空间向量及其运算知识总结

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空间向量知识点总结公式

空间向量知识点总结公式一、空间向量的定义在三维空间中，空间向量通常用坐标表示，其中一个点P的坐标为（x，y，z），另一个点Q的坐标为（a，b，c），那么PQ的空间向量为向量（a-x，b-y，c-z）。

二、空间向量的运算1. 空间向量的加法运算若有两个向量A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的和为C（a1+a2，b1+b2，c1+c2）。

2. 空间向量的减法运算若有两个向量A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的差为C（a1-a2，b1-b2，c1-c2）。

3. 空间向量的数乘运算若有一个向量A（a，b，c），一个实数k，则kA为（ka，kb，kc）。

4. 空间向量的数量积数量积指两个向量的数量乘积，设A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的数量积为a1a2+b1b2+c1c2。

5. 空间向量的向量积向量积又称为叉积，设A（a1，b1，c1）和B（a2，b2，c2），则它们的向量积为（b1c2-c1b2，c1a2-a1c2，a1b2-b1a2）。

6. 空间向量的混合积定义为A·（B×C），其中A、B、C分别为三个向量，其中A·表示数量积，B×C表示向量积。

三、空间向量的坐标表示空间向量通常有两种常见的表示方法，即点坐标表示和参数方程表示。

1. 点坐标表示点坐标表示指的是根据两个点的坐标来表示一条向量。

设两点P（x1，y1，z1）和Q（x2，y2，z2），则以P为起点Q为终点的向量为（x2-x1，y2-y1，z2-z1）。

2. 参数方程表示参数方程表示指的是以一个点为起点，以一个方向向量为方向，通过参数t来表示。

设点P（x0，y0，z0）是向量的起点，向量v=（a，b，c）是方向向量，那么向量的参数方程为X=x0+at，Y=y0+bt，Z=z0+ct。

四、空间向量的应用1. 物理学中的运动学在物理学中，空间向量常常用于描述物体在三维空间中的运动和位置，如速度、加速度等。

空间向量知识点归纳总结

空间向量知识点归纳总结空间向量是高中数学中的一个重要概念，出现在向量代数、几何问题、解析几何以及线性代数等多个数学分支中。

下面是空间向量知识点的归纳总结：1.空间向量的定义：空间向量是具有大小和方向的量，它可以用有序三元数组表示，例如(a,b,c)。

2.空间向量的运算：(1)向量加法：两个向量相加得到一个新的向量，加法满足交换律和结合律。

(2)向量数乘：一个向量与一个实数相乘得到一个新的向量，数乘满足分配律。

(3)内积：两个向量的内积是一个实数，可以用数量积的公式计算。

(4)外积：两个向量的外积是一个向量，可以用矢量积的公式计算。

3.空间向量的基本性质：(1)零向量：长度为零的向量，与任何向量的加法的结果都是原向量本身。

(2)单位向量：长度为1的向量，可以用一个非零向量除以其长度得到。

(3)向量的长度：向量的长度定义为该向量的模。

(4)向量的方向：向量的方向可以用与该向量共线的单位向量表示。

4.空间向量的共线与异面：(1)两个向量共线意味着它们的方向相同或者相反。

(2)三个向量共面意味着它们位于同一个平面上。

(3)两个向量异面意味着它们不共线，且它们所在的直线与另外一个直线垂直。

5.空间向量的投影：(1)向量在一些方向上的投影是一个标量，可以用点积的公式计算。

(2)向量在一些方向上的单位向量是该方向的基向量。

(3)向量在一些方向上的分量是该方向的基向量的数乘。

6.空间向量的表示：(1)分解：一个向量可以表示为它在不同方向上的分量的和。

(2)基底：一个空间中的向量可以表示为基底向量的线性组合。

(3)坐标：一个向量可以用它在基底向量上的投影的值表示。

7.空间向量的几何意义：(1)位移向量：两点之间的位移可以用一个向量表示。

(2)向量的数量积：两个向量的数量积等于一个向量在另一个向量的方向上的投影乘以另一个向量的长度。

(3)向量的矢量积：两个向量的矢量积的大小等于这两个向量张成的平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所在平面。

空间向量的知识点总结

空间向量的知识点总结空间向量是指空间中的一条具有方向和大小的有向线段，在数学上通常表示为箭头上有一个加粗的字母来表示。

一、空间向量的概念空间向量是指具有方向和大小的有向线段，它是向量的一种特殊形式。

它与平面向量类似，但是空间向量不仅有大小和方向，而且还有位置。

空间向量可以用某个点P到另一个点Q的有向线段来表示，表示为PQ→。

空间向量的大小可以通过计算两点之间的距离来得到，而它的方向可以通过计算两个点之间的夹角来得到。

二、空间向量的基本运算1、空间向量的加法设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，那么 a+b = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。

这表示a+b等于a与b的x、y、z分量分别相加得到的结果。

2、空间向量的数乘设空间向量a=(x,y,z)，k为实数，则ka=(kx,ky,kz)。

这表示空间向量a的每个分量都乘以k得到的结果。

3、空间向量的减法空间向量的减法定义为a-b=a+(-b)，即对b取反再进行加法操作。

4、空间向量的数量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a·b = x1x2+y1y2+z1z2。

这表示a·b等于a与b的x、y、z分量分别相乘并求和的结果。

5、空间向量的向量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a×b = (y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)。

这表示a×b等于a与b按照右手定则进行叉乘得到的结果。

三、空间向量的坐标表示空间向量可以用坐标表示。

设点A(a1,a2,a3)和点B(b1,b2,b3)，则AB向量可以表示为AB=(b1-a1,b2-a2,b3-a3)。

四、空间向量的运算律1、给定三个空间向量a，b，c，则有以下运算律：（1）加法交换律：a+b = b+a（2）加法结合律：(a+b)+c = a+(b+c)（3）数乘结合律：k(la) = (kl)a（4）分配律：k(a+b) = ka+kb2、空间向量的数量积定理给定三个空间向量a，b，c以及实数k，则有以下数量积定理：（1）数量积交换律：a·b = b·a（2）数量积结合律：a·(b+c) = a·b+a·c（3）数量积与数乘结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)（4）对于a≠0，b≠0，有a·b=|a|·|b|·cosθ，其中|a|表示a的大小，θ表示a与b的夹角。

空间向量及其运算

空间向量及其运算知识梳理1．空间向量在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的长度或模．2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c.3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos<a，b>.(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)．②交换律：a·b＝b·a.③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).例题精讲例1、下面向量中，与向量＝（0，1，1），＝（1，0，1）共面的向量是（B）A．＝（1，1，0）B．＝（1，﹣1，0）C．＝（1，0，0）D．＝（1，0，﹣1）例2、已知＝（1，m，2），＝（n，1，﹣2），若＝λ，则实数m，n的值分别为（A）A．﹣1，﹣1B．1，﹣1C．﹣1，1D．1，1例3、如图，在棱长均相等的四面体O﹣ABC中，点D为AB的中点，，设，，，则向量用向量表示为（D）A．B．C．D．例4、长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，高为2，M，N分别是四边形BB1C1C和正方形A1B1C1D1的中心，则向量与的夹角的余弦值是（B）A．B．C．D．例5、如图，正四面体ABCD的棱长为1，点E是棱CD的中点，则•＝练习：1、已知空间向量＝（0，1，﹣1），＝（1，﹣3，1），则|+|等于（）A．B．2C．D．12、已知＝（2，﹣1，2），＝（﹣4，2，x），且∥，则x＝（）A．5B．4C．﹣4D．﹣53、已知A（﹣4，2，3）关于xOz平面的对称点为A1，若B（6，﹣4，﹣1），线段AB的中点为M，则|A1M|等于（）A．B．3C．2D．64、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P是MN的中点，设＝，＝，＝，用，，表示，则（）A．＝++B．＝++C．＝++D．＝++5、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点（Q靠近点M），则用向量，，表示，正确的是（）A．＝B．＝+C．＝+D．＝+6、若向量＝（3，2，x），＝（1，0，2），＝（1，﹣1，4）满足条件（﹣）⊥，则实数x的值为（）A．﹣1B．2C．3D．47、对于空间任意一点O和不共线得三点A、B、C，有如下关系：＝，则（）A．四点O、A、B、C必共面B．四点P、A、B、C必共面C．四点O、P、B、C必共面D．五点O、P、A、B，C必共面8、若向量，，，则实数z的值为（）A．B．2C．D．±29、已知向量＝（2，4，5），＝（3，x，y），分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝15C．x＝，y＝D．x＝6，y＝10、如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1，B1D1的交点．若＝，＝，＝，则向量＝（）A．﹣++B．C．﹣﹣+D．﹣+ 11、已知空间向量，如＝（2x+1，3x，0），＝（1，y，y﹣3）（x，y∈R）果存在实数λ使得＝λ成立，则x+y＝．12、已知＝（，﹣1，0），＝（k，0，1），，的夹角为60°，则k＝．13、在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，0），B（x，3，﹣1），C（4，y，2），若A，B，C三点共线，则x+y＝．14、已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，2），＝（x，﹣1，2），若，，是共面向量，则x＝．15、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若点O是底面正方形A1B1C1D1的中心，且，则x+y+z＝．16、点A（1，2，1），B（3，3，2），C（λ+1，4，3），若的夹角为锐角，则λ的取值范围为．答案：1、A 2、C 3、A 4、D 5、A 6、C 7、B 8、C 9、D 10、A 11、2 12、﹣14、-2 15、2 16、（﹣2，4）13、∪（4，+∞）。

