计算流体力学2
计算流体力学的求解步骤
计算流体力学的求解步骤
计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，简称 CFD）是通过计算机数值计算和图像显示，对包含有流体流动和热传导等相关物理现象的系统所做的分析。
其求解步骤通常包括以下几个方面：
1. 建立物理模型：根据实际问题建立相应的物理模型，包括流动区域、边界条件、流体性质等。
2. 数学模型：将物理模型转化为数学模型，通常使用 Navier-Stokes 方程等流体动力学基本方程来描述流体的运动和行为。
3. 网格生成：将计算区域划分为离散的网格单元，以便在每个网格点上进行数值计算。
4. 数值方法：选择合适的数值方法，如有限差分法、有限体积法或有限元法等，对数学模型进行离散化，将其转化为代数方程组。
5. 求解算法：使用适当的求解算法，如迭代法或直接解法，求解代数方程组，得到各个网格点上的流体变量的值。
6. 结果可视化：将计算得到的结果以图形或图表的形式展示出来，以便对流体的流动情况进行分析和评估。
7. 结果验证：将计算结果与实验数据或其他可靠的参考数据进行比较，验证计算结果的准确性和可靠性。
8. 优化与改进：根据结果验证的情况，对物理模型、数学模型、网格生成、数值方法或求解算法等进行优化和改进，以提高计算精度和效率。
需要注意的是，计算流体力学的求解步骤可能因具体问题和应用领域的不同而有所差异。
在实际应用中，还需要根据具体情况选择合适的软件工具和计算平台来执行上述步骤。
高等计算流体力学讲义(2)
高等计算流体力学讲义（2）第二章 可压缩流动的数值方法§1. Euler 方程的基本理论 0 概述在计算流体力学中，传统上，针对可压缩Navier －Stokes 方程的无粘部分和粘性部分分别构造数值方法。
其中最为困难和复杂的是无粘部分的离散方法；而粘性项的离散相对简单，一般采用中心差分离散。
所以，本章主要研究无粘的Euler 方程的解法。
在推广到Navier －Stokes 方程时，只需在Euler 方程的基础上，加上粘性项的离散即可。
Euler 方程是一种典型的非线性守恒系统。
下面我们将讨论一般的非线性守恒系统以及Euler 方程的一些数学理论，作为研究数值方法的基础。
1非线性守恒系统和Euler 方程一维一阶非线性守恒系统(守恒律)可写为下列一般形式=∂∂+∂∂xF tU ，0,>∈t R x（1）其中U 称为守恒变量，是有m 个分量的列向量，即T m u u u U ),...,(21=。
T m f f f F ),...,(21=称为通量函数，是U 的充分光滑的函数，且满足归零条件，即：0)(lim=→U F U即通量是对守恒变量的输运，守恒变量为零时，通量也为零。
守恒律的物理意义设U 的初始值为：0(,0)(),U x U x x =∈R 。
如果0()U x 在x ∈R 中有紧支集（即0U 在有限区域以外恒为零），则0(,)()U x t dx U x dx =⎰⎰RR。
即此时虽然(,)U x t 的分布可以随时间变化，但其总量保持守恒。
多维守恒律可以写为)(=++∙∇+∂∂k H j G i F tU（2）守恒律的空间导数项可以写为散度形式。
守恒系统（1）可以展开成所谓拟线性形式)(=∂∂+∂∂xU U A tU （3）A 是m m ⨯矩阵，称为系数矩阵或Jacobi 矩阵，其具体形式为111122221212.........m m m m mm f f f u u u f f f u u u A f f f u u u ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦（4），容易验证：F U Axx∂∂=∂∂，通常也记F A U∂=∂。
第二章--计算流体力学的基本知识
第二章计算流体力学的基本知识流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。
这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。
2.1计算流体力学简介2.1.1计算流体力学的发展流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。
20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。
数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学"。
从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。
数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。
数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。
自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。
最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。
航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。
流体运动的规律由一组控制方程描述。
计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解读解。
但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解读解。
计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力学这门交叉学科。
计算流体力学是一门用数值计算方法直接求解流动主控方程(Euler或Navier-Stokes方程)以发现各种流动现象规律的学科。
流体力学中的流体流量与流速计算
流体力学中的流体流量与流速计算流体力学是研究流体在运动过程中的性质和行为的学科。
其中，流体流量和流速是流体力学中的重要概念，用于描述流体运动的特征和量度。
本文将介绍流体流量与流速的概念及计算方法。
一、流体流量的概念及计算方法流体流量是指单位时间内通过某一截面的流体体积。
按照定义，流体流量的计算公式为：Q = A * v其中，Q表示流体流量，A表示截面面积，v表示流速。
二、流速的概念及计算方法流速是指单位时间内流体通过一个截面的体积。
流速的计算公式可以根据具体情况而定，以下是常见的几种计算方法：1. 定常流的流速计算在定常流动情况下，流体的质量流率和体积流率保持不变。
流速的计算公式为：v = Q / A其中，v表示流速，Q表示流体流量，A表示截面面积。
2. 非定常流的流速计算在非定常流动情况下，流体的流速可能随时间和空间的变化而变化。
针对不同的情况，可以采用不同的方法计算流速，如通过流速图、针对特定位置的流速计算等。
三、流体流量与流速的应用流体流量和流速是流体力学中的基本概念，广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：1. 水泵和液压系统的设计在水泵和液压系统的设计中，流体流量和流速是重要的设计参数。
通过合理计算流体流量和流速，可以确定水泵和液压系统的工作参数，确保其正常运行。
2. 水流和气流的测量与控制在环境监测、水利工程、能源利用等领域，对水流和气流的测量与控制是常见需求。
通过准确计算流体流量和流速，可以帮助实现对水流和气流的精确测量和控制。
3. 管道流量的计算与优化对于管道流动问题，合理计算流体流量和流速有助于分析和优化管道系统的性能。
通过调整管道直径、流速等参数，可以实现管道系统的节能、减压等目标。
四、总结流体流量和流速是流体力学中的重要概念，用于描述流体运动的特征和量度。
在实际应用中，合理计算流体流量和流速，可以帮助我们设计、控制和优化各类流体系统。
因此，对于流体力学中的流体流量与流速的计算方法和应用有深入的了解，对于工程实践具有重要意义。
流体力学计算公式
流体力学计算公式流体力学是研究流体的运动规律和性质的一门学科，广泛应用于工程和科学领域中。
在流体力学的研究过程中，有许多重要的计算公式和方程被提出和应用。
下面是一些重要的流体力学计算公式。
1.压力力学方程:压力力学方程是描述流体力学中流体静压力分布和变化的方程。
对于稳定的欧拉流体，方程为:∇P=-ρ∇φ其中，P是压力，ρ是流体的密度，φ是流体的势函数。
2.欧拉方程:欧拉方程用于描述流体的运动,它是流体运动的基本方程之一:∂v/∂t+v·∇v=-1/ρ∇P+g其中，v是流体的速度，P是压力，ρ是流体的密度，g是重力加速度。
3.奇异体流动方程:奇异体流动是流体与孤立涡流动的一种类型，其方程为:D(D/u)/Dt=0其中，D/Dt是对时间的全导数，u是速度向量。
4.麦克斯韦方程:5.纳维-斯托克斯方程:纳维-斯托克斯方程是描述流体的动力学行为的方程，它是流体力学中最重要的方程之一:∂v/∂t+v·∇v=-1/ρ∇P+μ∇²v其中，v是速度矢量，P是压力，ρ是密度，μ是动力黏度。
6.贝努利方程:贝努利方程描述了在不可压缩流体中流体静力学的变化。
贝努利方程给出了伯努利定律，即沿着一条流线上的速度增加，压力将降低，反之亦然。
贝努利方程的公式为:P + 1/2ρv^2 + ρgh = const.其中，P是压力，ρ是密度，v是流体速度，g是重力加速度，h是流体高度。
7.流量方程:流量方程用于描述流体在管道或通道中的流动。
Q=A·v其中，Q是流量，A是截面积，v是流速。
8.弗朗脱方程:弗朗脱方程是描述管道中流体流动的方程，其中考虑了摩擦阻力的影响:hL=f(L/D)(v^2/2g)其中，hL是管道摩擦阻力头损失，f是阻力系数，L是管道长度，D 是管道直径，v是流速，g是重力加速度。
以上是一些重要的流体力学计算公式。
这些公式和方程在流体力学中具有广泛的应用，是工程和科学领域中进行流体流动分析和计算的基础。
流体力学体验阻力-流动阻力与计算(2)
2
当流体从管道流入断面很大的容器中或气体流入大气时，
A1 1 0， A2
1。这是突然扩大的特殊情况，称为出口阻力系数。
直角出口
A2 1.0 k 1 A 1
2
圆角出口
A2 1.0 k 1 A 1
2
A2 1.0 k 1 A 1
确定了流态的判别方法。
(a)
层流状态
(b)
过渡状态 湍流状态
(c)
雷诺实验表明：
① 当流速大于上临界流速时为 湍流；当流速小于下临界流速时 为层流；当流速介于上、下临界 流速之间时，可能是层流也可能 是湍流，这与实验的起始状态、 有无扰动等因素有关，不过实践 证明，是湍流的可能性更多些。 ② 在相同的管径下用不同的液 体进行实验，所测得的临界流速 也不同，粘性大的液体临界流速 也大；若用相同的液体在不同管 径下进行试验，所测得的临界流 速也不同，管径大的临界流速反 而小。
管道入口的形状对阻力系数的影响：
直角进口
圆角进口
0.5
0.2 ~ 0.04
内插进口
圆弧进口
0.8
~ 0.04 0 .2 ~ 0.2 04
渐缩管
渐缩管的形状由缩小面积比 A1 A2和收缩角 确定。 渐缩管流动时损失形式以沿程损 失为主，不存在流线脱离壁面的问题。
u u u
称为时均速度，定义为：
时间t1内，速度的平均值
u u u
1 u t1
t1 0
udt
u u u
湍流中某一点瞬时速度可 用下式表示：
