201X届九年级数学下册 第一章 1.5 二次函数的应用练习 (新版)湘教版

1.5 二次函数的应用

第1课时 利用二次函数解决实物抛物线问题、面积问题

基础题

知识点1 利用二次函数解决实物抛物线问题

1．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y ＝－1

25

x 2，当水面离桥拱顶的高度DO 是4 m 时，这时水面宽度AB 为(C)

A ．－20 m

B ．10 m C

．20 m

D ．－10 m

2．西宁中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3 m ，此时距喷水管的水平距离为1

2

m ，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是(C)

A ．y ＝－(x －1

2)2＋3

B ．y ＝－3(x ＋12)2

＋3

C ．y ＝－12(x －1

2)2＋3

D ．y ＝－12(x ＋1

2

)2＋3

3．某工厂大门是一抛物线水泥建筑物(如图)，大门地面宽AB ＝4 m ，顶部C 离地面高为4.4 m. (1)以AB 所在直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线对应的函数表达式；

(2)现有一辆载满货物的汽车欲通过大门，货物顶点距地面2.8 m ，装货宽度为2.4 m ，请通过计算，

判断这辆汽车能否顺利通过大门．

解：(1)如图，过AB 的中点作AB 的垂直平分线，建立平面直角坐标系．点A ，B ，C 的坐标分别为 A(－2，0)，B(2，0)，C(0，4.4)．

设抛物线的表达式为y ＝a(x －2)(x ＋2)． 将点C(0，4.4)代入得

a(0－2)(0＋2)＝4.4，解得a ＝－1.1， ∴y＝－1.1(x －2)(x ＋2)＝－1.1x 2＋4.4. 故此抛物线的表达式为y ＝－1.1x 2＋4.4. (2)∵货物顶点距地面2.8 m ，装货宽度为2.4，

∴只要判断点(－1.2，2.8)或点(1.2，2.8)与抛物线的位置关系即可． 将x ＝1.2代入抛物线，得 y ＝2.816＞2.8， ∴点(－1.2，2.8)和点(1.2，2.8)都在抛物线内． ∴这辆汽车能够通过大门．

知识点2 利用二次函数解决面积问题

4．(教材P32习题T2变式)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m ，则所围成矩形ABCD 的最大面积是(C)

A ．60 m 2

B ．63 m 2

C ．64 m 2

D ．66 m 2

5．某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是(B) A ．600 m 2 B ．625 m 2 C ．650 m 2

D ．675 m 2

6．(教材P31练习T2变式)将一根长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是252

cm 2.

7．在一幅长80 cm 、宽50 cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是y cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，要求纸边的宽度不得少于1 cm ，同时不得超过2 cm.

(1)求出y 关于x 的函数表达式，并直接写出自变量的取值范围；

(2)此时金色纸边的宽应为多少厘米时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积．

解：(1)镶金色纸边后风景画的长为(80＋2x)cm ，宽为(50＋2x)cm ， ∴y＝(80＋2x)(50＋2x)＝4x 2＋260x ＋4 000(1≤x≤2)．

(2)∵二次函数y ＝4x 2

＋260x ＋4 000的对称轴为直线x ＝－65

2

，∴在1≤x≤2上，y 随x 的增大而增大．

∴当x ＝2时，y 取最大值，最大值为4 536.

答：金色纸边的宽为2 cm 时，这幅挂图的面积最大，最大面积为4 536 cm 2. 中档题

8．(xx·绵阳)如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m 时，水面宽4 m ，水面下降2 m ，则水面宽度增加(42－4) m.

9．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两面墙隔开(如图)，已知计划中的建筑材料可建墙的长度为48 m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值是144m 2.

10．如图，小明的父亲在相距2 m 的两棵树间拴了一根绳子，给他做了个简易秋千，拴绳子的地方

离地面都是

2.5 m ，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m 的小明距较近的那棵树0.5 m 时，头部刚好接触到绳子，则绳子最低点距离地面的距离为多少米？

解：如图，建立平面直角坐标系，由图可设抛物线的函数表达式为y ＝ax 2＋c.

把(－0.5，1)，(1，2.5)代入，得⎩

⎨⎧（－0.5）2

a ＋c ＝1，

a ＋c ＝2.5，

解得⎩⎨⎧a ＝2，

c ＝12.

∴绳子所在抛物线的函数表达式为y ＝2x 2

＋1

2

.

∵当x ＝0时，y ＝1

2

，

∴绳子最低点距离地面的距离为0.5 m.

11．(xx·荆州)为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18 m ，另外三边由36 m 长的栅栏围成，设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边AB ＝x m ，面积为y m 2.(如图)

(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)若矩形空地的面积为160 m 2，求x 的值；

(3)若该单位用8 600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵(每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表)．问丙种植物最多可购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明你的理由．

甲

乙

丙