空间向量相关知识点总结

空间向量相关知识点总结一、空间向量的定义和基本概念1. 空间向量的定义空间向量是指在三维空间中的一种特殊的向量，它可以用有向线段表示，也可以用坐标表示。

空间向量具有大小和方向，是空间中的一个几何概念。

2. 空间向量的基本概念（1）长度：空间向量的长度也称为模，它表示向量的大小，一般用|AB|表示，其中A和B分别表示向量的起点和终点。

（2）方向：空间向量的方向是指向量的指向，可以用一组坐标表示，也可以用夹角表示。

（3）共线：如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是共线的。

（4）共面：如果三个向量在同一个平面内，则它们是共面的。

二、空间向量的运算1. 空间向量的加减法（1）几何法：向量的加法就是将两个向量的起点相接，然后将两个向量的终点相连，新的向量就是两个向量的和向量；向量的减法就是将减数的起点和被减数的终点相接，然后将减数的终点和被减数的起点相连，新的向量就是两个向量的差向量。

（2）坐标法：向量的加减法也可以用坐标表示，对应坐标相加或者相减即可。

2. 数乘向量的数乘即将向量与一个常数相乘，结果是一个新的向量，其大小是原向量的模与常数的乘积，方向与原向量的方向一致（如果是负数，则方向相反）。

3. 空间向量的数量积和向量积（1）数量积：也称为点积或内积，即将两个向量的对应坐标相乘再相加，结果是一个标量。

（2）向量积：也称为叉积或外积，即将两个向量的叉乘结果是一个新的向量，其大小是原向量所构成的平行四边形的面积，方向垂直于原向量所构成的平面。

三、空间向量的几何应用1. 向量的方向余弦（1）定义：设向量a=(x, y, z)，则a的方向余弦分别为l=x/|a|，m=y/|a|，n=z/|a|，它们互为方向余弦。

（2）性质：方向余弦l、m、n满足l²+m²+n²=1。

（3）应用：方向余弦可用于求向量的夹角、判断向量的共线性等。

2. 向量的投影（1）定义：设向量a和b不共线，a在b上的投影为向量a在b方向上的分量，记为prj_b a。

空间向量知识点总结

空间向量知识点总结空间向量是三维空间中表示物体位置、方向和大小的一种向量形式。

它利用向量的数学概念和运算规则，将物体的位置和方向抽象为有序数组，使得在三维空间中进行运算和分析更加简便。

在几何学、物理学、工程学等领域中，空间向量被广泛应用。

本文将对空间向量的基本概念、运算法则以及应用进行总结。

一、空间向量的定义与表示空间向量是指在三维空间中有长度和方向的向量。

它可以用有序的三个数表示，分别表示向量在x、y、z轴上的分量。

通常表示为：A = xi + yj + zk其中，A为向量名称，xi、yj、zk分别为向量的x、y、z轴分量。

二、空间向量的运算法则1. 加法和减法：两个空间向量的加法和减法运算由各个分量相加或相减得到，分别表示为：A +B = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)kA -B = (Ax - Bx)i + (Ay - By)j + (Az - Bz)k2. 数量积：数量积也称为点积或内积，表示为A·B，计算公式为：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别为A和B的模长，θ为A和B之间的夹角。

3. 向量积：向量积也称为叉积或外积，表示为A×B，计算公式为：A×B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - AxBz)j + (AxBy - AyBx)k向量积的结果是一个新的向量，其方向垂直于A和B所在平面。

三、空间向量的应用1. 几何关系分析：空间向量可以用于分析几何关系，如判断两个向量的夹角、判断两个向量是否平行或垂直等。

通过计算向量的点积和模长，可以快速判断向量之间的关系。

2. 力学问题：空间向量在力学中有着广泛的应用，可以用于计算力的合成、分解，求解物体的平衡条件等。

通过将力向量进行分解和合成，可以简化力学问题的计算。

3. 电磁学问题：空间向量在电磁学中也有重要的应用。

电场和磁场可以用向量形式表示，通过计算向量积和数量积，可以求解场强、电流、电压等物理量。

空间向量及其运算知识总结

空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a AB OA OB +=+=;b a OB OA BA -=-=;)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A '''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .要注意其中对向量a的非零要求． 5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．6．共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t OA OP +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量. 空间直线的向量参数表示式：t OA OP +=a或)(OA OB t OA OP -+=OB t OA t +-=)1(，中点公式．)(21OB OA OP +=7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作O A a = ，如果直线O A 平行于α或在α内，那么我们说向量a平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面M A B 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使M P x M A y M B =+①或对空间任一点O ，有O P O M x M A y M B =++②或,(1)O P xO A yO B zO M x y z =++++=③上面①式叫做平面M A B 的向量表达式9 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使O P xO A yO B zO C =++10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.11．向量的模：设O A a = ，则有向线段O A 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a.12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||c o s ,a b a b ⋅⋅<> 叫做,a b的数量积，记作a b ⋅ ，即a b ⋅= ||||c o s ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a = 和轴l ，e是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B '' 叫做向量AB 在轴l 上或在e上的正射影. 可以证明A B '' 的长度||||c o s ,|A B A B a e a e''=<>=⋅． 13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅= ．（3） 2||a a a =⋅．14．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅ （交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）空间向量的直角坐标及其运算1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1基底，用{,,}i j k表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zO x 平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使O A xi yj z k =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．常见坐标系①正方体如图所示，正方体''''A B C D A B C D -的棱长为a ，一般选择点D 为原点，D A 、D C 、'D D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则各点坐标为亦可选A 点为原点.在长方体中建立空间直角坐标系与之类似. ②正四面体如图所示，正四面体A B C D -的棱长为a ，一般选择A 在B C D ∆上的射影为原点，O C 、O D （或O B ）、O A 所在直线分别为x 轴、y轴、z 轴建立C空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为③正四棱锥如图所示，正四棱锥P A B C D -的棱长为a ，一般选择点P 在平面A B C D 的射影为原点，O A （或O C ）、O B （或O D ）、O P 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为④正三棱柱如图所示，正三棱柱 '''A B C A B C -的底面边长为a ，高为h ，一般选择A C 中点为原点，O C （或O A ）、O B 、O E （E 为O 在''A C 上的射影）所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++ ， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈ ， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，则||a ==||b == ．5．夹角公式：cos ||||a ba b a b ⋅⋅==⋅ ．6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则||AB ==，或,A B d = 空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 确定直线A B 的方向向量是212121(,,)AB x x y y z z =---.平面法向量如果a α⊥ ，那么向量a叫做平面α的法向量. 二、证明平行问题1．证明线线平行：证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈或312123//a a aa b b b b ⇔== .2.证明线面平行直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若a n ⊥ 即0a n ⋅= 则//a α. 3.证明面面平行平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12//n n 即12n n λ=则//αβ.三、证明垂直问题 1．证明线线垂直证明两直线垂直可用1122330a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=++=2．证明线面垂直x y直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若//a n 即a n λ= 则a α⊥. 3.证明面面垂直平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12n n ⊥ 即120n n ⋅= 则αβ⊥.四、夹角1．求线线夹角设123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，(0,90]θ∈︒︒为一面直线所成角，则：||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>；cos ,||||a ba b a b ⋅<>==⋅；cos |cos ,|a b θ=<> . 2．求线面夹角如图，已知P A 为平面α的一条斜线，n为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线P O ，连结O A 则P A O ∠为斜线P A 和平面α所成的角，记为θ易得sin |sin(,)|2O P A P πθ=-<> |cos ,|O P A P =<>|cos ,|n A P =<> |cos ,|n PA =<> ||||||n P A n P A ⋅=. 3．求面面夹角设1n 、2n 分别是二面角两个半平面α、β的法向量，当法向量1n 、2n同时指向二面角内或二面角外时，二面角θ的大小为12,n n π-<>；当法向量1n 、2n 一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角θ的大小为12,n n <>.五、距离1．求点点距离设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z，,A B d =||AB ==2．求点面距离如图，A 为平面α任一点，已知P A 为平面α的一条斜线，n为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线P O ，连结O A 则P A O ∠为斜线P A 和平面α所成的角，记为θ易得||||sin |||cos ,|PO PA PA PA n θ=⋅=⋅<> ||||||||PA n PA PA n ⋅=⋅⋅||||P A n n ⋅= . 3．求线线距离求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.如图，设两条异面直线a 、b 的公垂线的方向向量为n , 这时分别在a 、b 上任取A 、B 两点，则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a 、b 的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线a 、b 的距离||||||||n AB n d AB n n ⋅=⋅= .4．求线面距离一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离. 5.求面面距离和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离. 平面和平面间的距离可转化为求点到平面的距离.。

空间向量(知识点梳理)

