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中考数学二模试题(含解析)

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中考二模测试《数学试题》含答案解析

中考二模测试《数学试题》含答案解析

数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上)1. 下列图标，是轴对称图形的是( )A. B.C. D.2. 如图，若A、B分别是实数a、b在数轴上对应的点，则下列式子的值一定是正数的是()A. b＋aB. b－aC. a bD. b a3. 关于代数式x＋2的结果，下列说法一定正确的是()A. 比2大B. 比2小C. 比x大 D. 比x小4. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(1，1)和点(3，0)．关于这个二次函数的描述：①a＜0，b＞0，c＜0;②当x＝2时，y的值等于1;③当x＞3时，y的值小于0．正确的是()A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③5. 计算999－93的结果更接近()A. 999B. 998C. 996D. 9336. 如图，点P是⊙O外任意一点，PM、PN分别是⊙O的切线，M、N是切点．设OP与⊙O交于点K．则点K是△PMN的( )A. 三条高线的交点B. 三条中线的交点C. 三个角的角平分线的交点D. 三条边的垂直平分线的交点二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上)7. 13的相反数是______，13的倒数是______．8. 若△ABC∽△DEF，请写出2个不同类型的正确的结论：______，______．9. 如果﹣2x m y3与xy n是同类项，那么2m﹣n的值是_____．10. 分解因式2x2y－4xy＋2y的结果是_____．11. 已知x1、x2是一元二次方程x2＋x－3＝0的两个根，则x1＋x2－x1x2＝______．12. 用半径为4的半圆形纸片恰好折叠成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为______．13. 如图，点A在函数y＝kx(x＞0)的图像上，点B在x轴正半轴上，△OAB是边长为2的等边三角形，则k的值为______．14. 如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．当□ABCD满足____时，四边形EHFG是菱形．15. 如图，一次函数y＝－43x＋8的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点．P是x轴上一个动点，若沿BP将△OBP翻折，点O恰好落在直线AB上的点C处，则点P的坐标是______．16. 如图，将一幅三角板的直角顶点重合放置，其中∠A=30°，∠CDE=45°．若三角板ACB 的位置保持不动，将三角板DCE 绕其直角顶点C 顺时针旋转一周．当△DCE 一边与AB 平行时，∠ECB 的度数为_________________________．三、解答题(本大题共11小题，共88分．请在答题．．卡指定区域．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 求不等式3x ≤1＋12x -的负整数解． 18. (1)化简：244x -－12x -;(2)解方程244x -－12x -＝12． 19. 小莉妈妈支付宝用来生活缴费和网购．如图是小莉妈妈2017年9月至12月支付宝消费情况的统计图(单位：元)．(1)11月支出较多，请你写出一个可能的原因．(2)求这4个月小莉妈妈支付宝平均每月消费多少元．(3)用(2)中求得的平均数来估计小莉妈妈支付宝2018年平均每月消费水平，你认为合理吗?为什么?20. 转转盘和摸球是等可能概率下的经典模型．(1)如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．小莉让转盘自由转动2次，求指针2次都落在黑色区域的概率．(2)小刚在一个不透明的口袋中，放入除颜色外其余都相同的18个小球，其中4个白球，6个红球，8个黄球．搅匀后，随机摸1个球，若事件A的概率与(1)中概率相同，请写出事件A．21. 春天来了，石头城边，秦淮河畔，鸟语花香，柳条飘逸．为给市民提供更好的休闲锻炼环境，决定对一段总长为1800米的外秦淮河沿河步行道出新改造，该任务由甲、乙两工程队先后接力完成．甲工程队每天改造12米，乙工程队每天改造8米，共用时200天．(1)根据题意，小莉、小刚两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：小莉：___128_____x yx y+=⎧⎨+=⎩小刚：________128x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩根据两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框中补全小莉、小刚两名同学所列的方程组：小莉：x表示，y表示;小刚：x表示，y表示．(2)求甲、乙两工程队分别出新改造步行道多少米．22. 如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为α、β，两人的距离(BD)是100 m，如果爸爸的眼睛离地面的距离(AB)为1.6 m，小莉的眼睛离地面的距离(CD)为1.2 m，那么气球的高度(PQ)是多少?(用含α、β的式子表示)23. 南京、上海相距约300 km，快车与慢车速度分别为100 km/ h和50 km/ h，两车同时从南京出发，匀速行驶，快车到达上海后，原路返回南京，慢车到达上海后停止．设两车出发后的时间为x h，快车、慢车行驶过程中离南京的路程为y1、y2 km．(1)求y1、y2与x之间的函数关系式，并在下列平面直角坐标系中画出它们的图像;(2)若镇江、南京相距约80 km，求两车经过镇江的时间间隔;(3)直接写出出发多长时间，两车相距100 km．24. 如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．小莉说：当AB＋BD＝AC＋CD时，则△ABC是等腰三角形．她说法正确吗，如正确，请证明;如不正确，请举反例说明．25. 某景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图示，单位：m.)现在其中修建一条观花道(图中阴影部分)供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.(1)求y与x的函数表达式;(2)若改造后观花道的面积为13m2，求x的值;(3)若要求0.5≤ x ≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值.26. 如图1，点O为正方形ABCD 的中心，E为AB 边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于BC 的长.(1)求∠EOF 的度数.(2)连接OA、OC(如图2).求证：△AOE∽△CFO.(3)若OE=52OF，求AECF的值.27. 在解决数学问题时，我们常常从特殊入手，猜想结论，并尝试发现解决问题的策略与方法．【问题提出】求证：如果一个定圆内接四边形对角线互相垂直，那么这个四边形的对边的平方和是一个定值．从特殊入手】我们不妨设定圆O的半径是R，⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD．请你在图①中补全特殊殊位置时的图形，并借助于所画图形探究问题的结论．【问题解决】已知：如图②，定圆⊙O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．求证：．证明：答案与解析一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上) 1. 下列图标，是轴对称图形的是( ) A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义逐项进行分析判断即可得.【详解】A 、不是轴对称图形，故不符合题意;B 、不是轴对称图形，故不符合题意;C 、不是轴对称图形，故不符合题意;D 、是轴对称图形，故符合题意，故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形，熟知轴对称图形是一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合的图形是解题的关键.2. 如图，若A 、B 分别是实数a 、b 在数轴上对应的点，则下列式子的值一定是正数的是( )A. b ＋aB. b －aC. a bD. b a【答案】B【解析】 分析：根据数轴上数的大小以及各种计算法则即可得出答案．详解：根据数轴可得：a+b ＜0;b －a ＞0;0b a;计算b a 时，如果b 为偶数，则结果为正数，b 为奇数时，结果为负数．故本题选B．点睛：本题主要考查的是数轴以及各种计算法则，属于基础题型．理解各种计算法则是解决这个问题的关键．3. 关于代数式x＋2结果，下列说法一定正确的是()A. 比2大B. 比2小C. 比x大 D. 比x小【答案】C【解析】【分析】分情况讨论：当x＜0时;当x＞0时;x取任何值时，就可得出答案.【详解】当x＜0时，则x+2比2小，则A不符合题意;当x＞0时，则x+2比2大，则B不符合题意;x取任何值时，x+2比x大，则D不符合题意，故选C．【点睛】本题考查了实数大小的比较，正确地分类讨论是解题的关键.4. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(1，1)和点(3，0)．关于这个二次函数的描述：①a＜0，b＞0，c＜0;②当x＝2时，y的值等于1;③当x＞3时，y的值小于0．正确的是()A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B【解析】分析：根据二次函数的开口方向、对称轴与y轴的交点得出①、根据对称性得出②、根据函数图像得出③．详解：根据图像可得：a＜0，b＞0，c＜0，故正确;∵对称轴大于1.5，∴x=2时的值大于x=1的函数值，故错误;根据图像可得：当x＞3时，y的值小于0，故正确;故选B．点睛：本题主要考查的是二次函数的图象与系数之间的关系，属于中等难度的题型．理解函数图像与系数之间的关系是解题的关键．5. 计算999－93的结果更接近()A. 999B. 998C. 996D. 933【答案】A【解析】分析：根据幂的大小进行求值，从而得出答案．详解：根据幂的性质可得：999－93最接近于999，故选A．点睛：本题主要考查的是幂的计算法则，属于中等难度的题型．明白幂的定义是解决这个问题的关键．6. 如图，点P是⊙O外任意一点，PM、PN分别是⊙O的切线，M、N是切点．设OP与⊙O交于点K．则点K是△PMN的( )A. 三条高线的交点B. 三条中线的交点C. 三个角的角平分线的交点D. 三条边的垂直平分线的交点【答案】C【解析】【分析】连接OM、ON，NK，根据切线的性质及角平分线的判定定理，可得出答案.【详解】如图，连接OM、ON，NK，∵PM、PN分别是⊙O的切线，∴ON⊥PN，OM⊥PM，MN⊥OP，∠OPN=∠OPM，∴∠1+∠ONK=90°，∠2+∠OKN=90°，∵OM=ON，∴∠OPN=∠OPM，∠ONK=∠OKN，∴∠1=∠2，∴点K是△PMN的角平分线的交点，故选C.【点睛】本题考查了切线长定理、角平分线定义，熟练掌握切线长定理的内容是解题的关键.二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上)7. 13的相反数是______，13的倒数是______．【答案】(1). －13(2). 3【解析】分析：当两数只有符号不同时，则两数互为相反数;当两数的积为1时，则两数互为倒数．根据定义即可得出答案．详解：13的相反数是13-，13的倒数是3．点睛：本题主要考查的是相反数和倒数的定义，属于基础题型．理解定义是解决这个问题的关键．8. 若△ABC∽△DEF，请写出2个不同类型的正确的结论：______，______．【答案】(1). ∠A＝∠D (2). ∠B＝∠E【解析】分析：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．详解：∵△ABC∽△DEF，∴∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，AB AC BC DE DF EF==．点睛：本题主要考查的是相似三角形的性质，属于基础题型．明白相似三角形的性质是解决这个问题的关键．9. 如果﹣2x m y3与xy n是同类项，那么2m﹣n的值是_____．【答案】-1【解析】【分析】同类项是指所含的字母相同，且相同字母的指数相同的单项式．根据定义求出m和n的值，从而得出答案．【详解】根据题意可得：m=1，n=3，∴2m－n=2×1－3=－1．故答案是：-1．【点睛】本题主要考查的是同类项的定义，属于基础题型．理解定义是解决这个问题的关键．10. 分解因式2x 2y －4xy ＋2y 的结果是_____．【答案】2y(x －1)2【解析】分析：首先提取公因式2y ，然后利用完全平方公式得出答案．详解：原式=2y(22x 1x -+)=()22y x 1-．点睛：本题主要考查的是因式分解，属于基础题型．因式分解的方法有：提取公因式、公式法和十字相乘法等，有公因式我们都需要进行提取公因式．11. 已知x 1、x 2是一元二次方程x 2＋x －3＝0的两个根，则x 1＋x 2－x 1x 2＝______．【答案】2【解析】分析：首先根据韦达定理求出两根之和和两根之积，从而得出答案．详解：∵121b x x a +=-=-，123c x x a==-， ∴原式=－1－(－3)=－1+3=2． 点睛：本题主要考查的是一元二次方程的韦达定理，属于基础题型．明白韦达定理的计算公式是解决这个问题的关键．12. 用半径为4的半圆形纸片恰好折叠成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为______．【答案】2【解析】分析：根据圆锥的侧面展开图的圆心角的计算公式即可得出答案．详解：∵设圆锥的半径为r ，母线长为4，∴θ360r l =⨯︒，即1803604r ︒=⨯︒，解得：r=2． 点睛：本题主要考查的是圆锥的侧面展开图，属于中等难度题型．明白展开图的圆心角计算公式即可得出答案．13. 如图，点A 在函数y ＝k x(x ＞0)的图像上，点B 在x 轴正半轴上，△OAB 是边长为2的等边三角形，则k 的值为______．【答案】3【解析】【分析】首先过点A作AC⊥OB，根据等边三角形的性质得出点A的坐标，从而得出k的值．【详解】分析：解：过点A作AC⊥OB，∵△OAB为正三角形，边长为2，∴OC=1，AC=3，∴k=1×3=3．故答案为：3【点睛】本题主要考查的是待定系数法求反比例函数解析式以及等边三角形的性质，属于基础题型．得出点A的坐标是解题的关键．14. 如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．当□ABCD满足____时，四边形EHFG是菱形．【答案】答案不唯一，如：∠ABC＝90°等【解析】分析：首先根据题意得出四边形EHFG为平行四边形，然后根据直角三角形斜中线的性质得出EH=HF，从而得出菱形．详解：∵E、F为AB、CD的中点，∴EG∥HF，EH∥FG，∴四边形EHFG为平行四边形，当∠ABC=90°时，∴BH=EH=HF，∴四边形EHFG为菱形．点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质以及菱形的判定定理，属于基础题型．理解菱形的判定定理是解决这个问题的关键．15. 如图，一次函数y ＝－43x ＋8图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点．P 是x 轴上一个动点，若沿BP 将△OBP 翻折，点O 恰好落在直线AB 上的点C 处，则点P 的坐标是______．【答案】(83，0)，(－24，0) 【解析】【分析】根据题意得出OA ，OB 和AB 的长度，然后根据折叠图形的性质分两种情况来进行，即点P 在线段OA 上和点P 在x 轴的负半轴上，然后根据Rt △APC 的勾股定理求出点P 的坐标．【详解】根据题意可得：OA=6，OB=8，则AB=10，①、当点P 在线段OA 上时，设点P 的坐标为(x ，0)，则AP=6－x ，BC=OB=8，CP=OP=x ，AC=10－8=2，∴根据勾股定理可得：()22226x x +=-，解得：x=83， ∴点P 的坐标为(83，0);②、当点P 在x 轴的负半轴上时，设OP 的长为x ，则AP=6+x ，BC=8，CP=OP=x ，AC=10+8=18，∴根据勾股定理可得：()222186x x +=+，解得：x=24，∴点P 的坐标为(－24，0);∴综上所述，点P 的坐标为(83，0)，(－24，0)． 【点睛】本题主要考查的是折叠图形的性质以及直角三角形的勾股定理的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是根据题意画出图形得出直角三角形．16. 如图，将一幅三角板的直角顶点重合放置，其中∠A=30°，∠CDE=45°．若三角板ACB 的位置保持不动，将三角板DCE 绕其直角顶点C 顺时针旋转一周．当△DCE 一边与AB 平行时，∠ECB 的度数为_________________________．【答案】15°、30°、60°、120°、150°、165° 【解析】分析：根据CD ∥AB ，CE ∥AB 和DE ∥AB 三种情况分别画出图形，然后根据每种情况分别进行计算得出答案，每种情况都会出现锐角和钝角两种情况．详解：①、∵CD ∥AB ， ∴∠ACD=∠A=30°， ∵∠ACD+∠ACE=∠DCE=90°， ∠ECB+∠ACE=∠ACB=90°，∴∠ECB=∠ACD=30°;CD ∥AB 时，∠BCD=∠B=60°，∠ECB=∠BCD+∠EDC=60°+90°=150°②如图1，CE ∥AB ，∠ACE=∠A=30°，∠ECB=∠ACB+∠ACE=90°+30°=120°;CE ∥AB 时，∠ECB=∠B=60°．③如图2，DE ∥AB 时，延长CD 交AB 于F ， 则∠BFC=∠D=45°，在△BCF 中，∠BCF=180°-∠B-∠BFC ，=180°-60°-45°=75°， ∴ECB=∠BCF+∠ECF=75°+90°=165°或∠ECB=90°－75°=15°．点睛：本题主要考查的是平行线的性质与判定，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是根据题意得出图形，然后分两种情况得出角的度数．三、解答题(本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 求不等式3x ≤1＋12x -的负整数解． 【答案】－3、－2、－1．【解析】【分析】 首先根据解不等式的方法求出不等式的解，从而得出不等式的负整数解．【详解】解： 2x≤6＋3(x - 1)，2x≤6＋3x －3，解得：x≥－3．所以这个不等式的负整数解为－3、－2、－1．【点睛】本题主要考查的是解不等式，属于基础题型．在解不等式的时候，如果两边同时乘以或除以一个负数时，不等符号需要改变．18. (1)化简：244x -－12x -;(2)解方程244x -－12x -＝12． 【答案】(1)12x -+;(2)－4． 【解析】分析：(1)、首先将分式进行通分，然后进行减法计算得出答案;(2)、首先进行去分母将其转化为整式方程，从而求出方程的解，最后需要对方程的解进行检验．详解：(1)、解：－＝ － ＝ ＝ ＝ ＝－ ．(2)、去分母可得：8－2(x+2)=(x+2)(x －2)， 化简可得：22x 80x +-=，解得：1242x x =-=，，经检验：x=2是方程的增根，x=－4是方程的解．点睛：本题主要考查的是分式的化简以及解分式方程，属于基础题型．解决这个问题的关键就是学会将分式的分子和分母进行因式分解．19. 小莉妈妈的支付宝用来生活缴费和网购．如图是小莉妈妈2017年9月至12月支付宝消费情况的统计图(单位：元)．(1)11月支出较多，请你写出一个可能的原因．(2)求这4个月小莉妈妈支付宝平均每月消费多少元．(3)用(2)中求得的平均数来估计小莉妈妈支付宝2018年平均每月消费水平，你认为合理吗?为什么?【答案】(1)见解析;(2)848元;(3)不合理，理由见解析.【解析】分析：(1)、这个只要回答的合情合理即可得出答案;(2)、根据平均数的计算法则得出答案;(3)、11月份出现了极端值，会较大的影响平均每月消费水平．详解：解：(1)、答案不唯一，学生说法只要合理均给分．如双11淘宝购物花费较多等．(2)、这4个月小莉妈妈支付宝每月平均消费为：＝×(488.40+360.20+1942.60+600.80)＝ 848(元)．(3)、用这个平均数来估计小莉妈妈支付宝平均每月消费水平不合理．因为这个平均数受极端值(11月数据)影响较大，不能代表平均每月消费水平．点睛：本题主要考查的是平均数的计算法则，属于基础题型．明白计算法则是解决这个问题的关键．20. 转转盘和摸球是等可能概率下的经典模型．(1)如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别为120°和240°．小莉让转盘自由转动2次，求指针2次都落在黑色区域的概率．(2)小刚在一个不透明的口袋中，放入除颜色外其余都相同的18个小球，其中4个白球，6个红球，8个黄球．搅匀后，随机摸1个球，若事件A的概率与(1)中概率相同，请写出事件A．【答案】(1)P(指针2次都落在黑色区域)＝49;(2)事件A为摸得黄球．【解析】分析：(1)、根据题意列出所有可能出现的情况，然后得出概率;(2)、根据概率的计算法则得出所有情况的概率，然后得出答案．详解：解：(1)如图，把黑色扇形等分为黑1、黑2两个扇形，转盘自由转动2次，指针所指区域的结果如下：(白，白)，(白，黑1)，(白，黑2)，(黑1，白)，(黑1，黑1)，(黑1，黑2)，(黑2，白)，(黑2，黑1)，(黑2，黑2)．所有可能的结果共9种，它们是等可能的，其中指针2次都落在黑色区域的结果有4种．所以P(指针2次都落在黑色区域)＝．(2)事件A为摸得黄球．点睛：本题主要考查的是概率的计算法则，属于基础题型．理解概率的计算公式是解题的关键．21. 春天来了，石头城边，秦淮河畔，鸟语花香，柳条飘逸．为给市民提供更好的休闲锻炼环境，决定对一段总长为1800米的外秦淮河沿河步行道出新改造，该任务由甲、乙两工程队先后接力完成．甲工程队每天改造12米，乙工程队每天改造8米，共用时200天．(1)根据题意，小莉、小刚两名同学分别列出尚不完整的方程组如下：小莉：___128_____x yx y+=⎧⎨+=⎩小刚：________128x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩根据两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框中补全小莉、小刚两名同学所列的方程组：小莉：x表示，y表示;小刚：x表示，y表示．(2)求甲、乙两工程队分别出新改造步行道多少米．【答案】(1)见解析;(2)甲、乙两工程队分别出新改造600米、1200米．【解析】分析：(1)、小莉：x表示甲工程队改造的天数，y表示乙工程队改造的天数;小刚：x表示甲工程队改造的长度，y表示乙工程队改造的长度;(2)、根据题意解方程组，从而得出答案．详解：解：(1)、小莉：小刚：小莉：x表示甲工程队改造的天数，y表示乙工程队改造的天数;小刚：x表示甲工程队改造的长度，y表示乙工程队改造的长度．(2)、解小莉方程组得所以12x＝600，8y＝1200．答：甲、乙两工程队分别出新改造600米、1200米．点睛：本题主要考查的是二元一次方程组的实际应用问题，属于基础题型．解决应用题的关键在于找出等量关系，列出方程组．22. 如图，爸爸和小莉在两处观测气球的仰角分别为α、β，两人的距离(BD)是100 m，如果爸爸的眼睛离地面的距离(AB)为1.6 m，小莉的眼睛离地面的距离(CD)为1.2 m，那么气球的高度(PQ)是多少?(用含α、β的式子表示)【答案】气球高度是100tan tan 1.2tan 1.6tantan tanαβαββα-+-m．【解析】分析：过点A作AE⊥PQ于点E，过点C作CF⊥PQ于点F，设PQ＝x m，根据Rt△PEA的三角形函数得出AE的长度，根据Rt△PCF的三角函数得出CF的长度，最后根据BD=AE－CF求出x的值，得出答案．详解：解：过点A作AE⊥PQ于点E，过点C作CF⊥PQ于点F．设PQ＝x m，则PE＝(x－1.6)m，PF＝(x－1.2)m．在△PEA中，∠PEA＝90°．则tan∠PAE＝．∴ AE＝．在△PCF中，∠PFC＝90°．则tan∠PCF＝．∴ CF＝．∵ AE－CF＝BD．∴－＝100．解得x＝．答：气球的高度是m．点睛：本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，属于基础题型．解决这个问题的关键在于构造出直角三角形．23. 南京、上海相距约300 km，快车与慢车的速度分别为100 km/ h和50 km/ h，两车同时从南京出发，匀速行驶，快车到达上海后，原路返回南京，慢车到达上海后停止．设两车出发后的时间为x h，快车、慢车行驶过程中离南京的路程为y1、y2 km．(1)求y1、y2与x之间的函数关系式，并在下列平面直角坐标系中画出它们的图像;(2)若镇江、南京相距约80 km，求两车经过镇江的时间间隔;(3)直接写出出发多长时间，两车相距100 km．【答案】(1)画图见解析;(2)两车经过镇江的时间间隔为0.8 h或3.6 h;(3)出发2 h或103h或143h后，两车相距100 km．【解析】分析：(1)、根据待定系数法求出函数解析式，然后再图中画出函数图像;(2)、将y=80代入函数解析式，分别求出x的值，从而得出时间差;(3)、根据函数值相差100列出一元一次方程(分三段来进行解答)，从而得出答案．详解：解：(1)当0≤x≤3时，y1＝100x，当3≤x≤6时，y1＝600－100x;当0≤x≤6时，y2＝50x．y1、y2与x的函数图像如下：(2)、当y1＝80时，100x＝80或600－100x＝80．解得x＝0.8或5.2;当y2＝80时，50x＝80．解得x＝1.6．所以1.6－0.8＝0.8，5.2－1.6＝3.6．两车经过镇江的时间间隔为0.8 h或3.6 h．(3)、出发2 h或h或h后，两车相距100 km．点睛：本题主要考查的是一次函数的实际应用，属于中等难度的题型．得出函数解析式是解决这个问题的关键．24. 如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D．小莉说：当AB＋BD＝AC＋CD时，则△ABC是等腰三角形．她的说法正确吗，如正确，请证明;如不正确，请举反例说明．【答案】小莉说法正确，证明见解析.【解析】分析：延长CB至E，使AB＝EB，延长BC至F，使AC＝FC，连接AE、AF，然后证明△ADE和△ADF 全等，从而得出∠E=∠F，结合∠E＝∠EAB＝∠F＝∠FAC得出∠ABC=∠ACB，从而得出答案．详解：小莉说法正确．证明：延长CB至E，使AB＝EB，延长BC至F，使AC＝FC，连接AE、AF．则∠E＝∠EAB，∠F＝∠FAC．∵ AB＋BD＝AC＋CD，∴ DE＝DF．∵ AD⊥BC，∴∠ADE＝∠ADF＝90°．∵ DE＝DF，∠ADE＝∠ADF＝90°，AD＝AD，∴△ADE≌△ADF(SAS)．∴∠E＝∠F．∴∠E＝∠EAB＝∠F＝∠FAC．∴∠ABC＝∠ACB．∴ AB＝AC．即△ABC是等腰三角形．点睛：本题主要考查的是等腰三角形的判定与三角形全等，属于基础题型．解决这个问题的关键就是作出辅助线得出三角形全等．25. 某景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图示，单位：m.)现在其中修建一条观花道(图中阴影部分)供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.(1)求y与x的函数表达式;(2)若改造后观花道的面积为13m2，求x的值;(3)若要求0.5≤ x ≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值.【答案】(1)y= x2-14x+48(0<x<6);(2)1;(3)改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为41.25m2．【解析】【分析】(1)、利用三角形的面积计算公式得出y与x的函数关系式;(2)、将y=35代入函数解析式求出x的值;(3)、利用配方法将函数配成顶点式，然后根据函数的增减性得出最值．【详解】解：(1)y＝(8－x)(6－x)＝x2－14x＋48．(2)由题意，得x2－14x＋48＝6×8－13，解得：x1＝1，x2＝13(舍去)．所以x＝1．(3)y＝x2－14x＋48＝(x－7)2－1．因为a＝1＞0，所以函数图像开口向上，当x＜7时，y随x增大而减小．所以当x＝0.5时，y最大．最大值为41.25．答：改造后油菜花地所占面积的最大值为41.25 m2．【点睛】本题主要考查的是二次函数的实际应用问题，属于中等难度题型．根据题意列出函数解析式是解决这个问题的关键．26. 如图1，点O为正方形ABCD 的中心，E为AB 边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于BC 的长.(1)求∠EOF 的度数.(2)连接OA、OC(如图2).求证：△AOE∽△CFO.(3)若OE=52OF，求AECF的值.【答案】(1)45°;(2)证明见解析;(3)5 4【解析】【分析】(1).在BC上取一点G，使得CG=BE，连接OB、OC、OG，然后证明△OBE和△OCG全等，从而得出∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE＝OG，根据三角形的周长得出EF=GF，从而得出△FOE和△GOF 全等，得出∠EOF的度数;(2)、连接OA，根据点O为正方形ABCD的中心得出∠OAE=∠FCO=45°，结合∠BOE=∠COG得出∠AEO=∠COF，从而得出三角形相似;(3)、根据相似得出线段比，根据相似比求出AE和CO的关系，CF和AO的关系，从而得出答案．【详解】解：(1).如图，在BC上取一点G，使得CG=BE，连接OB、OC、OG.∵点O为正方形ABCD的中心，∴ OB=OC，∠BOC＝90°，∠OBE＝∠OCG＝45°．∴△OBE≌△OCG(SAS).∴∠BOE＝∠COG，∠BEO＝∠CGO，OE＝OG.∴∠EOG＝90°，∵△BEF的周长等于BC的长，∴ EF＝GF.∴△EOF≌△GOF(SSS).∴∠EOF＝∠GOF＝45°．(2).连接OA．∵点O为正方形ABCD的中心，∴∠OAE＝∠FCO＝45°．∵∠BOE＝∠COG，∠AEO＝∠BOE＋∠OBE＝∠BOE＋45°，∠COF＝∠COG＋∠GOF＝∠COG＋45°．∴∠AEO＝∠COF，且∠OAE＝∠FCO．∴△AOE∽△CFO．(3).∵△AOE∽△CFO，∴AOCF＝OEFO＝AECO．即AE＝OEFO×CO，CF＝AO÷OEFO．∵OE OF，∴ OEFO．∴AECO，CF．∴AECF＝54．点睛：本题主要考查的是正方形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形相似的判定与性质，综合性非常强，难度较大．熟练掌握正方形的性质是解决这个问题的关键．27. 在解决数学问题时，我们常常从特殊入手，猜想结论，并尝试发现解决问题的策略与方法．【问题提出】求证：如果一个定圆的内接四边形对角线互相垂直，那么这个四边形的对边的平方和是一个定值．【从特殊入手】我们不妨设定圆O的半径是R，⊙O的内接四边形ABCD中，AC⊥BD．请你在图①中补全特殊殊位置时的图形，并借助于所画图形探究问题的结论．【问题解决】已知：如图②，定圆⊙O的半径是R，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC⊥BD．求证：．证明：。

2024年广东省深圳市34校初三二模联考数学试题含答案解析

2024年广东省深圳市34校初三二模联考数学试题含答案解析

2024年广东省深圳市34校中考二模联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某运动项目的比赛规定，胜一场记作“＋1”分，平局记作“0”分，如果某队得到“－1”分，则该队在比赛中（）A．与对手打成平局B．输给对手C．打赢了对手D．无法确定【答案】B【分析】根据正负数的概念即可得出答案．【详解】解：由题意可知：胜一场记作“＋1”分，平局记作“0”分，∴某队得到“－1”分，则球队比赛输给了对手．故选：B．【点睛】本题考查了正数和负数的概念，解题的关键是理解正数和负数的意义．2．花窗是中国古代园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．下列花窗图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．【详解】∵不是轴对称图形，也不是中心对称图形，∴不符合题意；∵ 是轴对称图形，也是中心对称图形，∴符合题意；∵不是轴对称图形，也不是中心对称图形，∴不符合题意；∵不是中心对称图形，∴不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；中心对称图形绕某点旋转180°与原图形完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．3．中国海关总署于2024年1月12日发布消息称：2023年我国汽车出口量为522万辆，同比增加57.4%．数据“522万”用科学记数法表示应为（ ）A ．75.2210⨯B ．65.2210⨯C ．452210⨯D ．70.52210⨯【答案】B【分析】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．科学记数法的表现形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n 是正整数，当原数绝对值小于1时，n 是负整数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：522万65220000 5.2210==⨯．故选：B ．4．下图是深圳市2024年4月7~11日的天气情况，这5天中最低气温（单位：℃）的中位数与众数分别是（ ）A ．19，19B ．19，18C ．18，19D ．20，19【答案】A【分析】本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确题意，利用众数和中位数的知识解答．根据这5天的最低气温，先按照从低到高排列，然后即可得到这组数据的中位数和众数，本题得以解决．【详解】解：这5天中最低气温从低到高排列是：18，19，19，20，23，故这组数据的中位数是19，众数是19，故选：A ．5．如图是某款婴儿手推车的平面示意图，若1130335AB CD ∠=︒∠=︒∥，，，则2∠的度数为（ ）A ．75°B ．80°C ．85°D ．90°【答案】C【分析】本题考查了平行线的性质，关键是由平行线的性质推出335ABC ∠=∠=︒，由三角形外角的性质即可求出2∠的度数．由平行线的性质推出，由邻补角的性质得到418013050∠=︒-︒=︒，由三角形外角的性质即可求出2485ABC ∠=∠+∠=︒．【详解】解：如图，∵AB CD ，∴335ABC ∠=∠=︒，∵1130∠=︒，∴418013050∠=︒-︒=︒，∴2485ABC ∠=∠+∠=︒．故选：C ．6．下列计算正确的是（ ）A ．236a a a ⋅=B ．2323a a a +=C ．()22343218ab ab a b -⋅=-D ．()32623ab ab b÷-=-【答案】D【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，单项式除以单项式，同底数幂乘法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键．【详解】解：A 、235a a a ⋅=，原式计算错误，不符合题意；B 、a 与22a 不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；C 、()2223422322198a b ab ab ab a b -⋅⋅==，原式计算错误，不符合题意；D 、()32623ab ab b ÷-=-，原式计算正确，符合题意；故选：D ．7．如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度AB 为60cm ，桌面平放时高度DE 为70cm ，若书写时桌面适宜倾斜角ABC ∠的度数为α，则桌沿（点A ）处到地面的高度h 为（ ）A ．()60sin 70cm α+B ．(60cos 70)cm α+C ．(60tan 70)cm α+D ．130cm【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据题意可得：AC CB ⊥，然后在Rt ACB △中，利用锐角三角函数的定义求出AC 的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：由题意得：AC CB ⊥，在Rt ACB △中，60cm AB =ABC α∠=，∴sin 60sin AC AB αα=⋅=，∵70cm DE =，∴桌沿（点A ）处到地面的高度()60sin 70cm h AC DE α=+=+．故选：A ．8．在同一直角坐标系中，一次函数1212(0)2y x y kx b k =+=+<，的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）A ．2y 随x 的增大而减小B ．3b >C ．当120y y <<时，12x -<<D ．方程组24x y kx y b -=-⎧⎨-=-⎩的解为23x y =⎧⎨=⎩【答案】C9．下图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两：如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x 两，共有y 人，则所列方程（组）错误的是（ ）隔壁听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤.《算法统宗》注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语A ．7498y y +=-B ．4879x x -+=C ．7498y x y x =-⎧⎨=+⎩D ．7498y x y x=+⎧⎨-=⎩【答案】D【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．10．如图（a ），A ，B 是⊙O 上两定点，90AOB ∠=︒，圆上一动点P 从点B 出发，沿逆时针方向匀速运动到点A ，运动时间是()s x ，线段AP 的长度是()cm y ．图（b ）是y 随x 变化的关系图象，其中图象与x 轴交点的横坐标记为m ，则m 的值是（ ）A ．8B ．6C ．D ．143【答案】B【分析】本题考查了动点问题的函数图形，合理分析动点P 的运动时间是解题关键．根据AP 最长时经过的路程所用的运动时间，求出总路程所用的时间是之前的三倍，即可解答．【详解】解：如图，当点P 运动到PA 过圆心O ，即PA 为直径时，AP 最长，由图（b ）得，AP 最长时为6，此时2x =，90AOB ∠=︒Q ，90POB ∴∠=︒，∴此时点P 路程为90度的弧，点P 从点B 运动到点A 的弧度为270度，∴运动时间为236⨯=，故选：B ．二、填空题11＝ ．12．若关于x 的一元二次方程()222420a x x a a -+-+=有一个根为0，则=a ．【答案】0【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程解的意义是解本题的关键．把0x =代入一元二次方程()222420a x x a a -+-+=中求出a 的值，再根据一元二次方程的定义判断即可．【详解】解：把0x =代入方程()222420a x x a a -+-+=得：220a a -+=，解得0a =或2a =，∵方程()222420a x x a a -+-+=是关于x 的一元二次方程，∴20a -≠，∴2a ≠．∴a 的值为0．故答案为：0．13．老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将4种生活现象制成如图所示的4张无差别的卡片A ，B ，C ，D ．将卡片背面朝上，小明同学从中随机抽取2张卡片，则所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率是 ．A 冰化成水B 酒精燃烧C 牛奶变质D衣服晾干共有12种等可能的结果，其中所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的结果有：共2种，∴所抽取的2张卡片刚好都是物理变化的概率为14．如图，正比例函数()0y ax a =>的图象与反比例函数()0ky k x=>的图象交于A ，B 两点，过点A 的直线分别与x 轴、y 轴交于C ，D 两点．当2AC AD =，18BCD S =△时，则k =．15．如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，过点E 作ED 的垂线交BC 于点F ，对角线AC 分别交DE ，DF 于点G ，H ，当DH AC ⊥时，则GH EF的值为 ．三、解答题16．（1）计算：()02120248cos603π-⎛⎫--︒+- ⎪⎝⎭；（2）化简：22211121a a a a -⎛⎫-⋅ ⎪+-+17．在直角坐标系中，将ABC 进行平移变换，变换前后点的坐标的情况如下表：变换前ABC ()1,1A ()4,1B ()4,5C 变换后A B C ''' ()6,3A '()9,3B 'C '(1)平移后点C '的坐标是______，并在直角坐标系中画出A B C ''' ；(2)若(),P m n 是ABC 内一点，通过上述平移变换后，点P 的对应点P '的坐标可表示为______；(3)连接BB '，CC '，则四边形BB C C ''的形状是______，其面积为______．【答案】(1)()9,7，画图见解析(2)()5,2m n ++；(3)平行四边形，20【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，平移的性质，平行四边形的性质与判定等等：（1）根据()1,1A ，()6,3A '可得平移方式为向右平移5个单位长度，向上平移2个单位长度，据此求出C '的坐标，再描出A B C '''、、，然后顺次连接A B C '''、、即可；（2）根据（1）所求的平移方式即得到答案；（3）根据平移的性质得到BB CC BB CC ''''=，∥，则四边形BB C C ''的形状是平行四边形，则4520BB C C S ''=⨯=四边形．【详解】（1）解：∵A B C ''' 是ABC 平移得到的()1,1A ，()6,3A '，∴平移方式为向右平移5个单位长度，向上平移2个单位长度，∵()4,5C ，∴()45,52C +'+，即()9,7C '，故答案为：()9,7C '如图所示，A B C ''' 即为所求；（2）解：∵A B C ''' 是ABC 向右平移5个单位长度，向上平移2个单位长度得到的，(),P m n 是ABC 内一点，∴点P 的对应点P '的坐标可表示为()5,2m n ++，故答案为：()5,2m n ++；（3）解：由平移的性质可得BB CC BB CC ''''=，∥，∴四边形BB C C ''的形状是平行四边形，∴4520BB C C S ''=⨯=四边形．故答案为：平行四边形，20．18．某校学生的上学方式分为“A 步行、B 骑车、C 乘公共交通工具、D 乘私家车、E 其它”，该校数学兴趣小组成员在全校随机抽取了若干名学生进行抽样调查，并整理样本数据，得到如下两幅不完整的统计图：(1)本次抽样调查的人数为______人，并补全条形统计图；(2)扇形统计图中“A 步行”上学方式所对的圆心角是______度；(3)若该校共2000名学生，请估计该校“B骑车”上学的人数约是______人；(4)该校数学兴趣小组成员结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议．如：骑车上学的学生超过全校学生总人数的30%，建议学校合理安排自行车停车场地．请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议．故答案为：150；（2）扇形统计图中“A步行”上学方式所对的圆心角是故答案为：36；（3）估计该校“B骑车”上学的人数约是故答案为：680；（4）为了节约和保护环境请同学们尽量不要乘坐私家车（答案不唯一）．19．为培养学生的阅读能力，深圳市某校八年级购进《朝花夕拾》和《西游记》两种书籍，分别花费了14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的订购单价是《西游记》的订购单价的1.4倍.并且订购的《朝花夕拾》的数量比《西游记》的数量多300本．(1)求该校八年级订购的两种书籍的单价分别是多少元；(2)该校八年级计划再订购这两种书籍共100本作为备用，其中《朝花夕拾》订购数量不低于30本，且两种书总费用不超过1200元，请求出再订购这两种书籍的最低总费用的方案及最低费用为多少元？答：《朝花夕拾》的订购单价是14元，《西游记》的订购单价是10元；（2）设再次订购m 本《朝花夕拾》，则再次订购(100)m -本《西游记》，根据题意得：301410(100)1200m m m ≥⎧⎨+-≤⎩，解得：3050m ≤≤．设该校八年级再次订购这两种书籍共花费为w 元，则1410(100)w m m =+-，即41000w m =+，40> ，w ∴随m 的增大而增大，∴当30m =时，w 取得最小值，最小值为43010001120⨯+=（元)，此时1001003070m -=-=（本)．答：当再次订购30本《朝花夕拾》，70本《西游记》时，总费用最低，最低费用为1120元．20．如图，以ABC 的边AB 为直径作O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，过点E 作EF AC ⊥，垂足为F ，EF 与AB 的延长线交于点G ．(1)以下条件：①E 是劣弧BD 的中点：②CF DF =；③AD DF =．请从中选择一个能证明EF 是O 的切线的条件，并写出证明过程：(2)若EF 是是O 的切线，且46AF AB ==，，求BG 的长．【答案】(1)详见解析(2)6BG =∴∠=∠，12，OA OD=，∠+∠=∠+∠A123A∴∠=∠=∠=∠，123∴∥，OE AC，EF AC⊥OE AC∴∥，∴∠=∠=︒，90OEG AFE的切线．∴是OEFDE OE，方法2：证明：连接,，=⊥,CF DF EF AC∴垂直平分线段CD，EF∴=，CE DE四边形ADEB为圆内接四边形，∴∠=∠，1CDE，OB OE=∴∠=∠，12∴∠=∠，C2∴∥，OE ACOEG AFE∴∠=∠=︒，90的切线．∴是OEF∥，（2）由（1）可知OE AC90,∴∠=∠=︒∠=∠，OEG AFE GOE GAF∴△∽△，GOE GAF21．【项目化学习】项目主题：从函数角度重新认识“阻力对物体运动的影响”．项目内容：数学兴趣小组对一个静止的小球从斜坡滚下后，在水平木板上运动的速度、距离与时间的关系进行了深入探究，兴趣小组先设计方案，再进行测量，然后根据所测量的数据进行分析，并进一步应用.实验过程：如图（a ）所示，一个黑球从斜坡顶端由静止滚下沿水平木板直线运动，从黑球运动到点A 处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间x （单位：s ）、运动速度v （单位：cm /s ）、滑行距离y （单位：cm ）的数据．任务一：数据收集记录的数据如下：运动时间/t x0246810L 运动速度()/cm /s v 1098765L 滑行距离/cm y 01936516475L根据表格中的数值分别在图（b ）、图（c ）中作出v 与x 的函数图象、y 与x 的函数图象：（1）请在图（b）中画出v与x的函数图象：任务二：观察分析（2）数学兴趣小组通过观察所作的函数图象，并结合已学习过的函数知识，发现图（b）中v与x的函数关系为一次函数关系，图（c）中y与x的函数关系为二次函数关系．请你结合表格数据，分别求出v与x的函数关系式和y与x的函数关系式：（不要求写出自变量的取值范围）任务三：问题解决（3）当黑球在水平木板停下来时，求此时黑球的滑行距离：n处有一辆电动小车，以2cm/s的速（4）若黑球到达木板点A处的同时，在点A的前方cm度匀速向右直线运动，若黑球不能撞上小车，则n的取值范围应为______．（2）由（b ）中图象可知：v 与x 的函数关系为一次函数关系，∴设v kx c =+，代入(0,10)，(2,9)得：1029c k c =⎧⎨+=⎩，解得：1210k c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，v ∴与x 的函数关系为1102v x =-+；设2y ax bx =+代入(2,19)，(4,36)得：22．综合与探究．【特例感知】（1）如图（a ），E 是正方形ABCD 外一点，将线段AE 绕点A 顺时针旋转90︒得到AF ，连接DE ，BF ．求证：DE BF =；【类比迁移】（2）如图（b ），在菱形ABCD 中，4AB =，=60B ∠︒，P 是AB 的中点，将线段PA ，PD 分别绕点P 顺时针旋转90︒得到PE ，PF ，PF 交BC 于点G ，连接CE ，CF ，求四边形CEGF 的面积；【拓展提升】（3）如图（c ），在平行四边形ABCD 中，12AB =，10AD =，B ∠为锐角且满足4sin 5B =．P 是射线BA 上一动点，点C ，D 同时绕点P 顺时针旋转90︒得到点C '，D '，当BC D ''△为直角三角形时，直接写出BP 的长．线段AE 绕点A 顺时针旋转90︒得到AF ，AE AF ∴=，90EAF ∠=︒，EAF BAD ∴∠=∠，EAF DAF BAD DAF ∴∠-∠=∠-∠，DAE BAF ∴∠=∠，(SAS)ADE ABF ∴ ≌，DE BF ∴=；（2）如图1，连接AC ，作FH PC ⊥，交PC 的延长线于H ，作GQ PC ⊥于Q ，四边形ABCD 是菱形，AB BC ∴=，AB CD ，60B ∠=︒ ，ABC ∴ 是等边三角形，AC BC = ，P 是AB 的中点，CP AB ∴⊥，122AP PB AB ===，PC CD ∴⊥，4sin 60PC =⋅︒=PF PD ∴==90DPF DCP ∠=∠=︒ ，90DPC CPF DPC PDC ∴∠+∠=∠+∠=︒，CPF PDC ∴∠=∠，90H DCP ∠=∠=︒ ，(AAS)PHF DCP ∴△≌△，FH PC ∴==211622PCF S PC FH ∴=⋅=⨯=△，设QG x =，则CQ =，90PQG DCP ∠=∠=︒ ，PQG DCP ∴△∽△，∴PQ QG CD PC =，∴4PQ =PQ ∴，由PQ CQ PC +=得，=，65x ∴=，116622255PEG S PE QG ∴=⋅=⨯⨯=△，624655CEFG S ∴=-=四边形；（3）如图2，以点B 为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴，建立坐标系，作PF AD ⊥，交DA 的延长线于点F ，作D G PF '⊥于G ，作CV x ⊥轴，过点P 作PV CV ⊥于V ，作C W PV '⊥于W ，4sin 5B =Q ，∴直线AB 的解析式为43y x =，设4(,)3P m m ，90F G ∠=∠=︒ ，90PDF DPF ∴∠+∠=︒，90DPD '∠=︒ ，90DPF GPD '∴∠+∠=︒，PDF GPD '∴∠=∠，PD D P '= ，(AAS)PDF D PC '∴△≌△，PF GD '∴=，PG DF =，12AB = ，4sin sin 5DCE B ∠==，4481255DE ∴=⨯=，3361255CE =⨯=，364810,55D ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，即：8648,55D ⎛⎫⎪⎝⎭，865PG DF m ∴==-，48453GD PF m '==-，484486,()5335D m m m m ⎛⎫'∴+--- ⎪⎝⎭，即481786,5335m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，222248178650260()(388533593BD m m m m '∴=-+-=-+，同理可得：43PW CV m ==，10C W PV m '==-，44,(10)33C m m m m ⎛⎫'∴--- ⎪⎝⎭，即：17,1033m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，22221750140()(10)1003393BC m m m m '∴=+-=-+，当90BC D ''∠=︒时，12C D CD ''== ，2225014050260121003889393m m m m ∴+-+=-+，185m ∴=，563BP m ∴==，当90BD C ''∠=︒时，2225014050260100388129393m m m m -+=-++，545m ∴=，5183BP m ∴==，当90C BD ''∠=︒时，2225014050260100388129393m m m m -++-+=，m ∴5103BP m ∴==。

