求函数值域的几种常见方法详解

合集下载

函数值域的13种求法

函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1. 求函数x 1y =的值域解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x 3y -=的值域解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用)例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

函数值域的十种求法

函数值域的十种求法函数值域是一种数学概念，它描述了一个函数的结果范围，是数学研究的基础。

求函数值域的方法有多种，每种方法都有不同的优劣。

本文介绍了求函数值域的十种方法，及其优势和劣势，以供参考。

一、定义法定义法是求取函数值域最为简单的方法，只要将函数的定义式扩大至所有可能被求出的范围即可。

定义法最大的优势在于可以精确求出函数值域，大大减少误差，使得函数值域的求解更有可靠性。

但是，定义法也有其缺点，即求解过程会很繁琐，在有多个参数的函数中，会消耗大量的计算时间。

二、图像法图像法是一种简单易行的求函数值域的方法，它只需要将函数的图像表示出来，然后从图像中观察出函数值域的范围即可。

图像法的优势在于求解速度快，只需要对函数的图像做一次有限次的绘制，就可以直观了解函数的值域，而无需进行耗时的计算。

但是，图像法本身并不能精确求出函数值域，无法判断一些细微的函数特征，从而可能导致求得的函数值域不够准确。

三、五行式五行式是一种常见的求函数值域的方法，它将参数组合为五个不同的行，分别代表不同的极限情况，然后从五行式中求取函数值域。

五行式的最大优势就在于可以根据函数本身的特征，从而排除掉一些不必要的计算，减少运算量，大大提高求解的效率。

但是，五行式也存在一定的局限性，它无法正确处理复杂的函数，也不能处理参数过多的函数。

四、三角形法三角形法是一种求函数值域的经典方法，它将参数抽象出来，将参数空间细分为多个三角形，并将每个三角形中的值域分别求取出来。

三角形法的最大优势在于可以将参数空间剖分为有结构的模块，并在不同模块之间建立联系，从而大大减少计算量。

但是，三角形法也有其不足，即它只能处理二元函数的值域求解，而且在一些复杂函数的情况下，其求解精度也无法保证。

五、基于函数本质的求法基于函数本质的求法是一种综合的求值域的方法，它的原理是从函数的定义本质出发，抽象出函数的特征，并对参数和函数值域之间的联系进行分析，最后求解出函数值域。

求函数值域的方法大全

求函数值域的方法大全
1、极限法：极限法是求函数值域的一种重要技术，可以用来求函数
的极值。

原理是找到函数的变量的极限，在此极限处求函数的极值。

求极
限的方法有四种：求不等式的极限，求一元函数的极限，求二元函数的极限，求多元函数的极限。

2、求导法：求导法是求函数的最值的经典方法。

原理是求函数的导数，当导数当0的时候，其点处就会是极值点，可以分别求函数的一次导
数和二次导数，分析二次导数的符号可以判断函数的极值点属性，从而有
效解决函数求极值问题。

3、几何法：几何法是求函数最值问题的一种有效方法。

原理是利用
函数的图象特征，以图形分析的方法在实值空间中求解函数的极值、拐点，从而求函数的最值。

因为函数图象的研究具有直观性，使用几何法能够比
较快速地解决函数最值问题。

4、范数法：范数法是求函数值域的一种重要方法，可以用来求函数
的最大值和最小值。

这种方法利用范数的基本性质，即大于等于零、对称
性以及三角不等式，一般使用二范数求解，其核心思想是将函数转化为范
数的格式，得出最值的解。

5、参数法：参数法是求函数值域的一种重要方法，可以用来求函数
的最大值和最小值。

求函数值域的十种常用方法

求函数值域的十种常用方法函数的值域是指函数在定义域上取到的所有可能的函数值的集合。

确定函数的值域是函数分析中的一个重要内容，对于了解函数的性质和作用有着重要的意义。

下面是常用的十种方法来确定一个函数的值域：1.通过求导数：对于一个实变函数，可以通过求导数找到函数的极值点和临界点，并确定函数在这些点的函数值，然后从中选择最大值和最小值作为函数的值域的边界值。