-@>% )一空间向量的概念1.空间向量的有关概念及线性运算(1)空间向量的定义:在空间内具有大小和方向的量叫作空间向量.(2)空间向量的表示:空间向量可用有向线段来表示.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫作零向量.(4)空间向量的模(或长度):表示空间向量的有向线段的长度叫作向量的模(或长度).(5)共线向量(或平行向量):基线互相平行或重合的向量叫作共线向量(或平行向量).(6)共面向量:向量所在的直线与平面平行或在平面内,称向量与平面平行,平行于同一平面的向量叫作共面向量.(7)空间向量的加法㊁减法㊁数乘向量运算的定义㊁92.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间向量aң,bң(bңʂ0ң),aңʊbң的充要条件是存在实数k,使aң=k bң.推论:①对于空间任一点O,点P在直线A B上的充要条件是存在实数t,使O Pң=(1-t)O Aң+t O Bң或O Pң=xO Aң+y O Bң(其中x+y=1).②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量aң的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足关系式O Pң=O Aң+t aң,该方程称为直线方程的向量表达式.(2)共面向量定理:如果两个向量aң,bң不共线,则向量cң与向量aң,bң共面的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使cң=x aң+y bң.推论:空间一点P位于平面A B C内的充要条件是:存在有序实数对x,y,使C Pң=xC Aң+y C Bң,或对空间任一定点O,有O Pң=O Cң+xC Aң+y C Bң,该式称为平面C A B的向量表示式.(3)空间向量分解定理:如果三个向量aң,bң,cң不共面,那么对于空间任意一个向量pң,存在唯一的有序实数组x,y,z,使pң=x aң+y bң+z cң.其中不共面的三个向量aң,bң,cң叫作空间的一个基底,每一个向量aң,bң,cң叫8作基向量.3.空间向量的数量积(1)两个向量的夹角:对于两个非零向量aң,bң,在空间任取一点O,作O Aң=aң,O Bң=bң,则øA O B叫作向量aң,bң的夹角,记作<aң,bң>.注意:两个向量的夹角的取值范围是:0ɤ<aң,bң>ɤπ.(2)两个向量的数量积的定义:aң㊃bң=|aң||bң|㊃c o s<aң,bң>.二空间向量的坐标运算若向量aң=(a1,a2,a3),bң=(b1,b2,b3),则有:(1)aң+bң=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)aң-bң=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3)λaң=(λa1,λa2,λa3);(4)aң㊃bң=a1b1+a2b2+a3b3;(5)距离公式:|aң|=aң2=a21+a22+a23;(6)夹角公式:c o s<aң,bң>=a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23㊃b21+b22+b23;9(7)aңʊbң(bңʂ0ң)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λɪR)或aңʊbң(bң与三条坐标轴都不平行)⇔a1b1=a2b2=a3b3;(8)aңʅbң⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.三利用空间向量证明空间中的位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:基线和直线平行的向量叫作这条直线的方向向量.(2)平面的法向量:基线和平面垂直的向量叫作这个平面的法向量.2.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)证明直线与直线平行的方法是:若直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,则l1ʊl2⇔vң1ʊvң2.(2)证明直线与平面平行的方法有两种:若直线l 的方向向量为vң,平面α内的两个不共线向量是vң1和vң2,平面α的法向量为nң,则有:①lʊα⇔存在实数x,y,使vң=x vң1+y vң2;②lʊα⇔vңʅnң.(3)证明平面与平面平行的方法是将其转化为直线与直线平行或直线与平面平行,然后利用向量方法证明.也可以用如下方法:若平面α和β的法向量分别为nң1和0010 n ң2,则αʊβ⇔n ң1ʊn ң2.(4)证明直线与直线垂直的方法是:若直线l 1和l 2的方向向量分别为v ң1和v ң2,则l 1ʅl 2⇔v ң1ʅv ң2.(5)证明直线与平面垂直的方法是:若直线l 的方向向量为v ң,平面α的法向量为n ң,则l ʅα⇔v ңʊn ң.(6)证明平面与平面垂直的方法是:若平面α和β的法向量分别为n ң1和n ң2,则αʅβ⇔n ң1ʅn ң2.四利用空间向量求空间角1.有关角的概念(1)空间角主要包括两条异面直线所成的角㊁直线与平面所成的角㊁二面角.(2)斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫作斜线和平面所成的角.规定:若一条直线与一个平面平行或在平面内,则这条直线和平面所成的角为0;若一条直线与一个平面垂直,则这条直线和平面所成的角为π2.因此,斜线和平面所成的角的范围是0,π2();直线和平面所成的角的范围是0,π2[].(3)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,在两个半平面内分别作射线O Aʅl,O Bʅl,则øA O B叫作二面角α-l-β的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角,互相垂直的两个平面相交所形成的二面角就是直二面角.二面角的取值范围是[0,π].(4)最小角原理:斜线和平面所成的角,是斜线和这个平面所有直线所成角中的最小的角.(5)从角的顶点出发的一条直线,如果它和这个角的两条边所成的角相等,那么它在这个角所在平面内的射影是这个角的平分线.这个结论常用于确定一条直线在一个平面内的射影.(6)利用射影面积公式:S'=S㊃c o sθ,也可以求一些二面角的大小.2.利用空间向量求空间角的方法(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,它们所成的角为θ,则c o sθ=|c o s<vң1,vң2>|.(2)利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种办法:一是分别求出直线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补02(3)利用空间向量方法求二面角,也有两种办法:一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求:设二面角的两个面的法向量分别为nң1和nң2,则二面角的大小等于<nң1,nң2>(或π-<nң1,nң2>).五利用空间向量求点到平面的距离1.定义一个点到它在一个平面内的正射影的距离叫作这个点到平面的距离.2.求法一是根据定义,按照作(或找) 证求的步骤求解;二是利用空间向量,首先求出平面的单位法向量nң0,再任意找一个从该点出发的平面的斜线段对应的向量vң,则点到平面的距离为d=|nң0㊃vң|.10。

空间向量及其运算知识总结

，，，，，．（2）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
4
模长公式：若，，则，或
空间向量应用
一、直线的方向向量
把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由与确定直线的方向向量是.
角坐标系，则各点坐标为
A B C D P O x y z
④正三棱柱：如图所示，正三棱柱的底面边长为，高为，一般选
择中点为原点，（或）、、（为在上的射影）所在直线分别为轴、轴、
轴建立空间直角坐标系，则各点坐标为
3．空间向量的直角坐标运算律：
（1）若，，则
B'
C' A' C A B x y z O E
平面法向量如果，那么向量叫做平面
的法向量.
二、证明平行问题
1．线线平行：证明两直线平行可用或.
2.线面平行：直线的方向向量为，平面的法向量为，且，若即则.
3.面面平行：平面的法向量为，平面的法向量为，若即则.
三、证明垂直问题
1．线线垂直：证明两直线垂直可用
2．线面垂直：直线的方向向量为，平面的法向量为，且，若即则.
3.面面垂直：平面的法向量为，平面的法向量为，若即则.
四、求夹角
1．线线夹角：设为一面直线所成角，则：；
；.
2．线面夹角：如图，已知为平面的一条斜线，为平面的一个法向量，过作平面的垂线，连结则为斜
线和平面所成的角，记为易得
n O P A α θ
.
3．面面夹角：设、分别是二面角两个半平面、的法向量，
已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影. 可以证明的长度． 13．空间向量数量积的性质：（1）．（2）．（3）． 14．空间向量数量积运算律：（1）．（2）（交换律）．

空间向量的运算

空间向量的运算空间向量是指具有大小和方向的量，它常用箭头表示。

在立体几何中，空间向量具有重要作用，可以用来描述物体的位移、速度、加速度等。

本文将对空间向量的运算及其与立体几何的关系进行总结，包括向量的加法、减法、数量乘法、内积、外积等运算。

1.向量的加法和减法向量的加法和减法是指将两个向量按照相应的运算规则相加或相减的操作。

设有向量a(x1,y1,z1)和向量b(x2,y2,z2)，则它们的加法和减法运算规则为：a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)这些运算规则与平面向量的运算规则相同，只是在三维空间中进行。

2.向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数的操作。

设有向量a(x,y,z)和实数k，它们的数量乘法运算规则为：ka = (kx, ky, kz)这表示向量a的大小被k倍放大或缩小，方向不变（如果k为负数，则方向相反）。

3.向量的内积向量的内积是指将两个向量进行数量上的乘法运算。

设有向量a(x1,y1,z1)和向量b(x2,y2,z2)，它们的内积运算规则为：a·b=x1x2+y1y2+z1z2内积的结果是一个实数，表示两个向量之间的夹角余弦值乘以它们的大小之积。

内积还可以用几何方法来计算。

设向量a和b的夹角为θ，a的大小为，a，b的大小为，b，则有以下关系式：a·b = ，a，b，cosθ4.向量的外积向量的外积是指将两个向量进行叉乘运算，得到一个新的向量。

设有向量a(x1,y1,z1)和向量b(x2,y2,z2)，它们的外积运算规则为：a×b=(y1z2-z1y2,z1x2-x1z2,x1y2-y1x2)外积的结果是一个新的向量，它垂直于原来两个向量所在的平面，并符合右手定则。

