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安徽省合肥一中2019-2020学年高二(上)期中数学(理科)试题

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安徽省合肥市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

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安徽省合肥2023-2024学年上学期高二年级数学期中考试（答案在最后）（考试总分：150分考试时长：120分钟）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.经过((),3,0A B 两点的直线的倾斜角为（）A.5π6 B.π6 C.2π3D.π3【答案】A 【解析】【分析】根据直线上任意两点可求出斜率，从而求出倾斜角.【详解】由题意得033303AB k -==--，所以直线的倾斜角为5π6；故选：A2.以点()1,2A -为圆心，且与直线0x y +=相切的圆的方程为（）A.221(1)(2)2x y -++=B.229(1)(2)2x y -++=C.221(1)(2)2x y ++-=D.229(1)(2)2x y ++-=【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式求出圆的半径即可得解.【详解】由直线0x y +=为圆的切线，得圆的半径r ==所以所求圆的方程为221(1)(2)2x y -++=.故选：A3.已知(2,1,3),(1,3,9)a x b == ，如果a 与b为共线向量，则x =（）A.1B.12C.13 D.16【答案】D 【解析】【分析】由a 与b为共线向量则a b λ= 求解即可.【详解】因为a 与b 为共线向量，所以a b λ=，即21339x λλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得1316x λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故选：D4.经过两条直线1:2l x y +=，2:21l x y -=的交点，且直线的一个方向向量()3,2v =-的直线方程为（）A.2350x y +-=B.220x y ++=C.220x y +-=D.70x y --=【答案】A 【解析】【分析】联立方程组求得两直线的交点坐标为(1,1)，再由题意，得到23k =-，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】联立方程组221x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得1,1x y ==，即两直线的交点坐标为(1,1)，因为直线的一个方向向量(3,2)v =- ，可得所求直线的斜率为23k =-，所以所求直线方程为21(1)3y x -=--，即2350x y +-=.故选：A.5.如图，在正方体1111ABCD A B C D －中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点，若AB ＝a ，则MN 的长为（）A.32a B.33a C.55a D.155a 【答案】A 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，用AB ，AD ，1AA表示MN ，将线段长度问题转换为向量模长问题.【详解】设AB i = ，AD j = ，1AA k =，则{},,i j k 构成空间的一个正交基底.()1111122222MN MB BC CN i j j k i j k =++=++-+=++，故2222211134444MN a a a a =++= ，所以MN ＝32a .故选：A6.已知()22112225,24x y x y ++=+=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（）A.55B.15C.655D.365【答案】B 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及两点距离公式计算即可.【详解】易知()()221212x x y y -+-为圆()2225x y ++=上一点()11,A x y 与直线24x y +=上一点()22,B x y 的距离的平方，易知圆心()2,0C -，半径5r =，点C 到直线24x y +=的距离222465512d --==+，则()22min15ABd r =-=.故选：B7.在我国古代的数学名著《九章算术》中，堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，190,2,4ACB AB AA ︒=∠==，当鳖臑1A ABC -的体积最大时，直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值为（）A.346B.31010C.26D.1010【答案】C 【解析】【分析】先根据鳖臑1A ABC -体积最大求出AC 和BC 的值，建系求出各点坐标，利用向量即可求出直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值.【详解】在堑堵111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，2AB =，14AA =，1112||||||||||2313ABC A V AC BC AA AC BC -⋅⋅⋅⋅==⋅ ，222||||||||||()2||||2||4AC BC B C AC B B A C C C C A ++=+⋅⋅≤ ，22||4||BC AC += ，||||2AC BC ∴⋅≤，当且仅当||||2AC BC ==是等号成立，即当鳖臑1A ABC -的体积最大时，||||2AC BC ==，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z轴，建立空间直角坐标系，14)B ，(0,0,0)C，A，B，1(0,4)B C =-，BA =，1(0,0,4)BB = ，设平面11ABB A 的法向量n(,,)x y z =，则1040n BA n BB z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1x =，得(1,1,0)n = ，设直线1B C 与平面11ABB A 所成角为θ，则11||6|s |in ||C C B n B n θ⋅==⋅，∴直线1B C 与平面11ABB A 所成角的正弦值为26．故选：C ．8.已知椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，123cos 5F PF ∠=，则||PO =（）A.25B.2C.35D.2【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出221212,PF PF PF PF +的值，利用()1212PO PF PF =+，根据向量模的计算即可求得答案.【详解】由题意椭圆22196x y +=，12,F F 为两个焦点，可得3,a b c ===则1226PF PF a +==①，即221212236PF PF PF PF ++=，由余弦定理得2222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠=，123cos 5F PF ∠=，故212123()2(1)125PF PF PF PF +-+=，②联立①②，解得：22121215,212PF PF PF PF =∴+=，而()1212PO PF PF =+ ，所以1212PO PO PF PF ==+，即12122PO PF PF =+===，故选：B【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O 为12F F 的中点，从而可以利用向量知识求解||PO .二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.已知平面α的一个法向量为()1,2,1n =-，以下四个命题正确的有（）A.若直线l 的一个方向向量为()2,4,2u =--，则//l αB.若直线l 的一个方向向量为()2,4,2u =--，则l α⊥C.若平面β的一个法向量为()1,0,1m =，则//αβD.若平面β的一个法向量为()1,0,1m =，则αβ⊥【答案】BD 【解析】【分析】由0n u ⋅≠ ，2u n =- 可判断AB ；由0n m ⋅=可判断CD【详解】对于AB ：平面α的一个法向量为()1,2,1n =-，直线l 的一个方向向量为()2,4,2u =--，所以282120n u ⋅=---=-≠，所以n 与u不垂直，又2u n =-，所以//u n，所以l α⊥，故A 错误，B 正确；对于CD ：平面α的一个法向量为()1,2,1n =-，平面β的一个法向量为()1,0,1m =，，所以1010n m ⋅=+-=，所以n m ⊥ ，所以αβ⊥，故C 错误，D 正确；故选：BD10.已知方程224820x y x y a +-++=，则下列说法正确的是（）A.当10a =时，表示圆心为(2,4)-的圆B.当10a <时，表示圆心为(2,4)-的圆C.当0a =时，表示的圆的半径为D.当8a =时，表示的圆与y 轴相切【答案】BCD 【解析】【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，方程224820x y x y a +-++=，可化为()()2224202x y a -++=-，可圆的圆心坐标为(2,4)-，A 中，当10a =时，此时半径为2020a -=，所以A 错误；B 中，当10a <时，此时半径大于2020a ->，表示圆心为(2,4)-的圆，所以B 正确；C 中，当0a =时，表示的圆的半径为r =，所以C 正确；D 中，当8a =时，可得2024a -=，方程表示的圆半径为2r =，又圆心坐标为()2,4-，所以圆心到y 轴的距离等于半径，所以圆与y 轴相切，所以D 正确．故选：BCD.11.已知()1,,m a b a b =+- （a ，b ∈R ）是直线l 的方向向量，()1,2,3n =是平面α的法向量，则下列结论正确的是（）A.若l α∥，则510a b -+=B.若l α∥，则10a b +-=C .若l α⊥，则20a b +-= D.若l α⊥，则30a b --=【答案】ACD 【解析】【分析】选项A 、B ：根据0m n ⋅=求解；选项C 、D ：根据m n ∥，向量的平行求解；【详解】对于A ，B ，若l α∥则m n ⊥ ，所以0m n ⋅=，即()()1230a b a b +++-=，即510a b -+=，A 正确，B 错误；对于C 、D ，若l α⊥，则m n∥，所以1123a b a b+-==，即20a b +-=且30a b --=，C 、D 正确.故选：ACD.12.的圆柱被与其底面所成的角为45θ=︒的平面所截，截面是一个椭圆，则（）A.椭圆的长轴长为4B.椭圆的离心率为4C.椭圆的方程可以为22142x y +=D.椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-【答案】ACD 【解析】【分析】结合图象根据椭圆的长轴，短轴的几何意义求椭圆的a b ，，由此判断各选项.【详解】设椭圆的长半轴长为a ，椭圆的长半轴长为b ，半焦距为c ，由图象可得2cos 45a = ∴2a =，又b =，222c a b =-，∴c =∴椭圆的长轴长为4，A 对，椭圆的离心率为2，B 错，圆的方程可以为22142x y +=，C 对，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2D 对，故选：ACD .三、填空题（本题共计4小题，总分20分）13.两直线330x y +-=与640x my ++=平行，则它们之间的距离为__________．【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式求解即得.【详解】两直线330x y +-=与640x my ++=平行，则36m =，即2m =，直线640x my ++=化为：320x y ++=2=.所以所求距离为102.故答案为：214.圆224x y +=与圆22260x y y ++-=的公共弦长为__________.【答案】【解析】【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程，求出圆224x y +=的圆心到相交弦所在直线的距离，利用勾股定理可求得相交弦长.【详解】设圆221:4C x y +=与圆222:260C x y y ++-=相交于A ，B 两点，圆1C 的半径12r =，将两圆的方程相减可得1y =，即两圆的公共弦所在的直线方程为1y =，又圆心1C 到直线AB 的距离1d =，12r =，所以22212AB d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得AB =故答案为：15.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为1的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=o，12AA =，则线段1AC 的长为_____．【答案】【解析】【分析】以1,,AB AD AA 为基底表示出空间向量1AC uuu r ，利用向量数量积的定义和运算律求解得到21AC ，进而得到1AC 的长.【详解】()()222111AC AB BC CC AB AD AA =++=++ 222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ 1140212cos 60212cos 6010=++++⨯⨯+⨯⨯=，1AC ∴=，即线段1AC..16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点距离之比为定值λ（0λ>且1λ≠）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，满足2=MA MO 的动点M 的轨迹为C ，若在直线:30l ax y a -+=上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得PA PB ⊥，则实数a 的取值范围是______.【答案】[7,1]-【解析】【分析】根据求轨迹方程的步骤：1.设点的坐标；2.找等量关系列方程；3.化简.先求出动点M 的轨迹方程，然后根据题意要使在直线:30l ax y a -+=上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得PA PB ⊥成立，则点P到圆心的距离小于等于，利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】设(,)M x y ，因为()0,3A ，()0,0C ，又因为2=MA MO ，所以2222(3)4()x y x y +-=+，化简整理可得：22(1)4x y ++=，动点M 的轨迹是以(0,1)C -为圆心，以2为半径的圆，因为直线:30l ax y a -+=过定点(3,0)-，若在直线:30l ax y a -+=上存在点P ，在C 上存在两点A 、B ，使得PA PB ⊥，由数形结合可知：当A 、B 为圆的切点时点P，所以点P，2≤，解之可得：71a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[7,1]-，故答案为：[7,1]-.四、解答题（本题共计6小题，总分70分）17.在平行四边形ABCD 中，(1,2)A -，()1,3B ，(3,1)C -，点E 是线段BC 的中点．（1）求直线CD 的方程；（2）求过点A 且与直线DE 垂直的直线．【答案】（1）250x y --=；（2）350x y +-=.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出点D 的坐标，再求出直线CD 的方程作答.（2）求出点E 坐标及直线DE 的斜率，再利用垂直关系求出直线方程作答.【小问1详解】在平行四边形ABCD 中，(1,2)A -，()1,3B ，(3,1)C -，则(2,4)AD BC ==-，则点(1,2)D -，直线CD 的斜率2(1)1132CD k ---==-，则有1(1)(3)2y x --=-，即250x y --=，所以直线CD 的方程是250x y --=.【小问2详解】依题意，点(2,1)E ，则直线DE 的斜率21312DE k --==-，因此过点A 且与直线DE 垂直的直线斜率为113DE k -=-，方程为12(1)3y x -=-+，即350x y +-=，所以所求方程是350x y +-=.18.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1）证明：直线1//BD 平面ACE ；（2）求异面直线1CD 与AE 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）根据线线平行，结合线面平行的判定即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解线线角.【小问1详解】如图，连接BD 交AC 于点O ，连接EO ，由于E 为1DD 的中点，O 为AC 的中点,则//EO 1BD ,又因为EO ⊂平面1,ACE BD ⊄平面ACE ，所以1BD //平面ACE【小问2详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为2a ，则()0,2,0C a ()()()10,0,2,2,0,0,0,0,D a A a E a ，所以()10,2,2CD a a =- ，()2,0,AE a a =-，设1CD 与AE 所成角为θ,则111cos cos ,10CD AE CD AE CD AEθ⋅===所以1CD 与AE所成角的余弦值为10.19.已知圆C 的圆心坐标()1,1，直线:1l x y +=被圆C．（1）求圆C 的方程；（2）从圆C 外一点()2,3P 向圆引切线，求切线方程．【答案】（1）()()22111x y -+-=（2）2x =或3460x y -+=【解析】【分析】（1）计算出圆心C 到直线l 的距离，利用勾股定理求出圆C 的半径，由此可得出圆C 的方程；（2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在第一种情况下，写出切线方程，直接验证即可；在第二种情况下，设出切线方程为()32y k x -=-，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，由此可得出所求切线的方程.【小问1详解】解：圆心C 到直线l的距离为2d ==，所以，圆C的半径为1r ==，因此，圆C 的方程为()()22111x y -+-=.【小问2详解】解：当切线的斜率不存在时，则切线的方程为2x =，且直线2x =与圆C 相切，合乎题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为()32y k x -=-，即320kx y k -+-=，1=，解得34k =，此时，切线的方程为3460x y -+=.综上所述，所求切线的方程为2x =或3460x y -+=.20.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面为矩形，平面11AAD D ⊥平面11CC D D ，且1111122CC CD DD C D ====.（1）证明：AD ⊥平面11CC D D ；（2）若11π3A CD ∠=，求平面1A AC 与平面ABC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）34【解析】【分析】（1）连结1DC ，进而利用勾股定理证明11DC DD ⊥，结合题中条件利用线面垂直的判断定理证明即可；（2）以1D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面1A AC 与平面ABC 的法向量，计算即可.【小问1详解】如图，在梯形11CC D D 中，因为1111122CC CD DD C D ====，作11DH D C ⊥于H ，则11D H =，所以11cos 2DD H ∠=，所以11π3DD C ∠=，连结1DC ，由余弦定理可求得123DC =因为2221111DC DD D C +=，所以11DC DD ⊥，因为平面11AA D D ⊥平面11CC D D 且交于1DD ，1DC ⊂平面11CC D D ，所以1DC ⊥平面11AA D D因为AD ⊂平面11AA D D ，所以1AD DC ⊥，因为1,AD DC DC DC D ⊥⋂=，1DC DC ⊂，平面11CC D D ，所以AD ⊥平面11CC D D .【小问2详解】连结11A C ，由（1）可知，11A D ⊥平面11CC D D ，所以1AC 与平面11CC D D 所成的角为11A CD ∠，即11π3A CD ∠=，在11Rt ACD △中，因为123CD =，所以116A D =因为11//A C AC ，所以平面1A AC 与平面11A ACC 是同一个平面.以1D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，()(()116,0,0,3,0,4,0A C C 所以()(1116,4,0,3AC AC =-=-设平面1A AC 的法向量为(),,n a b c =，则有，1110n A C n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即3206330a b a b c -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，令2a =，则3,3b c ==，故(3n =由题意可知()0,0,1m =是平面ABC 的一个法向量所以33cos ,144m n m n m n ⋅===⨯，故平面1A AC 与平面ABC 夹角的余弦夹角的值为4.21.如图，相距14km 的两个居民小区M 和N 位于河岸l （直线）的同侧，M 和N 距离河岸分别为10km 和8km ．现要在河的小区一侧选一地点P ，在P 处建一个生活污水处理站，从P 排直线水管PM ，PN 分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ 段长为t km （0<t <8）．（1）求污水处理站P 到两小区的水管的总长最小值（用t 表示）；（2）请确定污水处理站P 的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．【答案】（1）)08t <<（2）P 点距河岸5km ，距小区M 到河岸的垂线km ，此时污水处理站到小区M 和N 的水管长度分别为10km 和6km ．【解析】【分析】（1）本题实质为在一直线上求一点到两定点距离之和最小，其求法为利用三角形两边之和大于第三边：先作N 关于直线的对称点1N ，再利用11PM PN PM PN MN +=+≥得最小值)08t <<（2）由（1）知三段水管的总长)108L PM PN PQ MN PQ t t =++≥+=+<<，因此总长最小就是求)08y t t =+<<最小值，这种函数最小值可利用判别式法求解，即从方程有解出发，利用判别式不小于零得解．【详解】（1）如图，以河岸l 所在直线为x 轴，以过M 垂直于l 的直线为y 轴建立直角坐标系，则可得点()()0,10,M N ，设点(,)P s t ，过P 作平行于x 轴的直线m ，作N 关于m 的对称点1N ，则()13,28N t -．所以2211(830)(12810)PM PN PM PN MN t +=+≥=-+--)21812908t t t =-+<<即为所求．（2）设三段水管总长为L ，则由（1）知)2121812908L PM PN PQ MN PQ t t t t =++≥+=+-+<<，所以22()4(18129)L t t t -=-+在()0,8t ∈上有解．即方程223(272)(516)0t L t L +-+-=在()0,8t ∈上有解．故22(272)12(516)0L L ∆=---≥，即218630L L --≥，解得21L ≥或3L ≤-，所以L 的最小值为21，此时对应的5(0,8)t =∈．故()13,2N ，1MN 方程为3103y x =-，令5y =得3x =，即()53,5P ，从而22(53)(510)10PM =+-=，22(5383)(58)6PN =-+-=．所以满足题意的P 点距河岸5km ，距小区M 到河岸的垂线53km ，此时污水处理站到小区M 和N 的水管长度分别为10km 和6km ．22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点与左､右焦点连线的斜率之积为45-.（1）求椭圆C 的离心率；（2）已知椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，且6AB =，点M 是C 上任意一点（与,A B 不重合），直线,MA MB 分别与直线:5l x =交于点,,P Q O 为坐标原点，求OP OQ ⋅ .【答案】（1）3（2）1619【解析】【分析】（1）由椭圆标准方程可写出顶点以及焦点坐标，由斜率之积可得2245b c =，即可求出离心率；（2）设出点M 坐标，写出直线MA 和MB 的方程求出交点,P Q 坐标，利用223649x y -=化简OP OQ ⋅ 的表达式即可求得结果.【小问1详解】根据题意可得椭圆C 的上顶点的坐标为()0,b ，左､右焦点的坐标分别为()(),0,,0c c -，由题意可知45b b c c ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，即2245b c =，又222a b c =+，所以2295a c =，即225,93c c a a ==，可得椭圆C 的离心率3e =.【小问2详解】由6AB =，得26a =，即3,2a c b ===，所以椭圆C 的方程为22194x y +=.如图所示：设()00,M x y ，则2200194x y +=，即22003649x y -=，又()(),3,03,0A B -，则直线MA 的方程为()0033y y x x =++，直线MB 的方程为()0033y y x x =--；因为直线,MA MB 分别与直线:5l x =交于点,P Q ，可得0000825,,5,33y y P Q x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，所以()()220000220000163648216641615,5,2525253399999x y y y OP OQ x x x x -⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=+=-= ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭.。

