基础数学中函数的单调性和奇偶性是重要的一方面内容
函数的奇偶性与单调性word精品文档13页
函数的奇偶性与单调性一.知识总结1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）(1)为奇函数;为偶函数;(2)奇函数在原点有定义(3)任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和即（奇）（偶）.2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)(1)定义:区间上任意两个值,若时有,称为上增函数,若时有,称为上减函数.(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则.3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.二.例题精讲【例1】已知定义域为的函数是奇函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）= -f（-1）知（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得：即：，整理得上式对一切均成立，从而判别式【例2】设函数在处取得极值－2,试用表示和,并求的单调区间.解：依题意有而故解得从而。
令，得或。
由于在处取得极值，故，即。
（1）若，即，则当时，；（2）当时，；当时，；从而的单调增区间为；单调减区间为若，即，同上可得，的单调增区间为；单调减区间为【例3】(理)设函数,若对所有的,都有成立,求实数的取值范围.(文)讨论函数的单调性（理）解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a－1－1，(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．(ii)当a＞1时，对于0＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e a－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜e a－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a－1－1，当x＞e a－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e a－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．（文）解：设，则当时，，则为增函数当时，，则为减函数当时，为常量，无单调性【例4】(理)已知函数,其中为常数.(Ⅰ)若,讨论函数的单调性;(Ⅱ)若,且=4,试证:.(文)已知为定义在上的奇函数，当时，，求的表达式.（理）（文）解：∵为奇函数，∴当时，∵为奇函数∴三.巩固练习1.已知是上的减函数,那么的取值范围是( )A. B. C.D.2.已知是周期为2的奇函数,当时,,设则( )A. B. C. D.3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. B. C.D.4.若不等式对于一切(0,)成立,则的取值范围是A.0B.–2 C.-D.-35.设是上的任意函数,则下列叙述正确的是( )A.是奇函数B.是奇函数C.是偶函数D.是偶函数6.已知定义在上的奇函数满足,则的值为( )A.－1 B.0 C.1D.27.已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称,记.若在区间上是增函数,则实数的取值范围是( )A. B. C.D.8.(理)如果函数在区间上是增函数,那么实数的取值范围是( )Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.9.对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )A. B. C.D.10.已知,则( )A. B.C. D.11.已知函数,若为奇函数,则.12.已知函数是定义在上的偶函数. 当时,,则当时,.13.是定义在上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是( )A.5B.4C.3D.214.下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是( )A. B. C. D.15.若函数, 则该函数在上是( )A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值16.若函数在区间内单调递增,则的取值范围是( )A. B.C. D.17.设是定义在上的奇函数,且的图象关于直线对称,则______.18.设函数在上满足,,且在闭区间［0，7］上,只有.(Ⅰ)试判断函数的奇偶性;(Ⅱ)试求方程=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数,并证明你的结论.19. (理)已知,函数(1)当为何值时,取得最小值？证明你的结论;(2)设在[ -1，1]上是单调函数,求的取值范围.(文)已知为偶函数且定义域为,的图象与的图象关于直线对称,当时,,为实常数,且.(1)求的解析式;(2)求的单调区间;(3)若的最大值为12,求.20.已知函数的图象过点（0,2）,且在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调区间.21.已知向量若函数在区间（－1,1）上是增函数,求的取值范围.22. (理)已知函数,,.若,且存在单调递减区间,求的取值范围.(文)已知函数在区间上是减函数,且在区间上是增函数,求实数的值.巩固练习参考答案1. C2. D3. A4. C5. D6. B7. D8. B9. C 10. A 11.a=12. -x-x4 13. B 14. D 15. A 16. B 17. 018 .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II) 又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.19. (理) 解：（I）对函数求导数得令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0解得当变化时，、的变化如下表+0－0+递增极大值递减极小值递增∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。
函数单调性、奇偶性、周期性与对称性
函数单调性、奇偶性、周期性与对称性一．主要内容：函数单调性、奇偶性、周期性与对称性二．重点难点：1. 在定义域内讨论函数单调性，并会求单调区间。
2. 运用函数奇偶性定义判断并证明函数具有的奇偶性质。
3. 求周期函数周期，利用函数周期性、对称性，求某一点处函数值，求函数解析式或讨论函数其它性质。
三．具体知识：(一).单调性：1.在定义域范围内，单调区间可开可闭。
2.单调区间是定义域的子区间。
3.一个函数的两个区间都是增区间（或都是减区间），不能将它们写成并集，要画图考虑。
4.证明一个函数的单调性，在大题中，只能用定义法和倒数法。
（但在小题中可以用“增+增=增；减+减=减”）5.只有取倒数和求负数两种情况会改变函数的单调性。
（开根号等不影响其单调性）6.复合函数：内外层函数：同增异减函数相加：增+增=增；减+减=减“同增异减法则”：对于复合函数y=f[g(x)]，若t=g(x)在区间（a,b）上是单调增（减）函数，且y=f(t)在区间(g(a),g(b))（或者g(b)，g(a)）上是单调函数，那么函数y=f[g(x)]在区间（a,b）上的单调性由以下表格所示，实施该法则时首先应考虑函数的定义域。
例：7.利用奇偶性求单调性：奇函数在对称区间上，单调性相同。
偶函数在对称区间上，单调性相反。
例：【典型例题】例1.已知是偶函数，而且在，上是减函数，判断在，上是f x f x()()()()00+∞-∞增函数还是减函数，并加以证明。
例2.（）指出的单调区间，并说明在每一区间上的增减性1232f x x x ()=--()（）讨论的单调性2253122y x x =--log例3. ()()讨论函数在，上的单调性。
f x axx a x ()=->∈-21011(二)奇偶性：奇*奇=偶奇+奇=奇偶*偶=偶偶+偶=偶奇*偶=奇奇+偶=非奇非偶奇函数：偶函数：【典型例题】例1. 判断下列函数的奇偶性：（）111f x x x()=+--（）·211 1f x x x x()()=-+ -（）31222f xx x()=-+-（）41010f x x x x x x x ()()()()()=-<+>⎧⎨⎩()（）512f x x x ()lg =++（）·（其中为奇函数，且）61101f x x a a x a a x x ()()()=-+>≠ϕϕ(三) 周期性：关于函数的周期性，下面结论是成立的：（1）若T 为函数f(x)的一个周期，则kT 也是f(x)的周期（k 为非零整数），这就是说，一个函数如果有周期，就有无数多个。
函数单调性与奇偶性
函数单调性与奇偶性在我们学习数学的旅程中，函数的单调性和奇偶性是两个非常重要的概念。
它们就像是函数世界里的“性格特征”，帮助我们更好地理解和描述函数的行为。
让我们先来聊聊函数的单调性。
简单来说，单调性就是函数值随着自变量的变化而呈现出的一种规律。
如果一个函数在某个区间内，当自变量增大时，函数值也随之增大，那我们就说这个函数在这个区间上是单调递增的；反之，如果自变量增大时，函数值反而减小，那这个函数在这个区间上就是单调递减的。
比如说，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 就是单调递增的。
当 x 从 1 增加到 2 时，y 就从 3 增加到 5。
再看反比例函数 y ＝ 1/x ，在 x ＞ 0 这个区间上，它是单调递减的。
因为当 x 从 1 增大到 2 时，y 从 1 减小到 1/2 。
那么，怎么判断一个函数的单调性呢？这就需要用到一些方法啦。
最常见的就是定义法。
我们假设在给定的区间内有两个自变量 x1 和x2 ，且 x1 ＜ x2 ，然后比较 f(x1) 和 f(x2) 的大小。
如果 f(x1) ＜ f(x2) ，那函数就是单调递增的；如果 f(x1) ＞ f(x2) ，那就是单调递减的。
除了定义法，还有导数法。