外积运算还有以下性质：-，a × b， = ，a，b，sinθ，其中θ是向量a和b之间的夹角。

-a×b=-b×a5.空间直线和平面的向量表示在立体几何中，直线和平面是两个重要的几何概念。

空间向量知识点归纳总结

空间向量知识点归纳总结空间向量是代数矢量的一种推广，它在三维空间中表示具有大小和方向的物理量。

在学习空间向量时，需要了解以下几个方面的内容：一、空间向量的表示1.平行四边形法则和三角形法则：空间向量可以用平行四边形法则或者三角形法则进行表示。

2.分解和合成：空间向量可以通过分解成两个或多个分量向量，或者合成两个或多个向量得到。

二、空间向量的基本运算1.加法：两个空间向量相加的结果是一个新的空间向量。

向量相加满足交换律和结合律。

2.减法：可以将减法转化为加法来处理。

即将减法转化为加上一个相反向量。

3.数乘：空间向量与一个实数相乘，结果是一个新的空间向量。

三、空间向量的数学性质1.零向量：长度为0的向量称为零向量。

零向量与其他向量的加法运算结果均为其本身。

2.负向量：与一个向量大小相等，方向相反的向量称为其负向量。

3.平行向量和共线向量：如果两个向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行。

如果两个向量共线，则它们是平行的特殊情况。

4.零向量的唯一性：零向量是唯一的，任何两个非零向量的和不可能是零向量。

5.向量共点的充分必要条件：三个向量共点的充分必要条件是其中两个向量的线性组合等于第三个向量。

四、空间向量的数量乘积1.内积（点积）：两个向量的点积是一个实数，定义为两个向量的模的乘积与其夹角的余弦的乘积。

2.内积的性质：内积具有交换律、结合律、分配律等性质。

3.向量的模与内积之间的关系：向量的模可以通过内积来计算，即向量的模的平方等于它与自身的内积。

4.直角和斜角的判别定理：两个非零向量正交（垂直）的充分必要条件是它们的内积为零。

五、空间向量的向量乘积1.外积（叉积）：两个向量的叉积是一个新的向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形。

2.外积的性质：外积具有反交换律和结合律，但不满足交换律和分配律。

3.向量乘积的模与夹角之间的关系：向量的模可以通过外积和向量夹角的正弦来计算。

空间向量及其运算知识点总结

空间向量及其运算知识点总结空间向量及其运算是一个数学领域的重要知识点，涉及到向量理论在三维空间中的应用，包括向量的表示、运算、分解和向量间的关系等。

以下是对该知识点的总结：一、基本概念1. 向量：在空间中，向量是由大小和方向组成的物理量，可以用有向线段来表示。

2. 向量加法：两个向量和差运算的几何实现是平行四边形。

3. 向量减法：两个向量被同一个向量所连接。

4. 向量数乘：数与向量的乘法是数乘向量的一种方式。

5. 向量的模：向量的长度或大小称为向量的模。

二、基本运算法则1. 平行四边形法则：两个向量的加法可以扩展到多个向量。

2. 三角形法则：对于两个不能直接相加的向量，可以先将其分解为若干个互相平行或垂直的向量，再对这些向量进行加法运算。

3. 数乘结果：数乘向量时，不改变方向。

4. 向量的分解：一个向量可以通过添加一组垂直的单位向量来分解成若干个互相垂直的单位向量。

三、向量的分解与表示对于空间中的每一个点，都存在一组与之垂直的单位向量，可以通过这个单位向量来将该点表示为其他点的线性组合。

对于平面上任意的非零点，都存在唯一的一组平行于坐标轴的单位基底和数量因子，使得点在坐标轴上的投影可以用基底和数量因子的线性组合来表示。

四、空间向量的数量积空间向量的数量积是一个重要的概念，它表示的是两个向量对应坐标的乘积的标量结果。

空间向量的数量积具有一些重要的性质，如它是一个实数，它与向量的方向无关等。

五、空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示是空间向量的基本运算之一，可以将空间向量用一组有序实数来表示，从而方便了对空间向量的各种运算和讨论。

以上就是空间向量及其运算的一些基本知识点，理解和掌握这些知识对于解决空间几何问题、向量问题以及更广泛的数学问题都具有重要的意义。

空间向量高考知识点总结

空间向量高考知识点总结一、空间向量的定义与性质1. 空间向量的定义：空间中的向量是指有大小和方向的线段，可以用有向线段来表示，通常用小写字母表示。

2. 空间向量的性质：空间中的向量满足向量的相等、相反、共线和共面的性质。

3. 空间向量的运算：空间向量的加法、数量乘法、内积和叉乘等运算。

二、空间向量的坐标表示1. 空间向量的坐标表示：空间中的向量可以用坐标表示，一般用三元组表示。

2. 空间向量的坐标运算：空间向量的坐标运算包括向量相加、数量乘法和点积等运算。

三、空间向量的数量积1. 空间向量的数量积定义：两个向量的数量积又称内积，记作a·b，表示为|a||b|cosθ，其中θ为a、b之间的夹角。

2. 空间向量的数量积的性质：数量积具有对称性、分配律和数量乘法结合律等性质。

3. 空间向量的数量积的几何意义：数量积可以用来计算向量的夹角、向量的投影以及向量的长度等。

4. 空间向量的数量积的应用：数量积可以用来解决空间中的几何问题，如判断两个向量的方向、判断点的位置、计算三角形的面积等。

四、空间向量的叉积1. 空间向量的叉积定义：两个向量的叉积，记作a×b，是另一个向量c，其大小等于以a、b为邻边的平行四边形的面积，方向垂直于a和b所在的平面。

2. 空间向量的叉积的性质：叉积具有反对称性、分配律和数量乘法结合律等性质。

3. 空间向量的叉积的几何意义：叉积可以用来计算平行四边形的面积、判断向量的方向以及判断向量的共线性等。

4. 空间向量的叉积的应用：叉积可以用来计算平行四边形和平行六面体的体积、判断三角形的面积、判断四边形的面积等。

五、空间向量的应用1. 空间向量在几何中的应用：空间向量可以用来解决空间中的共线、共面、投影、距离、面积、体积等几何问题。

2. 空间向量在物理中的应用：空间向量可以用来描述力的合成、速度的方向、加速度的方向、质心的位置等物理问题。

3. 空间向量在工程中的应用：空间向量可以用来解决工程中的坐标系、平面构图、体积计算、力矩计算等问题。

空间向量及其运算

2. 共线向量定理：空间任意两个向量a、b(b≠0)，a//b的充要条件是
存在实数l，使a=lb.
3. 向量与平面平行
4. 共面向量定理：如果两个向量a， b不共线，p与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y使 p=xa+yb.
三、空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那
么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc.
四、空间向量数量积：
已知向量a，b，则|a| |b|cosa，b 叫做a，b的数量积，记作a ·b，即 a ·b= _|_a_| |_b_|c_o_s__a_，__b_ . 其中a，b为向量a与b的夹角，且范围是
____0_<__a_、__b__<_p_.
1.正四棱锥P - ABCD中，O为底
OAB=60°，
O
求OA与BC的夹角的余弦值.
Hale Waihona Puke ACB5、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
AB=BC=4，E为A1C1与B1D1的交点，F
为BC1的交点，
D1
又AFBE，求长方体 A1
的高BB1.
D A
E
C1
B1 F
C B
的模为______2_3___ .
3. 已知线段AB，BD在平面a内， BDAB，线段ACa，若AB=a， BD=b，AC=c，则C、D间的距离
为_____________a_2_. b2 c2
C
cD
a A a Bb
4、在空间四边形OABC中，OA=8，
AB=6，AC=4，BC=5， OAC=45° ，
面中心，设AB i，BC j，OP k, E

空间向量的概念与运算

空间向量的概念与运算空间向量是指在三维空间中具有大小和方向的矢量。

它在物理学、数学和工程学等领域中经常被使用，用于描述物体的位移、速度、力和力矩等物理量。

本文将介绍空间向量的概念及其运算法则。

一、空间向量的概念空间向量是三维空间中的矢量，由起点和终点之间的位移所构成。

通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，而箭头的方向则表示向量的方向。

空间向量可以用分量表示，也可以通过坐标表示。

二、空间向量的运算1. 空间向量的加法空间向量的加法是指将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

设有向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)，则它们的和向量C(x1+x2,y1+y2, z1+z2)。

加法满足交换律和结合律。

2. 空间向量的减法空间向量的减法是指将一个向量的对应分量减去另一个向量的对应分量，得到一个新的向量。

设有向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)，则它们的差向量C(x1-x2, y1-y2, z1-z2)。

减法满足交换律和结合律。

3. 空间向量的数乘空间向量的数乘是指将一个向量的每个分量乘以一个实数，得到一个新的向量。

设有向量A(x, y, z)和实数k，它们的数乘结果为向量C(kx, ky, kz)。

数乘满足结合律和分配律。

4. 空间向量的点乘空间向量的点乘（内积）是指将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加得到一个实数。

设有向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)，它们的点乘结果为实数C=x1x2+y1y2+z1z2。

点乘满足交换律和分配律。

5. 空间向量的叉乘空间向量的叉乘（外积）是指将两个向量按照右手法则进行计算，得到一个新的向量。

设有向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)，它们的叉乘结果为向量C(y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)。

叉乘满足反交换律、结合律和分配律。

三、空间向量的应用空间向量在物理学、力学和几何学等领域中有广泛的应用。

空间向量知识点总结讲解

空间向量知识点总结讲解一、向量的基本概念1. 向量的定义：在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常表示为有向线段。

