灵活转化圆中角
圆周角和圆心角的关系
半圆（或直径）所对的圆周角是直角; 90 的圆周角所对的弦是直径.
2.填空题: (1)如图所示, ∠BAC= ,∠DAC=∠DBC. ∠BDC
A
D
C
(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm, C为⊙O上一点,∠BAC=30°, 则BC= cm
B
A
5
●
O C
B
共同分析
1.如图,AB是⊙O的直径，BD是弦,延长BD 到C,使DC=BD,AC与AB的大小有什么关系? 为什么?
●
O
C
BC一定是直径
图(2)
∠BEC =90º
∠BFC =90º
由此你能得出什么结论?
圆周角定理的推论2：
同圆或等圆中，
用于构造直角
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。
用于判断某条弦 是否是直径
圆周角定理的推论：
推论1
想一想
同圆或等圆中，
同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等.
驶向胜利 的彼岸
老师提示:能否也转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD =
1 ∠AOD,∠CBD 2 1 = ∠COD, 2
B
●
O
∴
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
你能写出这个命题吗?
在同圆中 同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
议一议
圆周角定理
即
A C
●
驶向胜利 的彼岸
●
驶向胜利 的彼岸
即
你能写出这个命题吗? 同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
圆周角与圆心角：【角的灵活转化】
1 已知：如图，△ABC的AB边是⊙O的直径，另两边BC和AC分别交⊙O于D，E两点，DF⊥AB，交AB于F，交BE于G，交AC的延长线于H．求证：DF2=HF·GF．
、
2．如图，⊙O的半径OD，OE分别垂直于弦AB和AC，连结DE交AB，AC于F，G．求证：AF2=AG2=DF·GE．
3．如图，△ABC内接于圆，D是AB上一点，AD=AC，E是AC延长线上一点，AE=AB，连接DE交圆于F，延长ED交圆于G．求证：AF=AG．
2 如图7-28，以等腰△ABC的边AB为直径的半圆，分别交AC、BC于点D、E,若AB=10, ∠OAE=30O,则DE=______。
3 在锐角△ABC中，∠A=50O,若点O为外心，则∠BOC=_____;若点I为内心，则∠BIC=______；若点H为垂心，则∠BHC=________.
4 若△ABC内接于⊙O，∠A=nO,则∠BOC=_______.
4．已知：如图，⊙O的两条直径AB⊥CD，E是OD的中点，连结AE，并延长交⊙O于M，连结CM，交AB于F．求证：OB=3OF．
5已知：如图，△ABC是等边三角形，以AC为直径作圆交BC于D，作DE⊥AC交圆于E．
（1）求证：△ADE是等边三角形；（2）求S△ABC∶S△ADE．
综合：
1已知：如图，半径都是5cm的两等圆⊙O1和⊙O2相交于点A，B，过A作⊙O1的直径AC与⊙O2交于点D，且AD∶DC=3∶2，E为DC的中点．
（1）求 的度数；（2）求CE的长；（3）求证：DA、DC的长是方程 的两个实数根。
弧与角的转化：弧到角
例题讲解：1一条弦把圆分成 两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为。
2、如图， ， 上的一点，则 。
【精】 《弧、弦、圆心角》精品教案
《弧、弦、圆心角》精品教案课题24.1.3弧、弦、圆心角单元第二十四章学科数学年级九年级上学习目标情感态度和价值观目标培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，同时渗透事物之间是可相互转化的辨证唯物主义教育。
能力目标通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题，进一步理解和体会研究几何图形的各种方法。
知识目标1．了解圆心角的概念；2．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等。
重点同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系。
难点从圆的旋转不变性出发，得到圆心角，弦，弧之间的相等关系及其应用。
学法自主探究、合作交流教法操作、探究法教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课温故知新:思考下面的问题：我们学过的几何图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是？学生讨论，凭借已有经验，思考并回答问题。
通过复习，强化学生已学相关的知识，为学生自主探究做奠基。
讲授新课一、探究新知探究1：转一转剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？圆心角定义：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．如∠NON′是圆 O 的一个圆心角．自主练习：判别下列各图中的角是不是圆心角.探究2：在同一个圆中，圆心角及其所对的弧、弦之间有什么关系呢？在同圆中探究1.如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？学生思考问题。
学生动手：把圆形纸片沿着绕圆心旋转180°，之后再圆绕圆心旋转任意一个角度，重复做几次。
学生观察：把圆绕圆心旋转后与原来的图形重合，得出圆是中心对称图形的结论。
学生自主思考后，回答老师提出的问题。
与圆有关的角——《圆》复习课优秀教案
与圆有关的角——《圆》复习课在初中数学课程标准，第三学段数与代数对平行四边形部分是这样描述的：1. 理解圆心角、圆周角的概念；2. 掌握圆周角与圆心角及其所对弧的关系，掌握圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。
3．经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。
4．在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。
5.能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
6．感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。
【教材分析】1.教材的地位和作用《与圆有关的角》是圆这一章的重点内容，圆中与角有关的性质为今后证明线段等、角等、弧等提供了新的思路. 其中角是几何图形中最重要的元素，证明两直线位置关系、证明三角形全等、证明两三角形相似，证明弧等，以及解决与锐角三角函数有关的问题都要涉及角，因此这节课直接关系着圆的其它知识的学习，它在教材中占有重要的地位。
另外，本节课通过“观察——猜想——合作交流——概括、归纳”的途径，运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程及相关知识间的内在联系，渗透了转化等数学思想方法，有助于培养学生思维的严谨性和深刻性。
因此，本节无论从知识上，还是在培养学生的能力方面都起着至关重要的作用.2.教学目标设计依据《课程标准》对7—9年级学段《圆》的目标要求和本班学生实际情况，特确定如下目标：（1）进一步认识与圆有关的角及它们之间的相互关系.（2）在综合运用圆心角定理、三量关系定理、圆周角定理及推论、圆内接四边形性质定理及推论解决问题的过程中，感悟转化等数学思想方法，归纳总结解题的基本方法，积累活动经验.（3）在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。
圆心角定理汇总
圆心角定理（弧、弦、圆心角关系定理）墓奉內客：1、 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
2、 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角相等，所对的张相等。
3、 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
在理解时要注意：（D 前提：在同圆或等圆中；⑵条件与结论：在①两条弧相等；②两条弦相等；③两个圆心角相等中，只要有一个成立, 则有另外两个成立。
1. 在同圆或等圆中，若篦的长度=3的长度，则下列说法正确的个数是（）的度数等于3；所对的圆心角等于所对的圆心角；③^和色是等弧； 所对的弦心距等于Cb 所对的弦心距。
A. 1个 E. 2个 C. 3个 D. 4个2. 如图，在两半径不同的同心圆中，ZAOB=ZAOB ,= 6Q°,则（）A .屈=药"B .C.屈的度数=丽的度数D.励的长度=丽的长度 3. 下列语句中，正确的有（）（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴. （A ） 1 个 （B ） 2 个 （C ） 3 个 （D ） 4 个4. 已知弦AB 把圆周分成1:5的两部分，这弦AB 所对应的圆心角的度数为 ____________ .5. 在OO 中，爲的度数240。
，则晶的长是圆周的 _____________ 份. 紙老萌延伸及基墓忝血用:1. 在同圆或等圆中，如果圆心角ZBQ4等于另一圆心角ZCOD 的2倍，则下列式子中能 成立的是（）A. AB=2CDB. AB=2®C. A&<2 6bD. A^=CD2. 在同圆或等圆中，如果AB=2CD,则4B 与CD 的关系是（） A. AB>2CD B. AB=2CD C. AB<2CD D. AB=CD（2题图）3. 在OO 中，圆心角ZAOB=90°，点O 到弦4B 的距离为4,则00的直径的长为() A. 4A /2 B. 8^2 C. 24 D. 16ON 分别为这两条弦的弦心距，则OM, ON 的关 C. OM <ON D.无法确定 5.已知：0O 的半径为4cm,弦AB 所对的劣弧为圆的丄，则弦AB 的长为3AB 的弦心距为 _________ cm.6. ____________________________________________________________ 如图，在<30中,AB 〃CD,證的度数为45° ,则ZCOD 的度数为 _________________ .例题1、如图，已知：在0O 中，OA 丄OE, ZA=35° 解：连结OC,在 RtAAOB 中，ZA=35° A ZB=55° ,又 TOC=OB,A ZCOB=180° -2ZB=709 ,二 EC 的度数为 70° , ZCOD=90c ・ZCOB=90° -70° =20 /.CD 的度数为20° .说明：连结OC,通过求圆心角的度数求解。
类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度压轴题四种模型全攻略(教师版)
