高一数学必修1第一章函数单调性-学生
高一数学必修1-函数的单调性-精品PPT课件
y2
1
x -2 -1 O 1 2
练习2 证明函数f(x)=1/x在(-∞,0)上是减函数。
想一想:函数f(x)=1/x在(0,
+∞)上的单调性呢?
在整个定义域内 f(x)=1/x是不是减函数呢?
反例:取x1= - 1 , x2=1,则f(-1)=-1,f(1)=1
可见 x1 < x2 时; f(x1) > f(x2)不一定成立。
对于二次函数f(x)=x2 ,我们可以这样来描述“在区 间(0,+∞) 上随着x的增大,相应的f(x)也随着增大.”:
试一试:你能仿照这样的描述,说明函数 f(x)=x2在区间(-∞,0]上是减函数吗?
定义:
如果对于定义域I内的某个区间D上的 任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是 增函数.
解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]. 其中y=f(x)在区间[-5,-2) ,[1,3)上是减函数,在区间[-2,1), [3,5]上是增函数.
例2 物理学中的波意耳定律p=k/V(k为正常数)告诉我 们,对于一定量的气体,当其体积V减小时,压强p将增大.试 用函数的单调性证明之.
练习:证明函数 f (x) -2x 1 在 R上是
减函数.
小结:
• 1.函数的单调性概念; • 2.增(减)函数的定义; • 3.增(减)函数的图象特征; • 4.增(减)函数的判定; • 5.增(减)函数的证明.
练习1 画出下列函数图象,并写出单调区间:
(1) y x2 2
单调增区间为, 0 单调减区间为0,
1.3.1 函数的单调性
函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
学运算素养.
新课引入
问题1:观察下面函数图象,从中你发现了图象的哪些特征?
= 2
=
= >0
升降变化、对称性,最高点或最低点等
今天,我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大(或减小)——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地,只有当函数 在它的定义域上单调递增(递减)时,
我们才称它是增(减)函数。
合作探究
思考1:−1 < 2时,有 −1 < 2 ,
说函数在区间 −1,2 上单增对吗?并说出你的理由。
不对,如图,虽−1 < 2时,有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大(或减小)的性质叫做函数的单调性.
图形语言:在 轴右侧,从左到右图象是上升的;
也就是说,在区间 , +∞ 上,随的增大而增大
;
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗?
符号语言:
∀ , ∈ , +∞ , = , =
当 < 时,有 < 成立.
结论 这时, f (x)=kx +b是减函数。
结论:一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增; < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们,
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
数学必修一单调性
目录
• 单调性的定义 • 单调性的判定 • 单调性的应用 • 单调性的性质 • 单调性的扩展知识
01
单调性的定义
函数单调性的定义
函数单调性是指函数在某个区间内的增减性。如果函数在某个区间内单调递增,那么对于该区间内的任意两个数$x_1$和$x_2$, 当$x_1 < x_2$时,都有$f(x_1) leq f(x_2)$;反之,如果函数在某个区间内单调递减,那么对于该区间内的任意两个数$x_1$和 $x_2$,当$x_1 < x_2$时,都有$f(x_1) geq f(x_2)$。
导数法
利用导数与函数单调性的关系,通过判断导数的正负来判断函数的单调 性。
03
图像法
通过观察函数的图像来判断函数的单调性。如果图像在某区间内从左到
右逐渐上升,则函数在该区间内单调递增;如果图像在某区间内从左到
右逐渐下降,则函数在该区间内单调递减。
单调性判定例题解析
0102Βιβλιοθήκη 0304例题1
判断函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上的单调性。
例子
对于函数 (f(x) = x^3),在 (x = 0) 处函数由递减变为递增,因此 (x = 0) 是该函数的极小值点。
单调性在实际问题中的应用
总结词
单调性在实际问题中有着广泛的应用,通过单调性可以分析各种实际问题的变化趋势,从而做出合理的决策。
详细描述
单调性可以用于分析各种实际问题,如经济问题、物理问题等。例如,在经济学中,通过分析需求函数和供给函数的 单调性,可以预测市场的价格变化趋势;在物理学中,通过分析受力函数的单调性,可以判断物体的运动状态。
单调函数在定义域内是单调的
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
解:函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R.
x1, x2 R,且 x1 x2,则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 ). 由 x1 x2,得 x1 x2 0.所以
①当k 0时,k(x1 x2 ) 0.
只要 x1 x2,就有 f (x1) f (x2 ).
