基本不等式变形公式的推导
利用基本不等式ab2√ab求最值十大变形技巧
当且仅当口２＝虿１＋譬，且口２＋譬＝ｌ，即口＝
譬，６：年时取等号．
故口・／丽的最大值为毛等
点评
练习３
若算＜０，求函数），：一１２＋３茗的最大
件，然后利用基本不等式求最值． 代入 例２ 已知上＋鱼：ｌ（ｍ＞０，ｎ＞０），则ｍｎ （
Ｂ．１ ｃ．８ Ｄ．９ ４
￣／１＋Ｙ２的最大值，并求此时并和Ｙ的值．
拆项 例４ 解
取等号，从而得ｙ＝３—３ｘ一÷≤３—２石，当且仅
≤２×［牮］２－２×。晕）２＿
≤×［——‘』］２＝×（÷）２＝
通过平方变形，创造利用不等式的条 已知正数算，，，满足２ｘ２＋３ｙ２＝９，求膏
当石＝乎时取等号，，故函数），＝３—３茗一÷的最大
值为３—２西，选ｃ
点评 如果变量为负，首先化为正，然后再利 用基本不等式求最值． 练习１ 值．
号，生＋—Ｌ的最小值为（血＋６）２，选ｃ．
点评 通过添项，然后创设利用不等式的条件 求最值，添项时一定要注意保持恒等． 练习５（２００７年山东卷）函数Ｙ＝ｌｏｇ。（髫＋３） 一１（口＞０，口≠１）的图象恒过定点Ａ，若点Ａ在直线 ／＇ｔ＇ｔＸ＋ｎｙ＋１＝０上，其中ｍｔｔ＞０，则上＋三的最小
—２，，＋３ｚ＝０，则Ｌ的最小值为——．
口＋２√考‘等＝（石＋１）２，当且仅当考＝等，即考
＝石时詈“＝”号．由已知不等式（算＋，，）（÷＋号）
≥９对任意正实数ｘ，Ｙ恒成立，则只需（√Ⅱ＋１）２≥
１，求（省＋Ｙ）（Ｙ＋二）的最小值． 解 （髫＋Ｙ）（Ｙ＋ｚ）＝ｘｙ＋船＋），２＋ｙｚ＝影＋
ｙ（Ｘ＋Ｙ＋：）≥２厶万页石丐了万＝２，当且仅当
ｌ戈ｙｚ（菇＋Ｙ＋三）＝，１时取等号，故（髫＋ｙ）（，，＋彳）的
设口≥ｏ，ｂ≥０，且口２＋等＝１，求
等式与不等式的变形
等式与不等式的变形在数学中，等式和不等式是我们经常使用的基本概念。
通过变形，我们可以对等式和不等式进行操作，使其更符合我们的计算和推导需求。
本文将介绍等式和不等式的基本变形规则以及应用案例，帮助读者更好地理解和运用这些数学概念。
一、等式的变形1. 合并相同项：当等式中存在相同的项时，我们可以将它们合并成一个项。
例如：3x + 2x = 5x。
2. 移项：在等式中，如果某个变量或常数项在等式两边都有，我们可以将它们移到一边，以便对另一边进行运算。
例如：2x + 5 = 10，可以变形为2x = 10 - 5。
3. 因式分解：有时候我们需要将等式中的某个项进行因式分解，以便于进行运算和简化。
例如：2(x + 1) = 4，可以进行因式分解为2x + 2 = 4。
4. 变量相消：如果等式中的两个变量相等，我们可以将它们进行相消。
例如：2x + 3 = 5x - 1，可以化简为3 + 1 = 5x - 2x。
5. 通分：当等式中含有分数时，我们可以通过通分将分数进行合并。
例如：1/2x + 1/3x = 1，可以通过通分得到3/6x + 2/6x = 1。
二、不等式的变形1. 合并相同项：与等式的变形相似，不等式也可以合并相同项。
例如：3x + 2x > 5x。
2. 移项：不等式的移项与等式类似，将某个变量或常数项移到一边以便进行比较和运算。
例如：2x + 5 > 10，可以变形为2x > 10 - 5。
3. 改变不等号方向：当不等式中的变量或常数项与被比较的对象相互交换位置时，不等号的方向也需要相应改变。
例如：-2x + 3 < 5，可以变形为3 - 5 > 2x。
4. 因式分解：不等式中的因式分解同样适用于等式。
例如：2(x + 1) > 4，可以因式分解为2x + 2 > 4。
5. 通分：如果不等式中含有分数，我们可以通过通分将分数进行合并。
例如：1/2x + 1/3x < 1，可以通过通分得到3/6x + 2/6x < 1。
基本不等式的变形及应用
基本不等式a 2 b 2 2ab 的变式及应用不等式a 2 b 2 2ab 是课本中的一个定理，它是重要的基本不等式之一，对于它及它各种变式的掌握与熟练运用是求解很多与不等式有关问题的重要方法，这里介绍它的几种 常见的变式及应用1十种变式2、应用由于三个不等式中的等号不能同时成立，故■ a 1 .b 1 . c 1 4a 2b 2评论：本解法应用“ ab”观察其左右两端可以发现，对于某一字母左边是2一次式，而右边是二次式，显然，这个变式具有升幕与降幕功能，本解法应用的是升幕功①aba 2b 2 _ a b 2 ② ab ()；2a b 、2 2a b 2③（ ）;2 2⑤若b 0，2则a2a b ;b1⑦若a,b R ,(1)24a bab上述不等式中 等号成立的允要条件均为⑥a,bR ,则 1 14a b ab⑧若ab0 ,则 1 2 a 1 b 2a bb 2(a b)(当且仅当an m n⑩(a b c)23(a 2 b 2 c 2（当且仅当a b c 时等号成立）例 1、若 a,b,c R c 2，求证：.a 1. b 1 c 1 4证法一：由变式①得即..a 1HI 二理同b- 2VC- 2 a- 24C- 2b- 2 2④ a b . 2(a 2 b 2)a 2⑨若 m, n R ,a,b R ，则bm 时等号成立）1匕止 因证法二：由变式④得a 1 b 1 2(a 1 b 1)同理：..c 1 1 . 2(c_1一1).a 1 .b 1 、c 1 1 2(a b 2) . 2(c 2) .. 2(a b c 4) .12 5 故结论成立评论：本解法应用“ a b J2(a2b2) ”这个变式的功能是将“根式合并”，将“离散型”要根式转化为统一根式，显然，对问题的求解起到了十分重要的作用。
证法三：由变式⑩得( a 1 . b 1 、c 1)23(a 1 b 1 c 1) 15故.a 1 .. b 1 ... c 1 4 即得结论评论：由基本不等式a b 2ab易产生2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca，两边同时加上a2 b2 c2即得3(a2 b2 c2) (a b c)2，于是便有了变式⑩，本变式的功能可以将平方进行“分拆”与“合并”。
高二数学必修5第三章《基本不等式基本不等式及其变形公式的应用(第三课时)》新授课详细教案