安徽省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(二)

安徽省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷(二)

安徽省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（二）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知数列，那么9是此数列的第（）项．A．12 B．13 C．14 D．152．下列通项公式可以作为等比数列通项公式的是（）A．a n=2n B． C．D．a n=log2n3．下列命题中，一定正确的是（）A．若，则a＞0，b＜0 B．若a＞b，b≠0，则C．若a＞b，a+c＞b+d，则c＞d D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd 4．等差数列{a n}中，已知a1﹣a4﹣a8﹣a12+a15=2，则此数列的前15项和S15等于（）A．﹣30 B．15 C．﹣60 D．﹣155．在△ABC，已知acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．若lg2，lg（2x﹣1），lg（2x+3）成等差数列，则x的值等于（）A．1 B．0或32 C．32 D．log257．等比数列{a n}前n项和S n中，S4=1，S8=3，则a17+a18+a19+a20=（）A．20 B．14 C．16 D．188．下列正确的是（）A．若a，b∈R，则 B．若x＜0，则x+≥﹣2=﹣4C．若ab≠0，则D．若x＜0，则2x+2﹣x＞29．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．910．已知等比数列a1，a2，…a8各项为正且公比q≠1，则（）A．a1+a8=a4+a5B．a1+a8＜a4+a5C．a1+a8＞a4+a5D．a1+a8与a4+a5大小关系不能确定11．若关于x的方程9x+（a+4）•3x+4=0有实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞）B．（﹣∞，﹣4）C．[﹣8，﹣4）D．（﹣∞，﹣8]12．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”．现有定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③f（x）=；④f（x）=ln|x|．则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为（）A．①②B．③④C．①③D．②④二、填空题（每小题5分，共20分）13．设，则a，b的大小关系为．14．若x，y满足，则的最大值为．15．若关于x的不等式（m﹣1）x2﹣mx+m﹣1＞0的解集为空集，则实数m的取值为．16．已知，则a+b的最小值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．解不等式：（1）≥0（2）＞1．18．已知三角形的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量，，若．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为，求AC边的最小值，并指明此时三角形的形状．19．已知等差数列{a n}的前n项和为，且a1与a5的等差中项为18．（1）求{a n}的通项公式；（2）若a n=2log2b n，求数列{b n}的前n项和T n．20．设函数f（x）=4x2+ax+2，不等式f（x）＜c的解集为（﹣1，2）．（1）求a的值；（2）解不等式．21．在△ABC中，A=30°，BC=2，D是AB边上的一点，CD=2，△BCD的面积为4，则AC的长为．22．已知a1=3，a n=2a n﹣1+（t+1）•2n+3m+t（t，m∈R，n≥2，n∈N*）（1）t=0，m=0时，求证：是等差数列；（2）t=﹣1，m=是等比数列；（3）t=0，m=1时，求数列{a n}的通项公式和前n项和．参考答案一、单项选择题1．C．2．C．3．A．4．A．5．D．6．D．7．C．8．D．9．B 10．C．11．D．12．C二、填空题13．答案为：a＜b．14．答案为：5．15．答案为m≤．16．答案为：．三、解答题17．解：（1）由得，则，解得﹣3≤x＜，所以不等式的解集是；（2）由得，化简得，即，等价于（x﹣2）（x﹣8）（x﹣3）（x﹣7）＜0，如图所示：由图可得，不等式的解集是（2，3）∪（7，8）．18．解：（1），∵，∴（2a﹣c）cosB=bcosC．由正弦定理得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，整理得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA＞0，∴．∵0＜B＜π，∴．…（2）由已知得：，∴ac=4．由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac≥2ac﹣ac=ac，当且仅当“a=c”时取等号．∴AC的最小值为2，此时三角形为等边三角形．…19．解：（1）∵数列{a n}为等差数列，且a1与a5的等差中项为18，∴a3=18，又a3=S3﹣S2=（9p﹣6）﹣（4p﹣4）=5p﹣2，∴5p﹣2=18，解得：p=4，∴a1=S1=4﹣2=2，∴公差d==8，∴a n=2+（n﹣1）×8=8n﹣6；（2）∵a n=2log2b n=8n﹣6，∴b n=24n﹣3，∴数列{b n}是以2为首项，24=16为公比的等比数列，∴数列{b n}的前n项和T n==（16n﹣1）．20．解：（1）∵函数f（x）=4x2+ax+2，不等式f（x）＜c的解集为（﹣1，2），∴﹣1+2=﹣，∴a=﹣4；（2）不等式转化为（4x+m）（﹣4x+2）＞0，可得m=﹣2，不等式的解集为∅；m＜﹣2，不等式的解集为{x|}；m＞﹣2，不等式的解集为{x|﹣}．21．解：由题意可得CB•CD•sin∠BCD=4，即×2×2 sin∠BCD=4，解得sin∠BCD=．①当∠BCD 为锐角时，cos∠BCD=．△BCD中，由余弦定理可得BD==4．△BCD中，由正弦定理可得，即，故sinB=．在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得AC=4．②当∠BCD 为钝角时，cos∠BCD=﹣．△BCD中，由余弦定理可得BD==4．△BCD中，由正弦定理可得，即，故sinB=．在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得AC=2．综上可得AC=4或2，故答案为4或2．22．解：（1）证明：t=0，m=0时，a n=2a n﹣1+2n，两边同除以2n，可得=+1，即有是首项为，公差为1的等差数列；（2）证明：t=﹣1，m=时，a n=2a n﹣1+3，两边同加上3，可得a n+3=2（a n﹣1+3），即有数列{a n+3}为首项为6，公比为2的等比数列；（3）t=0，m=1时，a n=2a n﹣1+2n+3，两边同除以2n，可得=+1+，即为==1+，即有得=+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=+1++1++…+1+，=n﹣1+=n+2﹣，则a n=（n+2）•2n﹣3，前n项和S n=3•2+4•22+5•23+…+（n+2）•2n﹣3n，可令R n=3•2+4•22+5•23+…+（n+2）•2n，2R n=3•22+4•23+5•24+…+（n+2）•2n+1，两式相减可得，﹣R n=3•2+22+23+…+2n﹣（n+2）•2n+1=4+﹣（n+2）•2n+1=2﹣（n+1）•2n+1，则R n═（n+1）•2n+1﹣2，S n=（n+1）•2n+1﹣2﹣3n．。