对于一些比较复杂的函数，我们可以通过求导来判断单调性。
导数大于零的区间，函数单调递增；导数小于零的区间，函数单调递减。
接下来，咱们再说说函数的奇偶性。
奇偶性就像是函数的“对称美”。
如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，那么这个函数就是偶函数；如果都有 f(x) ＝ f(x) ，那它就是奇函数。
比如说，偶函数就像我们熟悉的二次函数 y ＝ x²，当 x 取 2 和－2 时，y 都等于 4 。
奇函数的典型例子是 y ＝ x³，当 x 取 2 时，y 等于 8 ；当 x 取－2 时，y 等于－8 ，正好是相反数。
那怎么判断一个函数是奇函数还是偶函数呢？首先要看函数的定义域是否关于原点对称。
函数单调性与奇偶性
函数单调性与奇偶性1. 函数的单调性在数学中，函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
具体地说，一个函数被称为是递增的（或非递减的），如果对于任意的 x1 和 x2（x1 < x2）都满足f(x1) <= f(x2)；一个函数被称为是递减的（或非递增的），如果对于任意的 x1 和x2（x1 < x2）都满足 f(x1) >= f(x2)；一个函数被称为是严格递增的，如果对于任意的 x1 和 x2（x1 < x2）都满足 f(x1) < f(x2)；一个函数被称为是严格递减的，如果对于任意的 x1 和 x2（x1 < x2）都满足 f(x1) > f(x2)。
函数的单调性对于函数图像的形状有着重要的影响。
当一个函数递增时，其图像会从左下方向右上方倾斜；当一个函数递减时，其图像会从左上方向右下方倾斜。
严格递增和严格递减是指函数图像不会出现水平的平行线段。
2. 函数的奇偶性函数的奇偶性描述了函数图像关于坐标轴的对称性。
具体地说，一个函数被称为是奇函数，如果对于任意的 x，都满足 f(-x) = -f(x)；一个函数被称为是偶函数，如果对于任意的 x，都满足 f(-x) = f(x)。
此外，如果一个函数既不是奇函数也不是偶函数，则被称为是既非奇也非偶函数。
奇函数的图像关于原点对称，即如果点 (x, y) 在函数图像上，则点 (-x, -y) 也在函数图像上；偶函数的图像关于 y 轴对称，即如果点 (x, y) 在函数图像上，则点 (-x, y) 也在函数图像上。
既非奇也非偶函数的图像不具备对称性。
3. 函数单调性与奇偶性的关系对于一个函数而言，其单调性与奇偶性有一定的关系。
如果一个函数是奇函数，则它可能是严格递增的或严格递减的；如果一个函数是偶函数，则它可能是递增的或递减的。
但需要注意的是，一个函数的单调性并不决定它的奇偶性，也就是说，递增（或递减）函数可以是奇函数、偶函数或既非奇也非偶函数。
函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性与对称性)讲义-2023届高三数学二轮复习
模块一、函数的单调性(一)函数的单调性和单调区间定义：1、增函数与减函数的定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A M ⊆，如果取区间M 中的任意两个值1x 、2x ，改变量012>-=∆x x x ，则当0)()(12>-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数；当0)()(12<-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M上是减函数。
2、函数的单调性与单调区间：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。
[多选] 例1．下列给定函数中，在区间)10(，上单调递减的函数是( )A 、x x f =)(B 、)1(log )(21+=x x g C 、|1|)(-=x x h D 、12)(+=x x w【解析】x x f =)(在)0[∞+，上是增函数，)1(log )(21+=x x g 在)1(∞+-，上是减函数，|1|)(-=x x h 在]1(，-∞上是减函数，12)(+=x x w 在R 上是增函数，则)(x g 和)(x h 在区间)10(，上单调递减的函数，选BC 。
(二)对函数单调性定义的理解1、函数的单调性是局部性质：从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，即单调区间是定义域的子集，是函数的局部特征。
函数的单调性只在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子区间；如果一个函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的。
但在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。
如函数2x y =的定义域为R ，当)0[∞+∈，x 时是增函数，当]0(，-∞∈x 时是减函数。
2、任意性：①“任意取1x 、2x ”，不能取两个特殊值；②1x 、2x 有大小，通常规定012>-=∆x x x ； ③1x 、2x 必须同属于定义域的某个子区间。
函数的单调性奇偶性与周期性13页word文档
函数的单调性、奇偶性与周期性基础知识一、函数的单调性1． 单调性概念如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时，①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间 ；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2． 函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果/()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增；如果/()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。
二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。
注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。
5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f = 三、函数的周期性 6．周期性概念如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )=f (x )，则称f (x )为周期函数。
T 是f (x )的一个周期。
若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。
函数单调性与奇偶性
函数单调性与奇偶性在数学的广袤天地中，函数单调性与奇偶性是两个极为重要的概念。
它们不仅在数学理论中占据着关键的地位，还在解决实际问题时发挥着巨大的作用。
首先，咱们来聊聊函数的单调性。
简单来说，单调性就是描述函数值随着自变量的变化而变化的趋势。
想象一下，你沿着一条笔直的道路行走，你的位置就好比是函数的自变量，而你行走的速度就像是函数值的变化。
如果你的速度一直保持增加，那就是单调递增；要是速度一直减少，那就是单调递减。
举个具体的例子，比如函数 f(x) ＝ x²，当 x 在区间（∞， 0) 时，函数值随着 x 的增大而减小，所以它在这个区间是单调递减的；而当 x 在区间（0, ＋∞）时，函数值随着 x 的增大而增大，这时候它就是单调递增的。
那么怎么来判断一个函数的单调性呢？通常有两种常见的方法，一种是利用定义，另一种是通过求导。
利用定义来判断单调性，就是设出定义域内的两个自变量的值 x₁和 x₂，然后比较 f(x₁) 和 f(x₂) 的大小关系。
如果对于定义域内的任意两个自变量 x₁＜ x₂，都有 f(x₁) ＜ f(x₂) ，那么函数就是单调递增的；反过来，如果都有 f(x₁) ＞ f(x₂) ，那就是单调递减的。
而对于学过导数的同学来说，求导就会更加方便快捷。
如果函数的导数大于零，那么函数在相应的区间就是单调递增的；导数小于零，就是单调递减的。
比如说函数 f(x) ＝ 2x³ 3x²＋ 1 ，对它求导得到 f'（x) ＝ 6x² 6x ，通过分析导数的正负，就能很容易地判断出函数的单调性。
函数的单调性在实际生活中也有很多应用。
比如在经济学中，成本函数的单调性可以帮助企业判断生产规模的变化对成本的影响，从而做出最优的生产决策。
接下来，咱们再谈谈函数的奇偶性。
奇偶性反映的是函数图像关于原点或者 y 轴对称的性质。
如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，那么这个函数就是偶函数。
函数的奇偶性与单调性
减↓ 增↑ 减↓ 减↓ 增↑
对于复合函数f[g(x)]：“同号得增，异号得减”
三、函数的奇偶性
1、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)， 那么f(x)叫做奇函数.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)＝f(x)，
那么f(x)叫做偶函数.
2、奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y 轴对称.
函数图像能直观地显示函数的单调性.在单调区间上的增函 数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减 函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐下降的.
单调性性质规律: 若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定 义容易证得，在这个区间上：
(1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.
1 ]，单增区间是[2，+∞） 2
单减区间是（-∞，-
例5： 求函数y=f(x)在R上是减函数， 求y=f（|1 - x|）的单调递增区间。
单调递增区间是（ -∞，1] 例6： 求函数y=18+2(2-x2)-(2-x2)2的单调区间 单增区间是（-∞，- 1]，[ 0，1） 单减区间是（-1，0）， [ 1，+∞）
(3)f(x)= (x-1) .