第三章 不等式3.4基本不等式2a bab +≤（第三课时）【创设情景 引入新知】前一节课我们学习了利用基本不等式解一些简单的实际应用问题，求一些简单的最值问题，在应用的过程中，我们对基本不等式2ba ab +≤的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.基本不等式不仅应用广泛，而且由基本不等式还可以推导出许多变形公式，为下一步的学习好应用提供了更多的思路和方法，那么你知道基本不等式有哪些变通形式？怎么灵活应用呢？另外，有一些代数式的积或和都不是定值，应该怎么求最值呢？对一些不等式我们能否利用基本不等式进行证明呢？本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.【探索问题 形成概念】基本不等式的变通公式： 变式1：将基本不等式2a bab +≥两边平方可得22()a b ab +≥； 变式2：在不等式222a bab +≥两边同加上22a b +，再除以4，可得，22222()a b a b ++≥； 变式3：将不等式2(0,0)a b ab a b +≥>>两边同乘以ab ，可得2abab a b≥+，再让我再想想吧？将2ab a b+的分子、分母同除ab ，得211ab a b≥+.综合上述几种变式得出，2222211a b a b ab a b++≥≥≥+.（一）利用基本不等式求积或和都不是定值的函数的最值问题利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解. 【例题】（1）已知3x <，求43()f x x x =+-的最大值；（2）已知01x << ，求 21x x -的最大值.【思路】（1）用基本不等式求最值时,构造积为定值，各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.（2）构造和为定值，利用基本不等式求最值. 【解答】（1）330,.x x <∴-<4433334433233331()()()()f x x x x x x x x x ∴=+=+-+--⎡⎤=-+-+≤-⨯-+⎢⎥--⎣⎦=-当且仅当433()x x =--，即x ＝1时取等号．()f x ∴的最大值为－1.（2）2222201111122,()x x x x xx x <<+-∴-=-≤=当且仅当221xx =-，即22x =时取等号． ()f x ∴的最大值为12.【反思】对于某些问题,从形式上看不具备应用基本不等式的条件,可设法变形拼凑出应用基本不等式的条件,然后用基本不等式求解.（二）形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值思考两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到． 【例题】求函数2232x y x +=+的最小值.【思路】由于分子变量的次幂是分母变量次幂的2倍，因此可化为1y t t=+型函数求解. 【错误解法】22223122222min,.x y x x x y +==++≥++∴=但是22x +与212x +不可能相等，即“＝”取不到，因此最小值不是2.【正确解法】222231222x y x x x +==++++，令22t x =+，则2t ≥，所以原式为12()y t t t=+≥.而函数1y t t=+在01(,)t ∈上为减函数，在1(,)t ∈+∞上为增函数，2t ≥，则当2t =时，y 取最小值，且132222min y =+=，此时0x =，故当0x =时，y 取最小值322.【反思】当形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值时，可用函数的单调性求解，而函数0()b y at t t =+>在0,b a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，在,b a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上为增函数.（三）利用基本不等式证明不等式证明不等式是均值不等式的一个基本应用,注意分析不等式的左右两边的结构特征,通过拆(添)项创设一个应用均值不等式的条件.在解决本类问题时注意以下几点: （1）均值不等式成立的前提条件;（2）通过加减项的方法配凑成算术平均数、几何平均数的形式; （3）注意“1”的代换;（4）灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用.【例题】已知,,a b c 为不全相等的正实数．求证222a b cab bc ac ++>++.【思路】先构造基本不等式的条件，再运用基本不等式证明，不要忘记判断等号成立的条件. 【证明】22222222200022222,,,,,,()(),a b c a b ab b c bc a c ac a b c ab bc ac >>>∴+≥+≥+≥∴++≥++ 即222,a b cab bc ac ++≥++又,,a b c 为不全等的正实数，故等号不成立． ∴222a b cab bc ac ++>++【反思】对要证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明．如果本例条件不变，求证a b c ab bc ac ++>++.则可以类似的证明000,,,a b c >>>222,,,a b ab b c bc a c ac ∴+≥+≥+≥∴22()()a b c ab bc ac ++≥++即a b c ab bc ac ++≥++.由于,,a b c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a b c ab bc ac ++>++.【解疑释惑 促进理解】难点一、如何利用基本不等式求条件最值在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值． 【例题】已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值；【错误解法】0,0x y >>，且191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。
