高中数学洛必达法则公式
洛必达法则公式例子
洛必达法则公式例子
洛必达法则，也被称为洛必达定理或洛必达法则，是微积分中的一种基本工具，用于计算极限。
它由法国数学家洛必达于18世纪提出，并且在微积分中起着重要作用。
洛必达法则公式描述了当函数的自变量趋近于某个数值时，函数的极限是如何计算的。
公式如下:
若函数f(x)和g(x)在某一点a的右邻域内都可导，且满足g'(x) ≠ 0，则当x趋近于a时，以下两个极限等价:
lim(x→a) f(x)/g(x) = lim(x→a) f'(x)/g'(x)
为了更好地理解洛必达法则，让我们看一个具体的例子。
考虑函数f(x) = x^2和g(x) = x在x=0的邻域内。
计算f(x)和g(x)在x=0的导数。
我们有f'(x) = 2x和g'(x) = 1。
然后，计算当x趋近于0时，f'(x)/g'(x)的极限。
根据洛必达法则公式，我们有:
lim(x→0) f'(x)/g'(x) = lim(x→0) 2x/1 = lim(x→0) 2x = 0
因此，根据洛必达法则，当x趋近于0时，函数f(x)/g(x)的极限为0。
这意味着函数f(x)在x=0处的斜率趋近于0。
这个例子展示了洛必达法则的应用。
它可以帮助我们计算一些复杂函数在特定点的极限，尤其是那些无法直接求值的情况。
洛必达法则提供了一种简便的计算极限的方法，特别适用于涉及比值的函数。
通过计算函数对应点的导数，可以利用洛必达法则计算函数极限。
洛必达法则公式求极限
洛必达法则公式求极限好的，以下是为您生成的关于“洛必达法则公式求极限”的文章：在咱们数学的奇妙世界里，洛必达法则就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开求极限的神秘大门。
先来说说啥是洛必达法则吧。
简单来讲，就是当咱们遇到那种分子分母都趋于零或者无穷大的极限问题时，这法则就派上用场啦。
比如说，有这么一个例子，咱们要算极限：lim(x→0) (sin x)/x 。
你看，当 x 趋于 0 的时候，分子分母都趋于 0 ，这时候就可以用洛必达法则。
对分子分母分别求导，就变成了lim(x→0) cos x/1，这一下子就简单多啦，答案就是 1 。
我记得之前给学生们讲这个的时候，有个小同学，眼睛瞪得大大的，一脸懵地问我：“老师，这法则咋就这么神奇呢？”我笑着跟他说：“这就像是你在走一条黑漆漆的路，洛必达法则就是给你点亮的那盏灯呀。
”咱再深入一点，洛必达法则可不光是这么简单用一下就完事儿。
有时候得多次求导才能得出结果。
就像有一次考试，出了一道挺难的题目：lim(x→∞) (x^2 + 2x -1)/(2x^2 - 3x + 5) 。
不少同学一开始就懵了，不知道从哪儿下手。
其实呢，用洛必达法则，先对分子分母求导，得到lim(x→∞) (2x + 2)/(4x - 3) 。
这还不行，再求一次导，变成lim(x→∞) 2/4 ，答案就是 1/2 。
在实际运用中，可得小心一点。
不是说所有看起来分子分母都趋于零或者无穷大的情况都能用洛必达法则。
得先看看满足条件不，不然可就得出错误结果啦。
有一回，我布置了一道作业题，让大家用洛必达法则求极限。
结果有个同学交上来的作业，明显就是乱用法则。
我把他叫过来，指着他的作业问：“你仔细想想，这里能用洛必达法则吗？”他挠挠头，不好意思地笑了。
总之啊，洛必达法则是咱们求极限的好帮手，但也得用对地方，用对方法。
就像咱们手里有把宝剑，得知道啥时候该出鞘，怎么出鞘，才能发挥它最大的威力。
希望大家在面对求极限的问题时，都能熟练地运用洛必达法则，把难题一个个攻克，在数学的海洋里畅游无阻！。
高数洛必达法则
与夹逼定理（Squeeze Theorem）结合使用，可以 求解一些复杂的不定式极限
问题。
与单调有界定理（Monotone Bounded Theorem）相关联， 可用于判断数列或函数的收敛
性。
02
洛必达法则证明过程
构造函数法证明
构造函数
01
通过构造一个与原函数在某点处切线斜率相同的辅助函数，将
适用范围及条件
适用于0/0型和∞/∞型的不定式极限。
使用条件：当x趋向于某一值时（可以是无穷大），函数f(x)与g(x)都趋向于0或者无穷大，且两者的导函数存在且比值为常（Taylor's Theorem）有密切关系，洛必 达法则是泰勒公式在求解极限
时的特殊应用。