类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【类型一利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角】1【类型二构造圆内接四边形转化角】5【类型三利用直径构造直角三角形转化角】9【类型四利用特殊数量关系构造特殊角转化角】15【典型例题】【类型一利用同弧或等弧转化圆周角与圆心角】1(2023·北京·九年级专题练习)如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的点，BC=DC．若∠CBD =35°，则∠ABD 的度数为()A.20°B.35°C.40°D.70°【答案】A【分析】根据等弧所对的圆周角相等可得∠CAB =∠CBD =35°，根据直径所对的圆周角为90度可得∠ADB =90°，进而可得∠CBA =90°-∠CAB =55°，∠ABD =∠CBA -∠CBD =20°．【详解】解：如图，连接AD ，AC ，∵BC=DC，∠CBD =35°，∴∠CAB =∠CBD =35°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠CBA =90°-∠CAB =55°，∴∠ABD =∠CBA -∠CBD =55°-35°=20°，故选A ．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，半圆(或直径)所对的圆周角是直角．【变式训练】1(2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习)如图，在⊙O 中，点A 是BC的中点，若∠ADC =24°，则∠AOB 的度数为()A.12°B.24°C.36°D.48°【答案】D【分析】直接利用圆周角定理求解．【详解】解：∵点A 是BC的中点，∴AC=AB，∴∠AOB =2∠ADC =2×24°=48°．故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．2(2023秋·江苏镇江·九年级统考期末)如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，B 是AC的中点，∠OBC =50°，则∠AOB 等于°．【答案】80°/80度【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BOC =80°，然后根据圆心角、弧的关系即可求出答案．【详解】解：∵∠OBC =50°，OB =OC ，∴∠OCB =50°，∴∠BOC =180°-∠OBC -∠OCB =80°，∵B 是AC的中点，∴AB=BC ，∴∠AOB =∠BOC =80°，故答案为：80°．【点睛】本题考查了圆心角、弧的的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．3(2023·湖北随州·统考中考真题)如图，在⊙O 中，OA ⊥BC ，∠AOB =60°，则∠ADC 的度数为．【答案】30°/30度【分析】根据垂径定理得到AB =AC，根据圆周角定理解答即可．【详解】解：∵OA ⊥BC ，∴AB=AC，∴∠ADC =12∠AOB =30°，故答案为：30°．【点睛】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．4(2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，BC=CD，∠A =50°，则∠B =．【答案】65°/65度【分析】连接AC ．利用等弧所对圆周角相等，得出∠DAC =∠BAC ，从而得出∠BAC =12∠DAB =25°，再利用直径所对圆周角是直角，最后由直角三角形两锐角互余求解即可．【详解】解：如图所示，连接AC ．∵BC=CD，∴∠DAC =∠BAC ．∵∠DAB =50°，∴∠BAC =12∠DAB =25°．∵AB 为直径，∴∠ACB =90°．∴∠B =90°-∠BAC =65°，故答案为：65°．【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键．【类型二构造圆内接四边形转化角】1(2022秋·山西临汾·九年级统考期末)⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA 、OB ，若∠OBA =50°，则∠C 的度数为()A.150°B.140°C.130°D.100°【答案】B【分析】在优弧AB 上取一点E ，连接AE 、BE ，由⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB =80°，利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AEB 的度数，最后由圆内接四边形的性质可得答案．【详解】解：如图，在优弧AB 上取一点E ，连接AE 、BE ，∵∠OBA =50°，OA =OB ，∴∠AOB =80°，∴∠AEB =12∠AOB =12×80°=40°．∵四边形ACBE 是圆内接四边形，∴∠AEB +∠C =180°，∴∠C =180°-∠AEC =140°， 故选：B ．【点睛】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用．【变式训练】1(2023·浙江·九年级假期作业)如图，点A ，B ，C ，D ，E 均在⊙O 上，且BD 经过圆心O ，连接AB ，AE ，CE ，若∠B +∠E =150°，则弧CD 所对的圆心角的度数为()A.30°B.40°C.50°D.60°【答案】D【分析】连接DE ，OC ，根据圆内接四边形的性质可得∠B +∠AED =180°，从而得到∠CED =30°，进而得到∠COD =2∠CED =50°，即可求解．【详解】解：如图，连接DE ，OC ，∵四边形ABDE 是⊙O 的内接四边形，∴∠B +∠AED =180°，∵∠B +∠AEC =150°，∴∠CED =30°，∴∠COD =2∠CED =60°，∴弧CD 所对的圆心角的度数为60°．故选：D ．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．2(2023·江苏盐城·统考一模)如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，如果∠AOC =∠ABC ，那么∠ABC 的度数为°．【答案】120【分析】如图：在优弧AC 上取一点D ，连接AD 、CD ，由圆周角定理和圆的内接四边形可得∠ADC =12∠AOC ，∠ADC +∠ABC =180°，再结合∠AOC =∠ABC 求得∠ABC =120°．【详解】解：如图所示，在优弧AC 上取一点D ，连接AD 、CD ，∴∠ADC =12∠AOC ，∠ADC +∠ABC =180°，∵∠AOC =∠ABC ，∴∠ADC =12∠ABC∴12∠ABC +∠ABC =180°，∴∠ABC =120°故答案为：120．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质，掌握圆的内接四边形对角互补是解答本题的关键．3(2023·江苏·九年级假期作业)如图，在⊙O 中，C 为AB上的点，BC=2AC．若∠ACB =120°，则∠OBC =．【答案】50°【分析】在优弧AB 上取一点D ，连接AD ，BD ，OC ，根据圆周角定理即可得到结论．【详解】解：在优弧AB 上取一点D ，连接AD ，BD ，OC ，∵∠ACB =120°，∴∠D =180°-∠ACB =60°，∴∠AOB =2∠D =120°，∵BC =2AC，∴∠BOC =2∠AOC ，∴∠BOC =80°，∵OC =OB ，∴∠OCB =∠OBC =50°，故答案为：50°．【点睛】本题考查了圆周角定理，添加辅助线构造圆心角和圆周角是解题的关键．4(2023·吉林松原·校联考三模)如图，点A ，B ，C ，D ，E 都是⊙O 上的点，AC=AE，∠D =128°，则∠B =°．【答案】116【分析】连接AC 、CE ，根据圆内接四边形的性质求出∠CAE ，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出∠ACE ，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【详解】解：连接AC 、CE ，∵点A 、C 、D 、E 都是⊙O 上的点，∴∠CAE +∠D =180°，∴∠CAE =180°-128°=52°，∵AC=AE，∴∠ACE =∠AEC =12180°-52° =64°，∵点A 、B 、C 、E 都是⊙O 上的点，∴∠AEC +∠B =180°，∴∠B =180°-64°=116°，故答案为：116．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．【类型三利用直径构造直角三角形转化角】1(2023·湖北襄阳·统考一模)如图，AB 为⊙O 的直径，点C ，点D 是⊙O 上的两点，连接CA ，CD ，AD ．若∠CAB =40°，则∠ADC 的度数是°．【答案】130【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，则∠B=50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数．【详解】解：如图，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠CAB=90°-40°=50°，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC=180°-50°=130°．故答案为：130．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【变式训练】1(2023·安徽宣城·校考三模)如图，AE是直径，点B、C、D在半圆上，若∠B=125°，则∠D=．【答案】145°/145度【分析】连接BE，根据直径所对的圆周角为90度可得∠ABE=90°，进而可得∠CBE=35°，再根据圆内接四边形对角互补即可求解．【详解】解：如图，连接BE，∵AE是直径，点B在半圆上，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=125°-90°=35°，∵四边形BCDE是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠CBE=180°，∴∠D=180°-∠CBE=145°，故答案为：145°．【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．2(2023·辽宁营口·校联考一模)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC=29°，则∠D=．【答案】61°/61度【分析】如图，连接BC ，证明∠ACB =90°，求出∠ABC ，可得结论．【详解】解：如图，连接BC ．∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∴∠ABC =90°-∠CAB =61°，∴∠D =∠ABC =61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．