1 x 1 x
评析 用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： (1)求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称. (2)计算f(-x)，并与f(x)比较，判断f(-x)＝f(x)或f(-x)＝-f(x)
之一是否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明确时，可考查其
3、奇函数
4、奇函数
5、定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(x)不等于0 求证：f(0)=1；f(x)为偶函数
高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性知识精讲
高三数学函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【本讲主要内容】函数的单调性、奇偶性及函数的周期性【知识掌握】 【知识点精析】1. 函数的单调性：设函数)(x f y =的定义域为I ，D 是I 的一个区间，如果对于任意的21,x x D ∈，其21x x <，都有)()(21x f x f <则称)(x f 在区间D 上是增函数，同时D 是函数)(x f 的增区间；如果对于任意的21,x x D ∈，且21x x <都有)()(21x f x f >，则称)(x f 在区间D 上是减函数，同时，D 是函数)(x f 的减区间。
并统称具有上述情况的函数具有单调性。
注：（1）单调性是函数的区间性质，若一个函数在其整个定义域内（是一个区间）都是增函数（减函数）则称这个函数为单调函数。
（2）一次函数是单调函数，二次函数不是单调函数，但以对准轴为界，对应两个单调区间，指、对数函数是单调函数；三角函数不是单调函数。
（3）奇函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性一致，如奇函数3xy =在（0，∞+）↑同时在（0,∞-）↑，偶函数在一个区间上的单调性与其在对称区间上的单调性相反。
（3）互反函数其各自对应的区间上的单调性相同。
（4）复合函数的单调性遵循“同增，异减”的规律。
如2)1()(2+-=x x f 求)(2x f 的单调增区间 令12≥=x z ，则)(z f 关于z 是增函数 又2x z =当),0(+∞∈x 时，z 关于x 是增函数 ∴ ),1(+∞是函数)(2x f 的增区间 令12<=x z ，则)(z f 关于z 是减函数 又2x z =当)0,(-∞∈x 时，z 关于x 是减函数 ∴ )0,1(-是函数)(2x f 的增区间综上所述，函数)(2x f 的增区间为)0,1(-和),1(+∞（5）对于可导函数)(x f y =，若在独立区间D 上，)(x f '0>，则)(x f 是D 上的增函数，0)(<'x f ，则为减函数。
高三数学函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性
函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性一、函数的单调性 1.单调性的定义一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调增区间；如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量值1x 、2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数，区间D 我们称为函数()f x 的单调减区间。
2.单调函数与严格单调函数设()f x 为定义在I 上的函数，若对任何12,x x I ∈，当12x x <时，总有(ⅰ) )()(21x x f f ≤，则称()f x 为I 上的增函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x <成立时称()f x 为I 上的严格单调递增函数。
(ⅱ) )()(21x x f f ≥，则称()f x 为I 上的减函数，特别当且仅当严格不等式12()()f x f x >成立时称()f x 为I 上的严格单调递减函数。
2.函数单调的充要条件★若()f x 为区间I 上的单调递增函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()0f f x x x x ->-或1212)[()()]0f f x x x x -->（★若()f x 为区间I 上的单调递减函数，1x 、2x 为区间内两任意值，那么有：1212()()0f f x x x x-<-或1212)[()()]0f f x x x x --<（3.函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法4.复合函数的单调性的判定对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具有单调性。
第02讲函数的奇偶性单调性周期性综合
第02讲函数的奇偶性单调性周期性综合函数的奇偶性、单调性和周期性是函数的重要特征，能够帮助我们更好地理解和分析函数的行为。
在本文中，我们将探讨函数的奇偶性、单调性和周期性，并采用解析的方式进行说明。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数关于y轴或原点对称的性质。
具体来说，若对于定义域内任意x，有f(-x)=f(x)，则称函数f(x)是偶函数；若对于定义域内任意x，有f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)是奇函数。
我们以常用的函数为例，来说明函数的奇偶性。
例如，f(x)=x²是一个偶函数，因为对于任意x，有f(-x)=(-x)²=x²=f(x)。
再如，g(x)=x³是一个奇函数，因为对于任意x，有g(-x)=(-x)³=-x³=-g(x)。
当然，还有其他类型的函数，如三角函数和指数函数，它们也具有偶函数和奇函数的性质。
二、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
具体来说，若对于定义域内的任意x₁和x₂，若x₁<x₂，则有f(x₁)<f(x₂)，则称函数f(x)是递增函数；若对于定义域内的任意x₁和x₂，若x₁<x₂，则有f(x₁)>f(x₂)，则称函数f(x)是递减函数。
我们以常见的函数为例，来说明函数的单调性。
例如，f(x)=x²是一个递增函数，因为当x₁<x₂时，有x₁²<x₂²。
再例如，g(x)=x³是一个递增函数，因为当x₁<x₂时，有x₁³<x₂³。
当然，还有其他类型的函数，如指数函数和对数函数，也可以有递增和递减的性质。
三、函数的周期性函数的周期性是指函数在一定范围内的重复性。
具体来说，如果存在一个正数T，使得对于定义域内的任意x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f(x)是周期函数，其中T称为函数的周期。
函数的单调性和奇偶性
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例如，考虑函数$f(x) = x^2$，我们可以看到，对于任意的$x_1 < x_2$，有$f(x_1) < f(x_2)$，因此，函数$f(x) = x^2$在其定义域内是增函数
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函数的奇偶性是函数的另一重要 特性，它描述了函数图像关于原 点的对称性。如果一个函数的图 像关于原点对称，即对于定义域 内的任意$x$，都有$f(-x) = f(x)$，则称这个函数为奇函数； 如果一个函数的图像关于y轴对 称，即对于定义域内的任意$x$， 都有$f(-x) = f(x)$，则称这个 函数为偶函数
判断函数奇偶性的常用方法有定 义法和图像法。定义法是通过比 较$f(-x)$和$f(x)$的关系来判 断函数的奇偶性；图像法则是通 过观察函数的图像来判断其奇偶 性
例如，考虑函数$f(x) = x^3$， 我们可以看到，对于任意的$x$， 都有$f(-x) = -x^3 = -f(x)$， 因此，函数$f(x) = x^3$是奇函
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函数的单调性和奇偶性虽然描 述的是不同的性质，但它们之 间也存在一定的关系。首先， 对于奇函数和偶函数，它们的 单调性在不同的区间上可能会 有所不同。例如，函数$f(x) = x^2$在$(-\infty, 0]$上
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函数的单调性
高一数学函数的单调性与奇偶性知识精讲
高一数学函数的单调性与奇偶性【本讲主要内容】一. 本周教学内容：函数的单调性与奇偶性函数单调性概念；增（减）函数的定义及判定方法；函数奇偶性定义及判定方法。
【知识掌握】 【知识点精析】（一）函数的单调性1. 增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f x ()，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x x 12、，当x x 12<时，都有f x f x ()()12<［或都有f x f x ()()12>］，那么就说f x ()在这个区间上是增函数（或减函数）。
如果函数y f x -()在某个区间上是增函数（或减函数），就说f x ()在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f x ()的单调区间。
如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。
2. 函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f x ()，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。
（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f x ()，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。
（3）定量刻画，即定义。
上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径。
注：利用导数研究函数单调性更便捷。
（二）函数奇偶性1. 奇函数：对于函数f x ()的定义域内任意一个x ，都有f x f x ()()-=-［或f x f x ()()+-=0］，则称f x ()为奇函数。