2024届甘肃省天水市麦积区中考二模数学试题含解析

2024届甘肃省天水市麦积区中考二模数学试题含解析

2024学年甘肃省天水市麦积区中考二模数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．下列计算正确的是（ ）A ．（a 2）3＝a 6B ．a 2+a 2＝a 4C ．（3a ）•（2a ）2＝6aD ．3a ﹣a ＝32．一元二次方程2x 2﹣3x+1=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根3．某厂进行技术创新，现在每天比原来多生产30台机器，并且现在生产500台机器所需时间与原来生产350台机器所需时间相同．设现在每天生产x 台机器，根据题意可得方程为（ ）A ．50035030x x =-B ．50035030x x =-C ．500350+30x x =D ．500350+30x x= 4．已知一次函数y=ax ﹣x ﹣a+1（a 为常数），则其函数图象一定过象限（ ）A ．一、二B ．二、三C ．三、四D ．一、四 5．分式方程()22111x x x -++=1的解为（ ） A ．x=1 B ．x=0 C ．x=﹣23 D ．x=﹣16．在△ABC 中，AB=AC=13，BC=24，则tanB 等于（ ）A ．513B ．512C ．1213D ．1257．如图的立体图形，从左面看可能是（ ）A ．B ．C．D．8．下列四个图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．9．如图，在矩形AOBC中，O为坐标原点，OA、OB分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(0，33)，∠ABO＝30°，将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，则点D的坐标为()A．(32，332) B．(2，332) C．(332，32) D．(32，3﹣332)10．﹣2×（﹣5）的值是（）A．﹣7 B．7 C．﹣10 D．10二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．如图，已知∠A+∠C=180°，∠APM=118°，则∠CQN=_____°．12．27的立方根为．13．如图，在△ABC中，AB=AC=23，∠BAC=120°，点D、E都在边BC上，∠DAE=60°．若BD=2CE，则DE 的长为________.14．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，测得AB ＝2米，BP ＝3米，PD ＝15米，那么该古城墙的高度CD 是_____米．15．株洲市城区参加2018年初中毕业会考的人数约为10600人，则数10600用科学记数法表示为_____．16．如图，小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得8CD =，20BC =米，CD 与地面成30角，且此时测得1米的影长为2米，则电线杆的高度为=__________米．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 上y 轴上，点B 在反比例函数y=k x （k ＞0，x ＞0）的图象上，点E 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度向x 轴正方向运动，过点E 作x 的垂线，交反比例函数y=k x （k ＞0，x ＞0）的图象于点P ，过点P 作PF ⊥y 轴于点F ；记矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S ，点E 的运动时间为t 秒．（1）求该反比例函数的解析式．（2）求S 与t 的函数关系式；并求当S=92时，对应的t 值． （3）在点E 的运动过程中，是否存在一个t 值，使△FBO 为等腰三角形？若有，有几个，写出t 值．18．（8分）如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF ．（1）证明：∠BAC=∠DAC ．（2）若∠BEC=∠ABE，试证明四边形ABCD是菱形．19．（8分）如图，∠MON的边OM上有两点A、B在∠MON的内部求作一点P，使得点P到∠MON的两边的距离相等，且△PAB的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）20．（8分）正方形ABCD的边长是10，点E是AB的中点，动点F在边BC上，且不与点B、C重合，将△EBF沿EF折叠，得到△EB′F．（1）如图1，连接AB′．①若△AEB′为等边三角形，则∠BEF等于多少度．②在运动过程中，线段AB′与EF有何位置关系？请证明你的结论．（2）如图2，连接CB′，求△CB′F周长的最小值．（3）如图3，连接并延长BB′，交AC于点P，当BB′＝6时，求PB′的长度．21．（8分）为响应国家“厉行节约，反对浪费”的号召，某班一课外活动小组成员在全校范围内随机抽取了若干名学生，针对“你每天是否会节约粮食”这个问题进行了调查，并将调查结果分成三组（A．会；B．不会；C．有时会），绘制了两幅不完整的统计图（如图）（1）这次被抽查的学生共有______人，扇形统计图中，“A组”所对应的圆心度数为______；（2）补全两个统计图；（3）如果该校学生共有2000人，请估计“每天都会节约粮食”的学生人数；（4）若不节约零食造成的浪费，按平均每人每天浪费5角钱计算，小江认为，该校学生一年（365天）共将浪费：2000×20%×0.5×365=73000（元），你认为这种说法正确吗？并说明理由．22．（10分）如图，点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（0，﹣2），把点A绕点B顺时针旋转90°得到的点C恰好在抛物线y=ax2上，点P是抛物线y=ax2上的一个动点（不与点O重合），把点P向下平移2个单位得到动点Q，则：（1）直接写出AB所在直线的解析式、点C的坐标、a的值；（2）连接OP、AQ，当OP+AQ获得最小值时，求这个最小值及此时点P的坐标；（3）是否存在这样的点P，使得∠QPO=∠OBC，若不存在，请说明理由；若存在，请你直接写出此时P点的坐标．23．（12分）给定关于x的二次函数y＝kx2﹣4kx+3（k≠0），当该二次函数与x轴只有一个公共点时，求k的值；当该二次函数与x轴有2个公共点时，设这两个公共点为A、B，已知AB＝2，求k的值；由于k的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论：①与y轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点；请判断以上结论是否正确，并说明理由．24．一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示：销售方式粗加工后销售精加工后销售每吨获利(元) 1000 2000已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行.受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完.（1）如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工.①试求出销售利润W元与精加工的蔬菜吨数m之间的函数关系式；②若要求在不超过10天的时间内，将140吨蔬菜全部加工完后进行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？此时如何分配加工时间？参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、A【解题分析】根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解．【题目详解】A．（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确；B．a2+a2=2a2，故本选项错误；C．（3a）•（2a）2=（3a）•（4a2）=12a1+2=12a3，故本选项错误；D．3a﹣a=2a，故本选项错误．故选A．【题目点拨】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和单项式乘法，理清指数的变化是解题的关键．2、B【解题分析】试题分析：对于一元二次方程，当△=时方程有两个不相等的实数根，当△=时方程有两个相等的实数根，当△=时方程没有实数根.根据题意可得：△=，则方程有两个不相等的实数根.3、A【解题分析】根据现在生产500台机器所需时间与原计划生产350台机器所需时间相同，所以可得等量关系为：现在生产500台机器所需时间=原计划生产350台机器所需时间．【题目详解】现在每天生产x台机器，则原计划每天生产（x﹣30）台机器．依题意得：500350x x30=-，故选A．【题目点拨】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.4、D【解题分析】分析：根据一次函数的图形与性质，由一次函数y=kx+b的系数k和b的符号，判断所过的象限即可.详解：∵y=ax﹣x﹣a+1（a为常数），∴y=（a-1）x-（a-1）当a-1＞0时，即a＞1，此时函数的图像过一三四象限；当a-1＜0时，即a＜1，此时函数的图像过一二四象限.故其函数的图像一定过一四象限.故选D.点睛：此题主要考查了一次函数的图像与性质，利用一次函数的图像与性质的关系判断即可.一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质：当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限，y随x增大而增大；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限，y随x增大而增大；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限，y随x增大而减小；当k＜0，b＜0，图像过二三四象限，y随x增大而减小.5、C【解题分析】首先找出分式的最简公分母，进而去分母，再解分式方程即可．【题目详解】解：去分母得：x2-x-1=（x+1）2，整理得：-3x-2=0，解得：x=-23，检验：当x=-23时，（x+1）2≠0，故x=-23是原方程的根．故选C．【题目点拨】此题主要考查了解分式方程的解法，正确掌握解题方法是解题关键．6、B【解题分析】如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=24，过A作AD⊥BC于D，则BD=12，在Rt△ABD中，AB=13，BD=12，则，225AB BD-=，故tanB=512 ADBD=.故选B．【题目点拨】考查的是锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质及勾股定理．7、A【解题分析】根据三视图的性质即可解题.【题目详解】解：根据三视图的概念可知,该立体图形是三棱柱,左视图应为三角形,且直角应该在左下角, 故选A.【题目点拨】本题考查了三视图的识别,属于简单题,熟悉三视图的概念是解题关键.8、D【解题分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．【题目详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故选D．【题目点拨】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．9、A【解题分析】解：∵四边形AOBC是矩形，∠ABO=10°，点B的坐标为（0，33），∴AC=OB=33，∠CAB=10°，∴BC=AC•tan10°=33×33=1．∵将△ABC沿AB所在直线对折后，点C落在点D处，∴∠BAD=10°，AD=33．过点D作DM⊥x轴于点M，∵∠CAB=∠BAD=10°，∴∠DAM=10°，∴DM=12AD=332，∴AM=33×cos10°=92，∴MO=92﹣1=32，∴点D的坐标为（32，332）．故选A．10、D【解题分析】根据有理数乘法法则计算.【题目详解】﹣2×（﹣5）=+(2×5)=10.故选D.【题目点拨】考查了有理数的乘法法则，(1) 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；(2) 任何数同0相乘，都得0；(3) 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负;当负因数有偶数个时，积为正；(4) 几个数相乘，有一个因数为0时，积为0.二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、1【解题分析】先根据同旁内角互补两直线平行知AB∥CD，据此依据平行线性质知∠APM=∠CQM=118°，由邻补角定义可得答案．【题目详解】解：∵∠A+∠C=180°，∴AB∥CD，∴∠APM=∠CQM=118°，∴∠CQN=180°-∠CQM=1°，故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．12、1【解题分析】找到立方等于27的数即可．解：∵11=27，∴27的立方根是1，故答案为1．考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算13、-1．【解题分析】将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，由BAC=120°，可得出∠ACB=∠B=10°，根据旋转的性质可得出∠ECG=60°，结合CF=BD=2CE可得出△CEG为等边三角形，进而得出△CEF为直角三角形，通过解直角三角形求出BC的长度以及证明全等找出DE=FE，设EC=x，则BD=CF=2x，DE=FE=6-1x，在Rt△CEF中利用勾股定理可得出x，利用x可求出x以及FE的值，此题得解．【题目详解】将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACF，取CF的中点G，连接EF、EG，如图所示．∵3BAC=120°，∴∠ACB=∠B=∠ACF=10°，∴∠ECG=60°．∵CF=BD=2CE ，∴CG=CE ，∴△CEG 为等边三角形，∴EG=CG=FG ，∴∠EFG=∠FEG=12∠CGE=10°， ∴△CEF 为直角三角形．∵∠BAC=120°，∠DAE=60°，∴∠BAD+∠CAE=60°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=∠BAD+∠CAE=60°．在△ADE 和△AFE 中，60AD AF DAE FAE AE AE ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△ADE ≌△AFE （SAS ），∴DE=FE ．设EC=x ，则BD=CF=2x ，DE=FE=6-1x ，在Rt △CEF 中，∠CEF=90°，CF=2x ，EC=x ， 22CF EC -3，∴3x ， 3∴33．故答案为：3．本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质，通过勾股定理找出方程是解题的关键．14、10【解题分析】首先证明△ABP∽△CDP，可得ABBP=CDPD，再代入相应数据可得答案．【题目详解】如图，由题意可得：∠APE=∠CPE，∴∠APB=∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，∴ABBP=CDPD，∵AB=2米，BP=3米，PD=15米，∴23=15CD，解得：CD=10米.故答案为10.【题目点拨】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.15、1.06×104【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【题目详解】解：10600＝1.06×104，故答案为：1.06×104此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．16、（14+23）米 【解题分析】 过D 作DE ⊥BC 的延长线于E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于F ，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE ，再根据勾股定理求出CE ，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出EF ，再求出BF ，再次利用同时同地物高与影长成正比列式求解即可．【题目详解】如图，过D 作DE ⊥BC 的延长线于E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于F ．∵CD =8，CD 与地面成30°角，∴DE =12CD =12×8=4， 根据勾股定理得：CE =22CD DE -=2242-2284-=43． ∵1m 杆的影长为2m ，∴DE EF =12， ∴EF =2DE =2×4=8，∴BF =BC +CE +EF =20+43+8=（28+43）．∵AB BF =12， ∴AB =12（28+43）=14+23． 故答案为（14+23）．【题目点拨】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，作辅助线求出AB 的影长若全在水平地面上的长BF 是解题的关键．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）y=9x （x ＞0）；（2）S 与t 的函数关系式为：S=﹣3t+9（0≤t≤3）；S=9﹣27t （t ＞3）；当S=92时，对应的t 值为32或6；（3）当t=32或2或3时，使△FBO 为等腰三角形． 【解题分析】（1）由正方形OABC 的面积为9，可得点B 的坐标为：（3，3），继而可求得该反比例函数的解析式．（2）由题意得P （t ，9t ），然后分别从当点P 1在点B 的左侧时，S=t•（9t -3）=-3t+9与当点P 2在点B 的右侧时，则S=（t-3）•9t =9-27t去分析求解即可求得答案； （3）分别从OB=BF ，OB=OF ，OF=BF 去分析求解即可求得答案．【题目详解】解：（1）∵正方形OABC 的面积为9，∴点B 的坐标为：（3，3），∵点B 在反比例函数y=k x （k ＞0，x ＞0）的图象上， ∴3=3k ， 即k=9， ∴该反比例函数的解析式为：y= y=9x （x ＞0）； （2）根据题意得：P （t ，9t）， 分两种情况：①当点P 1在点B 的左侧时，S=t•（9t ﹣3）=﹣3t+9（0≤t≤3）； 若S=92， 则﹣3t+9=92， 解得：t=32； ②当点P 2在点B 的右侧时，则S=（t ﹣3）•9t =9﹣27t ； 若S=9t ，则9﹣27t =92， 解得：t=6； ∴S 与t 的函数关系式为：S=﹣3t+9（0≤t≤3）；S=9﹣27t （t ＞3）； 当S=9时，对应的t 值为3或6；（3）存在．若，此时CF=BC=3，∴OF=6，∴6=9t， 解得：t=32；若=9t ，解得：t=2； 若BF=OF ，此时点F 与C 重合，t=3；∴当t=32或2或3时，使△FBO 为等腰三角形． 【题目点拨】此题考查反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及等腰三角形的性质．此题难度较大，解题关键是注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．18、证明见解析【解题分析】试题分析：由AB=AD ，CB=CD 结合AC=AC 可得△ABC ≌△ADC ，由此可得∠BAC=∠DAC ，再证△ABF ≌△ADF 即可得到∠AFB=∠AFD ，结合∠AFB=∠CFE 即可得到∠AFD=∠CFE ；（2）由AB ∥CD 可得∠DCA=∠BAC 结合∠BAC=∠DAC 可得∠DCA=∠DAC ，由此可得AD=CD 结合AB=AD ，CB=CD 可得AB=BC=CD=AD ，即可得到四边形ABCD 是菱形.试题解析：（1）在△ABC 和△ADC 中，∵AB=AD ，CB=CD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC ，∴∠BAC=∠DAC ，在△ABF 和△ADF 中，∵AB=AD ，∠BAC=∠DAC ，AF=AF ，∴△ABF ≌△ADF ，∴∠AFB=∠AFD ．∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC，∴∠ACD=∠CAD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形．19、详见解析【解题分析】作∠MON的角平分线OT，在ON上截取OA′，使得OA′＝OA，连接BA′交OT于点P，点P即为所求．【题目详解】解：如图，点P即为所求．【题目点拨】本题主要考查作图-复杂作图，利用了角平分线的性质，难点在于利用轴对称求最短路线的问题．20、（1）①∠BEF＝60°；②A B'∥EF，证明见解析；（2）△CB′F周长的最小值5（3）PB′＝87．【解题分析】（1）①当△AEB′为等边三角形时，∠AE B′＝60°，由折叠可得，∠BEF＝12∠BE B′＝12×120°＝60°；②依据AE＝B′E，可得∠EA B′＝∠E B′A，再根据∠BEF＝∠B′EF，即可得到∠BEF＝∠BA B′，进而得出EF∥A B′；（2）由折叠可得，CF+ B′F＝CF+BF＝BC＝10，依据B′E+ B′C≥CE，可得B′C≥CE﹣B′E＝55，进而得到B′C 最小值为55，故△CB′F周长的最小值＝55＝5；（3）将△ABB′和△APB′分别沿AB、AC翻折到△ABM和△APN处，延长MB、NP相交于点Q，由∠MAN＝2∠BAC ＝90°，∠M＝∠N＝90°，AM＝AN，可得四边形AMQN为正方形，设PB′＝PN＝x，则BP＝6+x，BQ＝8﹣6＝2，QP＝8﹣x．依据∠BQP＝90°，可得方程22+（8﹣x）2＝（6+x）2，即可得出PB′的长度．【题目详解】（1）①当△AE B′为等边三角形时，∠AE B′＝60°，由折叠可得，∠BEF＝12∠BE B′＝12×120°＝60°，故答案为60；②A B′∥EF，证明：∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，由折叠可得BE＝B′E，∴AE＝B′E，∴∠EA B′＝∠E B′A，又∵∠BEF＝∠B′EF，∴∠BEF＝∠BA B′，∴EF∥A B′；（2）如图，点B′的轨迹为半圆，由折叠可得，BF＝B′F，∴CF+ B′F＝CF+BF＝BC＝10，∵B′E+ B′C≥CE，∴B′C≥CE﹣B′E＝5，∴B′C最小值为5，∴△CB′F周长的最小值＝5＝（3）如图，连接A B′，易得∠A B′B＝90°，将△AB B′和△AP B′分别沿AB、AC翻折到△ABM和△APN处，延长MB、NP相交于点Q，由∠MAN＝2∠BAC＝90°，∠M＝∠N＝90°，AM＝AN，可得四边形AMQN为正方形，由AB＝10，B B′＝6，可得A B′＝8，∴QM＝QN＝A B′＝8，设P B′＝PN＝x，则BP＝6+x，BQ＝8﹣6＝2，QP＝8﹣x．∵∠BQP＝90°，∴22+（8﹣x）2＝（6+x）2，解得：x＝87，∴P B′＝x＝87．【题目点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了折叠的性质，等边三角形的性质，正方形的判定与性质以及勾股定理的综合运用，解题的关键是设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．21、（1）50 ，108°（2）见解析；（3）600人；（4）不正确，见解析.【解题分析】（1）由C 组人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A 组人数所占比例可得；（2）根据百分比之和为1求得A 组百分比补全图1，总人数乘以B 的百分比求得其人数即可补全图2；（3）总人数乘以样本中A 所占百分比可得；（4）由样本中浪费粮食的人数所占比例不是20%即可作出判断．【题目详解】（1）这次被抽查的学生共有25÷50%=50人， 扇形统计图中，“A 组”所对应的圆心度数为360°×1550=108°， 故答案为50、108°；（2）图1中A 对应的百分比为1-20%-50%=30%，图2中B 类别人数为50×20%=5，（3）估计“每天都会节约粮食”的学生人数为2000×30%=600人； （4）不正确，因为在样本中浪费粮食的人数所占比例不是20%，所以这种说法不正确.【题目点拨】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时本题还考查了通过样本来估计总体．22、（1）a=12；（2）OP+AQ 的最小值为5P 的坐标为（﹣1，12）；（3）P （﹣4，8）或（4，8）， 【解题分析】（1）利用待定系数法求出直线AB 解析式，根据旋转性质确定出C 的坐标，代入二次函数解析式求出a 的值即可； （2）连接BQ ，可得PQ 与OB 平行，而PQ=OB ，得到四边形PQBO 为平行四边形，当Q 在线段AB 上时，求出OP+AQ 的最小值，并求出此时P 的坐标即可；（3）存在这样的点P ，使得∠QPO=∠OBC ，如备用图所示，延长PQ 交x 轴于点H ，设此时点P 的坐标为（m ，12m 2），根据正切函数定义确定出m 的值，即可确定出P 的坐标．【题目详解】解：（1）设直线AB 解析式为y=kx+b ， 把A （﹣4，0），B （0，﹣2）代入得：402k b b -+=⎧⎨=-⎩， 解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AB 的解析式为y=﹣12x ﹣2， 根据题意得：点C 的坐标为（2，2），把C（2，2）代入二次函数解析式得：a=12；（2）连接BQ，则易得PQ∥OB，且PQ=OB，∴四边形PQBO是平行四边形，∴OP=BQ，∴OP+AQ=BQ+AQ≥AB=25，（等号成立的条件是点Q在线段AB上），∵直线AB的解析式为y=﹣12x﹣2，∴可设此时点Q的坐标为（t，﹣12t﹣2），于是，此时点P的坐标为（t，﹣12 t），∵点P在抛物线y=12x2上，∴﹣12t=12t2，解得：t=0或t=﹣1，∴当t=0，点P与点O重合，不合题意，应舍去，∴OP+AQ的最小值为25，此时点P的坐标为（﹣1，12）；（3）P（﹣4，8）或（4，8），如备用图所示，延长PQ交x轴于点H，设此时点P 的坐标为（m ，12m 2）， 则tan ∠HPO=2212m OH PH m m ==， 又，易得tan ∠OBC=12， 当tan ∠HPO=tan ∠OBC 时，可使得∠QPO=∠OBC ， 于是，得212m =， 解得：m=±4， 所以P （﹣4，8）或（4，8）．【题目点拨】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．23、（1）32（2）1（3）①②③ 【解题分析】（1）由抛物线与x 轴只有一个交点，可知△=0；（2）由抛物线与x 轴有两个交点且AB=2，可知A 、B 坐标，代入解析式，可得k 值；（3）通过解析式求出对称轴，与y 轴交点，并根据系数的关系得出判断．【题目详解】（1）∵二次函数y ＝kx 2﹣4kx+3与x 轴只有一个公共点，∴关于x 的方程kx 2﹣4kx+3＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4k ）2﹣4×3k ＝16k 2﹣12k ＝0，解得：k 1＝0，k 2＝32， k≠0，∴k ＝32； （2）∵AB ＝2，抛物线对称轴为x ＝2，∴A 、B 点坐标为（1，0），（3，0），将（1，0）代入解析式，可得k ＝1，（3）①∵当x ＝0时，y ＝3，∴二次函数图象与y 轴的交点为（0，3），①正确；②∵抛物线的对称轴为x ＝2，∴抛物线的对称轴不变，②正确；③二次函数y ＝kx 2﹣4kx+3＝k （x 2﹣4x ）+3，将其看成y 关于k 的一次函数，令k 的系数为0，即x 2﹣4x ＝0，解得：x 1＝0，x 2＝4，∴抛物线一定经过两个定点（0，3）和（4，3），③正确．综上可知：正确的结论有①②③．【题目点拨】本题考查了二次函数的性质，与x 、y 轴的交点问题，对称轴问题，以及系数与图象的关系问题，是一道很好的综合问题．24、（1）应安排4天进行精加工，8天进行粗加工（2）①20001000(140)W m m =+-=1000140000m +②安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为145000元【解题分析】解：（1）设应安排x 天进行精加工，y 天进行粗加工，根据题意得12{515140.x y x y +=+=， 解得4{8.x y ==，答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工.（2）①精加工m 吨，则粗加工（140m -）吨，根据题意得20001000(140)W m m =+-=1000140000m + ②要求在不超过10天的时间内将所有蔬菜加工完，14010515m m -∴+≤ 解得5m ≤ 05m ∴<≤ 又在一次函数1000140000W m =+中，10000k =>， W ∴随m 的增大而增大，∴当5m =时，10005140000145000.W =⨯+=最大∴精加工天数为55÷=1，-÷=．粗加工天数为(1405)159∴安排1天进行精加工，9天进行粗加工，可以获得最多利润为145000元.。

2024年云南省曲靖市九年级中考二模数学试题(含解析)

2024年云南省曲靖市九年级中考二模数学试题(含解析)

曲靖市 2023-2024学年春季学期教学质量监测九年级数学试题卷（全卷三个大题，共27个小题，共8页； 满分 100分，考试时间120分钟）注意事项：1．本卷满分100分，考试时间为120分钟． 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内． 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效．4． 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一．选择题 （本大题共 15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分）1．曲靖某一天的天气预报如图所示，则这一天的温差是（ ）A ．B ．C ．D ．2．2024年中央对地方转移支付预算为10.2万亿元，中央对云南省转移支付为3900亿元，数字3900亿用科学记数法表示为（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图， 于点B ， 过点B 的直线d 交直线a 于点 A ， 若， 则的度数是（ ）6C -︒6C ︒2C ︒2C -︒8390010⨯103910⨯113.910⨯120.3910⨯a c b c ⊥⊥，140∠=︒2∠A ．B ．C ．D ．4．函数x 的取值范围是（ ）A ． B ． C ． D ．5．下列计算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．八边形的每个外角都相等，它的一个内角的度数是（ ）A ．45°B ．75°C ．105°D ．135°7．如图，A ，B 为反比例函数 图象上任意两点，分别过点A ，B 作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，连接，设和的面积分别为，，则（ ）A ．B ．C ．D ．无法确定8．下列几何体中的主（正）视图，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．观察下列式子： 则第n 个式子为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，点D 是边上一点， 且，若，．则 （ ）50︒40︒30︒20︒y =2x ≠2x ≤2x >2x ≥23652a a a a a ⋅+÷=()22346a b a b-=-()222a b a b +=+()()22a b b a a b+-=-(0)k y k x=<OA OB ，AOC BOD S ₁S ₂S S >₁₂S S =₁₂S S <₁₂23412x x x x ---- ，，，()n n x --()11n n x +-n x ()111n n n x -+--ABC AB ACB ADC ∠∠=3AD =7AB =²AC =A ．9B ．12C ．16D ．2111．某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了400个充电桩，第三个月新建了 600个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x ，根据题意，可列出方程（ ）A ．B ．C ．D ．12．若关于x 的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则k 的值为（ ）A ．B ．2C ．3D ．413．若 则代数式 的值为（ ）A ．7B ．C ．D ．614．某校为了解学生在校体育锻炼的时间情况，随机调查部分学生一周平均每天的锻炼时间，统计结果如图：这些学生锻炼时间的众数、中位数分别是（ ）A ．9， 7B ．9， 9C ．1， 1D ．1， 1.515．如图，已知的直径经过弦的中点E ，连接，且，估计的值应在（）()24001600x +=()26001400x +=()24001600x -=()26001400x -=3x k -≥-1-1m =，²22m m -+7+6+O AB CD AD CO BC ，，OC BC =2cos tan BAD ADC ∠+∠A ．1到2之间B ．2到3之间C ．3到4之间D ．4到5之间二．填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分）16．分解因式8a 2－2= ．17．如图，已知在四边形中，对角线，交于点O ，且，要使四边形是矩形，可添加一个条件是 ．18．试卷讲评对于初三复习阶段是非常重要的环节，某数学教师对试卷讲评课中学生参加的情况进行调查，评价项目为：A ．独立思考B ．主动改错C ．专注听讲D ．讲解题目四项中任选一项，随机抽取若干名初三学生进行调查，将调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．若全市有 80000名初三学生，则在试卷讲评课中， “专注听讲”的初三学生约为 人．19．圆锥在生活中随处可见，例如：陀螺、漏斗、屋顶、生日帽等．如图是一个半径为2，圆心角为的扇形，要围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径为．ABCD AC BD OA OC OB OD ==，ABCD 90︒AOB三．解答题 （本大题共8个小题，共62分）20．计算：21．如图，已知，．求证：．22．今年云南再遇大旱，全省人民齐心协力积极抗旱．我市某校师生也行动起来捐款打井抗旱，已知第一天捐款5000元，第二天捐款6200元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多60人，且两天人均捐款数相等，那么两天参加捐款的人数各是多少人？23．某商场“五一”期间举办抽奖活动，规则如下：在不透明的袋中装有4个质地均匀，大小完全相同的小球，小球上分别标有，，0，1 四个数字，敏敏先从中随机摸出一球，球上的数字记为x ，不放回，再从剩下的3个球中随机摸出一球，球上的数字记为y ，若两次摸出的球上数字之积为正（即：），则 获得奖品，否则没有奖品．(1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果；(2)求敏敏获得奖品的概率．24．如图，已知在中，过点C 作于点D ，点E 为上一点，连接，交于点G ，是沿折叠所得，且点C 的对应点F 恰好落在上，连接．(1)求证：四边形为菱形；(2)若，求的长．25．每年4月 23日是世界读书日，旨在推动更多的人去阅读和写作，某书店以读书日为契机，决定购进甲，乙两种图书，供消费者选择．经调查，乙种图书每本进价20元，甲种图书的总进价y 与购进甲种图书的数量x 之间的函数关系如图所示：()20211 3.1432π-⎛⎫-+--+- ⎪⎝⎭C E AC AE CAD EAB ∠=∠=∠=∠，，AB AD =2-1-0xy >(),x y ABC 90ACB ∠=︒，CD AB ⊥AC BE CD BFE △BCE BE AB FG CEFG 86AC BC ==，DG(1)请求出当和 时，y 与x 的函数关系式；(2)若该书店准备购进甲，乙两种图书共300本，且每种图书数量都不少于120本，书店计划甲种图书以每本30元出售，乙种图书以每本25元出售，如何购进两种图书，才能使书店所获利润最大，最大利润是多少？26．已知抛物线（，，为常数，）(1)若，，求此抛物线的顶点坐标；(2)在（1）的条件下，抛物线经过点，将抛物线的图象的部分向下平移（为正整数）个单位长度，平移后的图象恰好与轴有2个交点，若点与点在平移后的抛物线上（点，不重合），且点与点 关于对称轴对称，求代数式的值．27．如图①，已知是的直径，过点A 作射线，点P 为l 上一个动点，点C 为上异于点A 的一点，且，过点B 作的垂线交的延长线于点D ，连接．(1)求证：为的切线；(2)若，求的值；0120x ≤≤120x >²y ax bx c =++a b c 0a ≠20a b -=4-+=a b c ()0,2²y ax bx c =++0x <h h x 1(,)S m n y -2(,)Q m y S Q S Q 22281244m mn n n h -+-+AB O l AB ⊥O PA PC =AB PC AD PC O 4AP BD =sin BAD ∠(3)如图②，过点C 作于点E ，交于点F ，当点P在运动过程中，试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．参考答案与解析1．B 【分析】本题考查有理数的减法的应用．求出两个数的差的绝对值即可．【详解】解：故选：B ．2．C【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：数字3900亿用科学记数法表示为．故选：C ．3．A【分析】根据，，结合对顶角相等，直角三角形的两个锐角互余，计算即可．本题考查了垂直的定义，对等角相等，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】如图，，，CE AB ⊥AD CF CE()46C--=︒210n a ⨯110a ≤<113.910⨯a c b c ⊥⊥，140∠=︒ a c b c ⊥⊥，140∠=︒，，故，故选A ．4．D【分析】本题考查了函数自变量的范围．根据被开方数不小于0列式计算即可得解．【详解】解：由题意得，，解得．故选：D ．5．A【分析】本题考查了整式的运算，利用积的乘方法则、同底数幂乘法、除法的法则、完全平方公式和平方差公式进行计算是解题的关键．【详解】解：A 、 ，计算正确；B 、，原计算错误；C 、，原计算错误；D 、，原计算错误；故选A ．6．D【分析】本题考查的是多边形的内外角之间的关系．根据多边形的内角和公式求出八边形的内角和，计算出每个内角的度数即可．【详解】解：八边形的内角和为：，每个内角的度数为：，故选：D ．7．B【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义．过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即．【详解】解：依题意有：和的面积是个定值．所以．∴13,24∠=∠∠=∠3490∠+∠=°2150∠︒∠=︒=90-20x -≥2x ≥2365552a a a a a a a ⋅+÷=+=()22346a b a b -=()2222a b a ab b +=++()()22a b b a b a +-=-()821801080-⨯︒=︒10808135︒÷=︒k y x=k S 1||2S k =Rt AOC Rt BOD 1||2k 12S S =故选：B ．8．C【分析】根据各个几何体的特点得出各自的主视图，然后根据轴对称和中心对称图形的性质分别判断即可．【详解】A.球的主视图是圆，圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项A 错误，不符合题意；B.长方体的主视图是矩形，矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项B 错误，不符合题意；C.圆锥的主视图是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项C 正确，符合题意；D.圆柱的主视图是矩形，矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项D 错误，不符合题意;故选：A ．【点睛】本题主要考查了轴对称和中心对称图形的判断与简单几何体的三视图的识别，熟练掌握相关概念是解题关键．9．B【分析】本题考查数字规律问题，观察式子找到规律是解题的关键．【详解】解：观察式子，，……，第个式子为故选: B ．10．D【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．()211x x -=-()3221x x -=-()4331x x =-()54421x x --=-n ()11n n x +-由已知条件中，为公共角，可证，得，据此可求的长．【详解】解：∵，，∴，∴，即，故选：D ．11．A【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该市第三个月新建智能充电桩个数该市第一个月新建智能充电桩个数该市新建智能充电桩个数的月平均增长率，即可列出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x ，列出方程为，故选A ．12．D【分析】题考查了根据一元一次不等式的解集求参数，熟练解一元一次不等式是解题的关键．解不等式得到，根据数轴可得不等式的解集为，故可得方程，即可解答．【详解】解：解不等式可得：，由数轴可知，∴，解得：，故选D ．13．D【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值，完全平方公式，整体代入是解题的关键．把化为后代入求值即可．【详解】解：，故选D ．ACB ADC ∠∠=A ∠ADC ACB ∽2AC AB AD =⋅ACB ADC ∠∠=A A ∠∠=ADC ACB ∽AD AC AC AB=27321AC AB AD =⋅=⨯==(1⨯+2)()24001600x +=3x k ≥-1x ≥-31k -=-3x k -≥-3x k ≥-1x ≥-31k -=-4k =²22m m -+2(1)1m -+22²22(1)116m m m -+=-+=+=14．C【分析】本题主要考查众数和中位数，熟记一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据从小到大或从大到小依次排列，最中间的一个数据或最中间两个数据和的一半叫做中位数是解题的关键．【详解】解：由折线图可知锻炼小时的人数最多，即众数为；由图可知共调查学生数为人，从小到大排列后第个与个数据的平均数是中位数，且第个与个数据为小时，∴中位数为，故答案为：C ．15．C【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，圆周角定理，无理数的估算．首先证明是等边三角形，由三线合一的性质求得，再根据圆周角定理求得，，代入特殊角的三角函数值，运用无理数的估算，即可求解．【详解】解：∵，，∴，∴是等边三角形，∴，∵点E 是弦的中点，∴，∴，，∴，∴∵，∴，∴，故选：C ．16．2（2a ＋1）（2a －1）【详解】本题要先提取公因式2,再运用平方差公式将写成，即原式可11795324+++=1213121311112+=OBC △1302BCD OCB ∠=∠=︒60ADC ∠=︒30BAD ∠=︒OC BC =OC OB =OC OB BC ==OBC △60B OCB ∠=∠=︒CD 1302BCD OCB ∠=∠=︒60B ADC ∠=∠=︒30BAD BCD ∠=∠=︒tan tan 60ADC ∠=︒=cos cos30BAD ∠=︒=2cos tan 2BAD ADC ∠+∠===91216<<34<32cos tan 4BAD ADC <∠+∠<2(41)a -(21)(21)a a +-分解为：8a 2－217．不唯一【分析】根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，添加条件即可．本题考查了矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．【详解】∵，，∴四边形是矩形，故答案为：．18．32000【分析】根据独立思考的人数和所占的百分比，可以求得一共抽查的人数；再计算出专注听讲的人数，利用样本估计总体求解即可．【详解】解：一共抽查的人数为（人），专注听讲的人数为（人），“专注听讲”的初三学生约为（人），故答案为：32000．19．##【分析】本题考查了圆锥的计算．设这个圆锥的底面圆半径为r ，利用弧长公式得到并解关于r 的方程即可．【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为r根据题意得解得故答案为：．20．【分析】本题考查了实数的运算．根据负整数指数幂、零次幂、二次根式等化简，再计算加减即可求解．【详解】解：22(41)2(21)(21)a a a =-=+-AC BD =OA OC OB OD ==，AC BD =ABCD AC BD =9030%300÷=300904545120---=1208000032000300⨯=120.52902180r ππ⨯=12r =124-()20211 3.1432π-⎛⎫-+--+- ⎪⎝⎭114=-+-+．21．见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．利用证明即可证明．【详解】证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴．22．250人，310人【分析】设第一天捐款有x 人，则第一天捐款有人，根据题意，得，解方程即可．本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键．【详解】设第一天捐款有x 人，则第一天捐款有人，根据题意，得，解得，经检验，是原方程的根，故，答：第一天捐款有250人，则第一天捐款有310人．23．(1)共有12种等可能结果；(2)【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率的知识．注意概率=所求情况数与总情况数之比．（1）列表得出所有等可能结果；（2）从表中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】（1）解：根据题意列表如下，4=-ASA CAB EAD ≌V V AB AD =CAD EAB ∠=∠CAD BAD EAB BAD ∠-∠=∠-∠CAB EAD ∠=∠C E AC AE ∠=∠=，()ASA CAB EAD ≌△△AB AD =()60x +6200500060x x=+()60x +6200500060x x =+250x =250x =()60310x +=160101由上表可知，共有12种等可能结果；（2）解：在这12种等可能结果中，其中的结果有和共2种，所以敏敏获得奖品的概率为．24．(1)见解析(2)．【分析】（1）推出，，进而推出四边形是平行四边形，并根据证得四边形是菱形；（2）首先利用勾股定理求出，设，然后用x 表示出和，再在中，利用勾股定理构建方程，求出x ，进一步计算即可求解．【详解】（1）证明：∵，是沿折叠所得，∴，，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴平行四边形是菱形；2-1-2-()1,2--()0,2-()1,2-1-()2,1--()0,1-()1,1-()2,0-()1,0-()1,0()2,1-()1,1-()0,10xy >()2,1--()1,2--21126=1.8GD =CG EF =CG EF ∥CEFG EC EF =CEFG AB CG x =AE EF Rt AEF CD AB ⊥BFE △BCE BE 90BFE BCE ∠=∠=︒CEG FEG ∠=∠EC EF =CD EF ∥CGE FEG ∠=∠CGE CEG ∠=∠CE CG =CG EF =CG EF ∥CEFG EC EF =CEFG（2）解：∵，，∴，设，∵四边形是菱形，∴，∴，∵是沿折叠所得，∴，∴，∵在中，，∴，解得：，即．∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．25．(1)(2)购买甲种图书本，乙种图书本，利润最大，最大为是元【分析】本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求出一次函数的关系式是解题关键.（1）分别利用待定系数法求出关系式即可；（2）设总费用为元，求出关于的关系式，再利用一次函数的性质求出最少的费用即可.【详解】（1）解：当时，86AC BC ==，90ACB ∠=︒10AB =CG x =CEFG EF FG CE CG x ====8AE x =-BFE △BCE BE 6BF BC ==1064AF AB BF =-=-=Rt AEF 222EF AF AE +=()22248x x +=-3x =3CG =CD AB ⊥1122ABC S AC BC AB CD =⨯=⨯ 4.8CD =4.83 1.8GD =-=()25012022360(120)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩1801201680w w x 0120x ≤≤设，把代入得，∴；当时，设，把和代入得，，解得 所以与的关系式为；（2）设总费用为元，由题意得， ，当时，，∵， 随的增大而增大，∴当时， ；∴当 时，利润最大是元.此时乙种图书是本，答：应购买甲种图书本，乙种图书本，利润最大，最大为是元.26．(1)；(2)17．【分析】（1）先根据题意求出对称轴为，将其代入抛物线方程即可得到顶点坐标；（2）先根据顶点坐标设抛物线的解析式，求得抛物线的解析式，由于为正整数，分成，，，，时，分别讨论部分平移后的图象与轴的交点个数，从而得到的值，再根据（1）可知抛物线平移后的对称轴为，且点S 与点 Q 关于对称轴对称，可得，即，将其代入代数式即可．【详解】（1）对称轴为，，即，y kx =()120,300025k =25y x =120x >y kx b =+()120,3000()150,366012030001503660k b k b +=⎧⎨+=⎩22,360k b =⎧⎨=⎩y x ()25012022360(120)x x y x x ⎧≤≤=⎨+>⎩w 120180x ≤≤120180x ≤≤()()()3025203002236031140x x x x ω=+---+=+03k =>w x 180x =w 最大318011401680=⨯+=180x =16801201801201680(1,4)-1x =-h 1h =2h =3h =4h =4h >0x <x h 1x =-2m n m -+=-22n m =+2b x a=-20a b -=2b a =，将代入得，，即顶点坐标为；（2）由（1）可知的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将代入，得，解得：，，抛物线与轴交于点，顶点坐标为，因为为正整数，那么当时，抛物线表达式为，当时，，解得此时抛物线与轴的交点有2个，其中，但是题目中要求，所以时，抛物线与轴的交点为1个；当时，抛物线的表达式为，当时，，解得，，此时抛物线与轴的交点有2个，但是题目中要求，所以需舍掉，所以当时，抛物线与轴的交点为1个；当时，抛物线的表达式为，当时，，解得，，满足的要求，此时抛物线与轴的交点有2个；当时，抛物线表达式为，此时，抛物线与轴交点为1个；12b x a∴=-=-1x =-²y ax bx c =++y a b c=-+4a b c -+= 4y =∴(1,4)-²y ax bx c =++(1,4)-2(1)4y a x =++(0,2)2(1)4y a x =++2(01)42a ++=2a =-222(1)4242y x x x ∴=-++=--+ 2242y x x =--+y (0,2)()1,4-h 1h =222421241y x x x x =--+-=--+0y =22410x x --+=1x =2x =x 1>0x 20x <0x <1x =1h =x 2h =22242224y x x x x =--+-=--0y =2240x x --=12x =-20x =x 0x <20x =2h =x 3h =222423241y x x x x =--+-=---0y =22410x x ---=1x =2x 10x <20x <0x <x 4h =222424242y x x x x =--+-=---224(4)4(2)(2)0b ac -=--⨯-⨯-=x当时，抛物线与轴交点为0个；综上所述，；由（1）可知平移之后抛物线的对称轴为：，点与点 关于对称，，将代入代数式则故代数式的值为 17．【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，顶点坐标，二次函数的对称性，二次函数的平移，解一元二次方程，一元二次方程的判别式等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．27．(1)见解析(2)(3)．【分析】（1）连接，证明，求得，据此即可证明为的切线；（2）过点作，设，求得，，利用勾股定理求得，再求得，据此求解即可；（3）连接并延长交的延长线于点，利用切线长定理求得，，由，得到，，利用相似三角形的性质即可求得．【详解】（1）证明：连接，4h >x 3h =1x =- S Q 1x =-∴2m n m -+=-∴22n m =+22n m =+22281244m mn n n h -+-+22281244m mn n n h -+-+222812(22)4(22)4(22)m m m m m h =-+++-++22228242416321688m m m m m m h =--+++--+28h =+283=+17=22281244m mn n n h -+-+sin BAD ∠=12CF CE =OP OC 、()SSS OPA OPC ≌90OAP OCP ∠=∠=︒PC O D DG AP ⊥BD a =5PD a =3PG a =4AB DG a ==AD AC BD H HD BD =2BH HD =CE BH ∥ACF AHD ∽△ACE AHB ∽△12CF CE =OP OC 、∵是的直径，过点A 作射线，∴，∵，，，∴，∴，即，∵是的半径，∴为的切线；（2）解：过点作，垂足为点，设，∴，∵，∴为的切线，∵、、为的切线，∴，，∴，∵射线，，，∴，AB O l AB ⊥90OAP ∠=︒PA PC =OA OC =OP OP =()SSS OPA OPC ≌90OAP OCP ∠=∠=︒OC PD ⊥OC O PC O D DG AP ⊥G BD a =44AP BD a ==BD AB ⊥BD O PC PA BD O PA PC =DC DB =5PD PC CD a =+=l AB ⊥DG AP ⊥BD AB ⊥90GAB AGD ABD ∠=∠=∠=︒∴四边形是矩形，∴，，∴，在中，，∴，在中，，∴（3）解：，理由如下，连接并延长交的延长线于点，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，ABDG AG BD a ==AB DG =3PG PA AG a =-=Rt DPG V 4DG a ==4AB DG a ==Rt △ABD AD ==sin BD BAD AB ∠===12CF CE =AC BD H PA PC =PAC PCA ∠=∠PA AB ⊥BD AB ⊥PA BH ∥PAC H ∠=∠HCD PCA ∠=∠HCD H ∠=∠CD DH =CD BD =HD BD =2BH HD =CE AB ⊥BD AB ⊥CE BH ∥ACF AHD ∽△ACE AHB ∽△∴，，∴，∴．【点睛】本题考查了切线长定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．AC CF AH DH =AC CE AH BH =CE CF BH DH =12CF DH CE BH ==。

2024年济南市中区九年级中考数学二模考试试题(含答案)

2024年济南市中区九年级中考数学二模考试试题(含答案)

九年级学业水平质量检测市中区教研室编著数学试题第I卷（选择题共40分）一．选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如图是某几何体的三视图，该几何体是（）2．中国信通院预计未来2~3年内将实现5G的个人终端应用和数字内容的创新突破，预计2025年全球5G移动用户数将突破57亿户，数据57亿用科学记数法表示为（）A.0.57x1010B.5.7x1010C.5.7x109D.57x1093.将含45°角的直角三角板按如图所示摆放，直角顶点在直线m上，其中一个锐角顶点在直线n上．若m∥n，∠1=30°，则∠2的度数为（）A.45°B.60°C.75°D.90°（第3题图）（第4题图）4.如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是a、b，下列结论一定成立的是（）A.a+b<0B.b-a<0C.3a>3bD.a+3<6+35.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一．为弘扬优秀传统文化，某中学开展了"剪纸进校园，文化共传承"的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )6.下列计算正确的是( )A.(3a³)2=9a6B.a3+a2=a5C.a3·a2=a6D.a8÷a2=a4(k≠0)的图象可能是( )7.在同一平面直角坐标系中，函数y=kx+1(k≠0)和y=kx8.五一期间，学校准备从甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两位同学参加假期实践活动，则选择的两位同学中恰好有甲同学的概率是（）A.16B.13C.12D.239.如图，在△ ABC 中，以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AB、BC交于M和N两点；分别以M、N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线BD，BD与AC交于点E。