u u u
p p p
雷诺应力
流体力学流速计算公式
流体力学流速计算公式一、伯努利方程推导流速公式（理想不可压缩流体定常流动）1. 伯努利方程。
- 对于理想不可压缩流体作定常流动时，在同一条流线上有p+(1)/(2)ρ v^2+ρ gh = C（p是流体压强，ρ是流体密度，v是流速，h是高度，C是常量）。
- 假设水平流动（h_1 = h_2），则方程变为p_1+(1)/(2)ρ v_1^2=p_2+(1)/(2)ρ v_2^2。
- 由此可推导出流速公式v_2=√(v_1^2)+(2(p_1 - p_2))/(ρ)。
2. 适用条件。
- 理想流体（无粘性），实际流体在粘性较小时可近似使用。
- 不可压缩流体，像水在大多数情况下可视为不可压缩流体，气体在低速流动时也可近似为不可压缩流体。
- 定常流动，即流场中各点的流速等物理量不随时间变化。
3. 示例。
- 已知水管中某点1处的压强p_1 = 2×10^5Pa，流速v_1 = 1m/s，另一点2处的压强p_2 = 1.5×10^5Pa，水的密度ρ = 1000kg/m^3。
- 根据v_2=√(v_1^2)+(2(p_1 - p_2))/(ρ)，将数值代入可得：- v_2=√(1^2)+frac{2×(2×10^{5-1.5×10^5)}{1000}}- 先计算括号内的值：2×(2×10^5-1.5×10^5)=2×5×10^4=10^5。
- 则v_2=√(1 + 100)= √(101)≈10.05m/s。
二、连续性方程推导流速公式（不可压缩流体定常流动）1. 连续性方程。
- 对于不可压缩流体的定常流动，有S_1v_1 = S_2v_2（S_1、S_2分别是流管中两个截面的面积，v_1、v_2是相应截面处的流速）。
- 由此可推导出流速公式v_2=(S_1)/(S_2)v_1。
2. 适用条件。
- 不可压缩流体，如液体或低速流动的气体。
计算流体力学的数学模型与方法
计算流体力学的数学模型与方法计算流体力学（Computational Fluid Dynamics，简称CFD）是研究流体运动的力学现象而采用的计算方法。
它结合了数学模型和计算方法，通过数值计算和模拟的手段，来解决流体问题。
本文将从数学模型和计算方法两个方面，探讨计算流体力学的基本原理与应用。
一、数学模型数学模型是计算流体力学的基础，它描述了流体运动的基本方程和边界条件。
常用的数学模型包括Navier-Stokes方程、动量守恒方程、质量守恒方程和能量守恒方程等。
1. Navier-Stokes方程Navier-Stokes方程是描述流体的速度和压力随时间和空间变化的方程。
其一般形式为：\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0\]其中，$\rho$表示流体的密度，$\mathbf{v}$表示流体的速度。
2. 动量守恒方程动量守恒方程描述了流体运动中动量的变化。
它可以表示为：\[\frac{\partial (\rho \mathbf{v})}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho\mathbf{v} \mathbf{v}) = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{\tau}\]其中，$p$表示压力，$\mathbf{\tau}$表示粘性应力张量。
3. 质量守恒方程质量守恒方程描述了流体质量的守恒。
它可以表示为：\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0\]4. 能量守恒方程能量守恒方程描述了流体能量的守恒。
它可以表示为：\[\frac{\partial (\rho e)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho e \mathbf{v}) =\nabla \cdot (\lambda \nabla T) + \nabla \cdot (\mathbf{\tau \cdot v}) + \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{g}\]其中，$e$表示单位质量流体的总能量，$T$表示温度，$\lambda$表示热导率。
经常用到的给排水流体力学计算公式
经常用到的给排水流体力学计算公式：
1、h f=(λL/d)*(v2/2g)
h f ——流段的沿程水头损失（m液柱或气柱）
L——流段的长度（m）
d——管段的直径（m）
v——流体的流动速度（m/s）
λ——沿程阻力系数（或摩擦阻力系数），在层流运动中，该值可根据λ=64/Re求出。
给水工程经常采用钢管和铸铁管，由于管内壁容易锈蚀和积垢，所以管壁的粗糙度按旧钢管和铸铁管考虑，并为一个常数。
管内水流温度一般为10℃左右，运动粘度也可以为一个常数。
这样是的沿程阻力系数λ的经验计算公式比较简单，在紊流区内：
v＜1.2 m/s时，λ=(0.0179/d0.3)*(1+0.867/ v)0.3
v≥1.2 m/s时，λ=0.021/ d0.3
上式中，d为管道的内径（m），不是公称直径；v为流速（m/s）。
2、v=(1/n)R2/3i1/2
n——粗糙系数
R——过流断面的水利半径（m）
i——渠底或管底的坡度
常用材料的粗糙系数n值。
流体力学Ⅱ主要公式及方程式
《流体力学》Ⅱ主要公式及方程式(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《流体力学与流体机械》(下)主要公式及方程式1．流体力学常用准数： (1) 雷诺准数 μρlu =Re (2) 欧拉准数 2Eu u p ρ= (3) 牛顿准数 22Ne l u F ρ=(4) 付鲁德准数 lg u 2Fr = (5) 马赫准数 a u=M (6) 斯特罗哈准数 l u τ=St(7) 阿基米德准数 TTu l g ∆=2Ar (8) 格拉晓夫准数23G r νβt l g ∆= (9) 韦伯准数 σρl u 2We =2．气体等压比热和等容比热计算式：1p -=k Rk C ； 1v -=k R C 3．完全气体比焓定义式：T C RT e pe i p =+=+=ρ4．完全气体状态方程式：T R p ρ= 状态方程微分式：TT p p d d d +=ρρ 5．完全气体等熵过程方程式：C p=kρ等熵过程方程微分式：ρρd d kp p = 气体压力p 、密度ρ和温度T 之间的等熵关系：1k k12k 1212)()(-==T Tp p ρρ6．气体熵增计算式：)]()ln[(ln ln 211k k121212p 12p pT T R p p R T T C s s -=-=-7．热力学第一定律的能量方程式：we u z g p q e u z g p ++++=++++22222212111122ρρ 可压缩理想流体绝热流动能量方程式： 022221122i u i u i =+=+ 以温度和流速表述： 0p 222p 211p 22T C u T C u T C =+=+ 以温度和流速表述：022221112121T R k k u T R k k u T R k k -=+-=+-以压力、密度和流速表述： 002222211112121ρρρp k k u p k k u p k k -=+-=+- 以音速和流速表述： 121212022222121-=+-=+-k a u k a u k a 8．完全气体的音速公式：T R k pk pa ===ρρd d9．理想流体一维稳定流动连续性方程式：C uA Q ==ρ 连续性方程微分式：0d d d =++AA u u ρρ10．欧拉运动方程的积分式：C u z g p=++⎰2d 2ρ 或简化为 C u p =+⎰2d 2ρ 欧拉运动方程的微分式：0d d d =++u u z g pρ或简化为0d d =+u u pρ11．理想流体稳定流动的动量方程式： ⎪⎭⎪⎬⎫-=∑-=∑-=∑)()()(z1z2z y 1y 2y x1x2x u u Q F u u Q F u u Q F ρρρ一维稳定流动动量方程微分式：0d d x=++AR u u pρδρ12．气体极限速度及临界速度计算式：120m ax -=k T kR u ； 120*+=k kRT u 13．流动参量与滞止参量间的关系：20211M k T T -+=； 1k k20)211(--+=M k p p 1k 120)211(--+=M k ρρ； 2120)211(M k a a -+= 14．无因次速度Λ与马赫数M 间的关系： 222)1()1(2ΛΛ--+=k k M15．流速的计算式： ])(1[12k1k 00---=p pRT k k u ； 或 ])(1[12k1k 000---=p pp k k u ρ无因次速度计算式：k1k 00max)(11--=-=p p T T u u16．质量流量的计算式： ])()[(12k1k 0k 2000+--=p pp p p k k AG ρ1)2(k 1k 200)211(-+--+=M k M p k A G ρ 最大质量流量计算式：00*1)2(k 1k max )12(ρp k A k G -++= 或 00*1)2(k 1k max )12(T P A k R k G -++= 17．喷管出口马赫数计算式： ]1)[(12k 1k e0e --=-p p k M 18．正激波在静止气体中传播速度计算式： 121212w ρρρρ⋅--=p p u 19．正激波后气流速度计算式： 211212)()(ρρρρ--=p p u20．正激波前后速度关系式： 2*21a u u =21．正激波前后马赫数间的关系式： )1(2)1(2212112121212122---+=---+=k M k M k k M k M k M 22．正激波前后气流参量比与波前M 1数的关系式：2121212112)1(2)1(21121M k M k M k M k -++=-++=ρρ11122112+--+=k k M k k p p]1)1(2)[112()11(2121212+---+-=M k M k k k k T T11)1(22112+-++=k k M k u u1k 1211k k21210102)1112(])1(2)1([--+--+-++=k k M k k M k M k p p23．范诺流极限管长计算式： ])1(2)1(ln 211[21212121max M k M k k k M k M D L -++++-=λ24．范诺流参量变化关系式：2*)1(21M k k T T -++=； 2122*])1(2)1([Mk M k u u -++= 2122*])1()1(2[Mk M k +-+=ρρ； 212*])1(21[1M k k M p p -++= 1)2(k 1k 2*00)1112(1-++-++=M k k k M p p 25．瑞利流参量变化关系式：2*11M k k p p ++=； 222*)11(M k k M T T ++= )11(122*kM k M ++=ρρ； )11(22*M k k M u u ++= ]1)1(2[)11(2222*00+-+++=k M k Mk k M T T 1k k 22*00]1)1(2[11-+-+++=k M k M k k p p 26．瑞利流能量方程式： 22222211u i q u i +=++ 27．等温流能量方程式： 0201i q i =+ 或 222221u q u =+ 28．等温流压降计算式：)ln2(1212112221Dl u u p u p p λρ+=- 等温流压降近似计算式：211211211M k Dlp T R u D l p p λλ-=-= 29．等温流质量流量计算式：)(16222152p p TR l D G -=λπ 30．等温流极限管长计算式： )]ln(1[212121maxM k M k M k D L +-=λ 31．等温流参量变化关系式：M k u u =∆； Mk p p 1==∆∆ρρ； T R u =∆32．等温流可能的最小压力： 11min M p k p p ==∆ 33．紊流射流主要参量计算式：35．阿基米德准数：对圆截面射流a 0200Ar T T u R g ∆=，对平面射流a200Ar T T u B g ∆=。