3(2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在圆上，且BC=CD，连接AD ,AC ,∠CAB =25°，P 为ABC一动点(点P 不与点A ，C 重合)，连接DP ，在运动过程中，DP 与AC 相交于点M ，连接DC ．(1)∠BAD 的度数为．(2)当DM =DC 时，∠PDC 的度数为．【答案】50°100°【分析】(1)根据BC=CD，可得∠CAD =∠CAB =25°，进而可求∠BAD 的度数；(2)由AB 是⊙O 的直径得∠ACB =90°，再根据圆内接四边形的性质求出∠BCD ，然后可求∠PDC 的度数．【详解】(1)∵BC=CD，∠CAB =25°，∴∠CAD =∠CAB =25°，∴∠BAD =50°；(2)连接BC ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵∠BAD +∠BCD =180°，∴∠ACD =180-50°-90°=40°∵DM =DC ，∴∠DMC =∠ACD =40°，∴∠PDC =180°-40°-40°=100°．故答案为：(1)50°；(2)100°．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，关键是熟练掌握圆的性质．4(2022秋·浙江杭州·九年级统考期末)如图，以△ABC 的边BC 为直径的⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E ，且点E 是CD的中点，连接DE ．(1)求证：△ABC 是等腰三角形．(2)若BC =10，CE =6，求线段AD 的长．【答案】(1)证明见解析(2)AD =365【分析】(1)连接BE ，根据直径所对的圆周角为直角，得出BE ⊥AC ，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出BE 是∠ABC 的角平分线，然后再根据等腰三角形的判定定理，即可得出结论；(2)连接CD ，根据勾股定理，得出BE =8，再根据三角形的面积公式，结合等腰三角形的性质，得出S △ABC =2S △BCE =48，再根据三角形的面积公式，得出S △ABC =12AB ⋅CD =12×10×CD =48，解得CD =485，再根据勾股定理，得出BD =145，然后根据线段之间的数量关系，即可得出答案．【详解】(1)证明：如图，连接BE ，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BEC =90°，∴BE ⊥AC ，∵点E 是CD的中点，∴DE=CE ，∴∠DBE =∠CBE ，∴BE 是∠ABC 的角平分线，∴△ABC 是等腰三角形；(2)解：如图，连接CD ，在Rt △BCE 中，∵BC =10，CE =6，∴BE =BC 2-CE 2=8，∴S △BCE =12CE ⋅BE =12×6×8=24，又∵BE ⊥AC ，△ABC 是等腰三角形，∴BE 是△ABC 的中线，AB =BC =10，∴S △ABC =2S △BCE =48，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC =90°，∴CD ⊥AB ，∴S △ABC =12AB ⋅CD =12×10×CD =48，解得：CD =485，∴BD =BC 2-CD 2=145，∴AD =AB -BD =10-145=365．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理和等面积法．【类型四利用特殊数量关系构造特殊角转化角】1(2023·江苏连云港·校联考三模)如图，已知：四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形顶点，⊙O 的半径为1，P 是⊙O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB 等于()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】B【分析】根据圆周角定理求解即可．【详解】∠APB =12∠AOB =45°，故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理，熟记同圆中一条弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半是解题的关键．【变式训练】1(2023·辽宁朝阳·校联考三模)如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，四边形OBCD 是平行四边形，则∠A 的大小为()A.30°B.45°C.60°D.无法确定【答案】A【分析】连接OC ，证明△OBC 为等边三角形，得出∠BOC =60°，根据圆周角定理得出∠A =12∠BOC =30°即可．【详解】解：连接OC ，如图所示：∵四边形OBCD 是平行四边形，∴BC =OD ，∴BC =OB =OC ，∴△OBC 为等边三角形，∴∠BOC =60°，∴∠A =12∠BOC =30°，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是证明△OBC 为等边三角形，求出∠BOC =60°．2(2023·广西防城港·统考一模)如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，OA ⊥BC ，∠ADC =30°，则∠AOB 的度数为()A.15°B.30°C.45°D.60°【答案】D【分析】由OA ⊥BC ，根据垂径定理的即可求得：AC =AB ，然后由圆周角定理，即可求得∠AOB 的度数．【详解】解：∵OA ⊥BC ，∴AC =AB ，∵∠ADC =30°，∴∠AOB =2∠ADC =2×30°=60°．故选：D ．【点睛】此题考查了圆周角定理以及垂径定理，解题的关键是掌握数形结合思想的应用．3(2023·广东佛山·校考三模)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ,AB =BC ，连接OA ，OB ，若∠BAO =70°，则∠D =()A.40°B.60°C.45°D.30°【答案】A【分析】连接OC ，证明△OAB ≌△OCB SSS ，得出∠OBA =∠OBC =∠OCB =∠BAO =70°，则∠ABC =140°，再根据圆内接四边形对角互补，即可求解．【详解】解：连接OC ，在△OAB 和△OBC 中，AB =BCOB =OB OA =OC，∴△OAB ≌△OCB SSS ，∵∠BAO =70°，OA =OB =OC ，∴∠OBA =∠OBC =∠OCB =∠BAO =70°，∴∠ABC =140°，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠D =180°-∠ABC =40°，故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补．4(2023春·陕西西安·九年级高新一中校考期中)如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BE 是⊙O 的直径，连接AE ，若∠BCD =2∠BAD ，若连接OD ，则∠DOE 的度数是()A.30°B.35°C.45°D.60°【答案】D 【分析】根据内接四边形的性质，得到∠BCD +∠BAD =180°，进而得到∠BAD =60°，再根据圆周角定理得到∠BOD =120°，即可求出∠DOE 的度数．【详解】解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠BCD +∠BAD =180°，∵∠BCD =2∠BAD ，∴∠BAD =60°，∴∠BOD =120°，∴∠DOE =180°-∠BOD =60°，故选D ．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握内接四边形的对角互补，以及一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题关键．。
数学初三下北师大版3.3圆周角和圆心角的关系(第一课时)教案
教学过程：一、设计情景，引入新课师：在上周我们班和九二班旳足球友谊赛中，咱们班以二比三险胜，现在说起来还有些小兴奋呢，大家和记不记得这三个球都是谁进旳？ 生：是王程、李明亮、李柄桦．师：感谢他们给我们班带来旳胜利，现在有这样旳一个游戏是他们三个人参与旳． 课件出示：如果他们三人进展一射门游戏，过球门A 、C 画了一个圆，在球门B 、D 、E 旳位置射任意球〔直线射〕，仅从教学旳角度考虑，请问站在那个位置射球最有利？生：D ．课时第三章第三节第1课时 课 题课 型新授课时 间 2021年2月28日 周四节 次第四节授 课 人教学 目标 旳概念,掌握圆周角旳两个特征、定理旳内容及简单应用． 旳关系．旳证明，进一步体会思考问题旳全面性和合理性． 旳运用，渗透转化旳数学思想．5.学会以特殊情况为根底，通过转化来解决一般问题旳方法，体会分类旳数学思想． 重点 圆周角旳概念和圆周角定理难点 圆周角定理旳证明中由“一般到特殊〞旳数学思想方法和完全归纳法旳数学思想 教法 学法 类比教学法、启发式教学法、合作探究法、直观教学法 课前准备 多媒体课件、几何画板、圆规、三角尺师：为什么呢？生：因为角度大．师：你说旳角度是这旳什么呢？可不可以到黑板上给同学们指一下．生：〔边指边说〕连接AD、CD形成旳∠ADC．师：同学们都是这样认为旳吗？生表达意见．师：我看有好多同学都是想选D，那我们带着这个问题来学习今天旳内容：圆周角和圆心角旳关系〔板书课题〕，学完以后我们再来看终究应该怎样选择．设计意图：由生活实践来创设情境，让学生感受数学与生活旳联系．将实际问题数学化，让学生从一些简单旳实例中，不断体会从现实世界中寻求数学模型、建立数学关系旳方法．引导学生对图形旳观察、发现激发学生旳好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题旳活动中获取成功旳体验，建立学生旳自信心．二、师生互动，探究新知〔一〕圆周角旳定义师：大家还记得什么叫做圆心角吗？生：顶点在圆心上旳角叫做圆心角．师：这个图中旳∠AOB就是一个圆心角，那我把它旳圆心拖到圆周上C点旳位置，看一下这个角有什么特点？生：这个角旳顶点在圆周上，并且角旳两边都和圆相交．师：他观察出了这个角旳特征，那同学们能不能仿照圆心角旳名字给它起一个名字？生：圆周角．师：是根据什么而定旳？或者说什么叫做圆周角呢？生：顶点在圆心上，且角旳两边分别与圆还有另一个交点旳角，叫做圆周角．师：对，这就是我们要来掌握旳另一种角．板书：圆周角．设计意图：采用类比教学法，通过圆心角定义让学生得出圆周角定义，培养学生旳观察能力、归纳能力．师：我们来看一组图片，这里五个角哪些是圆周角？为什么？A B C D E生1：A不是，因为它旳顶点不在圆周上．生2：B不是，因为它旳顶点不在圆周上．生3：C是．生4：D不是，角旳两边分别与圆没有另一个交点．生5：E不是，角旳一条边和圆没有另一个交点．师：那我们判断一个角是不是圆周角时要把握什么？