2024年上海市徐汇区中考数学二模试卷及答案解析

2024年上海市徐汇区中考数学二模试卷及答案解析

2024年上海市徐汇区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．（4分）下列实数中，有理数是（）A．B．C．D．2．（4分）下列单项式中，与单项式2a2b3是同类项的是（）A．﹣ab4B．2a3b2C．3b3a2D．﹣2a2b2c 3．（4分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，那么直线y＝bx+k经过（）A．第二、三、四象限B．第一、二、三象限C．第一、二、四象限D．第一、三、四象限4．（4分）如表，记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差．甲乙丙丁平均数（cm）185180180185方差 3.6 3.68.17.4根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果添加一个条件使得▱ABCD 是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（）A．∠DAO+∠ADO＝90°B．∠DAC＝∠ACDC．∠DAC＝∠BAC D．∠DAB＝∠ABC6．（4分）如图，一个半径为9cm的定滑轮由绳索带动重物上升，如果该定滑轮逆时针旋转了120°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，那么重物上升的高度是（）A．5πcm B．6πcm C．7πcm D．8πcm二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）方程﹣x＝0的根是．8．（4分）不等式组的解集是．9．（4分）方程组的解是．10．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0根的情况是：原方程实数根．11．（4分）如果二次函数y＝2x2﹣4x+1的图象的一部分是上升的，那么x的取值范围是．12．（4分）如果反比例函数y＝的图象经过点A（t，﹣2t），那么t的值是．13．（4分）如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中任意取出三条，那么取出的三条线段能构成三角形的概率是．14．（4分）小杰沿着坡比i＝1：2.4的斜坡，从坡底向上步行了130米，那么他上升的高度是米．15．（4分）某校为了了解学生家长对孩子用手机的态度问题，随机抽取了100名家长进行问卷调查，每位学生家长只有一份问卷，且每份问卷仅表明一种态度（这100名家长的问卷真实有效），将这100份问卷进行回收整理后，绘制了如图1、图2所示的两幅不完整的统计图．如果该校共有2000名学生，那么可以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长有人．16．（4分）如图，梯形ABCD中，BC∥AD，AB＝CD，AC平分∠BAD，如果AD＝2AB，＝，＝，那么是（用向量、表示）．17．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4．已知点D是边AC的中点，将△ABC 沿直线BD翻折，点C落在点E处，联结AE，那么AE的长是．18．（4分）如图，点A是函数y＝（x＜0）图象上一点，联结OA交函数y＝﹣（x＜0）图象于点B，点C是x轴负半轴上一点，且AC＝AO，联结BC，那么△ABC的面积是．三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．（10分）计算：﹣|1﹣|+π0﹣．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于点A、B，联结AB、O1O2、AO2，已知AB＝48，O1O2＝50，AO2＝30．（1）求⊙O1的半径长；（2）试判断以O1O2为直径的⊙P是否经过点B，并说明理由．22．（10分）A市“第××届中学生运动会”期间，甲校租用两辆小汽车（设每辆车的速度相同）同时出发送8名学生到比赛场地参加运动会，每辆小汽车限坐4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距离比赛场地15千米的地方出现故障，此时离截止进场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车．已知这辆车的平均速度是每小时60千米，人步行的平均速度是每小时5千米（上、下车时间忽略不计）．（1）如果该小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，请你判断他们能否在截止进场的时刻前到达？并说明理由；（2）试设计一种运送方案，使所有参赛学生能在截止进场的时刻前到达比赛场地，并说明方案可行性的理由．23．（12分）如图，在菱形ABCD中，点E、G、H、F分别在边AB、BC、CD、DA上，AE ＝AF，CG＝CH，CG≠AE．（1）求证：EF∥GH；（2）分别联结EG、FH，求证：四边形EGHF是等腰梯形．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＞0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；（2）已知点M（0，m），联结BC，过点M作MG⊥BC，垂足为G，点D是x轴上的动点，分别联结GD、MD，以GD、MD为边作平行四边形GDMN．①当m＝时，且▱GDMN的顶点N正好落在y轴上，求点D的坐标；②当m≥0时，且点D在运动过程中存在唯一的位置，使得▱GDMN是矩形，求m的值．25．（14分）如图，在扇形OAB中，OA＝OB＝6，∠AOB＝90°，点C、D是弧AB上的动点（点C在点D的上方，点C不与点A重合，点D不与点B重合），且∠COD＝45°．（1）①请直接写出弧AC、弧CD和弧BD之间的数量关系；②分别联结AC、CD和BD，试比较AC+BD和CD的大小关系，并证明你的结论；（2）联结AB分别交OC、OD于点M、N．①当点C在弧AB上运动过程中，AN•BM的值是否变化，若变化请说明理由；若不变，请求AN•BM的值；②当MN＝5时，求圆心角∠DOB的正切值．2024年上海市徐汇区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．【分析】整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可．【解答】解：、、是无理数，＝2，是有理数．故选：B．【点评】本题考查有理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．2．【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，由此判断即可．【解答】解：与单项式2a2b3是同类项的是3b3a2，故选：C．【点评】本题考查了同类项，熟知同类项的定义是解题的关键，注意同类项与系数无关，与字母的顺序无关．3．【分析】先根据题意判断出k，b的符号，进而可得出结论．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，∴y＝bx+k经过一、三、四象限．故选：D．【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．4．【分析】据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：因为队员甲和乙的方差最小，但队员乙平均数小，所以甲的成绩好，所以队员甲成绩好又发挥稳定．故选：A．【点评】本题考查方差与算术平方根，解答本题的关键是掌握它们的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．5．【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A、∵∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠AOD＝90°，∴AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；B、∵∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，∵∠DAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴AD＝CD，∴▱ABCD是菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∵∠DAB＝∠ABC，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握矩形的判定是解题的关键．6．【分析】根据弧长的计算方法计算半径为9cm，圆心角为120°的弧长即可．【解答】解：由题意得，重物上升的距离是半径为9cm，圆心角为120°所对应的弧长，即＝6π（cm）．故选：B．【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．【分析】移项后方程两边平方得出2x﹣1＝x2，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：﹣x＝0，移项，得＝x，方程两边平方，得2x﹣1＝x2，x2﹣2x+1＝0，（x﹣1）2＝0，x﹣1＝0，x＝1，经检验：x＝1是原方程的解．故答案为：x＝1．【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．8．【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x＞﹣5，∴原不等式组的解集为：x＞2，故答案为：x＞2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．9．【分析】方程组化为一元二次方程可解得答案．【解答】解：由x﹣2y＝0得x＝2y，代入x2+y2＝5得：5y2＝5，解得y＝1或y＝﹣1，∴原方程组的解为或．故答案为：或．【点评】本题考查解高次方程，解题的关键是把方程组化为一元二次方程．10．【分析】先计算出Δ的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．【解答】解：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×（﹣1）＝m2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．11．【分析】依据题意，由y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1，又抛物线开口向上，从而当x＜1时，y随x的增大而减小，图象逐渐下降，当x≥1时，y随x的增大而增大，图象逐渐上升，再结合二次函数y＝2x2﹣4x+1的图象的一部分是上升的，进而可以判断得解．【解答】解：由题意，∵y＝2x2﹣4x+1＝2（x2﹣2x+1）﹣1＝2（x﹣1）2﹣1，又抛物线开口向上，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，图象逐渐下降，当x≥1时，y随x的增大而增大，图象逐渐上升．∵二次函数y＝2x2﹣4x+1的图象的一部分是上升的，∴x≥1．故答案为：x≥1．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．12．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答本题即可．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点A（t，﹣2t），∴t×（﹣2t）＝﹣4，解得t＝．故答案为：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握这一特征是关键．13．【分析】利用列举法展示所有4种等可能的结果，根据三角形三边的关系可判断三条线段能构成三角形的结果数，然后根据概率求解．【解答】解：从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，它们为2、4、6；2、4、7；2，6，7；4，6，7，共有4种等可能的结果，其中三条线段能构成三角形的结果数为2，所以三条线段能构成三角形的概率＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了三角形三边的关系．14．【分析】设上升的高度为x米，根据坡比和勾股定理列方程即可求解．【解答】解：设上升的高度为x米，坡比i＝1：2.4，根据题意得x2+（2.4x）2＝1302，解得x＝50，故答案为：50．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解坡比的定义．15．【分析】先用总人数乘以从来不管对应的百分比求出其人数，再根据三个类别人数之和等于总人数求出严格管理的人数，最后用总人数乘以样本中严格管理人数所占比例即可．【解答】解：由题意知，从来不管的人数为100×25%＝25（人），则严格管理的人数为100﹣25﹣55＝20（人），所以估计该校对手机持“严格管理”态度的家长有2000×＝400（人），故答案为：400．【点评】本题考查了条形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．也考查了利用样本估计总体．16．【分析】首先判定△ABC是等腰三角形；如图，过点C作CE∥AB交AD于E，构造平行四边形ABCE，则BC＝AE．所以在△ABC中，利用三角形法则求解即可．【解答】解：∵BC∥AD，∴∠BCA＝∠CAD．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD．∴∠BAC＝∠BCA．∴AB＝BC．如图，过点C作CE∥AB交AD于E，则四边形ABCE是平行四边形．∴BC＝AE．∵AD＝2AB，∴AD＝2BC．∵＝，∴＝＝．∵＝，＝+．∴＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了平面向量，等腰三角形的判定与性质，梯形．解题的巧妙之处在于作出辅助线，构造平行四边形．将所求的向量置于△ABC中，利用三角形法则作答．17．【分析】过A作AM⊥BC，过D作DN⊥BC，连接AE，连接CE交BD于O，根据等腰三角形的性质以及平行线分线段成比例可以求出CN，BN的长，然后根据勾股定理求出DN和BD的长，根据轴对称的性质可得，CE⊥BD，OC＝OE，DE＝DC，根据等积变换可以求出OC，从而求得CE，再根据AD＝CD＝DE可以判断△ACE为直角三角形，最后根据勾股定理求出AE的长即可．【解答】解：如图，过A作AM⊥BC，过D作DN⊥BC，连接AE，连接CE交BD于O，∴AM∥DN，∵D为AC中点，AB＝AC，∴AD＝CD＝3，BM＝CM＝2，∴CN＝MN＝1，∴DN＝＝2，∴BD＝＝，∵E和C关于BD对称，∴CE⊥BD，OC＝OE，DE＝DC，＝BC•DN＝BD•OC，∵S△BCD∴OC＝，∴CE＝，∵AD＝CD＝DE，∴△ACE为直角三角形，∴AE＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了翻折问题，合理运用平行线分线段成比例、勾股定理以及直角三角形的判定是本题解题的关键．18．【分析】过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，反比例函数比例系数的几何＝4，S△OBE＝0.5，证△OAD∽△OBE得，由此得OA＝意义得S△OADOB，则AB＝（OB，再由得S△ABC＝（S，然后根据等腰三角形的性质得S△AOC＝2S△OAD＝8，则S△ABC+S△OBC＝8，由此得△OBC＝，进而可得△ABC的面积．得S△OBC【解答】解：过点A，B分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，如下图所示：∵点A是函数（x＜0）图象上一点，点B是反比例函数（x＜0）图象上的点，＝×8＝4，S△OBE＝×1＝0.5，根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OAD∵AD⊥x轴，BE⊥x轴，∴AD∥BE，∴△OAD∽△OBE，∴，∴＝8，∴OA＝OB，∴AB＝OA﹣OB＝OB﹣OB＝（）OB，即，∵，＝（）S△OBC，∴S△ABC∵AC＝AO，AD⊥x轴，∴OD＝CD，＝2S△OAD＝8，∴S△AOC+S△OBC＝8，∴S△ABC+S△OBC＝8，即（）S△OBC＝，∴S△OBC＝S△AOC﹣S△OBC＝．∴S△ABC故答案为：．【点评】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分）19．【分析】利用二次根式的性质、绝对值的性质以及零指数幂分别化简得出答案．【解答】解：﹣|1﹣|+π0﹣＝2﹣+1+1﹣＝2．【点评】本题考查了实数的运算，掌握正确化简各数是关键．20．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：（x+2）2﹣16＝x﹣2，整理得：x2+4x+4﹣16＝x﹣2，即x2+3x﹣10＝0，分解因式得：（x﹣2）（x+5）＝0，解得：x＝2或x＝﹣5，检验：当x＝2时，（x+2）（x﹣2）＝0，当x＝﹣5时，（x+2）（x﹣2）≠0，∴x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣5．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．21．【分析】（1）连接AO1，由勾股定理求出CO2，再求出CO1，再由勾股定理求出AO1即可；（2）由勾股定理逆定理判断∠O1BO2是否为直角即可．【解答】解：（1）连接AO1，AB和O1O2交于点C，如图：∵AB是⊙O1和⊙O2的公共弦，∴AB⊥O1O2，AC＝BC＝24，∴CO2＝＝18，∴CO1＝O1O2﹣CO2＝32，∴AO1＝＝40．（2）经过．证明：∵BO1＝AO1＝40，BO2＝AO2＝30，O1O2＝50，∴+＝O1，∴∠O1BO2＝90°，∴B在以O1O2为直径的圆上．【点评】本题主要考查了相交圆的性质，合理运用勾股定理及其逆定理是本题解题的关键．22．【分析】（1）根据题意，若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，则根据故障地点距考场的距离即可求出小汽车运动的总路程，又已知小汽车的平均速度，即可求得小汽车运动的总时间，随后与距截止进考场的时间进行比较，即可判断能否在截止进考场的时刻前到达考场；（2）由（1）知，若停留在原地等待则无法在截止进考场的时刻前到达考场，所以让在小汽车运送4人去考场的同时，留下的4人需步行前往考场，可节省一些时间，根据路程与速度的关系可分别求出小汽车运送第一批4人到达考场的时间、小汽车接到步行的4人的时间、小汽车从接到第二批4人到运送至考场的时间，三个时间相加后与距截止进考场的时间进行比较，即可判断方案的可行性．【解答】解：（1）他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地，小汽车先送4名学生到达比赛场地，然后再回到出故障处接其他学生，总路程为：15×3＝45（千米），第二次到达考场所需时间为：45÷60＝0.75（小时），0.75小时＝45分钟，∵45＞42，∴他们不能在截止进场的时刻前到达比赛场地；（2）先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回接到步行的4人的后再载他们前往考场，先将4人用车送到考场所需时间为15÷60＝0.25（h）＝15（分钟），5×0.25＝1.25（km），∴此时他们与考场的距离为15﹣1.25＝13.75（km），设汽车返回t（h）后与步行的4人相遇，则：5t十60t＝13.75，解得t＝，此时汽车与考场的距离为13.75﹣5×＝＝（km），∴汽车由相遇点再去考场所需时间为（h），用这一方案送这8人到考场共需15≈40.4（分钟）．∴40.4＜42，∴采取此方案能使8个人在截止进考场的时刻前到达考场．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．23．【分析】（1）连接BD．根据菱形的性质得到AB＝AD＝BC＝CD，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到＝，同理＝，又CG≠AE，得到EF≠GH，根据梯形的判定定理得到四边形EGHF是梯形；根据全等三角形的性质得到EG＝FH，于是得到梯形EGHF是等腰梯形．【解答】证明：（1）连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∵AE＝AF，CG＝CH，∴＝，＝，∴EF∥BD，GH∥BD，∴EF∥GH；（2）∵EF∥BD，∴△AEF∽△ABD，∴＝，同理＝，又CG≠AE，∴EF≠GH，∵EF∥GH，∴四边形EGHF是梯形；∵AB﹣AE＝AD﹣AF，即BE＝DF，∴BC﹣CG＝CD﹣CH，即BG＝DH，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC＝∠ADC，∴△BGE≌△DHF（SAS），∴EG＝FH，∴梯形EGHF是等腰梯形．【点评】本题考查了等腰梯形的判定，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．24．【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，进而求解；（2）①在Rt△CGM中，cos∠MCG＝，则CG＝CM•cos∠MCG＝×＝2，在Rt △CGH中，GH＝CG•sin∠HCG＝2×＝，即可求解；②当m＝0时，即点M与点O重合时，符合题意；当0＜m＜4时，如图所示，取MG的中点P，以MG为直径作圆P，则点N、D在圆上，由PM＝OH，即可求解；当m≥4时，可得：OH＞PM，所以符合题意的m不存在．【解答】解：（1）由题意，得：a﹣4a+4＝0，解得：a＝，∴抛物线的表达式为y＝x2﹣x+4；则抛物线的对称轴是直线x＝2，∴点B（3，0）；（2）①由题意，得C（0，4）、M（0，），则CM＝，∵四边形GDMN是平行四边形，∴DG∥MN，又点N在y轴上，∴NM⊥OD，∴GD⊥OD，在Rt△OBC中，BC＝＝5，则cos∠OCB＝＝，则sin∠OCB＝，在Rt△CGM中，cos∠MCG＝，则CG＝CM•cos∠MCG＝×＝2，过点G作GH⊥CO，垂足为H，在Rt△CGH中，GH＝CG•sin∠HCG＝2×＝，则OD＝GH＝，故点D（，0）；②当m≥0时，根据m不同取值分三种情况讨论：当m＝0时，即点M与点O重合时，符合题意；当0＜m＜4时，如图所示，取MG的中点P，以MG为直径作圆P，则点N、D在圆上，此时圆P和x轴有唯一切点D，符合题设条件，则OH＝PD＝PM，∵MG＝MC•sin∠OCB＝（4﹣m）＝2PM，由①知，∠CMG＝∠OCB，则sin∠CMG＝sin∠OCB，则MH＝PM•sin∠OCB＝（4﹣m），而OH＝MH+OM＝MH+m，由PM＝OH得：（4﹣m）+m＝（4﹣m），解得：m＝；当m≥4时，可得：OH＞PM，所以符合题意的m不存在，综上，符合题意的m的值为0或．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、圆的切线的性质等知识，分类求解是解题的关键．25．【分析】（1）①根据弧长与圆心角之间的关系求解即可；②在弧CD上取点E，使得∠COE＝∠AOC，然后根据圆心角、弧长、弦长之间的关系以及三角形的三边关系证明即可；（2）①利用相似三角形的判定与性质，先证明△OMB∽△AON，即可得出AN•BM的值；②过点O在OB下方作∠BOM′＝∠AOM，截取OM′＝OM，利用全等三角形的判定与性质，以及勾股定理可以求出BN的长，过N作OB垂线，根据三角函数的定义求解tan∠BOD即可．【解答】解：（1）①设∠AOC＝α，∴∠BOD＝90°﹣45°﹣α＝45°﹣α，∵＝•2πOA，＝•2πOA，＝•2πOA，∴＝+；②AC+BD＞CD．证明：在上取点E，连接OE，使得∠COE＝∠AOC，连接CE，DE，如图：∴AC＝CE，在△CDE中，CE+DE＞CD，∵∠COE+∠DOE＝45°，∠AOC+∠BOD＝45°，∴∠DOE＝∠BOD，∴BD＝DE，∴AC+BD＞CD．（2）①AN•BM的值不变，AN•BM＝72．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵∠OMB＝∠OAB+∠AOM＝45°+∠AOM，又∵∠AON＝∠COD+∠AOM＝45°+∠AOM，∴∠OMB＝∠AON，∴△OMB∽△AON，∴＝，∴AN•BM＝AO•BO＝72；②过点O在OB下方作∠BOM′＝∠AOM，截取OM′＝OM，连接BM′，NM′，如图：∵AO＝BO，∴△OBM′≌△OAM（SAS），∴BM′＝AM，∠OBM′＝∠OAB＝45°，∴∠NBM′＝90°，又∵∠M′ON＝45°＝∠COD，ON＝ON，∴△ONM′≌△OMN（SAS），∴M′N＝MN，∴MN2＝M′N＝BM′2+BN2＝AM2+BN2，又∵AM+BN＝12﹣5＝7，∴BN＝3或4，过N作NG⊥OB于G，当BN＝3时，NG＝BG＝，∴OG＝，∴tan∠BOD＝＝，当BN＝4时，NG＝BG＝2，∴OG＝4，∴tan∠BOD＝＝，∴tan∠BOD＝或．【点评】本题主要考查了圆的综合题，综合运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆心角与弦和弧的关系以及锐角三角函数的定义是本题解题的关键。

2024年陕西省西安交大附中中考数学二模试卷及答案解析

2024年陕西省西安交大附中中考数学二模试卷及答案解析

2024年陕西省西安交大附中中考数学二模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）的绝对值是（）A．B．C．﹣2024D．20242．（3分）《清朝野史大观•清代述异》称：“中国讲求烹茶，以闽之汀、漳、泉三府，粤之潮州府功夫茶为最．”如图1是喝功夫茶的一个茶杯，关于该茶杯的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同C．左视图与俯视图相同D．三视图都相同3．（3分）如图为商场某品牌椅子的侧面图，∠DEF＝121°，DE与地面平行，∠ABD＝48°，则∠DCE＝（）A．78°B．73°C．69°D．61°4．（3分）计算：3x2y•（﹣2xy）2的结果是（）A．﹣6x3y3B．6x3y3C．﹣12x4y3D．12x4y35．（3分）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝mx﹣2的图象向右平移2个单位长度后经过原点，则一次函数y＝x+m的图象不经过第（）象限．A．﹣B．二C．三D．四6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC平分∠BAD，若AB＝6，△ABD的周长为16，则对角线AC的长为（）A．B．C．D．7．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是的中点，过点A画⊙O 的切线，交BC的延长线于点D，连接EC．若∠ADB＝58°，则∠ACE的度数为（）A．29°B．31°C．58°D．32°8．（3分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+2（m﹣1）x+m2﹣2m（m为常数）的图象经过点（﹣1，y1），（0，3），（2，y2），且y1＜3＜y2，则m的值为（）A．3或﹣1B．﹣3或﹣1C．3D．﹣1二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9．（3分）分解因式：9x﹣xy2＝．10．（3分）2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），AB＝10cm，则BC＝cm．（结果保留根号）11．（3分）如图，某螺帽的横截面为正六边形，边长a＝12mm，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b至少要mm．12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第一象限内，点B为AC的中点，反比例函数的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是12，则k的值为．13．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3，E，F分别在边CD，BC上，且BF＝CE，连接BE，将△BCE沿BC向右平移得到△FGH，连接DF，DH，则△DFH的面积的最小值为．三、解答题（本大题共13小题，共81分，解答应写出过程）14．（5分）计算：．15．（5分）求不等式的负整数解．16．（5分）解方程：．17．（5分）如图，已知△ABC，在平面内求作一点D，使得以A，B，C，D为顶点且以AC 为对角线的四边形是平行四边形．（保留作图痕迹，不要求写作法）18．（5分）已知：如图AB＝AE，AB∥DE，∠ABC＝∠DAE．求证：AE＝DE+CE．19．（5分）《九章算术》第七章“盈不足”中有一题：“今有共买物，人出八，盈三钱；人出七，不足四，问人数、物价各几何”．译文：现有一些人买一件物品，每人出8钱，则结余3钱；若每人出7钱，则还差4钱．问购买物品的人数是多少？这件物品的价格是多少？20．（5分）二十四节气是中华民族悠久历史文化的重要组成部分，被国际气象学界誉为“中国的第五大发明”．王老师为了让同学们深入了解二十四节气，将每个节气的名称写在完全相同且不透明的小卡片上，洗匀后将卡片倒扣在桌面上，邀请同学上讲台随机抽取一张卡片，并向大家介绍卡片上对应节气的含义．（1）2024年2月4日是“立春”，若随机抽取一张卡片，则抽到“立春”的概率为；（2）老师选出写有“谷雨、芒种”的两张卡片洗匀后倒扣在桌面上，请小张同学从中抽取一张卡片记下节气名称，然后放回洗匀重复此动作共三次．请利用画树状图或列表的方法，求小张同学三次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率．21．（6分）大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑以紫云楼为代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范[如图（1）]．小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量紫云楼的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力，他们经过研究，决定进行如下操作：如图（2），首先，在阳光下，小风在紫云楼影子的末端C点处竖立一根2米的标杆CD，此时，小花测得标杆CD的影长CE＝2米；然后，小风从C点沿BC方向走了5.4米，到达点G，在G处竖立一根2米的标杆FG，接着沿BG方向后退到点M处时，恰好看见紫云楼顶端A（点A，F，H在一条直线上），此时，小花测得GM＝0.6米，小风的眼睛到地面的距离HM＝1.5米．请你根据题中提供的相关信息，求出紫云楼的高AB．22．（7分）2024年3月22日是第三十二届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．小明同学发现水龙头关闭不严会造成滴水浪费．为了倡议全校同学节约用水，他做了如下试验：用一个足够大的量杯，放置在水龙头下观察量杯中水量的变化情况．已知量杯中原来装有10mL水，30min内7个时间点量杯中的水量变化如表所示，其中t（min）表示时间，y（mL）表示量杯中的水量．时间t/min0510********量杯中的水量y/mL10203040506070为了描述量杯中的水量与时间的关系，现有以下三种函数类型供选择：y＝kx+b（k≠0），y＝ax2+bx+c（a≠0），．（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际情况的函数类型，求出y与t的函数表达式；（2）在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，请你估计照这样漏一天，量杯中的水量约为多少mL？23．（7分）为增强学生国家安全意识，激发爱国情怀，某市举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分100分）均不低于60分．小明将自己所在班级学生的成绩（用x表示）分为四组：A组（60≤x＜70），B组（70≤x＜80），C组（80≤x＜90），D组（90≤x≤100），绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）补全学生成绩的频数分布直方图；（2）在扇形统计图中，A组所对应的圆心角度数为°，本班成绩的中位数落在组；（3）把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如A组：60≤x＜70的中间值为65）来代替，试估算小明班级的平均成绩；（4）根据本班成绩，请估计全市参加竞赛的8000名学生中成绩不低于80分的有多少人？24．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB＝60°，弦BD交AC于点E，且AE＝DE．（1）求证：△EBC是等边三角形；（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，若DE＝3，EG＝2，求AB的长．25．（8分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．26．（10分）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，，AB＝8，点D 为AB中点，点E为BC上一动点，连接DE，将△DBE沿DE折叠，点B的对应点为点F．①连接BF，则线段DE和线段BF的位置关系是．②当点F落在AC边上时，求△DBE的面积．（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，，点F在CD边上，过点F作EF∥BD，交BC于点E，将△EFC沿EF折叠得到△EFG，以EG为直径作⊙O．当⊙O与△ABD的边相切时，求CF的长．2024年陕西省西安交大附中中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数，计算即可求出值．【解答】解：|﹣|＝．故选：A．【点评】此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．2．【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．【解答】解：这个茶杯的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．故选：A．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．3．【分析】根据题意可得：DE∥AB，从而利用平行线的性质可得∠ABD＝∠D＝48°，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答．【解答】解：由题意得：DE∥AB，∴∠ABD＝∠D＝48°，∵∠DEF是△DCE的一个外角，∴∠DCE＝∠DEF﹣∠D＝121°﹣48°＝73°，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．4．【分析】先计算乘方，再根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．【解答】解：3x2y•（﹣2xy）2＝3x2y•4x2y2＝12x4y3，故选：D．【点评】本题了单项式乘单项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键．5．【分析】由平移的性质知，平移后一次函数的表达式为：y＝m（x﹣2）﹣2，将（0，0）代入上式得：0＝m（﹣2）﹣2，解得：m＝﹣1，即可求解．【解答】解：由平移的性质知，平移后一次函数的表达式为：y＝m（x﹣2）﹣2，将（0，0）代入上式得：0＝m（﹣2）﹣2，解得：m＝﹣1，即一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣1，故该函数不过第二象限，故选：B．【点评】本题考查了一次函数与平移，熟练掌握点的平移规律：左减右加，上加下减是解题的关键．6．【分析】先证四边形平行四边形ABCD是菱形，由勾股定理可求AO的长，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DCA＝∠BAC，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠BAC，∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝6，AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO，∵△ABD的周长为16，∴AB+AD+BD＝16，∴BD＝4，∴BO＝2，∴AO＝＝＝4，∴AC＝8，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．7．【分析】先根据切线的性质得到∠BAD＝90°，则利用互余计算出∠B＝32°，然后根据圆周角定理得到∠ACE的度数．【解答】解：∵AD为⊙O的切线，∴AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴∠B＝90°﹣∠ADB＝90°﹣58°＝32°，∵点A是的中点，∴＝，∴∠ACE＝∠B＝32°．故选：D．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．8．【分析】先根据函数解析式确定出抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1﹣m，再根据二次函数增减性得出结论．【解答】解：∵二次函数y＝x2+2（m﹣1）x+m2﹣2m（m为常数），∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1﹣m，∵二次函数y＝x2+2（m﹣1）x+m2﹣2m（m为常数）的图象经过点（﹣1，y1），（0，3），（2，y2），且y1＜3＜y2，∴1﹣m＜，∴m＞1.5．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）9．【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解即可．【解答】解：9x﹣xy2＝x（9﹣y2）＝x（3+y）（3﹣y）．故答案为：x（3+y）（3﹣y）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．10．【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．【解答】解：∵点C可看作是线段AB的黄金分割点（AC＜CB），AB＝10cm，∴BC＝AB＝×10＝（5﹣5）cm，故答案为：（5﹣5）．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．11．【分析】根据正六边形的性质和锐角三角函数，可以求得AG的长，然后即可得到AC 的长，从而可以得到扳手张开的开口b至少要多少mm．【解答】解：如图所示，由题意可得，AB＝12mm，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝120°，作BG⊥AC于点G，∴∠ABG＝60°，∠AGB＝90°，∴AG＝AB•sin60°＝12×＝6mm，∴AC＝AG＝12mm，故答案为：12．【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12．【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），则CD＝a，OA＝c，由△AOC的面积是6得ac＝12，将点C（a，b）代入反比例函数的表达式得k＝ab，然后根据点B为AC的中点得点，将点B代入反比例函数表达式得，据此即可求出k的值．【解答】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图：设点C的坐标为（a，b），点A的坐标为（0，c），∴CD＝a，OA＝c，∵△AOC的面积是12，∴，∴ac＝24，∵点C（a，b）在反比例函数（x＞0）的图象上，∴k＝ab，∵点B为AC的中点，∴点，∵点B在反比例函数（x＞0）的图象上，∴，即：4k＝a（b+c），∴4k＝ab+ac，将ab＝k，ac＝24代入上式得：k＝8．故答案为：8．【点评】此题主要考查了反比例函数的图象，解答此题的关键是理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．13．【分析】根据正方形的性质和平移的性质得出函数解析式，进而利用函数解析式的取值解答即可．【解答】解：设BF＝x，则CE＝BF＝x，∵正方形ABCD的边长为3，∴CF＝3﹣x，由平移的性质可得：BF＝CG＝x，CE＝GH＝x，CE∥HG，＝S四边形DFGH﹣S△FGH∴S△DFH＝＝，当x＝时，△DFH的最小值为：，∴△DFH的面积的最小值为；故答案为：．【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出CF解答．三、解答题（本大题共13小题，共81分，解答应写出过程）14．【分析】根据题目逐步计算即可．【解答】解：原式＝﹣（2﹣）+1＝2﹣2++1＝3﹣1．【点评】本题考查的是实数的运算和零指数幂，正确掌握实数运算的“三个关键”是解题的关键．15．【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的负整数即可．【解答】解：，去分母得：4x﹣（6x+1）≤6，去括号得：4x﹣6x﹣1≤6，移项合并得：﹣2x≤7，系数化为1得：x≥，∴不等式的负整数解为﹣3，﹣2，﹣1．【点评】本题考查了解一元一次不等式的整数解，解答此题要熟知不等式的基本性质，能根据不等式的解集求出符合条件的负整数解，进而求出答案．16．【分析】利用去分母的方法将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．【解答】解：原方程去分母得：（x+3）2＝（x﹣2）（x+3）﹣2（x﹣2），整理得：6x+9＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣，检验：当x＝﹣时，（x﹣2）（x+3）≠0，故原方程组的解为x＝﹣．【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．17．【分析】以点A为圆心，BC的长为半径画弧，再以点C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧在AC的右侧相交于点D，连接AD，CD即可．【解答】解：如图，以点A为圆心，BC的长为半径画弧，再以点C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧在AC的右侧相交于点D，连接AD，CD，则AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，即平行四边形ABCD为所求．【点评】本题考查作图—复杂作图、平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解答本题的关键．18．【分析】先根据ASA证明△DAE≌△CBA，得到AC＝DE，即可求证．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E，在△ABC和△AED中，，∴△DAE≌△CBA（ASA），∴AC＝DE，又∵AE＝AC+CE，∴AE＝DE+CE．【点评】此题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握三角形的判定方法．19．【分析】根据题干中价格相等的条件列出8x﹣3＝7x+4，求解即可．【解答】解：设购买物品的人数是x人，根据题意得，8x﹣3＝7x+4，解得x＝7，所以这件物品的价格是8x﹣3＝8×7﹣3＝53（元），答：购买物品的人数是7人，这件物品的价格是53元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，正确列出方程是解题的关键．20．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）列树状图可得出所有等可能的结果数以及三次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，随机抽取一张卡片，抽到“立春”的概率为．故答案为：．（2）列树状图如下：共有8种等可能的结果，其中三次抽到的卡片上写有相同节气名称的结果有2种，∴两次抽到的卡片上写有相同节气名称的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．21．【分析】根据已知条件得到AB＝BC，过H作HN⊥AB于N，交FG于P，设AB＝BC ＝x，则HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6，AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵CD⊥BM，FG⊥BM，CE＝2，CD＝2，∴AB＝BC，过H作HN⊥AB于N，交FG于P，设AB＝BC＝x，则HN＝BM＝x+5.4+0.6＝x+6，AN＝x﹣1.5，FP＝0.5，PH＝GM＝0.6，∵∠ANH＝∠FPH＝90°，∠AHN＝∠FHP，∴△ANH∽△FPH，∴，即，∴x＝39，∴紫云楼的高AB为39米．【点评】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．22．【分析】（1）用描点，连线的方法画出函数图象，并用待定系数法求函数解析式；（2）把x＝24小时＝1440分钟代入解析式求出y的值．【解答】解：（1）由表格中数据，在坐标系内描点，连线，如图所示：由图象可知，最符合实际情况的函数类型y＝kx+b（k≠0），设量杯中的水量y关于时间t的函数表达式为y＝kt+b，把（0，10），（5，20）代入y＝kx+b得：，解得，∴量杯中的水量y关于时间t的函数表达式为y＝2t+10；（2）一天24小时＝1440分钟，∴当x＝1440时，y＝2×1440+10＝2890，∴一天量杯中的水量约为2890mL．【点评】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．23．【分析】（1）先根据C组是10人，所占班级人数的20%求出班级人数为＝40人，由此可求出B组的人数为8人，据此可补全频数分布直方图；（2）由C组是4人，班级人数为40人求出A组人数占班级人数的百分比，进而可求出A组所对应的圆心角的度数；（3）分别求出A组，B组，C组，D组的中间值，然后利用加权平均数的计算公式即可求出班级的平均成绩；（4）利用样本估计总体思想即可求解．【解答】解：（1）由频数分布直方图可知：C组是10人，由扇形统计图可知：C组占班级人数的20%，∴班级人数为：10÷25%＝40（人），∴B组的人数为：40×20%＝8（人），∴补全频数分布直方图如图所示：（2）由频数分布直方图可知：C组是4人，∴A组人数占班级人数的百分比为：4÷40＝10%，∴A组所对应的圆心角的度数为：360°×10%＝36°；本班成绩的中位数在80～90之间，即在C组，故答案为：36；C；（3）∵A组中间值为65分，A组有4人，B组中间值为75分，B组有8人，C组中间值为85分，C组有10人，D组中间值为95分，D组有18人，∴班级的平均成绩为：（65×4+75×8+85×10+95×18）÷40＝85.5（分），答：估计小明班级的平均成绩为85.5分；（4）在抽取出的学生中，成绩不低于80分的有：10+18＝28（人），8000×＝5600（人），答：估计全市参加竞赛的8000名学生中成绩不低于80分的有5600人．【点评】此题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，加权平均数的计算，理解题意，读懂统计图并从统计图中提取相关的解题信息是解答此题的关键．24．【分析】（1）首先得出△AEB≌△DEC，进而得出△EBC为等边三角形，即可得出答案；（2）由已知得出EF，BC的长，进而得出CM，BM的长，再求出AM的长，再由勾股定理求出AB的长．【解答】（1）证明：在△AEB和△DEC中，，∴△AEB≌△DEC（ASA），∴EB＝EC，又∵BC＝CE，∴BE＝CE＝BC，∴△EBC为等边三角形；（2）解：作BM⊥AC于点M，∵OF⊥AC，∴AF＝CF，∵△EBC为等边三角形，∴∠GEF＝60°，∴∠EGF＝30°，∵EG＝2，∴EF＝1，又∵AE＝ED＝3，∴CF＝AF＝4，∴AC＝8，EC＝5，∴BC＝5，∵∠BCM＝60°，∴∠MBC＝30°，∴CM＝，∴BM＝＝，∴AM＝AC﹣CM＝，∴AB＝＝7．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质和勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，得出CM，BM的长是解题关键．25．【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y＝1.8时x的值，由此即可得出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣x2+bx+，代入点（16，0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．【解答】解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y＝a（x﹣3）2+5，得：25a+5＝0，解得：a＝﹣，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．（2）当y＝1.8时，有﹣（x﹣3）2+5＝1.8，解得：x1＝﹣1，x2＝7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．（3）当x＝0时，y＝﹣（x﹣3）2+5＝．设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣x2+bx+，∵该函数图象过点（16，0），∴0＝﹣×162+16b+，解得：b＝3，∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣x2+3x+＝﹣（x ﹣）2+．∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y＝1.8时x的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．26．【分析】（1）①利用折叠的性质和线段垂直平分线的判定与性质解答即可；②依题意画出图形，利用直角三角形的边角关系求得线段BC，利用直角三角形的判定定理得到∠AFB＝90°，利用三角形的中位线的判定与性质求得BE，再利用三角形的面积公式解答即可；（2）利用矩形的性质，直角三角形的边角关系定理得到∠DBC＝30°，∠BDC＝60°；利用分类讨论的思想方法分三种情形讨论解答：当⊙O与BD的边相切于点P时，连接CG并延长交BD于点M，设CG与EF交于点N，连接OP，PG，设FC＝FG＝x，利用等边三角形的判定与性质，圆的切线的性质和直角三角形的边角关系定理解答即可；②当⊙O与AD的边相切于点P时，设⊙O与BC交于点Q，连接GQ，CG，OQ，连接PO 并延长交BC于点N，利用①的方法解答即可；③当⊙O与AB的边相切于点P时，设⊙O与BC交于点Q，连接GQ，CG，OQ，PO，过点O作NH⊥AD于点N，交BC边于点H，类比①的方法解答即可．【解答】解：（1）①由题意得：△BDE≌△FDE，∴DB＝DF，EB＝EF，∴DE垂直平分BF．∴线段DE和线段BF的位置关系是：DE⊥BF．故答案为：DE⊥BF；②当点F落在AC边上时，如图，∵∠ABC＝90°，，∴，∵AB＝8，∴BC＝6，∵点D为AB中点，∴BD＝AD＝AB＝4．由（1）①知：DB＝DF，∴DF＝AD＝BD＝AB，∴∠AFB＝90°．∴BF⊥AC．∵DE⊥BF，∴DE∥AC，∴DE为△ABC的中位线，∴BE＝BC＝3，∴△DBE的面积＝BD•BE＝3×4＝6；（2）∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，∵，∴tan∠DBC＝，∴∠DBC＝30°，∴∠BDC＝60°．①当⊙O与BD的边相切于点P时，连接CG并延长交BD于点M，设CG与EF交于点N，连接OP，PG，如图，设FC＝FG＝x，由（1）①知：EF⊥CG，∵EF∥BD，∴CM⊥BD，∴∠MCB＝90°﹣∠DBC＝60°，∵EC＝EG，∴△EGC为等边三角形，∴∠GEC＝∠EGC＝60°，∴∠FEC＝∠GEC＝30°，∴CG＝EC＝x．∴OG＝OP＝x．∵⊙O与BD的边相切于点P，∴OP⊥BD，∴OP∥CM，∴∠OPG＝∠EGC＝60°，∴△OPG为等边三角形，∴PG＝OG＝x，∴MG＝PG＝x，∴CM＝MG+CG＝x．∵CM＝CD＝2，∴x＝2，∴x＝．∴FC＝；②当⊙O与AD的边相切于点P时，设⊙O与BC交于点Q，连接GQ，CG，OQ，连接PO并延长交BC于点N，如图，由（1）①知：EF⊥CG，∵EF∥BD，∴CM⊥BD，∴∠MCB＝90°﹣∠DBC＝60°，∵EC＝EG，∴△EGC为等边三角形，∴∠GEC＝∠EGC＝60°，∴∠FEC＝GEC＝30°，设FC＝FG＝x，∴CG＝EC＝x．∴OG＝OP＝x．∵⊙O与AD的边相切于点P，∴OP⊥AD，∴AD∥CB，∴ON⊥EQ，∴EN＝EQ＝EQ，∵△OEQ为等边三角形，∴ON＝×x＝x．∴PN＝OP+ON＝（）x．∵四边形PNCD为矩形，∴PN＝CD＝4，∴4＝（）x，∴x＝．∴FC＝；③当⊙O与AB的边相切于点P时，设⊙O与BC交于点Q，连接GQ，CG，OQ，PO，过点O作NH⊥AD于点N，交BC边于点H，如图，∵AD∥BC，∴NH⊥BC，∴四边形NHCD为矩形，∴NH＝CD＝4．∵⊙O与AB的边相切于点P，∴OP⊥AB，∴四边形OPBH为矩形，∴BH＝OP，由（1）①知：EF⊥CG，∵EF∥BD，∴CM⊥BD，∴∠MCB＝90°﹣∠DBC＝60°，∵EC＝EG，∴△EGC为等边三角形，∴∠GEC＝∠EGC＝60°，∴∠FEC＝GEC＝30°，设FC＝FG＝x，∴CG＝EC＝x．∴OG＝OP＝x．∴BH＝x．∵△OEQ为等边三角形，∴GQ＝OE＝x，∵EH＝HQ＝EQ＝x，∴BC＝EC+BH﹣EH＝x，∴4＝x，∴x＝．∴FC＝．综上，CF的长为或或．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，折叠的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质，矩形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线。

2024年江苏省宿迁市泗阳县泗阳致远中学中考二模数学试题(含解析)

2024年江苏省宿迁市泗阳县泗阳致远中学中考二模数学试题(含解析)