2.分析极限：通过求函数的极限可以确定函数的趋势和发散的情况，从而可以确定函数的值域。

3.分段函数的值域：对于一个分段函数，可以分析每个分段的值域，然后将这些值域合并在一起得到整个函数的值域。

4.利用平移、伸缩和翻转：通过对函数进行平移、伸缩和翻转等运算，可以改变函数的图像和函数值的取值范围，并进一步确定函数的值域。

5.利用对称性：如果函数具有对称性，如轴对称、中心对称等，可以利用对称性来确定函数的值域。

6.利用图像分析：通过绘制函数的图像，可以直观地观察函数的取值范围。

7.利用函数的性质：对于特定的函数，可以利用函数的性质，如增减性、单调性、周期性等来确定函数的值域。

8.利用函数的定义域：函数的值域一般不能超出其定义域，因此可以通过函数的定义域来确定其值域的范围。

9.利用复合函数的值域：如果函数可以表示为其他函数的复合，可以利用复合函数的值域和定义域来确定原函数的值域。

10.利用数学工具：如利用不等式、方程以及数列等数学工具来分析函数的取值范围和值域。

当然，以上只是常用的一些方法，对于一些特殊的函数，可能需要运用其他方法和技巧来确定其值域。

准确确定函数的值域需要结合具体的函数形式和问题的要求进行分析和计算。

函数值域求法十一种

函数值域求法十一种函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。

例如，求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的值域。

解：由于 $x\neq 0$，显然函数的值域是：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。

2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例如，求函数 $y=x^2+2x+3$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。

解：将函数配方得：$y=(x+1)^2+2$。

由二次函数的性质可知：当 $x=-1$ 时，$y_{\max}=2$，当 $x=1$ 时，$y_{\min}=4$。

故函数的值域是：$[2,4]$。

3.判别式法例如，求函数 $y=\frac{1+x+x^2}{1+x^2}$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。

解：将函数化为关于 $x$ 的一元二次方程 $(y-1)x^2+(y-1)x+(1-y)=0$。

1）当 $y\neq 1$ 时，$\Delta=(-1)^2-4(y-1)(1-y)\geq 0$，解得：$y\in[\frac{1}{2},2]$。

2）当 $y=1$ 时，$x=\pm 1$，故函数的值域是：$[\frac{1}{2},2]$。

4.反函数法例如，求函数 $y=3x+4$ 的值域。

解：由原函数式可得其反函数为：$x=\frac{y-4}{3}$，其定义域为 $\mathbb{R}$，故函数的值域也为 $\mathbb{R}$。

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

函数的值域为：XXX11(x1)2 2令x1t，(t0)则XXX11t2 2化简得XXX11t2函数的值域为(0,1]。

例13.求函数y sinx cosx的值域。

解：由三角函数的性质可知。

1sinx1，1cosx 1故2sinx cosx 2由于sinx cosx的周期为2，所以只需考虑[0,2)的值域即可。

求值域的10种方法

求值域的10种方法值域是一个函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

找到函数的值域通常是为了确定函数可能的取值范围，并且在数学和计算中都是非常重要的。

以下是求值域的10种方法：1.列举法列举法是最简单直接的方法。

通过观察函数的定义，给出一组有序的输出值，并将这些值组成一个集合。

这些值将构成函数的值域。

例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以通过进行一系列的替换运算，然后给出输出值的集合{0,1,4,9,16,...}。