流体主要计算公式
流体主要计算公式流体是液体和气体的统称，具有流动性和变形性。
流体力学是研究流体静力学和动力学的学科，其中主要涉及到流体的力学性质、运动规律和力学方程等内容。
在流体力学的研究中，有一些重要的计算公式被广泛应用。
下面将介绍一些常见的流体力学计算公式。
1.流体静力学公式：(1)压力计算公式：P=F/A-P表示压力-F表示作用力-A表示受力面积(2)液体静力学公式：P=hρg-P表示液体压力-h表示液体高度-ρ表示液体密度-g表示重力加速度2.流体动力学公式：(1)流体流速公式：v=Q/A-v表示流速-Q表示流体流量-A表示流体截面积(2)流体流量公式：Q=Av-Q表示流体流量-A表示流体截面积-v表示流速(3)连续方程：A1v1=A2v2-A1和A2表示流体截面积-v1和v2表示流速(4) 流体动能公式：E = (1/2)mv^2-E表示流体动能-m表示流体质量-v表示流速(5)流体的浮力公式：Fb=ρVg-Fb表示浮力-ρ表示液体密度-V表示浸泡液体的体积-g表示重力加速度3.流体阻力公式：(1)层流阻力公式：F=μAv/L-F表示阻力-μ表示粘度系数-A表示流体截面积-v表示流速-L表示流动长度(2)湍流阻力公式：F=0.5ρACdV^2-F表示阻力-ρ表示流体密度-A表示物体的受力面积-Cd表示阻力系数-V表示物体相对于流体的速度4.比力计算公式：(1)应力计算公式：τ=F/A-τ表示应力-F表示力-A表示受力面积(2)压力梯度计算公式：ΔP/Δx=ρg-ΔP/Δx表示压力梯度-ρ表示流体密度-g表示重力加速度(3) 万斯压力计算公式：P = P0 + ρgh-P表示压力-P0表示参考压力-ρ表示流体密度-g表示重力加速度-h表示液体的高度以上是一些流体力学中常见的计算公式，涉及到压力、流速、阻力、浮力以及比力等方面的运算。
这些公式在解决流体力学问题时非常有用，可以帮助我们理解和分析流体的运动和力学性质。
计算流体力学(中科院力学所)第10讲有限体积法2精品PPT课件
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u f (u) 0 t x
uj fˆj1/2fˆj1/2
x
x
uj fj1/2fj1/2
x
x
概念：MUSCL与 非MUSC类方法
差分 有限体积
fˆ j 1 / 2
切线 u j
uj
j-1
fˆ j 1 / 2
f j1/ 2
如何计算 fˆ j 1 / 2 或 f j 1 / 2 ？
方法1 （非MUSCL类）： 直接利用周围几个点的函数
利用积分关系计算接触间断的速度及其左右 的物理量
ZL U *L
Z* ZR U *R
根据积分关系，可知
红色区域积分可得 f* L fL Z L (U * L U L )
蓝色区域积分可得 f* R fR Z R (U * R U R )
TZ L
x TZ R
R-H关系式； 弱解定义式 含义： 控制体内质量的增加等于
求解方程组：
riemannsolversnumericalmethodsfluiddynamicsspringer2009thirdedition控制体内质量动量能量的减少等于流出控制面的通量lixinliang若控制体空间足够大或时间跨度足够小扰动波未达到控制体的边界如图未扰动把积分域分成三段
计算流体力学讲义
[ U ( x ,T ) U ( x ,0 )d ] x [ f( x L ,U t) ) f(( x U R ,t)d ) 0 ] t
x L
0
Ref.： E. F. Toro: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Springer, 2009 (Third Edition)
计算流体力学(中科院力学所)_第2讲-双曲型方程组
令：
R=u+
∫ ρ dρ
c
同理，沿特征线 ： 同理，沿特征线2： 对于等熵完全气体
dx / dt = u c
2c R=u+ γ 1 2c S = u + γ 1
du c dρ + =0 沿特征线1： 沿特征线 ： dα ρ dα u 1 c S = + dρ 2 2 ρ 保持不变 dR / dα =
A sin x 0 ≤ x ≤ 2π u ( x,0) = 0 others ρ ( x,0) = 1; p( x,0) = 1
考虑一维无粘流动（ 方程）， 考虑一维无粘流动（Euler方程），初始时 方程），初始时 刻（t=0）流动状态如下： ）流动状态如下：
xa ≤ x ≤ xb u ′( x), ρ ′( x) u, ρ = 0, ρ 0 (= const ) others
（3） ） C （2） ） （1） ）
x B
A
给定x3,t3 利用 （假设t3充分小） 给定
x3 x1 = (u1 + c1 )(t3 t1 ) x3 x2 = (u 2 c2 )(t3 t 2 )
区域（ ），（ ），（4） 区域（2），（ ） 未扰动 区域（ ） 区域（1）内的流动使用基本 方法计算
双曲型
Copyright by Li Xinliang
2
1) 一阶常系数偏微方程组
U U +A =0 x t U = (u1 , u 2 ,......u m )T
如果矩阵A 可以被对角化： 如果矩阵 可以被对角化： A = S 1 ΛS
U U + S 1 ΛS =0 t x S U U + ΛS =0 t x
计算流体力学(CFD)文档——2. Governing equations
2. FLUID-FLOW EQUATIONS SPRING 20112.1 Control-volume approach2.2 Conservative integral and differential equations 2.3 Non-conservative differential equations 2.4 Non-dimensionalisation Summary ExamplesFluid dynamics is governed by conservation equations for: • mass; • momentum; • energy; • (for a non-homogenous fluid) individual constituents.The continuum equations for these can be expressed mathematically in many different ways. In this section we shall show that they can be written as equivalent: • integral (i.e. control-volume ) equations; • differential equations;In addition, the differential equations may be either conservative or non-conservative .The focus will be the integral equations because they are physically more fundamental and form the basis of the finite-volume method. However, the equivalent differential equations are often easier to write down, manipulate and, in some cases, solve analytically.Although there are different fluid variables, most of them satisfy the same generic equation, which can therefore be solved computationally by the same subroutine. This is called the scalar-transport or advection-diffusion equation.2.1 Control-Volume ApproachThe rate of change of some quantity within an arbitrary control volume is determined by: • the net rate of transport across the bounding surface (“flux ”); • the net rate of production within that control volume (“source ”).= + inside V y of boundar out inside V SOURCE FLUX CHANGE OF RATE (1)The flux across the bounding surface can be divided into: • advection : transport with the flow; • diffusion : net transport by molecular or turbulent fluctuations.(Some authors – but not this one – prefer the term convection to advection .)