泗阳县2024年初中学业水平第二次模拟测试数学分值：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．2024年代表着希望，自然，生机，则2024的相反数是（ ）A ．B ．C．D ．2．下列各式正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数的自变量x 的取值范围是（ ）A ．，且B ．C ．D ．，且4．如图是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，则这个几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如果两个三角形相似比是，则它们的周长比是（ ）A ．B ．C ．D ．6．一元一次不等式组的解集为（ ）A ．B ．20242024-1202412024-33-=-33-=-33-=133-=-13y x =+-2x ≥3x ≠2x ≥3x ≠2x >3x ≠4:92:34:916:8116:729102x x -≥⎧⎨<⎩C ．D ．7．如果点P （m ，1+2m ）在第三象限内，那么m 的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．8．如图，是的高，若，，则边的长为（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知BD 是矩形ABCD 的对角线，AB ＝6，BC ＝8，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，连结BE ，DF ．将△ABE 沿BE 翻折，将△DCF 沿DF 翻折，若翻折后，点A ，C 分别落在对角线BD 上的点G ，H 处，连结GF ．则下列结论不正确的是（ ）A ．BD ＝10B ．HG ＝2C ．D ．GF ⊥BC 10．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠AOC ＝110°，则∠ADC ＝（ ）A ．55°B ．110°C ．125°D ．70°102m -<<12m >-0m <12m <-AD ABC 26BD CD ==tan 2C ∠=ABEG FH ∥二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．正六边形的外角和是 ．12．将数字用科学记数法表示为 ．13．已知圆锥的母线长为4cm ，底面圆的半径为3cm ，则此圆锥的侧面积是 cm 2．14．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E．若，BC ＝10，则DE ＝ ．15．一元二次方程的两个根分别为，x 2，则x 1·x 2= ．16．如图，是的切线，为切点，连接．若，，则的长度是 ．17．如图，直线交x 轴于点C ，交反比例函数的图像于A 、B 两点，过点B 作轴，垂足为点D ，若，则a 的值为 ．18．已知一列均不为1的数满足如下关系：，，5200000425ADE ABC S S = 2230x x +-=1x AC O B OA OC ，30A ∠=︒AB =3BC =OC AB ()11a y a x-=>BD y ⊥5= BCD S 123n a a a a ⋯，，，，12111a a a +=-23211a a a +=-，⋯，，若，则的值是 ．三、解答题（本大题共10题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．20．先化简，再求值：，其中＝3．21．在歌唱比赛中，一位歌手分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份）一次，根据指针指向的歌曲名演唱两首曲目．（1）转动转盘①时，该转盘指针指向歌曲“3”的概率是 ；（2）若允许该歌手替换他最不擅长的歌曲“3”，即指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，求他演唱歌曲“1”和“4”的概率．22．学校调查了某班同学上学的方式有四种：骑自行车、步行、乘坐公交车和家长接送（分别用A 、B 、C 、D 表示），根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（未完成），请集合图中所给信息解答下列问题：（1）这个班级学生共有多少人？（2）将两幅不完整的图补充完整；（3）求扇形统计图中C 所对圆心角的度数；（4）已知步行上学的同学中有3名女同学，学校将从步行上学的同学中随机选出2名同学参加交通安全知识培训，求所选2名同学恰好是一男一女的概率．23．某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．34311a a a +=-111n n n a a a ++=-12a =2024a 2120242⎛⎫+ ⎪⎝⎭2421a a a -⎛⎫÷- ⎪⎝⎭a(1)求购买甲、乙两种树苗各多少棵？(2)为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵（可以只买一种），总费用不超过230元，求可能的购买方案？24．如图，在ABCD 中，点M 、N 分别为边AD 、BC 的中点，AE 、CF 分别是、的平分线．求证：；若，求证：四边形PQRS 是矩形．25．如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线与x 轴的交点C 的坐标及的面积；(3)求不等式的解集（请直接写出答案）26．2019年4月23日是中国人民解放军海军成立70周年纪念日，届时将在青岛举行盛大的多国海军庆祝活动．为此我国海军进行了多次军事演习．如图，在某次军事演习时，舰艇A 发现在他北偏东22°方向上有不明敌舰在指挥中心O 附近徘徊，快速报告给指挥中心，此时在舰艇A 正西方向50海里处的舰艇B 接到返回指挥中心的行动指令，舰艇B 迅速赶往在他北偏东60°方向的指挥中心处，舰艇B 的速度是80海里/小时，请根据以上信息，求舰艇B 到达指挥中心O 的时间．（结果精确到0.1小时，参考数据：（sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，BAD ∠BCD ∠()1//AE CF ()22AD AB =()()4,,2,4A n B --y kx b =+m y x=AB AOB 0m kx b x+-<tan22°≈0.401.73）27．学习感知：在坐标平面内，如果一个凸四边形的两条对角线分别平行于坐标轴，且有一条对角线恰好平分另一条对角线，则把这样的凸四边形称为坐标平面内的“筝状四边形”．初步运用：填空：（1）已知筝状四边形的三个顶点坐标分别为，则顶点D 的坐标为 ；（2）如果筝状四边形三个顶点坐标分别为，则顶点D 纵坐标y 的取值范围是 ．延伸拓展：已知面积为30的筝状四边形相邻两个顶点的坐标分别为，其中一条对角线长为6，M 、N 分别是的中点，P 为对角线上一动点，连接，试求周长的最小值．28．综合与实践探究几何元素之间的关系问题情境：四边形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，点E 是直线AC 上的一个动点（点E 与点C ，O ，A 都不重合），过点A ，C 分别作直线BE 的垂线，垂足分别为F ，G ，连接OF ，OG.（1）初步探究：如图1，已知四边形ABCD 是正方形，且点E 在线段OC 上，求证；（2）深入思考：请从下面A ，B 两题中任选一题作答，我选择_______题.ABCD ()()()3,2,5,1,8,2A B C ABCD ()()()6,3,4,6,2,3A B C ------ABCD ()()3,1,6,3A B AB BC 、,,MN MP NP MNP △AF BG =A.探究图1中OF 与OG 的数量关系并说明理由；B.如图2，已知四边形ABCD 为菱形，且点E 在AC 的延长线上，其余条件不变，探究OF 与OG 的数量关系并说明理由；（3）拓展延伸：请从下面AB 两题中任选一题作答，我选择_______题.如图3，已知四边形ABCD 为矩形，且，.A.点E 在直线AC 上运动的过程中，若，则FG 的长为________.B.点E 在直线AC 上运动的过程中，若，则FG 的长为________.参考答案与解析1．B 【分析】本题考查了相反数的定义，根据：“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可得出结果．【详解】解：2024的相反数是；故选：B ．2．C【分析】分别化简各选项中的绝对值，再比较即可得到结论．【详解】解：，故A 不符合题意；，，故B 不符合题意；，故C 符合题意；，故D 不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查的是绝对值的含义，求解一个数的绝对值，熟记绝对值的含义是解本题的4AB =60BAC ∠=︒BF BG =OF BC ∥2024-33-=33-=33-=-333-==1333-=≠-3．A【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解．【详解】依题意可得x-3≠0，x-2≥0解得，且故选A ．【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质．4．C【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形即可．【详解】解：从正面看该组合体，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为1、2、1．故选：C ．【点睛】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握主视图的画法是正确判断的关键．5．B【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质：周长比等于相似比即可解得．【详解】解：两个三角形相似比是，它们的周长比是，故选：B ．6．D【分析】解出不等式组的解集，再把不等式的解集在数轴表示出来即可求解．【详解】解：不等式，移项得：，∴不等式组的解集为：，故选：D ．【点睛】本题考查了求不等式组的解集并在数轴上表示解集，根据不等式的解集，利用找不等式组的解集的规律的出解集是解题的关键．7．D【分析】根据第三象限点的特征，横纵坐标都为负，列出一元一次不等式组，进而即可求2x ≥3x ≠ 4:9∴4:910x -≥1x ≥12x ≤<【详解】解：∵点P （m ，1+2m ）在第三象限内，∴，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：，故选D ．【点睛】本题考查了第三象限的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键．8．D【分析】先解直角求出AD ，再在直角中应用勾股定理即可求出AB ．【详解】解：∵，∴，∵直角中，，∴，∴直角中，由勾股定理可得，故选D ．【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．9．D【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A ，根据折叠的性质即可求得，进而判断B ，根据折叠的性质可得，进而判断C 选项，根据勾股定理求得的长，根据平行线线段成比例，可判断D 选项【详解】BD 是矩形ABCD 的对角线，AB ＝6，BC ＝8，故A 选项正确，0120m m <⎧⎨+<⎩①②0m <12m <-12m <-ABC ABD △26BD CD ==3CD =ADC tan 2C ∠=tan 326AD CD C =⋅∠=⨯=ABD △AB ===,HD BG 90EGB FHD ∠=∠=︒CF 8,6BC AD AB CD ∴====10BD ∴==将△ABE 沿BE 翻折，将△DCF 沿DF 翻折，，,故B 选项正确，,∴EG ∥HF ，故C 正确设，则，，即，同理可得若则，，不平行，即不垂直，故D 不正确．故选D【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．10．C【分析】根据圆周角定理求出∠B ，根据圆内接四边形的性质计算即可．【详解】由圆周角定理得，∠B ＝∠AOC ＝55°， 6BG AB ∴==6DH CD ==4DG ∴=4BH BD HD =-=1010442HG BH DG ∴=--=--=,EG BD HF DB ⊥⊥ AE a =EG a =8ED AD AE a ∴=-=-EDG ADB∠=∠ tan tan EDG ADB∴∠=∠6384EG AB DG AD ===344a ∴=3AE ∴=3CF =FG CD∥CF BF =GD BG342,563CF GD BF BG === ∴CF BF ≠GD BG FG ∴CD GF BC 12∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠ADC ＝180°﹣∠B ＝125°，故选C ．【点睛】本题考查的是圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．11．##360度【分析】本题主要考查了多边形的外角和，根据多边形的外角和等于是即可解答．【详解】解：正六边形的外角和是．故答案为：．12．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：∵，故答案为：．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，关键是确定的值以及的值．13．12π【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式计算即可．【详解】解：圆锥的侧面积（cm 2）．故答案为:12π．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14．4【分析】根据已知可得△ADE ∽△ABC ，从而可得到其相似比与面积比，由相似三角形的面积比等于相似比的平方不难求出相似比，进而求出答案【详解】∵DE ∥BC∴△ADE ∽△ABC360︒360︒360︒360︒65.210⨯10n a ⨯110a ≤<n n a n 65200000 5.210=⨯65.210⨯a n 12π3412π2=⨯⨯⨯=∴=即=解得DE=4故答案为DE=4【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，解此题时，需熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方15．－3.【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系直接解答即可．【详解】解：由题意可知：x 1·x 2=－3，故答案为－3.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根，x1＋x 2＝，x 1·x 2＝．16【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理以及三角函数的应用，连接，由的正切值求出，再根据勾股定理求出即可．【详解】解：如图，连接，∵是的切线，为切点，∴在中，，又，∴，在中，，，∴，17．11ADE ABC S S 2DE BC （425210DE （）b a -c aOB A ∠OB OC OB AC O B OB AC⊥Rt ABO △30A ∠=︒AB = tan OB A AB∠=tan tan 302OB AB A AB =⋅∠=⋅︒==Rt ABO △3BC =2OB =OC ===【分析】设，由即可求解.【详解】解：设，∵轴∴，解得：，故答案为：11．【点睛】本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．18．【分析】本题考查数字变化的规律，分别求出，根据发现的规律即可解决问题．【详解】解：由题知，因为，则，，，，…，由此可见，这一列数按2，，，循环出现，且，所以．故答案为：．19．1aB m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，112BCD a m S m ⋅=- 1a B m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，BD y ⊥1152BCD a m mS -⋅== 11a =13123a a a ⋯，，，1=2a 212312a +==--3131132a -==-+411121312a -==+51132113a +==-3-12-1320244506÷=202413a =13120264+【分析】本题主要考查了实数的混合运算、乘方、二次根式的性质等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．先计算乘方、化简二次根式的性质，然后再计算即可．【详解】解：原式．20．，5；【分析】根据分式的运算直接进行化简求值即可．【详解】解：＝当＝3时， 原式＝3+2＝5．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握运算方法是解题的关键．21．（1）；(2) .【分析】（1）根据转动转盘①一共有3种可能，即可得出转盘指针指向歌曲“3”的概率；（2）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者列表法都比较简单，解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题为放回实验．列举出所有情况，求出即可．【详解】（1）∵转动转盘①一共有3种可能，∴转盘指针指向歌曲“3”的概率是：；故答案为；（2）分别转动两个转盘一次，列表：（画树状图也可以）1，4 ； 1，5 ；1，6 ； 2，4 ；2，5 ； 2，6 ； 3，4 ； 3，5 ； 3，6共有9种，它们出现的可能性相同．由于指针指向歌曲“3”时，该歌手就选择自己最擅长的歌曲“1”，所以所有的结果中，该歌手演唱歌曲“1”和“4”（记为事件A ）的结果有2种，所以P （A ）=．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率与不等式的性质．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．1220244=++120264=++2a ()()2224212a a a a a a a a +--⎛⎫÷-=⋅ ⎪-⎝⎭+2a a 132913132922．（1）这个班级学生共有60人；（2）补图见解析；（3）扇形统计图中C 所对圆心角的度数为72°；（4）所选2名同学恰好是一男一女的概率为．【分析】（1）用D 类人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）先计算出C 类人数，以及A 、C 所占的百分比，然后补全两个统计图，即可；（3）本题考查了圆心角的求法，用360°乘以C 类所占的百分比得到扇形统计图中C 所对圆心角的度数；（4）画树状图展示所有30种等可能的结果数，再找出所选2名同学恰好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）24÷40%＝60，所以这个班级学生共有60人；（2）C 类人数为60﹣18﹣6﹣24＝12（人），A 类所占的百分比为×100%＝30%，C 类所占的百分比为×100%＝20%，两幅不完整的图补充为：（3）扇形统计图中C 所对圆心角的度数＝360°×20%＝72°；（4）画树状图为；共有30种等可能的结果数，其中所选2名同学恰好是一男一女的结果数为18，所以所选2名同学恰好是一男一女的概率．【点睛】本题考查了圆心角的求法，以及统计表中求总数的方法，另外求解（4）关键在用列表法与树状图法列出图，再求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再3518601260183305==从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．23．(1)购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵；(2)见解析.【分析】(1)设购买甲种树苗x 棵，购买乙种树苗(2 x-40) 棵，根据购买两种树苗的总金额为9000元列方程进行求解即可；(2)设购买甲树苗y 棵，乙树苗(10-y)棵，根据总费用不超过230元列不等式进行求解即可.【详解】(1)设购买甲种树苗x 棵，购买乙种树苗棵，由题意可得，，，，∴购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵；(2)设购买甲树苗y 棵，乙树苗棵，根据题意可得，，，，∵y 为自然数，∴y=3、2、1、0，有四种购买方案，购买方案1：购买甲树苗3棵，乙树苗7棵；购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵.【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系、不等关系是解题的关键.24．（1）见解析；（2）见解析.【分析】只要证明四边形AECF 是平行四边形即可解决问题；首先证明四边形RSPQ 是平行四边形，再证明即可.【详解】四边形ABCD 是平行四边形，，，，(2x 40)-30x+20(2x 40)=9000-70x=9800x=140(10y)-()30y 2010y 230+-…10y 30…y 3∴…()1()2QPS 90∠= ()1 AD //BC ∴AD BC =AB CD =，，，，同法可证：，，，四边形AECF 是平行四边形，．四边形ABCD 是平行四边形，，，，，，四边形BMDN 是平行四边形，，，四边形RSPQ 是平行四边形，，，，平分，，，四边形RSPQ 是矩形．【点睛】本题考查矩形的判定、平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．(1)，(2)6(3)或DAE AEB ∠∠∴=DAE BAE ∠∠= BAE BEA ∠∠∴=BA BE ∴=CD DF =AF CE ∴=AF //EC ∴AE //CF ∴()2 AD //BC ∴AD BC =1DM AD 2= 1BN BC 2=DM BN ∴=∴BM //DN ∴AE //CF ∴AD 2AB = AM DM =AM AB ∴=PA BAD ∠PA BM ∴⊥QPS 90∠∴= ∴8y x=-2y x =--40x -<<2x >【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，以及和不等式相结合的问题，正确理解函数的图象的坐标，函数与自变量的关系是解决本题的关键．（1）将代入，即可得到m ，从而得到反比例函数解析式，然后将A 、B 代入，即可得到一次函数的解析式；（2）在一次函数上，当时，即可得到的坐标，从而得到的长，然后由求出的面积；（3）根据图象即可求出的解析，即不等式的解集．【详解】（1）解：反比例函数经过点，，，将，代入反比例解析式得：，，将与坐标代入一次函数解析式得：，解得：，．（2）解：在直线中，当时，，，即，．（3）解：由图象知：当或时，，故不等式的解集是或．26．舰艇B 到达指挥中心O 的时间约为0.9小时．【分析】要求舰艇B 到达指挥中心O 的事件，根据“时间=路程÷速度”，即要求BO 的长度，()2,4B -m y x=y kx b =+0y =C OC AOB AOC COB S S S =+ AOB m kx b x +<0m kx b x+-< m y x =()2,4B -()248m ∴=⨯-=-8y x∴=-4x =-y n =2n =()4,2A ∴-∴A B 2442k b k b +=-⎧⎨-+=⎩12k b =-⎧⎨=-⎩2y x ∴=--2y x =--0y =2x =-()2,0C ∴-2OC =112224622AOB AOC COB S S S ∴=+=⨯⨯+⨯⨯= 40x -<<2x >m kx b x +<0m kx b x+-<40x -<<2x >过点O 作OC ⊥AB ，构造Rt △OAC 和Rt △OBC ，通过锐角三角函数进行求解即可.【详解】解：作OC ⊥AB 交BA 的延长线于C ，由题意得，∠OBC ＝30°，∠AOC ＝22°，设OC ＝x 海里， 在Rt △OBC 中，∠OBC ＝30°则OB ＝2OC ＝2x ，BC ＝，在Rt△OAC 中，∠AOC ＝22°，则AC ＝OC •tan ∠AOC ≈0.4x ，﹣0.4x ＝50，解得，x ＝37.59， OB ＝2x ＝75.18（海里），则舰艇B 到达指挥中心O 的时间为：75.18÷80≈0.9（小时）答：舰艇B 到达指挥中心O 的时间约为0.9小时．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题. 将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形的问题，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线.在本题中还需注意Rt △OAC 和Rt △OBC 的边之间的关系，利用边之间关系建立方程解决问题.27．（1）；（2）；（3）或【分析】（1）根据“筝状四边形”的定义即可求出点D 坐标．（2）画出图形，即可判定点D 的纵坐标y 的取值范围．延伸拓展：分两种情形讨论①当点P 在对角线上时，作点M 关于的对称点K ，连接交于点P ，此时的周长最 小．②当点P 在对角线上时，的周长的最小值不存在．【详解】解：（1）如图1中，oc tan OBC∠()5,33y >-5+3AC AC KN AC PMN BD PMN由题意垂直平分线段线段，B 、D 关于直线对称，∵，，∴，故答案为：；（2）如图2中，由题意可知，垂直平分线段，∵四边形是凸四边形，，，即，∴顶点D 纵坐标y 的取值范围：，故答案为：；AC BD ∴AC ()()()3,2,5,1,8,2A B C 2213∴⨯-=()5,3D ()5,3BD AC ABCD ()()()6,3,4,6,2,3A B C ------()()636y ⎡⎤∴>-+---⎣⎦3y >-3y >-3y >-延伸拓展：如图3中，①当点P 在对角线上时，作点M 关于的对称点K ，连接交于点P ，此时的周长最小．， 对角线，∴，∵， ∴，∴，∴，∴；②当M ，N 分别是的中点，为对角线上一动点，同法可求周长的最小值为∴或【点睛】本题考查三角形综合题、轴对称-最短问题、“筝状四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用轴对称解 决最短问题，属于中考创新题目．AC AC KN AC PMN ()()3,1,6,3A B 6BD =()0,3D 16302AC ⨯=10AC =()3,11C ()()()4.5,2, 4.5,7, 1.5,2M N K 5,MN KN ===∴PMN 5,AB BC 'P 'AC 'P M N ''' 3+PMN 5328．（1）见解析；（2）A. ，理由见解析；B. . 理由见解析；（3）A.B.或【分析】（1）根据题意，AF ⊥BE ，CG⊥BE ，，，则，利用AAS 证明，即可得到答案；（2）A ．由（1）知，，然后得到OB=OA ，由，得到，即可得到OF=OG ；B ．延长GO 交FA 的延长线于点H ，找到条件，证明，然后得到OH=OG=OF ；（3）A ．根据矩形的性质，得到△ABO 是等边三角形，然后得到∠ABF=30°，则，由勾股定理，求出BF 和BG 的长度，即可得到FG.B ．根据题意，由，由两种情况，要进行分类讨论；结合矩形的性质，得到△AFB 和△BCG 是等腰直角三角形，利用三角函数值，求出BF 和BG 的长度，然后求出FG 的长度即可.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴；（2）A.解： ；理由如下：如图1，连接OB ，由（1）知，，，OF OG =OF OG =90ABF CBG ∠+∠=︒90ABF BAF ∠+∠=︒BAF CBG ∠=∠ABF BCG ≌△△AB BC =AF BG =OBE EAF ∠=∠OAF OBG ≌△△OAH OCG ≌△△122AF AB ==OF BC ∥AB BC =90ABC ∠=︒90ABF CBG ∠+∠=︒AF BE ⊥CG BE ⊥90AFB BGC ∠=∠=︒90ABF BAF ∠+∠=︒BAF CBG ∠=∠ABF BCG ≌△△AF BG =OF OG =90ABC ∠=︒AB BC =AF BG =∵点O 是AC 的中点，∴，， ∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；B.解：.理由如下：延长GO 交FA 的延长线于点H ，∵，，∴，∴，∴，，∵点O 是AC 的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴ ；（3）A 、解：如图：连接OB，12OB AC OA ==BO AC ⊥90BOC ∠=︒90OBE OEB ∠∠=︒＋90AFE ∠=︒90EAF AEF ∠∠=︒＋OBE EAF ∠=∠OAF OBG ≌△△OF OG =OF OG =AF BE ⊥CG BE ⊥90AFE CGE ∠=∠=︒FH CG ∥OAH OCG ∠=∠OHA OGC ∠=∠OA OC =OAH OCG ≌△△OH OG =12OG GH =90HFG ∠=︒12OF GH =OF OG =在直角三角形ABC 中，OA=OB=OC ，∵∠BAC=60°，∴△ABO 是等边三角形，∴∠ABO=60°，∵BF=BG ，∴点B 是FG 的中点，∴OB ∥AF ，∴∠BAF=60°，∵∠AFB=90°，∴∠ABF=30°，∴，∴∴BG=∴FG=故答案为B ．解：①如图，OF ∥BC ，则OF ⊥AB ，∵点O 为AC 中点，114222AF AB ==⨯=BF ===∴点H 为AB 的中点，即AH=BH ，∴△ABF 是等腰三角形，则AF=BF ，∵∠AFB=90°，∴∠BAF=∠ABF=45°，∴同理：△BCG 是等腰直角三角形，∴，∴；②如图，OF ∥BC ，延长OF 交AB 于点I ，由①可知，△ABF 是等腰直角三角形，△BCG 是等腰直角三角形，，∴综合上述，FG 的长度为：或.故答案为【点睛】本题考查了四边形综合题，正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰直角三角形，等边三角形，以及勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，构造等腰直角三角形，构造等边三角形进行解决问题.本题是压轴题，难度很大，需要对所学知识进行融会贯通.sin 454BF AB =∙︒==tan 60BC AB =∙︒=sin 45BG BC =∙︒==FG BF BG =+=BF =BG =FG BG BF =-=-+。

精品解析：2024年陕西省部分学校中考二模数学试题(原卷版)

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九年级学业水平质量监测数学注意事项：1.全卷满分120分，答题时间为120分钟．2.请将各题答案填写在答题卡上．第一部分（选择题 共24分）一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）1. 规定：表示零上12摄氏度，记作，表示零下7摄氏度，记作（ ）A. B. C. D. 2. 如图，这是某几何体的三视图，这个几何体是（ ）A. 三棱柱B. 圆柱C. 圆锥D. 三棱锥3. 将含有的直角三角板在两条平行线中按如图所示的方式摆放．若，则的度数是（ ）A B. C. D. 4. 计算的结果是（ ）A. B. C. D. 5. 已知一次函数，当时，函数值的取值范围是，则的值为（）A. B. C. 或 D. 或6. 在中，，则的值为（ ）.()12↑12+()7↓7-7+17-17+30︒2110∠=︒1∠110︒120︒130︒140︒()2322m n -642m n -544m n 644m n 944m n y kx b =+02x ≤≤y 13y -≤≤k b +1-11-112ABC 4560B C ∠=︒∠=︒，ACABA. B. C. D. 7. 如图，为的直径，点C ，D 都在上，，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 8. 抛物线：经过，两点，且抛物线不经过第四象限，则下列点坐标不可能在抛物线上的是（ ）A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分）二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）9.在实数，，，中，无理数的个数是________．10. 七边形的外角和等于________．11. 菱形的对角线，，则的长为________．12. 如图，过点作轴，垂足为C ，轴，垂足为D ．，分别交反比例函数 （）图象于点A ，B ，则阴影部分的面积是________．13. 如图，在矩形中，点在边上，点在边上，连接，，，则线段的长度为________．的AB O O CE AB ∥25ADE ∠=︒ABC ∠45︒55︒65︒75︒L 2y ax bx c =＋＋()4,3A ()0,1B L L ()2,1()2,1--()2,3-()1,1-430.3-2π0.1010010001ABCD 12AC =48ABCD S =菱形AB (3,4)P PC x ⊥PD y ⊥PC PD 6y x=0x >ABCD E AB F AD CE CF EF ，，2CEB CEF ECF ECB ∠=∠∠=∠，AF =9CD =EF三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）14. 计算：．15. 解不等式组：16. 已知，求代数式的值．17. 如图四边形是菱形，，请用尺规作图法，在边上求作一点P ，使（保留作图痕迹，不写作法）．18. 如图，A ，B ，C ，D 四点同一条直线上，，，．求证：．19. 小明和小乐两位同学都是体育爱好者，小明喜欢观看“足球、乒乓球、羽毛球”赛事，小乐喜欢观看“篮球、排球”赛事，他们商定采用抽签的方式确定观看的赛事项目，并制作了五张卡片（这些卡片除赛事名称外，其余完全相同）并将卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．（1）小乐从五张卡片中随机抽取一张卡片，是他喜欢的赛事的概率是_____．（2）我们常称足球、排球、篮球为“三大球”，小明先从洗匀后的五张卡片中抽取一张卡片，小乐从剩下的卡片中再抽取一张卡片，求他俩抽取的卡片上都是“三大球”中的赛事项目的概率．20. 如图在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是．在()()22221-+⨯-26,113x x x x >-⎧⎪+⎨≥-⎪⎩2a =-2222212111a a a a a a a ⎛⎫-+÷+ ⎪-+--⎝⎭ABCD 120A ∠=︒AD 15ABP ∠=︒AB DC =CE BF ∥E F ∠=∠AE DF =ABC ()()()2,3,1,1,3,2A B C -（1）作，使其与关于对称，且点分别与点对应．（2）在（1）的情形中，连接，则的长为______．21. 如图，装有某种液体的工业用桶中放置有一根搅拌棍．工人师傅为了解桶内所装液体的体积，先在搅拌棍所处桶孔位置做好标记点A ，并取出；然后测得搅拌棍接触到液体部分m ，搅拌棍A 到底端D 处的长度为，最后测量出桶的高为，圆桶内壁的底面直径为．已知桶内的液面与桶底面平行，其平面示意图如图2所示．请你根据以上数据，帮工人师傅计算出桶内所装液体的体积（结果保留π）22. 小明同学通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度随气温的变化而变化，几组对应值如下表：气温/0510152025声音在空气中的传播速度/（）331334337340343346（1）已知声音在空气中传播速度与气温成一次函数关系，请求出该函数的表达式．（2）若当日气温为，小明观看到炫烂的烟花后才听到声响，求小明与烟花之间的大致距离．23. 阅读使人进步，启智增慧，阅读素养的建立使人终身受益．某学校随机抽取了50名学生寒假期间阅读书本的数量并统计分析，发现学生寒假阅读的书本数最少的有1本，最多的有4本，并根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布直方图．的A B C ''' ABC y ,,A B C '''A B C ，，AB 'AB '1BD =1.5m AE 1.2m 1m ℃m /s ()m /s y ()x ℃8℃5s（1）补全频数分布直方图；这50名学生寒假阅读的书本数的中位数是_____本；（2）求抽取的学生寒假阅读书本数的平均数；（3）若该校共有1100名学生，请估算该校学生寒假阅读书本数在3本及以上的人数．24. 如图，在中，，以边为直径的交于点D ，点E 在上，连接，满足，连接．（1）求证：．（2）若，求长．25. 如图，在一个斜坡上架设两个塔柱，（可看作两条竖直的线段），塔柱间挂起的电缆线下垂弧度可以近似看成抛物线的形状．两根塔柱的高度满足，塔柱与之间的水平距离为，且两个塔柱底端点与点的高度差为．以点为坐标原点，为单位长度构建平面直角坐标系．（1）求点，，的坐标．（2）经测量得知：，段所挂电缆线对应的抛物线的形状与抛物线一样，且电缆线距离斜坡面竖直高度至少为时，才符合设计安全要求．请结合所学知识判断上述电缆的架设是否符合安全要求？并说明理由．的ABC AB BC =AB O BC O AD DE ，C ADE ∠=∠BE AC BE ∥tan 25C AB ==，DE AB CD 27m AB CD ==AB CD 60m D B 12m A 1m xOy B C D A C 21100y x =15.5m26. 在平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，且，连接．（1）如图1，C 为线段上一点，连接，将绕点O 逆时针旋转得到，连接，求的值．（2）如图2，当点C 在x 轴上，点D 位于第二象限时，，且，E 为的中点，连接，试探究线段是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．4OA OB ==AB AB OC OC 90︒OD AD AC AD +90ADC ∠=︒AD CD =AB DE AD DE +AD DE +。

2024年上海市虹口区中考二模数学试题(解析版)

2024年上海市虹口区中考二模数学试题(解析版)

虹口区2023学年度初三年级第二次学生学习能力诊断练习数学 练习卷（满分150分，考试时间100分钟）注意：1．本练习卷含三个大题，共25题．答题时，请务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）［下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．］1. 下列各数中，无理数是（ ）A. B. 3.14159 C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是对无理数定义的应用，熟练掌握理解无理数的定义是解此题的关键．根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．【详解】解：A、是分数，不是无理数，故本选项错误；B 、3.14159是小数，不是无理数，故本选项错误；C 是无理数，故本选项正确；D 、是循环小数，不是无理数，故本选项错误；故选C ．2. 关于一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程判别式与根情况的关系，列代数式求解即可．【详解】解：一元二次方程无实数根，的211 1.22111.2x 220x x m -+=m 1m <1m £m 1≥1m >220x x m -+=则判别式解得，故选：D ．【点睛】此题考查了一元二次方程判别式与根情况的关系，解题的关键是掌握相关基础知识，一元二次方程的判别式，当时有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根，当时，无实数根．3. 已知二次函数，如果函数值随自变量的增大而减小，那么的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键．根据二次函数，可得函数图象开口向下，对称轴为，函数值随自变量的增大而减小，则，得以解答．【详解】解：二次函数，，函数图象开口向下，对称轴为，时，函数值随自变量的增大而减小，故选：A ．4. 下列事件中，必然事件是（ ）A. 随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数B. 抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上C. 在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球D. 在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于【答案】D【解析】【分析】本题考查是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断．的()224240b ac m ∆=-=--<1m >()200ax bx c a ++=≠24b ac ∆=-0∆>Δ0=Δ0<()24y x =--y x x 4x ≥4x ≤4x ≥-4x ≤-()24y x =--()24y x =--4x =y x 4x ≥()24y x =--10-< ∴()24y x =--4x =∴4x ≥y x 180︒【详解】解：A 、随机购买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件；B 、抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝下，是随机事件；C 、在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球，是不可能事件；D 、在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于，是必然事件；故选D ．5. 如图，在正方形中，点、分别在边和上，，，如果，那么的面积为（ ）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，平行四边形的性质与判定，先根据正方形的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，得到，则，最后根据三角形面积计算公式求解即可．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴，故选：B ．6. 在中，，．如果以顶点为圆心，为半径作，那么与边所在直线的公共点的个数是（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个．180︒ABCD E F BC AD 2BE =6AF =AE CF ABE 90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥，，AECF 6AF CE ==8AB BC BE CE ==+=ABCD 90AD BC AB CD ABE =∠=︒∥，，AE CF AECF 6AF CE ==8AB BC BE CE ==+=1128822ABE S AB BE =⋅=⨯⨯=△ABCD Y 5BC =20ABCD S = C BC C C AD【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行四边形的面积，直线与圆的位置关系d 、r 法则，熟练掌握法则是解题的关键．根据面积公式计算点C 到的距离d ，比较d 与半径的大小判断即可．【详解】解：如图，∵在平行四边形中，，，设点C 到的距离为d ，∴点C 到的距离，∴直线与圆C 相交，即有2个交点，故选：B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）［请将结果直接填入答题纸的相应位置］7.=___．【答案】﹣2【解析】【分析】根据立方根的定义，求数a 的立方根，也就是求一个数x ，使得x 3=a ，则x 就是a 的立方根．【详解】∵（－2）3=－8，，故答案为：-28. 分解因式：_______．【答案】【解析】【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：AD BC ABCD 5BC =20ABCD S = AD AD 2054d =÷= 45BC<=AD 2-229a b -=()()33a b a b +-229a b -=()()33a b a b +-故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．9. 解不等式：，的解集为________.【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式；按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解．【详解】解：去括号，移项，合并同类项，化系数为1，故答案为：．10. 函数的定义域是 【答案】＞【解析】【分析】定义域是指该函数的自变量的取值范围，根据二次根号下被开方数≥0；分式中分母不为0；即可解答.【详解】定义域是指该函数的自变量的取值范围，二次根号下被开方数≥0；分式中分母不为0；∴∴故答案为11. 将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并()()33a b a b +-()5232x x +≤+2x ≤()5232x x +≤+5263+≤+x x5362x x -≤-24x ≤2x ≤2x≤y =10x +>1x >-1x >-()221y x =-+()253y x =--用规律求函数解析式．根据平移规律“左加右减，上加下减”写出新抛物线解析式．【详解】解：抛物线先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后，所得到的新抛物线的表达式为，即．故答案为：．12. 在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，那么白球的个数是________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了概率的定义．解题的关键与难点在于理解概率的定义，求出球的总数．随机摸出一个球是红球的概率是，可以得到球的总个数，进而得出白球的个数．【详解】解：设红、白球总共n 个，记摸出一个球是红球为事件A ，，白球有个故答案为：．13. 某校为了解该校1200名学生参加家务劳动的情况，随机抽取40名学生，调查了他们的周家务劳动时间并制作成频数分布直方图，那么估计该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有________名．【答案】780【解析】【分析】本题主要考查了用样本估计总体，根据条形统计图获取信息是解题的关键．根据条形统计图直接得出家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，进而估计该校1200名学生参加家务劳动时间不少于2小时的学生人数即可求解．()221y x =-+()22314y x =--+-()253y x =--()253y x =--0.2520.25n=()20.25P A n==8n ∴=∴826-=6【详解】解：由题意得：被调查的40人中，家务劳动时间不少于2小时的学生有26名，该校周家务劳动时间不少于2小时的学生大约有（名），故答案为：780．14. 一根蜡烛长30厘米，点燃后匀速燃烧，经过50分钟其长度恰为原长的一半．在燃烧的过程中，如果设蜡烛的长为（厘米），燃烧的时间为（分钟），那么关于的函数解析式为________（不写定义域）．【答案】【解析】【分析】本题主要考查由实际问题列一次函数的解析式，解题的关键是理解题意．根据题意先求出蜡烛燃烧的速度为（厘米/分），即可直接进行求解．【详解】解：由题意可得：蜡烛长30厘米，经过50分钟其长度恰为原长的一半，经过50分钟蜡烛燃烧的长度为15厘米，蜡烛燃烧的速度为（厘米/分），蜡烛的长为蜡烛燃烧前长度减去燃烧的长度，，故答案为：．15. 如图，正六边形螺帽的边长是，那么这个扳手的开口的值是______．【答案】【解析】【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质．由螺帽是正六边形，可得是含角的直角三角形，再根据即可求出和．【详解】解：如图，连接,则，过点作于∴26120078040⨯=y t y t 300.3y t=-15500.3÷=∴∴15500.3÷=300.3y t \=-300.3y t =-4cm a 30︒ACD 30︒4AC =AD AB AB a AB =C CD AB ⊥D螺帽是正六边形，,．故答案为：16. 如图，在梯形中，，，点、分别是边、的中点，连接，设，，那么用向量、表示向量________．【答案】【解析】【分析】本题考查了平面向量的问题，熟练掌握三角形法则是解题的关键，根据梯形的中位线定理及向量的三角形法则解答即可．【详解】解：，，，，， 120ACB ∴∠=︒CD AB ⊥AC BC=1120602ACD ∴∠=⨯︒=︒AD BD =4AC = 4AD AC ∴===22a AB AD ∴===⨯=ABCD AD BC ∥2BC AD =E F AB CD AC AB a =AC b = a b EF = 3344a b -+ AB a = AC b =BC BA AC a b \=+=-+ ,2AD BC BC AD = ∥111222AD BC a b \==-+,点、分别是边、的中点，，，，故答案为：．17. 如图，在中，，，．点在边上，，以点为圆心，为半径作．点在边上，以点为圆心，为半径作．如果和外切，那么的长为________．【答案】##【解析】【分析】本题考查的是圆和圆的位置关系、解直角三角形的知识，作于点H ，连接，先求出，设，在中，根据勾股定理列方程即可解决．【详解】解：作于点H ，连接，，，，在中，，11112222DC DA AC AD AC a b b a b \=+=-+=-+=+ E F AB CD 111222EA BA AB a \==-=- 111244DF DC a b \==+ 11111332224444EF EA AD DF a a b a b a b æöæöç÷ç÷\=++=-+-+++=-+ç÷ç÷èøèø3344a b -+ ABCD Y 7AB =8BC =4sin 5B =P AB 2AP =P AP P Q BC Q CQ Q P Q CQ 37149214PH BC ⊥PQ 43PH BH ==，CQ a =Rt QPH △PH BC ⊥PQ 7AB = 2AP =725BP \=-=Rt BPH 4sin 5B =，，设，和外切，半径为2，，在中，，，解得：，故答案为：．18. 如图，在扇形中，，，点在半径上，将沿着翻折，点的对称点恰好落在弧上，再将弧沿着翻折至弧（点是点A 的对称点），那么的长为________．【答案】##【解析】【分析】本题考查翻折性质，圆的基本性质，等边三角形判定与性质、勾股定理的应用，连接，由翻折得，证出是等边三角形，设，在中，根据勾股定理列方程并解出进而求出结论．【详解】解：连接，455PH \=43PH BH \==，CQ a =P Qe Q P 2PQ a \=+Rt QPH △4,835PH HQ a a ==--=-()()222452a a ∴+-=+3714a =3714AOB 105AOB ∠=︒8OA =C OA BOC BC O D AB AD CD 1A D 1A 1OA 8-8-+OD 1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒，，OBD AC a =Rt COD AC OD由翻折得：，，，是等边三角形，，，设，则，在中，，，解得：（舍去），，故答案为：．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.先化简，再求值：，其中．【答案】【解析】【分析】本题主要考查分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的基本性质与运算法则是解题的关键，注意化简过程中能因式分解要先因式分解．先算括号内的减法，把除法变成乘法，算乘法，最后代入求值即可．【详解】解：1105OB BD AC A C BOC BDC ==∠=∠=︒，，OC CD =OB OD = OBD ∴△60OBD ∴∠=︒3601051056090OCD \Ð=°-°-°-°=°AC a =1882OC a CD A O a =-==-，Rt COD 8OC CD a ==-()()222888a a ∴-+-=12888a a =-=+>(128288OA OA AC ∴=-=--=8-22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭m 1m m -22214133m m m m m -+⎛⎫÷- ⎪++⎝⎭()()2134333m m m m m m -+⎛⎫=÷- ⎪+++⎝⎭；当．20. 解方程组：【答案】【解析】【分析】将第二个方程进行因式分解得到，然后令因式和因式分别为0即可求解.【详解】解：由题意可知： 对方程②进行因式分解得：即或∴原方程组化为 或 解得或故原方程组的解为：或.【点睛】本题考查了因式分解的方法及二元方程组，熟练掌握常见的二元一次方程组的解法是解决此类题的关键.21. 如图，一次函数图像在反比例函数图像相交于点和点，与轴交于点．点在反比例函数图像上，过点作轴的垂线交一次函数图像于点．()()21133m m m m m --=÷++()()21331m m m m m -+=⨯+-1m m-=m =1m m -222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩121242,22x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩()(2)0+-=x y x y 2x y -x y +222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩①②()(2)0+-=x y x y 20x y -=0x y +=2620x y x y -=⎧⎨-=⎩260x y x y -=⎧⎨+=⎩1142x y =⎧⎨=⎩2222x y =⎧⎨=-⎩1142x y =⎧⎨=⎩2222x y =⎧⎨=-⎩(),2A m ()2,4B -y C ()1,D n -D x E（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求面积．【答案】（1）反比例函数为，一次函数解析式 （2）【解析】【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式，三角形面积．（）利用待定系数法求解即可；（）先分别求出、、的坐标，进而利用三角形面积公式解答即可．【小问1详解】解：设反比例函数为，把点代入得，，∴反比例函数为，把点，点代入，得，，∴，，∴点，点，设一次函数解析式，的CDE 8y x=-2y x =--9212C D E k y x=()2,4B -k y x=428k =-⨯=-8y x=-(),2A m ()1,D n -8y x =-82m =-881n =-=-4m =-8n =()4,2A -()1,8D -y cx d =+把点，点代入得，解得，∴一次函数解析式；【小问2详解】∵一次函数解析式，∴把点代入，得，∴，∴点，∵轴，∴点横坐标为，把代入得，∴∴，∴22. 根据以下素材，完成探索任务．探究斜坡上两车之间距离素材1图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米．素如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为的()4,2A -()2,4B -4224c d c d-=+⎧⎨=-+⎩12c d =-⎧⎨=-⎩2y x =--2y x =--()0,2C -,()1,D n -8y x =-881n =-=-8n =()1,8D -DE x ⊥E 1-1x =-2y x =--121y =-=-()1,1E --,189DE =+=119191222CDE S DE =⋅=⨯⨯= .BM AN AB BM AN ∥BM BH AB ECKG CK EC 3.5材2米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米．任务一如图①，求斜坡的坡比．问题解决任务二如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离．【答案】任务一：斜坡的坡比；任务二：米【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形坡度坡角问题及相似三角形判定与性质，矩形判定与性质，任务一：根据勾股定理求出第三边进而求出坡度；任务二：作交延长线于点O ，作于点Q ，交于点R ，通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段长度，再证明，根据性质求出结论即可．【详解】解：任务一：如图①，由题意得：在中，25米，斜坡长为65米，（米），斜坡的坡比；任务二：如图③，作交延长线于点O ，作于点Q ，交于点R ，为ECKG K B B P BP 6.5BP BM ⊥FD AB P E F EC CD AB 1:2.4i =12.5PO DB ⊥DB FQ PO ^CE FER FPQ ∽Rt ABH △BH AB 60AH \=∴AB 251:2.460BH i AH ===PO DB ⊥DB FQ PO ^CE则四边形为矩形，四边形为矩形，米，米，，为米，，解得：米，米，米，米，，，，，，解得：，经检验，是原方程的解，米．23. 如图，在中，，延长至点，使得，过点、分别作，，与相交于点，连接．CRQO FDCR,1RQ CO FR DC FD CR OQ\=====，3.51 2.5ER\=-=,90ABH PBO O HÐ=ÐÐ=Ð=°BP 6.525cos cos6.565BOPBO ABH\Ð==Ð=2.5BO=6PO\==615PQ∴=-=10 2.512.5RQ CO==+=,EC AB PQ AB^^ER PQ\∥FER FPQ\∽ER FRPQ FQ\=2.5512.5FRFR\=+12.5FR=12.5FR=12.5CD FR\==Rt ABC△90C∠=︒CB D DB CB=A DAE BC∥DE BA∥AE DE E BE（1）求证：；（2）连接交于点，连接交于点．如果，求证：．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法．（1）先证四边形是平行四边形，得出从而证出四边形是矩形，即可证明结论；（2）设，算出，证明，求出 ，进而证出结论；【小问1详解】证明：，，四边形是平行四边形，，，，又，点D 在的延长线上，，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形，；【小问2详解】解：如图，BE CD ⊥AD BE F CE AD G FBA ADB ∠=∠AG AB =AEDB AE CB =AEBC EF BF a ==AE =AEG DCG V ∽△AGAB = AE BD DE BA ∥∴AEDB ∴AE BD = BD CB =∴AE CB = AE BD CB ∴AE CB ∥∴AEBC 90C ∠=︒∴AEBC ∴BE CD ⊥四边形是平行四边形，，设，，，，，，，，，，，在中，，，，在中，，AEDB ,EF BF AF DF \==EF BF a ==FBA ADB Ð=Ð tan tan FBA ADB \Ð=ÐAE BF BE BD\=AE BD = 222AE a \=AE ∴=BD BC AE \==AE CD AEG DCG \ ∽12AE AG CD DG \==Rt DBF △DF ==AD \=AG \=Rt ABC △AB ==．24. 新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．（1）如果点的坐标为，求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；（3）已知点在抛物线上，点坐标为，当时，求的值．【答案】（1） （2） （3）或【解析】【分析】本题考查的是二次函数综合题，重点考查二次函数的性质、平行四边形性质及相似三角形性质，（1）将点代入表达式，求出m 的值，根据“轮换抛物线”定义写出即可；AG AB \=AG AB \=2y ax bx c =++0abc ≠2y cx ax b =++2y ax bx c =++2231y x x =++223y x x =++1C ()2445y mx m x m =+-+2C 1C 2C y E F E F 2C P E ()0,12C 2C 38y x =+Q PQEF E ()4,M n -2C N 12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭PMN PEF △∽△m 241y x x =+-20,3E ⎛⎫- ⎪⎝⎭1m =-1732()0,1E（2）根据轮换抛物线定义得出抛物线表达式及点E 、F 坐标，并求出P 、Q 坐标，根据平行四边形性质得出列方程并解出m 值，进而解决问题；（3）先求，结合求出的点P 、E 、F 坐标得出及，根据相似三角形性质得出关于m 的方程，解方程即可解决．【小问1详解】解：抛物线：与轴交于点坐标为，当，代入，得，，抛物线表达式为，抛物线的“轮换抛物线”为表达式为；【小问2详解】解：抛物线：，当时，，即与y 轴交点为，抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线表达式为，同理抛物线与y 轴交点为，抛物线对称轴为直线，当时，，抛物线的顶点坐标为，当时，，抛物线的对称轴与直线交点，点在点的上方，，解得：，2C PQ EF =()4,45M m --2PN 2PF 1C ()2445y mx m x m =+-+y E ()0,10x =1y =1m =451m \-=-∴1C 241y x x =-+∴1C 2C 241y x x =+-1C ()2445y mx m x m =+-+0x =y m =()0,E m 1C ()2445y mx m x m =+-+2C ∴2C ()2445y mx mx m =++-2C ()0,45F m -2C 422m x m=-=-2x =-5y =-∴2C ()25P --，2x =-382y x =+=∴2C 38y x =+()2,2Q - E F 45m m \>-53m <，四边形为平行四边形，，即，解得：，；【小问3详解】解：点在抛物线上，当时，，即，点坐标为，，，，，，，，，，解得：．25. 在梯形中，，点在射线上，点在射线上，连接、相交于点，．()4553EF m m m \=--=- PQEF PQ EF \=()2553m --=-23m =-20,3E ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ ()4,M n -2C 4x =-()244545y mx mx m m =++-=-()4,45M m -- N 12,72⎛⎫-- ⎪⎝⎭()25P --，()0,E m ()0,45F m -()222125225724PN æöç÷\=-++-+=ç÷èø()()22222455416PF m m =-+-+=+()115325322PEF P S EF x m m =×=-´=- ()111557242222PMN M P S PN x x æöç÷=×-=´-+´-+=ç÷èø PMN PEF ∽222PEF PMN S PF PF S PN PN æöç÷\==ç÷èø 25341652524m m -+\=12171,32m m =-=ABCD AD BC ∥E DA F AB CE DF P EPF ABC ∠=∠（1）如图①，如果，点、分别在边、上．求证：；（2）如图②，如果，，，．在射线的下方，以为直径作半圆，半圆与的另一个交点为点．设与弧的交点为．①当时，求和的长；②当点为弧的中点时，求的长．【答案】（1）见解析（2）①；；②【解析】【分析】（1）根据等腰梯形的性质可得，，，根据三角形的外角性质得出，进而可得，即可证明，根据相似三角形的性质，即可求解；（2）①同（1）证明，如图所示，过点作于点，连接，得出，，解直角三角形，分别求得，，进而根据相似三角形的性质求得的长；②根据题意画出图形，根据垂径定理得出，根据题意可设，，则，得出，设，则，则，在中，得出，根据得出，即可求解．【小问1详解】证明：∵梯形中，，，∴，，，又∵，∴AB CD =E F ADAB AF DF DE CE =AD CD ⊥5AB =10BC =3cos 5ABC ∠=DA DE O O CE G DF EG Q 6DE =EG AF Q EG AF EG =215AF =15B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠A EDC ∠=∠DEC BCE ∠=∠FPE CED EDP ∠=∠+∠ADF DCE ∠=∠ADF DCE ∽ADF PDE ∽A AM BC ⊥M DG cos DEC ∠=sin DEC ∠=EG EP AF OQ EQ ⊥EPF ABC α∠=∠=ODQ OQD β∠=∠=90αβ+=︒43tan tan 34αβ==12FR a =9AR a =15AF a =Rt DFR 16DR a =1697AD DR AR a a a =-=-=1a =ABCD AD BC ∥AB CD =B DCB DCE BCE ∠=∠=∠+∠A EDC ∠=∠DEC BCE ∠=∠FPE CED EDP ∠=∠+∠EPF ABC∠=∠ADF DCE∠=∠∴，∴；【小问2详解】解：∵，∵，则∴∴∵∴又∵∴，如图所示，过点作于点，连接，∵，∴，则，，∵∴∵∴又∵∴，在中，∴∴，ADF DCE ∽AF DF DE CE=EPF ABC ∠=∠DPC EPF∠=∠180FPC DPC ∠+∠=︒180FPC B ∠+∠=︒180ECB PFB ∠+∠=︒ECB AFD∠=∠AD BC∥ECB DEC∠=∠EDP FDA∠=∠ADF PDE ∽A AM BC ⊥M DG 5AB =3cos 5ABC ∠=3BM =4AM =4sin 5AM ABC AB ∠==,AD BC AD CD⊥∥4CD AM==10BC =1037AD MC BC BM ==-=-=6DE =1AE=Rt EDC 6,4ED CD ==EC ===cos DE DEC EC ∠===sin DC DEC EC ∠===∵为直径∴∴，∴，∵∴∴②过点作于点，∵∴∵∴设，，则ED 90DGE ∠=︒cos 6EG ED DEC =⨯∠==sin 6DG ED DEC =∠==sin sin DG DG PD DPG ABC ====∠∠3cos 5PG PD DPG =∠==EP EG PG =-=ADF PDE∽AF AD PE PD=215D A PE AF PD ⋅===F FR AD ⊥R EQGQ =OQ EQ⊥OQ OD=ODQ OQD∠=∠EPF ABC α∠=∠=ODQ OQD β∠=∠=90αβ+=︒∵，则设，则∴∵∴设，则，∴，在中，∴又∵∴∴【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰梯形的性质，相似三角形的性质与判定，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．3cos os cos 5DPG EPF ABC ∠=∠=∠=35PG PD =3,5PG k PD k ==4GD k =43tan tan 34αβ==AD BC∥RAF α∠=12FR a =9AR a =15AF a =Rt DFR 3tan 4RF DR β==16DR a=1697AD DR AR a a a =-=-=7=1a =15AF =。