向量可以用坐标表示，也可以用行向量或列向量表示。

2. 向量的运算：向量的运算包括加法、数量乘法、点乘、叉乘等。

向量之间的加法和数量乘法可以直接进行，而点乘和叉乘需要通过向量的坐标或分量进行计算。

3. 向量的性质：向量具有大小和方向两个基本属性，同时还具有平行四边形法则，向量共线与共面的性质等。

二、空间向量的概念1. 空间向量的定义：在三维空间中，向量的坐标可以用三个实数表示，即(x, y, z)，这就是空间向量。

空间向量通常表示为有向线段，具有大小和方向。

2. 空间向量的运算：空间向量的运算与平面向量相似，可以进行向量的加法、数量乘法、点乘、叉乘等运算。

叉乘是空间向量特有的一种运算，用来得到垂直于两向量所在平面的向量。

3. 空间向量的坐标表示：空间向量的坐标表示为(x, y, z)，用来描述向量的起始点和终点在三维空间中的位置。

4. 空间向量的性质：空间向量具有大小和方向的性质，同时还具有与平面向量相似的性质，如共线、共面等。

三、空间向量的线性运算1. 空间向量的线性组合：空间向量的线性组合是指将若干个向量以一定的比例相加得到新的向量的过程。

线性组合在向量空间中有重要的应用，可以通过线性组合来表示向量的线性相关性和线性无关性。

2. 空间向量的线性相关性和线性无关性：当一组向量能够用线性组合的方式得到零向量时，这组向量就是线性相关的；当一组向量不能用线性组合的方式得到零向量时，这组向量就是线性无关的。

线性相关性和线性无关性是向量空间中的重要概念。

3. 空间向量的线性空间：线性空间是指满足一定条件的向量集合，具有向量加法、数量乘法、满足线性组合封闭性、交换性、结合律等性质。

空间向量是线性空间的一个典型例子。

四、空间向量的应用1. 空间向量在几何中的应用：在几何学中，空间向量可以用来描述点、直线、面等几何对象的位置和方向关系，还可以用来解决几何问题，如判定点、线、面的位置关系、计算距离、计算面积等。

空间向量知识点总结及典型题

空间向量知识点总结及典型题一、空间向量知识点总结。

（一）空间向量的概念。

1. 定义。

- 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。

2. 表示方法。

- 用有向线段表示，如→AB，其中A为起点，B为终点；也可以用字母→a,→b,→c·s表示。

3. 向量的模。

- 向量的大小叫做向量的模，对于向量→AB，其模记为|→AB|；对于向量→a，其模记为|→a|。

（二）空间向量的运算。

1. 加法。

- 三角形法则：→AB+→BC=→AC；平行四边形法则：对于不共线的向量→a 和→b，以→a和→b为邻边作平行四边形，则这两个向量之和为平行四边形的对角线所对应的向量。

- 运算律：→a+→b=→b+→a（交换律）；(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)（结合律）。

2. 减法。

- →a-→b=→a+(-→b)，其中-→b是→b的相反向量。

3. 数乘向量。

- 实数λ与向量→a的乘积λ→a仍是一个向量。

- 当λ> 0时，λ→a与→a方向相同；当λ<0时，λ→a与→a方向相反；当λ = 0时，λ→a=→0。

- 运算律：λ(μ→a)=(λμ)→a；(λ+μ)→a=λ→a+μ→a；λ(→a+→b)=λ→a+λ→b。

（三）空间向量的坐标表示。

1. 坐标定义。

- 在空间直角坐标系O - xyz中，设→i,→j,→k分别是x,y,z轴正方向上的单位向量。

对于空间向量→a，若→a=x→i+y→j+z→k，则(x,y,z)叫做向量→a的坐标，记为→a=(x,y,z)。

2. 坐标运算。

- 设→a=(x_1,y_1,z_1)，→b=(x_2,y_2,z_2)，则→a+→b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)；→a-→b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)；λ→a=(λx_1,λ y_1,λ z_1)。

- 向量的模|→a|=√(x^2)+y^{2+z^2}。

- 设A(x_1,y_1,z_1)，B(x_2,y_2,z_2)，则→AB=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)。

高中数学选修1-第一章-1.1空间向量及其运算-重点知识点

第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算知识点一：空间向量的概念及几类特殊向量1.空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模。

2.单位向量：模为1的向量。

3.零向量：长度为0的向量。

4.相等向量：长度相等且方向相同的向量。

5.相反向量：长度相等且方向相反的向量6.共线(平行)向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线(平行)向量。

7.方向向量：在直线l上取非零向量a,把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量。

8.共面向量：平行于同一个平面的向量,叫做共面向量。

知识点二：空间向量的线性运算1.加法：三角形法则：a+b=OA→+AB→=OB→;平行四边形法则：a+b=OA→+OC→=OB→2.减法：a-b=OA→-OC→=CA→ 3.数乘运算当λ>0时，λa=λOA→=PQ→(与a同向)当λ<0时，λa=λOA→=MN→(与a反向)当λ=0时，λa=04.运算律(λ,μ∈R)交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，λ(μa)=(λμ)a分配律：(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb知识点三：空间向量共线、共面的有关定理1.共线向量定理对任意两个空间向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a =λb2.共面向量定理向量p 与不共线的两个空间向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y)，使p =x a +y b知识点四：空间向量的数量积1.数量积：a ·b =|a ||b |cos<a ,b >，其中<a ,b >为两个非零向量a ,b 的夹角。

2.运算律：(λa )·b =λ(a ·b )；λ∈R ；a ·b =b ·a (交换律)；(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律)。

专题01 空间向量及其运算(知识梳理+专题过关)(解析版)