变量替换法
在某些情况下，通过变量替换可以简化极限的计算过程。
05
洛必达法则拓展与延伸
多元函数洛必达法则
多元函数洛必达法则的定 义
对于多元函数，当其在某点的偏导数存在且 连续时，该点处的极限值可以通过洛必达法 则求解。
多元函数洛必达法则的应用 条件
要求函数在考察点处偏导数存在且连续，同时需要 满足一定的限制条件，如分母不为零等。
高数洛必达法则
• 洛必达法则基本概念 • 洛必达法则证明过程 • 洛必达法则应用举例 • 洛必达法则注意事项 • 洛必达法则拓展与延伸
01
洛必达法则基本概念
洛必达法则定义
洛必达法则（L'Hôpital's Rule）是微 积分学中的一个重要定理，用于求解 不定式极限。
该法则以法国数学家纪尧姆·弗朗索瓦· 安托万·德·洛必达命名。
解不等式
将不等式转化为函数值比较问题，利用洛必 达法则求解函数的极值点，进而确定不等式 的解集。
高中数学(人教版)洛必达法则课件
洛必达法则一、洛必达法则来自二、其它未定型的处理 三、理论应用
洛必达法则
一、洛必达法则
二、其它未定型的处理 三、理论应用
一、洛必达法则
0 情形下的洛必达法则 0
xa xa
情形下的洛必达法则
xa xa
若 (1) lim f ( x ) lim F ( x ) 0 (2) 在点a的某去心邻域内,
例2 lim ln x x 1 x 1
例4
x 0
1 x 1 lim
x 0
x
lim
sin x
1 arctan 2 x
例5
x 0
lim
sin x
1 arctan 2 x
例6
x
lim 2
arctan x 1 x
ln x 例7 lim n x x
若 (1) lim f ( x ) lim F ( x ) (2) 当 | x | N 时, f ( x ), F ( x )
存在， F ( x ) 0
f ( x ) f ( x) 则 lim lim xa F ( x ) x a F ( x )
f ( x ), F ( x ) 存在， F ( x ) 0 ( x ) f (3) lim 存在(或为 ) x a F ( x )
且
f ( x ) 存在(或为 ) x a F ( x ) ( x ) f ( x ) f 则 lim lim xa F ( x ) x a F ( x )
(3) lim
且
注 在相应的条件下,对其它过程也成立
一、洛必达法则
应用举例
高中数学《洛必达法则》【公式编辑器完美编辑版】
洛必达法则洛必达法则在一定情况下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，对于处理一类含参数不等式恒成立的导数问题有一定的作用.洛必达法则如下：①0lim ()0x x f x →=，0lim ()0x x g x →=，(),()f x g x ''存在，且()0g x '≠，0()lim 0()x x f x g x →'='存在，则00()()lim lim ()()x x x x f x f x g x g x →→'='. ②0lim ()x x f x →=∞，0lim ()x x g x →=∞，(),()f x g x ''存在，且()0g x '≠，0()lim 0()x x f x g x →'='存在，则00()()lim lim ()()x x x x f x f x g x g x →→'='. 上式可称①式为00型，②式为∞∞型. 再使用洛必达法则进行求解时，一定要注意 ①0000()()()lim lim lim ()()()()x x x x x x f x f x f x p x x g x g x g x →→→'''===≥'''求导直到分母为非零数； ②分母不为零后，不能再求导； ③()()f x g x ''，()()f xg x ''''出现繁分式一定要化简. 【典型例题】1.（2010年新课标卷）设函数2()10x f x e x ax =---≥对[)0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 答案：12a ≤ 2.（2016年新课标2卷）已知函数()(1)ln (1)f x x x a x =+--，若当(1,)x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围.答案：2a ≤3.（2015年山东卷）设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈.若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围.答案：[]0,1a ∈。