不等式：基本不等式、对勾函数、判别式解法
不等式不等式是高考必考的热点内容，考查的广度和深度是其他章节无法比拟的，任何一份高考试卷中，涉及到不等式内容的考点所占比例超过70%。
一方面，考查不等式的性质、解法、证明以及实际应用；另一方面，与高中阶段的数学各个部分都存在着密切的联系。
因此，对于不等式的学习，应达到多层面，多角度熟练掌握的程度。
第一节 基本不等式1.若a,b ∈R,则a 2+b 2≥2ab ，等号成立的条件：a =b ；证明：当a,b ∈R 时，(a −b)2≥0,展开后即可得到所求不等式及等号成立的条件。
2.基本不等式的变形（包括2个方面）①若a,b ≥0的实数，则a +b ≥2√ab , 等号成立的条件：a =b ； 若a,b ∈R,ab >0则ba +ab ≥2, 等号成立的条件：a =b ；若x ∈R,x >0则x +1x ≥2, 等号成立的条件：x =1；(上述3个不等式，考虑如何证明？)注：上述的a,b 不能仅仅理解为两个参数，它可以是表达式或函数的解析式。
②若a,b ∈R,则a 2+b 2≥(a+b)22≥2ab;等号成立的条件：a =b （注意：不等式的右边是(a +b)2）例题1.已知x,y ∈(0,+∞),且4x +3y =1，求x +y 的最小值及xy 的最小值。
解：x +y =(x +y )(4x +3y )=7+(4yx +3xy)≥7+2√4y x ×3x y=7+4√3，∴x +y 的最小值为：7+4√3；求(xy)min 有两种方法，其一是配式，1xy=112×4x ×3y ≤112(4x +3y2)2=148，∴(xy)max =48；另一种方法是，由4x +3y =1→xy =4y +3x ≥2√3x ×4y =4√3√xy ,∵x,y ∈(0,+∞)→√xy ≥4√3，∴(xy)min =48。
例题2. 已知a√1−b 2+b√1−a 2=1,求证：a 2+b 2=1。
《基本不等式》 知识清单
《基本不等式》知识清单一、基本不等式的定义如果 a，b 是正数，那么\（＼sqrt{ab} ＼leq ＼frac{a ＋ b}｛2}＼），当且仅当 a ＝ b 时，等号成立。
其中，＼（＼frac{a ＋ b}｛2}＼）叫做正数 a，b 的算术平均数，＼（＼sqrt{ab}＼）叫做正数 a，b 的几何平均数。
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
二、基本不等式的推导对于正数 a，b，有：＼（（＼sqrt{a} ＼sqrt{b}）＾2 ＼geq 0\）＼（a 2\sqrt{ab} ＋ b ＼geq 0\）＼（a ＋ b ＼geq 2\sqrt{ab}＼）＼（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼）当且仅当\（＼sqrt{a} ＝＼sqrt{b}＼），即 a ＝ b 时，等号成立。
三、基本不等式的几何解释以长为 a ＋ b 的线段为直径作圆，在直径 AB 上取点 C，使 AC ＝ a，CB ＝ b。
过点 C 作垂直于直径 AB 的弦 DE，连接 AD，DB。
根据圆的性质，可得\（CD ＝＼sqrt{ab}＼），而半径\（＼frac{a＋ b}｛2}＼）。
因为半径不小于弦长的一半，所以\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），当且仅当 C 为圆心时，等号成立，即 a ＝ b 。
四、基本不等式的变形1、＼（a^2 ＋ b^2 ＼geq 2ab\）（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：＼（a^2 ＋ b^2 2ab ＝（a b)＾2 ＼geq 0\），所以\（a^2 ＋b^2 ＼geq 2ab\）2、＼（ab ＼leq （＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2\）（当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：由基本不等式\（＼frac{a ＋ b}｛2} ＼geq ＼sqrt{ab}＼），两边平方可得\（ab ＼leq （＼frac{a ＋ b}｛2}）＾2\）3、＼（＼frac{b}｛a} ＋＼frac{a}｛b} ＼geq 2\）（a，b 同号且不为 0，当且仅当 a ＝ b 时，等号成立）推导：＼（＼frac{b}｛a} ＋＼frac{a}｛b} ＼geq 2\sqrt{＼frac{b}｛a} ＼times ＼frac{a}｛b}｝＝ 2\）五、用基本不等式求最值1、若两个正数的和为定值，则当这两个数相等时，它们的积取得最大值。
基本不等式的所有变形
基本不等式的所有变形第一篇嗨呀，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊基本不等式的那些变形，可有意思啦！咱们先来说说常见的一种变形。
比如说，当两个正数 a 和 b 相加为定值时，它们的乘积就有最大值。
这就好像两个小伙伴手拉手，力气加起来就那么多，怎么配合能发挥最大作用是有讲究的哟！还有哦，如果两个正数的乘积是定值，那它们相加就有最小值。
这就好比你有固定的资源，怎么分配能让收获最多，是有窍门的呢！再瞧瞧这个变形，如果 a 大于 0，b 大于 0，而且 a + b = S （S 是定值），那么 ab 就小于等于(S/2)² 。
是不是感觉有点神奇呀？另外，当 a 大于 0，b 大于 0 ，且 ab = P（P 是定值），这时候 a + b 就大于等于 2 倍的根号 P 。
就像搭积木，给定了一些条件，能搭出的最稳固的形状是有规律的。
其实呀，基本不等式的变形还有好多好多，只要咱们多琢磨，多练习，就能把它们都掌握得牢牢的，让数学变得好玩又有趣！怎么样，小伙伴们，是不是对基本不等式的变形有点感觉啦？第二篇嘿，朋友们！咱们继续来唠唠基本不等式的变形。