专题01空间向量及其运算【知识梳理】1、空间向量的概念：（1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．（2）向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．（3）向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作A B uuu r．（4）模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．（5）与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -．（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量．2、空间向量的加法和减法：（1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．（2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．3、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．4、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，a //b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．8、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP AB A =+；或对空间任一定点O ，有x y C OP OA AB A =++；或若四点P ，A ，B ，C共面，则()1x y z C x y z OP OA OB O =++++=．9、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠称为向量a ，b 的夹角，记作a,b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[]0a,b ,π〈〉∈．10、对于两个非零向量a 和b ，若2a,b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．11、已知两个非零向量a 和b ，则a b cos a,b 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即a b a b cos a,b ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．12、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影b cos a,b 〈〉的乘积．13、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1e a a e a cos a,e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a =；()4a b cos a,b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．14、数量乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅；()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．15、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{}x,y,z ，使得p xa yb zc =++．16、三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{}p p xa yb zc,x,y,z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{}a,b ,c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．17、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量OP p =．存在有序实数组{}x,y,z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作()p x,y,z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标()x,y,z ．【专题过关】【考点目录】考点1：空间向量及其线性运算考点2：共线问题考点3：共面问题考点4：空间向量基本定理考点5：模长、数量积、夹角问题【典型例题】考点1：空间向量及其线性运算1．（2021·福建·浦城县教师进修学校高二期中）给出下列命题①空间中所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量；③若,a b 满足a b >，且,a b 同向，则a b >；④零向量的方向是任意的；⑤对于任意向量,a b ，必有a b a b +≤+．其中正确命题的序号为（）A ．①②③B ．⑤C ．④⑤D ．①⑤【答案】C【解析】对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，故①错误；对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相反向量，故②错误；对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度(模)能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③错误；对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，为任意的，故④正确；对于⑤，a b a b +≤+为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故⑤正确．综上，正确的命题序号为④⑤，故选：C.2．（2021·广东深圳·高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，111AB D A D D --=（）A ．1ADB ．1AC uuu rC ．1ABD ．1AA 【答案】B【解析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，111111D A A D B C -==，111D D DD BB -==，所以，1111111111AB D A D D AB B C BB AB BB B C AC --=++=++=.故选：B3．（2022·福建龙岩·高二期中）如图，在三棱锥O ABC -中，E 为OA 的中点，点F 在BC 上，满足2BF FC =，记OA ，OB ，OC 分别为a ，b ，c ，则EF =（）A ．112233a b c-++B ．121233a b c-++C ．211322a b c-++D ．211322a b c--【答案】A【解析】在三棱锥O ABC -中2BF FC =，E 为OA 的中点12EA a =，AB OB OA b a =-=-，222()()333BF BC OC OB c b ==-=-所以12112()23233EF EA AB BF a b a c b a b c =++=+-+-=-++故选：A4．（2021·安徽宿州·高二期中）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为AC 与BD 的交点，则下列向量中与1D E 相等的向量是（）A ．111111122A B A D A A -+B ．111111122A B A D A A ++C ．111111122A B A D A A-++D ．111111122A B A D A A --+【答案】A 【解析】A ：11111111111111111()2222A B A D A A A B A D D D D B D D -+=-+=+1111=2DB D D DE D D D E =+=+，故A 正确；B ：11111111111111111()2222A B A D A A A B A D A A A C A A ++=++=+111AE A A A E D E =+=≠，故B 错误；C ：11111111111111111()2222A B A D A A B A A D B B B D B B -++=++=+111BE B B B E D E =+=≠，故C 错误；D ：11111111111111111()2222A B A D A A A B A D A A A C A A --+=-++=-+111AE A A EA A A D E =-+=+≠，故D 错误；故选：A5．（2021·河北省博野中学高二期中）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 和BD 的交点11=A B a ，若11=A D b ，1=A A c ，则1=M B （）A ．1122a b c-++B ．111222a b ++C ．1122-+a b cD ．1122--+a b c【答案】A 【解析】1111111111()22=+=+=++B M B B BM A A BD A A B A B C 11111111()222=++=-++A A B A A D a b c ．6．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高二期中）空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，则1122AB BC BD ++=（）A ．EFB ．FAC ．AFD ．FE【答案】C【解析】如下图，连接EF ，则1//,2EF BD EF BD =，所以1122AB BC BD AB BE EF ++=++AF AB BF ==+.故选：C7．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中）如图所示空间四边形ABCD ，连接AC 、BD ，设M 、G 分别满足2BM MC =，2DG GC =，则MG AB AD -+等于（）A ．32DBB ．4MGC ．23GMD ．23MG【答案】B【解析】在BCD △中，因为M 、G 分别满足2BM MC =，2DG GC =，所以//MG BD ，且3BD MG =，则34MG AB AD MG BA AD MG BD MG MG MG -+=++=+=+=．考点2：共线问题8．（2022·甘肃·高台县第一中学高二期中（理））对于空间任意一点O ，以下条件可以判定点P ､A ､B 共线的是___________（填序号）.①(),0OP OA t AB t t =+∈≠R ；②5OP OA AB =+；③(),0OP OA t AB t t =-∈≠R ；④OP OA AB =-+.【答案】①③【解析】对于①，因为(),0OP OA t AB t t =+∈≠R ，所以(),0OP OA t AB t t -=∈≠R ，所以(),0AP t AB t t =∈≠R ，所以,AP AB 共线，所以点P ､A ､B 共线.对于②，因为5OP OA AB =+，所以5OP OB =，所以,OP OB 共线，所以P ､O ､B 共线，点P ､A ､B 不一定共线.对于③，因为(),0OP OA t AB t t =-∈≠R ，所以(),0OP OA t AB t t -=-∈≠R ，所以(),0AP t AB t t =-∈≠R ，所以,AP AB 共线，所以点P ､A ､B 共线.对于④，因为OP OA AB =-+，所以OP OA OB OA =-+-得2OP OA OB =-+，所以2OP OB OA -=-，则2BP OA =-，所以,BP OA 平行或重合，当,BP OA 平行时，点P ､A ､B不共线.故答案为：①③.9．（2022·全国·高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在对角线1D B 上，且113D E EB =，点F 在棱11D C 上，若A 、E 、F 三点共线，则1D F =________1FC ．【答案】12【解析】因为正方体中，11111D B D A AB D A D C =+=+，设11D F FC λ=，又113D E EB =，所以11114D E D A D F λλ+=+，即1111144D E D A D F λλ+=+，因为A 、E 、F 三点共线，所以11144λλ++=，解得12λ=，即1112D F FC =.故答案为：12.10．（多选题）（2021·全国·高二期中）下列命题中不正确的是（）A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若两个非零空间向量AB ，CD ，满足0AB CD +=，则AB ∥CD D ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a =λb 【答案】ABD【解析】对于A ，若0b =，则a 与b 共线，b 与c 共线，但a 与c 不一定共线，所以A 错误，对于B ，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B 错误，对于C ，因为0AB CD +=，所以AB CD =-，所以AB 与CD 共线，所以AB ∥CD ，所以C 正确，对于D ，若0b =，0a ≠r r，则不存在λ，使a =λb ，所以D 错误，故选：ABD11．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知非零向量324a m n p =--，(1)82b x m n y p =+++，且m 、n 、p 不共面．若//a b ，则x y +=（）．A ．13-B ．5-C ．8D ．13【答案】B【解析】//a b 且0a ≠，∴b a λ=，即(1)82324x m n y p m n p λλλ+++=--，又m 、n 、p 不共面，∴138224x y λλλ+=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得13x =-，8y =，5x y +=-.故选：B .12．（2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）如图，已知空间四边形ABCD ，点E ，H 分别是AB ，AD 的中点，点F ，G 分别是CB ，CD 上的点，且23CF CB =，23CG CD =.用向量法求证：四边形EFGH 是梯形.【解析】证明：连接BD .点E ，H 分别是边AB ，AD 的中点，且23CF CB =，23CG CD =，∴()()11133332222244EH BD CD CB CG CF CG CF FG ==-=-⎛⎫ ⎪⎝-=⎭=，∴EH FG ∥且34EH FG FG =≠.又F 不在EH 上，∴四边形EFGH 是梯形.13．（2021·全国·高二课时练习）已知A 、B 、P 共线，O 为空间任意一点（O 、A 、B 不共线），且存在实数α、β，使OP OA OB αβ=+，求αβ+的值．【解析】因为A 、B 、P 共线，则存在m R ∈使得PA mAB =，即()OA OP m OB OA -=-，所以，()1OP m OA mOB =+-，又因为OP OA OB αβ=+，则()11m m αβ+=+-=.14．（2021·重庆市第十一中学校高二期中）边长为4的正方体1111ABCD A B C D -内（包含表面和棱上）有一点P ，M ，N 分别为11A B ，1DD 中点，且(,)AP AM AN R λμλμ=+∈．若111()D P t D C t R =∈，则t =______；若11()A P k A C k R =∈，则三棱锥P ABC -体积为______．【答案】14【解析】如图，空1：111()D P D A AP AM A DD AND λμ=+=-+++111()()AA AD AA A M AD DN λμ++-+=-+11111()()22AA AA AB AD AD AA λμ=-+-+++1111112(()1)2A AB u u AA t D C t A D B λλ=+-+-=+=,所以12101102t u u λλ⎧=⎪⎪-=⎨⎪⎪+-=⎩，所以14t =.空2：11111(11(1)1)22A P A D D AB P AD AD u u AA λλ+=+=++-+-111)22(1AD AB u u AA λλ=+++-，111AC A A AB BC AB AD AA =++=+-，因为11A P k AC =，所以11111)(22()AD AB AD AA AB u u AA k λλ++-=++-，所以12112k u k u kλλ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪+-=-⎩，所以27k =，所以1152022232721P ABC V -=⨯⨯⨯⨯⨯=故答案为：（1）14；（2）2021.15．（2021·全国·高二课时练习）已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，若2OA OB OC μ=+，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使0OA mOB nOC λ++=，那么λ＋m ＋n 的值为________．【答案】－1【解析】由A 、B 、C 三点共线，2OA OB OC μ=+，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由0OA mOB nOC λ++=，得mnOA OB OC λλ=--，由A ，B ，C 三点共线知：1mnλλ--=，则λ＋m ＋n ＝0．故答案为：-1；0.考点3：共面问题16．（2022·上海市控江中学高二期中）下列条件中，一定使空间四点P ､A ､B ､C 共面的是（）A ．OA OB OC OP++=-uu r uu u r uuu r uu u r B ．OA OB OC OP++=uu r uu u r uuu r uu u r C ．2OA OB OC OP++=uu r uu u r uuu r uu u r D ．3OA OB OC OP++=【答案】D【解析】对于A 选项，OP OA OB OC =---uu u r uu r uu u r uuu r，()()(1)1131-+-+-=-≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于B 选项，OP OA OB OC =++，11131++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于C 选项，111222OP OA OB OC =++，111312222++=≠，所以点P 与A 、B 、C 三点不共面；对于D 选项，111333OP OA OB OC =++，1111333++=,所以点P 与A 、B 、C 三点共面.故选：D.17．（2022·江苏连云港·高二期中）已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定P ，A ，B ，C 四点共面的是（）A ．OP OA OB OC =++B ．2O P O A O B O C=--C ．111532OP OA OB OC =++D ．111333OP OA OB OC=++【答案】D【解析】设OP xOA yOB zOC =++uu u r uu r uu u r uuu r，若点P 与点,,A B C 共面，则1x y z ++=，对于选项A ：11131x y z ++=++=≠，不满足题意；对于选项B ：21101x y z ++=--=≠，不满足题意；对于选项C ：11131153230x y z ++=++=≠，不满足题意；对于选项D ：1111333x y z ++=++=，满足题意.故选：D.18．（2022·江苏常州·高二期中）对于空间任意一点O ，若111236OP OA OB OC =++，则A ，B ，C ，P 四点（）A ．一定不共面B ．一定共面C ．不一定共面D ．与O 点位置有关【答案】B 【解析】由11112642236OP OA OB OC OP OA OB OC =++⇒=++216()4()2()33OP OA OB OP OC OP AP PB PC ⇒-=-+-⇒=+，所以A ，B ，C ，P 四点共面，故选：B19．（2021·河北保定·高二期中）若{},,a b c 构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（）A ．a b +，a b -，bB ．a b -，a b c -+，c-C ．2a b +，2a b -r r，a c +D ．2a b -r r，42b a -，a c+【答案】C【解析】选项A ：()2a b a b b +=-+，所以a b +，a b -，b 共面；选项B ：()a b a b c c -=-+-，所以a b -，a b c -+，c -共面；选项C ：a c +不能用2a b +，2a b -r r 表示，所以2a b +，2a b -r r，a c +不共面；选项D ：2a b -r r ，42b a -共线，则2a b -r r，42b a -，a c +共面．故选：C20．（2022·江苏·高二期中）已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若54BD PA PB PC λ=-+，则λ=（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】D【解析】54BD PA PB PC λ=-+⇒54PD PB PA PB PCλ-=-+53PD PA PB PCλ=-+由A 、B 、C 、D 四点共面，且其中任意三点均不共线可得531λ-+=，解之得1λ=-故选：D21．（2021·四川凉山·高二期中（理））已知平面ABCD 外任意一点O 满足15133OA OB OC OD λλ=++-⎛⎫⎪⎝⎭，R λ∈．则λ取值是（）A ．12B ．25C ．13D ．16【答案】A【解析】由向量共面定理可知：115133λλ⎛+⎫⎝+=⎪⎭-，解得：12λ=.故选：A22．（2019·四川省眉山第一中学高二期中（理））在下列命题中：①若向量,a b 共线，则,a b 所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线是异面直线，则向量,a b 一定不共面；③若三个向量,,a b c 两两共面，则三个向量,,a b c 一定也共面；④已知三个向量,,a b c ，则空间任意一个向量p 总可以表示为p xa yb zc =++.其中正确命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】对于①，若,a b 共线，,a b 可能在同一条直线上，①错误；对于②，向量可以自由平移，∴,a b 所在的直线是异面直线，但,a b 可平移到共面状态，②错误；对于③，三个向量,,a b c 两两共面，若a c ⊥，b c ⊥，,a b 交于一点，则c 垂直于,a b 所在平面，此时,,a b c 不共面，③错误；对于④，只有当,,a b c 不共面时，空间任意一个向量p 才可以表示为p xa yb zc =++，④错误.故选：A.23．（2021·全国·高二期中）已知在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M 为空间任意两点，如果1111764PM PB BA AA A D =++-，那么点M 必（）A ．在平面1BAD 内B ．