2. 偶函数：对于函数f x ()的定义域内任意一个x ，都有f x f x ()()-=［或f x f x ()()--=0］，则称f x ()为偶函数。
3. 奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
函数单调性与奇偶性
函数单调性与奇偶性1. 函数的单调性在数学中，函数的单调性描述的是函数在定义域内的变化趋势。
一个函数可以是递增的（增函数），也可以是递减的（减函数），也可以是既递增又递减的。
1.1 递增函数一个函数在定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) ≤ f(x2)，那么这个函数就是递增函数。
简单来说，递增函数的值随着定义域内的值的增加而增加。
1.2 递减函数一个函数在定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) ≥ f(x2)，那么这个函数就是递减函数。
简单来说，递减函数的值随着定义域内的值的增加而减少。
1.3 严格递增和严格递减函数当一个函数的定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) < f(x2)，那么这个函数就是严格递增函数。
当一个函数的定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) > f(x2)，那么这个函数就是严格递减函数。
性质1：若f(x)在(a, b)内单调递增，则在(a, b)内的任意一个开区间内，函数的值唯一决定自变量的值。
即如果x1和x2是定义域内的两个值，且x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)。
性质2：若f(x)在(a, b)内单调递减，则在(a, b)内的任意一个开区间内，函数的值唯一决定自变量的值。
即如果x1和x2是定义域内的两个值，且x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)。
性质3：若区间(a, b)上的函数单调递增，则它在(a, b)上的任意一个开区间内也单调递增。
2. 函数的奇偶性在数学中，函数的奇偶性描述的是函数的对称性质。
一个函数可以是奇函数，也可以是偶函数，也可以是既奇又偶的。
2.1 奇函数如果一个函数f(x)满足对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)，那么这个函数就是奇函数。
函数的单调性和奇偶性
函数的单调性和奇偶性一、函数的单调性由于函数的两个变量x, y的一个对应，在对应法则确定的情况下，y能随着x的确定而确定.这个确定的规律中，最典型的两类是y随着x的增大而增大或y随着x的增大而减小，而函数的单调性就是讨论这样一些问题，用定义的形式概括以上两类问题，即:已知函数y=f(x),x∈(a,b)若在(a,b)上任取x1<x2，都有f(x1)<f(x2),称f(x)在(a,b)上是增函数,(a,b)为f(x)的增区间若在(a,b)上任取x1<x2,都有f(x1)>f(x2),称f(x)在(a,b)上是减函数,(a,b)为f(x)的减区间.增函数与减函数统称单调函数，函数的增区间和减区间统称单调区间.说明:1．函数的单调性都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就谈不上单调性，所以，表述单调性时，必须指出相应的区间.2．增（减）函数定义的实质是:在相应的区间上，较大的x值对应较大（小）的y值.例1．画出y=的图象，并说明它的单调区间.解:由左图，函数的单调递减区间为(-∞, 0)和(0, +∞).点评:如图，函数y=在(0, +∞)是减函数，在(-∞, 0)内也是减函数，但不可说函数y=在(-∞, 0)∪(0, +∞)内是减函数，更不能说在（-∞，+∞）内是减函数.∵当x1=-1, x2=1时,f(x1)=-1, f(x2)=1此时x1<x2, f(x1)<f(x2)，不符合减函数的定义.可见，对函数单调性的描述一定要讲清区间.例2．对于函数y=x3, (1)画出它的图象，(2)写出它的单调区间，并用定义证明之.解:由图像知:y=x3的单调增区间为（-∞，+∞）.证明:显然y=x3的定义域为（-∞，+∞）,在R内任取x1和x2, 使x1<x2,f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1·x2+x22)=(x1-x2)[(x1+x2)2+x22]∵x1<x2,∴x1-x2<0,又∵(x1+x2)2≥0, x22≥0，且(x1+x2)2与x22至多一个为0，∴f(x1)-f(x2)<0 即f(x1)<f(x2),∴函数f(x)在(-∞,+∞)内为增函数.点评:1．从图象上观察函数的单调性固然形象，也必须掌握，但这不够，函数单调性的讨论还必须会用定义来证明.2．此题f(x1)-f(x2)的正负的讨论，易犯以下错误:∵x1<x2, ∴x13<x23, ∴f(x1)-f(x2)<0,这种做法其实已经用了函数y=x3在R上是增函数的结论，所以它是不可取的，而实现这种判断还得靠实数的一些基本性质.3．用定义证明函数的增减性的一般步骤是:(1)设x1,x2是给定区间的任意两个自变量的值，且x1<x2.(2)作差f(x1)-f(x2)，并将此差式变形.（有时也用作商法）(3)判断f(x1)-f(x2)的正负，从而得出判断，（作商时判断与1的大小关系）.例3．已知函数y=-x2+2x+1, x∈(-3,a).(1)当a=0时，求函数的值域；(2)若函数在(-3,a]内为增函数，求a的取值范围.解:(1)当a=0时，x∈(-3,a],∵y=-(x-1)2+2∴(-3,0]是函数y=-x2+2x+1的单调增区间，∴函数在(-3,0]内的值域为(f(-3),f(0)]即:当a=0时，函数值域为（-14，1].(2)要使(-3,a]为增区间，∴a≤1,又∵区间(-3,a]中，a>-3,∴-3<a≤1.点评:函数的单调性反映的本质是函数随着自变量x的变化情况，所以运用函数单调性能解决很多函数求值域及相关问题.（2）的求解易忽视区间(-3,a]中，a与-3的关系.二、函数的奇偶性1．要正确理解奇函数和偶函数的定义，它是判断或讨论函数奇偶性的依据，由定义知，若x是定义域中的一个数值，则-x也必然在定义域中，因此，函数y=f(x)是奇函数或偶函数的必要条件是:定义域在数轴上所示区间关于原点对称.例:函数y=x2在(-∞,+∞)上是偶函数，但y=x2在[-1，2]就不是偶函数，更不是奇函数.2．判断函数的奇偶性，一般都依照定义严格进行，基本思路是:（1）先考察定义域是否关于原点对称.（2）根据定义考察表达式f(-x)是否等于f(x)或-f(x).或用等价命题判断:考察f(x)-f(-x)=0或f(x)+f(-x)=0,若f(x)≠0，考察=±1是否成立.例:判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=3x4+(2)f(x)=(x-1)(3)f(x)=+(4)f(x)=+解:(1)∵函数定义域为{x|x∈R,且x≠0}f(-x)=3·(-x)4+=3x4+=f(x),∴f(x)=3x4+是偶函数.(2)由≥0解得-1≤x≤1,又∵1-x≠0, ∴x=1,∴函数定义域为x∈[-1,1),不关于原点对称，∴f(x)=(x-1)为非奇非偶函数.点评:这个题看起来表示很麻烦，所以同学容易失去，将其化简成f(x)=-=-,忽略了原定义域就会误判断为偶函数.(3)f(x)=+定义域为x=1,∴函数为f(x)=0(x=1)，定义域不关于原点对称，∴f(x)=+为非奇非偶函数.(4)f(x)=+定义域为x∈{±1}，∴函数变形为f(x)=0 (x=±1),∴f(x)=+既是奇函数又是偶函数.点评:（3），（4）两题看起来形式类似，但（3）定义域就不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，而（4）对{1，-1}中任意x，都有f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，∴f(x)=+既是奇函数又是偶函数.3．奇偶性的应用例1．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0,+∞)时，f(x)=x(1+x3),那么当x∈(-∞,0]时，求f(x)的表达式.解:任取x∈(-∞,0], 有-x∈[0,+∞),∴f(-x)=-x[1+(-x)3]=-x(1-x3),∵f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)，∴f(x)=-f(-x)=x(1-x3)，即:当x∈(-∞,0]时，f(x)的表达式为x(1-x3).点评:在求表达式时，要注意“问啥设啥”，直接在(-∞,0]内取x，可以明确问题的求解方向，不致于使关系混乱.（因为题目要求x∈(-∞,0] 时f(x)的表达式）例2．已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10,求f(2).解:观察函数，可知f(x)+8=x5+ax3+bx为奇函数，令F(x)=f(x)+8,有F(-x)=-F(x)，∴F(2)=-F(-2)=-[f(-2)+8]=-(10+8)=-18F(2)=f(2)+8=-18,∴f(2)=-26.点评:此题关键在于如何处理f(x)表达式中“-8”这个“尾巴”，去掉它就可以得到一个奇函数.因此可构造一个新的函数F(x)=f(x)+8，就能让这个问题利用奇函数的性质解决.小结:1．函数的单调性和奇偶性是函数最基本，最重要的两类性质，对这部分知识的灵活运用，首先建立在透彻理解单调性，奇偶性的概念上，对于其本质意义（即反映函数随自变量的变化情况）要更深的理解.2．对单调性，奇偶性的讨论离不开函数的图形，所以数形结合是讨论这两种基本性质的重要手段.课后习题:1．证明函数f(x)=x+在区间（0，1）内是减函数.证明:任取x1,x2∈(0,1), 使x1<x2,f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=x1-x2+=(x1-x2)·(1-)=(x1-x2)·∵x1<x2, ∴x1-x2<0,又∵0<x1<x2<1,∴x1x2>0,且x1·x2<1,∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)∴函数f(x)=x+在（0，1）内是减函数.2．y=x2-2ax+a2-1，x∈[0,1]，试问当a取哪些实数值时，恒有y>0.分析:这是闭区间[0，1]上定义的一个二次函数，欲使y>0,只有y min>0, 为此，考察抛物线的对称轴，顶点是最重要的.解:y=x2-2ax+a2-1的顶点坐标为(a, -1),∴在[0，1]上欲使y>0，必须使x=a[0, 1]，分两种情况:（1）当a<0时，f(x)在[0，1]是增函数，y min=f(0)=a2-1>0 a>1或a<-1.又∵a<0, ∴a<-1.