生：先看这个角旳圆心在不在圆周上，再看角旳两边与圆还有没有另一个交点．师：说旳很好，我们再来看这道题目：课件出示：2.判断以下命题是否正确．〔1〕圆周角旳顶点一定在圆上．〔〕〔2〕顶点在圆上旳角叫做圆周角．〔〕〔3〕圆周角旳两边都和圆相交．〔〕〔4〕两边都和圆相交旳角是圆周角．〔〕学生判断并说明理由．生1：〔1〕正确．生2：〔2〕错误．还要看角旳两边是否和圆还有另外一个交点．生3：〔3〕正确．生4：〔4〕错误．还有看这个角旳顶点是否在圆上．师：这道题目比拟简单，下面我们来看谁能在最短旳时间内找出图中所有旳圆周角．课件出示：以下两个圆中，各有几个圆周角？生1：∠CAD，∠BAD，∠BAC师：你是怎样找旳？生：我先在圆上找顶点，在确定角．师：第二幅图呢？生：∠CAB，∠ABD，∠ABC，∠DBC，∠BCA，∠BCD，∠ACD和∠CDB共8个圆周角．设计意图：通过练习加深对圆周角定义旳理解．师：非常好，不重与不漏．我们在学习了圆周角旳定义以后再来看看刚刚旳问题．〔课件出示图3-13〕球员射中球门旳难易程度与他所处旳位置B对球门AC旳张角〔∠ABC〕有关．当球员在B、D、E处射门时，他所处旳位置队球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC，我们首先把这个问题转化成数学模型．这三个角有什么特征？生：这三个角都是圆周角．师：还有呢？生：它们都对着AC．师：那这三个角谁大谁小？生大胆猜测：一样大．师：为什么？生有些茫然．师：我们上节课学习了圆心角旳有关知识，那么我们旳这个问题是不是能转化成圆周角和圆心角旳关系，然后再来说明这三个角旳大小呢？这是我们这节课要研究旳主要内容．〔二〕探究活动一．师：下面请各个组进展探究活动一，拿出探究活动纸：学生开场探究活动，教师进展巡视指导．师：现在我们请每一个小组派一位组员上来，我们汇总一下结果．各个小组利用实物投影仪进展汇报，教师引导学生进展汇总，最后分为三类：教师利用几何画板固定∠AOC旳位置，拖动点B使其落在不同旳位置上，是同学们再次形象旳并且连续性旳认识上面旳问题．师：如图①O点在∠ABC旳一条边上；拖动O点如图②，O点在∠ABC旳内部；继续拖动如图③，O点在∠ABC旳外部．所以我们把圆周角和圆心角旳位置关系分为三种，我们在分类时一定要做到不重不漏．下面我们进展探究二．①A②③设计意图：引导学生发现问题、提出问题、分析问题、并能解决问题．展示旳设计：教师利用几何画板从动态旳角度进展演示，目旳是用运动变化旳观点来研究问题，在运动变化旳过程中寻求不变旳关系．〔三〕探究二师：我们要研究一条弧所对旳圆周角∠ABC与它所对旳圆心角∠AOC旳大小关系．我们先来看一下用电脑测量出来旳这两个角是什么关系？找一位学生利用电脑上旳几何画板软件进展操作：每拖动一次B点旳位置就测量一次圆周角和圆心角．A师：同学们计算一下∠AOC与∠ABC旳大小有什么关系？生：两倍关系．师感谢学生旳操作，然后利用几何画板改变AC旳位置引导学生发现，∠AOC依然是∠ABC旳两倍．师：那现在同学们能不能猜测一下同一条弧所对旳圆周角和圆心角旳大小关系呢？．生：一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆角心旳12师板书结论．设计意图：让学生亲自动手，利用度量工具〔几何画板〕进展猜测、实验、探究，得出结论．激发学生旳求职欲望，调动学生学习旳积极性．师：刚刚我们是通过观察、猜测得到了一条弧所对旳圆周角和圆心角旳大小关系，下面我们就来尝试证明一下，看看哪个小组能最快旳把这三种情况旳证明旳出来．学生利用探究纸进展小组探究，师巡视指导，抽时间将这三组图画在黑板上以方便随后旳展示．师：好，先停一下．下面我们将小组已经探究旳结果来展示一下．我们从那一幅图开场？生：第一幅图．师：谁来说一下？生1：如图〔1〕，圆心在∠ABC旳边上∵∠AOC是△ABO旳外角，∴∠AOC=∠B+∠A∵OA=OB∴∠A=∠B∴∠AOC=2∠B即∠ABC=12∠AOC师：那第二幅图谁来说一下？生2：如图，连接BO并延长交圆于D点，那么将这幅图转化成图〔1〕旳形式．由〔1〕可知，∠ABD=12∠AOD∠CBD=12∠COD∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=12〔∠AOD +∠COD〕=12∠AOC师：我刚刚发现，很多组旳同学在探究第三幅图旳时候被卡住了，那第三幅图形是不是也可以通过做一些辅助线转化成第一幅图旳形式呢？再给同学们两分钟旳时间快速旳思考一下．小组讨论，教师巡视并作出适时适当旳指导．师：现在谁来说一下第三种情况你们是怎样证明旳？生3：还是连接BO并延长交圆于D点，我们就可以得到两组根本图形：∠ABD和∠AOD；∠CBD和∠COD．由〔1〕可知∠ABD=12∠AOD∠CBD=12∠COD∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=1 2〔∠AOD -∠COD〕ABCOD=1∠AOC2师：在证明旳过程中，我们把第二种和第三种情况通过添加辅助线把它们转化成第一种情况，这就运用了我们数学中化归思想，同时在这道题旳证明中我们也应用了分类讨论旳方法以及完全归纳旳证明方法．对于这个定理“一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆心角旳一半．〞我们也可以这样理解：一条弧所对旳圆心角等于它所对旳圆周角旳二倍；圆周角旳度数等于它所对旳弧旳度数旳一半．设计意图：让学生对所发现旳结论进展证明，培养学生严谨旳治学态度．学生通过合作探索学会运用分类讨论旳数学思想研究问题，培养学生思维旳深刻性．同时让学生学会一种分析问题、解决问题旳方式方法：从特殊到一般．学会用化归思想将问题转化，体验数学建模思想．同时也解决了难点、突出了重点．(四)解决问题师：现在让我们再回到到个问题上〔多媒体出示画面〕，在B、D、E这三个点上，在那个点上射门是最有利旳呢？生：一样旳．师：为什么？生：因为∠ABC、∠ADC、∠AEC所对旳弧都是AC，AC所对旳圆心角旳度数是固定旳，这三个角旳度数等于这个角度数旳一半，所以这三个角旳度数是相等旳．师：从而我们就能得到这样旳结论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对旳圆周角相等．(五)联系实生活实际师：在生活中还有那些运用圆周角旳实例，有没有同学想出来啊？只要我们善于观察就会发现我们旳生活中处处有数学．比方〔课件出示〕：我们有团圆吧，团徽、团旗中有没有圆周角啊？生：有．师：还有许多歌剧院、大剧院旳座位排列都是呈圆弧状旳，这是为什么呢？生：这样可以保证在同排旳观众视角是一样旳．师：非常好．〔学生鼓掌〕设计意图：通过回归生活实践，将数学知识与现实生活相联系起来，让学生在解决实际问题中获得成功旳体验．三、稳固应用，开拓创新师：现在请同学们看大屏幕，快速旳完成这两道题．多媒体出示：1、如图1，在⊙O中，∠BOC=50°，那么∠A= ．2、如图2，A,B,C,D是⊙O上旳四点，且∠BCD=100°，那么∠BOD= °，∠BAD= °．图1 图2学生完成后，教师安排学生到大屏幕前讲解自己旳做法．设计意图：练习层层推进，难易结合，考察学生对定理旳理解和运用，使学生很好地进展知识旳迁移，让学生在练习中加深对本节知识旳理解．教师通过练习及时发现问题，评价教学效果．四、课堂小结师：刚刚同学们旳表现都非常好．现在我们请一位同学来谈一谈这节课旳收获．；在同圆或等圆中，同弧或等弧所对旳生：一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆角心旳12圆周角相等．师：还有要补充旳吗？生：一条弧所对旳圆心角等于它所对旳圆周角旳二倍；圆周角旳度数等于它所对旳弧旳度数旳一半．师：我们这节课学习了圆周角定理以及圆周角定理旳推论，在圆周角定理旳证明中，运用了数学中分类讨论和化归旳思想以及完全归纳旳证明方法．设计意图：小结使学生归纳、梳理总结本节课旳知识、技能、方法，将本节课所学知识与以前所学知识进展严密联接，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学旳积极情感．五、课堂检测1、⊙O旳弦AB等于半径，那么弦AB所对旳圆周角一定是〔〕．〔A〕30°〔B〕150°〔C〕30°或150°〔D〕60°2、△ABC 中，∠B ＝90°，以BC 为直径作圆交AC 于E ，假设BC =12，AB =123 ，那么BE 旳度数为〔 〕．〔A 〕60° 〔B 〕80° 〔C 〕100° 〔D 〕120° 3、一条弦分圆为1：4两局部，求这弦所对旳圆周角旳度数？ 4、AB 为⊙O 旳直径，AC 和AD 为弦，AB =2，AC =2，AD =1，求∠CAD 旳度数． 六、布置作业作业题：课本112页，数学理解，第2、3题．思考题：在航海时，船长常常通过测定角度来确定是否遇到暗礁，你知道其中旳微妙吗？设计意图：课后作业是对课堂所学知识旳检验，是让学生稳固、提高、开展，同时关注不同层次学生对所学内容旳理解和掌握．师：最后再送给同学们一句话：要养成用数学旳语言去说明道理，用数学旳思维去解读世界旳习惯． 下课．七、板书设计§旳关系〔一〕一、圆周角定义顶点在圆心上，且角旳两边分别与圆还有另一个交点旳角，叫做圆心角．二、圆周角定理一条弧所对旳圆周角等于它所对旳圆心角旳一半． (1) (2) (3)设计意图：让本节课旳学习内容及重难点一目了然．教学反思：收获：研究圆周角和圆心角旳关系，应该说，学生解决这一问题是有一定难度旳，尽管如此，教学时仍应给学生留有时间和空间，让他们进展思考．让学生经历观察、想象、推理、操作、描述、交流等过程，多种角度直观体验数学模型，而这也正符合本章学习旳主要目标． 问题：在探究一中，学生画图表示圆周角和圆心角旳关系旳位置关系时，有一个小组是这样画旳：我说这也属于“圆心角旳顶点在圆周角旳内部〞，当时就有一些同学不认可，或者说是不能BA AO C A BCO D很好地理解，我当时对这个问题没有重视一带而过了，现在想想这说明同学们对优角和优弧旳概念还是很陌生，不能灵活旳加以应用．改良：这对圆周角定理完成证明后，可以把上面这幅图在呈现出来，让同学们来验证一下．。
冀教版九年级上册数学《圆心角和圆周角》教学说课复习课件拔高
由此你得到什么结论呢？
180°
A
圆是中心对称图形.
2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
·
α
O
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
知识讲解
一、圆心角
1.定义：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB .
B
⌒
2.圆心角∠AOB 所对的弧为 AB.
M
3.圆心角∠AOB 所对的弦为AB.
任意给定圆心角，对应出现三个量：
随堂训练
本题答案不
唯一哦！
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
(
(
∠AOB= ∠COD ．
AB=CD
（1）如果AB=CD，那么_________，_____________
(
(
AB=CD
∠AOB= ∠COD
（2）如果 AB=CD ，那么_________，_____________．
B
A
·
O
(
(
AB=CD
D
A
证明:连接OB,OD.
︵ ︵
∵ABC和ADC所对的圆心角之和为360°,
︵
︵
∠BCD和∠BAD分别为ABC和ADC所对的圆周角,
∴∠BCD+∠BAD=180°.