洛必达法则公式及条件
洛必达法则公式及条件
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。
1洛必达法则计算公式
注意：不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量n∈N+是无法求导数的。
但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理作为替代。
2洛必达法则应用条件
在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。
如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
3洛必达法则3大陷阱
1.要求右侧极限存在
洛必达使用逻辑是有点诡异的，右侧极限存在，回推原极限存在，注意这里的存在包括无穷。
那么不存在的情况，我们目前接触的应该是震荡的情况，需要找其他方法，通常比洛必达还要简单。
2.时刻检查是否满足0/0或无穷/无穷
通常用洛必达法则，第一步大家使用的时候，应该都会check 是否满足条件，但是多次使用洛必达的时候一定注意别忘了检查。
3.求导后函数要简化
有些函数求导后会更加复杂，或者我们在选取分子分母的时候要比较细心，如果发现很难算，一定记得回头，调换分子分母试一下或者另谋它法。
2023年高考数学复习：洛必达法则
lim
x→0+
ex2－x 1＝xl→ im0+
e2x＝12，故 a≤12.
综上，实数 a 的取值范围是－∞，12.
则h′(x)＝xex－ex＋1，
记φ(x)＝h′(x)，则φ′(x)＝xex>0，
∴h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，h′(x)>h′(0)＝0，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增，h(x)>h(0)＝0，
∴g′(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增.
由洛必达法则知
lim
x→0+
ex－xx2－1＝
gf′′xx＝A(可连续使用).
例 已知函数f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R.若当x≥1时，f(x)≥0恒成立， 求实数a的取值范围.
解 方法一 由f(x)＝x2ln x－a(x2－1)≥0，
当x＝1时，不等式成立，
当 x>1 时，a≤xx22－ln 1x， 令 g(x)＝xx22－ln 1x(x>1)，则 g′(x)＝xx2－ x21－－122ln x，
因为 x>1，则(x2－1－2ln x)′＝2x－2x>0，
故y＝x2－1－2ln x在(1，＋∞)上单调递增，
则y＝x2－1－2ln x>0，
故
g′(x)＝xx2－ x21－－122ln
x >0.
所以g(x)在(1，＋∞)上单调递增.
则 g(x)>g(1)，由洛必达法则知lim x→1
x2ln x x2－1
2 a 1
所以f(x)min＝f( e 2 )
2 a 1
＝(e 2
)2·2a2－1－a[( e
2a1 2
洛必达法则的内容
洛必达法则
一、洛必达法则的基本形式
洛必达法则是微积分中的一个重要定理，用于解决0/0或无穷/无穷的极限问题。
其基本形式为：如果函数f(x)和g(x)满足以下条件：
1. f(x)和g(x)在某点a的某个邻域内可导；
2. g'(x)不等于0；
3. 存在一个实数点b，使得f(b)=0；
4. 存在一个实数点c，使得g(c)=0。
那么，当x趋近于a时，f'(x)/g'(x)的极限等于f(a)/g(a)。
二、洛必达法则的推导过程
洛必达法则的推导过程涉及到极限、导数和微分的知识。
其证明过程为：根据泰勒公式，f(x)和g(x)都可以展开为泰勒级数，然后通过比较系数，可以证明f'(x)/g'(x)的极限等于f(a)/g(a)。