2024年广东省深圳市宝安区初三二模数学试题含答案解析

2024年广东省深圳市宝安区初三二模数学试题含答案解析

2024年广东省深圳市宝安区中考二模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在3-，0，23-四个数中，最小的是（ ）A ．3-B ．0C ．23-D2．如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】B【分析】四个选项中的图都是正方体展开图的“141--”结构．由正方体可以看出，有图案的三个面两两相邻．【详解】解：四个选项中的图都是正方体展开图的“141--”结构．由正方体可以看出，有图案的三个面两两相邻；A 、C 、D 选项折成正方体后有图案的面有两个相对，不符合题意；B 选项折成正方体后，有图案的三个面两两相邻；的展开图是故选：B ．【点睛】正方体展开图“1−4−1”结构，折成正方体后，两个“1”相对，“4”组成侧面，间隔面相邻．关键是明白有图案的三个面两两相邻．3．下列计算正确的是（ ）A ．426a a a +=B ．527a a a ⋅=C ．5210()ab ab =D ．1025a a a ÷=【答案】B【分析】根据合并同类项法则、幂的运算法则逐项计算即可判断．【详解】解：A. 42a a 、不是同类项，不能合并，不符合题意；B. 527a a a ⋅=，符合题意；C. 52210()ab a b =，不符合题意；D. 1028a a a ÷=，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了合并同类项和幂的运算，掌握相关法则是解题关键．4．如图，12l l ∥，135∠=︒，250∠=︒，则∠3的度数为（ ）A ．85︒B ．95︒C ．105︒D ．115︒【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质可得出231180∠+∠+∠=︒，据此可得出∠3的度数．【详解】解：∵12l l ∥，∴231180∠+∠+∠=︒，∵135∠=︒，250∠=︒，∴()()318021*********∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒．故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．5．某次射击训练中，一小组的成绩如表所示，已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（ ）环数789人数2？3A ．4人B ．5人C ．6人D ．7人A B C D7．如图，在O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，则一定与A ∠相等的是（ ）A ．B∠B ．C ∠C ．D ∠D ．APD∠【答案】C 【分析】根据圆周角定理得出即可．【详解】解：根据圆周角定理得：∠A =∠D ，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，能熟记圆周角定理是解此题的关键，注意：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．8．一艘轮船在静水中的最大航速为50km /h ，它以最大航速沿河顺流航行80km 所用时间和它以最大航速沿河逆流航行60km 所用时间相等，设河水的流速为xkm /h ，则可列方程（ ）A ．8050x +＝6050x -B ．8050x -＝6050x +C ．8050x +＝6050x -D ．8050x -＝6050x+【答案】C9．如图，将一张矩形纸片按图①，图②所示方法折叠，得到图③，再将图③按虚线剪裁得到图④，将图④展开，则展开图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】对于此类问题，亲自动手操作，即可得出答案．【详解】严格按照图中的顺序向右翻折，向下翻折，按按虚线剪裁，展开得到结论，故选：D．【点睛】本题考查了剪纸问题，此类题目主要考查学生的动手能力及空间想象能力，对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．10．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①b＝2a；②c﹣a＝n；③抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间；④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；⑤一元二次方程ax2+）x+c＝0有两个不相等的实数根其中正确结论的个数是（ ）（b﹣12A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．分解因式3818x y xy -= ．【答案】()()22323xy x x +-【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式法因式分解及公式法因式分解，根据题中所给多项式的结构特征，先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案，灵活应用提公因式法及公式法因式分解是解决问题的关键．【详解】解：3818x y xy-()2249xy x =-()()22323xy x x =+-，故答案为：()()22323xy x x +-．12．今年春节电影《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《熊出没•逆转时空》在网络上持续引发热议，根据猫眼专业版数据显示，截至2月17日21时，2024年春节档新片总票房突破80.23亿元，创造了新的春节档票房纪录，则其中数据80.23亿用科学记数法表示为 ．13．有一纸箱装有除颜色外都相同的散装塑料球共100个，小明将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；…多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.4，由此可以估计纸箱内红球的个数约是 个．系．14．新冠疫情期间，同学们都在家里认真的进行了网课学习，小明利用平板电脑学习，如图是他观看网课时的侧面示意图，已知平板宽度即20cm AB =，平板的支撑角60ABC ∠=︒，小明坐在距离支架底部30cm 处观看（即30cm DB =），点E 是小明眼睛的位置，ED DC ⊥垂足为D ．EF 是小明观看平板的视线，F 为AB 的中点，根据研究发现，当视线与屏幕所成锐角为80︒时（即80AFE ∠=︒），对眼睛最好，那么请你求出当小明以此视角观看平板时，他的眼睛与桌面的距离DE 的长为 cm ．（结果精确到1cm ）（参考数据：1.73,tan 400.84,sin 400.64,cos400.77︒≈︒≈︒≈≈）∵20cm AB =，F 为AB 的中点，∴11201022BF AB ==⨯=，∵FT DC ∥，60ABC ∠=︒，∴60HFB ABC ∠=∠=︒，∵180HFB HFE EFA ∠+∠+∠=15．如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则12 PD PC+的最小值为．【答案】15三、解答题16．计算：6023112)cos 45()2---︒-︒+-．17．先化简，再求值：21221121x x x x x --⎛⎫+÷ ⎪+++⎝⎭，再从1，－1，2中选一个合适的数作为x 的值代入求值．18．为进一步提高学生学习数学的兴趣，3月14日（国际数学日）当天，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了部分学生的竞赛成绩，经过整理数据得到以下信息（单位：分）：信息一：所抽取学生成绩分组整理成如图所示的扇形统计图，其中第Ⅰ组5060x ≤<，第Ⅱ组6070x ≤<，第Ⅲ组7080x ≤<，第Ⅳ组8090x ≤<，第Ⅴ组90100x ≤<；信息二：第Ⅲ组的成绩为747173747976777676737275，，，，，，，，，，，．根据信息解答下列问题：(1)本次抽取的学生人数为________人，第Ⅱ组所在扇形的圆心角度数为：________；(2)第Ⅲ组竞赛成绩的众数是________分，本次抽取的所有学生竞赛成绩的中位数是________分；(3)若该校共有1500名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩不低于80分的学生人数．【答案】(1)50，72︒(2)76，77.5(3)720【分析】（1）根据第Ⅲ组人数及第Ⅲ组所占的百分数可得到抽样总人数，第Ⅱ组的所占百分数为20%即可解答；（2）根据第Ⅲ组的成绩及中位数和众数的定义即可解答；（3）根据样本成绩不低于80分的学生人数即可解答．【详解】（1）解：∵第Ⅲ组7080x ≤<为12人，第Ⅲ组所占的百分数为24%，∴本次抽取的学生人数为1224%50÷=（人），∵第Ⅰ组所占百分数为8%，第Ⅲ组所占百分数24%，第Ⅳ组所占百分数40%，第Ⅴ组所占百分数8%；∴第Ⅱ组的所占百分数为100%8%24%40%8%20%----=，∴第Ⅱ组所在扇形的圆心角度数为36020%72︒⨯=︒，故答案为：50，72︒；（2）解：∵第Ⅲ组的成绩为747173747976777676737275，，，，，，，，，，，，∴第Ⅲ组竞赛成绩的众数是76分，∵第Ⅰ组人数为508%4⨯=（人），第Ⅲ组人数为5024%12⨯=（人），第Ⅴ组的人数为19．2024年4月18日上午10时08分，华为70Pura 系列正式开售，华为70Pura Ultra 和70Pura Pro 已在华为商城销售，约一分钟即告售罄．“4G 改变生活，5G 改变社会”，不一样的5G 手机给人们带来了全新的体验，某营业厅现有A 、B 两种型号的5G 手机出售，售出1部A 型、1部B 型手机共获利600元，售出3部A 型、2部B 型手机共获利1400元．(1)求A 、B 两种型号的手机每部利润各是多少元；(2)某营业厅再次购进A 、B 两种型号手机共20部，其中B 型手机的数量不超过A 型手机数量的23，请设计一个购买方案，使营业厅销售完这20部手机能获得最大利润，并求出最大利润．【答案】(1)A 种型号手机每部利润是200元，B 种型号手机每部利润是400元．(2)营业厅购进A 种型号手机12部，B 种型号手机8部时获得最大利润，最大利润是5600元．【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一次函数的应用，一元一次不等式的应用：（1）设A 种型号手机每部利润是x 元，B 种型号手机每部利润是y 元，由售出1部A 型、1部B 型手机共获利600元，售出3部A 型、2部B 型手机共获利1400元，再建立方程组即可；（2）设购进A 种型号的手机a 部，则购进B 种型号的手机()20a -部，获得的利润为w 元，2008000w a =-+，再利用一次函数的性质可得答案．【详解】（1）解：设A 种型号手机每部利润是x 元，B 种型号手机每部利润是y 元，20．如图，在ABCD Y 中，O 为线段AD 的中点，延长BO 交CD 的延长线于点E ，连接AE BD 、，=90BDC ∠︒．(1)求证：四边形ABDE 是矩形；(2)连接OC ，若2AB =，BD =，求OC 的长．∵四边形ABDE是矩形，∴2==，ODDE AB=，∴OD OE∵OF DE⊥，21．定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P 是平面内任意一点(坐标轴上的点除外)，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，若由点P 、原点O 、两个垂足AB 、为顶点的矩形OAPB 的周长与面积的数值相等时，则称点P 是平面直角坐标系中的“美好点”．【尝试初探】（1）点()23C ，______ “美好点”(填“是”或“不是”)；【深入探究】（2）①若“美好点”()6(0)E m m >，在双曲线k y x =(0k ≠，且k 为常数)上，则k =______；②在①的条件下，()2F n ，在双曲线k y x=上，求EOF S △的值；【拓展延伸】（3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点()P x y ，是第一象限内的“美好点”．①求y 关于x 的函数表达式；②对于图象上任意一点()x y ，，代数式()()22x y -⋅-是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．∴11155956222EOF FOG EOG S S S =-=⨯⨯-⨯⨯= ；（3）①∵点()P x y ，是第一象限内的“美好点”，22．如图，(1)如图①，等腰ACB △，90ACB∠=︒，D 为AB 的中点，90MDN ∠=︒，将MDN ∠绕点D 旋转，旋转过程中，MDN ∠的两边分别与线段AC 、线段BC 交于点E 、F （点F 与点B 、C 不重合），写出线段、、CF CE BC 之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图②，等腰ACB △，120ACB ∠=︒，D 为AB 的中点，60MDN ∠=︒，将MDN ∠绕点D 旋转，旋转过程中，MDN ∠的两边分别与线段AC 、线段BC 交于点E 、F （点F 与点B 、C 不重合），直接写出线段、、CF CE BC 之间的数量关系为 ；(3)如图③，在四边形ABCD 中，AC 平分BCD ∠，120BCD ∠=︒，60DAB ∠=︒，过点A 作AE AC ⊥，交CB 的延长线于点E ，若6CB =，2DC =，则BE 的长为 ．【答案】(1)CF CE BC +=，理由见解析∵等腰ACB △中，ACB ∠∴CD AB ⊥，即CDB ∠∵在Rt CDB △中，点G ∵AE AC ⊥，。

湖南省郴州市2024届中考二模 数学试题(含解析)

湖南省郴州市2024届中考二模 数学试题(含解析)

初中学业水平质量监测九年级数学一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题的选项中，选出符合题目的一项）1.下列是无理数的是？（）A.12024 B.0 C. D.3.14-【答案】C【解析】【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．A、12024是有理数，不符合题意；B、0是整数，属于有理数，不符合题意；CD、 3.14-是有理数，不符合题意；故选：C．2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解答本题的关键．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，结合选项分析即可．A、两部分经折叠后可以重合，其旋转180度后为，与原图不重合，是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；B 、两部分经折叠后可以重合，其旋转180度后为与原图重合，既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；C 、两部分经折叠后可以重合，其旋转180度后为，与原图不重合，是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；D 、两部分经折叠后可以重合，其旋转180度后为，与原图不重合，是轴对称图形而不是中心对称图形，不符合题意；故选B ．3.下列运算中，正确的是（）A.22a a ÷= B.()326a a -=C.235a a a ⋅= D.()2224a a -=-【答案】C【解析】【分析】此题考查了同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则，完全平方公式等知识，根据以上知识正确化简计算是解题的关键.根据同底数幂的除法、幂的乘方、同底数幂的乘法的运算法则，以及完全平方公式解答即可．解：A ．2a a a ÷=，原计算错误，故此选项不符合题意；B ．()326a a -=-，原计算错误，故此选项不符合题意；C ．235a a a ⋅=，原计算正确，故此选项符合题意；D ．()22244a a a -=-+，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：C ．4.2024年1月26日，湖南省文化和旅游厅发布，2023年湖南全省接待旅游总人数约658000000人次．其中658000000用科学记数法表示为（）A.865810⨯B.765.810⨯C.96.5810⨯D.86.5810⨯【答案】D【解析】【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于10的数，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数位数减，据此即可解答．解：8658000000 6.5810=⨯．故选：D5.如图，直线AB CD ，AC DE ∥，47A ∠=︒，则D ∠的度数是（）A 47︒B.53︒C.133︒D.43︒【答案】A【解析】【分析】本题考查了平行线的性质等知识，根据AB CD 得到47ACD A ∠=∠=︒，根据AC DE ∥，即可求出47D ACD ∠=∠=︒．解：∵AB CD ，47A ∠=︒，∴47ACD A ∠=∠=︒，∵AC DE ∥，∴47D ACD ∠=∠=︒．故选：A6.某校足球队20名队员年龄分布情况如下表：年龄（岁）12131415人数（人）3872则该队队员年龄的众数、中位数分别是（）A.15，13.5B.15，13C.13，13.5D.13，13【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，把一组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个，据此求解即可．解：把这20名队员的年龄从低到高排列，处在第10名和第11名的年龄分别为13岁，13岁，∴中位数为1313132+=，∵年龄为13岁的人数最多，∴众数为13，故选：D ．7.关于x 的一元二次方程230x kx --=（k 为常数）根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法判断【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式等知识点，先计算判别式的值，再利用非负数的性质得到0∆>，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．∵()()2Δ43k =--⨯-2120k =+>，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A ．8.对于某个二次函数，两位同学探究了它的图像和性质，下图为两位同学的对话，如果两位同学的判断都是正确的，设这个二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，则下列结论中错误的是（）A.0a > B.0b > C.0c > D.240b ac ->【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据图象经过()0,2可判断C ，结合抛物线顶点在第四象限可判断A ，B ，D ．解：∵图象经过()0,2，∴20c =>，故C 正确；∵抛物线顶点在第四象限，∴0a >，240b ac ->，02b a->，故A ，D 正确；∴0b <，故B 不正确．故选C ．9.如图，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒．若8AC =，则菱形ABCD 的周长为（）A.32B.C.16D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，只需要证明ABC 是等边三角形求出8AB AC ==即可得到答案，证明ABC 是等边三角形是解题的关键．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD BC ∥，AB BC CD AD ===，∴180B BAD ∠+∠=°，∵120BAD ∠=︒，∴=60B ∠︒，∴ABC 是等边三角形，∴8AB AC ==，∴菱形ABCD 的周长432AB ==，故选：A ．10.如图所示为雷达图，规定：个单位长度代表100m ，以点O 为原点，过数轴上的每一刻度点两同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点O 处用雷达发现A ，B 两处鱼群，那么A ，B 两处鱼群的距离是（）A.5mB.400mC.500mD.300m【答案】C【解析】【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理．根据题意得出90AOB ∠=︒及OA 、OB 后即可根据勾股定理求解．解：如图，连接AB ，数轴交点为O ，由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为36012390︒÷⨯=︒，90AOB ∴∠=︒，又个单位长度代表100m ，300m OA ∴=，400m OB =，∴根据勾股定理可得，Rt AOB ∴ 中，22500m AB OA OB =+=．故选：C ．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11.函数y =x 的值___________．【答案】2（答案不唯一，满足1x >的实数即可）【解析】【分析】本题主要考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式和分式有意义的条件，求出x 的取值范围，即可求解．解：根据题意得：10x ->，解得：1x >，∴一个符合条件整数x 的值是2．故答案为：2（答案不唯一，满足1x >的实数即可）12.计等：202413tan 30-+︒=___________．【答案】1-+【解析】【分析】本题考查特殊角的三角函数，是基础知识比较简单，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．首先利用乘方、特殊角的三角函数值对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解：202413tan30︒-+3133=-+⨯1=-故答案为：1-+13.如图，ABC 中，边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，设DEF 和ABC 的而积分别为1S ，2S ，则12S S =_____．【答案】1:4【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，中位线性质，根据中位线可得12DE DF EF AC BC AB ===，从而DEF CBA ∽，根据相似三角形的性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．∵边AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，∴DE ，EF ，DF 是ABC 的中位线，∴12DE AC =，12EF AB =，12DF BC =，∴12DE DF EF AC BC AB ===，∴DEF CBA ∽，∴2121124S S ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故答案为：1:4．14.为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由200元降为162元，求平均每次降价的百分率，设平均每次降价的百分率为x ，则可列方程为___________．【答案】2200(1)162x -=【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设平均每次降价的百分率是x ，结合题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案．设平均每次降价的百分率是x ，根据题意，得：根据题意，得：2200(1)162x -=，故答案为：2200(1)162x -=．15.如图，CD 为O 的直径，点D 平分 AB ．若28C ∠=︒，则CDB ∠=___________度．【答案】62【解析】【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形的特征，连接BC ，根据点D 平分 AB ，得到 AD BD=，由同弧所对圆周角相等得到28BCD ACD ∠=∠=︒，根据CD 为O 的直径，得90CBD ∠=︒，由直角三角形的特征即可求解．解：连接BC ，点D 平分 AB ，28C ∠=︒，∴ AD BD=，∴28BCD ACD ∠=∠=︒，CD 为O 的直径，∴90CBD ∠=︒，9062CDB BCD ∴∠=︒-∠=︒，故答案为：62．16.为践行《环保宣言》，某校开展中小学生主题演讲比赛，如图是7位评委对甲、乙两位参赛选手的打分情况，通过折线图发现7位评委对___________选手在演讲比赛中的表现评价更一致．（填“甲”或“乙”）【答案】乙【解析】【分析】本题主要考查了折线统计图、方差等知识点，根据方差的意义求解即可，熟练掌握方差的意义是解决此题的关键．由折线统计图可知，乙组数据的波动比甲组的小，所以7位评委评价更“一致”的是乙组，故答案为：乙．17.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是___________2cm （结果保留π）．【答案】24π【解析】【分析】本题考查了圆锥成面积公式，利用圆锥侧面积公式πS rl =侧（其中r 是底面圆半径，l 是母线）求解即可．解：根据题意，得几何体的侧面积是26824πcm 2π⨯⨯=，故答案为：24π．18.如图，点(3,)A a -在双曲线6(0)y x x =-<上，作直线OA 交双曲线(0)k y x x =<于点B ，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，连接BC ．已知ABC 的面积为1，那么k =________．【答案】323-【解析】【分析】本题考查已知图形的面积求k 值，先求出A 点坐标进而求出OA 的解析式，过点B 作BD y ⊥轴，延长CA 交BD 于点E ，根据三角形的面积公式，求出B 点坐标，即可得出k 值．解：点(3,)A a -在双曲线6(0)y x x =-<上，∴36a -=-，∴2a =，∴(3,2)A -设直线OA 的解析式为y mx =，则：23m =-，∴23m =-，∴23y x =-，设2,3B n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点B 作BD y ⊥轴，延长CA 交BD 于点E ，则：∵AC x ⊥轴，∴CE BD ⊥，∴四边形OCED 为矩形，∵(3,2)A -，∴2AC =，3DE OC ==，∵112122ACB S AC BE BE =⋅=⨯= ，∴1BE =，∴4BD =，∴n =-4，∴84,3B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴832433k =-⨯=-．故答案为：323-．三、解答题（本大题共8小题，第19−20题每小题6分，第21−22题每小题8分，第23−24题每小题9分，第25−26题每小题10分，共66分）19.解方程：()()135x x -+=【答案】124, 2.x x =-=【解析】【分析】把一元二次方程化为方程的一般形式，再按因式分解的方法解方程即可．解：()()135x x -+= ，2280x x ∴+-=(4)(2)0,x x ∴+-=124, 2.x x ∴=-=【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用十字乘法分解因式是解题的关键．20.先化简，再求值：22341244x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中2x =【答案】12x x --；222【解析】【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式化简计算，根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行求值即可．解：22341244x x x x -⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭223(2)2(2)(2)x x x x x +-+=⋅++-21(2)2(2)(2)x x x x x -+=⋅++-12x x -=-，当2x =+时，上式22+==．21.某校为摸底九年级学生排球垫球成绩，现从九年级学生中这机抽取若下名学生进行调查，以下是根据调查数据绘制的不完整的统计图表，根据信息回答下列问题：等级排球垫球数（次）人数A 30x >20B20x30<≤40C1020x<≤mD010x≤≤8（1）m=______，扇形统计图中，“B”所对应的扇形圆心角的度数为______度；（2）若该校九年级共有1200名学生，请你估计垫球数超过20次的学生人数．（3）从垫球成绩优秀的两男两女4名学生中，随机抽取2名学生为九年级学生演示垫球动作，请用树状图法或列表法求选中的两名学生恰好是一男一女的概率．【答案】（1）32，144（2）720人（3）2 3【解析】【分析】本题考查了扇形统计图基础及其应用，样本估计总体，根据表格获取信息是解题的关键，（1）用A 组的人数除以该组所占的百分比，求得九年级学生中随机抽取的学生人数，再用总人数减去其他组的人数即可求解；（2）根据样本估计总体的定义，结合统计表即可求解；（3）根据题意列出表格，再根据概率的计算公式，即可得到答案．【小问1】解：由题可得：从九年级学生中随机抽取的学生人数为：2020%100÷=（人），∴1002040832m=---=，∵等级B的人数为：40100%40% 100⨯=∴40%360144⨯︒=︒，故答案为：32，144．【小问2】解：4020 1200720100+⨯=（人）答：排球垫球数超过20次的学生人数是720人．【小问3】解：设两名男生分别为A ，B ，两名女生分别为a ，b ，则用列表法表示为：A B a b A AB Aa AbB BA Ba Bba aA aB abb bA bB ba∴P （两名学生恰好是一男一女)82123==．22.在矩形ABCD 中．（1）尺规作图：作对角线AC 的垂直平分线，分别交AD BC ，于点E ，F （保留作图痕迹，不要求写作法）．（2）已知3AB =，4BC =，求CF 的长．【答案】（1）见解析（2）258CF =【解析】【分析】本题考查了作线段垂直平分线，矩形的性质，勾股定理．（1）根据题意作出图形即可；（2）在Rt ABF 中，利用勾股定理列式即可求解．【小问1】解：所作图形如图所示，；【小问2】解：连接AF ．设CF x =，则4BF x=-EF 是AC 的垂直平分线，FA CF x ∴==．在Rt ABF 中，由勾股定理得：222AB BF AF +=，2223(4)x x +-=，解得258x =．258CF ∴=．23.小明一家为践行“低碳生活，绿色出行”，决定以骑行的方式去湖边游玩．已知小明骑单人自行车的速度比爸爸妈妈骑双人自行车速度快3km/h ，小明骑行12km 与爸爸妈妈骑行10km 的时间相同．（1）小明骑单人自行车的速度是多少km/h ？（2）某自行车租赁商店计划购买单人自行车和双人自行车共40辆，已知每辆单人自行车和双人自行车的单价分别为200元、360元，若总费用不超过10000元，则该商店最多．．可购买多少辆双人自行车？【答案】（1）18km /h（2）12辆【解析】【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键．（1）设小明骑单人自行车的速度是km /h x ，根据“小明骑行12km 与爸爸妈妈骑行10km 的时间相同”列分式方程求解即可；（2）设该商店购买m 辆双人自行车，根据“总费用不超过10000元”列不等式求解即可．【小问1】解：设小明骑单人自行车的速度是km /h x ，12103x x ∴=-，18x ∴=经检验：18x =是原方程的解且符合题意；答：小明骑单人自行车的速度是18km /h ；【小问2】解：设该商店购买m 辆双人自行车，则200(40)36010000m m -+≤，12.5m ∴≤m 是正整数，m ∴最大值为12，答：该商店最多可购买12辆双人自行车．24.某校综合实践小组为测量学校国旗旗杆的高度，甲、乙两名同学设计了不同的测量方案．请阅读材料，完成下列问题．甲同学用量角器和铅垂线自制了一个简易测角仪（如图1）如图2，甲同学目高AB （眼睛到地面距离）1.60米，站在距离旗杆CD 底部(0)m m >米处，用简易测角仪测量观察旗杆顶点C 的仰角()090αα︒<<︒，通过计算求出旗杆CD 的高度．（1）请用含有m ，α的代数式表示旗杆CD 的高度=________米．为了减少误差，该同学进行了五次测量并计算，统计的数据如下表．序号离旗杆CD 底部距离（单位：米）仰角旗杆CD 的高度（单位：米）①1050︒13.52②1539︒13.75③2041︒1899.④2526︒1379.⑤3022︒13.72（2）观察上表数据并判定第_________组数据测量有误．（从“①，②，③，④，⑤”中选填）（3）乙同学计划用自制的立角三角板AFG （两锐角大小不确定）和卷尺测量．如图3，乙同学目高AB （1.60米），他调整位置，设法使斜边AG 保持水平，边AF 与旗杆顶点C 在同一直线上．请你帮助乙同学确定哪些线段需要用卷尺测量，将测量得到的长度用字母a ，b ，c …表示，求旗杆CD 的高度（用含有a ，b ，c …的代数式表示）．【答案】（1）tan 1.6m α⋅+（2）③（3）1.6bc a +【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线．（1）过点A 作AE CD ⊥于点E ，解直角三角形，求出CE 即可得出答案；（2）根据表格中的数据进行判断即可；（3）证明AFG AEC ∽，得出AF FG AE CE =，bc CE a=米，即可得出答案．【小问1】解：过点A 作AE CD ⊥于点E ，如图所示：根据题意可知，四边形ABDE 为矩形，∴AE BD m ==米，16.DE AB ==米，在Rt ACE 中，tan CE AEa =，∴tan ·tan CE AE m αα=⨯=米，∴()·tan 1.6CD CE DE m α=+=+米；【小问2】解：因为距离旗杆底部越远，α的度数越小，所以根据表格中的数据可知，第③组数据测量有误；【小问3】解：需测量的线段AF a =米，FG b =米，BD c =米，由题可知，四边形ABDE 是矩形，AE BD c ==米，90AFG AEC ︒∠=∠= ，CAE GAF ∠=∠，AFG AEC ∴△∽△，AF FG AE CE ∴=，a b c CE ∴=，bc CE a∴=（米），1.6 1.6bc CD CE a∴=+=+（米）答：旗杆CD 的高度为 1.6bc a ⎛⎫+⎪⎝⎭米．25.如图，ABC 内接于O ，AB 为直径，OF AC ⊥于点F ，延长OF 交O 于点E ，过E 作O 的切线ED ，与BC 的延长线交于点D ，连接EB 交AC 于点G ，连接CE ．（1）求证：四边形EFCD 为矩形；（2）求证：2CE EG EB =⋅；（3）若2CG GF m=（m 为常数），求sin CEB ∠（用含m 的代数式表示）．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）1sin 1CEB m ∠=+【解析】【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形证明即可；（2）由垂径定理得 AE CE=，从而ACE EBC ∠=∠，然后证明GCE CBE △∽△即可证明结论成立；（3）证明GCB GFE △∽△得2CG BC GF EF m==，设2BC a =，EF ma =，由三角形中位线的性质得12FO BC a ==，可求(1)AO OE a m ==+，求出1sin 1FO A AO m ==+，再证明CEB A ∠=∠即可．【小问1】OF AC ⊥ 于点F ，90EFC ∴∠=︒（垂直的性质）．AB 为直径，90ACB ∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角），90DCF ∠=︒．ED 为O 的切线，90DEO ∴∠=︒．（切线垂直于过切点的半径）90EFC DCF DEO ︒∠=∠=∠= ，∴四边形EFCD 为矩形．（三个角是直角的四边形是矩形）；【小问2】OF 过圆心，OF AC ⊥于点F ，AE CE∴=，（垂径定理）ACE EBC ∴∠=∠．（等弧所对的圆周角相等）而BEC BEC ∠=∠，GCE CBE ∴△∽△，（有两组角对应相等的两个三角形相似）GE CE CE BE∴=（相似三角形对应边成比例）2CE GE BE∴=⋅【小问3】四边形EFCD 为矩形，OE BD ∴∥，GCB GFE ∴△∽△，（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似）∴2CG BC GF EF m==．（相似三角形对应边成比例）设2BC a =，EF ma =；AF FC = ，AO BO =，FO ∴是ABC 的中位线，12FO BC a ∴==．（三角形中位线性质）在Rt AOF 中，(1)AO OE ma a a m ==+=+1sin (1)1FO a A AO a m m ===++．又A ∠和CEB ∠都是 BC所对的圆周角，CEB A ∴∠=∠．（同弧所对的圆周角相等）1sin 1CEB m ∴∠=+【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形中位线的性质，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键．26.二次函数223y x tx =--（t 为常数且0t >）的图像与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴相交于点C ．（1）当1t =时，①求A ，B 两点的坐标；②如图1，点M 是线段AB 上的动点，求22CM BM +的最小值．（2）若点(4,)D m a -，(3,)E b ，(,)F m a 都在这个二次函数的图像上，且3a b <<-，求m 的取值范围．【答案】（1）①(1,0)A -，(3,0)B ②32（2）7m >【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，三角函数，勾股定理等知识点，（1）当1t =时，二次函数为2=23y x x --，①当0y =时，解方程得两根，进而即可得解；②如图，以BM为斜边，构造Rt BMG ，得2BM MG =，然后求出CM MG +最小值即可得解；（2）由(4,)D m a -，(,)F m a 的坐标求出对称轴方程，（i ）当点E 在对称轴左边时，（ii ）当点E 在对称轴右边时，分类讨论即可得解；熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．【小问1】当1t =时，二次函数为2=23y x x --，①当0y =时，2230x x --=，解得，11x =-，23x =．(1,0)A ∴-，(3,0)B ．②如图，以BM 为斜边，构造Rt BMG ，使得2sin 2MBG ∠=，即45MBG ∠=︒，再连接BC ．点(0,3)C -，OC OB ∴=，45OBC ∴∠=︒，90CBG ∴∠=︒，即CB BG ⊥．在Rt BMG 中，2sin 2BM MBG BM MG ⋅∠==，∴要求22CM BM +的最小值，即求CM MG +的最小值，由于垂线段最短得，CM MG +的最小值为CB 的长，∴在Rt BOC 中，由勾股定理得，BC ==．22CM BM ∴+的最小值为小问2】点(4,)D m a -，(,)F m a 关于对称轴对称∴对称轴42m m x t -+==，即2t m =-，且点D 在对称轴左侧，点F 在对称轴右侧． 点(0,3)C -关于对称轴的对称点为(24,3)C m '--，3a b <<- 且0t >，40243m m ->⎧∴⎨->⎩，解得4m >．（i ）当点E 在对称轴左边时，3a b <<- ，34m ∴<-，解得7m >，7m ∴>，（ii ）当点E 在对称轴右边时，3a b <<- ，∴点E 在C '下方，点F 上方，2433m m ->⎧∴⎨<⎩，723m m ⎧>⎪∴⎨⎪<⎩，m ∴不存在，综上所述：m 的取值范围是7m >．。

2024年广东省深圳市龙华区中考二模数学试题(解析版)

2024年广东省深圳市龙华区中考二模数学试题(解析版)

龙华区2023-2024学年第二学期九年级调研测试试题数学试卷说明：1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好．2．全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分．3．作答选择题1~10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，作答非选择题11~22，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．4．考试结束后，请将答题卡交回．第一部分（选择题，共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1. 为打造极具辨识度的城市环保新名片，深圳市清洁能源环卫作业车辆的外观、标识正逐步改为统一标准．下列四个图标是深圳环卫车身上的环保符号，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．2. 深圳图书馆北馆是深圳首批建设并完工的新时代重大文化设施，其建筑面积约7.2万平方米，设计藏书量800万册，其中800万用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数，解题关键是确定a 和n ．根据科学记数法定义进行表示即可得到答案．【详解】解：∵800万，∴科学记数法表示：，故选：C ．3. 下列运算正确是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】本题考查了合并同类项，整式乘法以及完全平方公式，平方差公式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键，分别根据合并同类项法则，单项式乘以多项式运算法则，以及完全平方公式、平方差公式逐一判断即可．【详解】A 、，故本选项不合题意； B 、，故本选项不符合题意；C 、，故本选项不符合题意；D 、，故本选项符合题意；故选：D ．4. 小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）为的2810⨯5810⨯6810⨯70.810⨯10n a ⨯110a ≤<8000000=68.010⨯224m m m +=()11m n mn +=+()222m n m n +=+()()22m n m n m n+-=-22242m m m m +=≠()11m n mn m mn +=+≠+()222222m n m mn n m n +=++≠+()()22m n m n m n +-=-33⨯A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．根据概率公式直接求解即可．【详解】解：∵阴影部分的面积占总面积的，∴飞镖落在阴影区域的概率为．故选：B ．5. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：由得：，由得：，则不等式组的解集为，故选：A ．6. 某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为（ ）1349592349491024x x +≥⎧⎨<⎩10x +≥1x ≥-24x <2x <12x -≤<22MAD ∠=︒23FCN ∠=︒ABC ∠A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】本题考查平行投影，熟练掌握平行投影的性质是解题的关键．根据平行线的性质及角的和差即可求得．【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，，且，，∴，，∴．故选：B ．7. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x 人，则可列方程为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】设第一次分钱的人数为x 人，则第二次分钱的人数为（x +6）人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【详解】解：设第一次分钱的人数为x 人，则第二次分钱的人数为（x +6）人，依据题意，可得．故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．8. 数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒，，，在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A ，C ，E 在同一直线上，，若，则点B ，D 到直线的距离之和为（ ）44︒45︒46︒47︒AD BE FC ∥∥22MAD ∠=︒23FCN ∠=︒22MAD ABE ∠=∠=︒23EBC FCN ∠=∠=︒45ABC ABE EBC ∠=∠+∠=︒10406x x =-40106x x =-10406x x =+40106x x =+10406x x =+AB BC CD DE BC CD ⊥10AE =AEA. 5B.C.D. 10【答案】A 【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，过于M ，于N ，由等腰三角形的性质推出，，由余角的性质推出，由证明，得到，，于是得到．【详解】解：过于M ，于N ，∵，∴，同理：，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∵，∴，∴，，∴，∴点B ，D 到直线的距离之和为5．故选：A ．9.小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正BM AE ⊥DN AE ⊥12CM AC =12CN CE =DCN CBM ∠=∠AAS DCN CBM ≌DN CM =BM CN =()111105222BM DN CM CN AC CE AE +=+=+==⨯=BM AE ⊥DN AE ⊥AB BC =12CM AC =12CN CE =BC CD ⊥90BCD ∠=︒1809090DCN BCM ∠+∠=︒-︒=︒90BCM CBM ∠+∠=︒DCN CBM ∠=∠90DNC BMC ∠=∠=︒DC BC =()AAS DCN CBM ≌DN CM =BM CN =()111105222BM DN CM CN AC CE AE +=+=+==⨯=AE弦值与折射角正弦值之比，即折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则该玻璃透镜的折射率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】本题考查了三角函数，余角性质，利用余角性质可得，进而得，再根据折射率计算即可求解，由余角性质推导出是解题的关键．【详解】解：由题意可得，，∵光线经折射后沿垂直边的方向射出，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故选：．10. 如图，在菱形中，，E 是对角线上一点，连接，作交sin sin in r=i r AC 30i =︒15cm AB =5cm =BC n 1.8 1.6 1.5 1.4r A ∠=∠1sin sin 3r A ==sin sin in r=r A ∠=∠190r ∠+∠=︒AC 190A ∠+∠=︒r A ∠=∠90C ∠=︒51sin 153BC A AB ===1sin sin 3r A ==30i =︒1sin sin 302i =︒=1sin 21.51sin 3i n r ===C ABCD 60ABC ∠=︒AC BE 120BEF ∠=︒边于点F，若，则的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，由菱形的性质推出，，判定，是等边三角形，得到，，求出，而，得到，即可证明，推出，令，则，得出，得到，即可求出答案．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，∴，是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，CD 12AE EC =DF FC4354AB BC CD AD ===60D ABC ∠=∠=︒ABC ACD 60BCE ACD ∠=∠=︒BC AC =18060120CBE BEC ∠+∠=︒-︒=︒120CEF BEC ∠+∠=︒CEF CBE ∠=∠CEF CBE ∽△△::CF CE CE BC =AE x =2EC x =43CF x =45333DF x x x =-=ABCD AB BC CD AD ===60D ABC ∠=∠=︒ABC ACD 60BCE ACD ∠=∠=︒BC AC =18060120CBE BEC ∠+∠=︒-︒=︒120BEF ∠=︒120CEF BEC ∠+∠=︒CEF CBE ∠=∠ECF BCE ∠=∠CEF CBE ∽△△∴，∵，∴令，则，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故选：D ．第二部分（非选择题，共70分）二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11. 化简分式：＝___．【答案】1【解析】【分析】利用同分母分式的加减法则计算即可求出值．【详解】解：原式，，，．故答案为：1．【点睛】此题考查了分式加减法，解题的关键熟练掌握分式的加减法的运算法则．12. 若a 是一元二次方程的一个根，则的值是___________．【答案】6【解析】【分析】将a 代入，即可得出，再把整体代入，即可得的::CF CE CE BC =12AE EC =AE x =2EC x =23AC x x x =+=3BC AC x ==:22:3CF x x x =43CF x =45333DF x x x =-=54DF FC =1211x x x-+++1211x x x -=+++121x x -+=+11x x +=+1=2230x x +-=224a a +2230x x +-=223a a +=223a a +=224a a +出答案．【详解】∵a 是一元二次方程的一个根，∴，∴，∴，故答案为：6．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键．13. 如图，点A ，B ，C 在⊙上，平分，若，则____°．【答案】70【解析】【分析】本题考查圆周角定理及其推论，解答中涉及角平分线定义，三角形外角的性质，能准确作出辅助线，掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．延长交于点E ，连接，由已知条件求出，由角平分线定义，可得到，最后根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可求出的度数．【详解】解：延长交于点E ，连接，则，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，2230x x +-=2230a a +-=223a a +=()222422236a a a a +=+=⨯=O AC OAB ∠40OAB ∠=︒CBD ∠=AO O BE 50C E ∠=∠=︒1202CAB OAB ∠=∠=︒CBD ∠AO O BE 90ABE ∠=︒40OAB ∠=︒9050E OAB ∠=︒-∠=︒50C E ∠=∠=︒AC OAB ∠1202CAB OAB ∠=∠=︒205070CBD CAB C ∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：70．14. 如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______．【答案】##0.5【解析】【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出．【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为，∵反比例函数图象经过点，∴，∴与之间的反比例函数为，当时，∵，，∴，把代入得，解得．故答案为：,1R 030R =Ω()U V ()3mg /m p 10R R R =+()U V ()ΩR 1R p 16060R p =-+ 4.5V 3mg m 12()U V ()ΩR 270U R =10R R R =+130R =Ω16060R p =-+12p =()U V ()ΩR kU R=()45,6645270k =⨯=()U V ()ΩR 270U R=4.5V =270604.5R ==Ω10R R R =+030R =Ω10603030R R R =-=-=Ω130R =Ω16060R p =-+306060p =-+12p =1215. 如图，在矩形中，，P 是边上一点，将沿折叠，若点D 的对应点E 恰好是的重心，则的长为_______．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了矩形的性质，三角形的重心，图形的折叠变换及其性质，勾股定理，延长交于F ，在的延长线上取一点H ，使，连接，，，连接并延长交于点T ，连接，由折叠的性质得P ，，根据点E 是的重心，得是边上的中线，是边上的中线，则，，先证四边形是平行四边形得，进而得是的中位线，则，进而得，在中，由勾股定理得，再判定，得，进而得【详解】解：延长交于F ，在的延长线上取一点H ，使，连接，，，连接并延长交于点T ，连接，如下图所示：∵四边形为矩形，，∴，，，由折叠的性质得：，，，∵点E 是的重心，∴是边上的中线，是边上的中线，即，，又∵，ABCD 6AB =AD PCD CP ABC PD CE AB EF FH FE =AH BH PF AE BC BE PD PE =6CE CD ==ABC AT BC CF AB 132AF BF AB ===CT BT =AEBH BH AE ∥ET CBH 6EH CE ==3FH FE ==Rt BCF BC ==()Rt Rt HL PAF PEF ≌PA PE =12PD PA AD ===CE AB EF FH FE =AH BH PF AE BC BE ABCD 6AB =90BAD D ∠=∠=︒6CD AB ==AD BC =PD PE =6CE CD ==90PEC D ∠=∠=︒ABC AT BC CF AB 132AF BF AB ===CT BT =FH FE =∴四边形是平行四边形，∴，即，∴，∵，∴，∴是的中位线，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∵，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴故答案为：三、解答题（本题共7小题，共55分）16. 计算：．【答案】【解析】【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．先AEBH BH AE ∥BH ET ∥CT CE BT EH=CT BT =CE EH =ET CBH 6EH CE ==3FH FE ==639CF CE FE =+=+=Rt BCF BC ==AD BC ==3FE =3AF =AF FE =90PEC ∠=︒90BAD ∠=︒90BAD PEF ∠=∠=︒Rt PAF △Rt PEF △AF FE PF PF =⎧⎨=⎩()Rt Rt HL PAF PEF ≌PA PE =12PD PA AD ===()10120242cos 602π-⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭计算零次幂、负整数指数幂、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．【详解】解：原式．17. 如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移5个单位长度得到直线．（1）直接画出直线；（2）的解析式为______；（3）直线与之间的距离为______个单位长度．【答案】（1）见解析（2） （3【解析】【分析】（1）根据平移的性质画出直线；（2）利用平移的规律求得直线的解析式；（3）根据三角形面积公式即可得到结论．【小问1详解】如图，112422=+-+⨯341=-+0=11:22l y x =+2l 2l 2l 1l 2l 1122y x =-2l 2l【小问2详解】将直线向右平移5个单位长度得到直线为；故答案为：；【小问3详解】如图，过O 作于C ，反向延长交于D ，∵与x 轴交于，与y 轴交于，与x 轴交于，与y 轴交于，∵，∴，∵，∴∵，，11:22l y x =+2l ()11152222y x x =-+=-1122y x =-OC AB ⊥OC EF 122y x =+()4,0A -()0,2B 1122y x =-()1,0E 10,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭AB EF ∥CD EF ⊥4,2OA OB =====AB 1OE =12OF =∴∵，∴，∵，∴，∴∴直线与【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，正确把握变换规律是解题关键．18. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有A ，B ，C 三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：【整理数据】EF ===1122EF OD OE OF ⋅=⋅OA OB OC AB ⋅===1122EF OD OE OF ⋅=⋅OD ==CD =1l 2l 420km（1）小明共调查了_____辆A 型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图；（2）在A 型纯电动汽车满电续航里程扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_______°；【分析数据】型号平均里程（km ）中位数（km ）众数（km ）A400400410B432m 440C 453450n（3）由上表填空：_______，_______；【判断决策】（4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由．【答案】（1）20，图见解析；（2）；（3）430；450；（4）选择B 型，见解析【解析】【分析】（1）用“”的数量除以其占比可得A 型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可；（2）用360°乘续航里程为390km 的占比即可；（3）分别根据中位数和众数的定义解答即可；（4）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可．【详解】解：（1）（辆），的数量为：（辆），补全条形统计图如下：的390km m =n =72︒410km 400km 630%20÷=400km 2034625----=故答案为：20；（2）在A 型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为：，故答案为：72；（3）由题意得，．故答案为：430，450；（4）小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A 型号的平均数、中位数和众数均低于420，不符合要求；B 、C 型号符合要求，但B 型号的租金比C 型号的租金优惠，所以选择B 型号的纯电动汽车较为合适．【点睛】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，众数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握定义是解题的关键．19. 投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，弓箭投入壶内、壶耳会得到不同的分数，落在地上不得分．小龙与小华每人拿10支箭进行游戏，游戏结果如下：投入壶内投入壶耳落在地上总分小龙3支4支3支27分390km 43607220︒⨯=︒,4304304304502m n +===420km小华3支3支4支24分（1）求一支弓箭投入壶内、壶耳各得几分？（2）小丽也加入游戏，投完10支箭后，有2支弓箭落到了地上，若小丽赢得了比赛，则她至少投入壶内几支箭？【答案】（1）一支弓箭投入壶内得5分，投入壶耳得3分（2）她至少投入壶内2支箭【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出方程组和不等式是解答本题的关键．（1）设一支弓箭投入壶内得x 分，投入壶耳得y 分，根据小龙得了27分，小华得了24分列方程组求解即可；（2）根据小丽赢得了比赛列不等式求解即可．【小问1详解】设一支弓箭投入壶内得x 分，投入壶耳得y 分，根据题意得解得答：一支弓箭投入壶内得5分，投入壶耳得3分；【小问2详解】设投入壶内m 支箭，根据题意可得解得：∵m 需取整数答：她至少投入壶内2支箭．20. 如图，以为直径的⊙交于点D ，，垂足为E ．34273324x y x y +=⎧⎨+=⎩53x y =⎧⎨=⎩()5310227m m +-->32m >∴min 2m =AB O BC DE AC ⊥（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：______，使直线为⊙的切线，并说明理由；（2）在（1）的条件下，若，，求⊙的半径．【答案】（1）增加条件：，见解析（2）【解析】【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握切线的判定方法，属于中考常考题型．（1）添加条件：（答案不唯一）．证明，推出即可；（2）解直角三角形分别求出，，再证明，得出，进而可得答案．【小问1详解】增加条件：．证明：连接，∵为的直径，，∵，，，∵，，，又∵，，DE O 6DE =2tan 3ADE ∠=O AB AC =132AB AC =OD AC ∥OD DE ⊥AE EC C ABD ∠=∠13AB AC ==AB AC =OD AB O ∴90ADB ∠=︒AB AC =90ADB ∠=︒∴BD CD =AO BO =BD CD =∴OD AC ∥DE AC ⊥∴90ODE DEC ∠=∠=︒即，∵为半径，为的切线；【小问2详解】在中，，，， ∵，，∵，，，，，，又∵，，，，，即的半径为．21. 【项目式学习】项目主题：合理设计 智慧泉源项目背景：为加强校园文化建设，学校计划在原有的喷泉池内增设一块矩形区域，安装LED 发光地砖灯，用于展示校园文化标语，要求该矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，因此需要对原有喷泉的喷头竖直高度进行合理调整．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习．任务一 测量建模（1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，水柱的落点均在水平地面半径为2米的圆上，在距池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴建OD DE ⊥OD ∴DE O Rt ADE △6DE =2tan 3ADE ∠=∴2tan 643AE DE ADE =∠=⨯=90ADB ADC ∠=∠=︒∴90ADE EDC ∠+∠=︒DE AC ⊥∴90DEC ∠=︒∴90EDC C ∠+∠=︒∴C ADE ∠=∠∴692tan tan 3DE DE EC C ADE ====∠∠∴4913AC AE EC =+=+=C ADE ∠=∠ADE ABD ∠=∠∴C ABD ∠=∠∴13AB AC ==∴132AO OB ==O 132立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）；任务二 推理分析（2）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加h 米，水柱落点形成的圆半径相应增加d 米，h 与d 之间存在一定的数量关系，求出h 与d 之间的数量关系式；任务三 设计方案（3）现计划在原有喷水池内增设一块矩形区域，米，米，增设后的俯视图如图3所示，与原水柱落点形成的圆相切，切点为的中点P ．若要求增设的矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，则喷头竖直高度至少应该增加______米．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，简单几何体的三视图，掌握待定系数法求二次函数的关系式是正确解答的关键．（1）根据题意可得第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线关系式的顶点式，代入计算即可；（2）根据抛物线的形状不变，即a 的值不变，顶点坐标变为，抛物线与x 轴的交点坐标变为，代入即可得出h 与d 的还是关系式；（3）根据勾股定理求出的长，进而得出d 的值，再代入h 与d 的函数关系式进行计算即可．【详解】（1）解：ABCD 1.4AB =0.4BC =AB AB ABCD 2435544y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2425h d d =+ 1.2()0.75,1.25()2,0()0.75, 1.25h +()2,0d +OC由题意可知，第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的关系式为，将代入得，，解得，∴第一象限中抛物线的关系式为；（2）由于喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，喷头竖直高度增加h 米，其抛物线的关系式为，过点，∴，即，（3）如图，延长交于点Q ，则米，米，米，连接，在中，米，米，∴（米），即水柱落点形成的圆半径相应增加0.5米，，将代入得，（米），故答案为：．22. 如图1，在正方形中，点E 是边上一点，F 为的中点，将线段绕点F 顺时针旋转至线段，连接．某数学学习小组成员发现线段与之间存在一定的数量关系，并运用“特殊到一般”的思想开展了探究．()0.75,1.25()2,0()20.75 1.25y a x =-+()2,0()220.75 1.250a -+=45a =-()2244350.75 1.255544y x x⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭()240.75 1.255y x h =--++()2,0d +()2420.75 1.2505d h -+-++=()22441.25 1.25255h d d d =+-=+OP CD 0.4PQ AD == 2.4OQ =10.72CQ AB ==OC Rt COQ △ 2.4OQ =0.7CQ =2.5OC ==0.5d =0.5d =()24 1.25 1.255h d =+-()240.5 1.25 1.25 1.25h =+-=1.2ABCD AB CE AF 90︒GF CG CE CG【特例分析】当点E 与点B 重合时，小组成员经过讨论得到如下两种思路：思路一思路二第一步如图2，连接，，证明；如图3，将线段绕点F 逆时针旋转至，连接，证明；第二步利用相似三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．利用全等三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．图形表达（1）①在上述两种思路中，选择其中一种完成其相应的第一步的证明：②写出线段与之间的数量关系式：______；【深入探究】（2）如图1，当点E 与点B 不重合时，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由；【拓展延伸】（3）连接，记正方形的面积为，的面积为，当是直角三角形时，请直接写出的值．AG AC ACG AEF △∽△CF 90 HF AH AFH GFC △≌△CE EF CE CG CE AH CE CG CE CG CE CG AG ABCD 1S AFG 2S △FCG 12S S【答案】（1）①选择思路一，证明见解析；选择思路二，证明见解析；②或；（2）成立，证明见解析；（3）4【解析】【分析】（1）①选择思路一：连接， 如图所示，根据正方形的性质得到，，由旋转的性质证明是等腰直角三角形，进而得到，即可推出，，据此可证明；选择思路二：将线段绕点F 逆时针旋转至，连接，如图所示，由旋转的性质可得，再证明，即可证明；②选择思路一：利用相似三角形的性质即可得到答案；选择思路二：由全等三角形的性质得到，过点H 作于M ， 证明四边形是正方形，推出，进而得到，即可得到；（2）连接，同理可证明；得到；再由直角三角形的性质得到，则；（3）由于，则，进而得到 ，故当为直角三角形，不能作为斜边；当时，和共线，则E 和A 重合，G 和D 重合，由正方形的性质可得，则；当时，连接，过B 作于M ，如图：证明，设，则，，由勾股定理得，则；证明是等腰直角三角形，得到，则CE=CG =AC AG ，AC =45BAC ∠=︒AFG45FAGAG =︒=∠，AC AG AB AF==BAF CAG ∠=∠ABF ACG ∽△△CF 90︒HF AH 9090HF FC HFC AF FG AFG =∠=︒=∠=︒，，，AFH GFC ∠=∠()SAS AFH GFC ≌AH CG =HM AB ⊥MBFH AM MH =AH BC =CG CE =AC AG BF ，，ABF ACG ∽△△CG AC BF AB==12BF CE =CG CE =90AEC ∠≥︒AF EF >FG CF >△FCG CF FG CF ⊥AF CF 14AFG ABCD S S =△正方形124S S =CF CG ⊥AC AG BF ，，BM CE ⊥45EFB ∠=︒CF EF x ==CG =2CE x =FG =2221322S FG x ==BFM BM MF ===，由勾股定理得，则，据此可得【详解】解：（1）①选择思路一：证明：连接， 如图所示，∵四边形是正方形∴，，由旋转得，∴是等腰直角三角形 ，∴，∴，∵，，∴，∴；选择思路二：证明：将线段绕点F 逆时针旋转至，连接，如图所示，由旋转的性质可得，∴，∴，∴；CM CF MF x =+=(22222BC BM CM x =+=+(2212S BC x ==+12S S =AC AG ，ABCD AC =45BAC ∠=︒90AF FG AFG =∠=︒，AFG 45FAG AG =︒=∠，AC AG AB AF==45BAF BAC CAF CA =-=︒-∠∠∠∠45CAG FAG CAF CAF =-=︒-∠∠∠∠BAF CAG ∠=∠ABF ACG ∽△△CF 90︒HF AH 9090HF FC HFC AF FG AFG =∠=︒=∠=︒，，，AFG HFC ∠=∠AFH GFC ∠=∠()SAS AFH GFC ≌②思路一：由（1）①知，∴∵为的中点，∴ ∴，∴，即；思路二：由（1）①知，∴，如图所示，过点H 作于M ，则四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，即；ABF ACG ∽△△CG AG BF AF==F BC 12CF BC =12CG BC =CG BC =CG CE =()SAS AFH GFC ≌AH CG =HM AB ⊥MBFH BF CF HF ==MBFH 1122BM MH BF BC AB ====AM MH =AM MH AH ==AH =CG BC =CG CE =综上所述，；（2）如图所示，连接，∵四边形是正方形∴，，由旋转得，∴是等腰直角三角形 ，∴，∴，∵，，∴，∴；∴；∵在中，点F为的中点，∴，∴∴；CG CE =AC AG BF ，，ABCD AC =45BAC ∠=︒90AF FG AFG =∠=︒，AFG 45FAG AG =︒=∠，AC AG AB AF==45BAF BAC CAF CA =-=︒-∠∠∠∠45CAG FAG CAF CAF =-=︒-∠∠∠∠BAF CAG ∠=∠ABF ACG ∽△△CG AC BF AB==Rt EBC CE 12BF CE =12CG CE =CG CE =（3）∵E 在边上，∴，∴，∵，∴ ，∵为直角三角形，∴不能作为斜边，①当时，∵，∴和共线，∴E 和A 重合，G 和D 重合，如图：∴由正方形的性质可得，∴；当时，连接，过B 作于M ，如图：由（2）知，，∴，∵，AB 90AEC ∠≥︒AF EF >AF FG CF EF ==，FG CF >△FCG CF FG CF ⊥AF FG ⊥AF CF 14AFG ABCDS S =△正方形124S S =CF CG ⊥AC AG BF ，，BM CE ⊥ABF ACG ∽△△ABF ACG ∠=∠9090ACG ACE ABF FBC ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴，∵，∴，设，则，，在中，由勾股定理得，∴；在中，F 是中点，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴；综上所述，或【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性FBC ACE ∠=∠45ACB ACE BCE ACB ∠=︒∠+∠=∠，45EFB FBC FCB ACB ∠=∠+∠=∠=︒CF EF x ==CG =2CE x =Rt CFG △FG ==222113222S AF FG FG x =⋅==Rt BCE CE BF CF x ==45BFM ∠=︒BFM BM MF x ===CM CF MF x =+=Rt BCM △(222222122BC BM CM x x x =+=+=+(2212S BC x ==1232S S ==124S S =12S S =质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．。