2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．若直线l 的倾斜角α满足0＜α＜2π3，且α≠π2，则其斜率k 满足（ ） A ．−√3＜k ＜0 B ．k ＞−√3C ．k ＞0或k ＜−√3D ．k ＞0或k ＜−√332．直线l 过点（﹣1，2）且与直线2x ﹣3y +1＝0垂直，则l 的方程是（ ） A ．3x +2y +7＝0B ．2x ﹣3y +5＝0C ．3x +2y ﹣1＝0D ．2x ﹣3y +8＝03．已知a →，b →，c →是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A ．3a →，a →−b →，a →+2b →B ．2b →，b →−2a →，b →+2a →C ．a →，2b →，b →−c →D ．c →，a →+c →，a →−c →4．在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→、AD ′→、BD →、是（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长的向量 C ．共面向量D ．不共面向量5．如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A ．14米B ．15米C ．√51米D ．2√516．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →=AD →+m AB →−n AA 1→，则m ，n 的值分别为（ ）A ．12，−12B ．−12，−12C ．−12，12D ．12，127．四棱锥P ﹣ABCD 中，AB →=（2，﹣1，3），AD →=（﹣2，1，0），AP →=（3，﹣1，4），则这个四棱锥的高为（ ） A ．√55B ．15C ．25D ．2√558．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣1＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．2x +y +1＝0二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线y ＝ax ﹣2a +1必过定点（2，1）B ．直线3x ﹣2y +4＝0在y 轴上的截距为﹣2C ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为−2310．已知a →=(1，0，1)，b →=(−1，2，−3)，c →=(2，−4，6)，则下列结论正确的是（ ） A ．a →⊥b →B ．b →∥c →C ．＜a →，c →＞为钝角D ．c →在a →方向上的投影向量为（4，0，4）11．圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3＝0，直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0，点P 在圆C 上，点Q 在直线l 上，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 与圆C 相交 B ．|PQ |的最小值是1C ．若P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个D ．从Q 点向圆C 引切线，则切线段的最小值是312．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中（ ）A ．AC 与BD 1的夹角为60°B ．三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的体积为√32πC ．AB 1与平面ACD 1所成角的正切值√2 D ．点D 到平面ACD 1的距离为√33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x 、y 满足x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，则√x 2+y 2的最大值是 ．14．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，且A 1A ＝3，则A 1C 的长为 ．15．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC =√3，沿对角线AC 将△ABC 折起，若二面角B ﹣AC ﹣D 的大小为120°，则B ，D 两点之间的距离为 ．16．瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A （﹣4，0），B （0，4），其欧拉线方程为x ﹣y +2＝0，则顶点C 的坐标可以是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知空间向量a →=（2，4，﹣2），b →=（﹣1，0，2），c →=（x ，2，﹣1）． （Ⅰ）若a →∥c →，求|c →|；（Ⅱ）若b →⊥c →，求cos ＜a →，c →＞的值．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣5＝0．求： （1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程．19．（12分）已知以点C （﹣1，1）为圆心的圆与直线m ：3x +4y +4＝0相切． （1）求圆C 的方程；（2）过点P （﹣2，3）的作圆C 的切线，求切线方程．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝AP ＝2，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥AE ；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值； （Ⅲ）求点A 到平面PBD 的距离．21．（12分）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，DD1＝3，AD＝2，∠BCD=π3，E为棱BB1上一点，BE＝1，过A，E，C1三点作平面α交DD1于点G．（1）求点D到平面BC1G的距离；（2）求平面AEC与平面BEC夹角的余弦值．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的圆心在直线x+y﹣3＝0上，圆C经过点A（0，4），且与直线3x﹣4y+16＝0相切．（1）求圆C的方程；（2）设直线l交圆C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求该定点坐标．2023-2024学年安徽省合肥市重点中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．若直线l 的倾斜角α满足0＜α＜2π3，且α≠π2，则其斜率k 满足（ ） A ．−√3＜k ＜0 B ．k ＞−√3C ．k ＞0或k ＜−√3D ．k ＞0或k ＜−√33解：因为0＜α＜2π3，且α≠π2，所以tan α＞0或tan α＜−√3，所以k ＞0或k ＜−√3， 故选：C ．2．直线l 过点（﹣1，2）且与直线2x ﹣3y +1＝0垂直，则l 的方程是（ ） A ．3x +2y +7＝0B ．2x ﹣3y +5＝0C ．3x +2y ﹣1＝0D ．2x ﹣3y +8＝0解：∵直线2x ﹣3y +1＝0的斜率为23， 由垂直可得所求直线的斜率为−32， ∴所求直线的方程为y ﹣2=−32（x +1）， 化为一般式可得3x +2y ﹣1＝0 故选：C ．3．已知a →，b →，c →是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（ ） A ．3a →，a →−b →，a →+2b →B ．2b →，b →−2a →，b →+2a →C ．a →，2b →，b →−c →D ．c →，a →+c →，a →−c →解：对于选项A ，由3a →=2（a →−b →）+（a →+2b →），即3a →，a →−b →，a →+2b →共面，不能构成空间的一个基底；对于选项B ，由2b →=(b →−2a →)+(b →+2a →)，即2b →，b →−2a →，b →+2a →共面，不能构成空间的一个基底； 对于选项C ，设a →=x （2b →）+y(b →−c →)，又a →，b →，c →是不共面的三个向量，则x 、y 无解，即a →，2b →，b →−c →不共面，能构成空间的一个基底；对于选项D ，由c →=12(a →+c →)−12(a →−c →)，则c →，a →+c →，a →−c →共面，不能构成空间的一个基底， 故选：C ．4．在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→、AD ′→、BD →、是（ ） A ．有相同起点的向量 B ．等长的向量 C ．共面向量D ．不共面向量解：向量AB ′→、AD ′→、BD →显然不是有相同起点的向量，A 不正确； 等长的向量，不正确；是共面向量，D 不正确； 选项A 、B 、D 结合图形，明显错误．又∵AD ′→−AB ′→=B ′D ′→=BD →，∴AB ′→、AD ′→、BD →共面． 故选：C ．5．如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱桥离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）A ．14米B ．15米C ．√51米D ．2√51解：以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶顶点的竖直直线为y 轴，建立直角坐标系， 设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得：A （6，﹣2）， 设圆的半径为r ，则C （0，﹣r ），即圆的方程为x 2+（y +r ）2＝r 2， 将A 的坐标代入圆的方程可得r ＝10， 所以圆的方程是：x 2+（y +10）2＝100则当水面下降1米后可设A ′的坐标为（x 0，﹣3）（x 0＞0） 代入圆的方程可得x 0=√51，所以当水面下降1米后，水面宽为2√51米．故选：D ．6．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →=AD →+m AB →−n AA 1→，则m ，n 的值分别为（ ） A ．12，−12B ．−12，−12C ．−12，12D ．12，12解：由于AF →=AD →+DF →=AD →+12（DC →+DD 1→）=AD →+12AB →+12AA 1→，所以m =12，n =−12，故选：A ．7．四棱锥P ﹣ABCD 中，AB →=（2，﹣1，3），AD →=（﹣2，1，0），AP →=（3，﹣1，4），则这个四棱锥的高为（ ） A ．√55B ．15C ．25D ．2√55解：设平面ABCD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⊥AB →n →⊥AD→， ∴{2x −y +3z =0−2x +y =0，令x ＝1可得y ＝2，z ＝0，即n →=（1，2，0）， ∴cos ＜n →，AP →＞=n →⋅AP→|n →||AP →|=15×26，设AP 与平面ABCD 所成角为α，则sin α=1√5×√26，于是P 到平面ABCD 的距离为|AP →|sin α=√55，即四棱锥P ﹣ABCD 的高为√55．故选：A ．8．已知⊙M ：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ﹣2＝0，直线l ：2x +y +2＝0，P 为l 上的动点．过点P 作⊙M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |•|AB |最小时，直线AB 的方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣1＝0C ．2x ﹣y +1＝0D ．2x +y +1＝0解：化圆M 为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝4， 圆心M （1，1），半径r ＝2．∵S 四边形PAMB =12|PM|⋅|AB|=2S △P AM ＝|P A |•|AM |＝2|P A |=2√|PM|2−4． ∴要使|PM |•|AB |最小，则需|PM |最小，此时PM 与直线l 垂直． 直线PM 的方程为y ﹣1=12（x ﹣1），即y =12x +12， 联立{y =12x +122x +y +2=0，解得P （﹣1，0）．则以PM 为直径的圆的方程为x 2+(y −12)2=54．联立{x 2+y 2−2x −2y −2=0x 2+y 2−y −1=0，相减可得直线AB 的方程为2x +y +1＝0．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线y ＝ax ﹣2a +1必过定点（2，1）B ．直线3x ﹣2y +4＝0在y 轴上的截距为﹣2C ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°D ．若直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l 的斜率为−23解：对于A ：直线y ＝ax ﹣2a +1，整理得y ﹣1＝a （x ﹣2），所以该直线经过（2，1）点，故A 正确； 对于B ：直线3x ﹣2y +4＝0，令x ＝0，解得y ＝2，故直线在y 轴上的截距为2，故B 错误；对于C ：直线√3x +y +1=0，所以直线的斜率k =−√3，所以tanθ=−√3，由于θ∈[0°，180°），故θ＝120°，故C 正确；对于D ：直线l 沿x 轴向左平移3个单位长度，再沿y 轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则v →=(−3，1)，所以直线的斜率为−13，故D 错误． 故选：AC ．10．已知a →=(1，0，1)，b →=(−1，2，−3)，c →=(2，−4，6)，则下列结论正确的是（ ） A ．a →⊥b →B ．b →∥c →C ．＜a →，c →＞为钝角D ．c →在a →方向上的投影向量为（4，0，4）解：对于A ：a →=(1，0，1)，b →=(−1，2，−3)，a →•b →=−1+0﹣3＝﹣4≠0，故A 错误； 对于B ：c →=(2，−4，6)=−2（﹣1，2，﹣3）＝﹣2b →，故b →∥c →，故B 正确；a →•c →=2+0+6＝8＞0，故＜a →，c →＞不为钝角，故C 错误，c →在a →方向上的投影为c →⋅a →|a →|=√2=4√2，故c →在a →方向上的投影向量与a →共线同向且模为4√2， 故可得c →在a →方向上的投影向量为（4，0，4），故D 正确． 故选：BD ．11．圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3＝0，直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0，点P 在圆C 上，点Q 在直线l 上，则下列结论正确的是（ ） A ．直线l 与圆C 相交 B ．|PQ |的最小值是1C ．若P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个D ．从Q 点向圆C 引切线，则切线段的最小值是3解：由圆C ：x 2+y 2+4x ﹣6y ﹣3＝0，得圆C 的标准方程为（x +2）2+（y ﹣3）2＝16， 圆心C （﹣2，3）到直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0的距离d =|−6−12−7|√3+(−4)2=5＞4，所以直线与圆相离，故A 错误；圆心到直线l ：3x ﹣4y ﹣7＝0的距离d ＝5，所以|PQ |的最小值为5﹣4＝1， 若点P 到直线l 的距离为2，则点P 有2个，故B 正确，C 正确； 根据图形知，点Q 到圆心C 的最小值为圆心到直线的距离d ＝5， 由勾股定理得切线长的最小值为√25−16=3，故D 正确． 故选：BCD ．12．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中（ ）A ．AC 与BD 1的夹角为60°B ．三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的体积为√32πC ．AB 1与平面ACD 1所成角的正切值√2 D ．点D 到平面ACD 1的距离为√33解：如图建立空间直角坐标系，则A （1，0，0），C （0，1，0），B （1，1，0），D 1（0，0，1），B 1（1，1，1）， 对于A ，AC →=(−1，1，0)，BD 1→=(−1，−1，1)，则AC →⋅BD 1→=0，即AC →⊥BD 1→，AC 与BD 1的夹角为90°，故A 错误； 对于B ，三棱锥B 1﹣ACD 1外接球与正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球相同， 又正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的外接球的直径等于体对角线的长， 所以三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的半径为√32，所以三棱锥B 1﹣ACD 1外接球的体积为V =43π×(√32)3=√32π，故B 正确； 对于C ，设平面ACD 1的法向量为m →=(x ，y ，z)，AC →=(−1，1，0)，AD 1→=(−1，0，1)，所以{m ⋅AC →=−x +y =0m →⋅AD 1→=−x +z =0，令x ＝1，得到，y ＝z ＝1，则m →=(1，1，1)，因为AB 1→=(0，1，1)，设AB 1与平面ACD 1所成角为α，则sin α=|cos⟨AB 1→，m →⟩|=2⋅3=√63，cos α=√33，tan α=√2，故C 正确； 因为DA →=(1，0，0)，设点D 到平面ACD 1的距离为d ，则d =|DA →⋅m →|m →||=13=√33，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数x 、y 满足x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0，则√x 2+y 2的最大值是 √5+3 ．解：x 2+y 2+4x ﹣2y ﹣4＝0 即 （x +2）2+（y ﹣1）2＝9，表示一个圆心在（﹣2，1），半径等于3的圆， √x 2+y 2表示圆上的点与原点之间的距离，原点到圆心的距离为√5，结合图形知，√x 2+y 2的最大值是√5+3，故答案为 √5+3．14．如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，且A 1A ＝3，则A 1C 的长为 √5 ．解：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，∠A 1AB =∠A 1AD =600，∴∠BCC 1＝∠DCC 1＝120°， 又∵A 1A ＝3，BC ＝DC ＝1，∴CB →⋅CC 1→=CD →⋅CC 1→=|CD →||CC 1→|cos120°=−32．∵底面是边长为1的正方形，∴∠BCD ＝90°，∴CB →⋅CD →=|CB →||CD →|cos90°=0．∵CA 1→=CB →+CD →+CC 1→，∴CA 1→2=(CB →+CD →+CC 1→)2=CB →2+CD →2+CC 1→2+2CB →⋅CC 1→+2CD →⋅CC 1→+2CB →⋅CD →=12+12+32+2×(−32)×2+0=5．∴|CA 1→|=√5．故答案为√5．15．已知矩形ABCD ，AB ＝1，BC =√3，沿对角线AC 将△ABC 折起，若二面角B ﹣AC ﹣D 的大小为120°，则B ，D 两点之间的距离为 √132 ． 解：过B 和D 分别作BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，由AB ＝1，BC =√3，则AC ＝2，∵12AB •BC =12AC •BE =12AC •DF ， ∴BE ＝DF =√32，则AE ＝CF =12，则EF ＝2−12−12=1，∵二面角B ﹣AC ﹣D 的大小为120°，∴＜EB →，FD →＞=120°，即＜BE →，FD →＞=60°，∵BD →=BE →+EF →+FD →，∴BD →2＝（BE →+EF →+FD →）2=BE →2+EF →2+FD →2+2BE →•EF →+2FD →•BE →+2EF →•FD →=BE →2+EF →2+FD →2+2FD →•BE → =34+1+34+2×√32×√32×12=1+94=134， 即|BD →|=√134=√132，即B ，D 之间的距离为√132． 故答案为：√132．16．瑞士数学家欧拉（Leonhard Euler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC 的顶点A （﹣4，0），B （0，4），其欧拉线方程为x ﹣y +2＝0，则顶点C 的坐标可以是 （0，﹣2）或（2，0） ．解：∵A （﹣4，0），B （0，4），∴AB 的垂直平分线方程为x +y ＝0，又外心在欧拉线x ﹣y +2＝0上，联立{x +y =0x −y +2=0，解得三角形ABC 的外心G （﹣1，1）， 又r ＝|GA |=√(−1+4)2+(1−0)2=√10，∴△ABC 外接圆的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝10．设C （x ，y ），则三角形ABC 的重心（x−43，y+43）在欧拉线上，即x−43−y+43+2＝0，整理得x ﹣y ﹣2＝0．联立{(x +1)2+(y −1)2=10x −y −2=0，解得{x =0y =−2或{x =2y =0． 所以顶点C 的坐标可以是（0，﹣2）或（2，0），故答案为：（0，﹣2）或（2，0），四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知空间向量a →=（2，4，﹣2），b →=（﹣1，0，2），c →=（x ，2，﹣1）．（Ⅰ）若a →∥c →，求|c →|；（Ⅱ）若b →⊥c →，求cos ＜a →，c →＞的值．解：（Ⅰ）空间向量a →=（2，4，﹣2），b →=（﹣1，0，2），c →=（x ，2，﹣1），因为a →∥c →，所以存在实数k ，使得c →=ka →，所以{x =2k2=4k −1=−2k，解得x ＝1，则|c →|=√12+22+(−1)2=√6；（Ⅱ）因为b →⊥c →，则b →⋅c →=−x +0−2=0，解得x ＝﹣2，所以c →=(−2，2，−1)，故cos ＜a →，c →＞=a →⋅c →|a →||c →|=−2×2+2×4+(−1)×(−2)√4+16+4×√4+4+1=√66． 18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣5＝0．求：（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程．解：（1）设C （m ，n ），∵AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x ﹣y ﹣5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x ﹣2y ﹣5＝0．∴{2m −n −5=0n−1m−5×12=−1，解得{m =4n =3． ∴C （4，3）．（2）设B （a ，b ），则{a −2b −5=02×a+52−1+b 2−5=0，解得{a =−1b =−3． ∴B （﹣1，﹣3）．∴k BC =3+34+1=65∴直线BC 的方程为y ﹣3=65（x ﹣4），化为6x ﹣5y ﹣9＝0．19．（12分）已知以点C （﹣1，1）为圆心的圆与直线m ：3x +4y +4＝0相切．（1）求圆C 的方程；（2）过点P （﹣2，3）的作圆C 的切线，求切线方程．解：（1）根据题意，圆C 的半径r =|−3+4+4|9+16=1， 故圆C 的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝1；（2）根据题意，由（1）的结论，圆C 的方程为（x +1）2+（y ﹣1）2＝1，若切线的斜率不存在，则切线的方程为x ＝﹣2，符合题意，若切线的斜率存在，设切线的斜率为k ，则切线的方程为y ﹣3＝k （x +2），即kx ﹣y +2k +3＝0， 则有√1+k 2=1，解可得k =−34， 此时切线的方程为3x +4y ﹣6＝0，综合可得：切线的方程为x ＝﹣2或3x +4y ﹣6＝0．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，AB ＝AP ＝2，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：CD ⊥AE ；（Ⅱ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（Ⅲ）求点A 到平面PBD 的距离．（Ⅰ）证明：因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，因为AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A所以CD ⊥平面P AD ．因为AE ⊂平面P AD ，所以CD ⊥AE ．（Ⅱ）解：依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），不妨设AB ＝AP ＝2，可得B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），由E 为棱PD 的中点，得E （0，1，1）． AE →=(0，1，1)，向量BD →=(−2，2，0)，PB →=(2，0，−2)．设平面PBD 的一个法向量n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅BD →=−2x +2y =0n →⋅PB →=2x −2z =0，令y ＝1，可得n →=（1，1，1），所以 cos〈AE →，n →〉=|AE →⋅n →||AE →|⋅|n →|=√63．所以直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值为√63． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知：AE →=(0，1，1)，平面PBD 的一个法向量n →=（1，1，1），所以点A 到平面PBD 的距离 d =|AE →⋅n →||n →|=2√3=2√33． 21．（12分）如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，DD 1＝3，AD ＝2，∠BCD =π3，E 为棱BB 1上一点，BE ＝1，过A ，E ，C 1三点作平面α交DD 1于点G ．（1）求点D 到平面BC 1G 的距离；（2）求平面AEC 与平面BEC 夹角的余弦值．解：（1）连接AC ，BD 交于点O ，由直棱柱的结构特征知：平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，又AG ⊂平面ADD 1A 1，∴AG ∥平面BCC 1B 1，∵平面AGC 1∩平面BCC 1B 1＝C 1E ，AG ⊂平面AGC 1，∴AG ∥C 1E ，同理可得C 1G ∥AE ，∴四边形AGC 1E 为平行四边形，∴AG ＝C 1E ，又AD ＝B 1C 1，∠ADG ＝∠C 1B 1E =π2，DG ＝B 1E ＝2，∴D 1G ＝1，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，以OA →，OB →正方向为x ，y 轴，作z 轴∥DD 1，可建系如图，∵AB ＝BC ＝2，∠BCD =π3，∴BD ＝2，AC ＝2√4−1=2√3，∴B （0，1，0），D （0，﹣1，0），C 1（−√3，0，3），G （0，﹣1，2），∴DB →=（0，2，0），BC 1→=（−√3，﹣1，3），BG →=（0，﹣2，2），设平面BC 1G 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅BC 1→=−√3x −y +3z =0n →⋅BG →=−2y +2z =0，取 n →=（2，√3，√3），∴点D 到平面BC 1G 的距离d =|DB →⋅n →||n →|=2310=√305； （2）由（1）知E （0，1，1），又A （√3，0，0），B （0，1，0），C （−√3，0，0），∴AE →=（−√3，1，1），CE →=（√3，1，1），BE →=（0，0，1），设平面AEC 的法向量n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AE →=−√3x +y +z =0n →⋅CE →=√3x +y +z =0，取n →=（0，1，﹣1），设平面BEC 的法向量m →=（a ，b ，c ），则{m →⋅BE →=c =0m →⋅CE →=√3a +b +c =0，取m →=（1，−√3，0）， ∴|cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=√32×2=−√64， ∴平面AEC 与平面BEC 夹角的余弦值为√64． 22．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的圆心在直线x +y ﹣3＝0上，圆C 经过点A （0，4），且与直线3x ﹣4y +16＝0相切．（1）求圆C 的方程；（2）设直线l交圆C于P，Q两点，若直线AP，AQ的斜率之积为2，求证：直线l过一个定点，并求该定点坐标．解：（1）因为圆心C在直线x+y﹣3＝0上，所以设C（a，3﹣a），因为圆C经过点A（0，4），所以圆C的半径r=AC=√a2+(a+1)2，因为圆C和直线3x﹣4y+16＝0相切，所以圆C的半径r=√3+(−4)，所以√a2+(a+1)2=|3a−4(3−a)+16|√3+(−4)2．化简得a2﹣6a+9＝0，解得a＝3．所以C（3，0），半径r＝5．所以圆C的方程为（x﹣3）2+y2＝25．（2）若直线l的斜率不存在，则可设P（x0，y0），Q（x0，﹣y0），x0≠0，所以(x0−3)2+y02=25，k AP⋅k AQ=y0−4x0⋅−y0−4x0=16−y02x02=2，消去y0得x0＝﹣6，再代入(x0−3)2+y02=25，y0不存在，所以直线l的斜率存在；设直线l的方程y＝kx+t（t≠4），P（x1，kx1+t），Q（x2，kx2+t），所以k AP⋅k AQ=kx1+t−4x1⋅kx2+t−4x2=2，整理得，(k2−2)x1x2+k(t−4)(x1+x2)+(t−4)2=0①直线方程与圆C方程联立，{y=kx+t，(x−3)2+y2=25，消去y得（k2+1）x2+（2kt﹣6）x+t2﹣16＝0，所以x1+x2=−2kt−6k2+1，x1x2=t2−16k2+1代入①，得（k2﹣2）（t2﹣16）﹣k（t﹣4）（2kt﹣6）+（t﹣4）2（k2+1）＝0，由于t≠4，整理得6k﹣t﹣12＝0，即t＝6k﹣12，所以直线l的方程为y＝kx+6k﹣12，即y＝k（x+6）﹣12，令{x+6=0，y=−12，解得{x=−6，y=−12，所以直线l过一个定点，该定点坐标为（﹣6，﹣12）．。

