x 2) f(x) x 4 2x

5,g(x) x 2

1

1

)由带余除法，可得

q(x)

亍

討

(X)

26 x

9

2

同理可得q(x) x x 1, r(x) 5x 7。

1) 2 x mx 1| x 3

px q , 2)

2 ..4 2

x mx 1 | x px q 。 解 1) 由假设, 所得余式为 0, 即(p 所以当 p 1 2 m 时有x 2 mx

q m 0

m(2 p m 2) 0 2) m, p,q 适合什么条件时，有 2. 1 |x

q 1 p

2

，于是当

m 2

1 m

2 )x (

q m

) 0

,

px

m 0时，代入(

2)可得

综上所诉，当

时，皆有x 2

mx 1|x 4 px 2 q 。

1) f(x)

2x 5 5x 3 8x, g(x) x

3 ; 2) f (x) x 3 x 2

x, g(x) x 1

2i 。

1)

q(x) 2x 4 6x 3 1 13x 2

39x 109

r(x) 327

q(x )

)x 2

2ix

(5

2i)

o

r(x) 9 8i

求g(x)除f (x)的商q(x)与余式:

解 2) 把f (x)表示成x X o 的方幕和，即表成

3.

4.

C o C|(X X o ) C 2(X X o )2

... C n (X X 。)" L 的形式:

5

1) f (X ) X , X o 1 ； 2)

f (X ) x 4 2X 2 3,X o 2 ；

3) 4

3

f (X ) X 2ix (1

i)x 2

3X 7 i,X o i o

解 1)由综合除法，可得 f(x)

1 5(X 1) 10(x

2

1) 10(x 1)3 5(X 1)4 (X 1)5 ； 2) 由综合除法，可得 X 4

2X 2 3 11 24(X 2) 22(X 2)2 8(X

2)3 (X 2)4 ;

3) 由综合除法，可得X 4

2ix 3

(1 i)x 2 3X (7

i)

(7 5i) 5(X i) ( 1 i)(x i)2 2i(x i)3 (X i)4。

5.求f (X )与g(x)的最大公因式： 1) f (X) 4

X

3

X

2

3X 4X

1,g(x) X 3 x 2 X 1 ；

2)

f (X) 4

X 4X 3 1,g(x) X 3 3X 2

1 ；

3)

f (X)

4

X 10x 2 1,g(x)

X 4 4.2x 3 6X 2 4. 2X 1 o

解 1) (f(x),g(x)) X 1 ； 2)(f (X),g(x))

1 ；

3) (f (x),g(x)) X 2 2」2X 1 o

6.求 u(x),v(x) 使 u(x)f (X ) v(x)g(x) (f (X), g(x)) o 1) f (X ) x 4 2X 3 x 2 4X 2, g(x) x 4 x 3 X 2 2X 2 ； 2) f (X ) 4X 4 2X 3

16X 2 5X 9, g (X ) 2X 3 X 2 5X 4 ；

43

2

2

3) f (X ) X X 4X 4X 1,g(X ) X x 1。

2

解 1)因为(f(x),g(x)) X 2 r 2(x)

f (X ) q(x)g(x) n(x)

再由

，

g(x) q 2(x)n(x) D (X )

解得「2(X)g(x) q

2(

x

)「1(x)

g(x) Mg)

[q2(x)]f(x) [1 q(x)q2(x)]g(x)

曰u(x) q2(x) x 1

疋v(x) 1 q(x)q2(x) 1 1c(x 1) x 2式，求t,u的值。

(u 2t 4) 0

u(3 t) 0 '

从而可解得u

1

或

u

2

2

o t12 t23

8.证明：如果

d(x) | f (x), d (x) | g(x)，且d(x)为f (x)与g(x)的组合，那么d (x)是f (x) 与g(x)的一个最大公因式。

证易见d(x)是f (x)与g(x)的公因式。另设(x)是f(x)与g(x)的任一公因式，下证(x) |d(x) o

由于d (x)是f (x)与g(x)的一个组合，这就是说存在多项式s(x)与t(x)，使

d(x) s(x) f(x) t(x)g(x),

从而由(x) | f (x), (x) | g(x)可得(x) | d(x)，得证。

9 •证明:(f (x)h(x), g(x)h(x)) (f (x), g(x))h(x), (h(x)的首系数为1)

q(x)g(x)]

2)仿上面方法，可得(f (x), g(x)) x 1，且u(x) %x) 2 x2

3 3

3)由(f(x), g(x)) 1 可得u(x) x 1,v(x) 3x

7 .设

f (x) x3(1 t)x22x 2u 与g(x) x3tx2u的最大公因式是一个二次多项

解因为

f (x)

g(x) q(x)g(x)

q2(x)n(x

A(x) (x3

D(x)

tx2u) (x22x u)

(x (t 2))( x22x u) (u 2t 4)x u(3 t)，且由题设知最大公因式是二次多项式，所以余式h(x)为0,即