2024年安徽省亳州市谯城区中考二模数学试题(含答案)

2024年安徽省亳州市谯城区中考二模数学试题(含答案)

亳州市2024年4月份九年级模拟考试数学（试题卷）注意事项：1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的．4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A ，B 、C ，D 四个选项，其中只有一个是正确的）1．12024-的相反数是（ ）A ．－2024B ．2024C ．12024D ．12024-2．2024年2月5日，据中安在线报道，2023年，安徽省全省生产总值47050.6亿元，按不变价格计算，比上年增长5.8%．将数据47050.6亿用科学记数法表示为（ ）A ．130.47050610⨯B ．124.7050610⨯C ．1147.050610⨯D ．134.7050610⨯3．如图所示的几何体的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．4．下列运算正确的是（ ）A ．235a b ab +=B ．2322332a b a b a b -=C ．()325a a =D ．84422a a a ÷=5．不等式1152x x +>-的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．6．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线AC ，BD 相交于点O ，测得10cm AB =，16cm BD =，过点A 作AH BC ⊥于点H ，连接OH ，则OH 的长为（）第6题图A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm7．如图，EF ，CD 是⊙O 的两条直径，点A 是劣弧 DF 的中点．若32COF ∠=︒，则ADC ∠的度数是（）第7题图A ．47°B ．74°C ．53°D ．63°8．黄山是我国四大名山之一．在学习了“概率初步”这章后，同桌的小明和小波两同学做了一个游戏：小明将分别标有“美”、“丽”、“黄”、“山”四个汉字的小球（除汉字外其余完全相同）装在一个不透明的口袋中搅拌均匀，然后小波同学从口袋中随机摸出一球，不放回．小明再搅拌均匀后，小波又随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“黄山”的概率是（ ）A ．14B ．16C ．18D ．5169．一次函数()0y bx a c =-≠和二次函数()20y ax x b a =++≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，在矩形ABCD 中，AD =，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，DH AE ⊥于点H ，连接BH并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，则下列结论中错误的是（ ）A ．ED 平分AEC∠B ．12OE DE=C ．HE DF =D ．BC CF -=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11=______．12．若关于x 的一元二次方程()21210k x x +-+=有两个实数根，则实数k 的取值范围是______．13．如图，一次函数123y x =-的图象分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，P 为AB 上一点且PC 为AOB △的中位线，PC 的延长线交反比例函数()0k y k x =>的图象于点Q ，52OQC S =△，则PQ 的长是______．第13题图14．如图，在ABC △中，30A ∠=︒，90ACB ∠=︒，4BC =．请解决下列问题：（1）AC 的长是______；（2）若点D 是AC 边上的动点，连接DB ，以DB 为边在DB 的左下方作等边DBE △，连接CE ，则点D 在运动过程中，线段CE 的长的最小值是______．第14题图三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．先化简，再求值：()23223x x x x --⋅--，其中3x =．16．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8文钱多出3文钱；每人出7文钱，还差4文钱．求该物品的价格是多少文钱．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．如图，在平面直角坐标系xOy 中．（1）画出ABC △关于x 轴对称的111A B C △；（2）在y 轴上画出一点D ，使得BD DA +的值最小．（保留作图痕迹，不写作法）18．合肥骆岗中央公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．已知图1中有1块六边形地砖，6块正方形地砖，6块三角形地砖；图2中有2块六边形地砖，11块正方形地砖，10块三角形地砖；…．（1）按照以上规律可知，图4中有______块正方形地砖；（2）若铺设这条小路共用去n 块六边形地砖，分别用含n 的代数式表示用去的正方形地砖、三角形地砖的数量；（3）若50n =，求此时三角形地砖的数量．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．如图，小明同学为了测量塔DE 的高度，他在与山脚B 处同一水平面的A 处测得塔尖点D 的仰角为37°，再沿AC 方向前进30米到达山脚B 处﹐测得塔尖点D 的仰角为63.4°，塔底点E 的仰角为30°，求塔DE 的高度．（参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈，sin 63.40.89cm ︒≈，cos 63.40.45︒≈，tan 63.4 2.00︒≈ 1.73≈，结果精确到0.1米）20．如图，在ABC △中；90ACB ∠=︒，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，连接CD ，⊙O 的切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：AE =CE ；（2）若10AB =，6BC =，连接OE ，与CD 交于点F ，求OF 的长．六、（本题满分12分）21．安全意识，警钟长鸣，某中学为提高学生的安全防范意识，组织七、八年级学生开展了一次安全知识竞赛．成绩分别为A ，B ，C ，D 四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图、表，请根据提供的信息解答下列问题：年级平均分中位数众数方差七年级8.76a 9 1.06八年级8.768b1.38（1）根据以上信息可知：a =______，b =______，并把七年级竞赛成绩，条形统计图补充完整；（2）根据数据分析表，你认为七年级和八年，级哪个年级的竞赛成绩更好，并说明理由；（3）若该校七、八年级共有1200人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该中学七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的共有多少人?七、（本题满分12分）22．已知点C 为ABC △和CDE △的公共顶点，将CDE △绕点C 顺时针旋转()0360αα︒<<︒，连接BD ，AE ．（1）问题发现：如图1，若ABC △和CDE △均为等边三角形，则线段BD 与线段AE 的数量关系是______；（2）类比探究：如图2，若90ABC EDC ∠=∠=︒，60ACB ECD ∠=∠=︒，其他条件不变，请写出线段BD 与线段AE 的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：如图3，若90BAC DEC ∠=∠=︒，AB AC =，CE DE =，2BC CD ==B ，D ，E 三点共线时，求BD 的长．八、（本题满分14分）23．在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ．（1）求点A ，B 的坐标；（2）如图1，若在x 轴上方的抛物线上存在一点D ，使得45ACD ∠=︒，求点D 的坐标；（3）如图2，平面上一点()3,2E ，过点E 作任意一条直线交抛物线于P ，Q 两点，连接AP ，AQ ，分别交y 轴于M ，N 两点，则OM 与ON 的积是否为定值?若是，求出此定值；若不是，请说明理由．亳州市2024年4月份九年级模拟考试·数学（参考答案）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．C 2．B 3．B 4．D 5．B 6．A 7．C 8．B 9．A10．D 【解析】在矩形ABCD 中，∵AE 平分BAD ∠，∴45BAE DAE ∠=∠=︒，∴ABE △是等腰直角三角形，∴AE =．∵AD =，∴AE AD =，∴()11802ADE AED DAE ∠=∠=︒-∠()11804567.52=︒-︒=︒，∴18067.5CED AEB AED ∠=︒-∠-∠=︒，∴AED CED ∠=∠，即ED 平分AEC ∠，故选项A 正确，不符合题意；在ABE △和AHD △中，,90,,BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()AAS ABE AHD ≌△△，∴BE DH =，∴AB BE AH HD ===，∴()()111801804522AHB ABH BAE ∠=∠=︒-∠=︒-︒67.5=︒．∵OHE AHB ∠=∠，∴OHE AED ∠=∠，∴OE OH =．∵DH AE ⊥，∴90DHE ∠=︒，∴9067.522.5OHD DHE OHE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．∵67.54522.5ODH ADE ADH ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴OHD ODH ∠=∠，∴OH OD =，∴OE OD OH ==，∴12OE DE =，故选项B 正确；不符合题意；∵9067.522.5EBH ABE ABH ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴EBH OHD ∠=∠．在BEH △和HDF △中，,,45,EBH OHD BE DH AEB HDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴()ASA BEH HDF ≌△△，∴BH HF =，EH DF =，故选C 正确，不符合题意；综上所述，可得CD BE =，DF EH CE ==，CF CD DF =-，∴()()2BC CF CD EH CD EH EH -=+--=，故选项D 错误，符合题意．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．－1 12．0k ≤且1k ≠- 13．8314．（1）2）2【解析】（1）∵30A ∠=︒，90ACB ∠=︒，4BC =，∴8AB =．在Rt ABC △中，由勾股定理得AC ===（2）如图，取AB 的中点Q ，连接CQ ，DQ ，则4BQ AQ ==．∵90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，∴60CBQ ∠=︒．∵4BQ AQ ==，∴4CQ BQ AQ ===，∴BCQ △是等边三角形∴BC BQ =．∵60DBE CBQ ∠=∠=︒，∴EBC DBQ ∠=∠．在EBC △和DBQ △中，,,,EB DB EBC DBQ BC BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS EBC DBQ ≌△△，∴EC DQ =，∴当QD AC ⊥时，线段QD 最短，即线段EC 的值最小，在Rt AQD △中，4AQ =，30A ∠=︒，∴122DQ AQ ==，∴线段CE 的长的最小值为2．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．解：原式()2321333x x x x x --=⋅=---．当3x =时，原式===16．解：设该物品的价格为x 文钱，根据题意，得3487x x +-=，解得53x =．答：该物品的价格是53文钱．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．解：（1）如图，111A B C △即为所求．如图，点D 即为所求．18．解：（1）21【解析】由图形可知，图1中六边形地砖块数为1，正方形地砖块数为6151=⨯+，三角形地砖块数为6142=⨯+；图2中六边形地砖块数为2，正方形地砖块数为11251=⨯+，三角形地砖块数为10242=⨯+；图3中六边形地砖块数为3，正方形地砖块数为16351=⨯+，三角形地砖块数为14342=⨯+；…，由此可见，每增加1块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块，所以图4中正方形地砖块数为21块．（2）由（1）发现的规律可知，当铺设这条小路共用去n 块六边形地砖时，用去的正方形地砖的块数为()51n +块，三角形地砖的块数为()42n +块．（3）当50n =时，三角形地砖的块数为424502202n +=⨯+=（块）．答：此时三角形地砖的数量为202块．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．解：设BC x =米．在Rt BDC △中，∵63.4DBC ∠=︒，∴tan 63.42DC BC x =⋅︒≈（米）．∵30AB =米，∴()30AC AB BC x =+=+米．在Rt ADC △中，∵37A ∠=︒，∴2tan 370.7530DC xAC x ︒==≈+，解得18x =，∴18BC =米，236DC x ==米．在Rt EBC △中，30EBC ∠=︒，∴tan 3018EC BC =⋅︒==（米），∴3625.6225.6DE DC CE =-=-≈≈（米）．答：塔DE 的高度约为25.6米．20．（1）证明：∵90ACB ∠=︒，BC 为⊙O 的直径，∴EC 为⊙O 的切线，90BDC ADC ∠=∠=︒．∵DE 为⊙O 的切线，∴CE DE =，∴ECD EDC ∠=∠．∵90A ECD ADE EDC ∠+∠=∠+∠=︒，∴A ADE ∠=∠，∴AE DE ∠=，∴AE CE =．（2）解：如图，连接OD ．∵90ACB ∠=︒，BC 为⊙O 的直径，∴AC 为⊙O 的切线．∵DE 是⊙O 的切线，∴EO 平分CED ∠，∴OE CD ⊥，F 为CD 的中．∵AE CE =，BO CO =，∴OE 是ABC △的中位线，∴1110522OE AB ==⨯=，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，10AB =，6BC =，在勾股定理得8AC ===．在Rt ADC △中，∵AE CE =，∴118422DE AC ==⨯=．在Rt EDO △中，116322DO BC ==⨯=，4DE =，由勾股定理得5OE ===．由三角形的面积公式，得1122EDO S DE DO OE DF =⋅=⋅△，即435DF ⨯=，解得 2.4DF =．在Rt DFO △中，由勾股定理得 1.8OF ===．21．解：（1）9 10七年级竞赛成绩条形统计图补充完整如下．七年级竞赛成绩条形统计图【解析】∵七年级竞赛成绩由高到低排在第13位的是B 等级9分，∴9a =；∵八年级A 等级人数最多，∴10b =；七年级竞赛成绩C 等级人数为2561252---=（人）．（2）七年级的竞赛成绩更好．理由：七、八年级的竞赛成绩的平均分相同，七年级竞赛成绩的中位数大于八年级，七年级竞赛成绩的方差小于八年级竞赛成绩的方差，所以七年级的竞赛成绩更好．（3）()61244%4%2512007202525+++⨯⨯=+（人）．答：估计该中学七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的共有720人．七、（本题满分12分）22．解：（1）BD AE=【解析】∵ABC △和CDE △都是等边三角形，∴AC BC =，DC EC =，60ACB ECD ∠=∠=︒，∴BCD ACE ∠=∠，∴()SAS BCD ACE ≌△△，∴BD AE =．（2）12BD AE =．理由：∵90ABC EDC ∠=∠=︒，60ACB ECD ∠=∠=︒，∴30BAC DEC ∠=∠=︒，∴12BC CD AC CE ==，BCD ACE ∠=∠．∴BCD ACE ∽△△，∴12BD AE =，∴12BD AE =．（3）当B ，D ，E 三点共线时，有以下两种情况：①如图1，当点D 在线段BE 上的时．∵90BAC DEC ∠=∠=︒，AB AC =，CE DE =，2BC CD ==，∴BC ==，CD ==∴2AC =，1CE DE ==．∵90E ∠=︒，∴BE ==，∴1BD BE DE =-=-；②如图2，当点E 在线段BD 上时，同理得1BD BE DE =+=+．综上所述，BD 1-1．八、（本题满分14分）23．解：（1）令0y =，则2230x x --=，解得11x =-，23x =．∵点A 在点B 的左侧，∴()1,0A -，()3,0B ，即点A 的坐标为()1,0-，点B 的坐标为()3,0．（2）由抛物线223y x x =--，得点()0,3C -．如图1，过点A 作AK AC ⊥交CD 于点K ，过点K 作KH x ⊥轴于点H ．∵45ACD ∠=︒，∴CAK △是等腰直角三角形，∴AC AK =．又∵90AOC KHA ∠=∠=︒，90ACO OAC KAH ∠=︒-∠=∠，∴()AAS OAC HKA ≌△△，∴3AH CO ==，1KH OA ==，∴2OH =，∴()2,1K ．设直线CD 的解析式为3y kx =-，则231k -=，解得2k =，∴直线CD 的解析式为23y x =-．联立，得223,23,y x x y x ⎧=--⎨=-⎩解得4x =或0x =（舍去），∴点D 的坐标为()4,5．（3）OM 与ON 的积是定值．设直线PQ 的解析式为y ax b =+，()11,P x y ，()22,Q x y ．∵直线PQ 过点()3,2E 交抛物线于P ，Q 两点，∴23a b =+，即23b a =-，∴直线PQ 的解析式为23y ax a =+-，联立，得223,23,y x x y ax a ⎧=--⎨=+-⎩整理，得()22350x a x a -++-=，∴122x x a +=+，1235x x a ⋅=-．如图2，过点P 作PS x ⊥轴于点S ，过点Q 作QT x ⊥轴于点T ，则AMO APS ∽△△，∴MO PS AO AS=，即()()2111111132311x x x x MO AO x x +---==++．∵1AO =，∴13OM x =-．同理得()23ON x =--，∴()()1233OM ON x x ⋅=---⎡⎤⎣⎦()()121239353292x x x x a a =-⋅-++=---++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即OM 与ON 的积为定值，此定值为2．。

2024年广东省深圳市中考二模数学试题(解析版)

2024年广东省深圳市中考二模数学试题(解析版)

2024年广东省深圳市中考数学二模练习试卷满分100分，考试时长90分钟第一部分 选择题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1. 2025的相反数是（ ）A. 2025−B. 12025−C. 2025D. 12025【答案】A【解析】【分析】根据相反数的定义进行求解即可．【详解】解：2025的相反数是2025−，故选A ．【点睛】本题主要考查了求一个数的相反数，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0是解题的关键．2. 下列四个手机应用图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】A 既是轴对称图形，又是中心对称图形;B 是轴对称图形，不是中心对称图形;C 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形;D 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形;【详解】请在此输入详解！3. 第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城游泳馆区建筑总面积272000平方米，将数272000用科学记数法表示为（ ）A. 70.27210×B. 62.7210×C. 52.7210×D. 427210×【答案】C【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a ×，其中110a ≤<，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：5272000 2.7210=×，故选：C ．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a ×，其中110a ≤<，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a 和n 的值． 4. 如图．直线//a b ，将一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直线a ，b 上，如果220∠°．那么1∠度数为（ ）A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°【答案】C【解析】 【分析】根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：如图，过E 作EF ∥直线a ，则EF ∥直线b ，∴∠3=∠1，∠4=∠2=20°，∴∠1=45°-∠2=25°；故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记两直线平行内错角相等是解题的关键．5. 实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）A. a c b >>B. c a b a −>−C. 0a b +<D. 22ac bc <【答案】D【解析】【分析】根据a b c ，，对应的点在数轴上的位置，利用不等式的性质逐一判断即可．【详解】解：由数轴得：0a c b <<<，a b <，故选项A 不符合题意；∵c b <，∴c a b a −<−，故选项B 不符合题意； ∵a b <，a b <，∴0a b +>，故选项C 不符合题意；∵a b <，0c ≠，∴22ac bc <，故选项D 符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查的是实数与数轴，绝对值的概念，不等式的性质，掌握以上知识是解题的关键． 6. 如图，点O 是ABC 的外接圆的圆心，若80A ∠=°，则BOC ∠为（ ）A. 100°B. 160°C. 150°D. 130°【答案】B【解析】 【分析】根据圆周角定理即可得到BOC ∠的度数．【详解】解：∵点O 是ABC 的外接圆的圆心，∴A ∠、BOC ∠同对着 BC， ∵80A ∠=°，∴2160BOC A ∠°=∠=，故选：B ．【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．7. 《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是 ：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x 斗，行酒为y 斗，则可列二元一次方程组为（ ）A. 2501030x y x y += +=B. -2501030x y x y = +=C. 2105030x y x y += +=D. 2103050x y x y += +=【答案】A【解析】 【分析】设醇酒为x 斗，行酒为y 斗，根据两种酒共用30钱，共2斗的等量关系列出方程组即可．【详解】设醇酒为x 斗，行酒为y 斗，由题意，则有2501030x y x y += +=， 故选A ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准等量关系列出相应的方程是解题的关键． 8. 甲、乙两地相距120km ，一辆汽车上午9:00从甲地出发驶往乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了30km /h ，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶的路程()km y 与时间()h x 之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午（ ）A. 10:35B. 10:40C. 10:45D. 10:50【答案】B【解析】 【分析】根据路程、速度和时间的关系结合函数图像解答即可.【详解】解：∵汽车匀速行驶了一半的路程后将速度提高了30km /h ，甲、乙两地相距120km ，∴汽车1小时行驶了60km ，汽车的速度为60km /h ，∴1小时以后的速度为90km /h ， 汽车行驶完后面的路程需要的时间为60604090×=分钟， 故该车到达乙地的时间是当天上午10:40；故选：B .【点睛】本题考查了函数的图像，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键.9. 如图，在ABC 中，90C ∠=°，30B ∠=°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，以下结论错误的是（ ）A. AD 是BAC ∠的平分线B. 60ADC ∠=°C. 点D 在线段AB 的垂直平分线上D. :1:2ABD ABC S S =△△【答案】D【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的含义，线段的垂直平分线的判定，含30°的直角三角形的性质，A 根据作图的过程可以判定AD 是BAC ∠的角平分线；B 利用角平分线的定义可以推知30CAD ∠=°，则由直角三角形的性质来求ADC ∠的度数；C 利用等角对等边可以证得AD DB =，由线段垂直平分线的判定可以证明点D 在AB 的垂直平分线上；D 利用30°角所对的直角边是斜边的一半求出1122CD AD DB ==，进而可得:1:2DAC ABD S S =△△，则:2:3ABD ABC S S = ． 【详解】解：根据作图方法可得AD 是BAC ∠的平分线，故A 正确，不符合题意；∵9030C B ∠=°∠=°，，∴60CAB ∠=°，∵AD 是BAC ∠的平分线，∴30DAC DAB ∠=∠=°，∴60ADC ∠=°，故B 正确，不符合题意；∵3030B DAB ∠=°∠=°，，∴AD DB =，∴点D 在AB 的垂直平分线上，故C 正确，不符合题意；∵30CAD ∠=°， ∴12CD AD =， ∵AD DB =， ∴12CD DB =， ∴:1:2DAC ABD S S =△△，则:2:3ABD ABC S S = ，故D 错误，符合题意，故选：D ．10. 定义：在平面直角坐标系中，对于点()11,P x y ，当点()22,Q x y 满足()12122x x y y +=+时，称点()22,Q x y 是点()11,P x y “倍增点”，已知点()11,0P ，有下列结论：①点()13,8Q ，()22,2Q −−都是点1P 的“倍增点”；②若直线2y x =+上的点A 是点1P 的“倍增点”，则点A 的坐标为()2,4；③抛物线223y x x =−−上存在两个点是点1P 的“倍增点”；④若点B 是点1P 的“倍增点”，则1PB其中，正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C【解析】【分析】①根据题目所给“倍增点”定义，分别验证12,Q Q 即可；②点(),2A a a +，根据“倍增点”定义，列出方程，求出a 的值，即可判断；③设抛物线上点()2,23D t t t −−是点1P 的“倍增点”，根据“倍增点”定义列出方程，再根据判别式得出该方程根的情况，即可判断；④设点(),B m n ，根据“倍增点”定义可得()21m n +=，根据两点间距离公式可得()22211PB m n =−+，把()21n m =+代入化简并配方，即可得出21PB 的最小值为165，即可判断． 【详解】解：①∵()11,0P ，()13,8Q ，的∴()()121282288103,x x y y +=+=++×==， ∴()12122x x y y +=+，则()13,8Q 是点1P 的“倍增点”；∵()11,0P ，()22,2Q −−，∴()()121222212202,x x y y +==−×−=−=−+， ∴()12122x x y y +=+，则()22,2Q −−是点1P 的“倍增点”；故①正确，符合题意；②设点(),2A a a +，∵点A 是点1P 的“倍增点”，∴()2102a a ×+=++，解得：0a =，∴()0,2A ，故②不正确，不符合题意；③设抛物线上点()2,23D t t t −−是点1P 的“倍增点”，∴()22123t t t +=−−，整理得：2450t t −−=， ∵()()24415360∆=−−××−=>，∴方程有两个不相等实根，即抛物线223y x x =−−上存在两个点是点1P 的“倍增点”；故③正确，符合题意；④设点(),B m n ，∵点B 是点1P 的“倍增点”，∴()21m n +=， ∵(),B m n ，()11,0P ，∴()22211PB m n =−+ ()()22121m m =−++2565m m =++2316555m =++， ∵50>，∴21PB 的最小值为165，∴1PB = 故④正确，符合题意；综上：正确的有①③④，共3个．故选：C ．【点睛】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，一元二次方程根的判别式，两点间的距离公式，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义，根据定义列出方程求解．第二部分 非选择题二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11. 若226m n −=−，且m ﹣n ＝﹣3，则m +n ＝_____．【答案】2【解析】【详解】解：∵()()226m n m n m n −=+−=−，m ﹣n ＝﹣3， ∴﹣3（m +n ）＝﹣6，∴m +n ＝2，故答案为：2【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．12. 一只不透明的袋中装有2个白球和n 个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为14，那么黑球的个数是______． 【答案】6【解析】【分析】根据概率公式建立分式方程求解即可【详解】∵袋子中装有2个白球和n 个黑球，摸出白球的概率为14，∴22n+=14，解得n=6，经检验n=6是原方程的根，故答案为：6【点睛】本题考查了概率公式，根据概率，运用公式建立起分式方程是解题的关键．13. 如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为______．【答案】43π##43π【解析】【分析】延长F A交⊙A于G，如图所示：根据六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，利用外角和求得∠GAB=360606°=°，再求出正六边形内角∠F AB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，利用扇形面积公式代入数值计算即可．【详解】解：延长F A交⊙A于G，如图所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，AB=2，∴∠GAB=360606°=°，∠F AB=180°-∠GAB=180°-60°=120°，∴2120443603603 FABn rSπππ××===扇形，故答案为43π． 【点睛】本题主要考查扇形面积计算及正多边形的性质，熟练掌握扇形面积计算及正多边形的性质是解题的关键．14. 如图，在矩形OABC 和正方形CDEF 中，点A 在y 轴正半轴上，点C ，F 均在x 轴正半轴上，点D 在边BC 上，2BC CD =，3AB =．若点B ，E 在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是__________．【答案】18y x= 【解析】【分析】设正方形CDEF 的边长为m ，根据2BC CD =，3AB =，得到()3,2B m ，根据矩形对边相等得到3OC =，推出()3,E m m +，根据点B ，E 在同一个反比例函数的图象上，得到()323m m m ×=+，得到3m =，推出18y x=． 【详解】解：∵四边形OABC∴3OC AB ==，设正方形CDEF 的边长为m ，∴CD CF EF m ===，∵2BC CD =，∴2BC m =，∴()3,2B m ，()3,E m m +，设反比例函数表达式为k y x=， ∴()323m m m ×=+，解得3m =或0m =（不合题意，舍去）， ∴()3,6B ，的∴3618=×=k ， ∴这个反比例函数的表达式是18y x =， 故答案为：18y x=．【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k 的几何意义．15. 如图，在矩形ABCD 中，E 是AB 的中点，过点E 作ED 的垂线交BC 于点F ，对角线AC 分别交DE ，DF 于点G ，H ，当DH AC ⊥时，则GH EF的值为______．【解析】【分析】设AD a =，AB b =，根据矩形性质和勾股定理可得AC =，再证得ADE BEF ∽，可得AD AE BE BF=，24b BF a =，进而可得24b CF a a =−，再由tan tan CDF CAD ∠=∠，可得CF CD CD AD =，得出2b CF a =，联立得224b b a a a −=，求得a =，再证得DGH DFE △∽△，即可求得答案． 【详解】解： 四边形ABCD 是矩形，设AD a =，AB b =，90BAD B ADC ∴∠=∠=∠=°，AD BC a ==，AB CD b ==，AC ∴==，EF DE ⊥ ，90DEF ∴∠=°，90ADE AED AED BEF ∴∠+∠=∠+∠=°，ADE BEF ∠∠∴=，ADE BEF ∴ ∽， ∴AD AE BE BF=， E 是AB 的中点， 1122AE BE AB b ∴===， 24b BF a∴=， 24b CF BC BF a a∴=−=−， DH AC ⊥ ，90ADH CAD ∴∠+∠=°，90ADH CDF ∠+∠=° ，CDF CAD ∴∠=∠，tan tan CDF CAD ∴∠=∠， ∴CF CD CD AD=，即CF b b a =， 2b CF a∴=， 224b b a a a∴−=，a ∴， 在Rt ADE △中，DE ， DH AC AD CD ⋅=⋅ ，AD CD DH AC ⋅∴==， 90DHG DEF ∠=∠=° ，GDH FDE ∠=∠，DGH DFE ∴△∽△，∴GH DH EF DE ==． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合运用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题（本题共7小题，共55分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算：（1）()2014cos3032π− −+°−−− （2）()()()332a a a a +−−−．【答案】（1）3（2）29a −【解析】【分析】本题考查含特殊角三角函数值的混合运算和整式的乘法．（1）先计算负指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值和二次根式，再进行加减计算；（2）根据平方差公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可．【小问1详解】解： ()2014cos3032π− −+°−−441=+−41=+−−3=【小问2详解】()()()332a a a a +−−−2292a a a −−+29=−a17. 某校为加强书法教学，了解学生现有的书写能力，随机抽取了部分学生进行测试，测试结果分为优秀、良好、及格、不及格四个等级，分别用A ，B ，C ，D 表示，并将测试结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中信息解答以下问题；（1）本次抽取的学生共有_______人，扇形统计图中A 所对应扇形的圆心角是______°，并把条形统计图补充完整；（2）依次将优秀、良好、及格、不及格记为90分、80分、70分、50分，则抽取的这部分学生书写成绩的众数是_______分，中位数是_______分，平均数是_______分；（3）若该校共有学生2800人，请估计一下，书写能力等级达到优秀的学生大约有_____人：（4）A 等级的4名学生中有3名女生和1名男生，现在需要从这4人中随机抽取2人参加电视台举办的“中学生书法比赛”，请用列表或画树状图的方法，求被抽取的2人恰好是1名男生1名女生的概率．【答案】（1）40；36；见解析（2）70；70；66.5（3）280 （4）12【解析】【分析】（1）由C 等级人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以A 等级人数所占比例即可得； （2）由中位数，众数，平均数的定义结合数据求解即可；（3）利用总人数乘以样本中A 等级人数所占比例即可得；（4）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率．【小问1详解】本次抽取的学生人数是1640%40÷=（人）， 扇形统计图中A 所对应扇形圆心角的度数是43603640°×=°， 故答案为40人、36°；B 等级人数为()40416146−++=（人），的补全条形图如下：【小问2详解】由条形统计图可知众数为：70由A 、B 、C 的人数相加得：4+6+16=26>20，所以中位数为：70平均数：4906801670145066.540×+×+×+×= 【小问3详解】 等级达到优秀的人数大约有4280028040×=（人）； 【小问4详解】画树状图为：∵共有12种等可能情况，1男1女有6种情况，∴被选中的2人恰好是1男1女的概率为12．【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，众数，平均数，树状图等知识点，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之比．18. “母亲节”来临之际，某花店打算使用不超过30000元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花共1200束进行销售．百合与康乃馨的进货价格分别为每束30元、18元，百合每束的售价是康乃馨每束售价的1.6倍，若消费者用3200元购买百合的数量比用2400元购买康乃馨的数量少10束．（1）求百合与康乃馨两种鲜花的售价分别为每束多少元；（2）花店为了让利给消费者，决定把百合售价每束降低4元，康乃馨的售价每束降低2元．求花店应如何进货才能获得最大利润．（假设购进的两种鲜花全部销售完）为的【答案】（1）康乃馨的售价为每束40元，百合的售价为每束64元；（2）购进百合700束，购进康乃馨500束．【解析】【分析】本题考查了分式方程，一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． （1）设康乃馨的售价为每束x 元，根据消费者用3200元购买百合的数量比用2400元购买康乃馨的数量少10束得：32002400101.6x x+=，解方程并检验可得答案； （2）设购进百合m 束，根据使用不超过30000元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花，有()3018120030000m m +−≤，700m ≤，设花店获得利润为w 元，可得：()()()644304021812001024000w m m m =−−+−−−=+，再根据一次函数性质可得答案；【小问1详解】设康乃馨的售价为每束x 元，则百合的售价为每束1.6x 元； 根据题意得：32002400101.6x x+=， 解得：40x =，经检验，40x =是原方程的解，∴1.6 1.64064x =×=，答：康乃馨的售价为每束40元，百合的售价为每束64元；【小问2详解】设购进百合m 束，则购进康乃馨()1200−m 束，∵使用不超过30000元的进货资金购进百合与康乃馨两种鲜花，∴()3018120030000m m +−≤，解得700m ≤，设花店获得利润为w 元，根据题意得：()()()644304021812001024000w m m m =−−+−−−=+，∵100>，∴w 随m 的增大而增大，∴当700m =时，w 取最大值107002400031000×+=（元）， 此时12001200700500m −=−=，答：购进百合700束，购进康乃馨500束．19. 如图1为放置在水平桌面l 上的台灯，底座的高AB 为5cm ，长度均为20cm 的连杆BC ，CD 与AB 始终在同一平面上．（1）转动连杆BC ，CD ，使BCD ∠成平角，150ABC ∠=°，如图2，求连杆端点D 离桌面l 的高度DE ．（2）将（1）中的连杆CD 再绕点C 逆时针旋转，使165BCD ∠°＝，此时连杆端点D 离桌面l 的高度是增加还是减少？增加或减少了多少？（精确到0.1cm 1.41≈ 1.73≈）【答案】（1）39.6cm（2）减少了3.2cm【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）如图2中，作BO DE ⊥于O ．解直角三角形求出OD 即可解决问题．（2）作DF ⊥l 于F ，CP DF ⊥P ，BG DF ⊥于G ，CH BG ⊥于H ．则四边形PCHG 是矩形，求出DF ，再求出DF DE −即可解决问题．【小问1详解】如图2中，作BO DE ⊥于O ．∵90OEA BOE BAE ∠=∠=∠=°，∴四边形ABOE 是矩形，∴90OBA ∠=°，∴1509060DBO °−°∠==°，∴)sin 60cm ODBD =⋅°=，∴()539.6cm DE OD OE OD AB =+=+=+≈．【小问2详解】作DF ⊥l 于F ，CP DF ⊥于P ，BG DF ⊥于G ，CH BG ⊥于H ．则四边形PCHG 是矩形，∵6090CBH CHB ∠=°∠=°,，∴30BCH ∠=°，∵165BCD ∠=°，∴45DCP ∠=°， )sin 60cm CH BC ∴=⋅°=，)sin 45cm DPCD =⋅°=， ∴DF DP PG GF DP CH AB =++=++()()5cm =++，∴下降高度：55DE DF −=+−−− ()3.2cm =−≈．20. 如图，在ABC 中，90C ∠=°，O 是AB 上一点，以OA 为半径的O 与BC 相切于点D ，与AB 相交于点E ．（1）求证：AD 是BAC ∠的平分线；（2）若2BE =，4BD =，求AE 的长．【答案】（1）见解析 （2）6【解析】【分析】（1）根据切线的性质得OD BC ⊥，再由90C ∠=°，得OD AC ∥，由平行线的性质得ODA DAC ∠=∠，又因为等腰三角形得ODA OAD ∠=∠，等量代换即可得证；（2）在Rt BOD 中222BD OD BO +=，由勾股定理即可求半径．【小问1详解】证明：连接OD ；∵O 与BC 相切于点D∴OD BC ⊥∴90ODB ∠=°∵90C ∠=°，∴ODB C ∠=∠∴OD AC ∥∴ODA DAC ∠=∠∵OD OA =∴ODA OAD ∠=∠∴OAD DAC ∠=∠∴AD 是BAC ∠的平分线；【小问2详解】解：∵90C ∠=°∴在Rt BOD 中222BD OD BO +=；∵2BE =，4BD =，设圆的半径为r ，∴()22242r r +=+解得3r =：，∴圆的半径为3∴6AE =．【点睛】本题考查了切线的性质、角平分线的性质、勾股定理，熟悉角平分线的定义与性质是解决本题的关键．21. 如图，BC 是O 的直径，点A 在O 上，OD AC ⊥于点G ，交O 于点D ，过点D 作EF AB ⊥，分别交BA ，BC 的延长线于点E ，F ．（1）求证：EF 是O 的切线；（2）若2AE =，4tan 3B =，求O 的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5【解析】【分析】（1）由BC 是O 的直径，点A 在O 上，可得90BAC ∠=°，证明EF AC ∥，则OD EF ⊥，进而结论得证；（2）证明四边形AGDE 是矩形，则2DG AE ==，由OD AB ∥，可得tan tan COG B ∠=∠，即43CG OG =，设4CG a =，则3OG a =，勾股定理得，5OC a =，由OG DG OD +=，可得325a a +=，解得1a =，则5OC =，进而可得结果．【小问1详解】证明：∵BC 是O 的直径，点A 在O 上，∴90BAC ∠=°，即AC AB ⊥，∵EF AB ⊥，∴EF AC ∥，∵OD AC ⊥，∴OD EF ⊥，又∵OD 是半径，∴EF 是O 的切线；【小问2详解】解：∵90BAC ∠=°，EF AB ⊥，OD EF ⊥， ∴四边形AGDE 是矩形， ∴2DG AE ==，∵OD AC ⊥，AC AB ⊥， ∴OD AB ∥， ∴COG B ∠=∠， ∴tan tan COG B ∠=∠，即43CG OG =， 设4CG a =，则3OG a =，由勾股定理得，5OC a =，∵OG DG OD +=， ∴325a a +=，解得1a =， ∴5OC =， ∴O 的半径为5．【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，正切，矩形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．22. （1）【探究发现】如图①所示，在正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，将AEB △沿BE 翻折到BEF △处，延长EF 交CD 边于G 点．求证：BFG BCG △≌△（2）【类比迁移】如图②，在矩形ABCD 中，E 为AD 边上一点，且8,6,AD AB ==将AEB △沿BE 翻折到BEF △处，延长EF 交BC 边于点,G 延长BF 交CD 边于点,H 且,FH CH =求AE 的长．（3）【拓展应用】如图③，在菱形ABCD 中，6AB =，E 为CD 边上的三等分点，60,D ∠=°将ADE 沿AE 翻折得到AFE △，直线EF 交BC 于点,P 求CP 的长．【答案】（1）见解析；（2）92；（）CP 的长为32或65【解析】【分析】（1）根据将AEB ∆沿BE 翻折到∆BEF 处，四边形ABCD 是正方形，得AB BF =，90BFE A ∠=∠=°，即得90BFG C ∠=°=∠，可证()Rt BFG Rt BCG HL ≌；（2）延长BH ，AD 交于Q ，设FH HC x ==，在Rt BCH 中，有2228(6)x x +=+，得73x =，113DH DC HC =−=，由BFG BCH ∆∆∽，得6778633BG FG=+，254BG =，74FG =，而//EQ GB ，//DQ CB ，可得BC CH DQ DH =，即783763DQ =−，887DQ =，设AE EF m ==，则8DE m =−，因EQ EF BG FG =，有144725744m m −=，即解得AE 的长为92；（3）分两种情况：（Ⅰ）当123DE DC ==时，延长FE 交AD 于Q ，过Q 作QH CD ⊥于H ，设DQ x =，QE y =，则6AQ x =−，2CP x =，由AE 是AQF ∆的角平分线，有662x y−=①，在Rt ΔHQE中，2221(1))2x y −+=②，可解得34x =，322CPx ==； （Ⅱ）当123CE DC ==时，延长FE 交AD 延长线于Q ′，过D 作DN AB ⊥交BA 延长线于N ，同理解得125x =，65CP =．【详解】证明：（1） 将AEB ∆沿BE 翻折到∆BEF 处，四边形ABCD 是正方形，AB BF ∴=，90BFE A ∠=∠=°， 90BFG C ∴∠=°=∠，AB BC BF == ，BG BG =，()Rt BFG Rt BCG HL ∴ ≌；（2）解：延长BH ，AD 交于Q ，如图：设FH HC x ==，在Rt BCH 中，222BC CH BH +=，2228(6)x x ∴+=+，解得73x =， 113DH DC HC ∴=−=， 90BFG BCH ∠=∠=° ，HBC FBG ∠=∠，BFG BCH ∴∆∆∽，∴BF BG FG BC BH HC==，即6778633BG FG =+，254BG ∴=，74FG =，//EQ GB ，//DQ CB ，EFQ GFB ∴∆∆∽，DHQ CHB ∆∆∽，∴BC CH DQ DH =，即783763DQ =−， 887DQ ∴=，设AE EF m ==，则8DE m =−， 88144877EQ DE DQ m m ∴=+=−+=−， EFQ GFB ∆∆ ∽，∴EQ EF BG FG=，即144725744m m−=， 解得92m =，AE ∴的长为92；（3）（Ⅰ）当123DE DC ==时，延长FE 交AD 于Q ，过Q 作QH CD ⊥于H ，如图：设DQ x =，QE y =，则6AQ x =−， //CP DQ ，CPE QDE ∴∆∆∽，∴2CP CEDQ DE ==， 2CP x ∴=，ADE ∆ 沿AE 翻折得到AFE ∆，2EF DE ∴==，6AF AD ==，QAE FAE ∠=∠， AE ∴是AQF ∆的角平分线，∴AQ QEAF EF=，即662x y −=①， 60D ∠=° ，1122DH DQ x ∴==，122HE DE DH x =−=−，HQx =， 在Rt HQE △中，222HE HQ EQ +=，2221(1))2x y ∴−+=②， 联立①②可解得34x =， 322CP x ∴==； （Ⅱ）当123CE DC ==时，延长FE 交AD 延长线于Q ′，过D 作DN AB ⊥交BA 延长线于N ，如图：同理Q AE EAF ′∠=∠， ∴AQ Q EAF EF ′′=，即664x y +=，由222HQ HD Q D ′′+=得：2221)(4)2x y ++=， 可解得125x =， 1625CP x ∴==， 综上所述，CP 的长为32或65．【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，三角形角平分线的性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是方程思想的应用．23. 如图，在平面直角坐标系中，经过点()4,0A 的直线AB 与y 轴交于点()0,4B ．经过原点O 的抛物线2y x bx c =−++交直线AB 于点A ，C ，抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线2y x bx c =−++的表达式；（2）M 是线段AB 上一点，N 是抛物线上一点，当MN y ∥轴且2MN =时，求点M 的坐标；（3）P 是抛物线上一动点，Q 是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）24y x x =−+（2）或()2,2或()3,1（3）存在，()5,1或()4,2−−或或【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)求出直线AB 的表达式为4y x =−+，设(),4M t t −+，()2,4N t t t −+，分当M 在N 点上方时，()2244542MN t t t t t =−+−−+=−+=．和当M 在N 点下方时，()2244542MN t t t t t =−+−−+=−+−=，即可求出M 的坐标；（3）画出图形，分AC 是四边形的边和AC 是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案． 【小问1详解】解：∵抛物线2y x bx c =−++过点()4,0A ，()0,0O∴16400.b c c −++= = ，解得40b c = =，∴抛物线的表达式为24y x x =−+． 【小问2详解】设直线AB 的解析式为：y kx b =+′， ∵直线AB 经过()4,0A ，()0,4B ，∴404k b b +′=′= ，∴14k b =− ′=， ∴直线AB 的表达式为4y x =−+．∵MN y ∥轴，可设(),4M t t −+，()2,4N t t t −+，其中04t ≤≤．当M 在N 点上方时，()2244542MN t t t t t =−+−−+=−+=．解得1t =，2t =（舍去）．∴1M ． 当M 在N 点下方时， ()2244542MN t t t t t =−+−−+=−+−=．解得32t =，43t =． ∴()22,2M ，()33,1M ．综上所述，满足条件的点M 的坐标有三个，()2,2，()3,1．【小问3详解】存在．满足条件的点Q 的坐标有4个．()5,1，()4,2−−，，． 理由如下：①如图，若AC 是四边形的边．当2x =时，242y =−+= ∴拋物线的对称轴与直线AB 相交于点()2,2R ． 过点C ，A 分别作直线AB 的垂线交抛物线于点1P ，2P ， ∵()1,3C ，()2,4D ，∴CD =，CR =2RD =．∵2222+=，∴222CD CR DR +=． ∴90RCD ∠=°． ∴点1P 与点D 重合．当1111CP AQ CP AQ =∥，时，四边形11ACPQ 是矩形． ∵()1,3C 向右平移1个单位，向上平移1个单位得到()12,4P ． ∴()4,0A 向右平移1个单位，向上平移1个单位得到()15,1Q ． 此时直线1PC 的解析式为2y x =+． ∵直线2P A 与1PC 平行且过点()4,0A ， ∴直线2P A 的解析式为4y x =−．∵点2P 是直线4y x =−与拋物线24y x x =−+的交点， ∴244x x x −+=−．解得11x =−，24x =（舍去）． ∴()21,5P −−．当2222AC P Q AC P Q ，∥=时，四边形22ACQ P 是矩形． ∵()4,0A 向左平移3个单位，向上平移3个单位得到()1,3C ． ∴()21,5P −−向左平移3个单位，向上平移3个单位得到()24,2Q −−． ②如图，若AC 是四边形的对角线，当390APC ∠=°时．过点3P 作3P H x ⊥轴，垂足为H ，过点C 作3CK P H ⊥，垂足为K ． 可得3390P KC AHP ∠=∠=°，33PCK AP H ∠=∠． ∴33PCK AP H ∽△△． ∴33P K AHCK P H=．∴2243414t t t t t t −+−−=−−+． ∵点P 不与点A ，C 重合， ∴1t ≠和4t ≠． ∴2310t t −+=．∴3,4t =．∴如图，满足条件的点P 有两个．即3P ，4P ．当3333PC AQ PC AQ ∥=，时，四边形33APCQ是矩形．∵3P ()1,3C ．∴()4,0A 3Q ． 当4444P C AQ P C AQ ∥=，时，四边形44AP CQ 是矩形．∵4P 个单位得到()1,3C ．∴()4,0A 个单位得到4Q ．综上，满足条件的点Q 的坐标为()5,1或()4,2−−或或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式、勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形、进行分类讨论是解题的关键．第31页/共31页。