三、洛必达法则的应用范围
洛必达法则可以应用于解决0/0或无穷/无穷的极限问题。
具体来说，当分母或分子为无穷大时，可以通过求导数的方法来解决极限问题。
此外，洛必达法则还可以应用于一些其他类型的极限问题，例如求定积分、不定积分等。
四、洛必达法则的局限性
虽然洛必达法则是微积分中的一个重要定理，但是它也存在一些局限性。
首先，洛必达法则只适用于0/0或无穷/无穷的极限问题，对于其他类型的极限问题无法应用。
其次，在使用洛必达法则时需要注意满足其前提条件，否则可能导致错误的结果。
此外，洛必达法则也无法应用于一些复杂的极限问题，例如涉及到多个变量或多个函数的极限问题。
因此，在使用洛必达法则时需要结合其他方法来解决复杂的极限问题。
导数洛必达法则
导数洛必达法则
洛必达法则（L'Hôpital'srule）是一种求解极限的方法，特别适用于某些情况下无法直接求解的不定型极限。
它的核心思想是通过对被除函数和除数函数同时求导，将原极限转化为一个更容易求解的形式。
洛必达法则的一般形式可以描述如下：假设有两个函数f(x)和g(x)，满足以下条件：
1.当x趋近某个数值时，f(x)和g(x)同时趋近于零或无穷大；
2.g'(x)≠0，即g(x)的导函数在给定区间内不为零。
如果满足上述条件，那么可以将极限lim(x->a)[f(x)/g(x)]转化为极限lim(x->a)[f'(x)/g'(x)]。
这样，原本求解困难的极限可以通过对两个函数同时求导来简化。
具体的导数洛必达法则的表述如下：
设函数f(x)和g(x)在某个区间内可导，并满足条件：
1.lim(x->a)[f(x)/g(x)]是一个不定型，即当x趋近a时，f(x)和g(x)同时趋近零或无穷大；
2.lim(x->a)[f'(x)/g'(x)]存在或为无穷大。
如果满足上述条件，那么可以得到以下结论：
lim(x->a)[f(x)/g(x)]=lim(x->a)[f'(x)/g'(x)]
使用洛必达法则，可以解决一些常见的不定型极限，例如0/0、∞/∞、0*∞、∞-∞等情况。
需要注意的是，洛必达法则只适用于某些特定的情况，而且在应用时需要符合一定的条件。
此外，使用洛必达法则求解极限时应当谨慎，需要在每一步转换中仔细检查条件的满足性，以确保结果的准确
性。
叙述洛必达法则
洛必达法则（L'Hopital's Rule）是一种求极限的方法，应用于解决未定式极限问题。
它的核心思想是通过求导和求极限的过程，将未定式转化为可求极限的形式。
洛必达法则的应用范围广泛，是微积分学中的重要知识点。
洛必达法则的基本表述如下：设函数f(x)和F(x)在点a的邻域内可导，且当x趋近于a时，f(x)和F(x)都趋近于零，且F'(x)不为零。
如果当x趋近于a时，极限存在（或为无穷大），那么此时极限的结果为：lim (f(x) / F(x)) = lim (f'(x) / F'(x))换句话说，当两个函数在某一点附近趋近于零时，我们可以通过求导并求极限的方式，来确定这两个函数的比值的极限。
在使用洛必达法则时，需要注意以下几点：1. 检查是否满足使用条件：在使用洛必达法则之前，首先要确保给定的函数满足极限存在的条件，如0/0或∞/∞型未定式。
否则，滥用洛必达法则会产生错误。
2. 连续多次使用：洛必达法则可以连续多次应用，直到求出最终的极限。
每次应用洛必达法则时，都要确保满足使用条件。
3. 适用范围：洛必达法则适用于解决一系列未定式极限问题，但并非所有极限问题都可以用洛必达法则求解。
当极限形式不满足0/0或∞/∞时，洛必达法则不适用。
此时，需要寻求其他求解方法，如泰勒公式等。
4. 化简结果：在求解过程中，可能需要对结果进行化简，以得到最终的极限值。
5. 举例说明：例如，求极限：lim (sin x / x)我们可以先求导，得到：lim (sin'(x) / 1) = lim (cos x / x) 再求导，得到：lim (cos'(x) / 1) = lim (-\sin x / x^2) 继续求导，得到：lim (-\cos x / 2) = lim (-\sin'(x) / 2x) 最后，我们可以看到，当x趋近于0时，极限存在，且满足洛必达法则的条件。
洛必达法则的公式
洛必达法则的公式泰勒-洛必达法则是一个重要的物理定律，由英国物理学家泰勒-洛必达在19年首先提出。
该定律用来解释一个简单机械系统中液体和空气之间的力学运动。
