高中数学圆锥曲线练习含答案

1.线段AB为圆M:2221060

x y x y

++-+=的一条直径，其端点A,B在抛物线C:

22(0)

x py p

=>上，且A,B两点到抛物线C焦点的距离之和为21 2

.

(1)求直径AB所在的直线方程.

(2)过M点的直线l交抛物线C在P,Q两点，抛物线C在P,Q处的切线方程相交于N点，求PQN

∆面积的最小值.

2.(2017全国卷1-20)已知椭圆C：

22

22

=1

x y

a b

+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），

P3（–1，P4（1C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

3．（2016年全国卷1-20）设圆的圆心为A ，直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明为定值，并写出点E 的轨迹方程；

（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ,N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.

.

4.（2015•四川）如图，椭圆E ：的离心率是，过点P （0，1）的动直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为2．

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

222150x y x ++-=EA EB

+

2. （1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 2,3P ，4P 三点. 因此22211,131,4b a

b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 故C 的方程为2214x y +=

(2) 设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，

如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t

，（t

，.

则121k k +==-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2

214

x y +=得 222(41)8440k x kmx m +++-=.

由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.

设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841km k -+，x 1x 2=224441

m k -+. 而121212

11y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=

+ 121212

2(1)()kx x m x x x x +-+=. 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=. 即222448(21)(1)04141

m km k m k k --+⋅+-⋅=++. 解得12

m k +=-. 当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-

+，即(1)22

x x m y -=+ 所以l 过定点（2，1-）. 4.(1) ∴椭圆E 的方程为：+=1；

(2) (2)假设存在满足题意的定点Q 。

当直线l 平行于x 轴时，1==QA PA

QB PB ，,A B 两点关于y 轴对称，得Q 在y 轴上。不妨设()0,Q a

当直线l 为y

轴时，1==≠QA PA a QB PB 。解得2=a 下证对一般的直线:

1=+l y kx ，()0,2Q 也满足题意。 由=QA PA

QB PB 得y 轴为∠AQB 的角平分线。所以=-QA QB k k 。

不妨设()()1122,,,A x y B x y

11221,1=+=+y kx y kx ,

12

1222--=-y y x x ，化简得12122=+kx x x x ① 又椭圆方程与直线方程联立得：

22124=+⎧⎨+=⎩

y kx x y ，()2212420++-=k x kx 12122242,1212-+=-=++k x x x x k k 带入①得成立。 3. 故假设成立。综上存在点满足题意。

3.