2.图像法在图像法中，我们首先绘制函数的图像，然后找到图像上所有纵坐标的值。

这些纵坐标的集合构成了函数的值域。

例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以绘制一个抛物线形状的图像，然后观察所有纵坐标的值。

3.解析法解析法是通过使用代数表达式或方程来确定函数的值域。

例如，对于函数f(x)=x^2，我们可以使用代数方法将方程f(x)=y转化为x^2=y。

然后通过解这个方程，我们可以得到y可能的取值范围，即函数的值域。

4.图像逼近法在图像逼近法中，我们通过绘制函数的图像，并观察图像在最高和最低点之间所有可能的纵坐标值。

这些纵坐标的集合构成函数的值域。

5.猜测法猜测法是一种直觉方法，凭借对函数的直觉和理解猜测出其可能的取值范围。

这种方法通常需要一定的数学背景和经验，并且在实践中被广泛应用。

6.极值法在极值法中，我们通过找到函数的极大值和极小值来确定函数的值域。

极大值是函数图像的局部最高点，极小值是函数图像的局部最低点。

函数的值域就是极值点之间的所有可能的函数值。

7.夹逼法夹逼法是通过使用两个已知函数（夹逼函数）来夹住待求函数，然后确定待求函数的值域。

待求函数的值域将位于夹逼函数的值域之间。

8.对数法对数法是通过取函数的对数来确定函数的值域。

求函数的对数在一些问题中很有用，因为它可以将具有无穷大或无穷小解的问题转化为具有有限解的问题。

9.差集法差集法是通过找到函数定义域的补集，然后从全体实数集中去除差集的元素，得到函数的值域。

求函数值域的几种常见方法

求函数值域的几种常见方法函数的值域可以定义为函数的输出或结果的集合。

确定一个函数的值域有几种常见的方法，包括图像法、符号法和算法法。

下面将详细介绍这些方法。

一、图像法图像法是通过绘制函数的图像来确定函数的值域。

要使用图像法确定函数的值域，需要遵循以下步骤：1.根据函数的定义确定函数的自变量的取值范围。

通常需要考虑定义域和边界条件。

2.绘制函数的图像。

可以使用图表、软件或手工绘制。

3.根据图像确定函数的值域。

值域是函数图像上所有可能的输出值的集合。

可以观察图像找出最大值、最小值和其他可能的取值。

注意：图像法仅适用于可视化的函数。

对于复杂函数，可能需要使用其他方法来确定值域。

二、符号法符号法是利用函数的数学特性和符号来确定函数的值域。

符号法可以分为以下几种情况：1.对于代数函数，可以通过感性地观察含有未知数的表达式中的符号来确定函数的值域。

例如，对于一个二次函数，通过观察二次项系数的符号可以确定函数的开口方向和最值的取值。

2.对于三角函数，可以使用周期性和界限来确定函数的值域。

例如，对于正弦函数，它的值域在[-1,1]之间。

3.对于指数函数和对数函数，可以使用指数和对数的性质来确定函数的值域。

例如，指数函数的值域在(0,+∞)，对数函数的值域在(-∞,+∞)。

三、算法法算法法是通过算法或计算来确定函数的值域。

算法法常用于分段函数、复合函数和隐函数等情况。

以下是一些常见的算法法：1.对于分段函数，可以将定义域分成若干个区间，然后通过分析每个区间的函数表达式来确定函数的值域。

2.对于复合函数，可以从内层函数开始，将结果代入外层函数，逐步计算并确定函数的值域。

3.对于隐函数，可以通过假设一组函数值，然后解方程组，将解代入隐函数表达式来确定函数的值域。

注意：算法法可能需要进行大量的计算和推理，适用于复杂函数，但可能会带来较高的计算复杂性。

同时，算法法可能无法找到确切的值域，只能给出一个估计或范围。

总结：函数的值域可以通过图像法、符号法和算法法来确定。

函数求值域的15种方法

函数求值域的15种方法求值域是数学中一个重要的概念，它可以用来确定函数在什么值上才能可以被定义。

它也可以用来判断函数是否具有极值以及极值在哪里。

求解函数域可以使用很多种方法，下面介绍15种求解函数域的方法。

1. 曲线图：用曲线图来求解函数域，通过分析函数的凹凸变化，以及变化的临界点来考虑函数的值域。

2. 区间法：分析函数的解析式，找出函数变量的取值范围，从而求出函数的定义域。

3. 限制法：通过限制函数的方程来求解函数域的大小，有助于函数属于哪个集合。

4. 线性变换：通过对函数值的线性变换，可以求解函数值的取值范围。

5. 积分法：根据求解函数值的积分值，来判断函数值的取值范围。

6. 求根法：通过求解函数的根，找出函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的有效值。