该定律表述为：动能守恒定律，指运动系统中的动能保持不变。
这就意味着，动能受到外部力的作用下不变，同时，系统中物体之间可能存在非位能作用，比如离心力和空气阻力。
泰勒-洛必达法则将物体之定义为在任何时间t中可能改变的变量的函数的总和。
这个变量就是泰勒-洛必达公式的乘数，用符号P表示。
而等号右边就是物体的动能，也就是所谓的“动能定律”。
通过定义上述的变量和动能的定义，我们可以得到泰勒-洛必达公式的表达形式：P =K+V+U其中，K是物体的动能，V是物体的动量，U是物体的位能。
K受到外部力的作用，永远是恒定的。
V和U受物体本身减速和空气阻力的影响，随时间改变而改变。
因此，总而言之，注意动能定律总是保持不变，即：K+V+U = constant泰勒-洛必达法则是一个重要的物理定律，既能够解释物体的运动，又能够说明物体的动能是一个恒定的值，受到外部力的作用才会改变。
在机械系统的研究中，它也被广泛使用，以揭示物体在不同力学系统中的运动表现。
因此，泰勒-洛必达法则是一个重要的物理定律，不仅仅被用于物理研究，也可以用于其他领域，比如力学分析，系统分析和计算机科学中。
总而言之，泰勒-洛必达法则是一个重要的物理定律，用于诠释力学系统中的动能定律，其公式表达形式为：P=K+V+U，这就意味着动能守恒定律，其位能和动能定义的变量就成为泰勒-洛必达公式的乘数。
它的重要性和杰出性在于可以有效地推导出物体在力学运动中的行为，从而解释物体之间的相互关系和规律，为人们提供了一种有效的分析和理解物理现象的方法。
洛必达公式数学
洛必达公式数学洛必达公式是数学中的一个重要定理，它在微积分和复分析等领域都有广泛的应用。
洛必达公式的全称是洛必达法则，它是由法国数学家洛必达发现并证明的。
洛必达公式主要用于求解极限。
在微积分中，我们经常遇到一些函数的极限问题，而洛必达公式提供了一种简便的方法来求解这些问题。
它的核心思想是通过对函数的导数进行比较来判断函数的极限值。
具体来说，洛必达公式的表述是：如果函数f(x)和g(x)在某一点a 的某个邻域内都可导，并且g'(x)不等于0，那么当x趋近于a时，如果f(x)和g(x)的极限存在，那么f'(x)和g'(x)的极限也存在，并且有以下关系：lim[x->a] (f(x)/g(x)) = lim[x->a] (f'(x)/g'(x))这个公式的应用非常广泛。
比如，我们可以利用洛必达公式来求解一些常见的极限，如0/0型、无穷/无穷型、0*无穷型等。
通过对函数的导数进行逐步化简，我们可以将复杂的极限计算转化为简单的代数运算，从而得到准确的结果。
除了在求解极限问题上的应用，洛必达公式还可以帮助我们研究函数的性质。
通过对函数的导数进行分析，我们可以判断函数在某一点的单调性、凹凸性以及极值等特征。
这对于函数的图像绘制和函数的最优化问题都具有重要的意义。
洛必达公式的证明过程比较复杂，需要运用到一些高级的数学工具和理论。
但是在实际的应用中，我们通常只需要记住公式的表述和应用方法即可，而不必深入研究其证明过程。
洛必达公式是数学中一个非常重要的工具，它为我们解决函数极限问题提供了简便的方法，同时也帮助我们研究函数的性质。
掌握洛必达公式的应用，对于学习微积分和复分析等相关学科都具有重要的意义。
无论是在科学研究中还是在实际问题中，洛必达公式都扮演着重要的角色，为我们提供了有力的工具和思路。
洛必达法则在高中数学试题中的应用
一、问题指引“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数（最）值，若出现00型或∞∞型可以考虑使用洛必达法则。
二、方法详解法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a g x →=； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；(3)()()lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞=及()lim 0x g x →∞=； (2)0A ∃>，f(x)和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且 g'(x)≠0； (3)()()lim x f x l g x →∞'='， 那么 ()()lim x f x g x →∞=()()lim x f x l g x →∞'='。