= + +inside V boundary through inside V SOURCE DIFFUSION ADVECTION CHANGE OF RATE (2)The finite-volume method is a natural discretisation of this.2.2 Conservative Integral and Differential Equations2.2.1 Mass (Continuity)Physical principle (mass conservation ): mass is neither created nor destroyed.For an arbitrary control volume (aka “cell ”) with volume V :mass of fluid: VFor a typical cell face with area A and component of velocity u n along the (outward) normal: mass flux through cell face: A u •===A u Q C ne.g. steady, 1-d flow:)()(0111222=−=−in out flux mass flux mass A u A uA corresponding conservative differential equation for mass conservation can be derived by considering a(fixed) control volume comprised of a cuboid with sides x , y , z as shown.Using (3),0)()()()()()(=−+−+−+4444444444434444444444421321mass fluxoutward net b t s n w e ssange of ma rate of ch wA wA vA vA uA uAwhere density and velocity are averages over the volume or the cell faces.Noting that zy x V = and A w = A e = y z etc., 0])()[(])()[(])()[(=−+−+−+y xw wx z v v z y u u b t s n w eDividing by the volume, ∆x ∆y ∆z :0=+++Proceeding to the limit x , y , z →0:nThis analysis is analogous to the finite-volume procedure, except that in the latter the control volume does not shrink to zero; i.e. it is a finite-volume not infinitesimal-volume approach.Incompressible FlowFor incompressible flow volume as well as mass is conserved, so that for a fixed control volume and steady (i.e., time-independent) flow: 0)()()()()()(=−+−+−44444444443444444444421 fluxVOLUME outward net b t s n w e wA wA vA vA uA uASubstituting for the face areas, dividing by volume and proceeding to the limit as aboveIn fact, this continues to hold for time-dependent incompressible flows, although this is harder to show by this method when the density is non-uniform.2.2.2 MomentumPhysical principle (Newton’s Second Law ): rate of change of momentum = forceThe total rate of change of momentum for fluid passing through a control volume consists of: • time rate of change of total momentum inside the control volume; plus • net momentum flux (difference between rate at which momentum leaves and enters).For a cell with volume V and a typical face with area A :momentum in cell = mass × uu )(V = momentum flux = u ×flux massu A u )(•=e.g. for steady flow through a conduit: (momentum flux )out – (momentum flux )in = forceF u u =−)(12QFluid ForcesThere are two types: • surface forces (proportional to area; act on control-volume faces) • body forces (proportional to volume)(i) Surface forces are usually expressed in terms of stress (= force per unit area):areaforcestress = or area stress force ×=The main surface forces are:• pressure p : always acts normal to a surface;• viscous stresses : frictional forces arising from relative motion. For a simple shear flow there is only one non-zero stress component:=≡12but, in general, is a symmetric tensor (the components of stressimparted by external fluid on individual faces of a volume of fluidare shown right) and has a more complex expression for its components. In incompressible flow:(ijj i ij x u x u ∂∂+∂∂=11τ22n(ii) Body forcesThe main body forces are: gravity : the force per unit volume is),0,0(g −=g(For constant-density fluids pressure and weight can be combined in the governingequations as a piezometric pressure p * = p + gz ) • centrifugal and Coriolis forces (apparent forces in a rotating reference frame) centrifugal force:R r 2)(=∧∧−Coriolis force:u ∧−2(Because the first of these can be written as the gradient of 2R it can also be absorbed into a modified pressure and hence is usually ignored – see the Examples).Equivalent Differential Equation Once again, a conservative differential equation can be derived byconsidering a fixed Cartesian control volume with sides x , y and z .For the x -component:rcesd other fo viscous an A p A p u wA u wA u vA u vA u uA u uA Vu t directionx in force pressure e e w w fluxmomentum outward net b b t t s s n n w w e e mentumange of mo rate of ch +−=−+−+−+443442144444444444444344444444444444214341)()()()()()()()(d dSubstituting the cell dimensions: rcesd other fo viscous an z y p p y x u w u w x z u v u v z y u u u u u z y x te w b b t t s s n n w w ee +−=−+−+−+)(])()[(])()[(])()[()(d dDividing by the volume x y z (and changing the order of p e and p w ):rces d other fo viscous an +−=+++In the limit as x , y , z → 0:Notes .(1) The viscous term is given without proof (but MSc students read the notes below). ∇2 isthe Laplacian operator 222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂.(2) The pressure force per unit volume in the x direction is given by (minus) the pressure gradient in that direction.