7. 不等式法：分析函数的不等式，来求出函数的定义域。

8. 收敛法：通过检验函数的收敛性，来确定函数的定义域。

9. 极值法：通过分析函数的极值，找出函数的值域。

10. 极限法：通过求解函数的极限，来确定函数的值域。

11. 变分法：根据函数在不同变量上的变分，求出函数的定义域。

12. 拓扑法：根据不同拓扑形状，确定函数的定义域，计算出函数在一定范围内所具有的值。

13. 微分表示法：通过求解函数的微分，来确定函数的取值范围。

14. 二分法：通过分段求解函数的值，以二分的方式查找函数的值域。

15. 图解法：通过对函数的图解，计算出函数所具有的定义域。

以上就是15种求解函数域的方法。

上述15种方法都可以用来帮助我们求解函数域，可以根据不同的情况，适当选择不同的方法来解决问题。

根据实际情况，选择合适的方法，有助于我们获得更好的结果，但这也取决于我们是否能够正确掌握这些求解函数域的方法。

求函数值域的几种常见方法详解

求函数值域的几种常见方法详解函数的值域是函数在定义域内所有可能的输出值组成的集合。

确定函数的值域是数学中一项重要任务，有很多方法可以用来确定函数的值域。

本文将详细介绍几种常见的确定函数值域的方法。

方法一：图像法利用函数的图像可以直观地确定函数的值域。

首先，我们画出函数的图像，并观察图像的上下限。

对于连续函数，可以通过观察图像的最高点和最低点来确定值域的上下限。

对于不连续函数，我们需要注意断点的位置，并观察每个断点的左右极限值。

通过观察图像的上下限和断点的左右极限值，我们可以确定函数的值域。

方法二：代数法利用函数的代数性质可以推导出函数的值域。

例如，对于一次函数$f(x)=ax+b$，其中$a$和$b$为常数，当$a>0$时，函数的值域为$(-\infty, +\infty)$；当$a<0$时，函数的值域为$(+\infty, -\infty)$。

对于二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，可以使用完全平方公式将函数转化为标准形式，然后根据二次函数的图像特点确定函数的值域。

方法三：符号法利用符号法可以确定函数的值域。

考虑到函数的定义域，我们可以分析函数的符号情况。

例如，对于一个定义在实数集上的有理函数$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中$P(x)$和$Q(x)$是多项式，我们需要考虑分母为零的情况。

当分母$Q(x)$在一些区间内为零时，该区间的端点将是函数的极限点。

通过分析$P(x)$和$Q(x)$的符号变化，我们可以确定函数的值域。

方法四：反函数法对于一些特定的函数，可以利用其反函数来确定函数的值域。

具体方法是，首先求出函数的反函数，然后确定反函数的定义域，最后通过计算反函数的函数值来得到原函数的值域。

方法五：微积分法微积分方法可以用来求解特定函数的最大值和最小值，从而确定函数的值域。

首先，求出函数的导数并令其为零，得到函数的驻点。

然后，比较驻点和函数的端点的函数值，找出函数的最大值和最小值。

求函数值域的12种方法

求函数值域的12种方法函数的值域即为函数的输出值的集合。

在数学中，可以用多种方法来确定函数的值域。

1.输入法：根据函数的解析式，将不同的输入带入函数中，找出函数的输出值。

例如，对于函数$f(x)=x^2$，将不同的$x$值带入函数中，得到$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，...，通过这种方法可以找出函数的值域为正整数集合。

2. 虚拟增量法：给定函数的定义域，通过逐渐增加函数的输入值，观察函数的输出值是否有变化。

例如，对于函数$g(x) = \sqrt{x}$，可以从定义域中的最小值开始逐渐增加$x$的值，观察$\sqrt{x}$的变化，直到无法再增加$x$的值为止。

通过这种方法可以找出函数值域为非负实数集合。

3. 图像法：画出函数的图像，通过观察图像的高度范围找出函数的值域。

例如，对于函数$h(x) = \sin x$，可以画出其图像，观察图像的高度范围为$[-1, 1]$，则函数的值域为闭区间$[-1, 1]$。

4. 函数属性法：通过函数的性质推断出函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = \frac{1}{x}$，可以通过观察函数的分母$x$的取值范围，推断出函数的值域为除去零的实数集合。