合肥一中2019-2020学年第一学期高二年级段一考试理科-试题卷 (最终稿)

合肥一中2019-2020学年第一学期高二年级段一考试理科-试题卷 (最终稿)

合肥一中2019-2020学年第一学期高二年级段一考试数学（理）试卷满分：150分时长：120分钟命题人：谷留明审题人：陶金美一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1.如图所示,观察四个几何体，其中判断正确的是()A.是棱台B.是圆台C.不是棱柱D.是棱锥2.下列说法正确的是()A.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台B.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等C.通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线D.相等的角在直观图中对应的角仍相等3.用n m ,表示两条不同的直线，用βα，表示两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若//,m n n ⊂α，则α//m B.若//,,m n αβ⊂α⊂β，//m n则C.若//,//m n αα，则nm //D.若m 不平行于α，且m ⊄α，则α内不存在与m 平行的直线 4.如图，点O 为正方体''''ABCD A B C D -的中心，点E 为面''B BCC 的中心，点F 为''B C 的中点，则空间四边形'D OEF 在该正方体各个面上的投影不可能是() A. B. C. D.5.中国古代数学名著《九章算术 商功》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方，得二堑堵.邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.”“堑堵”其实就是底面为直角三角形的直棱柱.已知某“堑堵”的正视图和俯视图如右图所示，则该“堑堵”的左视图的面积为（）A.182 B.183 C.186 D.27226.如图，一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为3m ，一只小虫从圆锥底面圆周上的点P 出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P ，若该小虫爬行的最短路程为33m ，则圆锥底面圆的半径等于（）A.43m B.32m C.1m D.2m7.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论：①//AB EF ；②CD MN ⊥；③MN 与AB 是异面直线；④BF 与CD 成60 角,其中正确的是()A.①③ B.②③ C.②④D.③④8.正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，,,M N P 分别是棱11111,,A D A A C D 的中点,则过,,M N P 三点的平面截正方体所得截面的面积为（）A.3 B.33 C.32 D.3329.直三棱柱111ABC A B C -中，90,BAC ∠= 12,2AB AC AA ===，则异面直线1AC 与1CB 所成角的余弦值为()A.33- B.33 C.36- D.3610.一个几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图均为腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体体积为（）A.12B.16C.6D.611.已知某几何体的一条棱的长为m ,该棱在正视图中的投影长为6，在侧视图与俯视图中的投影长为a 与b ，且2a b +=，则m 的最小值为()A. B.142 D.212.已知三棱锥S ABC -中1SA SB SC ===，AB AC ==，BC =接球的表面积为()A．3πB．5πC．6π二、选择题（共4小题，每题5分，共20分）13.的正方形,则原平面四边形的面积为．14.平面//α平面β，点,A C ∈α，点,B D ∈β，直线AB ，CD 相交于点P ，已知8=AP ，9=BP ，16,CP =则=CD ．15.已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，其侧面积恰等于两底面积之和，则该正四棱台的高为．16.正四棱锥P ABCD -中，1B 为PB 的中点，1D 为PD 的中点，则棱锥11A B CD -和P ABCD -体积的比值是．三、解答题（共6小题，共70分）17.（本题10分）如图,四边形ABCD 中， 90=∠DAB 135ADC ∠= ，,5=AB 22=CD ,2=AD ,求四边形ABCD 绕直线AD 旋转一周所成几何体的表面积.18.（本题12分）如图,直三棱柱111C B A ABC -中,4,5,4,31====AA AB BC AC ,点E D ,分别为11,B A AB 的中点.（1）求证:CD B E AC 11//平面平面;（2）求异面直线1AC 与C B 1所成角的余弦值.19.（本题12分）在空间四边形ABCD 中,H ,G 分别是CD AD ,的中点,F E ,分别边BC AB ,上的点,且41==CB CF AB AE ;求证：(1)点H G F E ,,,四点共面；(2)直线FG BD EH ,,相交于同一点．20.（本题12分）如图,四棱锥ABCD P -中,ABCD PD 底面⊥,且底面ABCD 为平行四边形,若1,2,60===∠AD AB DAB (1)求证：BD PA ⊥；(2)若 45=∠PCD ,求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.21.（本题12分）如图,已知四边形ABCD 是平行四边形,点P 是平面ABCD 外一点,M 是PC 的中点,在DM 上取一点G ,过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH .(1)求证：PDM AP 平面//.（2）若G 为DM 中点，求证：41=PA GH .22.（本题12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥,4==AD PA ,2=AB .以AC 的中点O 为球心、AC 为直径的球面交PD 于点M ，交PC 于点N .求:(1)三棱锥ACM D -的体积;（2）点N 到平面ACM 的距离.。

安徽合肥市数学高二上期中经典测试题(含答案解析)

安徽合肥市数学高二上期中经典测试题(含答案解析)