同理,∠ABC+∠ADC=180°.
O
B
C
圆内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补．
D
几何语言：
A
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
D
A
O
B
C
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.
︵
︵
(1) ABC和ADC所对的圆心角之和等于多少度？
重难点 圆中的计算及其综合专项 中考数学
重难点 圆中的计算及其综合考点一：圆中的角度计算圆中角度的相关考点主要是圆周角定理和圆心角定理，这两个定理都有对应推论，考察难度不大，题型基本以选择、填空题为主，所以重点是要把这两个定理及其推论熟练掌握即可！题型01 圆中常见的角度计算易错点：圆中角度定理都有一个大前提——在同圆或等圆中，特别是一些概念性选择题，没有这个前提的话，对应结论是不正确的。
解题大招01：圆中角度计算口诀——圆中求角度，同弧或等弧＋直径所对圆周角是90度圆心角定理、圆周角定理以及其推论为圆中角的计算提供了等量关系，圆中的等角也是解决角度问题中常见的转化关系，所以特别要注意同弧或等弧所对的圆周角相等，以及直径所对圆周角=90°的固定关系解题大招01：圆中求角度常用的其他规律：圆内接四边形的一个外角=其内对角折叠弧过圆心→必有30°角以等腰三角形的腰长为直径的圆→必过底边中点圆中出现互相垂直的弦，常作两弦心距→必有矩形（当弦相等，则得正方形）【中考真题练】1．（2023•河南）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则∠AOB的度数为（ ）A．95°B．100°C．105°D．110°2．（2023•吉林）如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ ）A．70°B．105°C．125°D．155°3．（2023•枣庄）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的度数为（ ）A．32°B．42°C．48°D．52°4．（2023•眉山）如图，AB切⊙O于点B，连结OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连结CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）A．25°B．35°C．40°D．45°5．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于点D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝ ．【中考模拟练】1．（2024•连云区一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（点P不与点C重合），则∠CPD＝（ ）A．45°B．36°C．35°D．30°2．（2024•岱岳区一模）如图，AB是⊙O的直径，点D是的中点，∠BAC＝40°，则∠ACD的度数是（ ）A．40°B．25°C．40°．D．30°3．（2024•甘井子区校级一模）如图，在⊙O中，OA、OB、OC为半径，连接AB、BC、AC．若∠ACB＝53°，∠CAB ＝17°，则∠OAC 的度数为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°4．（2024•连云区一模）如图，一块直角三角板的30°角的顶点P 落在⊙O 上，两边分别交⊙O 于A ，B 两点，连结AO ，BO ，则∠AOB 的度数 °．5．（2024•新城区模拟）如图，在△ABC 中，∠B ＝70°，⊙O 是△ABC 的内切圆，M ，N ，K 是切点，连接OA ，OC ．交⊙O 于E ，D 两点．点F 是上的一点，连接DF ，EF ，则∠EFD 的度数是 ．题型02 “知1得4”模型的常见题型解题大招：圆中模型“知1得4”由图可得以下5点：①AB=CD；②⋂⋂=CD AB ；③OM=ON；④F E ∠=∠；⑤COD AOB ∠=∠；以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。
第16课时-探究圆中角、线段的计算问题(中关村中学张振环)
∠4=∠B
DE 2
AE 6
C»E=C»B
AE=6 DE=（2 勾股定理） CE=CB=2 5 CD=4，AD=8
E
1 2
A
D C
∠CAB＝40°，则∠CAD＝
°.
C D
A 40°
B
O
典型例题
2. (2017北京14题3分)如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的点，»AD ＝ C»D .若
∠CAB＝40°，则∠CAD＝
°.
C D
A 40° O
连接BC，BD ∠ADB=∠ACB=90° ∠ABC=50°
»AD=C»D
B
∠CAD =∠ABD=∠CBD =25°
A
（1）BDC BAC BCD BAD 1 BOC 2
O
（2）ADC ABC ACD ABD 1 AOC 2
M C
B
（3）ACB ADB 90
D
（4）DBE CAD
E
性质 轴对
归纳：圆中与角相关的定理
定理
图形
垂径定理
称性
切线长定理
结论 等弧，等角， 等线段 等角，等线段 (等弧)
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海淀区初中学生在线学习课程
初三年级数学学科
探究圆中角、线段的计算问题（上）
授课教师：张振环
学校：北京市中关村中学
一、 圆中角的计算
圆中求角的度数问题，离不开角之间的数量关系， 圆中有哪些定理与角的数量关系有关呢？
慧眼识图 下图中的角都存在什么数量关系？为什么？
∠BCE=25°
典型例题 1.已知AB是⊙O 的直径，C 为圆上一点，CE⊥AB于点E， 弦BD//OC，连接CD，若∠OCD=25 °，求∠BCE.
《弧、弦、圆心角、圆周角—知识讲解 》 配套 2022人教九年级上册专练
弧、弦、圆心角、圆周角—知识讲解（提高）【学习目标】1.了解圆心角、圆周角的概念；2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用．【要点梳理】知识点一、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角定义如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．2.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．3.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征.(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.知识点二、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.4.圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）． 5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.【典型例题】类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.已知：如图所示，⊙O 中弦AB ＝CD ．求证：AD ＝BC ．【答案与解析】证法一：如图①，∵ AB ＝CD ，∴ AB CD =． ∴ AB BD CD BD -=-，即AD BC =，∴ AD ＝BC ．证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、OD ，∵ AB ＝CD ，∴ ∠AOB ＝∠COD ． ∴ ∠AOB －∠DOB ＝∠COD －∠DOB ， 即∠AOD ＝∠BOC ，∴ AD ＝BC ．【点评】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD ＝BC ，只需证AD BC =或证∠AOD ＝∠BOC 即可．举一反三：【变式】如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ． 求证：AC BD =．【答案】证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD，∵OA＝OB，且12OM OA=，12ON OB=，∴OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，∴Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COM＝∠DON，∴AC BD=．证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD．∵M是AO的中点，且CM⊥AB，∴AC＝OC，同理BD＝OD，又OC＝OD．∴AC＝BD，∴AC BD=．类型二、圆周角定理及应用2.（2020•南京二模）如图，OA、OB是⊙O的半径且OA⊥OB，作OA的垂直平分线交⊙O于点C、D，连接CB、AB．求证：∠ABC=2∠CBO．【答案与解析】证明：连接OC、AC，如图，∵CD垂直平分OA，∴OC=AC．∴OC=AC=OA，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠ABC=∠AOC=30°，在△BOC中，∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°，∵OB=OC，∴∠CBO=15°，∴∠ABC=2∠CBO．【总结升华】本题考查了圆周角定理以及线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质，熟练的掌握所学知识点是解题的关键.举一反三：【变式】如图，AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是 .【答案】40°或140°.3.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1+∠2=___________.【答案】90°.【解析】如图，连接OE，则【点评】把圆周角转化到圆心角.举一反三：【变式】（2015•玄武区二模）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D=．【答案】96°；提示：解：连结OC，如图，∠BOC=2∠CAB=2×36°=72°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OBC=（180°﹣∠BOC）=（180°﹣72°）=54°，∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=30°+54°=84°，∵∠D+∠ABC=180°，∴∠D=180°﹣84°=96°．故答案为96．4.已知，如图，⊙O上三点A、B、C，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O的直径长.【答案与解析】如图所示，作⊙O的直径AC′，连结C′B，则∠AC′B=∠C=60°又∵AC′是⊙O的直径，∴∠ABC′=90°即⊙O的直径为.【点评】作出⊙O的直径，将60°、直径与m都转到一个直角三角形中求解.举一反三：【变式】如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝4，则⊙O的半径为（）．A．22 B．4 C．23 D．5【答案】A.《圆》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1．如图所示，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD．如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于( )．A．70° B．64° C．62° D．51°2．在半径为27m的圆形广场中心点O的上空安装了一个照明光源S，S射向地面的光束呈圆锥形，其轴截面SAB的顶角为120°(如图所示)，则光源离地面的垂直高度SO为( )．A．54m B．63m C．93m D．183m第1题图第2题图第3题图第4题图3．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm2B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm24．如图，的半径为5，弦的长为8，点在线段(包括端点)上移动，则的取值范围是( ).A. B. C. D.5.