计算流体力学2

（2.21）
a1 , b1 , c1 , d1 , f1 a2 , b2 , c2 , d2 , f2
u u dx dy x y v v dv dx dy x y du
是x,y,u,v的函数。
u,v是因变量为独立变量x,y的函数，并且u,v是x,y的连续函数。
（2.22）
上述基本方程构成了Navier-Stokes(简称NS)方程 。
计算流体力学
在三维直角坐标系下Navier-Stokes方程为：
U E F G E v Fv Gv t x y z x y z
u U v w Et
2
(a v )
2 2
2 y
2
(a w )
2 2
2 z 2
上式中: α为音速; V
2 x
2
2 2 2 2uv 2uw 2vw 0 xy xz yz
3）不可压流全位势方程：
2 y
2

2 z
与以上四式组合在一起并写成矩阵形式可得
u x a1 b1 c1 d1 f u 1 a b c d y f 2 2 2 2 2 dx dy 0 0 v du x 0 0 dx dy v dv y
W v
这样式(2.29)可写成矢量形式：
或者：
a1 c1 W b1 d1 W a c x b d y 0 2 2 2 2 W W K M 0 x y
(2.30)
(2.31)
计算流体力学
1）不可压流Navier-Stokes方程 连续方程： V 0
计算流体力学
当来流Ｍ数小于0.2时，为不可压流动，以下为二 种不可压粘性流动控制方程。
2）流函数-涡量方程: (( ) ) ( )( ) F 2 t
计算流体力学
根据Gramer法则，有
u B x A
同理可求出
(2.24)
u v v , , y x y
du,dv,dx,dy计算： 在xy平面内任一点P，过P点作一曲线ab， 如果点2无限接近于P点，则：
dx x2 xp ; dy y2 y p ; du u2 u p ; dv v2 vp
ax2 bxy cy 2 dx ey f 0
计算流体力学
2．5．2 偏微分方程组分类的通用方法
以上根据Gramer法则给出了拟线性方程组类型的确定方法。下面介 绍另一种方程组类型通用确定方法。为简单起见，假设方程组(2.21)右 端项为0，即： u u v v a1 b1 c1 d1 0 x y x y （2.29） u u v v a2 b2 c2 d 2 0 x y x y 定义矢量： u
由上式可确定xy平面内每一点的特征线斜率，从而确定特征线。如果令：
a (a1c2 a2c1 ) b (a1d 2 a2 d1 b1c2 b2c2 ) c (b1d 2 b2 d 2 )
则上式可写成： 即：
计算流体力学
a(dy / dx)2 b(dy / dx) c 0
运动方程： DV F p V Dt De k 2T q 能量方程： Dt
V ( ) 对于平面流动: F y Fx t y x x y x y
计算流体力学
第二章 流体力学数值计算数学模型及定解条件
☆本章所涉及的基本方程有两类： ●流体力学基本方程，基本出发点：质量守恒、动量守恒和能 量守恒 ●简化模型方程：具有流体力学基本方程的某些特性，用于对 所对应的流体力学方程理论分析 2．1 可压缩非定常粘性流数学模型 连续方程： 运动方程： 能量方程：
0 0 0 xx xz xy E Gv yz Fv yy v xy yz zz xz T T T u xz v yz w zz k u xx v xy w xz k u xy v yy w yz k z x y
☆ab曲线是任意选定的，其选择不影响计算结 果。 ☆但如果选择的方向使得
u 则无法采用(2.24)计算 值 x
ef 称为通过P点的特征线
A 0
图2.1 特征线示意图
计算流体力学
所谓特征线即为通过xy平面内某点P的曲线，沿此曲线方向无法确定 u和v的偏导数值。因此可通过求解：
A 0
确定特征线。由