你看哈，如果 a，b 都是正实数，那么(a + b)² 大于等于4ab ，这就好像是给它们穿上了一件特别的衣服，样子变了，但本质不变哟。
还有那个(a² + b²)/2 大于等于(a + b)²/4 ，是不是有点绕？别担心，多想想就明白了。
再有哦，如果 a 大于 b 大于 0 ，那么 a + 1/(b(a b)) 大于等于 3 。
这就像是走迷宫，找到正确的路才能顺利通过。
咱们再说说，如果 a，b，c 都是正实数，那么 (a + b + c)/3 大于等于三次根号下(abc) 。
这三个小伙伴一起玩耍，也有它们的规则呢。
基本不等式的变形真的是千变万化，就像孙悟空会七十二变一样。
但只要咱们有一双善于发现的眼睛，就能看穿它们的小把戏。
基本不等式使用技巧
基本不等式使用技巧基本不等式有个使用口诀：一正，二定，三相等，和定积大，积定和小。
和定积大：两个正数的和为定值，则它们的乘积小于等于它们相等时的乘积积定和小：两个正数的积为定值，则它们的和大于等于它们相等时的和。
基本不等式简单推导：由a -b 2≥0⇒a 2+b 2-2ab ≥0即a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时等号成立),令a =a ,b =b 得a +b ≥2ab 即a +b 2 ≥ab (a >0,b >0,此不等式称为基本不等式，反映了两个正数的算术平均数不小于几何平均数)。
重要变形：a 2+b 2≥2ab ⇒a 2+b 2≥2ab (a ,b 同号)a 2+b 2≥-2ab (a ,b 异号) ；ab ≤a 2+b 22 ；ab ≤a +b 24 (即ab ≤a +b 2 2)；a +b ≥2ab (a >0,b >0)；a +b ≤-2ab (a <0,b <0)；2(a 2+b 2)≥(a +b )2(即a 2+b 22 ≥a +b 2 2)，以上各式均是当且仅当a =b 时等号成立。
典型例题：已知x ,y 为实数，4x 2-5xy +4y 2=5,求x 2+y 2的最大值和最小值。
解：∵4x 2-5xy +4y 2=5∴x 2+y 2=54(xy +1)≥2xy (x ,y 同号时)⇒xy ≤53∴x 2+y 2=54 (xy +1)≤54 (53 +1)=103又∵x 2+y 2=54(xy +1)≥2xy (x ,y 异号时)⇒xy ≥-513∴x 2+y 2=54 (xy +1)≥54 (-513 +1)=1013∴x 2+y 2最大值为103 ，x 2+y 2最小值为1013使用技巧：(一).凑项与凑系数例1：已知x >0,y >0且x 2+y 22=1,则x y 2+1 的最小值为_____。
解：方法一：凑项：∵x 2+y 22=1∴x 2+y 2+12 =32∴x 2∙y 2+12 ≤34 ×34(和为定值乘积小于等于相等时的乘积)∴x 2∙(y 2+1)≤98 ∴x y 2+1 ≤32 4 ∴x y 2+1 的最小值为32 4方法二：凑系数：∵x 2+y 22=1∴2x 2+y 2=2∴x y 2+1 =2 2 ×2 x ×y 2+1 ≤2 2 ×(2 x )2+y 2+1 22 (ab ≤a 2+b 22 )=2 2 ×2x 2+y 2+12 =2 2 ×32 =32 4 ∴x y 2+1 的最小值为32 4例2：椭圆E ：x 23+y 2=1的上顶点为A ，过点A 的直线l 与E 交于另一点B ，求AB 的最大值？解：①当l 斜率不存在时，易知AB =2②当l 斜率存在时，设l 斜率为k ，则l 方程为：y =kx +1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).联立x 23 +y 2=1y =kx +1 ⇒3k 2+1 x 2+6kx =0∴x 1+x 2=-6k 3k 2+1x 1x 2=0 由弦长公式知：AB =1+k 2 ×(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k 2 ×6k 3k 2+1 =63k 2+1 ×k ×1+k 2 =2 2 ×63k 2+1 ×2 k ×1+k 2 ≤2 2 ×63k 2+1 ×2 k 2+1+k 2 22 (ab ≤a 2+b 22 )=2 2 ×63k 2+1 ×2k 2+1+k 22 =32 2 ∵32 2 >2∴AB 的最大值为32 2.(二).活用常数(活用“1”)例1：已知m >0,n >0且m +n =1,则1m +4n的最小值为？解：∵1m +4n =1m +4n m +n =5+n m +4m n ≥5+2n m ×4m n =9∴1m +4n的最小值为9例2：已知x >-1,y >0且x +2y =1,则1x +1 +2y的最小值为？解：∵x +2y =1∴(x +1)+2y ⋅12=1∴1x +1 +2y =1x +1 +2y∙(x +1)+2y ⋅12 =5+2y x +1 +2(x +1)y ⋅12 ≥5+22y x +1 ×2(x +1)y ⋅12=92 ∴1x +1 +2y 的最小值为92例3：已知a >0,b >0且a -2ab +b =0，则a +4b 的最小值为？解：∵a -2ab +b =0∴a +b =2ab ⇒a +b 2ab =1即(1a +1b)⋅12 =1∴a +4b =a +4b ∙(1a +1b )⋅12 =(5+4b a +a b )⋅12 ≥5+24b a ×a b ⋅12=92 ∴a +4b 的最小值为92例4：已知正项等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，若存在两项a m ,a n ，使得a m a n =4a 1,则1m +9n的最小值为()A.83 B.114 C.145 D.176解：由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7=a 6+2a 5，可得a 5q 2=a 5q +2a 5，所以q 2-q -2=0，解得q =2或q =-1(舍去)．因为a m a n =4a 1，所以q m +n -2=16，所以2m +n -2=24，所以m +n =6.∴1m +9n =(1m +9n )×m +n 16 =16 (10+n m +9m n)≥16 (10+6)=83 当且仅当n m =9m n,即n =3m ，即m =32 ,n =92时等号成立，不合题意(∵m ,n ∈N +)由m +n =6,m ,n ∈N +则m =1n =5 或m =2n =4 或m =3n =3 或m =4n =2 或m =5n =1代入式子1m +9n 知最小值为114，故选B 例5：已知x >0,y >0且x +y =1,(1)求x 2x +1 +y 2y +1的最小值,(2)求12x +y +1x +3y的最小值。