一、选择题1．(0分)[ID：12993]阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为( )A．1B．0C．1D．32．(0分)[ID：12990]如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长3．(0分)[ID：12983]AQI即空气质量指数，AQI越小，表明空气质量越好，当AQI不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI的统计数据.则下列叙述正确的是（）A ．这12天的AQI 的中位数是90B ．12天中超过7天空气质量为“优良”C ．从3月4日到9日，空气质量越来越好D ．这12天的AQI 的平均值为1004．(0分)[ID ：12969]某城市2017年的空气质量状况如下表所示： 污染指数T 3060100110130140概率P110 16 13 730 215 130其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染，该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（ ）A ．35B ．1180C ．119D ．565．(0分)[ID ：12952]运行该程序框图，若输出的x 的值为16，则判断框中不可能填（ ）A ．5k ≥B ．4k >C ．9k ≥D ．7k >6．(0分)[ID ：12951]若框图所给的程序运行结果为S =20，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．k >8？B ．k ≤8？C ．k <8？D ．k =9？7．(0分)[ID ：12936]《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m 的值为67，则输入a 的值为( )A ．7B ．4C ．5D ．118．(0分)[ID ：12935]下列说法正确的是（ ） A ．若残差平方和越小，则相关指数2R 越小B ．将一组数据中每一个数据都加上或减去同一常数，方差不变C ．若2K 的观测值越大，则判断两个分类变量有关系的把握程度越小D ．若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r = 9．(0分)[ID ：12931]已知函数()cos3xf x π=，根据下列框图，输出S 的值为( )A ．670B ．16702C ．671D ．67210．(0分)[ID ：13022]在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为311．(0分)[ID ：13020]某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．712．(0分)[ID ：13013]已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ） A ．23B ．12C ．13D ．1413．(0分)[ID ：13026]为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（ ）A ．e m =0m =xB ．e m =0m <xC ．e m <0m <xD ．0m <e m <x14．(0分)[ID ：13025]执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A．203B．72C．165D．15815．(0分)[ID：12939]我国古代名著《庄子天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )A．17?,,+1i s s i ii≤=-=B．1128?,,2i s s i ii≤=-=C．17?,,+12i s s i ii≤=-=D．1128?,,22i s s i ii≤=-=二、填空题16．(0分)[ID：13120]判断大小a=log30.5，b=log32，c=log52，d=log0.50.25，则a、b、c、d大小关系为_____________.17．(0分)[ID：13118]古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为_________18．(0分)[ID ：13091]如图，四边形ABCD 为矩形，3AB =，1BC =，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在DAB ∠内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.19．(0分)[ID ：13076]某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人，现采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，则这两人来自同一组的概率为__________．20．(0分)[ID ：13069]已知变量,x y 取值如表：x0 1 4 5 6 8y 1.3 1.85.66.17.4 9.3若y 与x 之间是线性相关关系，且ˆ0.95yx a =+，则实数a =__________． 21．(0分)[ID ：13063]执行如图所示的程序框图，若输入的A ，S 分别为0,1，则输出的S =____________．22．(0分)[ID ：13049]执行如图所示的程序框图，如果输出1320s =，则正整数M 为__________．23．(0分)[ID ：13045]如图，古铜钱外圆内方，外圆直径为6cm ，中间是边长为2cm 的正方形孔,随机地在古铜钱所在圆内任取一点，则该点刚好位于孔中的概率是__________;24．(0分)[ID ：13039]甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．25．(0分)[ID ：13105]已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若3b =，三内角A ，B ，C 成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于______________；三、解答题26．(0分)[ID ：13197]已知袋子中放有大小和形状相同标号分别是0，1，2的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球2个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是14． （1）求n 的值（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的球标号为b ．①记“2a b +=”为事件A ，求事件A 的概率；②在区间[0,4]内任取2个实数x ，y ，求事件“222()x y a b +>+恒成立”的概率．27．(0分)[ID ：13196]某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，28．(0分)[ID：13157]为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学（勤奋程度和自觉性都一样）．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩．（1）现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；（2）学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．甲班乙班合计参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++参考数据：29．(0分)[ID：13130]为了了解某省各景区在大众中的熟知度，随机从本省1565岁的人群中抽取了n人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该省有哪几个国家AAAAA级旅游景区？”，统计结果如下表所示：（1）分别求出,,,a b x y 的值；（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545，的概率30．(0分)[ID ：13227]某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示． 组别 [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 [)90,100频数25150200250 225 100 50（1）已知此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求()3679.5P Z <≤；（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. （ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； （ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表. 赠送的随机话费/元 20 40 概率3414现市民甲要参加此次问卷调查，记X 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望． 21014.5≈，若()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9973P X μσμσ-<≤+=.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．D3．C4．A5．D6．A7．C8．B9．C10．D11．A12．B13．D14．D15．B二、填空题16．a<c<b<d【解析】【分析】利用中间值01来比较得出a<00<b<10<c<1d>1再利用中间值12得出bc的大小关系从而得出abcd的大小关系【详解】由对数函数的单调性得a=log305<log 17．【解析】五种抽出两种的抽法有种相克的种数有5种故不相克的种数有5种故五种不同属性的物质中随机抽取两种则抽取的两种物质不相克的概率是故答案为18．【解析】【分析】连接可求得满足条件的事件是直线AP与线段BC有公共点根据几何概型的概率公式可得【详解】连接如图所示所以满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与B C相交即直线AP与线段BC有公共点19．【解析】某班按座位将学生分为两组第一组18人第二组27人采取分层抽样的方法抽取5人第一组抽取：第二组抽取：再从这5人中安排两人去打扫卫生基本事件总数这两人来自同一组包含的基本事件个数∴这两人来自20．【解析】分析：首先求得样本中心点然后结合回归方程过样本中心点即可求得实数a的值详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：解得：故答案为：145点睛：本题主要考查回归方程的性质及其应用等知识意在考查学21．36【解析】执行程序可得；不满足条件执行循环体不满足条件执行循环体满足条件推出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要22．13【解析】循环依次为结束循环所以即正整数为1323．【解析】古铜钱外圆内方外圆直径为面积为中间是边长为的正方形孔面积为根据几何概型概率公式可得随机地在古铜钱所在圆内任取一点则该点刚好位于孔中的概率为故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属24．【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传25．1【解析】ABC成等差数列所以三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．B解析：B【解析】经过第一次循环得到32s i ==，，不满足4i ＞， 执行第二次循环得到43s i ==，， 不满足4i ＞，，执行第三次循环得到s=1，i=4，不满足4i ＞，，经过第四次循环得到05s i ==，，满足判断框的条件 执行“是”输出0S =．故选B ． 2．D解析：D【解析】【分析】由题意结合所给的统计图确定选项中的说法是否正确即可.【详解】对于选项A ： 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ： 2018年1～4月的业务量同比增长率分别为55%,53%,62%,58%，均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查统计图及其应用，新知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．C解析：C【解析】这12天的AQI 指数值的中位数是959293.52+= ，故A 不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B 不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C正确；这12天的AQI指数值的平均值为110，故D不正确.故选 C．4．A解析：A【解析】【分析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可.【详解】由表知空气质量为优的概率是1 10，由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为111 632 +=，所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率1131025P=+=，故选：A【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题. 5．D解析：D【解析】运行该程序，第一次，1,k2x==,第二次，2,k3x==，第三次，4,k4x==，第四次，16,k5x==，第五次，4,k6x==，第六次，16,k7x==，第七次，4,k8x==，第八次，16,k9x==，观察可知，若判断框中为5k≥．，则第四次结束，输出x的值为16，满足；若判断框中为4k>．，则第四次结束，输出x的值为16，满足；若判断框中为9k≥．，则第八次结束，输出x的值为16，满足；若判断框中为7k>．，则第七次结束，输出x的值为4，不满足；故选D.6．A解析：A【解析】【分析】根据所给的程序运行结果为S =20，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．【详解】由题意可知输出结果为S =20，第1次循环，S =11，K =9，第2次循环，S =20，K =8，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为k >8．故选：A ．【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．7．C解析：C【解析】模拟程序框图的运行过程，如下：输入a ，23m a =-，1i =，()223349m a a =--=-；2i =，()2493821m a a =--=-；3i =，()282131645m a a =--=-；4i =，()2164533293m a a =--=-；输出3293m a =-，结束；令329367a -=，解得5a =.故选C.8．B解析：B【解析】【分析】由残差平方和越小，模型的拟合效果越好，可判断A ；由方差的性质可判断B ；由的随机变量2K 的观测值的大小可判断C ；由相关系数r 的绝对值趋近于1，相关性越强，可判断D .【详解】对于A ，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，相关指数2R 越大，故A 错误；对于B ，将一组数据的每一个数据都加上或减去同一常数后，由方差的性质可得方差不变，故B 正确；对于C ，对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故C 错误；对于D ，若所有样本点均落在回归直线上，则相关系数1r =，故D 错误. 故选：B. 【点睛】 本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、样本数据的特征值和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题． 9．C解析：C【解析】【分析】根据框图的流程，依次计算前六次的运算结果，判断终止运行的n 值，再根据余弦函数的周期性计算即可. 【详解】 由程序框图知：第一次运行()11cos32f π==，10.1122S n =+=+=； 第二次运行()212cos 32f π==-，12S =，213n =+=， 第三次运行()3cos 1f π==-，12S =，314n =+=， 第四次运行()414cos32f π==-，12S =，415n =+=， 第五次运行()515cos 32f π==，1S =，6n =， 第六次运行()6cos21f π==，2S =，7n =，直到2016n =时，程序运行终止，函数cos 3n y π=是以6为周期的周期函数，201563355=⨯+， 又()()2016cos336cos 21381f ππ==⨯=，∴若程序运行2016次时，输出2336672S =⨯=，∴程序运行2015次时，输出33621671S =⨯-=．故选C ．【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．10．D解析：D【解析】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.考点：众数、中位数、平均数、方差11．A解析：A【解析】【分析】根据框图，模拟计算即可得出结果.【详解】程序执行第一次，0021s =+=，1k =，第二次，1=1+23,2S k ==，第三次，33211,3S k =+==，第四次，11112100,4S k =+>=，跳出循环，输出4k =，故选A.【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，属于中档题.12．B解析：B【解析】【分析】推导出点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．从而S △PBC =12S △ABC ．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率．【详解】 以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ，则PB PC +=PD ，∵20PB PC PA ++=，∴2PB PC PA +=-，∴2PD PA =-，∴P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，∴点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12． ∴S △PBC =12S △ABC ． ∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为： P=PBC ABC S S =12． 故选B ．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．13．D解析：D【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即e m ＝5.5,5出现的次数最多，故0m ＝5，23341056637282921030x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈5.97 于是得0m <e m <x .考点：统计初步.14．D解析：D【解析】【分析】【详解】试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即1331,2,,2222M a b n =+====;又由23≤成立，则循环，即28382,,,33323M a b n =+====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，则出循环，输出158M =． 考点：算法的循环结构15．B解析：B【解析】【分析】分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出S 的值，由此可得到结论.【详解】由题意，执行程序框图，可得：第1次循环：11,42S i =-=； 第2次循环：111,824S i =--=； 第3次循环：1111,16248S i =--==； 依次类推，第7次循环：11111,256241288S i =----==， 此时不满足条件，推出循环，其中判断框①应填入的条件为：128?i ≤，执行框②应填入：1S Si=-，③应填入：2i i=.故选：B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题16．a<c<b<d【解析】【分析】利用中间值01来比较得出a<00<b<10<c<1d>1再利用中间值12得出bc的大小关系从而得出abcd的大小关系【详解】由对数函数的单调性得a=log305<log 解析：a<c<b<d.【解析】【分析】利用中间值0、1来比较，得出a<0，0<b<1，0<c<1，d>1，再利用中间值12得出b、c的大小关系，从而得出a、b、c、d的大小关系．【详解】由对数函数的单调性得a=log30.5<log31=0，log31<log32<log33，即0<b< 1，log51<log52<log55，即0<c<1，log0.50.25>log0.50.5=1，即d>1．又∵log32>log3√3=12=log5√5>log52，即b>c，因此，a<c<b<d，故答案为a<c<b<d．【点睛】本题考查对数值的大小比较，对数值大小比较常用的方法如下：（1）底数相同真数不同，可以利用同底数的对数函数的单调性来比较；（2）真数相同底数不同，可以利用对数函数的图象来比较或者利用换底公式结合不等式的性质来比较；（3）底数不同真数也不同，可以利用中间值法来比较．17．【解析】五种抽出两种的抽法有种相克的种数有5种故不相克的种数有5种故五种不同属性的物质中随机抽取两种则抽取的两种物质不相克的概率是故答案为解析：1 2【解析】五种抽出两种的抽法有2510C=种，相克的种数有5种，故不相克的种数有5种，故五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率是12，故答案为12.18．【解析】【分析】连接可求得满足条件的事件是直线AP与线段BC有公共点根据几何概型的概率公式可得【详解】连接如图所示所以满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与BC相交即直线AP与线段BC有公共点解析：1 3【解析】【分析】连接AC ，可求得CAB∠，满足条件的事件是直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型的概率公式可得CAB PDAB∠=∠.【详解】连接AC，如图所示，3tan3CBCABAB∠==，所以π6CAB∠=，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与BC相交，即直线AP与线段BC有公共点，所以所求事件的概率π16π32CABPDAB∠===∠.故答案为：1 3 .【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题. 19．【解析】某班按座位将学生分为两组第一组18人第二组27人采取分层抽样的方法抽取5人第一组抽取：第二组抽取：再从这5人中安排两人去打扫卫生基本事件总数这两人来自同一组包含的基本事件个数∴这两人来自解析：2 5【解析】某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人，采取分层抽样的方法抽取5人，第一组抽取：18521827⨯=+人，第二组抽取：27531827⨯=+人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，基本事件总数2510n C==，这两人来自同一组包含的基本事件个数22234m C C＝，=+∴这两人来自同一组的概率为42105m p n ＝＝＝． 即答案为25. 【点睛】本题考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，其中正确掌握有关知识是解题的关键20．【解析】分析：首先求得样本中心点然后结合回归方程过样本中心点即可求得实数a 的值详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：解得：故答案为：145点睛：本题主要考查回归方程的性质及其应用等知识意在考查学 解析：1.45【解析】分析：首先求得样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点即可求得实数a 的值. 详解：由题意可得：01456846x +++++==，1.3 1.8 5.6 6.17.49.35.256y +++++==，回归方程过样本中心点，则：5.250.954a =⨯+，解得： 1.45a =. 故答案为： 1.45．点睛：本题主要考查回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21．36【解析】执行程序可得；不满足条件执行循环体不满足条件执行循环体满足条件推出循环输出故答案为【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图属于中档题解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要解析：36 【解析】执行程序，可得0A =，1S =； 1k =，011A =+=，111S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，3k =，134A =+=，144S =⨯=，不满足条件4k >，执行循环体，5k =，459A =+=，4936S =⨯=，满足条件4k >，推出循环，输出36S =,故答案为36．【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.22．13【解析】循环依次为结束循环所以即正整数为13解析：13 【解析】循环依次为10,11;110,12;1320,13;s i s i s i ====== 结束循环，所以1312M ≥> ，即正整数M 为1323．【解析】古铜钱外圆内方外圆直径为面积为中间是边长为的正方形孔面积为根据几何概型概率公式可得随机地在古铜钱所在圆内任取一点则该点刚好位于孔中的概率为故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属解析：49π 【解析】古铜钱外圆内方，外圆直径为6cm ，面积为29cm π，中间是边长为2cm 的正方形孔，面积为24cm ，根据几何概型概率公式可得，随机地在古铜钱所在圆内任取一点，则该点刚好位于孔中的概率为49π，故答案为49π. 【方法点睛】本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.24．【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传 解析：14【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法 所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙； 甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙； 则共有8种传球方法．记求第3次球恰好传回给甲的事件为A ，可知共有两种情况，，而总的事件数是8， ∴P (A )=28=14. 故答案为14点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.25．1【解析】ABC 成等差数列所以解析：1 【解析】A ，B ，C成等差数列，所以2213sin sin 3b B R R B π=∴===⇒=三、解答题 26．(1) 1n =；(2) ①1()3P A =；②()14P B π=- 【解析】 【分析】（1）由古典概型公式列出方程求解即可；(2) ①从袋子中不放回的随机取2个球共有12个基本事件，确定2a b +=的事件个数代入古典概型概率计算公式即可得解；②事件B 等价于2216x y +>恒成立，(,)x y 可以看做平面中的点，确定全部结果所构成的区域，事件B 构成的区域，利用几何概型面积型计算公式即可得解. 【详解】 （1）依题意1134n n n =⇒=+； （2）将标号为0的小球记为0，标号为1的小球记为A ，B ，标号为2的小球记为2，则从袋子中两次不放回地随机抽取2个小球可能的结果为：(0,),(0,),(0,2),(,0),(,),A B A A B (,2),(,0),(,),(,2),(2,0),(2,),(2,),A B B A B A B 共12种，①事件A 包含4种：(0,2),(,),(,),(2,0)A B B A ，所以1()3P A =； ②因为+a b 的最大值为4，所以事件B 等价于2216x y +>恒成立，(,)x y 可以看做平面中的点，则全部结果所构成的区域{(,)04,04}C x y x y =≤≤≤≤，事件B 所构成的区域22{(,)16,,}x y B x y x y C +>=∈， 则444()1444P B ππ⨯-⨯==-⨯.【点睛】本题考查随机事件概率，古典概型概率计算公式，几何概型中面积型概率的计算，属于基础题.27．（1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析 （2）80 （3）能。