追问 3:这里对 x1,x2有什么要求?只取(,0]上的某些数对 是否可以?你能举例说明吗?
追问 3:这里对 x1,x2有什么要求?只取(,0]上的某些数对 是否可以?你能举例说明吗?
所有的 x1 x2,有 f (x1) f (x2 ).
你能由例 1、例 2 的证明过程,归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗?
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤:
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤: 第一步,在区间 D上任取两个自变量的值 x1,x2 D,并规定 x1 x2;
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤: 第一步,在区间 D上任取两个自变量的值 x1,x2 D,并规定 x1 x2;
V
于一定量的气体,当其体积V 减小时,压强 p将增大,试对此用函数
的单调性证明.
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k (k 为正常数)告诉我们,对
V
于一定量的气体,当其体积V 减小时,压强 p将增大,试对此用函数 的单调性证明.
思考:“体积V 减小时,压强 p增大”的含义?
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k (k 为正常数)告诉我们,对
解:函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R.
x1, x2 R,且 x1 x2,则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
人教版高中数学必修一第一章1.3.1函数的单调性PPT教学课件
条件 x1,x2,当x1<x2时
都有f(fx(x)< 1)<f(ff((xx)2)
都有f(fx()x_1)_>__f(_x> 2) f
结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增 增函数 那么就说函数f(x)在区间D上是减 减函数
人教版高中数学必修一精品课件
图示
思考1:增(减)函数定义中的x1,x2有什么特征?
人教版高中数学必修一精品课件
PART 03
合作探究·攻重难
TO WORK TOGETHER TO FIND OUT WHAT'S GOING ON
[合作探究 · 攻重难 ]
求 函数 的 单调 区 间
例1 求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数.
1
2x+1,x≥1,
(1)f(x)=-;(2)f(x)=
1
思 考2: 函 数y=在 定 义 域 上 是 减 函 数 吗 ? x
1
1
[提示] 不是 . y=在(- ∞, 0)上递 减, 在(0, +∞ )上也 递减 ,但不 能说y=在(-∞ ,0)∪
x
x
(0,+ ∞)上递 减.
人教版高中数学必修一精品课件
[基础自测] 1.思考辨析 (1)因为f(-1)<f(2),所以函数f(x)在[-1,2]上是增函数.( ) (2)若f(x)为R上的减函数,则f(0)>f(1).( ) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数,则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.( )
-x2+2x+3,x≥0, (3)因为f(x)=-x2+2|x|+3=-x2-2x+3,x<0. 根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知, 函数f(x)的单调区间为(-∞,-1],(-1,0),[0,1),[1,+∞). f(x)在(-∞,-1],[0,1)上是增函数,在(-1,0),[1,+∞)上是减函数.
高一上册数学第一章3《函数的单调性》讲义
知识点一:函数的单调性的定义1、增减函数的定义:对于给定区间上的函数()f x ;① 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x x 12,,当x x <12时,都有()()f x f x <12,那么就说()f x 在这个 区间上是增函数;② 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x x 12,,当x x <12时,都有()()f x f x >12,那么就说()f x 在这个 区间上是减函数。
2、用定义证明函数的单调性的步骤是: ① 在相应区间内任取自变量x x <12;② 比较()f x 1与2()f x 的大小:作差(作商)——变形——判断符号(与1的大小); ③ 根据定义下结论,注明区间。
说明:在这里要掌握一些变形的技巧,如分解因式,配方,分子(分母)有理化,均值不等式放缩等。
【题型一】具体函数的单调性的判断与证明例1、求证函数3y x x =+在R 上是增函数。
变式1:求证:函数x x f -=)(在定义域上是减函数.变式2:判断函数12)(-+=x x x f 在)0,(-∞上的单调性并加以证明.例2、指出2()24f x x x =+的单调区间,并对减区间的情况给予证明。
变式:求2()12f x x x =--的单调区间【题型二】含参数函数的单调性判断与证明 例3、求证函数()(0)af x x a x=+>在(0,)a 上是减函数,在(,)a +∞上是增函数。
变式:讨论2()(11,0)1axf x x a x =-<<≠-的单调性知识点二、求函数的单调区间1、函数的单调区间:如果函数()y f x =在某个区间上是增函数(或减函数),就说()f x 在这一区间上具有(严格的) 单调性,这一区间叫做()f x 的单调区间。
2、复合函数单调性:复合函数[()]f g x 的单调性与构成它的函数()u g x =,()y f u =的单调性密切相关, 其规律如下表:说明:(1)① 函数的单调性是函数的局部性质,是相对于区间而言的。
函数的单调性与最值课件-高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
1 < 4, 1 > (4)
类似地:
(1, (1))
(4, (4))
2 < 3, 2 > (3)
3.5 < 5, 3.5 > (5)
活动探究
追问1
由y随x增大而减小,任取两个
不同的x值,就能根据他们的大
小关系,写出函数值的大小关
系.那么,这个描述反过来是
否成立呢?