“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于E ，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD 的长为( )A ．12.5寸B ．13寸C ．25寸D ．26寸6．（2020•贵港）如图，已知P 是⊙O 外一点，Q 是⊙O 上的动点，线段PQ 的中点为M ，连接OP ，OM ．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM 的最小值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )． A ．80° B ．100° C ．80°或100° D ．160°或200°8．如图所示，AB 、AC 与⊙O 分别相切于B 、C 两点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )．A ．65°B ．115°C ．65°或115°D ．130°或50°二、填空题 9．如下左图，是的内接三角形，，点P 在上移动(点P 不与点A 、C 重合)，则的变化范围是__ ________.第9题图 第10题图10．如图所示，EB 、EC 是⊙O 是两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，那么∠A 的度数是________________. 11．已知⊙O 1与⊙O 2的半径1r 、2r 分别是方程2680x x -+= 的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距d =5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 __ __ .12．（2020•巴彦淖尔）如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．13.两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是_______ ________.14.已知正方形ABCD外接圆的直径为2a，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图(1)(2)…(m)是边长均大于2的三角形、四边形、……、凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以l为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，……(1)图(1)中3条弧的弧长的和为___ _____，图(2)中4条弧的弧长的和为_____ ___；(2)求图(m)中n条弧的弧长的和为____ ____(用n表示)．16．如图所示，蒙古包可以近似地看做由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面积为9πm2，高为3.5m，外围高4 m的蒙古包，至少要____ ____m2的毛毡．三、解答题17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．（1）证明：AF平分∠BAC；（2）证明：BF＝FD.18.（2020•南京）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图(1)，在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；②如图(2)，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图(3)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．任务要求：(1)请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索；①在正n(n≥3)边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立(不要求证明)；②如图(4)，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B；【解析】由AB为⊙O的切线，则AB⊥OD．又BD＝OB，则AB垂直平分OD，AO＝AD，∠DAB＝∠BAO．由AB、AC为⊙O的切线，则∠CAO＝∠BAO＝∠DAB．所以，∠DAB＝∠DAC＝26°．∠ADO＝90°-26°＝64°．本题涉及切线性质定理、切线长定理、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等．2．【答案】C；【解析】圆锥的高、底面半径与母线组成直角三角形．由题意，SO⊥AB于O，∴∠SOA＝∠SOB＝90°．又SA＝SB，∠ASB＝120°，∴∠SAB＝∠SBA＝180120302=°-?°，设SO＝x m，则AS＝2x m．∵ AO＝27，由勾股定理，得(2x)2-x2＝272，解得93x=(m)．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.∵矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm，∴ ，∴.4.【答案】A ；【解析】OM 最长是半径5；最短是OM ⊥AB 时，此时OM=3，故选A. 5．【答案】D ；【解析】因为直径CD 垂直于弦AB ，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可. 根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”， 知(寸)，在Rt △AOE 中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D. 6．【答案】B.【解析】设OP 与⊙O 交于点N ，连结MN ，OQ ，如图，∵OP=4，ON=2， ∴N 是OP 的中点， ∵M 为PQ 的中点，∴MN 为△POQ 的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M 在以N 为圆心，1为半径的圆上， 当点M 在ON 上时，OM 最小，最小值为1， ∴线段OM 的最小值为1．故选B ． 7．【答案】C ； 【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为5136010092⨯⨯=°°；圆周角的顶点在优弧上时， 圆周角为413608092⨯⨯=°°．注意分情况讨论． 8．【答案】C ；【解析】连接OC 、OB ，则∠BOC ＝360°-90°-90°-50°＝130°．点P 在优弧上时，∠BPC ＝12∠BOC ＝65°；点P 在劣弧上时，∠BPC ＝180°-65°＝115°． 主要应用了切线的性质定理、圆周角定理和多边形内角和定理．二、填空题 9．【答案】； 10．【答案】99°；【解析】由EB=EC ，∠E=46°知，∠ECB= 67°，从而∠BCD=180°-67°-32°=81°， 在⊙O 中，∠BCD 与∠A 互补，所以∠A=180°-81°=99°. 11．【答案】相交；【解析】求出方程2680x x -+= 的两实根1r 、2r 分别是4、2，则1r -2r <d <1r +2r ,所以两圆相交.12.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD ⊥BC ，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确；∵∠ABE=90°﹣∠EBC ﹣∠BAD=45°=2∠CAD ，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC ≠BE ，AE=BE ，∴AE ≠2CE ，③不正确； ∵AE=BE ，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②④．13.【答案】7或3；【解析】两圆有三种位置关系：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含).两圆内切时，圆心距，题中一圆半径为5，而d=2，所以有，解得r=7或r=3，即另一圆半径为7或3.14.【答案】(21)a -； 2(222)a -；【解析】正方形ABCD 外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a ．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL ＝22x ，∴ 222x x a ⨯+=，(21)x a =-，即正八边形的边长为(21)a -．222224[(21)](222)AEL S S S a x a a a =-=-=--=-△正方形正八边形．15.【答案】(1)π； 2π； (2)(n-2)π；【解析】∵ n 边形内角和为(n-2)180°，前n 条弧的弧长的和为(2)1801(2)3602n n -=-个以某定点为圆心，以1为半径的圆周长，∴ n 条弧的弧长的和为121(2)(2)2n n ππ⨯⨯-=-．本题还有其他解法，比如：设各个扇形的圆心角依次为1α，2α，…，n α， 则12(2)180n n ααα+++=-…°， ∴ n 条弧长的和为1212111()180180180180n n απαπαππααα⨯+⨯++⨯=+++……(2)180(2)180n n ππ=-⨯=-．16.【答案】720π；【解析】∵ S ＝πr 2，∴ 9π＝πr 2，∴ r ＝3．∴ h 1＝4，∴ 2215l h r =+=，∴ 223523 3.5152136S S S rl rh πππππππ=+=+=⨯⨯+⨯⨯=+=锥柱，2036720S ππ=⨯=总．所求面积包括圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，不包括底面积．三、解答题17.【答案与解析】（1）连结OF∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH ∵FH∥BC ，∴OF 垂直平分BC∴BF FC =∴AF 平分∠BAC .（2）由（1）及题设条件可知∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ∴∠1+∠4=∠2+∠3 ∴∠1+∠4=∠5+∠3 ∠FDB =∠FBD ∴BF =FD.18．【答案与解析】 证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE ， ∵DC=DE ，∴∠DCE=∠AEB ， ∴∠A=∠AEB ；（2）∵∠A=∠AEB ，A BCDEO 12345HA BCD EO 12∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO ⊥CD ， ∴CF=DF ，∴EO 是CD 的垂直平分线， ∴ED=EC ， ∵DC=DE ， ∴DC=DE=EC ，∴△DCE 是等边三角形， ∴∠AEB=60°，∴△ABE 是等边三角形．19.【答案与解析】解：∵公共弦AB ＝120r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=.20. 【答案与解析】 (1)如选命题①． 证明：在图(1)中，∵ ∠BON ＝60°，∴ ∠1+∠2＝60°． ∵ ∠3+∠2＝60°，∴ ∠1＝∠3． 又∵ BC ＝CA ，∠BCM ＝∠CAN ＝60°， ∴ △BCM ≌△CAN ，∴ BM ＝CM ． 如选命题②．证明：在图(2)中，∵∠BON＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵∠3+∠2＝90°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝90°，∴△BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．如选命题③．证明：在图(3)中，∵∠BON＝108°，∴∠1+∠2＝108°．∵∠2+∠3＝108°，∴∠1＝∠3．又∵ BC＝CD，∠BCM＝∠CDN＝108°，∴△BCM≌△CDN，∴ BM＝CN．(2)①答：当∠BON＝(2)180nn°时结论BM＝CN成立．②答：当∠BON＝108°时．BM＝CN还成立．证明：如图(4)，连接BD、CE在△BCD和△CDE中，∵ BC＝CD，∠BCD＝∠CDE＝108°，CD＝DE，∴△BCD≌△CDE．∴ BD＝CE，∠BDC＝∠CED，∠DBC＝∠ECD．∵∠CDE＝∠DEN＝108°，∴∠BDM＝∠CEM．∵∠OBC+∠OCB＝108°，∠OCB+∠OCD＝108°．∴∠MBC＝∠NCD．又∵∠DBC＝∠ECD＝36°，∴∠DBM＝∠ECM．∴△BDM≌△CEN，∴ BM＝CN．。