(完整版)基本不等式知识点
基本不等式知识点1、不等式的基本性质①（对称性）a b b a >⇔>②（传递性）,a b b c a c >>⇒>③（可加性）a b a c b c >⇔+>+（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,bc ac c b a <⇒<>0,⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >><<⇒>⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则）b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒>>2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22.2a b ab +≤②（基本不等式）2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式：a b +≥2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.③（三个正数的算术—几何平均不等式）3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈，（当且仅当a b c ==时取到等号）.⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号）0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，，规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+3、几个著名不等式①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+，,a b R +∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.变形公式：222;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++③二维形式的三角不等式：≥1122(,,,).x y x y R ∈④二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.⑤三维形式的柯西不等式：2222222123123112233()()().a a ab b b a b a b a b ++++≥++⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项，如22131()();242a a ++>+ ②将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k <- 211,(1)k k k>+=⇒<*,1)k N k >∈>等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或 2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数.二判：判断对应方程的根.三求：求对应方程的根.四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解⑴2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩⑵2()0(0)()f x a a f x a ≥⎧<>⇔⎨<⎩⑶2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或⑷2()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩⑸()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩ 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.9、指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔< 规律：根据指数函数的性质转化.10、对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化.11、含绝对值不等式的解法： ⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或 ③()()()()()(()0)f xg x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： ⑴讨论a 与0的大小；⑵讨论∆与0的大小；⑶讨论两根的大小.14、恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是： ①当0a =时 0,0;b c ⇒=>②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩ ⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=<②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩ ⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔<()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔>()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥15、线性规划问题常见的目标函数的类型：①“截距”型：;z Ax By =+ ②“斜率”型：y z x =或;y b z x a -=-③“距离”型：22z x y =+或z = 22()()z x a y b =-+-或z =在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.。