（2）当a>1时，f(x)在[0，1]是减函数，y min=f(1)=1-2a+a2-1>0得a>2或a<0,又∵a>1, ∴a>2,综上，当a∈(-∞,-1)∪(2,+∞)恒有y>0.3．判断函数f(x)=的奇偶性.解:∵9-x2≥0,∴-3≤x≤3,∴7≥4+x≥1∴|4+x|=4+x, 且|4+x|≠x x∈R,∴f(x)=x∈[-3, 3]，任取x∈[-3,3], 都有f(-x)=f(x)即:函数f(x)=为偶函数.在线测试选择题1．奇函数y=f(x) (x∈R)的图象必过点（）A.（a, f(-a)）B.（-a, f(a)）C.（-a, -f(a)）D.（a , f()）2．若函数f(x)=x(n ∈N)，则f(x)是（ ）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数，又是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数3．若函数y=f(x)（f(x)≠0）的图象与函数y=-f(x)的图象关于原点对称，则y=-f(x) （ ）A.是奇函数而不是偶函数B.是偶函数而不是奇函数C.既是奇函数也是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数 4．若f(x)=(m-1)x 2+2mx+3是偶函数，则f(x)在区间（-5，-2）上是（ ）A.增函数B.减函数C.不具有单调性D.单调性由m 的值确定5．已知函数y=f(x)是偶函数，x ∈R.当x<0时y 是增函数， 则当x 1<0，x 2>0，且|x 1|<|x 2|时 （ ）A.f(-x 1)>f(-x 2)B.f(-x 1)<f(-x 2)C.-f(x 1)>f(-x 2)D.-f(x 1)<f(-x 2)答案与解析答案：1、C 2、A 3、B 4、A 5、A解析：1．解：当x=-a 时, y=f(-a)=-f(a)∴ (-a, -f(a)) 必在图象上.答案：C2．解：f(-x)=(-x)·=-f(x),∴f(x)是奇函数.答案：A3．解：函数y=f(x)任意取(x,y)，则关于原点的对成点是（-x,-y ）既（-x,-f(-x)）∵ y=-f(x)与y=f(x)图象关于原点对称，∴ -f(-x)=-f(x), ∴f(-x)=f(x)∴ y=-f(x)是偶函数.答案：B4．解：∵f(x)是偶函数可得m=0, ∴ f(x)=-x 2+3, 对称轴为x=0.∴ 在（-5，-2）上为增函数.答案：A5．解：∵x 1<0, x 2>0, 且|x 1|<|x 2|，∴ -x 2<x 1<0,∵在x<0时，y 是增函数，∴f(-x 2)<f(x 1)又∵是偶函数，∴f(x 1)=f(-x 1)>f(-x 2),∴ f(-x 1)>f(-x 2). 答案：A函数奇偶性、单调性应用函数的奇偶性是函数的重要性质之一，利用函数奇偶性解题，能加深对函数知识的理解和掌握，下面谈谈函数奇偶性在解题中的应用.一、求函数值例1. 已知这是利用函数的奇偶性求值的一种典型题目.二: 求函数表达式：的表达式.例3: 已知f(x+1)是偶函数，且当x≤1时，f(x)=x2+x，求x>1时，f(x)的表达式.分析：设F(x)=f(x+1)，由F(x)是偶函数，得f(1+x)=f(1-x)，从而f(x)图象关于直线x=1对称.下面利用对称性，作出x>1时f(x)的图象，就可得到f(x)的表达式.解：设F(x)=f(x+1),∵F(x)是偶函数，∴F(-x)=F(x)，即f(1-x)=f(1+x)，∴y=f(x)的图象关于直线x=1对称，又x≤1时，f(x)=x2+x =(x+)2-因此，作图，由图可知在x>1时，f(x)=(x-)2-=x2-5x+6三、判断函数的奇偶性的奇偶性.例4:如果a>0, a不等于1，且G(x)是奇函数，试判定F(x)=G(x).（+）的奇偶性.解法1：∵G(x)是奇函数，则有G(-x)=-G(x).F(-x)=G(-x)(+)=-G(x)(+)=-G(x)(+1-)=-G(x)(-)=G(x)(+)=F(x).∴F(x)是偶函数.解法2：∵F(-x)+F(x)=G(-x)(+)+G(x)(+)=-G(x)(+)+G(x)(+)=G(x) (+)=G(x)·(+)=G(x)(+1)=2·G(x)(+)=2F(x),∴F(-x)=F(x).故F(x)是偶函数.函数奇偶性满足：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数.四: 利用单调性和增减性比较大小的大小.五: 利用单调性和增减性求范围例6：定义在（-1，1）上的奇函数f(x)是减函数，且f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范围.解：f(x)的定义域为(-1,1)，∴又因为f(x)为奇函数，由f(1-a)+f(1-a2)<0 f(1-a)<-f(1-a2)=f[-(1-a2)].而f(x)单调递减，∴1-a>-(1-a2) -2<a<1，综合起来，0<a<1.函数的周期性与图象变换理解周期函数的定义，并掌握通过周期性来研究函数的基本方法；掌握利用图象的几何变换而获得函数图象的基本方法.难点：对一般函数周期性的研究；在使用两种或两种以上几何变换时的次序问题.知识要点重点例题：一、函数的周期性1．定义：对于函数y=f(x)，如果存在常数T≠0，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)成立，称y=f(x)为周期函数，T为周期函数f(x)的周期.2．由定义可以得到：（1）作为周期函数的定义域应是“无界”的，如(-∞,+∞)，或至少有一端是“无界”的，如：[0, +∞)，或(-∞,0].这是因为定义中的等式f(x+T)=f(x)，其中x是对于定义域D中的每一个x都有x+T∈D，则区间D一定是“无界”的才能得证在T≠0时x+T∈D.因此，y=sinx, 当x∈R或x∈[0,+∞)或x∈(-∞,0]时都是周期函数，而当x∈[0,10π]或x∈[0,100π]等都不能构成周期函数.（2）若函数y=f(x)是周期函数且有一个周期为T(T≠0)，则T的非零整数倍即nT(n∈Z, n≠0)都是f(x)的周期.例1．若函数f(x)定义域为R，且满足f(x-1)=f(x+1)，求证：f(x)是周期函数.证明：∵f(x)的定义域为R，∴当x∈R时，x+1∈R,由已知f(x+1)=f(x-1)有f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x)即f(x+2)=f(x)由周期函数的定义可知，y=f(x)是周期函数，且有一个周期是2.例2．设函数f(x)的最小正周期为1998，并且f(999+x)=f(999-x)对一切x∈R均成立，试判断f(x)的奇偶性.解：∵T=1998，∴f[(999+x)-1998]=f(999+x)=f(999-x)f(x-999)=f(999-x)f[-(999-x)]=f(999-x)，即：f(-x)=f(x)，∴f(x)是偶函数.例3．（96年全国高考题）设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x, 则f(7.5)=()A、0.5B、-0.5C、1.5D、-1.5解法1：由已知f(x+2)=-f(x)依次地把7.5逐步地降下去即f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=-[-f(3.5)]=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=-[-f(-0.5)]=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.故选B.解法2：∵f(x)定义域为(-∞,.+∞)∵x∈R, x+2∈R,∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)∴f(x)是以4为周期的函数，因此，8也是f(x)的一个周期，∴f(7.5)=f(-0.5+8)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.二、函数图象的几何变换所谓图象的几何变换法，就是把常见函数图象与图象几何变换的知识结合起来而获得函数图象的一种重要的途径.函数图象的变换包括四种：平移变换、伸缩变换、对称变换以及绝对值变换.（一）平移变换由y=f(x)→y=f(x+a)+b，分为横向平移与纵向平移.1．横向平移：由y=f(x)→y=f(x+a)把y=f(x)的图象上各点沿x轴平移|a|个单位；当a>0时，向左平移；当a<0时向右移动.2．纵向平移：由y=f(x)→y=f(x)+b把y=f(x)的图象上各点沿y轴平移|b|个单位；当b>0时，向上移动；当b<0时，向下移动.（二）伸缩变换由y=f(x)→y=Af(ωx) (A>0,ω>0) 分为横向与纵向伸缩，其变换过程可表示为：y=f(x)y=f(ωx)y=Af(ωsx)例1．利用图象变换，作出y=的图象.解：∵y===1-，∴要得到y=1-的图象，需要把y=的图象经过以下的变换才能得到：y=y=y=y=-y=1-(图略).（三）对称变换包括关于x轴，y轴，原点，y=x直线对称.1．关于x轴对称：y=f(x)与y=-f(x)，其解析式的特征是：用-y代y，解析式能由一个变成另一个.2．关于y轴对称：y=f(x)与y=f(-x)，其解析式的特征是：用-x代x，解析式能一个变成另一个.3．关于原点对称：y=f(x)与y=-f(-x)，其解析式的特征是：用-x，-y分别代x，y，解析式能由一个变成另一个.4．关于直线y=x直线对称：y=f(x)与y=f-1(x)，其解析式的特征是：用x代y，用y代x，解析式能由一个变成另一个.（四）绝对值变换有两种：y=|f(x)|与y=f(|x|)1．由y=f(x)→y=|f(x)|由绝对值的意义有：y=|f(x)|=因此，几何变换的程序可以设计如下：(1)留住x轴上方的图象(2)翻折，将x轴下方的图象沿x轴对称上去(3)去掉x轴下方的图象2．由y=f(x)→y=f(|x|)由绝对值的意义有：y=f(|x|)=因此，可将这种几何变换设计为：(1)留住y轴右侧的图象(2)去掉y轴左侧的图象(3)翻折：将y轴右侧的图象沿y轴对称到y轴左侧.例2．利用图象变换作出下列函数的图象.(1) y=(2)y=解：(1) y=的图象可以这样得到：y=y=y=.即：(2)y=y=y=y=即：注意：本题中的每题的几何变换中涉及到到了两种变换（平移与绝对值变换）的次序是一定，不能随意更换.例3．（97年全国高考题）将函数y=2x的图象（）A、先向左平移1个单位B、先向右平移1个单位C、先向上平移1个单位D、先向下平移1个单位再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2(x+1)的图象.分析与解答：这里函数y=log2(x+1)的图象不是函数y=2x的图象进行的指定平移变换的结果，依题意，这个平移变换的结果是函数y=log2(x+1)的反函数的图象，而函数y=log2(x+1)的反函数是y=2x-1，于是，选D.。