初中奥数讲义_转化灵活的圆中角附答案
【例题求解】【例1】 如图，直线AB 与⊙O 相交于A ，B 再点，点O 在AB 上，点C 在⊙O 上，且∠AOC ＝40°，点E 是直线A B 上一个动点(与点O 不重合)，直线EC 交⊙O 于另一点D ，则使DE=DO 的点正共有 个． 思路点拨 在直线AB 上使DE=DO 的动点E 与⊙O 有怎样的位置关系?分点E 在AB 上(E 在⊙O 内)、在BA 或AB 的延长线上(E 点在⊙O 外)三种情况考虑，通过角度的计算，确定E 点位置、存在的个数．注： 弧是联系与圆有关的角的中介，“由弧到角，由角看弧”是促使与圆有关的角相互转化的基本方法． 【例2】 如图，已知△ABC 为等腰直角三形，D 为斜边BC 的中点，经过点A 、D 的⊙O 与边AB 、AC 、BC 分别相交于点E 、F 、M ，对于如下五个结论：①∠FM C=45°；②AE+AF ＝AB ；③BCBA EF ED；④2BM 2=BF ×BA ；⑤四边形AEMF 为矩形．其中正确结论的个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个思路点拨 充分运用与圆有关的角，寻找特殊三角形、特殊四边形、相似三角形，逐一验证．注：多重选择单选化是近年出现的一种新题型，解这类问题，需把条件重组与整合，挖掘隐合条件，作深入的探究，方能作出小正确的选择．【例3】 如图，已知四边形ABCD 外接⊙O 的半径为5，对角线AC 与BD 的交点为E ，且AB 2=AE ×AC ，BD ＝8，求△A BD 的面积．思路点拨 由条件出发，利用相似三角形、圆中角可推得A 为弧BD 中点，这是解本例的关键．【例4】 如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连结AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB)，点E 是AB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F ，连结AF 与直线CD 交于点G ． (1)求证：AC 2=AG ×AF ；(2)若点E 是AD(点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立?若成立．请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由．思路点拨 (1)作出圆中常用辅助线证明△ACG ∽△AFC ；（2）判断上述结论在E 点运动的情况下是否成立，依题意准确画出图形是关键．注：构造直径上90°的圆周角，是解与圆相关问题的常用辅助线，这样就为勾股定理的运用、相似三角形的判定创造了条件．【例5】 如图，圆内接六边形ABCDEF 满足AB=CD=EF ，且对角线AD 、BE 、CF 相交于一点Q ，设AD 与CF 的交点为P ．求证：（1）ECAC ED QD =；(2)22CE AC PE CP =．思路点拨 解本例的关键在于运用与圆相关的角，能发现多对相似三角形．(1) 证明△QDE ∽△ACF ；(2)易证DEQCPE CP，通过其他三角形相似并结合(1)把非常规问题的证明转化为常规问题的证明．注：有些几何问题虽然表面与圆无关，但是若能发现隐含的圆，尤其是能发现共圆的四点，就能运用圆的丰富性质为解题服务，确定四点共圆的主要方法有： (1)利用圆的定义判定；(2)利用圆内接四边形性质的逆命题判定．学历训练1．一条弦把圆分成2：3两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为 ． 2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是⊙O 上的一点，则∠1+∠2= ．3．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，F 是CG 的中点，延长AF 交⊙O 于E ，CF=2，AF=3，则EF 的长为 ．4．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AB+AC=12，AD ⊥BC 于D ，AD ＝3，设⊙O 的半径为y ，AB 的长为x ，用x 的代数式表示y ，y = ．5．如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BC 到E ，已知∠BCD ：∠ECD ＝3：2，那么∠BOD 等于( )A ．120°B ．136°C ．144°D ．150°6．如图，⊙O 中，弦AD ∥BC ，DA=DC ，∠AOC=160°，则∠BOC 等于( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°7．如图，BC为半圆O的直径，A、D为半圆O上两点，AB=3，BC=2，则∠D的度数为( )A．60° B． 120° C． 135° D．150°8．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，点P是弧AC上一点(点P不与A、C两点重合)，连结PC、PD、PA、⌒⌒AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F．给出下列四个结论：①CH2=AH×BH；②AD=AC；③AD2=DF×DP；④∠EPC=∠APD，其中正确的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．49．如图，已知B正是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高．(1)求证：AC·BC=BE·CD；(2)已知CD=6，AD=3，BD=8，求⊙O的直径BE的长．10．如图，已知AD是△ABC外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC．(1)求证：FB=FC；(2)求证：FB2=FAFD；(3)若AB是△ABC的外接圆的直径，∠EAC=120°，BC=6cm，求AD的长．11．如图，B、C是线段AD的两个三等分点，P是以BC为直径的圆周上的任意一点(B、C点除外)，则tan∠APB·tan∠CPD= ．12．如图，在圆内接四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，AC=a，则四边形ABCD的面积为．13．如图，圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AD=3，CD=2，则BC= ．⌒14．如图，AB是半圆的直径，D是AC的中点，∠B=40°，则∠A等于( )A．60° B．50° C．80° D．70°15．如图，已知ABCD是一个以AD为直径的圆内接四边形，AB=5，PC=4，分别延长AB和DC，它们相交于P，若∠APD=60°，则⊙O的面积为( )A．25π B．16π C．15π D．13π)(2001年绍兴市竞赛题Array16．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，AB=AC，过A、D两点的圆与AB、AC分别相交于点E、F，弦EF与AD相交于点G，则图中与△GDE相似的三角形的个数为( )A．5 B．4 C．3 D．217．如图，已知四边形ABCD外接圆⊙O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE=EC，AB=2AE，且BD=32，求四边形ABCD的面积．18．如图，已知ABCD为⊙O的内接四边形，E是BD上的一点，且有∠BAE=∠DAC．求证：(1)△ABE∽△ACD；(2)ABDC+AD·B C＝AC·BD．19．如图，已知P 是⊙O 直径AB 延长线上的一点，直线PCD 交⊙O 于C 、D 两点，弦DF ⊥AB 于点H ，CF 交AB 于点E ．(1)求证：PA ·PB=PO ·PE ；(2)若DE ⊥CF ，∠P=15°，⊙O 的半径为2，求弦CF 的长．20．如图，△ABC 内接于⊙O ，BC=4，S △ABC =36，∠B 为锐角，且关于x 的方程01cos 42=+-B x x 有两个相等的实数根，D 是劣弧AC 上任一点(点D 不与点A 、C 重合)，DE 平分∠ADC ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ． (1)求∠B 的度数； (2)求CE 的长；(3)求证：DA 、DC 的长是方程02=⋅+⋅-DF DE y DE y 的两个实数根．⌒参考答案。
九年级数学人教版(上册)24.1.3弧、弦、圆心角
OF相等吗？为什么？
解：OE=OF. 理由如下：
A
E
B
OE AB,OF CD,
O·
D
AE 1 AB,CF 1 CD.
2
2
F C
又 AB＝CD , AE＝CF.
又 OA＝OC, RtAOE≌RtCOF.
OE OF.
侵权必究
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
侵权必究
当堂练习
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对
的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
CB
②A⌒B=C⌒D ③AB=CD
D
O
A
侵权必究
新课导入
练一练
下列说法中，正确的是( C)
A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．在同圆中，圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等
侵权必究
新课导入
弦所对应的圆心角相等 弦所对应的优弧相等 弦所对应的劣弧相等
侵权必究
新课导入
要点归纳
二、弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的 圆心角相等，所对的弦相等．
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的 圆心角相等，所对的弧相等．
侵权必究
新课导入
关系结构图
圆心角 相等
弦相等
侵权必究
当堂练习
( (
( (
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC
求证:AB＝CD.
证明：连接AO,BO,CO,DO.
∵AD=BC
AOD BOC.
C B
O.
D A
AOD+BOD=BOC+BOD.
中考热点：（一）圆中动点“PA+...
中考热点：圆中动点“PA+kPB”型最值问题一、问题导读在初中数学中，有一类几何动点“PA+kPB”型最值问题，学生普遍感到“害怕”。
普通方法求解可能就会失效！当k=1时，可以转化为“将军饮马”模型，我们可以利用对称变换来处理。
而如果k不等于1的话，我们必须利用转换思路，截取线段灵活转化线段值，转化为常见求解模式。
二、典例精析类型1 探究圆中“PA+kPB”型的最值问题例1．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），点M是AO中点，⊙A 的半径为2．（1）若△PAB是直角三角形，则点P的坐标为______．（直接写出结果）（2）若PM⊥AB，则BP与⊙A有怎样的位置关系？为什么？（3）若点E的坐标为（0，3），那么⊙A上是否存在一点P，使PE+1/2PB最小，如果存在，求出这个最小值，如果不存在，简要说明理由．【解析】（1）分两种情形：①∠PAB＝90°，②∠APB＝90°分别求解即可解决问题；答案为（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣1，√3）或（﹣1，﹣√3）．（2）求出PA，PB的长，利用勾股定理的逆定理证明即可；（3）如图，连接EM．∵PA＝4，AMAB＝4，∴PA＝AMAB，∴PA/AM=AB/PA，∵∠PAM＝∠BAP，∴△PAM∽△BAP，∴PM/PB=PA/AB=1/2，∴PM＝1/2PB，∴PE+1/2PB＝PE+PM，∵PE+PM≥EM，∴PE+PM的最小值为线段EM的长，∵E（0，3），∴OE＝3，∴由勾股定理可求得EM＝√10，∴PE+1/2PB的最小值为√10．【点评】本题属于属于圆综合题，考查了勾股定理以及逆定理，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，学会构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．例2．如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O的切线BC 于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若DE＝3，CE＝2，①求BC/AE的值；②若点G为AE上一点，求OG+1/2EG最小值．