在平面1BA D 内C ．在平面11BAD 内D ．在平面11AB C 内【答案】C【解析】因为1111764PM PB BA AA A D =++-111164PB BA BA A D =++-11111164PB B A BA A D =++-()()111111641164PA PA PB PD PA PA PB PD =+---=--，所以M ，B ，1A ，1D 四点共面.故选：C.24．（2021·全国·高二期中）在四面体OABC 中，空间的一点OM 满足1126OM OA OB OC λ=++，若MA ，MB ，MC 共面，则λ=（）A ．12B ．13C ．512D ．712【答案】B【解析】由题意1126MA OA OM OA OB OC λ=-=--，1526MB OB OM OA OB OC λ=-=-+-，11(1)26MC OC OM OA OB OC λ=-=--+-，∵MA ，MB ，MC 共面，∴在在实数唯一实数对(,)m n ，使得MA m MB n MC =+，1126OA OB OC λ--1511(1)2626m OA OB OC n OA OB OC λλ⎛⎫⎡⎤=-+-+--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴111222511666(1)m n m n m n λλλ⎧--=⎪⎪⎪-=-⎨⎪-+-=-⎪⎪⎩，解得132313m n λ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩．故选：B ．25．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知平行四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量OE kOA =，OF kOB =，OG kOC =，OH kOD =.(1)求证：E F G H ，，，四点共面；(2)平面AC ∥平面EG .【解析】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+，∵EG OG OE =-，()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD=⋅-⋅=-==+()k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH=-+-=-+-=+∴E 、F 、G 、H 四点共面；(2)∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅，∴EF AB∥又因为EF ⊄平面ABCD ,AB Ì平面ABCD ,所以EF ∥平面ABCD又∵EG k AC =⋅，∴EG AC ∥，EG ⊄平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,EG ∥平面ABCD ，又EFEG E =，,EF EG ⊂平面EG所以，平面EG ∥平面AC .26．（2021·福建·厦门市国祺中学高二期中）已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．(1)用向量法证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有()14OM OA OB OC OD =+++．【解析】（1）()1111122222EG AG AE AD AC AB AB AD AC =-=+-=-++.()11111112222222EH EF BD AC AD AB AC AB AD AC +=+=-+=-++,所以EG EH EF =+，所以,,,E F G H 四点共面.（2）()()()11112224422OA OB OC OD OE OG OE OG OM OM +++=+=+=⨯⨯=.考点4：空间向量基本定理27．（2022·江苏·东海县教育局教研室高二期中）在四面体OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 是BC 的中点，则MN =（）A ．121232a b c-+B ．221332a b c+-r r rC ．111222a b c+-D ．211322a b c-++【答案】D【解析】由已知()11112222ON OB BN OB BC OB OC OB b c =+=+=+-=+，所以，()1221123322MN ON OM b c a a b c =-=+-=-++，故选：D.28．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））如图，OABC 是四面体，G 是ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且13OG OG =，则（）A ．1OG OA OB OC =++B ．1111333OG OA OB OC=++C ．1111444OG OA OB OC =++D ．1111999OG OA OB OC=++【答案】D【解析】连接AG 并延长交BC 于N ，连接ON ，由G 是ABC 的重心，可得23AG AN =，()12ON OB OC=+则()()2221112=3332333AG AN ON OA OB OC OA OB OC OA ⎡⎤=-=+-=+-⎢⎥⎣⎦则()1111112111333333999OG OG OA AG OA OB OC OAOA OB OC ⎛⎫==+=++-=++ ⎪⎝⎭故选：D29．（2022·四川成都·高二期中（理））如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11AC 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（）A ．1122a b c-+B ．1122a b c++C ．1122a b c--+D ．1122-++a b c【答案】D【解析】由题意得，()()1111111111121222112BM BB B D AA A D A B AA AD A b c B a =+=+--+=+-=+.故选：D30．（2022·江苏扬州·高二期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，若E 为1DD 的中点，F 在BD 上，且3BF FD =，则EF 等于（）A ．111332a b c--B ．111442a b c--C ．111442a b c-+D ．111233a b c-+【答案】B【解析】11142=-=-EF DF DE DB DD ，()11111142442=--=--AB AD DD a b c ，故选：B31．（2020·陕西·渭南高级中学高二期中（理））已知向量{},,a b c 是空间的一基底，向量{},,a b a b c +-是空间的另一基底，一向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，则向量p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（）A ．13322⎛⎫⎪⎝⎭，B ．31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．133,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．13,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】设()()()()23p x a b y a b zc x y a x y b zc a b c =++-+=++-+=++；∴123x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得32123x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，∴p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：B ．32．（2021·安徽省六安中学高二期中（文））如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,OB AC ，,M N 分别为,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，3MG GN =，若OG xOA yOB zOC =++，则x y z ++=（）A ．118B ．98C ．78D ．58【答案】C【解析】由题意，33()44OG OM MG OM MN OM OM OC CN =+=+=+-++133444OM OC CN =++133848OA OC CB =++133()848OA OC OB OC =++-813388OA OB OC =++又OG xOA yOB zOC =++，所以133,,888x y z ===，78x y z ++=．故选：C ．33．（2022·福建龙岩·高二期中）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段1CD 的中点，3AC AF =，设AB a =，AD b =，1AA c =，则EF =（）A ．521632a b c+-r r rB ．121632a b c---r r rC ．121632a b c++r r rD ．521632a b c--+r r r 【答案】B 【解析】因为E 为1CD 中点，所以()()11111112222AE AD AC AA AD AD AB AA AD AB =+=+++=++()11333AC AF AF AC AD AB =⇒==+所以1111111213322632EF AF AE AD AB AA AD AB AB AD AA =-=+---=---即121362a b cEF =---故选：B34．（2022·江苏·泰州中学高二期中）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1CM MD =，14CQ QA =，则（）A ．11122AM AB AD AA =++B ．11122AQ AB AD AA =++C ．1113444AQ AB AD AA =++D ．1114555AQ AB AD AA =++【答案】D【解析】因为1CM MD =，所以11112111()222CD DD AB CM A CD A =+=-+=，所以AM AB BC CM =++11122AB AD AB AA =+-+11122AB AD AA =++，所以A 错误因为14CQ QA =，所以1114444()554555CB BA AA AB AD A C A Q CA =++=-=-+，所以AQ AB BC CQ =++1444555AB AD AB AD AA =+--+1114555AB AD AA =++,故选：D35．（2021·天津市第五十五中学高二期中）如图，在空间四边形ABCD 中，2=-AB a c ，568=+-CD a b c ，棱AC ，BD ，BC 的中点分别为E ，F ，G ，若33=--+FE a b c λ，则λ=_____．【答案】5【解析】在空间四边形ABCD 中，棱AC ，BD ，BC 的中点分别为E ，F ，G ，所以1122==-FG DC CD ，1122==-GE BA AB ；所以=+FE FG GE 1122=--CD AB ()()11568222=-+---a b c a c 335=--+a b c ，又因为33=--+FE a b c λ，所以5λ=.故答案为：536．（2022·上海市控江中学高二期中）如图，在四面体ABCD 中，E 是BC 的中点，设1AB e =，2AC e =，3AD e =uuu r u r ，请用1e ､2e ､3e 的线性组合表示DE =uuu r ___________.【答案】1231122e e e +-u r u r u r 【解析】在ABC 中，因为E 是BC 的中点，所以()()121122AE AB AC e e +=+=，所以1231122DE DA AE e e e uuu r uu u r uu u r u r u r u r =+=+-.故答案为：1231122e e e +-u r u r u r .37．（2022·江苏常州·高二期中）已知P 是ABC 所在平面外一点，2=PM MC ，且BM x AB y AC z AP =++，则实数x y z ++的值为____________.【答案】0【解析】因为2=PM MC ，则()2BM BP BC BM -=-，所以，()()121221333333BM BP BC AP AB AC AB AB AC AP =+=-+-=-++，所以，1x =-，23y =，13z =，因此，0x y z ++=.故答案为：0.考点5：模长、数量积、夹角问题38．（2022·江苏常州·高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且12AA =，则1AC 的长为（）A B ．C D 【答案】C 【解析】由题意得11,2AB AD AA ===，11,90,,,60AB AD AA AB AD AA =︒==︒，因为11AC AB BC CC =++1AB AD AA =++uu u r uuu r uuu r ,所以()2211AC AB AD AA =++212121222AD AA AD AB AA AD AA AB AB =+++⋅+⋅+⋅114211cos90212cos60212cos60=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒10=，所以1AC =uuu r故选：C39．（2021·安徽·高二期中）正四面体ABCD 棱长为2，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，则GE GF ⋅的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】如图，设BA a =，BC b =，BD c =，则12222a b b c c a ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，又()1111122222GE BE BG BA BC BD a b c =-=-+=--，()11112222GF CA BA BC a b ==-=-，∴()2211111121222224GE GF a b c a b a a b b a c b c ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-=-⋅+-⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.40．（2022·江苏·海安县实验中学高二期中）已知四面体ABCD ，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则AF CE ⋅=（）A ．1B ．2C ．-1D ．-2【答案】D 【解析】四面体ABCD 的所有棱长均为2，则向量,,AB AC AD 不共面，两两夹角都为60，则22cos 602AB AC AC AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，因点E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，则1()2AF AC AD =+，12CE AE AC AB AC =-=-，211()(2)(22)44AF CE AC AD AB AC AC AB AD AB AC AC AD ⋅=+⋅-=⋅+⋅--⋅21(222222)24=+-⨯-⨯=-，所以2AF CE ⋅=-.故选：D41．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）已知a 、b 都是空间向量，且2,3a b π=，则2,3a b -=（）A ．3πB ．6πC ．23πD ．56π【答案】A 【解析】2,3,a b π=cos ,3cos 2a b a b a b a b π∴⋅=⋅=⋅12a b =-⋅，()23cos 2,323a b a b a b ⋅-∴-=⋅-66a b a b-⋅=⋅12=，[]2,30,a b π-∈，32,3a b π∴-=，故选：A42．（2021·广东·珠海市第二中学高二期中）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB APi ⋅=的不同值的个数为（）．A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】A 【解析】由图象可知，i i AP AB BP =+，则()2·i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=+=+⋅，因为棱长为1，i AB BP ^，所以0i AB BP ⋅=，2101i i AB AP AB AB BP ⋅=+=+=⋅，即()1,2,,8i AB AP i ⋅=的不同值的个数为1，故选：A 43．（多选题）（2022·江苏省镇江中学高二期中）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M 为11AC 与11B D 的交点，若1,,AB A b c a D AA ===，则下列正确的是（）A ．1122BM a c =-+B ．1AC a b c =++C ．1ACD．1cos ,3AB AC =【答案】BD【解析】根据题意，依次分析选项：对于A 选项，()111111222BM BB B M AA BA BC b a c =+=++=-+，A 错误，对于B 选项，11AC AB AD CC a b c =++=++，B 正确：对于C 选项，1AC a b c =++，则222221()2226AC a b c a b c a b a c b c =++=+++⋅+⋅+⋅=，则1AC =C 错误：对于()212AB AC a a b c a a b a c ⋅=⋅++=+⋅+⋅=，则1116cos ,3AB AC AB AC AB AC ⋅==⋅，D 正确.故选：BD.44．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，底面边长和侧棱长均为2，1160A AB A AD ∠=∠=︒，则对角线1AC 的长为________．【答案】【解析】由题可知四棱柱1111ABCD A B C D -为平行六面体，11AC AB AD AA =++，所以22222111()AC AB AD AA AB AD AA =++=+++11222AB AD AB AA AD AA ⋅+⋅+⋅444222cos 60222cos 60=+++⨯⨯+⨯⨯=20，所以1||AC =故答案为：45．（2019·上海市七宝中学高二期中）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为______．【答案】105【解析】如图所示，设,,M N P 分别为1,AB BB 和11B C 的中点，可得1//MN AB ，1//NP BC，且11112222MN AB NP BC ====，所以异面直线1AB 与1BC 所成角即为直线MN 与NP 所成的角，作BC 的中点为Q ，则PQM 为直角三角形，因为11,2PQ MQ AC ==，在ABC 中，由余弦定理可得22212cos 4121272AC AB BC AB BC ABC ⎛⎫=+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AC =2MQ =，在MQP △中，2MP ==，在PMN 中，可得222222cos 2MN NP PM MNP MN NP +-+-∠==⋅，又因为异面直线所成角的范围是(0,]2π，所以1AB 与1BC所成的角的余弦值为5.故答案为：5.46．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如图，在平行六面体中，2AB =，1AD =，14AA =，90DAB ∠=︒，1160DAA BAA ∠=∠=︒，点M 为棱1CC 的中点，则线段AM 的长为______．15【解析】112AM AB BC CM AB AD AA =++=++则2222111111=+2++24AM AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA ⎛⎫=++++⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭222111=214+2210+24+1415422++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=即线段AM 151547．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二期中）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE CF ⋅的值为_________.【答案】12-【解析】根据题意ABCD 为正四面体，,,BC BD BA 两两成60角，所以12AE BE BA BC BA =-=-，1122CF BF BC BA BD BC =-=+-，所以111()()222AE CF BC BA BA BD BC ⋅=-⋅+-11111111114242222222=⨯+⨯---⨯+=-.故答案为：12-48．（2021·山东济宁·高二期中）已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =，1160A AB A AD ∠=∠=︒．(1)求1AD AC ⋅；(2)求1AC ．【解析】(1)设AB a =，AD b =，1AA c =，由题意得：||1a =，||1b =，||2=c ，0a b ⋅=，1a c ⋅=，1b c ⋅=，21()()11013AD AC b c b a b b c b a a c ⋅=+⋅+=+⋅+⋅+⋅=+++=；(2)2221||22211422010AC a b c a b c a c b c a b =+++++⋅+⋅+⋅=+++++=49．（2021·湖北·高二期中）已知平行六面体1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是正方形，1AD AB ==，12AA =，1160A AB DAA ∠=∠=︒，1113AC NC =，12D B MB =，设AB a =，AD b =，1AA c =.(1)试用a 、b 、c 表示AN ；(2)求MN 的长度.【解析】（1）平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c =，因1113AC NC =，于是得：11111111111222()()333AN AA A N AA AC AA A B A D AA AB AD =+=+=++=++2233a b c =++，所以2233AN a b c =++.（2）平行六面体1111ABCD A B C D -中，1113AC NC =，12D B MB =，111111111111111111()()2323MN MD D C C N BD AB AC BA AA A D AB A B A D =++=+-=+++-+11111111122233662AB AA AD AB AB AD a b c =-+++--=++，因1160A AB DAA ∠=∠=︒，且底面ABCD 是正方形，1AD AB ==，12AA =，则有0a b ⋅=，||||cos 601b c b c ⋅==，同理，1a c ⋅=，因此，5||6MN =，所以MN。