高一数学《函数的单调性与奇偶性》
<教师备案> 函数的单调性问题主要集中在三个领域，其中第一与第二领域为基本问题，①告诉你函数图象或给你一些信息，你能画出函数的草图；②给你常见函数及由这些函数组成的复合函数，你可以自己得到单调性；③仅告诉你一些抽象的条件，如()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，求证()f x 在R 上单调递减．给具体函数时，从①②理解，没有给出具体函数时从③理解．所谓的函数的性质都是在描述当自变量变化时，函数值怎样变化．单调性是指自变量与函数值是否往同一个方向变化，是否同时增大或同时减小；奇偶性是指当自变量取相反数时，函数值如何变化；这就可以理解，为什么所有的奇偶性问题处理的核心都是取一对互为相反数的自变量．1． 一般地，设函数()y f x =的定义域为D ，区间I D ⊆：⑴ 增函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数； ⑵ 减函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；2．单调性：如果函数()y f x =在某个区间I 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这个区间上具有单调性，区间I 叫做()y f x =的单调区间．3．判断函数单调性的基本方法：⑴ 定义法：任取12x x ，，12x x <，判断12()()f x f x -的正负；⑵ 图象法：判断常见函数的单调性，包括一次函数、二次函数与反比例函数； ⑶ 复合函数的单调性——同增异减．<教师备案> 对于函数的单调性，需要注意的是：① 任取12x x ，，但任意性不代表不可能用存在性的方式做，也就是当你无法判断函数单调性时，可以取几个点估计一下；当然，要证明单调性，只能任取．② 也可设12x x >，单调性只取决于12x x ，的大小与12()()f x f x ，的大小关系是否一致； ③ 单调性是建立在某个局部上的关系，我们通常讨论某个区间上的单调性，除非在整个定义域上单调，否则在说单调性时一定要指出单调区间．④ 1y x=的单调区间是(0)-∞，和(0)+∞，，不能写成并集． ⑤ 高一刚学习单调性时，单调区间包括边界的可以都取闭区间，如二次函数2y x =的单调递减区间为(0]-∞，，单调递增区间为[0)+∞，； 关于很多概念的说明在暑假时我们也强调过，但因为这些内容比较重要，所以值得再强调一遍．暑假知识回顾3.1函数的单调性第3讲 函数的单调性与奇偶性（一）1．下列函数中，在区间(1)+∞，上为减函数的是（ ）A ．31y x =-B ．2y x=- C ．245y x x =-+ D ．1()1xf x x -=+【解析】 D ；2．判断下列函数的单调性：⑴()1|3|f x x =--；⑵21()23f x x x =++；⑶2()4f x x x =-．⑷1()1f x x=--．【解析】 ⑴ 单调递减区间是[)3+∞，，单调递增区间为(3]-∞，． ⑵ ()f x 在(]1-∞-，上单调递增，在[1)-+∞，上单调递减； ⑶ ()f x 在[02]，上单调递增，在[24]，上单调递减． ⑷ ()f x 在(1)-∞，上单调递减．3．用定义法证明()af x x x=+（0a >）在()a -∞-，与()a +∞，上单调递增，在(0)a -，与(0)a ，上单调递减．【解析】 任取12x x ，，12x x <，11121212()()()x x af x f x x x x x --=-⋅，120x x -<，12x x ，同时属于这四个区间中的任意一个时，都有120x x >，当12()x x a ∈-∞-，，或12()x x a ∈+∞，，时，有120x x a ->，此时有12()()f x f x <； 当12(0)x x a ∈-，，或12(0)x x a ∈，，时，有120x x a -<，此时有12()()f x f x >， 由此得到结论．并且可以知道，在(0)+∞，上，()f x 在x a =处取到最小值2a ；在(0)-∞，上，()f x 在x a =-处取到最大值2a -．【点评】对勾函数形如()af x x x=+（0a ≠）的函数称为对勾函数，是我们比较常见的一种函数． 0a <时，()f x 在(0)-∞，与(0)+∞，上单调递增； 0a >时，()f x 在()a -∞-，与()a +∞，上单调递增，在(0)a -，与(0)a ，上单调递减．这两类函数的图象都是关于原点中心对称的，都是奇函数．在x →+∞时，()f x →+∞；在x →-∞时，()f x →-∞． 并且会越来越接近直线y x =，所以y x =称为这个函数的一条渐近线．并且，当0a <时，以1()f x x x=-为例，当x 是一个很小很小的正数时，()f x 趋于负无穷；0a >时，以1()f x x x=+为例，当x 是一个很小很小的正数时，()f x 趋于正无穷．如右图．关于对勾函数的相关结论，后面可以直接使用，把它们当作常见函数的一种．暑假预习时，我们没有讲单调性的运算，即具有单调性的函数，经过加减乘除运算后的单调性有什么对应的结论，这也是函数单调性的一种判别方式．单调性的运算：函数间+、-、⨯、÷的运算的单调性规律：（默认在函数的公共定义域上讨论）知识点睛aa a<0a>0y=xO y x⑴ 函数()f x 与常数k ：()f x k ±与()f x 的单调性相同；()kf x ：0k >时，与()f x 单调性相同；0k <时，与()f x 单调性相反； ⑵函数()f x 与()g x ： ① ()f x 是增函数，()g x 是增函数时，()()f x g x +是增函数； ② ()f x 是增函数，()g x 是减函数时，()()f x g x -是增函数；（这可以由⑴⑵①直接推出）③ ()f x 是增（减）函数，()g x 是增（减）函数时，()()f x g x ⋅的单调性不确定．如：函数x x ⋅． 当()0f x >，且()0g x >时，()()f x g x 是增（减）函数； 当()0f x <，且()0g x <时，()()f x g x 是减（增）函数．<教师备案> 单调性的运算可以直接由单调性的定义给出证明，我们以下面的结论为例给出证明：()f x 是增函数，()g x 是增函数，()0f x >，且()0g x >时，()()f x g x 是增函数．证明：任取12x x ，，12x x >，则()f x 是增函数，()g x 是增函数知： 1212()()()()f x f x g x g x <<，，于是112211121222()()()()()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x -=-+- 112212()[()()]()[()()]f x g x g x g x f x f x =-+-，则12()0()0f x g x >>，，12()()0g x g x ->，12()()0f x f x ->得：1122()()()()f x g x f x g x >，即()()f x g x 单调递增．当然，如果没有()0()0f x g x >>，的条件，显然得不到这个结论．上面没有涉及到()()f x g x ，因为这个函数可以看成()g x （内层）与1x（外层）的复合后，再与()f x 相乘得到的函数．如：()10f x x =-，()2g x x =-，则()10()2f x xg x x -=-在定义域(210]，上单调递减， 因为()g x ，且()0g x >，1()g x ，且10()g x >，()f x ，()0f x ≥，故1()()f xg x ⋅． 当然，()1081()22f x xg x x x -==-+--，化简后很容易得到单调性．备注：知识点睛中的练习是针对暑假没有介绍过的知识与方法配的一些简单的练习题，学生版出现． 【练习1】判断下列函数的单调性⑴()f x x x =+；⑵1()2f x x x=-；⑶()102f x x x =---；⑷2()1f x x x =-．【解析】 ⑴()f x 在定义域[0)+∞，上单调递增；⑵()f x 在(0)-∞，和(0)+∞，上单调递增； ⑶()f x 在定义域[210]，上单调递减． ⑷()f x 在定义域[1)+∞，上是增函数．<教师备案> 讲完单调性的运算，所有判断单调性的方法就都讲完了，但预习时，我们只介绍了比较简单的复合函数的单调性，对于更复杂的复合函数的单调性见例1．关键点在于划分出单调区间，再对每个区间分别判断．考点1：复合函数的单调性 经典精讲【例1】 判断下列函数的单调性： ⑴2()43f x x x =-+；⑵21()32f x x x =--；⑶()2f x x x =-【解析】 ⑴ 在(1]-∞，，[23]，上单调递减，在[12]，，[3)+∞，上单调递增； 分析：123(1]-∞，[12]， [23]，[3)+∞， 当用代数做不清时，画图象找单调性是非常好，非常直观的方法，唯一的麻烦就是不能做大题，选择填空时，类似于这类问题，若能画出图来是非常好的，没有任何问题． 但事实上，y 是由243u x x =-+和y u =构建起来的．243u x x =-+，判断单调性时是用x 的范围来判定的；y u =，在0u <时单调递减，在0u >时单调递增，以0u =为分界点，单调性用u 判定．而最后得到的结果是由x 判定的，∴要把0u <和0u >转化为2430x x -+<和2430x x -+>，从而x 被分为(1]-∞，、[13]，、[3)+∞，，而2x =时也会有1个分界，最后的单调区间划分为(1]-∞，、[12]，、[23]，、[3)+∞，．x(1]-∞， [12]， [23]， [3)+∞， u 的正负0u ≥ 0u ≤ 0u ≤ 0u ≥ 内层243u x x =-+外层u ()f x【结论】此类题做法：①根据限制条件把x 的区间一个一个划开．②根据划开的区间，判断每个区间上的单调性．⑵ 在(3)-∞-，，(31)--，上单调递减；在(11)(1)-+∞，，，上单调递增；⑶ ()f x 在[01]，上单调递减，在[1)+∞，上单调递增．【拓展】讨论函数22()(1)1f x x =--的单调性．【解析】 ()f x 在(1]-∞-，与[01]，上单调递减，在[10]-，与[1)+∞，上单调递增．考点2：函数单调性的应用【铺垫】⑴ 若函数()||2f x x a =-+在[)0+∞，上为增函数，则a 的取值范围为_________． ⑵ 若函数()||2013f x a x b =-+在[)1+∞，上为增函数，则a ，b 的取值范围为 ． ⑶ 若函数2()21f x ax x =++在[12]，上单调递增，则a 的取值范围为_______．【解析】 ⑴ 0a ≤．⑵ 0a >，1b ≤．⑶ 12a -≥．【例2】 ⑴已知函数1()2ax f x x +=+在区间(2)-+∞，上是减函数，则实数a 的取值范围为________． ⑵已知函数()22121ax x f x x ax x +<⎧=⎨-+⎩，，≥在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为_______．