都考察一遍呢?如果不能,那又该怎样定量描述这种变化.
“所有”=“全部”=“任意”=“每个”
任取两个
在(0, +∞)内,任取两个自变量的值,记为1 和2 ,
y随x的增大而减小
对整体的直观描述
当1 < 2 时,都有 1 > (2 )
对具体值的量化描述
活动探究
在(0, +∞)内,任取两个自变量的值,记为1 和2 ,
活动探究
追问2
在之前的数学学习中,你还见过哪些类似这样的变化特征呢?
函数值随自变量的增大而增大或减小
增减性
(初中)
y=2x 在R内,y随x的增大而增大.
1
y=
在(−∞, 0)和(0, +∞) 内,
都是y随着x的增大而减小.
活动探究
追问3
你觉得这种对函数变化趋势的描述有什么不足之处吗?
y=2x 在R内,y随x的增大而增大.
并指定大小关系,比如1 < 2 ;
第二步,作差变形
计算 1 与 2 的差,对表达式进行变形整理,改写
成一些因式乘积的形式;
第三步,判断符号
结合1 ,2 的大小关系,判断出上一步中得到的式子的
正负,从而确定 1 与 2 的大小关系;
高中数学人教A版必修1第一章-.1函数的单调性PPT全文课件
2.减函数 高中数学【人教A版必修】1第一章-.1函数的单调性PPT全文课件【完美课件】 一般地,设函数y=f(x)
的定义域为I,如果对于定 义域I内的某个区间D内的 任意两个自变量x1,x2, 当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说f(x) 在区间D上是减函数 .
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或 减函数,那么就说y=f(x)在这一区间上具有 (严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单 调区间。
1.3 函数的基本性质 1.3.1函数的单调性
引
入
观察下列各个函数的图象,并说说它们分别 反映了相应函数的哪些变化规律:
观察这三个图象,你能说出图象的特征吗? 随x的增大,y的值有什么变化?
☞画出下列函数的图象,观察其变化规律:
f(x) = x
1.从左至右图象上升还是下降 上__升__? 2.在区间 _(_-_∞_,_+_∞_)_上,随着x的增大,f(x)的值 随着 _增__大___ .
高中数学【人教A版必修】1第一章-.1 函数的 单调性 PPT全 文课件 【完美 课件】
一、函数单调性定义 1.增函数
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对 于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1, x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区 间D上是增函数.
在(-∞,0) y
和(0,+∞)
x 是减函数
o
在
-
,-
b 2a
y
增函数
x
在
b 2a
,
o
减函数
在(x ∞,+∞)是
增函数
在(-∞,0) 和(0,+∞) x 是增函数
高一数学必修1函数的单调性
讨论函数f(x)=
(a≠0,-1<x<1)的单调性.
解:设-1<x1<x2<1,
那么f(x1)-f(x2)=
=
.
∵-1<x1<x2<1, ∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0,
-1<0, -1<0,|x1x2|<1, 即-1<x1x2<1,∴x1x2+1>0.
∴
>0.
因此,当a>0时,f(x1)-f(x2)>0. 即f(x1)>f(x2),此时函数f(x)在(-1,1)上为减函数; 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),此时函数f(x)在(-1,1)上为增函数.
讨论函数f(x)= [思路点拨]
(a>0)的单调性.
[课堂笔记] ∵f(x)=
,
∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠1}.
法一:(定义法)任取x1,x2∈R,且x1,x2均不为1,x1<x2
,
那么f(x1)-f(x2)=(a+
)-(a+
)
=
=
.
①设x1<x2<1,x1-1<0,x2-1<0,x2-x1>0,a>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). ②设1<x1<x2,x2-1>0,x1-1>0,x2-x1>0,a>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). ∴函数f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上均为减函数.
答案:D
4. y = 的递减区间是
区间是
.
,y=
的递减
解析:y=
=
=-1+
,
∴y=
的递减区间是(-1,+∞)和(-∞,-1).