(3) You should be able to derive the y and z -momentum equations by inspection / pattern-matching.2.2.3 General ScalarA similar equation may be derived for any physical quantity that is advected or diffused by a fluid flow. For each such quantity an equation is solved for the concentration (i.e. amount per unit mass) φ: for example, the concentration of salt, sediment or a chemical constituent.Diffusion occurs when concentration varies with position. It typically involves transport from regions of high concentration to regions of low concentration, at a rate proportional to area and concentration gradient. For many scalars it may be quantified by Fick ’s diffusion law :Aareagradient y diffusivit ffusion rate of di =××−= This is often referred to as gradient diffusion . A common example is heat conduction.For an arbitrary control volume:amount in cell : V φ(mass × concentration) advective flux : φC (mass flux × concentration) diffusive flux :A − (–diffusivity × gradient × area) source S V (source density × volume)Balancing the rate of change against the net flux through the boundary and rate of production yields the scalar-transport or (advection-diffusion ) equation :n2.2.4 Momentum Components as Transported ScalarsIn the momentum equation, if the viscous force A y u A )/(∂∂= is transferred to the LHS it looks like a diffusive flux: e.g. for the x -component of momentum:forces other ACu Vu t faces=−+∑)()(d d(The viscous force has been simplified a bit! – see 2.2.5 below – but the essence is correct.) Compare this with the generic scalar-transport equation:V S AC V t faces=−φ+φ∑)()(d dEach component of momentum satisfies its own scalar-transport equation with concentration ↔ velocity (u , v or w ) diffusivity ↔ viscosity source ↔ other forcesConsequently, only one generic scalar-transport equation need be considered. Computationally, the same subroutine may be used to solve the general scalar-transport equation for each variable (but with different diffusivities and source density S ).2.2.5 Non-Gradient DiffusionThe analysis above assumes that all non-advective flux is simple gradient diffusion:A − Actually, the real situation is a little more complex. For example, in the u -momentum equation the full expression for the 1-component of viscous stress through the 2-face is∂∂+∂∂=x v y u 12 The u /y part is gradient diffusion of u , but the v /y term is not. In general, non-advective fluxes F ′ that can’t be represented by gradient diffusion are discretised conservatively (i.e. worked out for particular cell faces) but are transferred to the RHS as a source term:S F A C V t faces=′+−φ+φ∑][)(d d2.2.6 Moving Control VolumesThe control-volume equations are equallyapplicable to moving control volumes, provided the normal velocity component u n is taken relative to the mesh ; i.e. n u u •−=)(mesh n uThis enables the finite-volume method to be used for calculating flows with moving boundaries 1: for example, surface waves or internal combustion engines.1See, for example: Apsley, D.D. and Hu, W., 2003, CFD Simulation of two- and three-dimensional free-surface flow, International Journal for Numerical Methods in fluids, 42, 465-491.2.3 Non-Conservative Differential EquationsTwo equivalent differential forms of the flow equations may be derived from the control-volume equations in the limit as the control volume shrinks to a point. • From fixed control volumes we obtain governing equations in conservative form asabove; this is called the Eulerian approach. • Using control volumes moving with the fluid we obtain the governing equations innon-conservative form; this is called the Lagrangian approach.Both forms can, however, be obtained by mathematical manipulation of the other and that is what we shall do here.For the conservative differential equations derived earlier all terms involving derivatives of dependent variables have differential operators “on the outside”. Hence, they can be integrated directly to give an equivalent integral form. For example, in one dimension:)()(d d form al differenti x g xf= )(d )()()(2112form integral xx g x f x f x x ⌡⌠=−This is the 1-d version of: source flux flux in out =−(*** MSc course only ***)The three-dimensional version uses partial derivatives and the divergence theorem to change the differentials to surface integrals.As an example of how essentially the same equation can appear in conservative and non-conservative forms consider a simple 1-d example:)()(d d 2x g y x = (conservative form – can be integrated directly))(d d 2x g xy y = (equivalent non-conservative form)To describe how a particular element of fluid changes as it moves with the flow we need a material derivative .Material DerivativesThe rate of change of some property in a fluid element moving with the flow is called the material (or substantive ) derivative. It is denoted by D φ/D t and worked out as follows.Every field variable φ is a function of both time and position; i.e. ),,,(z y x t φ=φAs one follows a path through space φ will change with time because:• it changes with time t at each point, and• it changes with position (x , y , z) as it moves with the flow.Thus, the total time derivative following an arbitrary path (x (t ), y (t ), z (t )) ist z z t y y t x x t t d d d d d d d d ∂φ∂+∂φ∂+∂φ∂+∂φ∂=φUsing this definition, it is possible to write a non-conservative but more compact form of the governing equations. For a general scalar φ the sum of time-dependent