基本不等式的八种变形技巧
基本不等式的八种变形技巧基本不等式是用来求两个正变量和与积的最值的，但有些题目需要用到基本不等式的变形形式才能求最值，或者需要对待求式作适当变形后才能求最值。
下面介绍几种常见的变形技巧。
1.加上一个数或减去一个数使和或积为定值例如，对于函数$f(x)=\frac{x}{3-x}$，当$x<3$时，求$f(x)$的最大值。
因为$x0$，所以$f(x)=\frac{-3+x}{3-x}+3\leq \frac{4}{3-x}\leq -2+\frac{4}{3-x}=2+\frac{2}{3-x}$。
当且仅当$3-x=2$时等号成立，即$x=1$时，$f(x)$的最大值为$-1$。
2.平方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值。
例如，若$x>0$，$y>0$，且$2x^2+y^2=8$，求$x^6+2y^2$的最大值。
由于已知条件式中有关$x$，$y$的式子均为平方式，而所求式中$x$是一次的，且$\sqrt{y}$是二次的，因此考虑平方后求其最值。
设$a=x^2$，则$2a+y^2=8$，所以$y^2=8-2a$，代入$x^6+2y^2=x^6+16-4a$，即要求$a$的最小值。
由于$x>0$，所以$a>0$，所以$2a+y^2>0$，即$8-2a>0$，所以$a<4$。
由基本不等式，$(1+1+1+1+1+1)(a+a+a+y^2+y^2+y^2)\geq (x^6+2y^2)^2$，即$6(6a+3y^2)\geq (x^6+2y^2)^2$。
代入$y^2=8-2a$，整理得$x^6+2y^2\leq 29$，当且仅当$x^2=2$，$y^2=2$时等号成立，所以$x^6+2y^2$的最大值为$29$。
3.展开后求最值对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值。
例如，已知$a>0$，$b>0$且$a+b=2$，求$(a+1)(b+1)$的最小值。
基本不等式的几种变形公式
基本不等式的几种变形公式基本不等式，这个名字听上去就挺正式的，但其实它的魅力就藏在那些看似简单的公式中。
咱们可以把这些不等式想象成一块巨大的拼图，每一块都能在数学的世界里找到自己的位置。
你说，有时候我们在生活中遇到问题，感觉像是在解一个复杂的难题，想来想去，总是缺少一根钥匙来打开那扇门。
没错，基本不等式就像是那把钥匙，它让我们的思维更加清晰，解题的过程变得轻松不少。
咱们聊聊算术平均和几何平均的关系。
想象一下，几个小伙伴围在一起分享零食，大家都想让自己吃得开心，对吧？假设大家每人分到的零食数量就是这些数值。
算术平均就像大家把零食加在一起，再平分；而几何平均则是大家的“共享精神”，通过大家的努力，零食的“美味度”变得更加均匀。
生活中也是如此，我们越是分享，越能感受到幸福。
有人说，“分享快乐才是最大的快乐”，这话可真没错。
再来看看三角不等式，这可是个经典的家伙。
你在地图上找到两个地点，想知道直接走最短的路。
三角不等式就告诉你，走直线是最省事的。
这就像咱们平时找路，有时候为了追求风景，偏偏走了一大圈，最后发现直走就好了。
人生也是这样，很多时候我们为了追求某种目标，反而走了许多弯路。
那些直截了当的选择，往往能给我们带来最大的收获。
咱们再聊聊柯西不等式。
这可是个神奇的法则，想象一下，如果你跟朋友一起打篮球，能把各自的分数加起来，得到的总分肯定会比你们各自单打的得分高出不少。
就像合力作战，团结的力量是无敌的。
这在生活中也是如此，大家齐心协力的时候，总能创造出更大的成就。
正如“众人拾柴火焰高”，一个人再怎么厉害，也比不上团队的协作。
还有个不得不提的就是施瓦茨不等式。
这个东西就像你在考试的时候，想要的总分是靠你在每科的得分来累积的。
每一分都至关重要，这让我想到平时学习时，基础知识是多么的重要。
就像打基础一样，越扎实，以后的发展就越顺利。
这个道理放在生活中也是适用的，很多成功的背后，都是无数个细节的积累。
大家可能觉得这些不等式听起来有点复杂，其实它们的本质就像日常生活中的哲理，简单易懂，处处都有它的影子。
高中数学不等式问题的思路、方法、技巧
证明：由变形公式③， a2 b 2+b 2 c2+c2 a 2≥ ab·bc+bc · ca+ca· ab=abc（b+c+a），当且仅
当 a=b=c 时等号成立。
3. 分析法
2
分 析 法 也 是 证 明 不 等 式 的 一 种 基 本 方 法 ， 模 式 为 ： 欲 证 A B， 若 已 知
B C1 C2 …… I ，（ I 为一个真命题，可以是 A，也可以是另一已知成立的真命题） ， 则命题得证。 分析法的证题思路和综合法正好相反， 是一步步寻找结论成立的条件。 它的优
证明：∵（ 2x 4+1）- x 2（ 2x+1 ） =2x4+1-2x 3-x 2=2x 3 （x-1 ）- （ x2 –1）=（ x-1） [2x 3 –x-1]
=（ x-1 ）[2x 3 –2x+x-1]=
（
x-1
）
[2x
（
2
x
–1）
+
（
x-1
）
]
=
（
x-1
） 2（ 2x
2
+2x+1
）
=（ x-1 ） 2[x 2 +（ x+1 ）2 ] ≥ 0.
证明：∵（
a2+b2）
-[2
（
2a-b）-5]=
a
22
+b
-4a+2b+5
= a2-4a +4+b 2+2b+1= （ a-2）2 +（ b+1） 2≥ 0.