5. 求导法：对于可导函数，可以通过求导数来确定函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = x^3 + 1$，求导得到$f'(x) = 3x^2$，由于$f'(x)$是一个二次函数，且开口向上，因此可以推断出函数$f(x)$的值域为$(-\infty, +\infty)$。

6. 函数复合法：对于复合函数，可以通过将函数复合起来，找出函数的值域。

例如，对于函数$f(x) = \sqrt{\sin x}$，可以将其分解为$f(x) = \sqrt{g(x)}$，其中$g(x) = \sin x$，由于$\sin x$的值域为$[-1, 1]$，因此$\sqrt{\sin x}$的值域为闭区间$[0, 1]$。

求函数值域的几种常见方法详解

求函数值域的几种常见方法1．直接法：利用常见函数的值域来求。

一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ；反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}；二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 44|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 44|2-≤}.例1．求下列函数的值域① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x xy 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5]②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2}③1111111+-=+-+=+=x x x x x y ∵011≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法）（思考：如何使用口算法？） 2．二次函数在给定区间上的值域(最值)。

例2．求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ；解：①∵抛物线的开口向上，对称轴2x =，函数的定义域R ， ∴x=2时，y min =-3 , ∴函数的值域是{y|y ≥-3 }. ②∵抛物线的开口向上，对称轴2x =∉ [3,4]，此时142+-=x x y 在[3,4]∴当x=3时，min y =-2 当x=4时，max y =1 ∴值域为[-2，1]. ③∵抛物线的开口向上，对称轴2x =∉ [0,1]，此时142+-=x x y 在[0,1]∴当x=0时，max y =1 当x =1时，min y =-2 ∴值域为[-2，1]. ④∵抛物线的开口向上，对称轴2x =∈ [0,5]，∴当x=2时，min y =-3 当 x=5时，max y =6（思考：为什么这里直接就说当 x=5时，max y =6，而不去考虑x=0对应的函数值情况？答：因为观察图像可知x=5离对称轴较远，其函数值比x=0对应的函数值大）∴值域为[-3，6]. 注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当a bx 2-=时，其最小值ab ac y 442min -=； ②当a<0时，则当a b x 2-=时，其最大值ab ac y 442max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其对称轴abx 2-=是否属于区间[a,b]. 321-1-2-3654321-1-2xOy①若2b a -∈[a,b],则()2bf a-是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.②若2ba-∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．有解判别法：有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例3．求函数y=1122+++-x x x x 值域解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y ,整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=，若y=1,即2x=0,则x=0；若y ≠1,由题∆≥0，即0)14(-)1(22≥+y-y , 解得331≤≤y 且 y ≠1. 综上：值域{y|331≤≤y }. 例4．求函数66522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）解：把已知函数化为(2)(3)361(2)(3)33x x x y x x x x ---===--+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1∵ x=2时 51-=y ∴ 51-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称有解判别法.一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式并且分子、分母，没有公因式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法例5．求函数x x y -+=142的值域解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2t代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==2242t t =-++ 开口向下，对称轴1t =[0,)∈+∞∴1t =时，max (1)4y f == ∴值域为(,4]-∞5．分段函数例6．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.解：将函数化为分段函数形式：21(2)3(12)21(1)x x y x x x ⎧-≥⎪=-≤<⎨⎪-+<-⎩，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y ≥3}.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.2-13xO y。

求函数值域常见的五种方法

求函数值域常见的五种方法求函数的值域是函数学习的一个难点，求值域时涉及到的知识和方法较多，下面介绍几种常用的方法供参考．一、判别式法思路：将函数式整理成一元二次方程的形式，借用判别式求值域．例1 求函数的4312--=x x y 值域．解：原式整理成01432=---y yx yx ， )4()41()1(∞+⋃-⋃--∞∈，，，x ，且0≠y ，∴0)14(492≥++=∆y y y .解得0≥y 或254-≤y ．当 254-=y 时，)41(23，-∈=x ．又0≠y ， ∴所求函数的值域是),0(]254--+∞⋃∞，（．二、配方法例2 求函数x x y 21-+=的值域．解：由已知得2121)21(21+-+--=x x y 1)121(212+---=x∴所求函数的值域是]1-，（∞．三、单调性法思路：利用函数的图象和性质求解.例3 当)0,21(-∈x 时，求函数)1lg()1lg(x x y -++=的值域．解：由已知得)1lg(2x y -=， ∵)0,21(-∈x ，∴)41,0(2∈x ．又2x -在)0,21(-∈x 上递增， ∴)1,43(12∈-x ．又u y lg =在)1,43(上递增， ∴)0,43(lg )1lg(2∈-x ，原函数的值域为)0,43(lg ．四、反函数法例4 求函数xx y -+=11的值域．解：∵函数的定义域是{}1,0|≠≥x x x 且，由原函数变形得011≥+-=y y x ， ∴1≥y 或1-<y ．∴函数的值域为),1[)1,(+∞⋃--∞．五、换元法例5 求函数x x y --=1的值域。