and advective terms in its transport equation is+++∂φ∂++ ∂φ∂++ ∂φ∂+++=z w y v x u(by the product rule)444434444214444434444421definitionby t continuityby z w y v x u tD /D 0φ== ∂φ∂+∂φ∂+∂φ∂+∂φ∂+φ+++= (on collecting terms)=(19) Hence, using the definition of the material derivative, the combined time-dependent and advective terms in a scalar transport equation can be written as the much shorter (but non-conservative) form D φ/D t .For example, the material derivative of velocity, i.e. D u /D t , is acceleration and the momentum equation can be writtenes other forc u x ponaccelerati mass +∇+∂∂−=×2 (20)This form is shorter and quicker to write and is used both for notational convenience and to derive theoretical results in special cases (see the Examples, Q2). However, in thefinite-volume method it is the conservative form which is actually approximated directly.2.4 Non-DimensionalisationAlthough it is possible to work entirely in dimensional quantities, there are good theoretical reasons for working in non-dimensional variables. These include the following.• All dynamically-similar problems (same Re, Fr etc.) can be solved with a single computation.• The number of relevant parameters (and hence the number of graphs) is reduced.• It indicates the relative size of different terms in the governing equations and, in particular, which might conveniently be neglected.• Computational variables are the same order of magnitude, yielding better numerical accuracy.2.4.1 Non-Dimensionalising the Governing EquationsFor incompressible flow the governing equations are:continuity : 0=∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u (21) x-momentum : u xp2∇+∂∂−= (22)Adopting reference scales U 0, L 0 and 0 for velocity, length and density, respectively, andderived scales L 0/U 0 for time and 200U for pressure, each fluid quantity can be written as a product of a dimensional scale and a non-dimensional variable (indicated by an asterisk *):.,)(,,,,*****20000000etc p U p p U t U L t L ref =−====u u x x (Note: In incompressible flow it is differences in pressure that are important, not absolute values. Since these differences are usually much smaller than the absolute pressure it is numerically more accurate to work in terms of the difference from a reference pressure p ref ).Substituting these into mass and momentum equations, (21) and (22), yields:0******=∂∂+∂∂+∂∂z w y v x u (23) *******2Re1D D u x p t u ∇+∂∂−= where Re = (24) From this, it is seen that the key dimensionless group is the Reynolds number Re. If Re is large then viscous forces would be expected to be negligible in much of the flow.Having derived the non-dimensional equations it is usual to drop the asterisks and simply declare that you are “working in non-dimensional variables”.2.4.2 Common Dimensionless GroupsIf other types of fluid force are included then each introduces another non-dimensional group. For example, gravitational forces lead to a Froude number (Fr) and Coriolis forces to aRossby number (Ro). Some of the most important dimensionless groups are given below. (See also the Section 3 examples.)If U and L are representative velocity and length scales, respectively, then:Re UL ≡≡ Reynolds number (viscous flow; = dynamic viscosity)gL U ≡Fr Froude number (open-channel flow; g = gravity)cU ≡Ma Mach number (compressible flow; c = speed of sound) L U Ω≡Ro Rossby number (rotating flows; = angular rotation rate)We ≡Weber number (free-surface flows; = surface tension)• Fluid dynamics is governed by conservation equations for mass, momentum, energy and, for a non-homogeneous fluid, the amount of individual constituents.• The governing equations can be expressed in equivalent integral (control-volume) or differential forms.• The finite-volume method is a direct discretisation of the control-volume approach.• Differential forms of the flow equations may be conservative (i.e. can be integrated directly to give something of the form “flux out – flux in = source ”) or non-conservative .• A particular control-volume equation takes the form: rate of change + net outward flux = source• There are really just two canonical equations to discretise and solve: mass conservation (continuity ):0)(d d =+∑facesC V t (C = u •A is outward mass flux) scalar-transport (or advection-diffusion ) equation :sourcediffusion advection change of rate V S AC V t faces=−φ+φ∑)()(d d• Each Cartesian velocity component (u, v, w ) satisfies its own scalar-transport equation. However, these equations differ from those for a passive scalar because theyare non-linear and strongly coupled through the advective fluxes and pressure forces.