高中数学竞赛解题策略-几何分册第21章共边比例定理共角比例定理

第章共边比例定理共角比例定理

共边比例定理若两个共边的三角形

，

的对应顶点，所在直线与交于，则．1

证法由同底三角形的面积关系式，有，．

由上述两式相加即证得图中（）、（），上述两式相减即证得图中（）、（）情形．

Q

M N

B

A

P

Q

M

N

B

A

A

B

N

M

Q

P

(4)

(3)

(2)

(1)

图21-1

M N

P

Q

B

A

证法不妨设与不同，则

．

证法在直线上取一点，使，则，．

所以，．

共角比例定理若与相等或互补，则有

（或）

证明把两个三角形拼在一起，让的两边所在直线与的两边所在直线重合，如图所示，其中图（）是两角相等的情形，图（）是两角互补的情形，两情形下都有

C'

B(B')

A'A

C

B(B')A'

C'

C

A

(2)

(1)

图21-2

①张景中．几何新方法和新体系．北京：科学出版社，2009：5．

共角比例定理的推广与相等或互补，点在直线上且不同于，点在直线上且不同于，则

证明不妨设，，，共线如图，则

B(Y)P

Z

X Q C

A

图21-3

共角比例不等式如果，而且两角之和小于，则

（或）．

证明记，．

如图，作一个顶角为的等腰，延长至，使，则．由共角比例定理，有

共角比例逆定理在和中，若，则与相等或互补．