空间向量知识点总结图

空间向量知识点总结图一、空间向量的概念1.1 空间向量的定义空间中具有大小和方向的量称为空间向量，通常用有向线段表示。

1.2 空间向量的表示空间向量通常用坐标表示，如果空间中有两点A(X1, Y1, Z1)和B(X2, Y2, Z2)，则向量AB 可以表示为AB = (X2 - X1, Y2 - Y1, Z2 - Z1)。

1.3 空间向量的运算空间向量之间可以进行加法和数量乘法运算。

1.3.1 加法两个空间向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)的和为A+B = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。

1.3.2 数量乘法一个空间向量A(x, y, z)和一个实数k的乘积为kA = (kx, ky, kz)。

二、空间向量的性质2.1 零向量的性质零向量是长度为0的向量，任何向量与零向量的和都是它自身。

2.2 相等向量的性质如果两个向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)的对应坐标相等，则它们是相等向量。

2.3 空间向量的线性运算性质空间向量的加法和数量乘法满足交换律、结合律和分配律。

2.4 向量共线的性质如果两个非零向量A和B共线，则存在一个非零实数k，使得A = kB。

2.5 向量共面的性质如果三个向量A、B、C共线，则它们共面。

三、空间向量的应用3.1 向量的数量积向量的数量积又称为点积，定义为A·B = |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别为向量A和B的模，θ为向量A和B的夹角。

数量积的性质有交换律、分配律和数量积的几何意义。

3.2 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，定义为A × B = |A| |B| sinθ n，其中|A|和|B|分别为向量A和B 的模，θ为向量A和B的夹角，n为垂直于A和B的单位向量。

向量积的性质有反交换律、分配律和向量积的几何意义。

3.3 应用举例空间向量在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用，如力的合成、面积计算、三维坐标系中的投影等。