∴命题成立 .（当且仅当 a = 2， b= -1 时等号成立）
基本不等式(很全面)
基本不等式(很全面)基本不等式基本不等式原始形式：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/(a^2+b^2)。
基本不等式一般形式（均值不等式）：对于任意实数a和b，有a+b≥2ab/2.基本不等式的两个重要变形：1）对于任意实数a和b，有(a+b)/2≥√(ab)。
2）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2.求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
常用结论：1）对于任意正实数x，有x+1/x≥2（当且仅当x=1时取“=”）。
2）对于任意负实数x，有x+1/x≤-2（当且仅当x=-1时取“=”）。
3）对于任意正实数a和b，有(a/b+b/a)≥2（当且仅当a=b 时取“=”）。
4）对于任意实数a和b，有ab≤(a^2+b^2)/2≤(a+b)^2/4.5）对于任意实数a和b，有1/(a+b)≤1/2√(ab)≤(1/a+1/b)/(a+b/2)。
特别说明：以上不等式中，当且仅当a=b时取“=”。
柯西不等式：1）对于任意实数a、b、c和d，有(a+b)(c+d)≥(ac+bd)^2.2）对于任意实数a1、a2、a3、b1、b2和b3，有(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3)^2.3）对于任意实数a1、a2、…、an和b1、b2、…、bn，有(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+an bn)^2.题型归纳：题型一：利用基本不等式证明不等式。
题目1：设a、b均为正数，证明不等式ab≥2/(1/a+1/b)。
题目2：已知a、b、c为两两不相等的实数，求证：a/(b-c)^2+b/(c-a)^2+c/(a-b)^2≥2/(a-b+b-c+c-a)。
题目3：已知a+b+c=1，求证：a^2+b^2+c^2+9abc≥2(ab+bc+ca)。
题目4：已知a、b、c为正实数，且abc=1，求证：a/b+b/c+c/a≥a+b+c。
三角不等式变形公式
三角不等式变形公式
三角不等式是数学中描述三角形边长关系的基本性质之一。
其一般形式为：对于任意三角形的三边长a、b、c，满足以下不等式关系：
| b - c | ≤ a ≤ b + c
| a - c | ≤ b ≤ a + c
| a - b | ≤ c ≤ a + b
三角不等式的变形公式可以通过对不等式进行简单的代数运算得到。
以下是常见的三角不等式变形公式：
1. a ≤ b + c，可以变形为a - c ≤ b（两边减去c）
同样的，可以得到b - c ≤ a，以及a - b ≤ c
2. a + c ≥ b，可以变形为a ≥ b - c（两边减去c）
同样的，可以得到b ≥ a - c，以及c ≥ a - b
3. a ≤ b + c，可以变形为a - b ≤ c（两边减去b）
同样的，可以得到b - a ≤ c，以及c - a ≤ b
这些变形公式可以在解决与三角形边长有关的问题时，通过对三角不等式进行变形，来推导或证明某些不等式关系。
请注意，在进行不等式变形时，需要保持不等号的方向不变，以确保变形后的不等式仍然成立。
基本不等式知识梳理
基本不式知识梳理(总9页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One 1■CAL■本页仅作为文档封面’使用请直接删除基本不等式【考纲要求】1•了解基本不等式— 的证明过程，理解基本不等式的儿何意义，并掌握定理中 2的不等号“事”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2. 会用基本不等式x/^< — 解决最大（小）值问题. 23. 会应用基本不等式求某些函数的最值：能够解决一些简单的实际问题【知识网络】【考点梳理】考点一：重要不等式及几何意义1. 重要不等式：如果«,/7eR,那么a 2+b 2>2ab （当且仅当a = b 时取等号. 2. 基本不等式：如果Gb 是正数，那么—（当且仅当a=b 时取等号.2 要点诠释：a 2+b 2>2ab 和口 n 他两者的异同：2 （1） 成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求""都是正数：（2） 取等号的条件在形式上是相同的，都是'‘当且仅当a = h 时取等号”。
2 . 2 匕匕 （3）a 2 +b 2 >2ab 可以变形为：ab < C ， , 可以变形为：ab<（^^）2 ・2 2 23. 如图，A3是圆的直径，点C 是4B 上的一点，AC = a f BC = h,过点C 作DC 丄A3交圆于点 D 连 接 AD BD基本不等式易证RlWCD 〜Rt4CB、那么CD2 = CA・CB,即CD = J^・这个圆的半径为匚V，它大于或等于CD,即—其中当且仅当点C与圆心重合，即2 2a = b时，等号成立.要点诠释：1 •在数学中.我们称凹■为么"的算术平均数，称亦为“小的几何平均数.因此基本2不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把凹看作是正数a"的等差中项，亦看作是正数“,b的等比中项，那么基本2不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.考点二：基本不等式的证明21.几何面积法如图，在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。
13基本不等式(2)
x
例 3 过点 1,2 的直线 l与 x的正半径、 y轴 的正半轴分别交于 A, B两点,当AOB 的面 积最小时, 求直线 l的方程.
解 设点Aa,0, B0, ba 0, b 0, 则直线 l x y 1 2 的方程为 1, 点1,2在l上, 故 1.
2）解决实际问题注意：
审题——建模——求解——评价
3）注重分类讨论、换元、化归等数 学思想方法在解题中的运用
练习 练习(1)求周长为 12的直角三角形面积的最大值.