⑶已知函数3()(1)1axf x a a -=-≠． ① 若0a >，则()f x 的定义域是 ；② 若()f x 在区间(]01，上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．【解析】 ⑴ 12a <； ⑵ 102a <≤⑶ ① 3a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．② (](0)13-∞，，．【拓展】若函数()()1f x a x x =--在R 上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．【解析】{1}；<教师备案> 例3是函数不等式的相关问题，遇到函数不等式的问题一般都需要利用函数的性质，这类问题就是已知函数值的大小，推导自变量的大小关系．【例3】 ⑴已知()y f x =是定义在(22)-，上的增函数，若(1)(12)f m f m -<-，则实数m 的取值范围是_______．⑵已知函数2240()40x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-<⎪⎩，≥，，若2(2)()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1)(2)-∞-+∞，， B ．(12)-， C ．(21)-，D ．(2)(1)-∞-+∞，， 【解析】 ⑴ 1223m -<<．⑵ C【拓展】已知函数220()0x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩，≥，，若对任意的[2]x a a ∈+,，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【解析】2a奇偶性引入单调性虽然是一个局部的性质，但也不是所有函数都存在单调区间的，如常函数在任意区间上都不具有单调性，狄利克雷函数（1()0x f x x ∈⎧=⎨∈⎩RQQ ，，）在任意区间上也都不具有单调性．与这个局部性质相对，奇偶性是函数的整体性质，在几何上奇偶性代表整个函数图象是否具有关于y 轴轴对称或者关于原点中心对称；在代数上，需要对任意的x D ∈（D 为定义域），都满足()()f x f x -=或()()f x f x -=-．函数图象的对称性轴对称中心对称函数示意图奇偶性偶函数 奇函数 ()f x 满足的关系式()()f x f x -=()()f x f x -=-本质当取的自变量互为相反数时，函数值相等当取的自变量互为相反数时，函数值也互为相反数<教师备案> 所谓奇偶性的问题，一定要找互为相反数的一对自变量，如果没有互为相反数的一对自变量，奇偶性的问题往往不能得到解决． 奇偶性的问题有以下一些特点：特点1：涉及到一对互为相反数的自变量，如已知()3f ，求()3f -就会与奇偶性有关．比如：()1af x bx x=++，(1)2013f =，求(1)f -． 则()1f x -是奇函数，(1)12012f -=，故(1)12012f --=-，从而(1)2011f -=-． 同类型问题见例4⑴；特点2：奇偶性问题往往涉及到区间转换：如题中告诉你函数在()0+∞，上怎么样，让你求的永远是()0-∞，，这类问题一般会涉及到最值、比大小、求解析式、单调性与解不等式等．比如知道偶函数在(0)+∞，上单调递增，就可以得到它在(0)-∞，单调递减．然后就可以比较(3)(π)f f -，，(4)f -的大小．<教师备案> 奇偶性问题出题的思路是非常简洁的，往往奇偶性单独是很难成题的，奇偶性一定会和单调性、函数值域、不等式等一系列的问题联系在一起出．因为奇偶性只告诉你一个非常简单的性质：已知a 就知道a -，所以它的题目无非分成两种类型：①a 与a -都不告诉要自己去找，要寻找一对互为相反数的自变量是解决问题的关键；②永远告诉一半，要解决的问题往往在另一半，或要知道函数整体长成什么样子．知识点睛3.2函数的奇偶性（一）单调性之间有时是可以相互转化的，而一般情况下，奇函数和偶函数之间是很难进行转换的，单调增和单调减只需乘个负号就可以改变，但很难说一个奇函数经过什么操作变成偶函数了（但不是没有，比如翻折变换）．因为单调性是一个上升或下降，往往与乘法有密切的关系，而奇偶性是一个函数的整体性质，代表了整个函数的对称性：轴对称和中心对称，两者很难互相转化． 函数奇偶性的操作：1．乘以任何系数k ，不改变奇偶性，不管是()kf x 还是()f kx ；2．()f x a ±，偶函数不变（相当于图象上下平移，不改变偶函数的对称性），奇函数不行； 3．()f x a ±则往往不再具有奇偶性（除非它本身是有周期性）4．奇函数±奇函数=奇函数，奇函数⨯奇函数=偶函数，偶函数⨯偶函数=偶函数； 5．奇函数与偶函数的复合，是有偶函数则复合后为偶函数，否则为奇函数． 但因为奇偶性相对比较容易判断，所以以上这些结论应用较少．1．判断下列说法正确与否．⑴ 奇函数的图象一定过原点．（ ） ⑵ 偶函数的图象不一定与y 轴相交．（ ）⑶ 所有函数都可以表示成一个奇函数和偶函数的和．（ ） ⑷ 有且仅有一个函数既是奇函数又是偶函数．（ ） 【解析】 ⑴ ×；⑵ √ ⑶ × ⑷ ×2．判断下列函数的奇偶性⑴2()1x xf x x +=+； ⑵03(1)y x x =-；⑶10()10x x f x x x -⎧=⎨+<⎩，≥，．【解析】 ⑴非奇非偶函数；⑵非奇非偶函数．⑶非奇非偶函数．3．已知()f x 为奇函数，当0x >时，()1f x x x =++，则(0)f =____；当0x <时，()f x =________． 【解析】 0；1x x --+-．4．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1x ，[)2120()x x x ∈+∞≠，，有2121()()0f x f x x x -<-．则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- 【解析】 A ；考点3：函数奇偶性的应用 【例4】 ⑴已知53()2013f x x ax bx =++-，且(3)10f =，则(3)f -=____．暑假知识回顾经典精讲⑵已知()f x 和()g x 都是定义在R 上的奇函数，若()()()2F x af x bg x =++在(0)+∞，上有最大值5，则()F x 在(0)-∞，上的最小值为______． 【解析】 ⑴ 4036-⑵ 1-；【拓展】函数()5211x xf x x =++的最大值与最小值的和为_______． 【解析】 2；见到这种长得很奇怪，很难画出图象的函数，就可以从奇偶性出发去考虑了．若将()f x 写成52211x x x x +++就更崩溃了．考点4：奇偶性与单调性综合【铺垫】设定义在R 上的函数()y f x =是奇函数，且()f x 在(0)-∞，上为增函数，(1)0f -=，则不等式()0f x ≥的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞，， B ．[)[)101-+∞，， C ．[)10-， D ．[)[10]1-+∞，，【解析】 D【例5】 ⑴已知()f x 为奇函数，在(0)+∞，上单调递增，()10f =，则()20f x ->的解集为______． ⑵设偶函数()f x 满足()3()80f x x x =-≥，则()20f x ->的解集为 ． ⑶定义在(11)-，上的奇函数()f x 在[)01，上为增函数，则()()210f x f x +-<的解集为 ．⑷已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间(]0-∞，上为减函数，则满足()1213⎛⎫-< ⎪⎝⎭f x f 的x 的取值范围是（ ）A ．1233⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．1233⎡⎫⎪⎢⎣⎭，C ．1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1223⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】 ⑴ (12)(3)+∞，，；⑵ {|0x x <或4}x >⑶ 103⎛⎫ ⎪⎝⎭，．⑷ A【拓展】 若定义在(0)(0)-∞+∞，，上的函数()f x 为奇函数，且在(0)-∞，上是减函数，又 (2)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集为____________． 【解析】 ()()22-∞-+∞，，考点5：抽象函数的奇偶性<教师备案> 奇偶性的问题涉及到一对互为相反数的自变量，这可以提供一些奇偶性问题思考的方向：比如已知一个含参函数的奇偶性求参数的问题中，就可以直接取一对互为相反数的自变量，从而得到函数值相关的一个等式．而抽象函数问题中，也可以通过找一对互为相反数的自变量，与奇偶性建立起联系，比如：()f x 是偶函数，且对任意的x 满足()()()22x f x xf x +=+，求(1)f ． 解：∵已知()f x 是偶函数，∴要使用该条件，就要找互为相反数的一对自变量，又题中有()f x 和()2f x +，∴要试图让x 与2x +互为相反数，即20x x ++=， ∴1x =-，∴只需令1x =-，得(1)(1)f f -=-，∵()f x 是偶函数，∴(1)(1)f f -=， ∴()10f =．进一步可得(21)0f k k +=∈Z ，．同类型问题见例6⑶．【例6】 ⑴设函数()f x 的定义域为R ，对任意1x ，2x ∈R ，恒有1212()()()f x x f x f x +=+成立．则 ()f x 是 （指明函数的奇偶性）．⑵设函数()y f x =(R x ∈且0x ≠）对任意非零实数12x x ，满足1212()()()f x x f x f x ⋅=+，则函数()y f x =是________（指明函数的奇偶性）．⑶已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有(1)(1)()xf x x f x +=+，则52f ⎛⎫⎪⎝⎭的值是（ ）A ．0B ．12C ．1D ．52【解析】 ⑴ 奇函数．⑵ 偶函数． ⑶ A ．考点6：抽象函数的单调性【铺垫】定义在R 上的函数()f x 同时满足下列条件：①对任意x ，y R ∈恒有()()()f x y f x f y +=+；②当0x >时，()0f x <． ⑴ 求证：()f x 在R 上为减函数．⑵ 若(1)2f =-，求()f x 在[24]-，上的最大值和最小值．【解析】 ⑴ 令y x =-，则由已知()()()f x y f x f y +=+，∴()()()f x x f x f x -=+-，即(0)()()f f x f x =+-①，又由已知(0)()(0)f x f x f +=+，解得：(0)0f =， ∴代入①式得：()()f x f x =--，∴()f x 为奇函数．