• Non-dimensionalising the governing equations, allows dynamically-similar flows (those with the same values of Reynolds number, etc.) to be solved with a singlecalculation, reduces the overall number of parameters, indicates when certain terms in the governing equations are significant or negligible and ensures that the main computational variables are of similar magnitude.Q1.The continuity and x -momentum equations can be written for 2-d flow in conservative form (and with compressibility neglected in the viscous forces) as0)()(=∂∂+∂∂+v yu x u xp vu y uu x u t 2)()()(∇+∂∂−=∂∂+∂∂+∂∂ respectively.(a)By expanding derivatives of products show that these can be written in the equivalent non-conservative forms:0(=∂∂+∂∂+yv x uu xp 2∇+∂∂−= where the material derivative is given (in 2 dimensions) by yv x u t t ∂∂+∂∂+∂∂=D D .(b) Define what is meant by the statement that a flow is incompressible . To what does thecontinuity equation reduce in incompressible flow?(c) Write down conservative forms of the 3-d equations for mass and x -momentum.(d) Write down the z -momentum equation, including gravitational forces.(e) Show that, for constant-density flows, pressure and gravity can be combined in themomentum equations as the piezometric pressure p + g z .**** Remaining parts of this question for MSc course only ****)(f) Write the conservative mass and momentum equations in vector notation.(g) Write the conservative mass and momentum equations in suffix notation using the summation convention.(h) In a rotating reference frame there are additional apparent forces (per unit volume):centrifugal force: )(r ∧∧− or R 2 Coriolis force: u ∧−2 where is the angular velocity vector (with magnitude anddirection along the axis of rotation), u is the fluid velocity in therotating reference frame, r is the position vector (relative to a point on the axis of rotation) and R is a vector perpendicularly outwardfrom the axis of rotation to the point. By writing the centrifugalforce as the gradient of some quantity show that it can be subsumedinto a modified pressure. Also, find the components of the Coriolisforce if rotation is about the z axis.Q2.The x -component of the momentum equation is given by uxp 2∇+∂∂−= Using this equation derive the velocity profile in fully-developed, laminar flow for: (a) pressure-driven flow between stationary parallel planes (“Poiseuille flow ”); (b) constant-pressure flow between stationary and moving planes (“Couette flow ”).Q3. (**** MSc Course only ****)By applying Gauss’s divergence theorem deduce the conservative and non-conservative differential equations corresponding to the integral scalar-transport equation⌡⌠= ⌡⌠•φ∇−φ+ ⌡⌠φ∂VV V V S V t d d )(d d d A uQ4. In each of the following cases, state which of (i), (ii), (iii) is a valid dimensionless number. Carry out research to find the name and physical significance of these numbers.(L = length scale; U = velocity scale; z = height; P = pressure; = density; = dynamic viscosity; = kinematic viscosity; g = gravitational acceleration; = angular velocity).(a) (i)U P P 0−; (ii) ; (iii) )(02P P U −(b) ; (ii) ; (iii) UL(c) 2/1 ; (ii) gL U ; (iii) g P P 0−(d)(ii)Q5. (Computational Hydraulics Examination, May 2008)The momentum equation for a viscous fluid in a rotating reference frame isu u ∧−∇+−∇=22p (*) where is density, u = (u ,v ,w ) is velocity, p is pressure, is dynamic viscosity and is the angular-velocity vector. (The symbol ∧ denotes a vector product.)(a) If ),0,0(= write the x and y components of the Coriolis force (u ∧−2).(b) Hence write the x - and y -components of equation (*).(c) Show how Equation (*) can be written in non-dimensional form in terms of aReynolds number Re and Rossby number Ro (both of which should be defined).(d) Define the terms conservative and non-conservative when applied to the differentialequations describing fluid flow.(e) Define (mathematically) the material derivative operator D/D t . Then, noting that the continuity equation can be written0=+++, show that the x -momentum equation can be written in an equivalent conservativeform.(f) If the x -momentum equation were to be regarded as a special case of the generalscalar-transport (or advection-diffusion) equation, identify the quantities representing: (i) concentration;(ii) diffusivity;(iii) source.(g) Explain why the three equations for the components of momentum cannot be treatedas independent scalar equations.(h) Explain (briefly) how pressure can be derived in a CFD simulation of:(i) high-speed compressible gas flow;(ii) incompressible flow.。
计算流体力学第2讲差分方法2
，并注意
2019/8/11 21
B: L-F分裂 特点： 足够大
正特征值 负特征值
缺点：耗散偏大
=
例如，可取
局部L-F分裂，每个点上计算
全局L-F分裂，全局（一维）上计算
常数
+
数学性质（光滑性） 最好，但耗散偏大
Copyright by Li Mingjun
2019/8/11 22
与迎风格式结合，等价于人工粘性
（人工粘性）
Copyright by Li Mingjun
2019/8/11 23
S-W: L-F:
Van Leer:
方式很多，典型的有3种
=
+
=
+
=
+
Copyright by Li Mingjun
2019/8/11 24
逐点分裂的特征
优点： 无需矩阵运算，计算量小 缺点： 分裂后改变了特征方向， 耗散大
-----如何理论计算修正波数
2019/8/11
1. 耗散与色散误差
数值实验
时间推进： 3步TVD型Runge-Kutta, 且时间步长足够小 （误差忽略）
空间离散： 1阶及2阶迎风格式 （20个网格点）
实验观察到的现象—— 两类误差： 振幅误差 相位误差 （波速误差）
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精确解：