要使函数y=
有意义,那么
≥0,且1+x≠0,
∴-1<x≤1
高中数学必修一-函数的单调性
函数的单调性知识集结知识元利用定义判断函数单调性知识讲解1.定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.2.单调区间若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用符号“∪”联结,也不能用“或”联结,只能用“和”或“,”连结.3.定义变式设任意x1,x2∈[a,b]且x1≠x2,那么①⇔f(x)在[a,b]上是增函数;⇔f(x)在[a,b]上是减函数.②(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0⇔f(x)在[a,b]上是增函数;(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0⇔f(x)在[a,b]上是减函数.例题精讲利用定义判断函数单调性例1.如果函数f(x)=(12﹣a)x在实数集R上是减函数,那么实数a的取值范围是()A.(0,12)B.(12,+∞)C.(﹣∞,12)D.(﹣12,12)例2.函数f(x)=(k+1)x+b在实数集上是增函数,则有()A.k>1B.k>﹣1C.b>0D.b<0例3.函数①y=|x|;②y=;③y=;④y=x+在(﹣∞,0)上为增函数的有(填序号).例4.下列四个命题:(1)f(x)=1是偶函数;(2)g(x)=x3,x∈(﹣1,1]是奇函数;(3)若f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则H(x)=f(x)•g(x)一定是奇函数;(4)函数y=f(|x|)的图象关于y轴对称,其中正确的命题个数是()A.1B.2C.3D.4例5.已知y=f(x)(x∈R)为奇函数,则在f(x)上的点是()A.(a,f(﹣a))B.(﹣a,f(a))C.(﹣a,﹣f(a))D.(a,﹣f(a)例6.如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是()A.y=x+f(x)B.y=xf(x)C.y=x2+f(x)D.y=x2f(x)通过图象平移得到新函数图象得到单调区间知识讲解1.图象的平移:左加右减(x的变化),上加下减(函数值y的变化)2.图象的对称性:奇偶性3.图象的翻折:含有绝对值的函数图象的画法例题精讲通过图象平移得到新函数图象得到单调区间例1.函数f(x)=x2﹣|x|的单调递减区间是.例2.函数y=|x|的单调递增区间为.例3.函数y=|x|﹣1的减区间为()A.(﹣∞,0)B.(﹣∞,﹣1)C.(0,+∞)D.(﹣1,+∞)例4.函数y=|x﹣1|的递增区间是.备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数单调性的定义”的题目补充.例题精讲备选题库例1.下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)上是增函数的是()A.f(x)=sin x B.f(x)=e x+e-xC.f(x)=x3+x D.f(x)=xlnx例2.函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数.则()A.m>B.m<C.m>-D.m<-例3.函数f(x)=-x2+x-1的单调递增区间为()A.B.C.D.例4.已知函数f(x)=-3x+2sin x,若a=f(3),b=-f(-2),c=f(log27),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.a<c<bC.c<a<b D.b<c<a例5.定义在R的函数f(x)=-x3+m与函数g(x)=f(x)+x3+x2-kx在[-1,1]上具有相同的单调性,则k的取值范围是()A.(-∞,-2]B.[2,+∞)C.[-2,2]D.(-∞,-2]∪[2,+∞)例6.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()A.y=B.y=lnxC.y=sin x D.y=2-x例7.下列函数中,值域为R且在区间(0,+∞)上单调递增的是()A.y=x2+2x B.y=2x+1C.y=x3+1D.y=(x-1)|x|例8.函数f(x)=x|x-2|的递减区间为()A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,2)D.(0,2)利用定义法证明单调性知识讲解1.利用定义证明单调性的步骤(1)取值:设,是所研究的区间内的任意两个值,且(2)作差:(3)变形:将通过因式分解、配方、通分、有理化等方法变形为有利于判断它的符号的形式.(4)判断符号(5)结论2函数单调性的常见结论(1)函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反;(2)函数f(x)与函数f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性;(3)当c>0时,函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相同;当c<0时,函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相反;(4)若f(x)≠0,则函数f(x)与具有相反的单调性;(5)若,函数与具有相同的单调性;(6)若,具有相同的单调性,则与,具有相同的单调性;(7)若,具有相反的单调性,则与具有相同(与具有相反)的单调性。
3.2.1+函数的单调性(第1课时2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
区间I为f(x)的单调递增区间.
区间I为f(x)的单调递减区间.
图
示
注:①当函数在其定义域上单调递增(减)时,则称f(x)是增(减)函数.