平面流动速度与流函数涡量关系: u
v u ,v , y x x y
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2.3 无粘流数学模型
1） 欧拉方程：
U E F G 0 t x y z
2
2）全位势方程： (a
u )
2
2 x
上式可变成：
W W 1 K M 0 x y
1
上式中 N K
M 矩阵的特征值决定偏微分方程组类型。如果特征
值全是实数，方程组为双曲型；如果特征值全为复数，方程组为椭圆型。
[例] 二维无旋、无粘定常可压缩流，流场中有一细长体，如机翼翼型。
u 如果在上游有一小扰动，扰动速度分量为： , v 。根据连续方程、运
b b2 4ac dy / dx 2a
令： b2 4ac ，如果在 xy平面内某一点有： D 1）D 0 ，则偏微分方程组(2.21)有两条各不相同特征线，称方程为双 曲型；
2）D 0 ，则偏微分方程组(2.21)只有一条特征线，称方程为抛物型；
3）D 0 ，偏微分方程组(2.21)没有特征线，称方程为椭圆型。 双曲型、抛物型和椭圆型实际上是直接借用以下二次曲线性质
动方程和能量方程可推得：
u v (1 M ) 0 x y
2
u v 0 x y
M 为自由来流马赫数。确定以上流动的类型。
最高阶偏导数与偏导数项的乘积）
计算流体力学
◇拟线型线性方程（组）的数学性质
以下列拟线性方程组为例
u u v v a1 b1 c1 d1 f1 x y x y
u u v v a2 b2 c2 d 2 f2 x y x y
式中，系数项 将下式：
a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d 2 A 0 dx dy 0 0 0 0 dx dy
展开得：
(a1c2 a2 c1 ) ( dy)2 ( a1d2 a2 d1 b1c2 b2 c2 ) dxdy (b1d 2 b2 d 2 )(dx)2 0
进一步可得
(a1c2 a2c1 )(dy / dx)2 (a1d2 a2 d1 b1c2 b2 c2 ) dy / dx (b1d2 b2 d2 ) 0
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2．5偏微分方程的数学性质及其与流体运动的关系
流体力学基本方程及模型方程属偏微分方程（组），由于 方程的复杂性通常无法采用积分方法求精确解，但可将其离
散进行数值求解。
流体力学方程（组）的数值求解需符合流动的物理规律， 同时边界条件的给定也要遵循流动的物理规律，因此首先需 了解方程的数学性质。 2．5．1 拟线性偏微分方程组的分类 ◇拟（准）线性方程组 对于流体力学控制方程，所有最高阶偏导数项都是线性 的（这些项前仅有一个系数项，系数项是变量的函数、没有
u 2 u p E uv uw ( E t p )u v uv 2 F v p vw ( E t p )v w uw G vw w 2 ( E p)w t
★这个方程和伯格斯方程同属双曲—抛物型方程，但它是 线性的，比较简单。 ★当β=0时，退化成双曲型方程，当α=0时，则变成抛物 型方程 4）抛物型方程：
2 t x 2
计算流体力学
5）椭园型方程：
f
★称为泊松方程，其右端函数项f为已知； ★若f=0,则成为拉普拉斯方程。

xz zx
u w [ ] z x
上述方程组不封闭，还需要补充数学关系式： １）状态方程： e
２）物性系数与状态参数关系： ( , T), k k( , T)
p RT (r 1) (r 1)
2．2 不可压缩非定常粘性流数学模型
2
0
计算流体力学
2.4
常用的模型方程
●流体力学基本方程大都为复杂、非线性方程（组）， 从数值计算角度分析研究比较困难。并且迄今为止还没有 形成成熟的理论。 ●为了认识基本方程的数学性质，常用一些简单的线性 数学方程作为替代进行研究。 ●这些方程具有基本方程的某些特征，称之为模型方程
1）对流方程： 0
t
x
★此方程是双曲型方程，形式类同于一维欧拉方程 。
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2 2）伯格斯（Burgers）方程 ： 2 2 t x x
★是一个非线性方程，具有NS方程类似的性态，式中系数 β相当于流体的粘性系数。 3）对流—扩散方程 ：
2 2 t x x
( V ) 0 t
u j u DV F p [ ( i ) V ] ij Dt x j x j xi
D V2 (e ) F V ( ij V ) (kT ) q Dt 2
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（2.23）
令矩阵[A]为上式的系数矩阵，即：
a1 b1 c1 d1 a b c d A 2 2 2 2 dx dy 0 0 0 0 dx dy
并将[A]矩阵的第一列用(2.23) 式右侧矢量替代构成矩阵[B]
f1 b1 c1 d1 f b c d B 2 2 2 2 du dy 0 0 dv 0 dx dy
计算流体力学
xx
u v w [4 2( )] 3 x y z

xy yx
yz zy
u v [ ] y x
v w [ ] z y
yy

3
[4
v w u 2( )] y z x
zz
w u v [4 2( )] 3 z x百度文库y