解：令x t -=1，则)0(12≥-=t t x ，那么45)21(2++-=t y ． ∵1≥t 时，y 在),0[+∞上递减， ∴当t ≥0时，]1,(-∞∈y ．∴原函数的值域是]1,(-∞．。

求函数值域的十种方法

求函数值域的常用方法函数的值域是指函数能够取到的所有可能的输出值。

确定一个函数的值域有很多常用的方法，下面将介绍其中一些常用的方法。

1.求极限。

当自变量趋于无穷大或无穷小时，函数的极限可以帮助确定函数的值域。

如果一个函数的极限存在，并且随着自变量的增大或减小而无限接近一些确定的值，那么该函数的值域一定包含该极限值。

2.分析函数的定义域。

函数的定义域是指函数的自变量的取值范围。

如果函数在定义域上是连续的，并且没有间断点，那么函数的值域可以通过分析函数在定义域上的取值范围来确定。

3.分析函数的图像。

函数的图像是函数在坐标平面上的表示。

通过观察函数的图像可以初步估计函数的值域。

如果函数的图像在一些区间上单调递增或递减，并且没有振荡现象，那么该函数的值域将是该区间的闭区间。

4.求函数的导数。

函数的导数描述了函数的变化趋势。

通过求函数的导数可以确定函数的极值点，从而确定函数的值域。

当函数的导数在一些点处为零，并且在该点的左侧和右侧具有不同的符号，那么该点就是函数的极值点。

函数在极值点取到最大值或最小值时，该值一定属于函数的值域。

5.利用奇偶性。

一些函数具有奇偶性，即在定义域内满足一定的对称性。

如果函数是偶函数，则函数的值域在对称轴上具有对称性，可以根据对称轴的函数值确定其值域。

如果函数是奇函数，则函数的值域在原点上具有对称性。

6.利用函数的周期性。

一些函数具有周期性，即在定义域内满足重复性。

如果函数是周期函数，那么其值域也是周期性的，可以通过分析一个周期内的函数值来确定其值域。

7.求函数的反函数。

有些函数存在反函数，通过求反函数可以确定函数的值域。

反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。

8.利用已知的数学性质。

根据一些已知的数学性质来确定函数的值域，例如三角函数的取值范围是[-1,1]，对数函数的定义域是正实数，指数函数的值域是正实数等。

以上是常用的一些方法来确定函数的值域。

在实际问题中，可以结合多种方法来确定函数的值域。

求函数值域的解题方法总结(16种)

求函数值域的16种解题方法在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

一、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例:求函数()x 323y -+=的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出()x 3-2的值域。

解：由算术平方根的性质知()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。

点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。

本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。

练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。

（答案：{}5,4,3,2,1,0）二、反函数法：当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例：求函数2x 1x y ++=的值域。

点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

解：显然函数2x 1x y ++=的反函数为：yy --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。

点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。

练习:求函数x-x -xx 10101010y ++=的值域。

（答案：{}1y 1-y |y 或）。

三、配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。

例：求函数()2x x-y 2++=的值域。

点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。

解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。

此时2x x -2++=4921-x -2+⎪⎭⎫ ⎝⎛ ()232x x-02≤++≤∴，即原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤23y 0|y 点评：求函数的值域的不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

