2007年高考全国1卷数学理科试卷含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：
如果事件A B ，互斥，那么
球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+
2
4πS R =
如果事件A B ，相互独立，那么
其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =
球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么
34π3
V R =
n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率
其中R 表示球的半径
()(1)(012)k k
n k n n P k C p p k n -=-=，，，…，
一、选择题
（1）α是第四象限角，5
tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．
1
5
B ．15
-
C ．513
D ．513
-
（2）设a 是实数，且1i
1i 2
a ++
+是实数，则a =（ ） A ．
12
B ．1
C ．3
2
D ．2
（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直
B ．不垂直也不平行
C ．平行且同向
D ．平行且反向
（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ）
A ．
22
1412x y -= B ．
22
1124x y -= C ．
22
1106x y -= D ．
22
1610
x y -= （5）设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a
⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭
，，，，，则b a -=（ ） A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=
的距离为2，且位于1010
x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） A ．(11)，
B ．(11)-，
C ．(11)--，
D ．(11)-，
（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线
1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
1
5
B ．
25
C ．
35 D ．
45
（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为1
2
，则a =（ ） A
B ．2
C
．
D ．4
（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件
B ．充分而不必要的条件
C ．必要而不充分的条件
D ．既不充分也不必要的条件
A
B 1B
1A
1D
1C C
D
（10）21n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
（11）抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 的直线与抛物线在x 轴
上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ）
A ．4
B ．
C ．
D ．8
（12）函数2
2
()cos 2cos 2
x
f x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．
2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
3．本卷共10题，共90分．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． （13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答）
（14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则
()f x = ．
（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ．
（16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）
设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；
（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． （18）（本小题满分12分）
某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η． （19）（本小题满分12分）
四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知
45ABC =∠，2AB =，BC =
SA SB =（Ⅰ）证明SA BC ⊥；
（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．
（20）（本小题满分12分） 设函数()e e x x
f x -=-．
（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；
（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆22
132
x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．
（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：22
00
132
x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值． （22）（本小题满分12分）
已知数列{}n a 中12a =
，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，134
23
n n n b b b ++=
+，123n =，，，…，
43n n b a -<≤，123n =，，，…．
2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案
一、选择题： （1）D
（2）B
（3）A
（4）A
（5）C
（6）C
（7）D
（8）D
（9）B
（10）D
（11）C
（12）A
二、填空题：
（13）36 （14）3()x
x ∈R
（15）
13
（16）三、解答题： （17）解：
（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2
B =， 由AB
C △为锐角三角形得π6B =
． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-
- ⎪6⎝
⎭
cos sin 6A A π⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
1cos cos 2A A A =++
3A π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
由ABC △为锐角三角形知，
22A B ππ->-，2263B ππππ
-=-=． 2336
A πππ<+<，
所以
1sin 23A π⎛⎫+<
⎪⎝⎭．
3A π⎛
⎫<+< ⎪⎝⎭
所以，cos sin A C +
的取值范围为322⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭，． （18）解：
（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”
2()(10.4)0.216P A =-=，
()1()10.2160.784P A P A =-=-=．
（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．
(200)(1)0.4P P ηξ====，
(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，
(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．
η的分布列为
2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯
240=（元）．
（19）解法一：
（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面
ABCD ．
因为SA SB =，所以AO BO =，
又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，
由三垂线定理，得SA BC ⊥．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD
BC ∥， 故SA AD ⊥，由AD BC ==
SA =
AO =1SO =，SD =．
SAB △
的面积2
11
12
2S AB
SA ⎛=-= ⎝
连结DB ，得DAB △的面积21
sin13522
S AB AD =
= 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得
1211
33
h S SO S =，
解得h =
设SD
与平面SAB 所成角为α，则
sin 11
h SD α=
==
． 所以，直线SD 与平面SBC 所成的我为arcsin 11
． 解法二：
（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面
ABCD ．
因为SA SB =，所以AO BO =．
又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO
OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x
0)A ，，(0B ，(0C -，，(001)S ，，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．
（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，，
连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭，，． 1442OG ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，，122SE ⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭
，，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．
所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α
与β互余．
D
，(DS =．
22
cos 11
OG DS OG DS
α=
=
，
sin 11β=，
所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin ． （20）解：
（Ⅰ）()f x 的导数()
e e x
x
f x -'=+．
由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则
()()e e x x
g x f x a a -''=-=+-，
（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20x x
g x a a -'=+->-≥，
故()g x 在(0)+，∞上为增函数，
所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．
（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln 2
a x +=，
此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．
所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明： （Ⅰ）椭圆的半焦距1c =
=，
由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22
001x y +=，
所以，2222
00021132222
y x y x ++=<≤．
（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程
22
132
x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则
2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+
22
2
12221221)
(1)()432k BD x x k
x x x x k +⎡=
-=++-=⎣+；
因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1
k
-
， 所以，2211132k AC k
⎫+⎪
⎝⎭==⨯+ 四边形ABCD 的面积
222222222124(1)(1)962(32)(23)25
(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣
⎦
≥． 当2
1k =时，上式取等号．
（ⅱ）当BD 的斜率0
k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积
4S =．
综上，四边形ABCD 的面积的最小值为96
25
． （22）解： （Ⅰ）由题设：
11)(2)n n a
a +=+
1)(
1)(2n a =
+
1)(n a =
11)(n n a a +=．
所以，数列{n a 是首项为21的等比数列，
1)n n a ，
即n a
的通项公式为1)1n n a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当1n =
2<，112b a ==，所以
11b a <≤，结论成立．
（ⅱ）假设当n k =
43k k b a -<≤，
也即430k k b a -<．
当1n k =+时，
13423
k k k b b b ++-=-+
(3(423
k k b b -+-=+
(3023
k k b b -=>+，
又
1323k b <=-+ 所以
1(323
k k k b b b +-=+
2(3(k b <-
4431)(k a -≤
41k a +=
也就是说，当1n k =+时，结论成立．
43n n b a -<≤，123n =，，，…．。