②若f(x)在区间I上单调递增(减),则称f(x)在区间I具有(严格的)单调性.
概念辨析:单调性的定义
思考1:函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,你能举出在整
设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I,∀x1, x2∈D,且x1<x2
,
如果都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递增;
如果都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上单调递减.
函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们称它是增函数;
函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们称它是减函数.
于是 1 − 2 > 0, 1 > 2 ,
1
此时函数 = 在 (−∞, 0) 上单调递减;
2 −1
,
1 2
练习(第79页)
讨论函数 = 的单调性.
∀1 , 2 ∈ 0, +∞ , 且1 < 2 ,则 1 − 2 =
1
1
−
2
=
2 −1
单调递减
增函数
减函数
学习新知 【例1】根据定义,研究函数 f (x)=kx+b(k≠0) 的单调性.
解 : 函 数 f ( x ) kx b ( k 0)的 定 义 域 是 R , x 1 , x 2 R ,
且 x 1 x 2 , 则 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( kx 1 b ) ( kx 2 b ) k ( x 1 x 2 )
高一数学必修一中的函数单调性与最值问题
高一数学必修一中的函数单调性与最值问题在高一数学必修一的学习中,函数的单调性与最值问题是非常重要的一部分内容。
它不仅是后续数学学习的基础,也在实际生活和其他学科中有着广泛的应用。
首先,我们来理解一下什么是函数的单调性。
简单来说,单调性就是函数值随着自变量的增大或减小而呈现出的一种变化规律。
如果函数值随着自变量的增大而增大,我们就说这个函数在某个区间上是单调递增的;反之,如果函数值随着自变量的增大而减小,那么这个函数在这个区间上就是单调递减的。
为了判断函数的单调性,我们通常会采用定义法。
假设给定函数$f(x)$,定义域为$I$,对于定义域$I$内某个区间$D$上的任意两个自变量的值$x_1$,$x_2$,当$x_1<x_2$时,如果都有$f(x_1)<f(x_2)$,那么就称函数$f(x)$在区间$D$上是单调递增的;如果都有$f(x_1)>f(x_2)$,则称函数$f(x)$在区间$D$上是单调递减的。
比如说,对于一次函数$y = 2x + 1$,我们可以任取两个自变量的值$x_1$和$x_2$,且$x_1 < x_2$。
那么$f(x_1) = 2x_1 + 1$,$f(x_2) = 2x_2 + 1$。
因为$x_1 < x_2$,所以$2x_1 < 2x_2$,从而$f(x_1)< f(x_2)$,所以这个一次函数在其定义域内是单调递增的。
再比如,二次函数$y = x^2$。
当$x < 0$时,随着$x$的增大,$y$的值逐渐减小,函数是单调递减的;当$x > 0$时,随着$x$的增大,$y$的值逐渐增大,函数是单调递增的。
除了定义法,我们还可以通过函数的导数来判断单调性。
这对于一些复杂的函数会更加方便和高效,但这是后续学习的内容,在高一阶段,我们主要还是掌握定义法。
接下来,我们谈谈函数的最值问题。
函数的最大值和最小值,简单理解就是函数在定义域内所能取到的最大和最小的函数值。
如果函数在某个区间上是单调递增的,那么在区间的左端点处取得最小值,在右端点处取得最大值;如果函数在某个区间上是单调递减的,那么在区间的右端点处取得最小值,在左端点处取得最大值。
人教版高中数学必修1: 第一章第三节 函数的单调性ppt课件
O
x1 x2
函数f (x)在给定区间 上为减函数。
x
;
x 1, x 2 取值的恣意性
判别:定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)> f(1),那 么函数 f (x)在R上是增函数;
y
f(2)
f(1)
;
O 1 2x
y
y x2
f (x1)
x1 O
x
;
y
y x2
f (x1)
x1 O
x
;
y
假设函数y=f(x)在某个区间上是单调增函数 〔或单调减函数〕,那么称f(x)在这一区间上 具有单调性,这一区间称为单调增〔减〕区间。
;
例:以下图是定义在[-5,5]上的函数y=f〔x〕的图象,
根据图象说出y=f〔x〕的单调区间,以及在每一单调
区间上, y=f〔x〕是增函数还是减函数.