函数求值域15种方法

函数求值域15种方法方法一：对于已知函数，可以通过求函数的表达式来确定函数的值域。

例如对于f(x)=x^2+1需要求值域，可以将其表示为y=x^2+1，然后观察x和y的关系，可以得到y的值域为[1,+∞)。

方法二：对于一些简单的函数，可以使用数学知识来确定其值域。

例如对于 f(x) = sin(x)，由于正弦函数的值域为[-1, 1]，因此 f(x) 的值域也是[-1, 1]。

方法三：对于复合函数，可以通过将内部函数的值域代入外部函数中来确定整个函数的值域。

例如对于f(x)=√(x^2+1)，内部函数g(x)=x^2+1的值域为[1,+∞)，将值域代入外部函数，可以得到f(x)的值域也是[1,+∞)。

方法四：对于分段函数，可以分别求解不同区间上函数的值域，然后将这些值域合并得到整个函数的值域。

例如对于f(x)={x,x<0;x^2,x≥0}，可以分别求解x<0和x≥0的情况，得到f(x)的值域为(-∞,0]∪[0,+∞)。

方法五：利用函数的奇偶性来确定函数的值域。

如果函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)，那么函数的值域关于原点对称；如果函数是偶函数，即f(-x)=f(x)，那么函数的值域关于y轴对称。

根据函数的奇偶性可以推断出函数的值域。

方法六：利用函数的周期性来确定函数的值域。

如果函数有周期T，那么函数的值域在一个周期内是相同的。

可以通过观察函数的图像或者函数的性质来确定函数的周期，并进一步确定函数的值域。

方法七：利用函数的极限来确定函数的值域。

可以求函数在正无穷和负无穷的极限，根据极限的性质来确定函数的值域。

如果函数在正无穷的极限是一个确定的值，那么函数的值域是有界的；如果函数在正无穷的极限趋近于正无穷，那么函数的值域是无界的。

方法八：利用函数的导数来确定函数的值域。

可以求函数的导数，然后分析导函数的正负性和极值点，从而确定函数的值域。

如果导函数在一些区间内始终大于零，那么函数在该区间上是单调递增的，可以确定函数的值域；如果导函数在一些区间内始终小于零，那么函数在该区间上是单调递减的，可以确定函数的值域。