设12x x >，则120x x ->，∴121212()()()()()f x f x f x f x f x x -=+-=-∵当0x >时，()0f x <，∴由120x x ->可知，12()0f x x -<， ∴当12x x >时，有12()()f x f x <， 所以函数()f x 在R 上为减函数．（本小题也可以不推导函数的奇偶性，直接得到单调性，通过12x y x x x +==，得到：212x x y x x ==-，，可以得到12()()f x f x -，技巧性稍强一些）⑵ ()f x 在区间[]24-，上的最大值是(2)4f -=，最小值为(4)8f =-．【例7】 已知定义域为R 的函数()y g x =满足：对任意a b ∈，R ，都有()()()g a b g a g b +=⋅，且对任意0x >，()1g x >． ⑴ 求(0)g 的值；⑵ 证明0x <时，0()1g x <<，且函数()y g x =在R 上是增函数．【解析】 ⑴ (0)1g =；⑵ 当0x <时，0x ->，()1g x ->，又()()(0)10()1g x g x g g x ⋅-==⇒<<．故任意x ∈R ，()0g x >． 法一：设12x x ，为R 上任意两个实数，且12x x <，则120x x -<，()121g x x -<．()()()()()()12122212210g x g x g x x x g x g x x g x -=-+-=--⋅<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 故()g x 为R 上的增函数． 也可通过()()()()()122112221g x x x g x g x x g x g x -+⎡⎤⎣⎦==-<，2()0g x >得到12()()g x g x <．【拓展】已知函数()f x 在(11),-上有定义，当且仅当01x <<时，()0f x <，且对任意()11x y ∈-，，都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭．⑴ 证明()f x 为奇函数；⑵ 判断()f x 在()11-，上的增减性，并证明你的结论； ⑶ 解不等式2(54)()f x f x ->．【解析】 ⑴ 由于()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，设0x y ==，则2(0)(0)f f =，解得：(0)0f =，设y x =-，则()()(0)f x f x f +-=，∴()()0f x f x +-=，∴()f x 为奇函数．⑵ 设1211x x -<<<，则12121212()()()()1x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⋅⎝⎭，由120x x -<，且1211x x -<⋅<，∴1210x x -⋅>，∴121201x xx x -<-⋅，由121201x xx x -<-⋅，可继续验证， 由1212121221121212121(1)(1)(1)11111x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---+-⋅-+--=+==-⋅-⋅-⋅-⋅由1210x x -⋅>，且210x ->，110x +>， ∴2112(1)(1)01x x x x -+>-⋅，即121211x x x x ->--⋅． ∴1212101x x x x --<<-⋅． ∵当01x <<时，()0f x <，且()f x 为奇函数， ∴当10x -<<时，()()0f x f x =-->．∴121201x x f x x ⎛⎫-> ⎪-⋅⎝⎭，即12()()0f x f x ->，∴当1211x x -<<<时，12()()0f x f x ->，∴()f x 在()11-，上为单调减函数． ⑶ 315x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．38设()f x 是偶函数，且在[0)+∞，上单调，则满足3()4x f x f x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭的所有x 之和为（ ） A ．3- B ．3 C ．8- D ．8【解析】 C由()f x 为偶函数知3()4x f x f x ⎛+⎫= ⎪+⎝⎭⇒34x x x +=+， 若34x x x +=+，即2330x x +-=有解，且两根之和为3-． 若34x x x +-=+，即2530x x ++=，有解，且两根之和为5-． 故总和为8-．【演练1】函数1()1g x bx =+在区间(2)+∞，上单调递增，则实数b 的取值范围是______． 【解析】 12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，；【演练2】定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)2()f x f x =-，1(1)2f -=，则(2)f 的值为（ ） A ．1- B ．2- C ．2 D ．1【解析】 D【演练3】 定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意1x ，[)20x ∈+∞，12()x x ≠，有2121()()0f x f x x x ->- 成立，试比较(2012)f -，(2010)f ，(2011)f 的大小．【解析】 (2012)(2011)(2010)f f f ->>．【演练4】设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞，， B ．(1)(01)-∞-，， C ．(1)(1)-∞-+∞，， D ．(10)(01)-，， 【解析】D【演练5】已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a 、b ∈R 都满足()()()f a b af b bf a ⋅=+．⑴ 求(0)f ，(1)f 的值；⑵ 判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论．实战演练39 【解析】 ⑴ (0)0f =，(1)0f =．⑵ ()f x 是奇函数．证明：2(1)[(1)](1)(1)0f f f f =-=----=，所以(1)0f -=， ()(1)()(1)()f x f x f x xf f x -=-⋅=-+-=-．故()f x 是奇函数．1．设x ，y 为实数，且满足33(1)2013(1)1(1)2013(1)1x x y y ⎧-+-=-⎪⎨-+-=⎪⎩，则x y +=________． 【分析】 注意到式子3(1)2013(1)x x -+-与式子3(1)2013(1)y y -+-的结构相同，因此想到3()2013f t t t =+的性质，使问题获解．【解析】 2；原方程组化为33(1)2013(1)1(1)2013(1)1x x y y ⎧-+-=-⎪⎨-+-=-⎪⎩，，因为3()2013f t t t =+在()-∞+∞，上单调递增， 又(1)(1)f x f y -=-，所以11x y -=-，即2x y +=．2．已知x y ∈R ，满足：55(3)40x y x x y ++++=，则4x y +=______．【解析】 0；∵55(3)40x y x x y ++++=，∴55(3)30x y x x y x +++++=． 令5()f t t t =+，则()f t 为奇函数，且在R 上单调递增， 又(3)()0f x y f x ++=，故(3)()()f x y f x f x +=-=-，故3x y x +=-， 从而40x y +=．大千世界。
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基础数学中函数的单调性和奇偶性是重要的一方面内容
在所有的课程中间，数学贯穿了整个学习生涯，对于学生学习数学知识，要培养学生对数学应用价值的意识，能解决简单的实际问题。
数学有助于学生理解现实生活中的数的意义，引导学生培养估算能力。
下面就讲一下在实际教学过程中比较典型的知识点，给大家讲解一下。
一、反函数
1、反函数性质：
（1）图象关于直线y=x对称；
（2）在相应区间上单调性一致；
2、求反函数步骤：
（1）反解：把y=f(x)看作是x的方程，解出x=f（y）;
(2)互换：将x,y互换得y=f（x）,注明其定义域（即原函数的值域）。
二、单调性
1、单调性的判断
2、单调区间的确定
3、参数取值范围的求解
（一）单调性
函数的单调区间与单调性的判定方法：
（1）定义法
任取x1，x2∈D，且x1<x2;作差f（x1）-f（x2）；变形(通常是因式分解和配方)；定号（即判断差f（x1）-f（x2）的正负）；
（2）图象法
（3）导数法
（4）同增异减法
函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间合在一起写成并集。
复合函数的单调性
复合函数f(g(x))的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(x）的单调
性密切相关，其规律：同增异减。
注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集。
三、奇偶性
一般地，对于函数f(x)
（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立，那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
说明：①奇、偶性是函数的整体性质，对整个定义域而言
②奇、偶函数的定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不是奇（或偶）函数。
（分析：判断函数的奇偶性，首先是检验其定义域是否关于原点对称，然后再严格按照奇、偶性的定义经过化简、整理、再与f(x)比较得出结论）
③判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是函数的定义。
奇偶函数图象的特征：
定理奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形。
设f(x)为奇函数等价于f(x)的图像关于原点对称
则点（x,y）→（-x,-y）
因为偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上是单调递减。
奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递
增。
附：需要注意的是奇偶函数的定义域肯定是对称的，例如区间为（-2,2）。
但函数就是不一定对称的。