注意：实际上就是普通三角函数，采用复数形式仅仅是 为了理论推导方便。若用实数形式 sin(kx), cos(kx)推导 形式上略显繁琐。
Copyright by Li Mingjun
2019/8/11 7
令： 设： （1）式化为：
计算流体力学 第2讲差分方法1
要求： (1) 坐标变换必须足够光滑， 否则会降低精度
(2) 网格间距变化要缓慢， 否则会带来较大误差
网格非光滑、间距剧烈变化不会降低精度； 随机网格 都可保证精度
Copyright by Li Mingjun
2019/1328/24
方法2： 在非等距网格上直接构造差分格式
原理： 直接进行Taylor展开，构造格式格式系数是坐标（或网格间距）的函数
数值实验：
采用实际问题考 核方法的正确性
数值研究：
采用数值计算推导格式、考察精 度/稳定性/分辨率……
Copyright by Li Mingjun
2019/124/24
(2) 研究CFD的手段
研究CFD的理论手段
例：Fourier分析
初始值
差分系统
(解差分 方程)
数值解（特 定时刻离散 的函数值）
后
前
… j-2 j-1 j j+1 …
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2019/121/23 4
c. 差分方程
经差分离散后的方程，称为差分方程
微分方程
差分方程
截断误差：
如何确定精度？ 1） 理论方法， 给出误差表达式 2）数值方法， 给出误差对 的数值依赖关系
Copyright by Li Xinliang
2019/12/24
(3) 时-空耦合离散
n+1
在某一点进行
Taylor展开，构造格式
n
n,j
j-1 j j+1
(i) 蛙跳格式
(ii) Lax-Wandrof格式
2019/12/24
(iii) 半隐错点格式 (iv) MacCormack格式
流体力学计算习题课(2)
g2HgH2 y2 y gg
对上孔口：x1x1 4a4abbcc
对下孔口x：2x2 4a4abcbc
相遇时：x1 x2 4a4bab4a4cac 4a4cac 4b4cbc
当a=c时上式成立
5
如图所示过水低堰位于一水平河床中，上游水深为
1 1.76kN
方向向右 方向向左
5
②与固体壁面的作用力，即待求的力F，方向向左 质量力： 只有重力G，在x 方向无投影
根据连续性方程：
根据能量方程： 列动量方程：
vd2 （2ug1／Hu2） hd1l1＝2 5 cm
2
如图所示，两个紧靠的水箱逐级放水，放水孔的截面
积分别为A1和A2，试问：h1和h2成什么关系时流动处于定 常状态？这时须在左边水箱补充多大的流量？
1
1
h1
3
3
Z
2 A1
2
h2
4 A2
4
2
解：取计算面，
以4－4为基准，列3－3到4－4伯努利方程：
3
3
4
4
3Байду номын сангаас
4
vu24 2g hH2 hl12
以2－2为基准，列1－1到2－2伯努利方程：
vu22 2g hH1 hl12
2
v2 2g hH1 Avh21l12 2g hH1 Ah2l12
h1／h2＝（A2／A1）2
Q＝v2A1 2g hH1 hl12
1
油从铅直圆管向下流出，管径d1=10cm，管口处的速 度为u1=1.4m／s，求管口下方H＝1.5m处的速度和油柱 直径。
d1
u1
H
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计算流体力学
当来流Ｍ数小于0.2时，为不可压流动，以下为二 种不可压粘性流动控制方程。
2）流函数-涡量方程: (( ) ) ( )( ) F 2 t
2
0
计算流体力学
2.4
常用的模型方程
●流体力学基本方程大都为复杂、非线性方程（组）， 从数值计算角度分析研究比较困难。并且迄今为止还没有 形成成熟的理论。 ●为了认识基本方程的数学性质，常用一些简单的线性 数学方程作为替代进行研究。 ●这些方程具有基本方程的某些特征，称之为模型方程
1）对流方程： 0
上述基本方程构成了Navier-Stokes(简称NS)方程 。
计算流体力学
在三维直角坐标系下Navier-Stokes方程为：
U E F G E v Fv Gv t x y z x y z
u U v w Et
2
(a v )
2 2
2 y
2
(a w )
2 2
2 z 2
上式中: α为音速; V
2 x
2
2 2 2 2uv 2uw 2vw 0 xy xz yz
3）不可压流全位势方程：
2 y
2
2 z
与以上四式组合在一起并写成矩阵形式可得
u x a1 b1 c1 d1 f u 1 a b c d y f 2 2 2 2 2 dx dy 0 0 v du x 0 0 dx dy v dv y
动方程和能量方程可推得：
u v (1 M ) 0 x y
2
u v 0 x y
M 为自由来流马赫数。确定以上流动的类型。
计算流体力学
xx
u v w [4 2( )] 3 x y z
xy yx
yz zy
u v [ ] y x
v w [ ] z y
yy
3
[4
v w u 2( )] y z x
zz
w u v [4 2( )] 3 z x y
最高阶偏导数与偏导数项的乘积）
计算流体力学
◇拟线型线性方程（组）的数学性质
以下列拟线性方程组为例
u u v v a1 b1 c1 d1 f1 x y x y
u u v v a2 b2 c2 d 2 f2 x y x y
式中，系数项 将下式：
( V ) 0 t
u j u DV F p [ ( i ) V ] ij Dt x j x j xi
D V2 (e ) F V ( ij V ) (kT ) q Dt 2
计算流体力学
（2.23）
令矩阵[A]为上式的系数矩阵，即：
a1 b1 c1 d1 a b c d A 2 2 2 2 dx dy 0 0 0 0 dx dy
并将[A]矩阵的第一列用(2.23) 式右侧矢量替代构成矩阵[B]
f1 b1 c1 d1 f b c d B 2 2 2 2 du dy 0 0 dv 0 dx dy
b b2 4ac dy / dx 2a
令： b2 4ac ，如果在 xy平面内某一点有： D 1）D 0 ，则偏微分方程组(2.21)有两条各不相同特征线，称方程为双 曲型；
2）D 0 ，则偏微分方程组(2.21)只有一条特征线，称方程为抛物型；
3）D 0 ，偏微分方程组(2.21)没有特征线，称方程为椭圆型。 双曲型、抛物型和椭圆型实际上是直接借用以下二次曲线性质
0 0 0 xx xz xy E Gv yz Fv yy v xy yz zz xz T T T u xz v yz w zz k u xx v xy w xz k u xy v yy w yz k z x y
平面流动速度与流函数涡量关系: u
v u ,v , y x x y
计算流体力学
2.3 无粘流数学模型
1） 欧拉方程：
U E F G 0 t x y z
2
2）全位势方程： (a
u )
2
2 x
上式可变成：
W W 1 K M 0 x y
1
上式中 N K
M 矩阵的特征值决定偏微分方程组类型。如果特征
值全是实数，方程组为双曲型；如果特征值全为复数，方程组为椭圆型。
[例] 二维无旋、无粘定常可压缩流，流场中有一细长体，如机翼翼型。
u 如果在上游有一小扰动，扰动速度分量为： , v 。根据连续方程、运
xz zx
u w [ ] z x来自上述方程组不封闭，还需要补充数学关系式： １）状态方程： e
２）物性系数与状态参数关系： ( , T), k k( , T)
p RT (r 1) (r 1)
2．2 不可压缩非定常粘性流数学模型
计算流体力学
第二章 流体力学数值计算数学模型及定解条件
☆本章所涉及的基本方程有两类： ●流体力学基本方程，基本出发点：质量守恒、动量守恒和能 量守恒 ●简化模型方程：具有流体力学基本方程的某些特性，用于对 所对应的流体力学方程理论分析 2．1 可压缩非定常粘性流数学模型 连续方程： 运动方程： 能量方程：
☆ab曲线是任意选定的，其选择不影响计算结 果。 ☆但如果选择的方向使得
u 则无法采用(2.24)计算 值 x
ef 称为通过P点的特征线
A 0
图2.1 特征线示意图
计算流体力学
所谓特征线即为通过xy平面内某点P的曲线，沿此曲线方向无法确定 u和v的偏导数值。因此可通过求解：
A 0
确定特征线。由
由上式可确定xy平面内每一点的特征线斜率，从而确定特征线。如果令：
a (a1c2 a2c1 ) b (a1d 2 a2 d1 b1c2 b2c2 ) c (b1d 2 b2 d 2 )
则上式可写成： 即：
计算流体力学
a(dy / dx)2 b(dy / dx) c 0
计算流体力学
2．5偏微分方程的数学性质及其与流体运动的关系
流体力学基本方程及模型方程属偏微分方程（组），由于 方程的复杂性通常无法采用积分方法求精确解，但可将其离
散进行数值求解。
流体力学方程（组）的数值求解需符合流动的物理规律， 同时边界条件的给定也要遵循流动的物理规律，因此首先需 了解方程的数学性质。 2．5．1 拟线性偏微分方程组的分类 ◇拟（准）线性方程组 对于流体力学控制方程，所有最高阶偏导数项都是线性 的（这些项前仅有一个系数项，系数项是变量的函数、没有
ax2 bxy cy 2 dx ey f 0
计算流体力学
2．5．2 偏微分方程组分类的通用方法
以上根据Gramer法则给出了拟线性方程组类型的确定方法。下面介 绍另一种方程组类型通用确定方法。为简单起见，假设方程组(2.21)右 端项为0，即： u u v v a1 b1 c1 d1 0 x y x y （2.29） u u v v a2 b2 c2 d 2 0 x y x y 定义矢量： u
计算流体力学
根据Gramer法则，有
u B x A
同理可求出
(2.24)
u v v , , y x y
du,dv,dx,dy计算： 在xy平面内任一点P，过P点作一曲线ab， 如果点2无限接近于P点，则：
dx x2 xp ; dy y2 y p ; du u2 u p ; dv v2 vp
★这个方程和伯格斯方程同属双曲—抛物型方程，但它是 线性的，比较简单。 ★当β=0时，退化成双曲型方程，当α=0时，则变成抛物 型方程 4）抛物型方程：
2 t x 2
计算流体力学
5）椭园型方程：
f
★称为泊松方程，其右端函数项f为已知； ★若f=0,则成为拉普拉斯方程。
a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d 2 A 0 dx dy 0 0 0 0 dx dy
展开得：
(a1c2 a2 c1 ) ( dy)2 ( a1d2 a2 d1 b1c2 b2 c2 ) dxdy (b1d 2 b2 d 2 )(dx)2 0
进一步可得
(a1c2 a2c1 )(dy / dx)2 (a1d2 a2 d1 b1c2 b2 c2 ) dy / dx (b1d2 b2 d2 ) 0
t
x
★此方程是双曲型方程，形式类同于一维欧拉方程 。
计算流体力学
2 2）伯格斯（Burgers）方程 ： 2 2 t x x
★是一个非线性方程，具有NS方程类似的性态，式中系数 β相当于流体的粘性系数。 3）对流—扩散方程 ：
2 2 t x x
u 2 u p E uv uw ( E t p )u v uv 2 F v p vw ( E t p )v w uw G vw w 2 ( E p)w t