【20套试卷合集】安徽省合肥市2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案

【20套试卷合集】安徽省合肥市2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案

2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案答案一、选择题 CDDAB BBDAC CB 二、填空题 13．60° 14．61 15．2·3n －1(n ≤2010) 16．4 三、解答题17．解：设A ＝(x |x 2－4ax ＋3a 2＜o (a ＜o )]＝(x |3a ＜x ＜a (a ＜0)}B ＝{x |x 2＋2x －8＞0}＝{x |x ＜－4或x ＞2}． ……………4分 ∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，∴q 是p 必要不充分条件， ∴A ≠⊂B ……………………6分 所以3a ≥2或a ≤－4，又a ＜0，所以实数a 的取值范围是a ≤－4． …………………10分 18．解：(1)a ＞0且a ≠1， 3－ax ＞0在x ∈[0，2]上恒成立，即ax ＜3 当x ＝0时，0＜3，则a ∈R 当x ∈(0，2]时，x a 3<，则23<a ∴230<<a 且a ≠1………4分 (2)假设存在这样的a设μ(x )＝3－ax ＞0，则μ(x )在[1，2]上为减函数， 且有μ(2)＞0，∴23<a ……6分 则y ＝log αμ在区间内为增函数，∴a ＞1即231<<a ………………8分 而f (x )max ＝log α(3－α)＝1＝log α ∴3－α＝α ∴23=a …………10分 ⎪⎭⎫⎝⎛=23123，不在区间a 内，所以这样的a 不存在……………12分 19．解：(Ⅰ)41451)410(212sin 21cos 22-=-=⨯-=-=C C ……………………………4分 (Ⅱ)∵C B A 222sin 1613sin sin =+，由正弦定理可得：2221613c b a =+ 由(Ⅰ)可知415cos 1sin ,0,41cos 2=-=∴<<-=C C C C π．4153sin 21==C ab S ABC △， 得ab ＝6．……8分由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cosC 可得3161322+=c c c 2＝16，c ＞0，∴c ＝4……………………………………10分由⎩⎨⎧==+61322ab b a 得⎩⎨⎧==23b a 或⎩⎨⎧==32b a ………12分20．解：法一：(1)以A 点为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AD 为z 轴的空间直角坐标系， 则依题意可知相关各点的坐标分别是A (0，0，0)，B (2，0，0)， C (2，1，0)，D (0，1，0)，S (0，0，1)． ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛0122，，M ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛212122，，N …………2分 ∴11(0,,),(2,0,0).22MN AB ∴=-=211(,)22AN =…………4分 ∴0=⋯=⋅，0=⋯=⋅∴⊥⊥, ∴MN ⊥平面ABN ……6分(2)设平面NBC 的法向量(),,n a b c =，则BC n ⊥ ，SC n ⊥且又易知()0,1,0=BC ，()1,1,2-=SC ∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00SC n n 即⎩⎨⎧=-+=020c b a b ，∴⎩⎨⎧==a c b 20 令a ＝1，则()2,0,1=n………9分 显然，⎪⎭⎫⎝⎛-=21,21,0MN 就是平面ABN 的法向量． .33||||,cos ==⋅>=<∴ MN n ………………………………………10分.33---∴的余弦值是由图可知二面角C BN A …………………………12分 法二：(1)由题意知MN AB ⊥连AN BM ,则可求26,22,1===BM MN BN ， 则︒=∠90BNMABN MN B BN AB AB MN BN MN 平面⊥⇒=⋂⊥⊥,,……………………6分(2)因为SAB BC 平面⊥，在平面SAB 内作SBC AE E SB AE 面点，则与⊥⊥ 且36=AE ， 又在△ABN 中可求边BN 上的高为AF ＝1，所以∠AFE 就是所求的平面角的补角， 且cos ∠AFE ＝33 故所求的二面角的余弦值为33-……12分 21．解：(Ⅰ)由题意知21141nn a a +=+，∴221141n n a a +=+∴411221=-+nn a a 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21n a 是等差数列………2分 ∴()344411411212-=-+=-+=n n n a a n ∴3412-=n a n 又∵0>n a ∴341-=n a n ………6分 (Ⅱ)由题设知(4n －3)T n ＋1＝(4n ＋1)T n ＋(4n ＋1)(4n －3)∴134141=--++n T n T n n ，设n n c n T =-34，则上式变为c n ＋1－c n ＝1． ∴{c n }是等差数列．…8分 ∴n n b n T n c c n =-+=-+=-+=1111111 ∴n n T n=-34，即T n ＝n (4n －3)＝4n 2－3n ……10分∴当n ＝1时，b n ＝T 1＝1；当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝4n 2－3n －4(n －1)2＋3(n －1)＝8n －7．经验证n ＝1时也适合上式．∴b n ＝8n －7(n ∈N *)…………………………12分22．解：(Ⅰ)由题意知e ＝c a ＝21，所以e 2＝22c a ＝222c b -a ＝41．即a 2＝43b 2． 又因为3116=+=b 所以3,422==b a故椭圆的方程为13422=+y x ……4分 (Ⅱ)由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y ＝k (x －4)．由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134422y x x k y ，得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0． ①…6分设点B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则A (x 1，－y 1)．直线AE 的方程为()212221y y y y x x x x +-=-- 令y ＝0，得()121222y y x x y x x +--=.将()411-=x k y ，()422-=x k y 代入，整理，得x ＝()842212121-++-x x x x x x ②…8分由①得34322221+=+k k x x ，3412642221+-=k k x x ……10分代入②整理，得x ＝1．所以直线AE 与x 轴相交于定点Q (1，0)．……12分2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线2x y =的准线方程是（ ）A ．014=+xB ．014=+yC ．012=+xD ．012=+y2．已知命题p ：1x ∃>，210x ->，那么p ⌝是（ ） A ．1x ∀>，210x -> B ．1≤∀x ，210x -≤C ．1>∀x，210x -≤ D ．1x ∃≤，210x -≤3．右图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间20[，)30内的概率为（ ）A ．2.0B ．4.0C ．5.0D ．6.04．已知命题p ：若y x >，则y x -<-；命题q ：若y x <，则22y x>．在命题：①q p ∧；②q p ∨；③)(q p ⌝∧；④q p ∨⌝)(中，真命题是（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④5．已知抛物线)0(22>=p px y 的准线与圆05422=--+x y x 相切，则p 的值为（ ）A ．10B ．6C ．4D ．2 6．“21≠≠b a或”是“3≠+b a ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．若双曲线0122=--y tx的一条渐近线与直线012=++y x 垂直，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．25C ．23D ．38．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确1 2 3 8 90 2 3 7 9 0 1 3的是（ ）A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 9．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=．若某同学根据上表中前两组数据1(，)0和2(，)2求得的直线方程为a x b y '+'=，则以下结论正确的是（ ）A ．a a b b'>'>ˆˆ， B ．a a b b '<'>ˆˆ， C ．a a b b '>'<ˆˆ， D ．a a b b'<'<ˆˆ， 10．已知点P 是椭圆)00(181622≠≠=+y x y x ，上的动点，21F F 、为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠平分线上一点，且10F M MP ⋅=，则OM 的取值范围是（ ）A ．0(，)3B ．0(，)22C ．22(，)3D ．0(，)4第Ⅱ卷 (非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 11．圆0222=-+x y x与圆0422=++y y x 的公切线有_________条．12．已知实数0[∈x ，]8，随机输入x ，执行如右图所示的程序框图，则输出的x 不小于55的概率为__________．13．若命题p 的逆命题是q ，命题r 是命题q 的否命题，则p 是r 的________命题． 14．过抛物线24y x =焦点的直线l 的倾斜角为3π，且l 与抛物线相交于A B、两点，O 为原点，那么AOB ∆的面积为 ．15．设椭圆12222=+b y a x 与双曲线22221(0)x y a b a b-=>>其中的离心率分别为1e ，2e ，有下列结论：①121<e e ；②22221=+e e ；③121>e e ；④121=e e ；⑤221<+e e ．其中正确的是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 已知：0>a ，02082>--x x p ：，01222>-+-a x x q ：，且p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．17．(本小题满分12分) 袋中有大小相同的红球和白球各1个，每次任取1个，有放回地摸三次． （Ⅰ）写出所有基本事件；（Ⅱ）求三次摸到的球恰有两次颜色相同的概率； （Ⅲ）求三次摸到的球至少有1个白球的概率．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）试估计所抽取的数学成绩的平均数；19．(本小题满分12分)已知点2(-P ，)3-，圆C ：9)2()4(22=-+-y x ，过P 点作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B ．（Ⅰ）求过P 、A 、C 三点的圆的方程； （Ⅱ）求直线AB 的方程．20．(本小题满分13分) 已知抛物线2:4C y x =与直线24y x =-交于A ，B 两点．（Ⅰ）求弦AB 的长度；（Ⅱ）若点P 在抛物线C 上，且ABP ∆的面积为12，求点P 的坐标．21．(本小题满分14分) 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线2x =的焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 2(，)3， Q 2(，)3-在椭圆上，A 、B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点． ①若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 面积的最大值； ②当A 、B 运动时，满足于BPQ APQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由．附加题：本题满分10分．已知21A A 、是平面内两个定点，且()02||21>=c c A A ，若动点M 与21A A 、连线的斜率之积等于常数)0(≠m m ，求点M 的轨迹方程，并讨论轨迹形状与m 值的关系． 一、选择题：三、解答题： 16.30≤<a ；17．3．（I ）（红，红，红），（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），． 【解析】试题解析：（I ）所有基本事件：（红，红，红），（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），（白，白，白）共8种．（Ⅱ）记“三次摸到的球恰有两次颜色相同”为事件A ：则Ａ所包含的基本事件为（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），共６种，所以P(A)＝4386=； （Ⅲ）记“三次摸到的球至少有1个白球”为事件Ｂ：则Ｂ所包含的基本事件为（红，红，白），（红，白，白），（白，红，红），（白，红，白），（红，白，红），（白，白，红），（白，白，白），共７种，所以P(Ｂ)＝87． 考点：列举法计算基本事件及事件发生的概率． 18．（1）03.0；（2）4.76；（3）7.0；19. 【答案】（1）()46121122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-y x ；（2）02556=-+y x【解析】试题分析：(Ⅰ)设A （x 1,y 1)、B(x 2,y 2),由2244y x y x=-⎧⎨=⎩得x 2-5x+4=0,Δ>0． 法一：又由韦达定理有x 1+x 2=5,x 1x 2=4, ∴|AB|=12||x x -=法二：解方程得：x=1或4，∴A 、B 两点的坐标为（1,-2)、（4,4） ∴|AB|==(Ⅱ)设点2(,)4o o y P y ,设点P 到AB 的距离为d,则d S △PAB =21·，∴2482o o y y --=． ∴2482o o y y --=±，解得6o y =或4o y =- ∴P 点为（9，6）或（4，-4）． 考点：直线与椭圆的位置关系点评：直线与圆锥曲线相交，联立方程利用韦达定理是常用的思路21．（Ⅰ）2211612x y +=;（Ⅱ）①max S =②21． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆中的相关定义和方程，可知b =．由2221,2c a c b a ==+，即可求出求解a ，b ，进而求得标准方程．（Ⅱ）设直线方程，将直线方程和椭圆方程联立，通过消元，转化为一元二次方程去解决．①设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为t x y +=21， 代入2211612x y +=，得01222=-++t tx x 由0∆>，解得44<<-t ，由韦达定理得12,22121-=-=+t x x t x x ． 四边形APBQ 的面积2213483621t x x S -=-⨯⨯=，可知当0=t ，max S ．②当APQ BPQ ∠=∠，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为k -，PA 的直线方程为3(2)y k x -=-，将其与椭圆方程联立整理得222(34)8(32)4(32)480k x k kx k ++-+--= ，可得2143)32(82kkk x +-=+ 同理PB 的直线方程为)2(3--=-x k y ，可得228(23)234k k x k ++=+，2121222161248,3434k k x x x x k k --+=-=++，12121212()4AB y y k x x kk x x x x -+-==--，化简即可求得AB 的斜率为定值． 试题解析：解：(1）设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a b y a x，则b =．由2221,2c a c b a ==+，得4a =∴椭圆C 的方程为2211612x y +=．（2）①解：设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为t x y +=21， 代入2211612x y +=，得01222=-++t tx x 由0∆>，解得44<<-t由韦达定理得12,22121-=-=+t x x t x x ． 四边形APBQ 的面积2213483621t x x S -=-⨯⨯=∴当0=t，max S =②解：当APQ BPQ ∠=∠，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k则PB 的斜率为k -，PA 的直线方程为3(2)y k x -=- 由223(2)(1)1(2)1612y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案学 校：曾都一中 枣阳一中 襄州一中 宜城一中第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知a 、b 、c 是两两不等的实数，点(P b ，)b c +，点(Q a ，)c a +，则直线PQ 的倾斜角为（ ）A .30B .45C .60D .1352．第三赛季甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图如右图所示，则下列说法中正确的是（ ）A .甲、乙两人单场得分的最高分都是9分；B .甲、乙两人单场得分的中位数相同；C .甲运动员的得分更集中，发挥更稳定；D .乙运动员的得分更集中，发挥更稳定第2题3.用“除k 取余法”将十进制数259转化为五进制数是（ ）A ．(5)2012B ．(5)2013C ．(5)2014D ．(5)20154.已知圆M 的一般方程为22860x y x y +-+=，则下列说法中不正确．．．的是（ ） A .圆M 的圆心为(4,3)- B .圆M 被x 轴截得的弦长为8C .圆M 的半径为25D .圆M 被y 轴截得的弦长为65.如图所示是四棱锥的三视图，则该几何的体积等于（ ）A ．16B ．5634+C ．6D ．5617+6.已知变量x 与y 呈相关关系，且由观测数据得到的样本数据散点图如图所示，则由该观测数据算得的回归方程可能是（ ）A .ˆ 1.314 1.520y x =-+B .ˆ 1.314 1.520yx =+C .ˆ 1.314 1.520yx =- D .ˆ 1.314 1.520yx =-- 7.下列说法中正确的是（ ）A .若事件A 与事件B 是互斥事件，则()()1P A P B +=； 第6题B .若事件A 与事件B 满足条件：()()()1P A B P A P B ⋃=+=，则事件A 与事件B 是 对立事件；C .一个人打靶时连续射击两次，则事件 “至少有一次中靶”与事件 “至多有一次中靶”是对立事件；D .把红、橙、黄、绿4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4人，每人分得1张，则事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是互斥事件.8.如果直线m 、n 与平面α、β、γ满足：n βγ=⋂，n ∥α，m α⊂和m γ⊥，那么必有（ ）A .α∥β且αγ⊥B .αγ⊥且m n ⊥C .m ∥β且m n ⊥D .αγ⊥且m ∥β9.将一个棱长为4cm 的立方体表面涂上红色后，再均匀分割成棱长为1cm 的小正方体．从涂有红色面的小正．．．．．．．．方体．．中随机取出一个小正方体，则这个小正方体表面的红色面积不少于22cm 的概率是（ ） A .47 B .12 C .37 D .1710.已知二次函数2()(f x x mx n m =++、)n R ∈的两个零点分别在(0,1)与(1,2)内，则22(1)(2)m n ++-的取值范围是（ ）A ．B ．C ．[2,5]D ．(2,5)第II 卷二、填空题本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.12.在空间直角坐标系Oxyz 中，y 轴上有一点M 到已知点(4,3,2)A 和点(2,5,4)B 的距离相等，则点M 的坐标是 .a 即为优，15题图17.已知圆1C ：22(cos )(sin )4x y αα+++=，圆2C ：22(5sin )(5cos )1x y ββ-+-=，,[0,2)αβπ∈，过圆1C 上任意一点M 作圆2C 的一条切线MN ，切点为N ，则||MN 的取值范围是 .三、解答题：本大题共5小题，共计65分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分12分）已知直线l 经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点． ⑴若直线l 平行于直线3240x y -+=，求直线l 的方程； ⑵若直线l 垂直于直线4370x y --=，求直线l 的方程．19.（本小题满分13分）如图是学校从走读生中随机调查200名走读生早上上学所需时间（单位：分钟）样本的频率分布直方图．⑴学校所有走读生早上上学所需要的平均时间约是多少分钟？ ⑵根据调查，距离学校500米以内的走读生上学时间不超过10分钟，距离学校1000米以内的走读生上学时间不超过20分钟．那么，距离学校500米以内的走读生和距离学校1000米以上的走读生所占全校走读生的百分率各是多少？第19题20.（本小题满分13分）图2中的实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14.（1）从正方形ABCD 的四条边及两条对角线共6条线段中任取2条线段（每条线段被取到的可能性相等），求其中一条线段长度是另一条线段长度的2倍的概率；AEBCDM H（2求此长方体的体积.第20题21．（本小题满分13分）已知平面ABCD ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是矩形，2AD AE BE ===， M 、H 分别是DE 、AB 的中点，主（正）视图方向垂直平面ABCD 时，左（侧）．⑴求证：MH ∥平面BCE ； ⑵求证：平面ADE ⊥平面BCE ．第21题22．（本小题满分14分）已知圆M 经过第一象限，与y 轴相切于点(0,0)O ，且圆M 上的点到x 轴的最大距离为2，过点(0,1)P -作直线l ． ⑴求圆M 的标准方程；⑵当直线l 与圆M 相切时，求直线l 的方程；⑶当直线l 与圆M 相交于A 、B 两点，且满足向量PA PB λ=，[2,)λ∈+∞时，求||AB 的取值范围．1－10： B D C C A B D B A DAE B CDM HPN11.15 12. (0,4,0)M 13.(2,)-+∞ 14. 3 15.135 16.3π17.18.⑴由280210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得32x y =⎧⎨=⎩即直线280x y +-=和210x y -+=的交于点(3,2)，所以直线l 经过点(3,2)，…………4分因为直线l 平行于直线3240x y -+=，可设直线l 的方程为320x y m -+=，则有33220m ⨯-⨯+=得5m =-，所以直线l 的方程为3250x y --=．…………8分⑵因为直线l 垂直于直线4370x y --=，可设直线l 的方程为340x y n ++=，则有33420n ⨯+⨯+=得17n =-，所以直线l 的方程为34170x y +-=．…………………12分 19.解：⑴40.02480.084120.094160.034200.03411.52x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以，走读生早上上学所需要的平均时间约为11.52分钟．………………6分段中任取2条线段，有15种等可能的取法：AB 和BC ， AB 和AC ，AB 和CD ， AB 和AD ，AB 和BD ，BC 和CD ，BC 和BD ，BC 和AC ，BC 和AD ，CD 和AC ，CD 和AD ， CD 和BD ，AD 和AC ，AD 和BD ，AC 和BD …3分其中事件M 包含8种结果：AB 和AC ，AB 和BD ，BC 和AC ，BC 和BD ，CD 和AC ，CD 和BD ，AD 和AC ， AD 和BD ……………………………………… 4分8()15P M =，因此，所求事件的概率为815………………………6分 （2）记事件N ：向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内． 设长方体的高为h ，则图2中虚线围成的矩形长为22h +，宽为12h +，面积为(22)(12)h h ++ ……………9分长方体的平面展开图的面积为24h +；……………10分 由几何概型的概率公式知241()(22)(12)4h P N h h +==++，得3h =，…………12分所以长方体的体积是1133V =⨯⨯=. ……………13分 21.⑴证明：方法一、取CE 的中点N ，连接BN ， 因为CDE ∆中，M 、N 分别是DE 、CE 的中点，AEBCDFH所以MN ∥CD 且MN ＝12CD ；……………………1分 因为矩形ABCD 中，H 是AB 的中点，BH ∥CD 且BH ＝12CD ； 所以MN ∥BH 且MN ＝BH ，得平行四边形BHMN ，MH ∥BN ……2分 因为MH ⊄平面BCE ，BN ⊂平面BCE ，所以MH ∥平面BCE ；……4分 方法一、取AE 的中点P ，连接MP 、HP ，因为ABE ∆中，P 、H 分别是AE 、AB 的中点，所以HP ∥BE ，因为HP ⊄平面BCE ， BE ⊂平面BCE ，所以HP ∥平面BCE ；………1分 同理可证MP ∥平面BCE ；………………………………………………2分 因为MP ⋂HP ＝P ，所以平面MPH ∥平面BCE ；…………………3分 因为MH ⊂平面MPH ，所以MH ∥平面BCE ；……………………4分 ⑵证明：取CD 中点F ，连接EH 、EF 、FH ，则矩形ABCD 中，FH AB ⊥，2FH AD ==，………………5分 因为ABE ∆中2AE BE ==，所以EH AB ⊥，因为平面ABCD ⊥平面ABE ，交线为AB ，所以EH ⊥平面ABCD ，EH FH ⊥，所以Rt EFH ∆的面积等于几何体E ABCD-左（侧）视图的面积，得11222EH FH EH⨯=⨯=即EH =；…………………8分 所以ABE 中，22222222AH EH BH EH AE DE +=+===，AH BH ==AB =2228AE DE AB +==，AE BE ⊥；……………………10分因为平面ABCD ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是矩形，所以AD ⊥平面ABE ， 因为BE ⊂平面ABE ，所以AD BE ⊥；……………………11分 因为AD AE A ⋂=，所以BE ⊥平面ADE ；…………………12分因为BE ⊂平面BCE ，所以平面ADE ⊥平面BCE ． ……………………13分22．解：⑴因为圆M 经过第一象限，与y 轴相切于点(0,0)O ，得知圆M 的圆心在x 的正半轴上； (1)分由圆M 上的点到x 轴的最大距离为2，得知圆M 的圆心为(2，0)，半径为2．……2分 所以圆M 的标准方程为22(2)4x y -+=．………………4分⑵若直线l 的斜率存在，设l 的斜率为k ，则直线l 的方程为10kx y --=， 因为直线l 与圆M 相切，所以圆心M 到直线l 2=，解得34k =-，直线l 的方程：3440x y ++=；若直线l 的斜率不存在，由直线l 与圆M 相切得直线l 的方程： 0x =………………6分 所以，直线l 的方程为0x =或3440x y ++=．…………………8分⑶由直线l 与圆M 相交于A 、B 两点知，直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，点11(,)A x y 、22(,)B x y ，则直线l 的方程为10kx y --=，由22(2)410x y kx y ⎧-+=⎨-+=⎩得22(1)(24)10k x k x +-++=， 16120k ∆=+>即34k >-，122241k x x k ++=+，12211x x k ⋅=+， 由向量1122(,1)(,1)PA PB x y x y λλ=⇒+=+，得12x x λ=， 由122241k x x k ++=+，12211x x k ⋅=+，12x x λ=消去1x 、2x 得2222241()(1)11k k k λλ+⋅=+++， 即2243(1)1944212k k λλλλ+++⋅==++≥+，[2,)λ∈+∞，化简得243118k k +≥+．…11分||2AB ==≥=且||24AB R ≤=，即||4]2AB ∈． ………………………13分所以||AB 的取值范围是,4]2．…………………………14分2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.如果b a >，那么下列不等式一定成立的是（ ）A ．c b c a +>+B ．b c a c ->-C ．b a 22->-D ．22b a > 2.等差数列{}n a 中,15410,7a a a +==,则数列{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.不等式0)12)(1(≤+-x x 的解集为（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-1,21 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21 C ．[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D ．[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,4.已知ABC ∆中，2=a ,3:3sin :sin =B A ,则边b=（ ）A.3B.32C.33D.3 5.已知等差数列{n a }，满足398a a +=，则此数列的前11项的和11S =（ ）A ．44B ． 33C ．22D ．116.在ABC ∆中，内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c ，若2sin b a B =，则A 等于（ ）A. 30︒或60︒B.45︒或60︒C. 60︒或120︒D.30︒或150︒ 7.,…,那么是数列的（ ）A .第12项B .第13项C ．第14项D ．第15项8.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为（ ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -89.数列{}n a 的前n 项和n n S n +=2，则它的通项公式是（ ）A ．12+=n a nB ．n a n 2=C ．n a n 3=D ．22+=n a n10.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且25932a a a =，22=a ，则=1a （ ）A ．21 B ．22 C ．2D ．211.设,1,2m m m ++是钝角三角形的三边长，则实数m 的取值范围（ ）A ．03m <<B ．13m <<C ．34m <<D ．46m <<12.如图，矩形n n n n D C B A 的一边n n B A 在x 轴上，另外两个顶点n n D C ,在函数())0(1>+=x x x x f 的图象上.若点n B 的坐标()),2(0,+∈≥N n n n ，记矩形n n n n D C B A 的周长为n a ，则=+++1032a a a （ ）A ．208 B.216 C.212 D.220二、填空：本大题共4小题，每小题4分，共16分13.若︒===60,2,1B c a ，则ABC ∆的面积为14.在ABC ∆中，已知222a b c +=+，则角C = .15.在等比数列{}n a 中，若3339,22a S ==，则q = ． 16.对于)2,,,(≥∈n m N n m mn且可以按如下的方式进行“分解”,例如72的“分解”中最小的数是1,最大的数是13,若3m 的“分解”中最小的数是651,则m=_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明17（本题满分12分）设不等式2430x x -+<的解集为A ，不等式260x x +->的解集为B.求A∩B.18（本题满分12分）在△ＡＢＣ中，已知ｃ＝10，Ａ＝30°，Ｃ＝120°， （1）求a. （2）求△ＡＢＣ的面积.19（本题满分12分）在等比数列{n a }中，1625=a ，公比3=q ，前n 项和242=n S ，求首项1a 和项数n ．20(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为n S ，且66,2112==S a(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a )41(.求证：{b n }是等比数列，并求其前n 项和T n .21（本题满分12分）如图，港口B 在港口O 正东方120海里处，小岛C 在港口O 北偏东60︒方向、港口B 北偏西30︒方向上．一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30︒的OA 方向以20海里/时的速度驶离港口O .一艘快船从港口B 出发，以60海里/时的速度驶向小岛C ，在C 岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间要1小时，问快艇驶离港口B 后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？22（本题满分14分）已知数列{}n a 是等差数列,12315a a a ++=,数列{}n b 是等比数列,12327b b b =.(1)若1243,a b a b ==.求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)若112233,,a b a b a b +++是正整数且成等比数列,求3a 的最大值.数学(文)试题答案 一．选择题：ABBBA DBCBC BB 二．填空题：13.23 14. 45o15.121或- 16.26 三．解答题：17【2，3】19.解：由已知，得51113162,(13)242,13n a a -⎧⋅=⎪⎨-=⎪-⎩①②由①得181162a =，解得12a =． …………9分将12a =代入②得2(13)24213n-=- ， 即 3243n=，解得 n ＝5． ………11分 ∴数列{}n a 的首项12a =，项数n ＝5． ………12分…3分20.解：(1)∵212=+=d a a ,662101111111=⨯+=d a S ,解得n a d a n =∴==,1,11 (2)∵41,)41(1=∴=-n n n n b b b ，∴{b n }是以411=b 为首项，41为公比的等比数列，前n 项和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nn T 4113141141141 21. 解：设快艇驶离港口B 后，最少要经过x 小时，在OA 上点D 处与考察船相遇，连结CD ，则快艇沿线段BC 、CD 航行．在OBC ∆中，30BOC ∠=︒，60CBO ∠=︒， ∴90BCO ∠=︒.又120BO =， ∴60BC=，OC =∴快艇从港口B 到小岛C 需要1小时．……5分在OCD ∆中，30COD ∠=︒，20OD x =，60(2)CD x =-． 由余弦定理，得2222cos CD OD OC OD OC COD =+-⋅⋅∠.∴222260(2)(20)220cos30x x x -=+-⨯⨯︒. 解得3x =或38x=.∵1x >，∴3x =.……11分 答：快艇驶离港口B 后最少要经过3小时才能和考察船相遇．……12分22．【答案】解(1)由题得225,3a b ==,所以123a b ==,从而等差数列{}n a 的公差2d =,所以21n a n =+,从而349b a ==,所以13n n b -=(2)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,则15a d =-,13b q=,35a d =+,33b q =. 因为112233,,a b a b a b +++成等比数列,所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=.设1133a b m a b n+=⎧⎨+=⎩,*,m n N ∈,64mn =, 则3553d m q d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩,整理得,2()5()800d m n d m n +-++-=.解得d =(舍去负根).35a d =+,∴要使得3a 最大,即需要d 最大,即n m -及2(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈,64mn =,∴当且仅当64n =且1m =时,n m -及2(10)m n +-取最大值.从而最大的d =所以,最大的3a =2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.1. 已知,a b 是两个不相等的正数，A 是,a b 的等差中项，B 是,a b 的等比中项，则A 与B 的大小关系是A. A B < B. A B > C. A B = D.11A B< 2．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若222()tan a b c C ab +-=，则角C 等于A ．30B ．60C ． 30或150 D.60或1203．若关于x 的二次不等式210x mx ++≥的解集为实数集R ，则实数m 的取值范围是 A ．2m ≤-或2m ≥ B. 22m -≤≤ C.2m <-或2m > D.22m -<<4．下列各函数中，最小值为2的是 A ．1y x x =+, 0x ≠且x R ∈ B ．sin 22sin x y x=+，(0,)x π∈ C．y =, x R ∈ D ．x x ye e -=+ , x R ∈5.等差数列{n a }的前n 项和记为n S ,若2610a a a ++为常数,则下列各数中恒为常数的是A ． 6SB ． 11SC ．12SD ． 18S6.已知变量,x y 满足约束条件02200x y x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为A ．2-B ．1-C ．2D ．7. 一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40° 的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮 在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向 是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是 A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里8.关于x 的不等式20x px q -+<的解集为(,)(0)a b a b <<，且,,2a b -这三个 数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．99. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b ()a b <，其全程的平均时速为v ，则A.a v<<2a bv+<<v b<< D.2a bv+=10．设等差数列的首项和公差都是非负的整数，项数不少于3，且各项和为297，则这样的数列共有 A.2个B.3个 C.4个 D.5个第1页（共4页）第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 在等比数列{}n a中，4525a a==，，则128lg lg lga a a+++等于▲ .12. 已知ABC∆的等比数列，则其最大角的余弦值为▲ .13.设函数(1)()1(1)x xf xx>⎧=⎨-≤⎩，则不等式()2f xx x-≤的解集是▲ .14.要制作一个容积为34m，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是▲ (单位：元)．15.已知方程220x ax b++=(,)a Rb R∈∈，其一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，则31ba--的取值范围为▲ .16．平面内有()n n N*∈个圆中，每两个圆都相交，每三个圆都不交于一点，若该n个圆把平面分成()f n个区域，那么()f n=▲ .三、解答题：本大题共6小题，共76分。