法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x ag x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0；(3)()()lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1.将上面公式中的x→a ，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则也成立。
2.洛必达法则可处理00x a -→，∞∞，0⋅∞，1∞，0∞，00，∞-∞型。
洛必达公式
洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+ Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
洛比塔法则与高中数学老师版
专题：利用洛必达法则巧解高中数学一．定理内容洛必达法则：设函数()f x 、()g x 满足：（1）lim ()lim ()0x ax af xg x →→==（或±∞）； （2）在()U a o 内，()f x '和()g x '都存在，且()0g x '≠；（3）()lim()x af x Ag x →'=' （A 可为实数，也可以是±∞）.则()()lim lim ()()x a x a f x f x A g x g x →→'=='.【热身练习】(1) 求 ln lim x x x →+∞ (2) 求1x → （3）求211lim 34x x x x →-+-解：（1）()ln ln 1lim lim lim 0x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞'==='（2）2311112123lim 312x x x x x -→→→-'=== （3）211111limlim 34235x x x x x x →→-==+-+ 二．定理应用例1、(06年全国卷II 理第20题)设函数()(1)ln(1)f x x x =++。
若对所有的0x ≥，都有()f x ax ≥成立，求实数a 的取值范围。
解：当0x =时，显然成立，则a R ∈当0x >时，不等式()f x ax ≥成立即为()(1)ln(1)f x x x a x x++≤=。
令(1)ln(1)()x x g x x ++=，对()g x 求导得2ln(1)()x x g x x-+'= 令()ln(1)h x x x =-+，则1()10(0)11xh x x x x '=-=>>++，()h x ∴在()0,+∞上为增函数()(0)h x h >=0，所以2ln(1)()x x g x x -+'=>0，所以()g x 在()0,+∞上是增函数。
洛必达公式
洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
高等数学-洛必达法则
解 先通分，再用洛必达法则，得
1
3
− 3
→1 − 1
−1
2 + − 2
=
→1 3 − 1
0
0
2 + 1
=
= 1.
2
→1 3
注 本题还可采用先通分再约分的方法计算.
17
03 其它类型的未定式
3. “00 ”“∞0 ”“1∞ ”型未定式
这3种未定式可看作是幂指函数[()] () 求极限.先将幂
例5 求 + 2 .
→0
解 这是“0 ⋅
∞
∞ ”型未定式，先将其转化为“ ”型未定式，
∞
再使用洛必达法则.
1
2
+ 2 = +
= + = −
= 0.
2
+
1
→0
→0
→0
→0 2
−
3
2
15
03 其它类型的未定式
2. “∞ − ∞”型未定式
本节内容
01
0
“ ”型未定式
0
02
∞
“ ”型未定式
∞
03 其它类型的未定式
8
02
∞
“ ”型未定式
∞
定理3.5（洛必达法则II） 设函数()和函数()满足条件
(1) () = ∞， () = ∞；
→0
→0
(2)函数() ，() 在0 的某去心邻域内可导，且′ () ≠ 0；
效果.
（4）使用洛必达法则求未定式极限是常用的方法，
但该方法不一定是最佳的方法，甚至在某些特殊