【解析】（1）根据切线的判定，连接过切点E的半径OE，利用等腰三角形和平行线性质即能证得OE⊥DE．（2）①观察DE所在的△ADE与CE所在的△BCE的关系，由等角的余角相等易证△ADE∽△BEC，即得BC/AE 的值．②先利用BC/AE的值和相似求出圆的直径，发现∠BAC＝30°；利用30°所对直角边等于斜边一半，给EG构造以EG为斜边且有30°的直角三角形，把1/2EG转化到EP，再从P出发构造PQ＝OG，最终得到三点成一直线时线段和最短的模型．解：①连接BE∵AB是⊙O直径∴∠AEB＝90°∴∠BED＝∠D＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°∵BC是⊙O的切线,∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝90°,∴∠BAE＝∠CBE∵∠DAE＝∠BAE,∴∠DAE＝∠CBE,∴△ADE∽△BEC, ∴AE/BC=DE/CE,∵DE＝3，CE＝2,∴BC/AE=2/3②过点E作EH⊥AB于H，过点G作GP∥AB交EH于P，过点P作PQ∥OG交AB于Q,∴EP⊥PG，四边形OGPQ 是平行四边形,∴∠EPG＝90°，PQ＝OG∵BC/AE=2/3,∴设BC＝2x，AE＝3x,∴AC＝AE+CE＝3x+2∵∠BEC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C,∴△BEC∽△ABC,∴BC/AC=CE/BC,∴BC ＝ACCE 即（2x）＝2（3x+2）,解得：x ＝2，x ＝﹣1/2（舍去）∴BC＝4，AE＝6，AC＝8,∴sin∠BAC＝BC/AC=1/2，∴∠BAC＝30°∴∠EGP＝∠BAC＝30°,∴PE＝1/2EG,∴OG+1/2EG＝PQ+PE∴当E、P、Q在同一直线上（即H、Q重合）时，PQ+PE＝EH最短∵EH＝1/2AE＝3,∴OG+1/2EG的最小值为3【点评】本题考查了等腰三角形和平行线性质，切线的判定和性质，相似的判定和性质，最短路径问题．第（1）题为常规题型较简单；第（2）①题关键是发现DE、CE所在三角形的相似关系；②是求出所有线段长后发现30°角，利用30°构造1/2EG，考查了转化思想．类型2 由已知含有PA+kPB型最值条件，探究圆的综合问题例3．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且⊙O的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当1/2CD+OD的最小值为4√3时，求⊙O的直径AB的长．【解析】（1）连接OC，要证CE是⊙O的切线，只需证∠OCE＝90°即可（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，在Rt△OHC中运用三角函数即可求AB=4√3h/3AB;（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，先证明四边形AOCF是菱形，根据对称性可得DF ＝DO，过点D作DH⊥OC于H，DH＝1/2DC，1/2DC+OD＝DH+FD，根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD最小，然后在Rt△OHF中运用三角函数求得AB的长．解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF则∠AOF＝∠COF＝1/2∠AOC＝1/2（180°﹣60°）＝60°．∵OA＝OF＝OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF＝AO＝OC＝FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF＝DO．过点D作DM⊥OC于M，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴DM＝DCsin∠DCM＝DCsin30°＝1/2DC，∴1/2CD+OD＝DM+FD．根据两点之间线段最短可得：当F、D、M三点共线时，DM+FD（即1/2 CD+OD）最小，此时FM＝OFsin∠FOM＝√3/2OF＝4√3，则OF＝8，AB＝2OF＝16．∴当 CD+OD的最小值为4√3时，⊙O的直径AB的长为16．三、总结提升“PA+kPB”型最值问题问题核心解题思想就是“折转直”，通过截取构造等值线段，利用相似三角形、解直角三角形等，将问题利用这类问题常用定理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③垂线段最短，从而求解问题。
24.1.3 弧、弦、圆心角教学反思
2019年教学反思吴昌恒《弧、弦、圆心角》这节课主要让学生理解圆心角的概念，掌握弧、弦、圆心角关系定理及推论，在此过程中培养学生的观察与分析及归纳的能力并渗透旋转变换的思想以及数学学习中常常使用的由特殊到一般的认识规律，以期能够运用所学解决有关问题；并能够在引导学生在对图形的观察过程中，激发探究问题的兴趣和欲望。
学生们是在认识了圆及其相关概念，垂径定理的基础上，以圆的旋转不变性为主线进一步来学习圆的性质，将为今后证明线段、角相等以及圆的其他有关内容打下基础，起着重要作用。
学生到了九年级尽管具备了一定的逻辑思维但对圆的旋转不变性依然不是很明白，这就成了学生学习的一个难点，在加上对圆的认识仅仅停留在小学六年级相当肤浅的水平上，接触又少，直接导致掌握知识的深度与灵活性欠缺。
因此在备课时就打算采取动画演示，让学生观察的同时大胆猜想，再证明，归纳，以期能够通过这样的引导使学生有发现，并对发现进行探究，证明猜想的正确性与合理性。
之后进行变式让学生突破此难点能够灵活运用所学解决问题。
对此相应的设置了四个环节的教学：1.情境导入。
突破圆的旋转不变性并认识圆心角。
2.新授探究弧、弦、圆心角的关系。
先引导探究两个相等的圆心角与所对的弧、弦的关系并总结，再让学生自己也仿照着探究任意两等弧与所对的圆心角、弦的关系，也尝试着用文字语言归纳自己得到的结论，很明显，学生在此很容易出现问题，此时老师不急于更正补充，可让学生们自己交流补充，得出由于弦所对的弧有优弧和劣弧之分，因而叙述时会有些不一样，这样来一“坑”，学生们自然就加深了对推论2的理解了。
3.生米煮成熟饭。
结合书上的例题，让学生运用刚刚学习过的弧、弦、圆心角的关系灵活运用解决问题。
4.变式训练。
进一步培养学生灵活运用弧、弦、圆心角的关系及其推论解决问题，提高学生分析问题与解决问题的能力。
所学知识也可升华：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量对应相等，则它们所对应的其余各组量都相等。
初中数学几何《角》知识点详解
初中数学几何《角》知识点详解
发布时间：2012-02-12 15:22 来源：武汉巨人学校作者：巨人网整理
初中数学知识中，以几何知识的要求最高。
虽然看起来，几何知识有具体的表象物件，比如三角形、正方体等等都可以了用实物表述，但是一旦牵扯到深层次的概念，往往实物就成了思维扩张的阻碍。
这里就几何知识中的《角》的问题，整理知识点如下：
基本概念：几何图形中最重要的元素，是判断三角形全等、三角形相似的重要条件，而圆的旋转不变性和对称性，又赋予了角极强的灵活性，使得角之间的相互转化成为了解题的关键要素。
主要介绍：圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角与内对角之间的相互转化问题
理解要点：在理解圆中角时，要注意角的顶点与圆的位置关系、角的两边与圆的位置关系；在运用圆中角时，要关注弧的中介作用。
基本图形：
1、一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；
2、同弧或等弧所对的圆周角相等；
3、直径所对的圆周角是90°；
4、圆内接四边形外角等于内对角；
5、圆内接四边形，一条边所对的两个圆周角相等；。
第16讲 转化灵活的圆中角(2014!培优竞赛新方法。师)
转化灵活的圆中角【知识纵横】角是几何图形中最重要的元素,证明两直线位置关系、运用全等三角形法、相似三角形法都要涉及角,而圆的特征,赋予角极强的活性,使得角能灵活地互相转化.根据圆心角与圆周角的倍半关系,可实现圆心角与圆周角的转化;由同弧或等弧所对的圆周角相等,可将圆周角在大小不变的情况下,改变顶点在圆上的位置进行探索;由圆内接四边形的对角互补和外角等于内对角,可将与圆有关的角互相联系起来.熟悉以下基本图形、基本结论.注:根据顶点、角的两边与圆的位置关系,我们定义了圆心角与圆周角,类似地,当角的顶点在圆外或圆内,我们可以定义圆外角与圆内角,这两类角分别与它们的所夹弧度数有怎样的关系?可自行作一番探讨. 【例题求解】【例1】（2014.江苏省南通市）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= °．【例2】（江苏省苏州市）如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙O于D点，CD=BD，∠C=700。
现给出以下四个结论：①∠A=45°；②AC=AB：③弧AE=弧BE ；④CE•AB=2BD2．其中正确结论的序号是（） A．①② B．②③ C．②④ D．③④思路点拨：充分运用与圆有关的角，寻找特殊三角形、相似三角形，逐一验证。
★【例3】如图,已知AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB。
求证： AC+BC=CD思路点拨如图，补短构造AC+CB或联想角平分线性质等。
★【例4】（2011.广东省广州市）如图1,⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=450，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上。
（1）证明：B、C、E三点共线；（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：MN=OM；（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图2），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=OM1是否成立？若是，请证明；若不是，说明理由．思路点拨（2）充分利用条件中的多个中点，探寻线段之间的数量关系与位置关系.★★【例5】（2014.山东省烟台市）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．【学历训练】A组1、（河南省中考）如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为⊙O的直径，则∠A+∠B+∠C= 。
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灵活转化圆中角
作者：董才强
来源：《数学金刊·初中版》2012年第04期
角是几何图形中的基本元素，当证明两直线的位置关系时，或是三角形全等与相似的判定中都会涉及角，而圆的特征赋予角极强的活性，使得角能灵活地互相转化．本文拟通过具体实例介绍圆中角的转化问题.
1. 根据“等边对等角”进行转化
?摇已知半径为6的⊙O1与半径为4的⊙O2相交于点P，Q，且∠O1PO2=120°，点A为⊙O1上异于点P，Q的动点，直线AP与⊙O2交于点B，直线O1A与直线O2B交于点M.
（1）如图1，求∠AMB的度数.
（2）当点A在⊙O1上运动时，是否存在∠AMB的度数不同于（1）中结论的情况？若存在，请画出一种该情况的示意图，并求出∠AMB的度数；若不存在，请再画出一个符合题意的图形，并证明∠AMB的度数同于（1）中的结论.
（3）当点A在⊙O1上运动时，若△APO1与△BPO2相似，求线段AB的长.
（1）由圆的性质可知O1A=O1P，O2B=O2P，所以∠A＝∠O1PA，∠B＝∠O2PB. 又
∠O1PO2=120°，则可得∠A+∠B=60°，根据三角形的内角和定理不难求出∠AMB的度数.
（2）当点P在A，B之间时，如图1；当点P不在A，B之间时，根据题意可作出图形，同解答第（1）问的思路类似，可根据等边对等角以及三角形的内角和定理来求解.
（3）由（1）（2）两问的解答可知，要分“点P在A，B之间” 和“点P不在A，B之间”两种情况进行求解．
（1）因为O1A=O1P，O2B=O2P，所以∠A＝∠O1PA，∠B＝∠O2PB. 因为
∠O1PO2=120°，所以∠O1PA+∠O2PB=60°. 所以∠A+∠B=60°. 所以∠AMB=180°-60°=120°.
（2）存在，如图2所示，因为O1A=O1P，O2B=O2P，所以∠O1AP＝∠O1PA，∠O2BP ＝∠O2PB. 在△AMB中，∠AMB=180°－（∠O1AP+∠MBA），所以∠AMB=180°－
（∠O1AP+∠O2BP）=180°－（∠O1PA+∠O2PB）=60°.。