【20套试卷合集】安徽省合肥市肥东中学2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案

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2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案13．8x ＋4y －5＝014．(1)“IF －THEN －ELSE ”(2)2.1；10.5 15．(2)(3)(4) 16．3 17．解：(1)因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：()3.010005.001.02015.0025.014=⨯++⨯+-=f …………3分直方图如图所示．…………6分(2)依题意，及格以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率之和为(0.0150.030.0250.005)100.75+++⨯=，……………………9分抽样学生成绩的合格率是75％．利用组中值估算抽样学生的平均分+⨯=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅1.045958575655545654321f f f f f f7105.09525.0853.07515.06515.055=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯则估计这次考试的平均分是71分………………12分18．3=x 或01143=++y x 19．41 20．21≤<a21．(1)基本事件()c b ,有16个4=z 时，()c b ,的所有取值为(1，3)，(3，1)故()811624===z p ………………6分 (2)若方程有一个根1=x ，则01=--c b 即1=+c b ，不成立；若方程有一个根2=x ，则024=--c b 即42=+c b ，所以1=b ，2=c ；若方程有一个根3=x ，则039=--c b 即93=+c b ，所以2=b ，3=c ； 若方程有一个根4=x ，则0416=--c b 即164=+c b ，所以3=b ，4=c ； 综上()c b ,的所有取值为(1，2)，(2，3)，(3，4) 所以漂亮方程共有3个，漂亮方程的概率为163=p …………12分 22．(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线43=-y x 的距离，即2314=+=r ．得圆O 的方程为422=+y x ．…………3分 (2)由题意，可设直线MN 的方程为02=+-m y x ，则圆心O 到直线MN 的距离5m d =．由垂径分弦定理得：()222235=+m ，即5±=m ．所以直线MN 的方程为：052=+-y x 或052=--y x …………7分 (3)不妨设()0,1x A ，()0,2x B ，21x x <．由42=x 得()0,2-A ，()0,2B ．设()y x P ,，由PA ，PO ，PB 成等比数列，得()()22222222y x y x y x +=+-⋅++，即222=-y x ．()()()12,2,22-=--⋅---=⋅∴y y x y x PB PA由于点P 在圆O 内，故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得21y <．所以PA PB ∙的取值范围为[20)-，.………………12分2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案期 中 考 试 卷一．选择题（60分，每小题5分，每题的四个选项中有且仅有一个是正确的） A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等 D. 无法确定2.已知点(,1,2)A x B 和点(2,3,4),且AB =,则实数x 的值是（ ）A.3-或4B.6-或2C.3或4-D.6或2-3．某店一个月的收入和支出总共记录了N 个数据1a ，2,,N a a⋅⋅⋅，其中收入记为正数，支出记为负数。

2019-2020学年安徽省合肥市第一中学高二上学期期中数学(文)试题(含答案解析)

2019-2020学年安徽省合肥市第一中学高二上学期期中数学(文)试题(含答案解析)