解: y=f〔x〕的单调区间有 [-5,-2〕,[-2,1〕
y x2
f (x1)
x1 O
x
;
y
y x2
f (x1)
x 1O
x
;
y
y x2
f (x1)
Ox1
x
;
y
y x2
f (x1)
O x1
x
;
y
y x2
f (x1)
O x1
x
;
y
y x2
f (x1)
O
x1
xx1)
O
x1
x
;
对于某种函数我们不能笼统地说: 函数值y随着x的增大而增大,或函数值y随着 x的增大而减小。这阐明函数的这一增减特征 是函数的 部分性质。
“部分〞还是 “整体〞 ?
高中数学必修一第一章第二节:函数的单调性课件
=
x1-
x2 x1+
x1+ x2
x2=
xx11+-x2x2.
因为 x1-x2<0, x1+ x2>0, 所以 f(x2)-f(x1)<0,即 f(x2)<f(x1). 所以 f(x)=- x在它的定义域[0,+∞)上是减函数.
首页
上一页
下一页
末页
结束
由函数的单调性求参数的取值范围 [例 3] (1)已知 y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(1 -a)<f(2a-1),则 a 的取值范围是________. (2)已知函数 f(x)=x2-2ax-3 在区间[1,2]上单调,求实数 a 的取值范围.
因为 f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,
且
f(x-2)<f(1-x),所以
x-2<1-x,解得
3 x<2.
②
由①②得 1≤x<32.
[答案] 1,32
首页
上一页
下一页
末页
结束
[类题通法] (1)上题易忽视函数的定义域为[-1,1],直接利用单调性得 到不等式 x-2<1-x,从而得出 x<32的错误答案. (2)解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号 “f”,从而转化为熟悉的不等式.若函数 y=f(x)在区间 D 上是增 函数,则对任意 x1,x2∈D,且 f(x1)<f(x2),有 x1<x2;若函数 y =f(x)在区间 D 上是减函数,则对任意 x1,x2∈D,且 f(x1)<f(x2), 有 x1>x2.需要注意的是,不要忽略函数的定义域.
上一页
下一页
末页
首页
上一页
下一页
末页
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
教学目标1.了解函数单调性的概念,掌握判断简单函数单调性的方法
2.能用文字语言和数学符号语言描述增函数、减函数、单调性等概念,能准确理解这些定义的本质特点
重难点 3.会求一些简单函数的定义域、函数值。
【知识回顾与能力提升】
1.函数的概念
(1)函数的定义:
设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.
(2)函数的定义域与值域:
函数y=f(x)中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函
数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合B 的子集.
2.区间概念(a,b为实数,且a<b)
定义名称符号数轴表示
{x|a≤x≤b}闭区间[a,b]
{x|a<x<b}开区间(a,b)
{x|a≤x<b}半开半闭区间[a,b)
{x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b]
3.其他区间的表示
定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}
符号(-∞,+∞)[a,+∞)(a,+∞)(-∞,a](-∞,a)
4.函数相等
如果两个函数定义域相同,并且对应关系完全一致,我们称这两个函数相等.
【新知识梳理与重难点点睛】
1.定义域为I的函数f(x)的增减性
2.函数的单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格)的单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.
要点一函数单调性的判定与证明
例1求证:函数f(x)=1
x2在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是增函数.
跟踪演练1已知函数f(x)=2-x
x+1
,证明:函数f(x)在(-1,+∞)上为减函数.
A .(-∞,2]
B .[2,+∞)
C .[3,+∞)
D .(-∞,3]
3.已知函数f (x )是(-∞,+∞)上的增函数,若a ∈R ,则( ) A .f (a )>f (2a ) B .f (a 2)<f (a ) C .f (a +3)>f (a -2) D .f (6)>f (a )
4.函数y =f (x )在R 上为增函数,且f (2m )>f (-m +9),则实数m 的取值范围是( ) A .(-∞,-3) B .(0,+∞) C .(3,+∞)
D .(-∞,-3)∪(3,+∞)
5.如图所示为函数y =f (x ),x ∈[-4,7]的图象,则函数f (x )的单调递增区间是________.
【新方法、新技巧练习与巩固】
一、基础达标
1.下列说法中,正确的有( )
①若任意x 1,x 2∈I ,当x 1<x 2时,f (x 1)-f (x 2)
x 1-x 2>0,则y =f (x )在I 上是增函数;
②函数y =x 2在R 上是增函数; ③函数y =-1
x
在定义域上是增函数;
④函数y =1
x 的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞).
A .0个
B .1个
C .2个
D .3个
2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是( ) A .y =|x | B .y =3-x。