求函数值域的十三种方法

求函数值域的十三种方法求函数值域是数学中常见的问题，通过求函数值域可以了解函数的取值范围，对于解决实际问题和理论分析都有重要意义。

下面将介绍求函数值域的十三种方法。

一、观察法观察法是最直观的方法，通过观察函数的定义域和性质，可以初步确定函数的值域。

例如，对于一个关于实数的二次函数，如果其开口向上，则可以判断其值域为大于等于最低点的y坐标的实数集合。

二、代数法代数法是通过运用代数运算的方法求函数值域。

例如，对于一个有理函数，可以通过求其对应的分式函数的极限来确定函数的值域。

三、图像法图像法是通过绘制函数的图像来求函数值域。

通过观察图像的变化趋势，可以确定函数的值域。

例如，对于一个周期函数，可以通过绘制其一个周期内的图像，然后根据图像的波动范围确定函数的值域。

四、导数法导数法是通过求函数的导数来求函数值域。

通过分析导数的增减性和极值点，可以确定函数的值域。

例如，对于一个单调递增函数，其值域为整个定义域；对于一个有界函数，其值域为一个闭区间。

五、反函数法反函数法是通过求函数的反函数来求函数值域。

通过求反函数的定义域，可以得到函数的值域。

例如，对于一个严格单调增函数，其反函数的定义域即为函数的值域。

六、极限法极限法是通过求函数的极限来求函数值域。

通过分析函数的极限可以确定函数的趋势和边界，从而确定函数的值域。

例如，对于一个无界函数，可以通过求其极限来确定函数的值域。

七、积分法积分法是通过求函数的积分来求函数值域。

通过分析函数的积分可以确定函数的曲线下面积，从而确定函数的值域。

例如，对于一个连续非负函数，可以通过求其积分来确定函数的值域。

八、级数法级数法是通过求函数级数的和来求函数值域。

通过分析级数的收敛性和和的性质，可以确定函数的值域。

例如，对于一个幂级数函数，可以通过求级数的收敛域来确定函数的值域。

九、微分方程法微分方程法是通过求函数满足的微分方程来求函数值域。

通过求微分方程的解析解或数值解，可以确定函数的值域。

求函数值域的四种方法

求函数值域的四种方法一、观察法。

1.1 这种方法就像是我们用眼睛去打量一个人，直观又简单。

对于一些简单的函数，我们可以直接通过观察函数的性质来确定值域。

比如说一次函数y = 2x + 1，x 可以取任意实数，那随着x的变化，y也会相应地在实数范围内变化，所以这个一次函数的值域就是全体实数。

这就好比我们看一个一目了然的事情，不用费太多周折。

1.2 再看函数y = x²，因为任何实数的平方都大于等于0，所以这个函数的值域就是[0，+∞)。

这就像我们知道太阳总是从东边升起一样确定，一眼就能看出来这个函数值的范围。

二、配方法。

2.1 配方法就像是给函数做个“美容整形”。

拿二次函数y = x² 2x + 3来说，我们可以把它配方成y = (x 1)²+ 2。

因为(x 1)²大于等于0，所以y就大于等于2。

这就好比我们把一个有点杂乱的东西整理得井井有条，然后就能清楚地看到它的价值范围了。

2.2 还有函数y = -x²+ 4x 1，配方后得到y = -(x 2)²+ 3。

由于-(x 2)²小于等于0，所以这个函数的值域就是(-∞，3]。

这就像我们把一个原本模糊不清的东西，通过自己的巧手整理，让它的界限清晰起来。

2.3 配方法就像是一个神奇的魔法，能把复杂的二次函数变得简单易懂，让我们轻松地找出值域这个“宝藏”。

三、换元法。

3.1 换元法有点像“偷梁换柱”。

例如函数y = 2x + √(x 1)，我们可以设t = √(x 1)（t≥0），那么x = t²+ 1。

这样原函数就变成了y = 2(t²+ 1)+ t = 2t²+ t + 2。

这就把原来带根号的复杂函数转化成了一个二次函数，然后我们就可以用配方法或者观察法来求值域了。

这就像我们在一个迷宫里，找到了一条新的通道，一下子豁然开朗。

3.2 再比如函数y = x + √(1 x²)，我们设x = sinθ（-π/2≤θ≤π/2），那么原函数就变成了y = sinθ+ cosθ。

函数求值域的方法

函数求值域的方法要求一个函数的值域，就是要确定函数所有可能的输出值组成的集合。

求解函数的值域可以使用多种方法，下面给出几种常见的方法。

1.图像法：利用函数的图像来确定值域。

对于函数$f(x)$，可以绘制出其图像，并观察图像的整体形状以及趋势，确定函数的值域。

2.定义域与连续性：对于连续函数，可以利用定义域的性质来求解其值域。

先求解定义域，然后观察函数在定义域上的变化情况，判断其是否存在极值点、单调递增递减区间等性质，进而确定函数的值域。

3.导数法：对于可导函数，可以求解其导数，并观察导数的性质，判断函数在极值点、拐点等位置的变化情况，从而推断函数的值域。

4.分段函数法：对于分段函数，将函数分成多个部分，分别求解各个部分的值域，然后将这些值域合并起来，得到整个函数的值域。

5.利用函数的性质：利用函数的特定性质，比如奇偶性、周期性等，来推导函数的值域。

通过观察函数的性质，可以得到一些约束条件，从而确定函数的值域。

6.极值法：对于有界闭区间上的连续函数，可以通过求解其极值点，以及观察极值点的性质来确定函数的值域。

7.广义值域：对于复合函数、反函数等情况，可以利用相关的函数性质和变换进行求解。

通过对函数的复合、反函数的求解，可以确定广义值域，即函数的所有可能输出值的集合。

在实际应用中，常常需要结合多种方法来确定函数的值域。

可以综合运用图像法、导数法、分段函数法等多种方法，特别是观察函数的性质和变化规律，从而更准确地确定函数的值域。

同时，函数的值域可能是一个区间、一个集合、一个集合的并集等形式，要充分考虑不同情况下的求解方法。

最后，对于特殊情况和特殊函数，还需要进一步研究和推导，才能确定其值域。