(2)、若直角三角形的内切圆半径为，求其面积的 1
半径为，求其面积的最小值。 1 (3) 如图，设矩形ABCD(AB>CD)的周长为 24，把它关于AC对折起来，AB折过去以后， 交DC于点P，AB=x，求⊿ADP的最大面积及 相应的x值。
Thursday, September 25, 2008
知识回顾
1、基本不等式的内容：
ab ab (a, b R ) 2 2、基本不等式的条件：
一正 、二定 、三相等
3、基本不等式的变形：
x y 2 xy ( x R , y R )
x y 2 xy ( ) (x R , y R ) 2
4 (3)已知x 3, 求x 的最小值. x 4 4 解 : x 2 x 4, 原式有最小值4. x x 4 当且仅当x , 即x 2时, 等号成立. x
D : 练1.下列函数的最小值为2的是 ____
1 A. y x x
C. y x 2
1 1 变式(2) : 设0 x , y x(1 2 x)最大值是 ____ . 2 8
例1 用长为4 a 的铁丝围成一个矩形 , 怎样才能 使所围矩形的面积最大 . 解 设矩形长为 x 0 x 2a , 则宽为2a x, 矩形
基本不等式三元形式证明
基本不等式三元形式证明《探索基本不等式三元形式的证明》嘿，你知道数学里有个特别神奇的东西叫基本不等式吗？今天呀，我就要和大家一起探索它的三元形式证明呢。
我记得我们数学老师在讲这个的时候，那可真是特别激动，就好像发现了一个超级宝藏一样。
老师说，基本不等式三元形式就像一个魔法公式。
我当时就想，这公式到底有啥魔力呀？先来说说这个基本不等式三元形式是啥样的吧。
它大概就是像这样：对于正实数a、b、c，有(a + b + c)/3 ≥ ³√(abc)。
哇，看到这个式子，我第一反应就是，这看起来好复杂呀。
我们班的学霸小明就特别兴奋，他举手说：“老师，这就像是把三个数的和平均一下，然后和这三个数乘积开三次方根比大小呢。
”老师笑着说：“对呀，小明理解得很到位。
那我们怎么证明这个式子呢？”这时候，我的好朋友小红站了起来，她说：“老师，我们可以用已经学过的二元基本不等式来证明呀。
”老师说：“那你上来试试。
”小红就走上讲台，开始写起来。
她先写了二元基本不等式，对于正实数x、y，有(x + y)/2 ≥ √(xy)。
然后她说：“我们设x = a + b，y = c。
”我心里就想，她这是要干啥呢？只见小红继续写，(a + b + c)/2 = (x + y)/2 ≥√(xy) = √((a + b)c)。
这时候，另一个同学小刚就说：“哎呀，这好像还没到我们要的结果呢。
”小红不慌不忙地说：“别急呀，我们再用一次二元基本不等式。
”她又设m = √((a + b)c)，n = 0（这里设n = 0是为了方便计算，因为后面可以把这个0去掉，不影响结果）。
然后(m + n)/2 ≥ √(mn)，也就是m/2 ≥ √(mn)，把m = √((a + b)c)代进去，就得到√((a + b)c)/2 ≥ 0（这个0我们本来就是为了计算方便设的，不影响结果的推导）。
然后她把前面得到的(a + b + c)/2 ≥ √((a + b)c)两边同时加上c/2，得到(a + b + c)/2 + c/2 ≥ √((a + b)c) + c/2。
不等式基本公式四个
不等式基本公式四个在数学中，不等式是一种描述数值关系的数学语句。
与等式不同，不等式表示的是两个数值之间的大小关系，而不是相等关系。
不等式是数学中重要的概念之一，它在代数、几何、不等式证明等诸多领域都有应用。
在学习不等式的过程中，有四个基本的不等式公式是我们需要掌握的。
它们分别是：加法不等式、减法不等式、乘法不等式和除法不等式。
1.加法不等式：加法不等式是描述两个数相加的大小关系的不等式。
设a、b和c是实数，那么有以下的加法不等式：-如果a>b，则有a+c>b+c。
-如果a<b，则有a+c<b+c。
2.减法不等式：减法不等式是描述两个数相减的大小关系的不等式。
设a、b和c是实数，那么有以下的减法不等式：-如果a>b，则有a-c>b-c。
-如果a<b，则有a-c<b-c。
3.乘法不等式：乘法不等式是描述两个数相乘的大小关系的不等式。
设a、b和c是实数，其中c不等于零，那么有以下的乘法不等式：-如果a>b且c>0，则有a*c>b*c。
-如果a>b且c<0，则有a*c<b*c。
-如果a<b且c>0，则有a*c<b*c。
-如果a<b且c<0，则有a*c>b*c。
4.除法不等式：除法不等式是描述两个数相除的大小关系的不等式。
设a、b和c是实数，其中b和c不等于零，那么有以下的除法不等式：-如果a>b且c>0，则有a/c>b/c。
-如果a>b且c<0，则有a/c<b/c。
-如果a<b且c>0，则有a/c<b/c。
-如果a<b且c<0，则有a/c>b/c。
这四个基本的不等式公式是解决不等式问题的基础。
在实际应用中，我们常常需要通过变形、化简或使用合适的不等式公式来推导和解决具体的不等式问题。
除了这四个基本的不等式公式，还有一些其他和应用广泛的不等式公式，比如柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、三角不等式等等。