2024年河南省中考二模数学试题(解析版)

2024年河南省中考二模数学试题(解析版)

2024年河南省初中第二次学业水平测试数学（A ）注意事项：1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．请用蓝、黑色水笔或圆珠笔直接答在答题卡上．2．答卷前将装订线内的项目填写清楚．一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内．1. 下列四个数中，最大的数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】本题考查实数的大小比较，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可．【详解】解：∵，∴，∴最大的数是，故选：A ．2. 国家统计局1月30日发布，2023年，全国规模以上文化及相关产业企业实现营业收入129515亿元，比上年增长，文化企业发展持续回升向好．其中数据“129515亿”用科学记数法可表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．【详解】解：，1-3-2-321>>>321-<-<<-1-8.2%140.12951510⨯131.2951510⨯121.2951510⨯812951510⨯10n a ⨯1||10a ≤<n a n 10n a ⨯1||10a ≤<n n a n 10≥n 1<n 1312951500000000 1.2951510=⨯3. 如图，是由10个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据三视图的画法，确定从正面看时每列正方形的个数，即可正确解答.【详解】从正面看易得第一列有3个正方形，第二列最下面一层有1个正方形，第三列有2个正方形，所以该几何体的主视图为选项A 所示图形.故选：A.【点睛】此题考查简单几何体的三视图.错因分析 容易题.失分的原因是：不会判断小正方体组合体的三视图.4. 下列运算正确的是（ ）A.B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】本题考查了二次根式的加法运算和乘法运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键．依次利用二次根式的加法，幂的乘方，同底数幂的乘法，二次根式的乘法运算进行化简即可．【详解】解：A不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意；B 、，故本选项符合题意；C 、，故本选项不符合题意；D 、，故本选项不符合题意．+=()5210x x =5630x x x ⋅==()5210x x =5611x x x ⋅=6a =5. 如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在B ′处，若∠1=∠2=44°，则∠B 为（ ）A. 66°B. 104°C. 114°D. 124°【答案】C 【解析】【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC =∠ACD =∠B′AC=∠1，再根据三角形内角和定理可得.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ACD =∠BAC ，由折叠的性质得：∠BAC =∠B′AC ，∴∠BAC =∠ACD =∠B′AC =∠1=22°，∴∠B =180°-∠2-∠BAC =180°-44°-22°=114°，故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC 的度数是解决问题的关键．6. 甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩（单位：环）统计如下表：甲乙丙丁平均数9.69.59.59.6方差0.270.250.270.25如果从这四人中选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应该选（ ）A 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】D.1212【分析】本题考查平均数和方差，根据平均数越大，方差越小则成绩越好且状态越稳定求解即可．【详解】解：根据表格数据，甲和丁成绩的平均数为9.6，均高于乙和丙，说明甲和丁的成绩较好；又甲成绩的方差是0.27，大于丁成绩的方差0.25，说明丁的成绩较稳定，综上，丁的成绩较好且状态稳定，故应该选丁，故选：D ．7. 下列方程中，无实数根的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根”是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式，可分别找出四个选项中方程的根的判别式△的值，取的选项即可得出结论．【详解】解：A 、，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；B 、，方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；C 、，方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；D 、，方程没有实数根，故本选项符合题意．故选：D ．8. 如图，正方形的对角线相交于点O ，点E 在边上，点F 在上，过点E 作，垂足为点G ，若，，，则的长为（ ）230x x +=2210x x +-=2210x x ++=230x x -+=0∆>Δ0=Δ0<24b ac ∆=-Δ0< 2341090∆=-⨯⨯=>∴230x x += 2241(1)80∆=-⨯⨯-=>∴2210x x +-= 224110∆=-⨯⨯=∴2210x x ++= 2(1)413110∆=--⨯⨯=-<∴230x x -+=ABCD AB OD EG BD ⊥FE FC =EF FC ⊥3OF =BEA. 3B.C.D. 【答案】B 【解析】【分析】证明，可得，再利用等腰直角三角形即可解决问题．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．9. 河南是中原粮仓，粮食的水分含量是评价粮食品质的重要指标，粮食水分检测对粮食的收购、运输、储存等都具有十分重要的意义．其中，电阻式粮食水分测量仪的内部电路如图甲所示，将粮食放在湿敏电阻上，使的阻值发生变化，其阻值随粮食水分含量的变化关系如图乙所示．观察图象，下列说法不正确的是（ ）()ASA EFG CFO ≌3EG OF ==ABCD AC BD ⊥=45ABC ∠︒EF CF ⊥90COF EFC ∠=∠=︒90EFG CFO FCO ∠=︒-∠=∠EG BD ⊥90EGF FOC ∠=∠=︒EFG FCO 90EGF FOC EFG FCO FE CF ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ASA EFG CFO ≌3EG OF ==45ABD ∠=︒EBG BE ==EFG CFO ≌1R 1RA. 当没有粮食放置时，的阻值为B.的阻值随着粮食水分含量的增大而减小C. 该装置能检测的粮食水分含量的最大值是D. 湿敏电阻与粮食水分含量之间是反比例关系【答案】D 【解析】【分析】本题考查了物理与数学的跨学科综合，成反比例关系的概念，从函数图象获取信息，是解题的关键．根据图象对每一个选项逐一判断即可．【详解】解：A 、当没有粮食放置时，即水分含量为0，由图象可知的阻值为，故本选项不符合题意；B 、由图象可知，的阻值随着粮食水分含量的增大而减小，故本选项不符合题意；C 、由图象可知，该装置能检测的粮食水分含量的最大值是，故本选项不符合题意；D 、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于0的常数，那么就说这两个变量成反比例，从图象中得到当水分含量为0时，的阻值为，此时这水分含量的阻值为0，不符合成反比例关系的定义，故本选项符合题意．故选：D ．10. 如图，平面直角坐标系中，的顶点O 为原点，，，分别以A ，B 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于P ，Q 两点，作直线，交于点C，交y 轴于点D ，交x 轴于点E ，点M 从点A 出发，沿x 轴负方向以每秒N 从点O 出发，沿以每秒1个单位长度的速度运动，当时，点M 的坐标为（ ）1R 40Ω1R 12.5%1R 1R 40Ω1R 12.5%1R 40Ω⨯1R Rt OAB )A()0,1B 12AB PQ AB OB MN CD ∥A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】本题考查了锐角三角函数，平行线的性质，线段的垂直平分线，熟练掌握知识点是解题的关键．先求出，再根据互余关系及平行关系得到，继而设运动时间为t ，则，由得，求出时间t ，即可求得坐标．【详解】解：如图所示，∵，，∴，∴在中，∴，由题意得垂直平分，∴，∴，⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭30A ∠=︒30MNO ODE ∠=∠=︒OM =ON t =ON =t =)A()0,1B 1OA OB ==Rt OAB tan OB BAO OA ∠==30A ∠=︒CD AB 90A CEA ODE OED ∠+∠=∠+∠=︒30A ODE ∠=∠=︒∵，∴，由得，设运动时间为t ，则，∴，解得：，∴∴，故选：B ．二、填空题（每小题3分，共15分）11. 原价为m 元的商品，现打八折销售，售价为___元．【答案】0.8m 【解析】【分析】现价=原价×打折，从而可列出代数式．【详解】解：根据题意得：m •0.8=0.8m ．故答案为：0.8m ．【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是知道现价=原价×打折．12. 不等式组的最大整数解是________．【答案】3【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，最后求出最大整数解即可．详解】解：由，得：；由，得：，∴不等式组的解集为：；∴最大整数解是3；故答案为：3．【MN CD ∥30MNO ODE ∠=∠=︒tan 30OMON︒=ON =OM =ON t =t =35t =OM ==M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭20260x x +>⎧⎨-≤⎩20x +>2x >-260x -≤3x ≤23x -<≤【点睛】本题主要考查了求不等式组的解集及其最大整数解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．13. 春节前夕，哈尔滨旅游市场火爆全国，河南文旅局也及时调整政策，吸引全国游客入豫观光旅游．小明想在清明上河园、龙门石窟、云台山和商丘芒砀山四个旅游景点中选择两个去旅游，则他刚好选到“清明上河园”和“龙门石窟”的概率是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A 结果数目，然后利用概率公式求出事件A 的概率．用A 、B 、C 、D 分别表示清明上河园、龙门石窟、云台山和商丘芒砀山四个旅游景点，画树状图表示出所有的等可能结果，再找出选到A 、B 的结果数，用概率公式即可求解．【详解】解：用A 、B、C 、D 分别表示清明上河园、龙门石窟、云台山和商丘芒砀山四个旅游景点，画树状图为：共有12种等可能的结果，其中选到A 、B 的结果数为2，∴他刚好选到“清明上河园”和“龙门石窟”的概率是，故答案：．14. 如图，在中，，，，以的中点O 为圆心，的长为半径作半圆交于点D ，再以点B 为圆心，以的长为半径作，交半圆于点D ，交于点E ，则图中阴影部分的周长为______．为1621126=16Rt ABC △90ABC ∠=︒6AB =BC =AB OA AC OB DEBC【答案】【解析】【分析】本题考查弧长公式、等边三角形的判定与性质，先证明是等边三角形，则，进而求得，，然后利用弧长公式求解即可．【详解】解：连接、，由题意知，，∴是等边三角形，∴，∵在中，，，∴，，∴图中阴影部分的周长为，故答案为：．15. 如图，中，，，点P 为边上不与端点重合的一个动点，点P 关于的对称点为点Q ，连接，射线与射线交于点M ，当为直角三角形时，的长为______．【答案】或##或【解析】【分析】本题考查了直角三角形的分类讨论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，轴对称图形的性质，3π32+BOD 60BOD OBD ∠=∠=︒30DBE ∠=︒3OBBD BE ===OD BD BE BD OB OD OA ====BOD 60BOD OBD ∠=∠=︒Rt ABC △90ABC ∠=︒6AB =906030DBE Ð=°-°=°3OB BD BE ===60π330π333π31801802⨯⨯++=+3π32+ABC 45A ∠=︒2AB AC ==AB BC CQ CP QB CQM BM 2-2-相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．①当时，过点P 作交于点F ，即，先证明出，则设，那么，解得，先通过三角形内角和定理和轴对称的性质证出，那么可证明，再利用对应边成比例即可求解；②当，可得为等腰直角三角形，解即可．【详解】解：①当时，过点P 作交于点F ，即，∵，，∴，∵P 关于的对称点为点Q ，∴，∴，，∵，，∴，则为等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴，设，则，，解得，∴ 90MCQ ∠=︒PF AP ⊥AC 90APF ∠=︒FPFC =FP FC AP x ===AF =2x +=2x =AC BM ∥APC BPM △∽△90Q ∠=︒PMB △PMB △90MCQ ∠=︒PF AP ⊥AC 90APF ∠=︒2AB AC ==45A ∠=︒1804567.52ACB ABC ︒-︒∠=∠==︒BC 45PCB QCB ∠=∠=︒67.5PBC QBC ∠=∠=︒67.54522.5PCF ∠=︒-︒=︒18067.567.545PBM ∠=︒-︒-︒=︒90APF ∠=︒45A ∠=︒45AFP ∠=︒FPA V AFP ACP FPC ∠=∠+∠4522.522.5FPC ∠=︒-︒=︒FPC PCF ∠=∠FP FC =FP FC AP x ===AF =2x +=2x =()224BP =--=-∵，∴，∴，∴，∴，解得：；②当，如图，∵P 关于的对称点为点Q，∴，由①得，∴，∴，∴，在中，，∴，∴在中，，综上所述，或，故答案为：．三、解答题（本大题8个小题，共75分）16. （145A PBM ∠=∠=︒AC BM ∥APC BPM △∽△BM BP AC AP=2BM =BM =90Q ∠=︒BC 90BPC Q BPM ∠=∠=∠=︒45PBM ∠=︒45M ∠=︒M PBM ∠=∠PB PM =Rt PAC △cos 45AP AC =⋅︒=2BP =Rt PBM △2sin PB BM M==-BM =2=BM 2-()0133π---+（2）化简：【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据立方根，零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算进行计算即可；（2）根据分式的混合运算进行求解即可．【详解】（1（2）解：【点睛】本题考查了立方根，零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算，分式的混合运算等，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．17. 某校举行了“校园安全周”活动，并根据防火防溺水安全知识对全体学生进行了测试，校团委从八（1）班和八（2）班各随机抽取10份试卷进行统计分析，根据以下数据，请解决以下问题：收集数据：八（1）班 80 74 83 63 90 91 74 61 82 62八（2）班 74 61 83 91 60 85 46 84 74 82注：满分100分，90分及以上为优秀，80~89分为良好，60~79分为及格，59分及以下为不及格．（1）整理数据：等级频数年级优秀良好及格不及格八（1）班23a 0八（2）班1441()22111x x x +⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭1331x x +()0133π---+1413=-+133=()22111x x x +⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭()2211x x x x +=⨯+1xx =+表中______．（2）分析数据：年级平均数众数中位数八（1）班b c 77八（2）班7474d表中______；______；______．（3）描述数据：①若该校八年级共600人，其中八（1）班和八（2）班各有50人，请估计八（1）班和八（2）以及整个八年级本次测试达到优秀的人数；②结合上述数据信息，你认为八（1）班和八（2）班中哪个班学生本次测试的成绩更好？并说明理由．【答案】（1）5 （2）76，74，78（3）①估计八（1）班本次测试达到优秀的人数约有10人，八（2）班本次测试达到优秀的人数约有5人，整个八年级本次测试达到优秀的人数约有90人；②八（1）班学生本次测试的成绩更好，理由见详解．【解析】【分析】本题考查众数、平均数及中位数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握知识点．（1）根据收集的数据求解即可；（2）根据众数、平均数及中位数的定义求解即可；（3）①用总人数乘以样本中七、八年级成绩合格的人数和所占比例即可；②比较平均数、优秀率，即可求解．【小问1详解】解：由表可知，八（1）班及格的人数为5，故答案为：5；【小问2详解】解：八（1）班的平均数；由表格知74出现了两次，因此八（1）班的众数；将八（2）班成绩从小到大排列46 60 61 74 74 82 83 84 85 91，因此八（2）班的中位数，=a b =c =d =1(80748363909174618262)7610b =⨯+++++++++=74c =7482782d +==故答案为：76，74，78；【小问3详解】解：①八（1）班本次测试达到优秀的人数约有（人，八（2）班本次测试达到优秀的人数约有（人，整个八年级本次测试达到优秀的人数约有（人；②八（1）班学生本次测试的成绩更好，理由：因为八（1）班的平均成绩高于八（2）班，八（1）班的优秀率高于八（2）班，所以八（1）班学生本次测试的成绩更好．18. 如图，矩形的顶点均在格点（网格线的交点）上，双曲线经过格点B ．（1）求双曲线的解析式；（2）经过点B 的直线将矩形分为面积比为的两部分，求该直线的解析式．【答案】（1） （2）或【解析】【分析】此题考查了矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式．（1将点代入求解即可；（2）分为过点B 的直线与线段相交和过点B 的直线与线段相交，根据三角形的面积分两种情况求出交点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式即可．【小问1详解】解：根据题意得：，，，2501010⨯=)150510⨯=)36009020⨯=)OABC ()0k y x x=>()0k y x x=>y ax b =+OABC 1:2()180y x x=>3342y x =-113y x =+()6,3B ()0k y x x=>OA OC ()6,3B 36k ∴=18k ∴=双曲线的解析式为：；【小问2详解】解：如图，当过点B 的直线与线段相交时，设交点为F ，，由题意得：，∵矩形的面积分成的两部分，∴为或，∵，∴①若，解得：，，，此时点F 的坐标为，∴当时，解得：，此时直线的解析式为，②若，解得：，，此时，过点B 的直线与线段没有交点，如图，当过点B 的直线与线段相交时，设交点为F ，∴()180y x x=>OA 6318ABCD S =⨯=矩形OABC 1:2ABF S △11863⨯=218123⨯=()6,3B 1263AF ⨯=4AF =6OA = 642OF ∴=-=()2,0()()6,3,2,0B F 3602a b a b=+⎧⎨=+⎩3432a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3342y x =-21132AF ⨯=8AF =68OA =< ∴OA OC∵矩形的面积分成的两部分，∴为或，∵，∴①若，解得：，，，此时点F 的坐标为，∴当时，解得：，此时直线的解析式为，②若，解得：，，此时，过点B 的直线与线段没有交点，综上，此时直线的解析式为或．19. 在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量学校旁边的一座古塔的高度，同学们设计了两个测量方案如下：课题测量古塔的高度测量工具测角仪，1.5m 标杆，皮尺等测量小组第一组第二组OABC 1:2BCF S 11863⨯=218123⨯=()6,3B 1266CF ⨯=2CF =3OC = 321OF ∴=-=()0,1()()6,3,0,1B F 361a b b=+⎧⎨=⎩131a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩113y x =+21162CF ⨯=4CF =34OC =< ∴OC 3342y x =-113y x =+()AB测量方案示意图说明点C 、E 、B 在同一直线上，、为标杆为古塔旁边的两层小楼测量数据从点D 处测得A 点的仰角为，从点F 处测得A 点的仰角为，＝10m 从点D 处测得A 点的仰角为，＝10m（1）根据以上数据请你判断，第______小组无法测量出古塔的高度？原因是____________；（2）请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出古塔的高度．（精确到0.1m ，参考数据：，，）【答案】（1）二；没有测量的长度；（2）古塔的高度为24.8m ．【解析】【分析】（1）第二组没有测量有关线段长度；（2）根据第一组的测量数据，延长交于点，可得是等腰直角三角形，得，在中，由锐角三角函数定义求解即可．【小问1详解】第二组的数据无法算出大楼高度，理由如下：第二小组测量了从点D 处测得A 点的仰角为，＝10m ，没有测量的长度，无法算出大楼高度．故答案为：二；没有测量的长度；【小问2详解】根据第一组测量的数据，CD EF CD 35︒45︒CE 35︒CD sin 350.57︒≈cos350.82︒≈tan 350.70︒≈BC DF AB G AFG AG FG =Rt ADG 35︒CD BC BC过点D 作交于点G ，m ，点F 在上，则m ，在中，,是等腰直角三角形，，设m ，则在中，m ，m ，，，解得：m ，m ．故答案为：此古塔的高度为24.8m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题中仰角问题，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握仰角俯角定义，根据锐角三角函数解决实际问题．20. 开学初，某校准备购进一批白色无尘粉笔和彩色无尘粉笔用于教学，经市场调研，一箱彩色无尘粉笔的价格是一箱白色无尘粉笔价格的1.5倍，若花费9000元，则购买的白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔多50箱．（1）求该校购买这两种无尘粉笔的单价；（2）该校计划购买这两种无尘粉笔共300箱，根据实际情况，其中彩色无尘粉笔的购买数量不少于50箱，且彩色无尘粉笔数量不超过白色无尘粉笔的，由于该校订购数量较多，厂家决定给予优惠，彩色无尘粉笔的价格在打七折的基础上再降低m 元（），求该校购买这两种无尘粉笔的总费用最低时m 的值．DG AB ⊥AB 1.5CD EF == ∴DG 1.5BG =Rt AGF 45AFG ∠=︒AGF ∴V AG FG ∴==AG FG x =Rt AGD AG x =()10DG DF FG x =+=+tan tan 350.70AG ADG DG∴∠==︒≈0.7010x x∴≈+23.3x ≈23.3 1.524.8AB AG BG ∴=+=+=1315m ≤≤【答案】（1）一箱白色无尘粉笔价格是60元，一箱彩色无尘粉笔的价格是90元；（2）当时，购买这两种无尘粉笔的最低费用为17850元【解析】【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，理解题意，正确列出方程和函数关系式是解答的关键．（1）设一箱白色无尘粉笔价格是x 元，则一箱彩色无尘粉笔的价格是元，根据购买的白色无尘粉笔比彩色无尘粉笔多50箱列方程求解即可；（2）设购买彩色无尘粉笔a 箱，购买这两种无尘粉笔的总费用W 元，根据题意求得a 的取值范围和W 关于a 的一次函数关系式，根据一次函数的性质分、、分别求解即可．【小问1详解】解：设一箱白色无尘粉笔价格是x 元，则一箱彩色无尘粉笔的价格是元，根据题意，得，解得，经检验，是所列方程的解，，答：一箱白色无尘粉笔价格是60元，一箱彩色无尘粉笔的价格是90元；【小问2详解】解：设购买彩色无尘粉笔a 箱，则购买白色无尘粉笔箱，根据题意，得，解得，设该校购买这两种无尘粉笔总费用W 元，则，当时，W 随a 的增大而增大，∴当时，W 最小，最小值为；当时，；当时，W 随a 的增大而减小，∴当时，W 最小，最小值为；∴当时，W 最小，购买这两种无尘粉笔的最低费用为17850元．的5m = 1.5x 13m ≤<3m =35m <≤1.5x 90009000501.5x x-=60x =60x =1.5 1.56090x =⨯=()300a -()5013003a a a ≥⎧⎪⎨≤-⎪⎩5075a ≤≤()()()60300900.7318000W a m a m a =-+⨯-=-+13m ≤<50a =()35018000181505018000m m -⨯+=->3m =18000W =35m <≤75a =()37518000182257517850m m -⨯+=-≥5m =21. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品．欧几里得使用了公理化的方法，这一方法后来成了建立任何知识体系的典范，在差不多二千年间，被奉为必须遵守的严密思维的范例．这本著作是欧几里得几何的基础，在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍．小明在研究《几何原本》时，对定理4.2展开分析研讨：定理4.2 在一个已知圆内作一个与已知三角形等角的内接三角形．原书作法如下：如图1，为已知三角形，为已知圆，过上一点P 作的切线，作，交于点F ，作，交于点E ，连接，即为所求．小明准备将原命题证明并进行拓展研究，请分析并帮助小明完成．（1）已知：直线切于点P ，点E ，F 为上一点，若______，求证：____________．请将已知和求证补充完整并证明．（2）若，，，求的半径．【答案】（1），，，证明过程见解析（2）【解析】【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相关几何结论是解题关键.（1）连接并延长交于点，连接，根据、即可求证；（2）连接交于点，连接，根据可得；根据题意推出即可求解．ABC O O O MN FPM ABC ∠=∠O EPN ACB ∠=∠O EF PEF !MN O O 5AB AC ==8BC =16EF =O FPM ABC ∠=∠EPN ACB ∠=∠ABC PEF ∽!253PO O Q ,QE QF 90PFQ PFE EFQ ∠=∠+∠=︒90QPN EPN EPQ ∠=∠+∠=︒PO EF D OE ABC PEF ∽!10PE PF ==1,82PD EF ED FD EF ⊥===【小问1详解】证明：连接并延长交于点，连接，如图所示：由题意得：∵为的直径∴∵∴∵∴同理可得∴【小问2详解】解：连接交于点，连接，如图所示：则∵，∴∵，，，∴由题意得：∵PO O Q ,QE QF 90QPN EPN EPQ ∠=∠+∠=︒PQ O 90PFQ PFE EFQ ∠=∠+∠=︒EPQ EFQ∠=∠EPN PFE∠=∠EPN ACB∠=∠PFE ACB∠=∠PEF ABC∠=∠ABC PEF∽!PO EF D OE 90OPM OPN ∠=∠=︒ABC PEF ∽!:::AB PE AC PF BC EF==5AB AC ==8BC =16EF =10PE PF ==EPN FPM∠=∠90OPM OPN ∠=∠=︒∴∴∴设的半径为，在中：，解得：22. 如图，矩形中，，，抛物线顶点为M ．（1）若抛物线对称轴左侧部分图象交y 轴于点．①求此时抛物线的表达式；②设直线的解析式为，求当时x 的取值范围．（2）若矩形的边与抛物线恰好有2个交点，直接写出此时m 的取值范围．【答案】（1）①；②（2【解析】【分析】（1）把代入解方程即可；（2）先求直线表达式，再与二次函数解析式联立，求出交点坐标，再根据函数图像确定的解集；（3）找到两个临界状态，经过点C 时，代入点C 坐标，求出此时的m 值，随着m 的增大，当经过点B 时，代入点B 坐标，求出此时的m 值即可．【小问1详解】解：①把代入得：，EPO FPO∠=∠1,82PD EF ED FD EF ⊥===6PD ==O r Rt ODE △()22286r r =+-253r =ABCO ()8,0A ()0,4C 22444y x mx m =--+()0,12AC y kx b =+22444x mx m kx b --+>+ABCO 2812y x x =-+x <x >4m ≤≤()0,1222444y x mx m =--+AC 22444x mx m kx b --+>+()0,1222444y x mx m =--+21244m =-+解得：或，由题意得，对称轴在y 轴右侧，∴，即，∴，∴抛物线的表达式为；②将，代入得：，解得：，∴直线表达式为：，联立，可得，解得：，∴的解集为：；【小问2详解】解：，∴抛物线开口方向不变，且顶点在直线上运动，而对称轴为直线，随着m 的增大，当抛物线经过点C 时，代入点得：，解得：或（舍），此时，∴此时抛物线与边有两个交点，当抛物线经过点B 时，代入点得：，2m =2m =-4202m m --=>0m >2m =2812y x x =-+()8,0A ()0,4Cy kx b=+804kb b +=⎧⎨=⎩124k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩AC 142y x =-+2142812y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-+⎩2215160x x -+=x =22444x mx m kx b --+>+x <x >()22244424y x mx m x m =--+=--4y =-2x m =()0,4C 2444m -=m =m =48m BC =<=BC ()8,4B ()28244m --=解得：，∴时，矩形的边与抛物线恰好有2个交点．【点睛】本题是一道二次函数综合题，待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，根据函数图像求不等式的解集，矩形的性质，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键．23. 中考前，复习完《四边形》后，刘老师给出一个问题情境让同学们探讨：问题情境：如图1，矩形中，，，点O 为对角线和的交点，点M 为上一个动点，连接并延长交于点N ．小明：我可以得出．理由：∵，∴．又∵，，∴，∴．请仔细阅读问题情境及小明的研讨，完成下述任务．任务：（1）小明得出的依据是______（填序号）．① ② ③ ④ ⑤小明得出的依据是______（填理由）．（2）如图2，将四边形沿方向平移得到四边形，当点与点M 重合时，由（1）可得点与点D 重合，求证：四边形是平行四边形．（3）①如图3，将四边形沿折叠，当点B 与点D 重合时，求的长．②如图4，当点M 在直线上运动时，若交于点P ，连接，将三角形沿折叠，点C 的对应点为点Q ，连接，当为直角三角形时，直接写出线段的长．【答案】（1）④；对顶角相等（2）证明见解析（3）①；②或【解析】【分析】（1）根据所给证明过程结合对顶角相等即可得到答案；4m =4m =4m ≤≤-ABCO ABCD AB =2BC =AC BD BC MO AD BM ND =AD BC ∥OBM ODN ∠=∠BO DO =BOM DON ∠=∠BOM DON ≌△△BM DN =BOM DON ≌△△SSS SAS AAS ASA HLBOM DON ∠=∠ABMN BC A B M N ''''B 'N 'B M DN ''ABMN MN BM BC MN CD BP BCP BP DQ PQD △DP 222DM CM CD =+DP =DP =（2）由平移的性质可得，再由，即可证明四边形是平行四边形；（3）①由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案；②如图所示，当点M 在延长线上时，可证明只存在这种情况，当点M 在延长线上时，可证明只存在这种情况，据此讨论求解即可．小问1详解】解：由证明过程可知，小明得出的依据是，其中小明得出的依据是对顶角相等，故答案为：④；对顶角相等；【小问2详解】证明：由平移的性质可得，又∵，∴四边形是平行四边形；【小问3详解】解：①∵四边形是矩形，∴，，由折叠的性质可得，设，则，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴；②如图所示，当点M 在延长线上时，由折叠的性质可得，，，，【B M DN ''=B M DN ''∥B M DN ''==CD AB 90C ∠=︒BM DM =BM DM x ==2CM x =-Rt CDM △()2222x x =-+BC 90PQD ∠=︒CB 90QDP ∠=︒BOM DON ≌△△ASA BOM DON ∠=∠B M DN ''=B M DN ''∥B M DN ''ABCD ==CD AB 90C ∠=︒BM DM =BM DM x ==2CM x =-Rt CDM △222DM CM CD =+()2222x x =-+74x =74BM =BC 12QP CP CD DP =<<QPB CPB =∠∠90BQP BCP ==︒∠∠2BQ BC ==∴点Q 不可能落在上，即，∵，∴，∴，∴当为直角三角形时，只存在这种情况，∴，∴三点共线，在中，由勾股定理得∴，在中，，∴在中，∴如图所示，当点M 在延长线上时，由折叠的性质可得，∴，∴，同理可得，∴当为直角三角形时，只存在这种情况，∴此时点Q 落在上，AD 90PQD ≠︒∠BC CP >45QPB CPB CBP =>>︒∠∠∠90QPD <︒∠PQD △90PQD ∠=︒180PQD PQB +=︒∠∠B Q D 、、Rt DBC △BD ==2DQ BD BQ =-=-Rt DBC △cos CD BDC BD ==∠Rt PDQ △cos DQ QDP DP ==∠DP =CB 12PQ PC CD DP =>>QDP DQP >∠∠90DQP <︒∠90DPQ <︒∠PQD △90QDP ∠=︒AD在中，由勾股定理得，∴，设，则，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴；综上所述，．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，平移的性质，平行四边形的判定等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．Rt ABQ1AQ ==1DQ =DP m =CP QP m ==-Rt PDQ △222QP DQ DP =+)2221m m =+m =DP =DP =DP =。

2024届重庆市重点中学中考二模数学试题含解析

2024届重庆市重点中学中考二模数学试题含解析

2024届重庆市重点中学中考二模数学试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．抛物线y＝3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（）A．（﹣2，5）B．（﹣2，﹣5）C．（2，5）D．（2，﹣5）2．如果m的倒数是﹣1，那么m2018等于（）A．1 B．﹣1 C．2018 D．﹣20183．下列图案是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．关于x的方程x2﹣3x+k＝0的一个根是2，则常数k的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣25．从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（）A ．16B．13C．12D．236．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（）．A．50°B．40°C．30°D．25°7．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺，问木长几何。

”大致意思是：“用一根绳子去量一根木条，绳长剩余4.5尺，将绳子对折再量木条，木条剩余一尺，问木条长多少尺”，设绳子长x尺，木条长y尺，根据题意所列方程组正确的是（）A．4.5112x yy x-=⎧⎪⎨-=⎪⎩B．4.5112x yy x+=⎧⎪⎨-=⎪⎩C．4.5112x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩D．4.5112x yx y-=⎧⎪⎨-=⎪⎩8．已知点M (－2，3 )在双曲线上，则下列一定在该双曲线上的是（）A．(3，-2 ) B．(-2，-3 ) C．(2，3 ) D．(3，2)9．在,90ABC C ∆∠=中,2AC BC =，则tan A 的值为（ ） A ．12B ．2C ．55D ．25510．某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米B ．米C ．米D ．米二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．一组数：2，1，3，x ，7，y ，23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a 、b ，紧随其后的数就是2a b -”，例如这组数中的第三个数“3”是由“221⨯-”得到的，那么这组数中y 表示的数为______. 12．若a:b=1:3，b:c=2:5，则a:c=_____.13．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与这三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，23=AB BC ，DE=6，则EF= ．14．抛物线y=（x ﹣3）2+1的顶点坐标是____．15．科学家发现，距离地球2540000光年之遥的仙女星系正在向银河系靠近．其中2540000用科学记数法表示为_____． 16．如图，矩形ABCD 中，AB=2AD ，点A(0，1)，点C 、D 在反比例函数y=kx(k ＞0)的图象上，AB 与x 轴的正半轴相交于点E ，若E 为AB 的中点，则k 的值为_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）徐州至北京的高铁里程约为700km ，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A 与“复兴号”高铁B 前往北京．已知A 车的平均速度比B 车的平均速度慢80km/h ，A 车的行驶时间比B 车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少？18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x ＋4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线y=－x 2＋bx ＋c 经过A 、B 两点，并与x 轴交于另一点C （点C 点A 的右侧），点P 是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19．（8分）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD．∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系. 图1 图2 图3(1)思路梳理将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合.由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线. 易证△AFG ，故EF，BE，DF之间的数量关系为；(2)类比引申如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF=12∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明.(3)联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°. 若BD=1，EC=2，则DE的长为.20．（8分）路边路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为2米，灯杆与灯柱BC成120 角，锥形灯罩的轴线AD 与灯杆AB垂直，且灯罩轴线AD正好通过道路路面的中心线（D在中心线上）.已知点C与点D之间的距离为12米，求灯柱BC的高.（结果保留根号）21．（8分）“低碳生活，绿色出行”是我们倡导的一种生活方式，有关部门抽样调查了某单位员工上下班的交通方式，绘制了如下统计图：（1）填空：样本中的总人数为；开私家车的人数m= ；扇形统计图中“骑自行车”所在扇形的圆心角为度；（2）补全条形统计图；（3）该单位共有2000人，积极践行这种生活方式，越来越多的人上下班由开私家车改为骑自行车．若步行，坐公交车上下班的人数保持不变，问原来开私家车的人中至少有多少人改为骑自行车，才能使骑自行车的人数不低于开私家车的人数？22．（10分）在“打造青山绿山，建设美丽中国”的活动中，某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A、B两种型号客车作为交通工具，下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：型号载客量租金单价A 30人/辆380元/辆B 20人/辆280元/辆注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数.（1）设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数解析式。

江苏省南通市如皋市、崇川区2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

江苏省南通市如皋市、崇川区2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

2024年初中毕业、升学模拟考试试卷数学试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项：1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟，考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、智学号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置．3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 在，，，四个数中，比大的数是（）A. B. C. D.【答案】D解：，，，，而，，即比大的数是；故选：D．2. 据报道，2024年4月26日05时04分，在轨执行任务的神舟十七号航天员乘组打开舱门，迎接神舟十八号航天员乘组入驻距离地表约米的中国空间站——“天宫”．数用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B解：，故选：B．3. 下列几何体中，三视图都是圆的是（）A. 圆柱B. 圆锥C. 球D. 正方体【答案】C解：由题意知，圆柱的三视图为圆和长方形，故A不符合要求；圆锥的三视图为带圆心的圆和三角形，故B不符合要求；球的三视图均为圆，故C符合要求；正方体的三视图均为正方形，故D不符合要求；故选：C．4. 下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】A解：A．，正确，故此选项符合题意；B．与不是同类项，无法合并，故此选项不符合题意；C．，故此选项不符合题意；D．∵，，∴，故此选项不符合题意；故选：A．5. 下列调查中，适宜全面调查的是（ ）A. 了解某班学生的视力情况B. 调查某批次汽车的抗撞击能力C. 调查某城市老年人2020年的日均锻炼时间D. 某鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数【答案】A解：．了解某班学生的视力情况，适合使用全面调查，因此选项符合题意；．调查某批次汽车的抗撞击能力，不可以使用全面调查，适用抽样调查，因此选项不符合题意；．调查某城市老年人2020年的日均锻炼时间，适用抽样调查，因此选项不符合题意；．某鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次，适用抽样调查，因此选项不符合题意；故选：A．6. 如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．，，，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】C解：由题意知，，，∵，∴，∴，故选：C．7. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，E在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高是（）A. B. C. D.【答案】B解：∵，，∴，∴，即，∴，故选：B．8. 已知，，将线段平移得到线段，其中，点A的对应点为点C，若，，则的值为（）A. B. 1 C. D. 5【答案】D解：与C对应，B与D对应，平移是向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，，；故选：D．9. 如图，在菱形中，，点P是上一点（不与端点重合），点A关于直线的对称点为E，连接，，则的度数为（）A. B. C. D.【答案】D解：连接，如图：由点A关于直线的对称点为E，得：，为等腰三角形，故，由菱形可得，，，，在四边形中，由内角和为得，，由，得，，，，即，故选：D．10. 定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且，是一对“互助数”．若，则p的值可以为（）A. B. 6 C. D. 3【答案】A首先根据题意得到，求出，由得到，然后代入，解不等式组求解即可．∵，是一对“互助数”∴去分母得，∵∴∴∵∴∴∴整理得，∴或∴或∴解得或但当时，，，不符合题意，所以或，∴p的值可以为．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分，不需写出解答过程，请把最终结果直接填写在答题卡相应位置上）11. 分解因式：3ax2+6axy+3ay2＝_____．【答案】3a（x+y）2．解：3ax2+6axy+3ay2＝3a（x2+2xy+y2）＝3a（x+y）2．故答案为3a（x+y）2．12. 若圆锥的母线为6，底面圆的半径为3，则此圆锥的侧面积为________．【答案】18π解：依题意知母线长=6，底面半径r=3，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×3×6=18π．故答案为：18π．13. 计算：________．【答案】0解：==0故答案为：0．14. 若a，b为连续整数，且，则____________．【答案】11解：，，，，，故答案为：11．15. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于，两点，画直线交于点，连接，则的度数为____________．【答案】解：∵分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于，两点，∴垂直平分，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案为：．16. 中国古代数学家杨辉的田亩比数乘除减法中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步”？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为平方步，它的宽比长少步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设长为步，则依题意列方程为______．【答案】根据矩形的长为x，宽为，利用矩形面积公式列方程即可．∵矩形长为x，宽比长少12，∴宽为，∵矩形面积为864，∴，故答案：．17. 如图，的顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上，点为边的中点，若反比例函数的图象经过点C，E，则与的关系为____________．【答案】解：∵中，，∴点和点纵坐标相同，∵点在反比例函数上，点在反比例函数上，设，则，∴，∴，∵点为边的中点，∴点坐标为，即，∵点在反比例函数上，∴，化简得，故答案为：．18. 如图，在四边形中，，，．作，垂足为点M，连接，若，则的最小值为____________．【答案】解：如图，过D作的平行线，过A作的平行线，两平行线交于点E，即，四边形是平行四边形；，四边形是矩形，，，；连接，则当点M与的交点重合时，最小，从而最小，且最小值为线段的长；过C作，交延长线于点F，则，四边形是矩形，，，；在中，由勾股定理得，最小值为．故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. （1）解不等式组：（2）化简求值：，其中．【答案】（1）；（2），解：（1）解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为；（2）解：原式，当时，原式．20. 如图，点A，F，C，D一条直线上，，，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）∵，，∴，．∵，∴．∴；【小问2】∵，∴．∴．即．∵，，∴．∴．∴．21. 移动支付由于快捷便利已成为大家平时生活中比较普遍的支付方式．某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式，甲、乙、丙三人在该商店购物时随机从这两种支付方式中选择一种支付．（1）甲选择“微信”支付的概率为____________；（2）求三人选择同一种支付方式的概率．【答案】（1）（2）【小问1】解：∵某商店有“微信”和“支付宝”两种移动支付方式，∴甲选择“微信”支付的概率为；【小问2】分别设“微信”和“支付宝”为A和B画树状图如下：∴一共有8种等可能得结果，其中三人选择同一种支付方式的结果有2种∴三人选择同一种支付方式的概率为．22. 某校举办“绿色低碳，美丽中国”主题作品展活动，五名评委对每组同学的参赛作品进行打分．对参加比赛的甲、乙、丙三个组参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．甲、乙两组参赛作品得分的折线图：b．在给丙组参赛作品打分时，三位评委给出的分数分别为85，92，95，其余两位评委给出的分数均高于85；c．甲、乙、丙三个组参赛作品得分的平均数与中位数：甲组乙组丙组平均分88m90中位数n9292根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：____________，____________；（2）若某组作品评委打分的5个数据的方差越小，则认为评委对该组作品的评价越“一致”．据此推断：对于甲、乙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是____________组（填“甲”或“乙”）；（3）该校现准备推荐一个小组的作品到区里参加比赛，你认为应该推荐哪个小组，请说明理由·【答案】（1）90，86（2）乙（3）推荐丙小组，理由见解析【小问1】乙组平均数，甲组得分按从小到大排列为82，83，86，94，95，故中位数，故答案为：90，86；【小问2】甲组方差为，乙组方差为，∴乙组方差更小，∴对于甲、乙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是乙组，故答案为：乙．【小问3】推荐丙小组；理由：乙、丙两组的平均分高于甲组，所以可以在乙组或丙组中选一组，而乙组与丙组的平均分与中位数及最高分都相同，但丙组的最低分更高，所以推荐丙组去．23. 如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为A，B，，垂足为E，交于点D，连接．（1）求证：；（2）若，，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）【小问1】解：∵与相切，∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴，∴，∴；【小问2】解：如图，连接，过点O作．∵，∴．∵，∴为等边三角形．∴，．∵．∴．∴．∵与相切，∴．∵，，∴四边形为矩形．∴，．∴，，．∴，∴阴影部分面积为．24. 为了满足市场需求，提高生产效率，某工厂决定购买10台甲、乙两种型号的机器人来搬运原材料，甲、乙两种型号的机器人的工作效率和价格如下表：型号甲乙效率（单位：千克/时）m每台价格（单位：万元）46已知甲型机器人搬运500千克所用时间与乙型机器人搬运750千克所用时间相等．（1）求m的值；（2）若该工厂每小时需要用掉原材料710千克，则如何购买才能使总费用最少？最少费用是多少？【答案】（1）90（2）当购买方案为甲型6台，乙型4台时，最少费用为48万元【小问1】由题意列方程，得．解得．检验：当时，．所以原分式方程的解为．答：m的值为90；【小问2】设总费用为w万元，购买甲型号的机器人x台，则乙型号的机器人为台，则．∵，∴．∵，∴w随x的增大而减小．∴当时，w取得最小值，最小值为48万元．∴当购买方案为甲型6台，乙型4台时，最少费用为48万元．25. 在数学活动课上，老师给同学们提供了一个矩形纸片，其中，，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动．【操作猜想】（1）甲小组给出了下面框图中的操作及猜想：甲小组的操作与猜想操作：如图，在，上分别取一点N，M，将沿直线翻折，得到．猜想：当时，．请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由；【深入探究】（2）如图2，乙小组按照甲小组的方式操作发现，当时，点E恰好落在矩形的对角线上．请求出图中线段的长度；【拓广延伸】（3）丙小组按照甲小组的过程操作，进一步探究并提出问题：当时，过点E作交射线于点F，若，则的长是多少？请解答这个问题．【答案】（1）正确，理由见解析；（2）；（3）或解：（1）甲小组的猜想正确．理由：∵四边形为矩形，∴，∴，∵折叠，∴，又∵，∴，∴；（2）在中，，，∴，∵折叠，∴，，由（1）可知，∴，，∴，∴，∴，同理，；（3）当点E在下方时，如图1，延长交于点H，同（2）可证．∴，∵，∴．∴．∴，由（1）可得，∴．∵，∴．设，则，∴，，∴，∴，∴，∴，∴；②当点E在下方时，设交于点H，如图2．同①可得，．∴．∴，∴，∴，∴；综上或．26. 在平面直角坐标系中，以A为顶点的抛物线与直线有两个公共点M，N，其中，点M在x轴上．直线与y轴交于点B，点B关于点A的对称点为C．（1）用含k的式子分别表示点B，N的坐标为：B____________，N____________；（2）如图，当时，连接，．求证：平分；（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为，当，两部分组成的图象与线段恰有一个公共点时，请确定k的取值范围．【答案】（1），（2）见解析（3）或【小问1】根据直线与y轴交于点B，令，得∴点，根据题意，得，解得，∴交点坐标分别为，∵点M在x轴上．∴点，故答案为：，．【小问2】∵抛物线，∴，解得，∴抛物线与x轴的交点为，∴，∵，∴，根据(1)，得，，∵点B关于点A的对称点为C，，∴，设直线的解析式为，∴．∴，∵，∴，∴，故直线的解析式为，∴不论k为何值，直线过定点，∴点在直线上．∴平分；【小问3】设图象上的任意一点，图象上的任意一点，根据题意，得，，解得，∴即图象的解析式为，当时，图象的解析式为经过点B时，图象，图象与线段有唯一交点，∴满足解析式，∴，解得(舍去)，经过点M时，图象，图象与线段有唯一交点，∴满足解析式，∴，解得(舍去)∴；当时，当时，图象，图象与线段没有交点，当时，图象，图象与线段有M，B两个交点，不符合题意；∴当时，图象与线段有两个交点，不符合题意；∴时，图象与线段有一个交点，∴，故，∴，综上所述，符合题意的范围是或．。

2024年中考数学二模试卷(北京卷)(全解全析)

2024年中考数学二模试卷(北京卷)(全解全析)

2024年中考第二次模拟考试数学·全解全析第Ⅰ卷选择题一、选择题（共16分，每小题2分）第1~8题均有四个选项，符合题意的只有一个．1．截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（）A ．723.910⨯B ．82.3910⨯C ．92.3910⨯D ．90.23910⨯【答案】B【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：8239000000 2.3910=⨯，故选：B ．【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a 和n 的值．2．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【详解】A.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此项不合题意；D.既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此项符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．如图，已知70AOC BOD ∠=∠=︒，30BOC ∠=︒，则AOD ∠的度数为()A ．100︒B ．110︒C ．130︒D ．140︒【答案】B 【分析】根据∠AOC 和∠BOC 的度数得出∠AOB 的度数，从而得出答案．【详解】∵∠AOC =70°，∠BOC =30°，∴∠AOB =70°－30°=40°，∴∠AOD =∠AOB +∠BOD =40°+70°=110°．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是角度的计算问题，属于基础题型．理解各角之间的关系是解题的关键．4．如图，数轴上的点A 和点B 分别在原点的左侧和右侧，点A 、B 对应的实数分别是a 、b ，下列结论一定成立的是（）A ．0a b +<B ．0b a -<C ．22a b >D ．22a b +<+【答案】D 【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：由题意得：a ＜0＜b ，且a ＜b ，∴0a b +>，∴A 选项的结论不成立；0b a ->，∴B 选项的结论不成立；22a b <，∴C 选项的结论不成立；22a b +<+，∴D 选项的结论成立．故选：D ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a ，b 的取值范围是解题的关键．5．若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（）A ．45︒B ．60︒C ．72︒D ．90︒【答案】C【分析】根据多边形的内角和公式()2180n -∙︒求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360︒，依此可以求出多边形的一个外角．【详解】 正多边形的内角和是540︒，∴多边形的边数为54018025︒÷︒+＝，多边形的外角和都是360︒，∴多边形的每个外角360572÷︒＝＝．故选：C ．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．6．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，则实数a 的值是（）A ．1-B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据方程有两个相等的实数根，判别式等于0列式求解即可得到答案；【详解】解：∵一元二次方程220x x a -+=有两个相等的实数根，∴2(2)410a --⨯⨯=，解得：1a =，故选：B ．7．不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是（）A ．23B ．34C ．25D ．35【答案】D【分析】根据概率计算公式进行求解即可．【详解】解：∵不透明的袋子里装有2个红球，3个黄球，∴从袋子中随机摸出一个，摸到黄球的概率为33235=+；故选：D ．【点睛】本题考查的是概率公式，熟知随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数与所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．8．如图，点A 、B 、C 在同一条线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB BC <，90A C ∠=∠=︒，EAB BCD ≌△△，连接DE ，设AB a =，BC b =，DE c =，给出下面三个结论：①a b c +<；②22a b a b +>+；)2a b c +>；上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D 【分析】如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形，则DF AC a b ==+，由DF DE <，可得a b c +<，进而可判断①的正误；由EAB BCD ≌△△，可得BE BD =，CD AB a ==，AE BC b ==，ABE CDB ∠=∠，则90EBD ∠=︒，BDE △是等腰直角三角形，由勾股定理得，2222BE AB AE a b =+=+，由AB AE BE +>，可得22a b a b +>+，进而可判断②的正误；由勾股定理得222DE BD BE =+，即()2222c a b =+，则()2222c a b a b =⨯+<+，进而可判断③的正误．【详解】解：如图，过D 作DF AE ⊥于F ，则四边形ACDF 是矩形，∴DF AC a b ==+，∵DF DE <，∴a b c +<，①正确，故符合要求；∵EAB BCD ≌△△，∴BE BD =，CD AB a ==，AE BC b ==，ABE CDB ∠=∠，∵90CBD CDB ∠+∠=︒，∴90∠+∠=︒CBD ABE ，90EBD ∠=︒，∴BDE △是等腰直角三角形，由勾股定理得，2222BE AB AE a b =+=+，∵AB AE BE +>，∴22a b a b +>+，②正确，故符合要求；由勾股定理得222DE BD BE =+，即()2222c a b =+，∴()2222c a b a b =⨯+<+，③正确，故符合要求；故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性质，三角形的三边关系等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．第Ⅱ卷非选择题二、填空题（共16分，每小题2分）93x -有意义，则x 可取的一个数是．【答案】如4等（答案不唯一，3x ≥）【分析】根据二次根式的开方数是非负数求解即可．【详解】解：∵式子3x -有意义，∴x ﹣3≥0，∴x ≥3，∴x 可取x ≥3的任意一个数，故答案为：如4等（答案不唯一，3x ≥．【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键．10．将2327m n n -因式分解为．【答案】()()333n m m +-【分析】先提公因式，再利用平方差公式可进行因式分解．【详解】解：2327m n n-=()239n m -=()()333n m m +-故答案为：()()333n m m +-．【点睛】本题考查了提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．11．方程12131x x =的解为．【答案】x ＝3【分析】根据分式方程的解法解方程即可；【详解】解：去分母得：3x ﹣1＝2x +2，解得：x ＝3，检验：把x ＝3代入得：(x +1)(3x ﹣1)≠0，∴分式方程的解为x ＝3．故答案为：x ＝3．【点睛】本题考查了解分式方程：先将方程两边乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后需要检验整式方程的解是不是分式方程的解．12．在平面直角坐标系xOy 中，点(A 1-1)y ，，()22B y ，在反比例函数()0y k x =≠的图象上，且12y y >，请你写出一个符合要求的k 的值．【答案】2-（答案不唯一）【分析】由题可知A ，B 在两个象限，根据12y y >得到图象位于二、四象限，即0k <给出符合题意的k 值即可．【详解】由题可知A ，B 在两个象限，∵12y y >，∴反比例函数()0k y k x=≠的图象位于二、四象限，∴0k <，即2k =-，故答案为：2-．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键．13．如图，在O 中，AB 是直径，CD AB ⊥，ACD ∠＝60︒，2OD =，那么DC 的长等于.【答案】23【分析】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，圆周角定理；根据垂径定理得到CE DE =， BDBC =，90DEO AEC ∠=∠=︒，利用圆周角定理求出求出260DOE A ∠=∠=︒，得出30ODE ∠=︒，进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得1OE =，勾股定理即可得DE ，垂径定理即可求得DC 的长．【详解】解：如图所示，设,AB CD 交于点E ，AB 是直径，CD 丄AB ，CE DE ∴=， BDBC =，90DEO AEC ∠=∠=︒，ACD ∠ =60︒，30A ∴∠=︒，260DOE A ∴∠=∠=︒，30ODE ∴∠=︒，∴112OE OD ==，DE ∴=3，2CD DE ∴==23，故答案为：23．14．如图，《九章算术》是中国古代数学专着，是《算经十书》（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x 株，根据题意可列分式方程为.【答案】()621031x x-=【分析】根据实际问题列分式方程即可，关键是对“那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”的理解．【详解】解：由题意可列方程：62103(1)-=x x；故答案为：62103(1)-=x x ．【点睛】本题考查根据题意列分式方程，解题关键是熟练运用单价计算公式：单价=总价÷数量，结合题意即可得出分式方程．15．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，5BC =，E 点为BC 边延长线一点，且3CE =．连接AE 交边CD 于点F ，过点D 作DH AE ⊥于点H ，则DH =．【答案】5【分析】利用相似三角形的判定与性质求得线段FC 的长，进而求得DF 的长，利再用勾股定理求出AF 的长，最后根据三角形的面积公式，即可求出DH 的长．【详解】解： 四边形ABCD 为矩形，CD AB ∴∥，4DC AB ==，5AD BC ==，90ADC ∠=︒，EFC EAB ∴∠=∠，E E ∠=∠ ，EFC EAB ∴∽V V ，CE FC EB AB ∴=，3354FC ∴=+，32FC ∴=，52DF DC FC ∴=-=，在Rt ADF V 中，2222555522AF AD DF ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，DH AE ⊥ ，1122ADF S AD DF AF DH ∴=⋅=⋅V ，1515552222DH ∴⨯⨯=⨯⨯，5DH ∴=，故答案为：5．【点睛】本题矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．16．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母的位置，标注字母e 的卡片写有数字．【答案】B ；4【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【详解】解：第一行中B 与第二行中c 肯定有一张为白1，若第二行中c 为白1，则左边不可能有2张黑卡片，∴白卡片数字1摆在了标注字母B 的位置，∴黑卡片数字1摆在了标注字母A 的位置，；第一行中C 与第二行中c 肯定有一张为白2，若第二行中c 为白2，则a ，b 只能是黑1，黑2，而A 为黑1，矛盾，∴第一行中C 为白2；第一行中F 与第二行中c 肯定有一张为白3，若第一行中F 为白3，则D ，E 只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，∴第二行中c 为白3，∴第二行中a 为黑2，b 为黑3；第一行中F 与第二行中e 肯定有一张为白4，若第一行中F 为白4，则D ，E 只能是黑3，黑4，与b 为黑3矛盾，∴第二行中e 为白4．故答案为：①B ，②4．【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．三、解答题（共68分，17~22题，每题5分，23~26题，每题6分，27~28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（本题5分）计算：()2021112π 3.144cos302-⎛⎫-+--︒+ ⎪⎝⎭【答案】4【分析】先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可．【详解】解：原式31231442=-++-⨯+1231234=-++-+4=．【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式等等，熟知相关计算法则是解题的关键．18．（本题5分）解不等式组：352x x +<-⎧⎪⎨-<⎪．【答案】35x <<【分析】先求出每个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集即可．【详解】解：221352x x x x +<-⎧⎪⎨-<⎪⎩①②，解不等式①得：3x >，解不等式②得：5x <，∴不等式组的解集为35x <<．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．19．（本题5分）先化简，再求值：21221121x x x x x x --⎛⎫+-÷ ⎪+++，其中31x =-．【答案】2x x --，33-+．【分析】根据分式的混合运算法则进行化简，再代值计算即可．【详解】解：原式22121211(1)x x x x x x ⎛⎫---=+÷ ⎪+++⎝⎭()()22112x x x x x-+=⋅+-()1x x =-+2x x =--，当31x =-时，原式()()3131133=---+=-+．【点睛】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．20．（本题5分）如图，在ABC 中，60,ACB CD ∠=︒平分ACB ∠，过点D 作DE BC ⊥于点,E DF AC ⊥于点F ，点H 是CD 的中点，连接HE FH 、．(1)判断四边形DFHE 的形状，并证明；(2)连接EF ，若26EF =CD 的长．【答案】(1)菱形，见解析；(2)42【分析】本题考查菱形的性质和判定，关键是利用菱形的判定解答．（1）根据角平分线的性质得出DF DE =，进而利用直角三角形的性质得出FH DH EH ==，进而利用菱形的判定解答即可；（2）根据菱形的性质和含30︒角的直角三角形的性质得出DH ，进而解答即可．【详解】（1）解：四边形DFHE 是菱形，理由如下：CD 平分ACB ∠，过点D 作DE BC ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，60ACB ∠=︒，DF DE ∴=，30FCD DCE ∠=∠=︒，点H 是CD 的中点，FH CH DH ∴==，EH CH DH ==，FH HE ∴=，30DCE ∠=︒ ，DE CB ⊥，60HDE ∴∠=︒，DHE ∴ 是等边三角形，DE HE DH ∴==，DF DE HE FH ∴===，∴四边形DFHE 是菱形；（2）解：连接EF ，交DH 于点O ，四边形DFHE 是菱形，12OH OD DH ∴==，162OF OE EF ===，EF DH ⊥，60HDE ∠=︒ ，6233OE OD ∴===，2442CD DH OD ∴===．21．（本题5分）已知，图①是一张可以缓解眼睛疲劳的视力远眺回形图，它是由多个大小不等的正方形构成的二维空间平面图，利用心理学空间知觉原理，通过变化图案可不断改变眼睛晶状体的焦距，强烈显示出三维空间的向远延伸的立体图形，调节人们的睫状体放松而保护视力．其中阴影部分是由能够缓解视疲劳的绿色构成，阴影之间的部分是空白区域．某体检中心想定做一张回形图，图②是选取的部分回形图的示意图，其中最大的正方形边长为3m ，且空白区域A B 、两部分的面积相等，若空白区域需要三种不同的护眼浅色贴纸，铺贴用纸费用分别为：A 区域10元2/m ，B 区域15元2/m ，C 区域20元2/m ，铺贴三个区域共花费150元，求C 区域的面积．【答案】25m 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设A 区域的面积为m x ，根据题意得出101520(92)150x x x ++-=，解得2x =，再求出C 区域的面积即可．【详解】解：设A 区域的面积为m x ，101520(92)150x x x ++-=，解得2x =，9225-⨯=，答：C 区域的面积是25m ．22．（本题5分）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象经过点()0,1，()2,2-，与x 轴交于点A ．(1)求该一次函数的表达式及点A 的坐标；(2)当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数y kx b =+（0k ≠）的值，直接写出m 的取值范围．【答案】(1)112y x =-+，(2,0)A ；(2)4m >-【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质．（1）先利用待定系数法求出函数解析式为112y x =-+，然后计算自变量为0时对应的函数值得到A 点坐标；（2）当函数y x n =+与y 轴的交点在点A （含A 点）上方时，当0x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值．【详解】（1）解： 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(0,1)，(2,2)-，∴122b k b =⎧⎨-+=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，该一次函数的表达式为112y x =-+，令0y =，得1012x =-+，2x ∴=，(2,0)A ∴；（2）解：当2x >时，对于x 的每一个值，函数2y x m =+的值大于一次函数(0)y kx b k =+≠的值，1212x m x ∴+>-+，4m ∴>-．23．（本题6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分统计图：b ．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：参与奖优秀奖卓越奖第一次竞赛人数101010平均数828795第二次竞赛人数21216平均数848793（规定：分数90≥，获卓越奖；85≤分数90<，获优秀奖：分数85<，获参与奖）c ．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：90909191919192939394949495959698d ．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：平均数中位数众数第一次竞赛m 87.588第二次竞赛90n91根据以上信息，回答下列问题：(1)小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“○”圈出代表小松同学的点；(2)直接写出,m n 的值；(3)哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高?请说明你的理由（至少两个方面）．【答案】(1)见详解；(2)88m =，90n =；(3)第二次【分析】（1）根据30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得横坐标为89，纵坐标为91，即可获得答案；（2）根据平均数和中位数的定义求解即可；（3）根据平均数、众数和中位数的意义解答即可．【详解】（1）解：如图所示；（2）8210871095108830m ⨯+⨯+⨯==，∵第二次竞赛获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90，90，91，91，91，91，92，93，93，94，94，94，95，95，96，98，其中第1个和第2个数是30名学生成绩中第15和第16个数，∴1(9090)902n =⨯+=，∴88m =，90n =；（3）第二次竞赛，学生成绩的平均数、中位数和众数均高于第一次竞赛，故第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高．【点睛】本题主要考查了众数、平均数、中位数等知识，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．24．（本题6分）如图，圆内接四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点E ，BD 平分ABC ∠，BAC ADB ∠=∠．(1)求证DB 平分ADC ∠，并求BAD ∠的大小；(2)过点C 作CF AD ∥交AB 的延长线于点F ．若AC AD =，2BF =，求此圆半径的长．【答案】(1)见解析，90BAD ∠=︒；(2)4【分析】（1）根据已知得出 AB BC =，则ADB CDB ∠=∠，即可证明DB 平分ADC ∠，进而根据BD 平分ABC ∠，得出 AD CD=，推出 BAD BCD =，得出BD 是直径，进而可得90BAD ∠=︒；（2）根据（1）的结论结合已知条件得出，90F ∠=︒，ADC △是等边三角形，进而得出1302CDB ADC ∠=∠=︒，由BD 是直径，根据含30度角的直角三角形的性质可得12BC BD =，在Rt BFC △中，根据含30度角的直角三角形的性质求得BC 的长，进而即可求解．【详解】（1）解：∵BAC ADB∠=∠∴ AB BC =，∴ADB CDB ∠=∠，即DB 平分ADC ∠．∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∴ AD CD=，∴ AB AD BCCD +=+，即 BAD BCD =，∴BD 是直径，∴90BAD ∠=︒；（2）解：∵90BAD ∠=︒，CF AD ∥，∴180F BAD ∠+∠=︒，则90F ∠=︒．∵ AD CD=，∴AD DC =．∵AC AD =，∴AC AD CD ==，∴ADC △是等边三角形，则60ADC ∠=︒．∵BD 平分ADC ∠，∴1302CDB ADC ∠=∠=︒．∵BD 是直径，∴90BCD ∠=︒，则12BC BD =．∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴180ADC ABC ∠+∠=︒，则120ABC ∠=︒，∴60FBC ∠=︒，∴906030FCB ∠=︒-︒=︒，∴12FB BC =．∵2BF =，∴4BC =，∴28BD BC ==．∵BD 是直径，∴此圆半径的长为142BD =．【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键．25．（本题6分）兴寿镇草莓园是北京最大的草莓基地，通过一颗颗小草莓，促进了农民增收致富，也促进了农旅融合高质量发展．小梅家有一个草莓大棚，大棚的一端固定在离地面高1m 的墙体A 处，另一端固定在离地面高1m 的墙体B 处，记大棚的截面顶端某处离A 的水平距离为m x ，离地面的高度为m y ，测量得到如下数值：/mx01245/my18311311383小梅根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小梅的探究过程，请补充完整：(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，描出表中各组数值所对应的点(),x y，并画出函数的图象；解决问题：(2)结合图表回答，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为___________m；此时距离A的水平距离为___________m；(3)为了草莓更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面1.5m时补光效果最好，若在距离A处水平距离1.5m的地方挂补光灯，为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是多少m？（灯的大小忽略不计）【答案】(1)见解析；(2)4；3；(3)为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是1.75m．【分析】（1）描点，连线，即可画出函数的图象；（2）结合图表回答，即可解答；（3）利用待定系数法求得抛物线的解析式，令 1.5x=，求得函数值，即可解答．【详解】（1）解：描点，连线，函数的图象如图所示，；（2）解：根据图表知，大棚截面顶端最高处到地面的距离高度为4m ；此时距离A 的水平距离为3m ；故答案为：4；3；（3）解：设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，把()01，，813⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1123⎛⎫ ⎪⎝⎭，，代入得，18311423c a b c a b c ⎧⎪=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得1321a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的解析式为21213y x x =-++，令 1.5x =，则21331321 3.253224y ⎛⎫=-⨯+⨯+== ⎪⎝⎭，()3.25 1.5 1.75m -=，答：为使补光效果最好补光灯悬挂部分的长度应是1.75m ．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据点的坐标画出函数图象是解题关键．26．（本题6分）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()22230y ax a x a =--≠．(1)求该抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；(2)若1a =，当23x -<<时，求y 的取值范围；(3)已知()121,A a y -，()2,B a y ，()32,C a y +为该抛物线上的点，若()()13320y y y y -->，求a 的取值范围．【答案】(1)直线x a =；(2)45x -≤<；(3)3a >或1a <-【分析】（1）根据对称轴为直线2b x a=-代入求解即可；（2）根据23x -<<，2x =-比3x =距离对称轴远，分别求得1,2x =-时的函数值即可求解；（3）分两种情况讨论132>y y y >和132y y y <<时．【详解】（1）解：∵抛物线解析式为()22230y ax a x a =--≠，∴对称轴为直线2222b a x a a a---===；（2）解：当1a =时，抛物线解析式为2=23y x x --，∴对称轴2122b x a -=-=-=，抛物线开口向上，∴当1x =时，取得最小值，即最小值为212134y =-⨯-=-，∵2x =-离对称轴更远，∴2x =-时取得最大值，即最大值为()()222235y =--⨯--=，∴当23x -<<时，y 的取值范围是45x -≤<；（3）解：∵()()13320y y y y -->，∴13>0y y -，32>0y y -，即132>y y y >；或130y y -<，320y y -<，即132y y y <<，∵抛物线对称轴2222b a x a a a ---===，∴()2,B a y 是抛物线顶点坐标，若132>y y y >，则抛物线开口向上，0a >，()32,C a y +在对称轴的右侧，当()121,A a y -在对称轴右侧时，21+2a a ->，解得：3a >；当()121,A a y -在对称轴左侧时，()21+2a a a a -->-，解得：1a <-，不符合题意；∴a 的取值范围是3a >；若132y y y <<，则抛物线开口向下，a<0，()32,C a y +在对称轴的右侧，当()121,A a y -在对称轴右侧时，21+2a a ->，解得：3a >，不符合题意，当()121,A a y -在对称轴左侧时，()21+2a a a a -->-，解得：1a <-；∴a 的取值范围是1a <-；综上所述：a 的取值范围是3a >或1a <-.【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．27．（本题7分）如图，在ABC 中，AB AC =，()24590BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 的中点，E 是BD 的中点，连接AE ．将射线AE 绕点A 逆时针旋转α得到射线AM ，过点E 作EF AE ⊥交射线AM 于点F ．(1)①依题意补全图形；②求证：B AFE ∠=∠；(2)连接CF ，DF ，用等式表示线段CF ，DF 之间的数量关系，并证明．【答案】(1)①见解析；②见解析；(2)CF DF=【分析】（1）①根据题意画出图形即可求解；②连接AD ，则AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得出BAD ∠=α，90B α∠=︒-，根据90AEF ∠=︒，得出90AFE α∠=︒-，则B AFE ∠=∠；（2）延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，倍长中线法证明HBE FDE ≌，进而证明AHB AFC ≌，即可得证．【详解】（1）解：①如图所示，②连接AD ，∵AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥于点D ，AD 平分BAC ∠，∵()24590BAC αα∠=︒<<︒∴BAD ∠=α，90B α∠=︒-，∵EF AE ⊥，∴90AEF ∠=︒，90AFE α∠=︒-，∴B AFE ∠=∠；（2）CF DF =；证明如下，延长FE 至点H ，使得EH EF =，连接,BH AH ，CF ，∵E 为BD 的中点，E 为HF 的中点∴,EH EF EB ED ==，又HEB FED ∠=∠，∴HBE FDE ≌()SAS ，∴BH FD =，∵AE HF ⊥，EH EF =，∴AHF △是等腰三角形，则AH AF =，HAE FAE α∠=∠=，，∵2BAC HAF α∠=∠=，∴HAF BAF BAC BAF ∠-∠=∠-∠，即BAH CAF ∠=∠，∴AHB AFC ≌()SAS ，∴CF BH =，∴CF FD =．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．28．（本题7分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于直线l 和线段AB ，给出如下定义：若将线段AB 关于直线l 对称，可以得到O 的弦A B ''（A '，B '分别为A ，B 的对应点），则称线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段AB 是O 的关于直线l 对称的“关联线段”．(1)如图2，点1A ，1B ，2A ，2B ，3A ，3B 的横、纵坐标都是整数．①在线段11A B ，22A B ，33A B 中，O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是______；②若线段11A B ，22A B ，33A B 中，存在O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，则m =______；(2)已知()30y x b b =+>交x 轴于点C ，在ABC 中，3AC =，2AB ．若线段AB 是O 的关于直线()30y x b b =-+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．【答案】(1)①22A B ；②3或2；(2)b 的最大值为43，17BC =；最小值为23，5BC =【分析】（1）①分别画出线段11A B ，22A B ，33A B 关于直线2y x =+对称线段，运用数形结合思想，即可求解；②从图象性质可知，直线y x m =-+与x 轴的夹角为45°，而线段11A B ⊥直线y x m =-+，线段11A B 关于直线y x m =-+对称线段还在直线11A B 上，显然不可能是O 的弦；线段335A B =，O 的最长的弦为2，得线段33A B 的对称线段不可能是O 的弦，而线段22A B ∥直线y x m =-+，线段222A B =，所以线段22A B 的对称线段22A B ''，且线段222A B ''=，平移这条线段，使其在O 上，有两种可能，画出对应图形即可求解；（2）先表示出33OC b =，b 最大时就是CO 最大，b 最小时就是CO 长最小，根据线段AB 关于直线()30y x b b =-+>对称线段A B ''在O 上，得3A C AC ''==，再由三角形三边关系得A C OA OC A C OA ''''-≤≤+，得当A '为()10，时，如图3，OC 最小，此时C 点坐标为()20，；当A '为()10，时，如图3，OC 最大，此时C 点坐标为()40，，分两种情形分别求解．【详解】（1）解：①分别画出线段11A B ，22A B ，33A B 关于直线2y x =+对称线段，如图，发现线段11A B 的对称线段是⊙O 的弦，∴线段11A B ，22A B ，33A B 中，⊙O 的关于直线2y x =+对称的“关联线段”是11A B ，故答案为：11A B ；②从图象性质可知，直线y x m =-+与x 轴的夹角为45°，∴线段11A B ⊥直线y x m =-+，∴线段11A B 关于直线y x m =-+对称线段还在直线11A B 上，显然不可能是O 的弦；∵线段2233215A B =+=，O 的最长的弦为2，∴线段33A B 的对称线段不可能是O 的弦，线段22A B 是⊙O 的关于直线y x m =-+对称的“关联线段”，而线段22A B ∥直线y x m =-+，线段222A B =，∴线段22A B 的对称线段22A B ''，且线段222A B ''=，平移这条线段，使其在O 上，有两种可能，第一种情况22A B ''、的坐标分别为()()0110，，，，此时3m =；第二种情况22A B ''、的坐标分别为()()1001--，、，此时2m =，故答案为：3或2；（2）已知()30y x b b =-+>交x 轴于点C ，在ABC 中，3AC =，2AB =．若线段AB 是O 的关于直线()30y x b b =-+>对称的“关联线段”，直接写出b 的最大值和最小值，以及相应的BC 长．解：∵直线()30y x b b =-+>交x 轴于点C ，当0y =时，()030x b b =-+>，解得：33x b =∴33OC b =即b 最大时就是OC 最大，b 最小时就是OC 最小，∵线段AB 是O 的关于直线()30y x b b =-+>对称的“关联线段”，∴线段AB 关于直线()30y x b b =-+>对称线段A B ''在⊙O 上，∴3A C AC ''==在A CO ' 中，A C OA OC A C OA ''''-≤≤+∴当A '为()10-，时，如图，OC 最小，此时C 点坐标为()20，，将点C 代入直线3y x b =-+中，得032b=-⨯+解得：23b =，∵点B B '，关于323y x =-+对称∴22125BC B C '==+=，∴当A '为()10，时，如图，OC 最大，此时C 点坐标为()40，，将点C 代入直线3y x b =-+中，得034b=-⨯+解得：43b =，∵点B B '，关于323y x =-+对称∴221417BC B C '==+=，综上b 的最大值为43，17BC =；最小值为23，5BC =．【点睛】本题考查了以圆为背景的阅读理解题，对称轴的性质、一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，三角形三边关系，解决问题的关键是找出不同情境下的“关联线段”和阅读理解能力．。

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中考数学二模试题一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出正确的选项，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案1．实数﹣的相反数是（）A．﹣2 B．C．2 D．﹣|﹣0.5|2．下列计算正确的是（）A． =﹣2 B．a2+a5=a7C．（a2）5=a10D．×2=123．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．4．一组数据：76，90，64，100，84，64，73，这组数据的众数和中位数分别是（）A．64，100 B．64，76 C．76，64 D．64，845．下列说法正确的是（）（1）整式2xy﹣8x2y+8x3y因式分解的结果是2xy（1﹣4x+4x2）；（2）要使y=有意义，则x应该满足0＜x≤3；（3）“x的2倍与5的和”用代数式表示是一次式；（4）地球上的陆地面积约为149000000平方千米，用科学记数法表示为1.49×108平方千米．A．（1）（4）B．（1）（2）C．（2）（3）D．（3）（4）6．将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（）A．10° B．20° C．7.5°D．15°7．对于一次函数y=kx+k﹣1（k≠0），下列叙述正确的是（）A．当0＜k＜1时，函数图象经过第一、二、三象限B．当k＞0时，y随x的增大而减小C．当k＜1时，函数图象一定交于y轴的负半轴D．函数图象一定经过点（﹣1，﹣2）8．已知0≤x＜，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣6 B．﹣2.5 C．2 D．不能确定9．下列命题正确的个数是（）①一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③对角线垂直相等的四边形是正方形；④圆的切线垂直于圆的半径．A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在△ABC中，AB=6，AC=12，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB 分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．6 B．12 C．D．6二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案11．计算：﹣25+（）﹣1﹣|﹣8|+2cos60°=．12．已知二次函数y=kx2﹣6x+3，若k在数组{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4}中随机取一个，则所得抛物线的对称轴在直线x=1的左方时的概率为．13．在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是．14．等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是．15．如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=（k＞0）经过A、E两点，若平行四边形AOBC的面积为30，则k= ．16．PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是．三、解答题（本题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤，如果觉得有些题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）17．已知实数a是不等于3的常数，解不等式组，并依据a的取值情况写出其解集．18．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形．（1）将△A BC向右平移3个单位长度，画出平移后的△A1B1C1．（2）将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2．（3）观察探究：△A2B2C2．可以由怎样的图形变换得到△A1B1C1．19．解方程x4﹣6x2+5=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们通常可以这样来解：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣6y+5=0…①，解这个方程得：y1=1，y2=5．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=5时，x2=5，∴x=±．所以原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=，x4=﹣．（1）这一解法在由原方程得到方程①的过程中，利用了法达到降次的目的，体现了的数学思想．（2）参照上面解题的思想方法解方程：（）2﹣+6=0．20．我市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；（2）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．21．如图，一块平行四边形场地ABCD，测得∠ABC=60°，AB=2，AD=4，AE⊥BD于点E，CF⊥BD 于点F，连接CE，AF．现计划在四边形AECF区域内种植花草．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）求四边形AECF的面积．22．如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为．（1）分别求出线段AP、CB的长；（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线；（3）如果tan∠E=，求DE的长．23．如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=EF，请求出点P的坐标；（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度．2015年浙江省杭州市锦绣&#183;育才教育集团中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请选出正确的选项，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案1．实数﹣的相反数是（）A．﹣2 B．C．2 D．﹣|﹣0.5|【考点】相反数．【分析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案．【解答】解：﹣的相反数是，故选：B．【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的概念即可．2．下列计算正确的是（）A． =﹣2 B．a2+a5=a7C．（a2）5=a10D．×2=12【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法．【分析】根据平方根、同类项合并、幂的乘方和二次根式的乘法计算即可．【解答】解：A、，错误；B、a2与a5不是同类项，不能合并，错误；C、（a2）5=a10，正确；D、，错误；故选C【点评】此题考查平方根、同类项合并、幂的乘方和二次根式的乘法，关键是根据法则计算．3．如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．【解答】解：从上面可看到第一横行左下角有一个正方形，第二横行有3个正方形，第三横行中间有一个正方形．故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．一组数据：76，90，64，100，84，64，73，这组数据的众数和中位数分别是（）A．64，100 B．64，76 C．76，64 D．64，84【考点】众数；中位数．【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．【解答】解：把这组数据从小到大排列：64、64、73、76、84、90、100，最中间的数是76，则这组数据的中位数是76；64出现了2次，出现的次数最多，则众数是64；故选B．【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．5．下列说法正确的是（）（1）整式2xy﹣8x2y+8x3y因式分解的结果是2xy（1﹣4x+4x2）；（2）要使y=有意义，则x应该满足0＜x≤3；（3）“x的2倍与5的和”用代数式表示是一次式；（4）地球上的陆地面积约为149000000平方千米，用科学记数法表示为1.49×108平方千米．A．（1）（4）B．（1）（2）C．（2）（3）D．（3）（4）【考点】提公因式法与公式法的综合运用；科学记数法—表示较大的数；列代数式；函数自变量的取值范围．【分析】（1）利用提取公因式法以及公式法分解因式得出即可；（2）利用函数自变量的取值范围判断出x的取值范围；（3）根据题意直接列出代数式即可；（4）利用科学记数法的表示方法求出即可．【解答】解：（1）2xy﹣8x2y+8x3y=2xy（1﹣4x+4x2）=2xy（2x﹣1）2，故此选项错误；（2）要使y=有意义，则x应该满足x≤3，且x≠0，故此选项错误；（3）“x的2倍与5的和”用代数式表示为：2x+5是一次式，故此选项正确；（4）地球上的陆地面积约为149000000平方千米，用科学记数法表示为1.49×108平方千米，故此选项正确．故选：D．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式和科学记数法、列代数式、函数自变量的取值范围等知识，正确掌握相关性质是解题关键．6．将两个斜边长相等的三角形纸片如图①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图②，连接D1B，则∠E1D1B的度数为（）A．10° B．20° C．7.5°D．15°【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE=60°，旋转的性质可得∠BCE1=15°，然后求出∠BCD1=45°，从而得到∠BCD1=∠A，利用“边角边”证明△ABC和△D1CB全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BD1C=∠ABC=45°，再根据∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1计算即可得解．【解答】解：∵∠CED=90°，∠D=30°，∴∠DCE=60°，∵△DCE绕点C顺时针旋转15°，∴∠BCE1=15°，∴∠BCD1=60°﹣15°=45°，∴∠BCD1=∠A，在△ABC和△D1CB中，，∴△ABC≌△D1CB（SAS），∴∠BD1C=∠ABC=45°，∴∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1=45°﹣30°=15°．故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并求出△ABC和△D1CB全等是解题的关键．7．对于一次函数y=kx+k﹣1（k≠0），下列叙述正确的是（）A．当0＜k＜1时，函数图象经过第一、二、三象限B．当k＞0时，y随x的增大而减小C．当k＜1时，函数图象一定交于y轴的负半轴D．函数图象一定经过点（﹣1，﹣2）【考点】一次函数图象与系数的关系．【专题】常规题型．【分析】根据一次函数图象与系数的关系对A、B、C进行判断；根据一次函数图象上点的坐标特征对D进行判断．【解答】解：A、当0＜k＜1时，函数图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误；B、当k＞0时，y随x的增大而增大，所以B选项错误；C、当k＜1时，函数图象一定交于y轴的负半轴，所以C选项正确；D、把x=﹣1代入y=kx+k﹣1得y=﹣k+k﹣1=﹣1，则函数图象一定经过点（﹣1，﹣1），所以D选项错误．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．8．已知0≤x＜，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣6 B．﹣2.5 C．2 D．不能确定【考点】二次函数的最值．【分析】把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值．【解答】解：∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．∴当x=时，y取最大值，y最大=﹣2（﹣2）2+2=﹣2.5．又∵0≤x＜，∴y=﹣2x2+8x﹣6的最大值小于﹣2.5．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值．确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．9．下列命题正确的个数是（）①一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③对角线垂直相等的四边形是正方形；④圆的切线垂直于圆的半径．A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题与定理．【分析】根据平行线的判定方法对A进行判断；根据三角形全等的判定方法对B进行判断；根据正方形的判定方法对C进行判断；根据切线的性质对D进行判断．【解答】解：一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，所以①正确；有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以②正确；对角线垂直相等的平行四边形是正方形，所以③错误；圆的切线垂直于过切点的半径，所以④错误．故选B．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．10．如图，在△ABC中，AB=6，AC=12，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB 分别相交于点P、Q，则线段PQ长度的最小值是（）A．6 B．12 C．D．6【考点】切线的性质；垂线段最短；圆周角定理．【分析】找出PQ的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD，连接CF，CD，则有FD⊥AB；由勾股定理的逆定理知，△ABC是直角三角形FC+FD=PQ，由三角形的三边关系知，CF+FD＞CD；只有当点F在CD上时，FC+FD=PQ有最小值为CD的长，即当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时由直角三角形ABC 的面积等于两直角边乘以的一半来求，也利用由斜边乘以斜边上的高CD来求出，根据面积相等可得出CD的长，即为线段PQ长度的最小值．【解答】解：线段PQ长度的最小值时，PQ为圆的直径，如图，设QP的中点为F，圆F与AB的切点为D，连接FD、CF、CD，∵圆F与AB相切，∴FD⊥AB，∵AB=6，AC=12，BC=6，∴∠ACB=90°，FC+FD=PQ，∴CF+FD＞CD，且PQ为圆F的直径，∵当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD有最小值，即CD为圆F的直径，且S△ABC=BC•CA=CD•AB，∴PQ=CD===．故选：C．【点评】此题考查了切线的性质，垂线段最短，圆周角定理，以及直角三角形面积的求法，其中根据题意得：当点F在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，PQ=CD为最小值是解本题的关键．二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案11．计算：﹣25+（）﹣1﹣|﹣8|+2cos60°=﹣33 ．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣32+2﹣4+2×=﹣32+2﹣4+1=﹣33．故答案为：﹣33．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．已知二次函数y=kx2﹣6x+3，若k在数组{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4}中随机取一个，则所得抛物线的对称轴在直线x=1的左方时的概率为．【考点】概率公式；二次函数的性质．【分析】由k在数组{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4}中随机取一个，则所得抛物线的对称轴在直线x=1的左方时的有：k=﹣3，﹣2，﹣1，4；直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵二次函数y=kx2﹣6x+3的对称轴为直线x=﹣=，∴k在数组{﹣3，﹣2，﹣1，1，2，3，4}中随机取一个，则所得抛物线的对称轴在直线x=1的左方时的有：k=﹣3，﹣2，﹣1，4；∴所得抛物线的对称轴在直线x=1的左方时的概率为：．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是y=3（x+3）2﹣3 ．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】先把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位可理解为把抛物线y=3x2分别向下、向左平移3个单位，再确定抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），然后把点（0，0）先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到的点的坐标为（﹣3，﹣3），再根据抛物线顶点式写出新抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到的点的坐标为（﹣3，﹣3），所以在新坐标系中此抛物线的解析式为y=3（x+3）2﹣3．故答案为y=3（x+3）2﹣3．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14．等腰三角形有一个外角是100°，这个等腰三角形的底角是50°或80°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】由等腰三角形的一个外角是100°，可分别从①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角去分析求解，即可求得答案．【解答】解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，则此顶角为：180°﹣100°=80°，则其底角为：（180°﹣80°）÷2=50°；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，则此底角为：180°﹣100°=80°；故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．故答案为：50°或80°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．15．如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=（k＞0）经过A、E两点，若平行四边形AOBC的面积为30，则k= 10 ．【考点】平行四边形的性质；反比例函数系数k的几何意义．【分析】设出点A的横坐标为x，根据点A在双曲线y=（k＞0）上，表示出点A的纵坐标，从而表示出点A的坐标，再根据点B在x轴上设出点B的坐标为（a，0），然后过A作AD⊥OB 于D，EF⊥OB于F，如图，根据平行四边形的性质对角线互相平分得到点E为AB的中点，又EF∥AD，得到EF为△ABD的中位线，可得EF为AD的一半，而AD为A的纵坐标，可得出EF的长，由OB﹣OD可得BD的长，根据F为BD的中点，得到FB的长，由OB﹣FB可得出OF 的长，由E在第一象限，由EF和OF的长表示出E的坐标，代入反比例解析式中，得到a=3x，再由BO与AD的积为平行四边形的面积，表示出平行四边形的面积，根据平行四边形AOBC 的面积为30，列出等式，将a=3x代入可得出k的值．【解答】解：如图，过A作AD⊥OB于D，EF⊥OB于F，设A（x，），B（a，0），∵四边形AOBC是平行四边形，∴AE=EB，∴EF为△ABD的中位线，∴EF=AD=，DF=（a﹣x），OF=OD+DF=，∴E（，），∵E在双曲线y=上，∴•=k，∴a=3x，∵S▱AOBC=OB•AD=30，∴a•=3x•=3k=30，解得：k=10．故答案为：10．【点评】此题考查了平行线的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行四边形及三角形的面积公式，以及点坐标与线段的关系，是一道综合性较强的题，本题的突破点是作出辅助线，建立点坐标与线段长度的联系．16．PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是．【考点】切线长定理．【分析】连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．利用切线求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=r．利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF=FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可．【解答】解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，∴PA=PB=r．在Rt△PBF和Rt△OAF中，，∴Rt△PBF∽Rt△OAF．∴===，∴AF=FB，在Rt△FBP中，∵PF2﹣PB2=FB2∴（PA+AF）2﹣PB2=FB2∴（r+BF）2﹣（r）2=BF2，解得BF=r，∴tan∠APB===，故答案为：．【点评】本题主要考查了切线长定理以及切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系．三、解答题（本题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤，如果觉得有些题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以）17．已知实数a是不等于3的常数，解不等式组，并依据a的取值情况写出其解集．【考点】解一元一次不等式组．【专题】分类讨论．【分析】首先分别解出两个不等式，再根据实数a是不等于3的常数，分两种情况进行讨论：①当a＞3时，②当a＜3时，然后确定出不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x≤3，解②得：x＜a，∵实数a是不等于3的常数，∴当a＞3时，不等式组的解集为x≤3，当a＜3时，不等式组的解集为x＜a．【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．18．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形．（1）将△ABC向右平移3个单位长度，画出平移后的△A1B1C1．（2）将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2．（3）观察探究：△A2B2C2．可以由怎样的图形变换得到△A1B1C1．【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．【分析】（1）分别将对应点A，B，C向右平移3个单位长度，即可得出图形；（2）分别将对应点A，B，C绕点O旋转180°，即可得出图形；（3）根据对变换过程的描述可以是多种或多次变换分析解答即可．【解答】解：（1）如图所示，（2）如图所示旋转：（3）△A2B2C2可以绕A2点旋转180°，然后向上平移2个单位再左移1个单位长度得到△A1B1C1．【点评】此题考查作图和旋转变换问题，关键是根据对变换过程的描述可以是多种或多次变换分析，但变换的描述要准确，如：旋转变换要说明清楚绕某个点，某方向转多少度等．19．解方程x4﹣6x2+5=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们通常可以这样来解：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y2﹣6y+5=0…①，解这个方程得：y1=1，y2=5．当y=1时，x2=1，∴x=±1；当y=5时，x2=5，∴x=±．所以原方程有四个根：x1=1，x2=﹣1，x3=，x4=﹣．（1）这一解法在由原方程得到方程①的过程中，利用了换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．（2）参照上面解题的思想方法解方程：（）2﹣+6=0．【考点】换元法解分式方程；换元法解一元二次方程．【专题】阅读型．【分析】（1）用一个字母表示一个较复杂的代数式的方法叫换元法．（2）用y代替，然后解关于y的一元二次方程，求得y的值后，再来求关于x的分式方程，注意要验根．【解答】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．故答案是：换元；转化；（2）设y=，则由原方程得到：y2﹣5y+6=0，整理，得（y﹣3）（y﹣2）=0，解得y=3或y=2．当y=3时， =3，即3x2﹣x﹣3=0，则x=，解得x1=，x2=，经检验，它们都是原方程的根；当y=2时， =2，即2x2﹣x﹣2=0，则x=，解得x3=，x4=，经检验，它们都是原方程的根；综上所述，原方程的根为：x1=，x2=，x3=，x4=．【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．20．我市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A：篮球，B：足球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校李老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．（1）请你求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；（2）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．【考点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；列表法与树状图法．【专题】图表型．【分析】（1）根据C类有12人，占24%，据此即可求得总人数，然后利用总人数乘以对应的比例即可求得E类的人数；（2）利用列举法即可求解．【解答】解：（1）该班总人数是：12÷24%=50（人），则E类人数是：50×10%=5（人），A类人数为：50﹣（7+12+9+5）=17（人）．补全频数分布直方图如下：；（2）画树状图如下：，或列表如下：共有12种等可能的情况，恰好1人选修篮球，1人选修足球的有4种，则概率是： =．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21．如图，一块平行四边形场地ABCD，测得∠ABC=60°，AB=2，AD=4，AE⊥BD于点E，CF⊥BD 于点F，连接CE，AF．现计划在四边形AECF区域内种植花草．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）求四边形AECF的面积．【考点】平行四边形的判定与性质．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得S△ABD=S△CBD，又由AE⊥BD于点E，CF⊥BD 于点F，可得AE∥CF，AE=CF，继而证得四边形AECF是平行四边形；（2）首先过点B作BH⊥AD，交DA的延长线于点H，利用勾股定理可求得BH，DH的长，然后利用三角形的面积公式，求得AE的长，继而求得BE与DF的长，则可求得答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABD=S△CBD，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，AE•BD=CF•BD，∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：过点B作BH⊥AD，交DA的延长线于点H，∵∠ABC=60°，∴∠ABH=30°，∵AB=2，∴AH=1，BH==，∴DH=AH+AD=1+4=5，∴BD==2，∵S△ABD=BD•AE=AD•BH，即×2×AE=×4×，解得：AE=，∴BE==，同理：DF=BE=，∴EF=BD﹣BE﹣DF=，∴S四边形AECF=EF•AE=．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．22．如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为．（1）分别求出线段AP、CB的长；（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线；（3）如果tan∠E=，求DE的长．【考点】切线的判定．【专题】证明题．【分析】（1）根据圆周角定理由AC为直径得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理可计算出BC=2，再根据垂径定理由直径FG⊥AB得到AP=BP=AB=2；（2）易得OP为△ABC的中位线，则OP=BC=1，再计算出==，根据相似三角形的判定方法得到△EOC∽△AOP，根据相似的性质得到∠OCE=∠OPA=90°，然后根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；（3）根据平行线的性质由BC∥EP得到∠DCB=∠E，则tan∠DCB=tan∠E=，在Rt△BCD中，根据正切的定义计算出BD=3，根据勾股定理计算出CD=，然后根据平行线分线段成比例定理得=，再利用比例性质可计算出DE=．【解答】（1）解：∵AC为直径，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AC=2，AB=4，∴BC==2，∵直径FG⊥AB，∴AP=BP=AB=2；（2）证明∵AP=BP，AO=OC∴OP为△ABC的中位线，∴OP=BC=1，∴=，而==，∴=，∵∠EOC=∠AOP，∴△EOC∽△AOP，∴∠OCE=∠OPA=90°，∴OC⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）解：∵BC∥EP，∴∠DCB=∠E，∴tan∠DCB=tan∠E=在Rt△BCD中，BC=2，tan∠DCB==，∴BD=3，∴CD==，∵BC∥EP，∴=，即=，∴DE=．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质．23．如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）．（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=EF，请求出点P的坐标；（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度．。

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