2019-2020学年安徽省合肥市第一中学高二上学期期中数学（文）试题一、单选题 1．直线的倾斜角和斜率分别是（ ）A ．045,1B ．0135,1-C ．090，不存在D ．0180，不存在【答案】C【解析】解：∵直线x=1垂直于x 轴，倾斜角为90°，而斜率不存在， 故选 C ．2．下列说法不正确的．．．．是（ ） A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B ．同一平面的两条垂线一定共面；C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 【答案】D【解析】一组对边平行就决定了共面；同一平面的两条垂线互相平行，因而共面； 这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 3．方程224250x y mx y m ++-+=表示圆的充要条件是（ ）A ．114m << B ．114mm 或 C ．14m <D ．1m >【答案】B【解析】由圆的方程化化为222(2)(1)451x m y m m ++-=-+，得出24510m m -+>，即可求解，得到答案.【详解】由题意，圆224250x y mx y m ++-+=，可化为222(2)(1)451x m y m m ++-=-+， 则24510m m -+>，即(41)(1)0m m -->，解得14m <或1m >，故选B. 【点睛】本题主要考查了圆的一般方程与标准方程的应用，其中熟练把圆的一般方程化为标准方程，得到24510m m -+>是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是( )A．b∥αB．相交C．b⊂αD．b⊂α、相交或平行【答案】D【解析】三种情况如图(1),(2),(3).【考点】直线与平面的位置关系.5．如图是某几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是( )A．4πB．133πC．143πD．5π【答案】B【解析】根据视图判断该几何体为组合体，分别求出两部分体积再求和即可得解.【详解】根据三视图可知该几何体是由一个底面直径为2、高为3的圆柱和一个直径为2的球组合而成，所以该组合体的体积为2324213+=3+=2323V V Vπππ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭圆柱球.故选：B.【点睛】本题考查了三视图的还原和几何体体积的计算，属于基础题. 6．设l是直线，α，β是两个不同的平面( )A ．若//l α，l β//，则//αβB ．若//l α，l β⊥，则αβ⊥C ．若αβ⊥，l α⊥，则l β⊥D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】B【解析】根据空间中线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可. 【详解】由l 是直线，α，β是两个不同的平面，可知：A 选项中，若//l α，l β//，则α，β可能平行也可能相交，错误；B 选项中，若//l α，l β⊥，由线面平行、线面垂直的性质和面面垂直的判定可知αβ⊥，正确；C 选项中，若αβ⊥，l α⊥，由面面垂直、线面垂直的性质可知l β//或l β⊂，错误；D 选项中，若αβ⊥，//l α，则l ，β可能平行也可能相交，错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了线面、面面间的位置关系的判断，考查了空间思维能力，属于基础题. 7．若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3,1]-- B ．[1,3]-C ．[3,1]-D ．(,3][1,)∞-+∞U【答案】C【解析】由题意得圆心为(,0)a ．圆心到直线的距离为d =，由直线与圆有公共点可得≤12a +≤，解得31a -≤≤．∴实数a 取值范围是[3,1]-． 选C ．8．圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【解析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解. 【详解】圆222430x x y y +++-=可变为()()22128x y +++=，∴圆心为()1,2--，半径为22， ∴圆心到直线10x y ++=的距离12122d --+==，∴圆上到直线的距离为2的点共有3个.故选：C. 【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系，考查了学生合理转化的能力，属于基础题.9．平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为 A ．6π B ．43πC ．46πD ．63π【答案】B 【解析】球半径，所以球的体积为，选B.10．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A ．110B ．25C ．3010D ．22【答案】C【解析】以C 为原点，直线CA 为x 轴，直线CB 为y 轴，直线1CC 为z 轴，则设CA=CB=1，则(0,1,0)B ，11(,,1)22M ，A （1，0，0），1(,0,1)2N ，故11(,,1)22BM =-u u u u r ，1(,0,1)2AN u u u r =-，所以cos ,BM AN BM AN BM AN ⋅〈〉==⋅u u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u u r u u u r 3465=⋅30 C.【考点】本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.11．已知点()()2,3,3,2A B ---，直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 满足( ) A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或1k ≤- C ．344k -≤≤ D ．344k ≤≤ 【答案】A【解析】画出,,A B P 三点的图像，根据,PA PB 的斜率，求得直线l 斜率k 的取值范围. 【详解】如图所示，过点P 作直线PC x ⊥轴交线段AB 于点C ，作由直线,PA PB ①直线l 与线段AB 的交点在线段AC (除去点C )上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率k 的范围是PA k k ≤.②直线l 与线段AB 的交点在线段BC (除去点C )上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率k 的范围是PB k k ≥.因为31421PA k --==--，213314PB k --==--，所以直线l 的斜率k 满足34k ≥或4k ≤-. 故选:A.【点睛】本小题主要考查两点求斜率的公式，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.12．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解． 【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确； 对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确； 对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥， 若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．二、填空题13．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，则a 的值为_______ 【答案】－6.【解析】根据它们的斜率相等，可得﹣2a=3，解方程求a 的值 【详解】∵直线ax+2y+2=0与直线3x ﹣y=0平行， ∴它们的斜率相等，∴﹣2a=3，∴a=﹣6． 故答案为：-6． 【点睛】本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．14．已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______． 【答案】()1,4,1--【解析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果. 【详解】设B (),,x y z ,则1230,1,2222x y z+++=-==，所以1,4,1x y z =-=-=，所以B 的坐标为()1,4,1--． 【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为________． 【答案】相交【解析】由题意知，两圆的圆心分别为(－2,0)，(2,1)，两圆的半径之差为1，半径之和为5，而，所以两圆的位置关系为相交． 16．已知圆22:(2)1M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点，则动弦AB 的中点P 的轨迹方程为__________.【答案】2271416x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭(2)y < 【解析】转化条件点P 、M 、Q 三点共线、2MQ PM BM ⋅=即可得到点P 满足的条件，化简即可得解. 【详解】由圆的方程可知圆心()0,2，半径为1.设点(),P x y ，(),0Q a ，点P 、M 、Q 三点共线， 可得22y x a-=-， 由相似可得2MQ PM BM ⋅=即()222421a x y ++-=，联立消去a 并由图可知2y <，可得()2271()2416x y y +-=<.故答案为：()2271()2416x y y +-=<【点睛】本题考查了圆的性质和轨迹方程的求法，考查了转化能力和运算能力，属于中档题.三、解答题17．已知集合A ＝233|1,,224y y x x x ⎧⎫⎡⎤=-+∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，B ＝{x|x ＋m 2≥1}．命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围. 【答案】34m ≥或34m ≤-.【解析】【分析】试题分析：首先将集合,A B 进行化简，再根据命题p 是命题q 的充分条件知道A B ⊆，利用集合之间的关系，就可以求出实数m 的取值范围. 【详解】化简集合A ，由2312y x x =-+，配方，得237416y x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭. 3,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，min 716y ∴=，max 2y =.7,216y ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，7|216A y y ⎧⎫∴=≤≤⎨⎬⎩⎭化简集合B ，由21x m +≥，21x m -≥，{}2|1B x m=≥-Q 命题p 是命题q 的充分条件，A B ∴⊆.27116m ∴-≤， 解得34m ≥，或34m ≤-.∴实数m 的取值范围是33,,44⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .18．已知直线1l ，2l 的方程分别为20x y -=，230x y -+=，且1l ，2l 的交点为P . (1)求P 点坐标；(2)若直线l 过点P ，且与x ，y 轴正半轴围成的三角形面积为92，求直线l 的方程. 【答案】(1)()1,2P ；(2)30x y +-=或460x y +-=. 【解析】（1）联立方程组即可求解；（2）利用点斜式设出直线方程表示出直线与坐标轴的交点后即可得解. 【详解】 （1）由20230x y x y -=⎧⎨-+=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，所以点P 坐标为()1,2.（2）①当过点()1,2P 的直线与坐标轴平行时，不合题意；②当过点()1,2P 的直线与坐标轴不平行时，可设所求直线方程为2(1)y k x -=-， 当0x =时，2y k =-；当0y =时，21x k=-；故： 1291(2)22S k k ∆⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，由20k ->，210k ->，解得1k =-或4-故所求的直线方程为21(1)y x -=-⨯-或24(1)y x -=-⨯-， 即30x y +-=或460x y +-=；综上，所求直线方程为30x y +-=或460x y +-= 【点睛】本题考查了直线交点的求法、待定系数法求直线方程，考查了方程思想，在设直线方程时要注意每种形式的适用范围，属于基础题.19．圆C 经过点()2,1A -，和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上. (1)求圆C 的方程； (2)圆内有一点52,2B ⎛⎫-⎪⎝⎭，求以该点为中点的弦所在的直线的方程. 【答案】(1)22(1)(2)2x y -++=；(2)42130x y --=.【解析】（1）设出圆的圆心和半径，根据已知列出方程即可得解； （2）利用垂径定理可知CB EF ⊥，求出弦所在直线的斜率即可得解. 【详解】（1）圆心在直线2y x =-上，设圆心(),2m m -，半径为r ，则圆的方程为：222()(2)x m y m r -++=，Q 圆过()2,1A -，∴222(2)(12)m m r -+-+=，又 圆和直线1x y +=相切，∴r =，解得1m =，r = ∴圆C 的方程为22(1)(2)2x y -++=．（2）点B 为弦EF 的中点，由垂径定理得：CB EF ⊥，由（1）知点C ()1,2-，∴5212122BCk ⎛⎫--- ⎪⎝⎭==--，∴12EF BC k k ==-， ∴()5:222EF y x +=-即42130x y --=， ∴以点B 为中点的弦的方程为：42130x y --=.【点睛】本题考查了圆的方程的确定、圆的性质，考查了方程思想和条件转化的能力，属于基础题.20．如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -，60ABC ∠=︒，PA AC a ==，2PB PD a ==，点E 在PD 上，且:2:1PE ED =.(1)求该四棱锥的体积； (2)若F 为棱PC 的中点，证明：//BF 平面AEC .【答案】(1)336a ；(2)证明见解析. 【解析】（1）先证明PA ⊥面ABCD ，再求出菱形ABCD 的面积即可得解； （2）通过辅助线证明面面平行后即可得出结论.【详解】（1）Q 四边形ABCD 是菱形，PA AC a ==，2PB PD a ==，∴90PAB PAD ∠=∠=o ,∴PA ⊥面ABCD ,又 60ABC ∠=︒，∴233ABCD a a S a == ∴23113333P ABCD ABCD a a V S PA a -=⋅== （2）取PE 的中点M ，连结FM ，则//FM CE ，由线面平行的判定定理可得//FM 面AEC ，由:2:1PE ED =可知E 是MD 的中点，连结BM 、BD ，设BD AC O ⋂=，由菱形的性质可得O 为BD 的中点， ∴//BM OE ，由线面平行的判定定理可得//BM 面AEC ，又BM FM M ⋂=， ∴平面//BFM 平面AEC又BF ⊂平面BFM ，∴//BF 平面AEC ．【点睛】本题考查了立体图形体积的求法以及线面、面面位置关系的性质和判定，属于中档题. 21．如图1所示，在Rt ABC ∆中，90,,C D E ο∠=分别为,AC AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1,A F CD ⊥如图2所示.（1）求证：DE //平面1A CB ；（2）求证：1A F BE ⊥； （3）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？请说明理由.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）∵DE ∥BC ，由线面平行的判定定理得出（2）可以先证1DE A DC ⊥平面，得出1DE A F ⊥，∵1A F CD ⊥∴1A F BCDE ⊥底面∴1A F BE ⊥(3)Q 为1A B 的中点，由上问1DE A DC ⊥平面，易知1DE A C ⊥,取1A C 中点P ，连接DP 和QP ，不难证出1PQ A C ⊥，1PD A C ⊥∴1A C PQD ⊥平面∴1A C PQ ⊥,又∵1DE A C ⊥∴1A C PQE ⊥平面22．已知过点()1,0A -的动直线l 与圆22:(3)4C x y +-=相交于P ，Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线:360m x y ++=相交于N .(1)当l 与m 垂直时，求l 的方程；(2)当PQ =l 的方程；(3)探究AM AN ⋅u u u u r u u u r 是否与直线l 的倾斜角有关？若无关，求出其值；若有关，请说明理由.【答案】(1)330x y -+=；(2)1x =-或4340x y -+=；(3)无关，5-.【解析】（1）利用垂直时1m l k k ⋅=-求出l k ，利用点斜式即可得解；（2）讨论直线l 斜率是否存在，当斜率存在时，利用点斜式设出方程，再根据1CM =即可得解；（3）先转化AM AN AC AN ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r ，根据直线斜率是否存在分别求出点N 点坐标，计算后即可得解.【详解】（1）Q 直线l 与直线m 垂直，且13m k =-，∴13l m k k =-=. 故直线l 方程为3(1)y x =+，即330x y -+=.（2）①当直线l 与x 轴垂直时，易知1x =-符合题意；②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=，Q PQ =M 是PQ 中点，圆C 圆心为()0,3，半径为2，∴1CM ==，则由1CM ==，得43k =， ∴直线:4340l x y -+=. 故直线l 的方程为1x =-或4340x y -+=.(3)Q CM NA ⊥，∴()AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r uu u r u u u r. ①当l 与x 轴垂直时，易得51,3N ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则50,3AN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，又(1,3)AC =u u u r ， ∴5AM AN AC AN ⋅=⋅=-u u u u r u u u r u u u r u u u r .②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =+，则由(1)360y k x x y =+⎧⎨++=⎩得365,1313k k N k k ---⎛⎫ ⎪++⎝⎭ 则55,1313k AN k k --⎛⎫= ⎪++⎝⎭u u u r . ∴51551313k AM AN AC AN k k--⋅=⋅=+=-++u u u u v u u u v u u u v u u u v . 综上所述，AM AN ⋅u u u u r u u u r 与直线l 的斜率无关，且5AM AN ⋅=-u u u u r u u u r .【点睛】本题考查了直线解析式的求法、直线与圆的位置关系和向量数量积的坐标表示，考查了分类讨论思想和方程思想，属于中档题.。

2019-2020学年人教A版安徽省合肥一中高二上学期期末(理)数学试卷(解析版)

2019-2020学年人教A版安徽省合肥一中高二上学期期末(理)数学试卷(解析版)

2019-2020学年高二第一学期期末数学试卷（理科）一、选择题1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m∥α，m∥n，则n∥α；③若m，n是异面直线，则存在α，β，使m⊂α，n⊂β，且α∥β；④若α，β不垂直，则不存在m⊂α，使m⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．设a∈R，则“a＝2”是“直线ax+2y﹣1＝0与直线x+2y﹣3＝0相交”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充他条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．一条光线从点（﹣2，3）射出，经x轴反射后与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或B．或C．或D．或4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R）的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．5．若某正三棱柱各棱长均为2，则该棱柱的外接球表面积为（）A．8πB．16πC．D．6．一个几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．B．C．D．7．如图所示，点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝4x及圆x2+y2﹣2x ﹣3＝0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围（）A．（4，6）B．[4，6] C．（2，4）D．[2，4]8．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的周长为（）A．B．6C．D．39．如图过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为（）A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x10．正四面体ABCD的体积为1，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（）A．B．C．D．11．如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直12．已知双曲线（a，b＞0）的两条渐近线分别与抛物线y2＝4x交于第一、四象限的A，B两点，设抛物线焦点为F，着cos∠AFB＝﹣，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）13．直线3x﹣4y+5＝0关于直线x+y＝0对称的直线方程为．14．在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB，E，F分别是PB，PC的中点，设异面直线AE与BF 所成角的大小为α，则cosα＝．15．已知直线l1：4x﹣3y+6＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是．16．如图，平面ABC⊥α，D为AB的中点，|AB|＝2，∠CDB＝60°，P为α内的动点，且P 到直线CD的距离为，则cos∠APB的最小值为．三、解答题17．求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一条渐近线方程为，且与椭圆x2+4y2＝64有相同的焦点；（2）经过点，且与双曲线有共同的渐近线．18．在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2BC，∠ABC＝60°，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．19．已知圆心在y轴上的圆C经过点，截直线y＝5所得弦长为，直线l：ax+y+2a＝0．（1）求圆C的方程；（2）若直线l与圆C相交于A、B两点，当a为何值时，△ABC的面积最大．20．如图所示，在五棱锥E﹣ABCDF中，侧面AEF⊥底面ABC，△AEF是边长为2的正三角形，四边形ABDF为正方形，BC⊥CD，且BC＝CD，G是△AEF的重心，O是正方形ABDF的中心．（Ⅰ）求证：OG∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．21．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，点P是椭圆上任一点，⊙M是以PF2为直径的圆．（Ⅰ）当⊙M的面积为时，求PA所在直线的方程；（Ⅱ）当⊙M与直线AF1相切时，求⊙M的方程；（Ⅲ）求证：⊙M总与某个定圆相切．22．已知椭圆C的离心率为，长轴的左、右端点分别为A1（﹣2，0），A2（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线x＝my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P，A2Q交于S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分）1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n；②若m∥α，m∥n，则n∥α；③若m，n是异面直线，则存在α，β，使m⊂α，n⊂β，且α∥β；④若α，β不垂直，则不存在m⊂α，使m⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，故①错误；②若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故②错误；③若m，n是异面直线，则存在α，β，使m⊂α，n⊂β，且α∥β，故③正确；④若α，β不垂直，由面面垂直的判定可知，不存在m⊂α，使m⊥β，故④正确．∴其中正确的命题有2个．故选：B．2．设a∈R，则“a＝2”是“直线ax+2y﹣1＝0与直线x+2y﹣3＝0相交”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充他条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：直线ax+2y﹣1＝0与直线x+2y﹣3＝0相交的充分条件是，即a≠1，由于a＝2是a≠1的充分不必要条件，故选：A．3．一条光线从点（﹣2，3）射出，经x轴反射后与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或B．或C．或D．或解：由题意可知：点（﹣2，﹣3）在反射光线上．设反射光线所在的直线方程为：y+3＝k（x+2），即kx﹣y+2k﹣3＝0．由相切的性质可得：＝1，化为：12k2﹣25k+12＝0，解得k＝或．故选：D．4．在平面直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R）的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．解：直角坐标系xOy中，椭圆（m∈R），所以＝＜1，当m＝0时，．故，整理得．故选：C．5．若某正三棱柱各棱长均为2，则该棱柱的外接球表面积为（）A．8πB．16πC．D．解：由题意作出图象如右图，则OA＝R，AE⊥BC，OD⊥面ABC，AB＝BC＝AC＝AA1＝2，则AE＝，OD＝1，AD＝＝，R2＝OA2＝AD2+OD2＝（）2+12＝，外接球的表面积S＝4πR2＝4π•＝，故选：D．6．一个几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．B．C．D．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是直三棱柱剪去一个角，其中△ACB为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AB＝2，BE＝2，AG＝EF＝1．∴该几何体的体积V＝．故选：C．7．如图所示，点F是抛物线y2＝4x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝4x及圆x2+y2﹣2x ﹣3＝0的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，则△FAB的周长的取值范围（）A．（4，6）B．[4，6] C．（2，4）D．[2，4]解：由题意知抛物线y2＝4x的准线为x＝﹣1，设A、B两点的坐标分别为A（x1，y0），B（x2，y0），则|AF|＝x1+1．由，消去y整理得x2+2x﹣3＝0，解得x＝1，∵B在图中圆（x﹣1）2+y2＝4的实线部分上运动，∴1＜x2＜3．∴△FAB的周长为|AF|+|FB|+|BA|＝（x1+1）+2+（x2﹣x1）＝x2+3∈（4，6）．故选：A．8．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的周长为（）A．B．6C．D．3解：设E，F，G，分别为棱AB，CC1，C1D1的中点，则由题意可得，则平面α被此正方体所截得截面图形为正六边形PEQFRG，又正六边形的边长QE＝＝，所以平面α被此正方体所截得截面图形的周长为6，故选：B．9．如图过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为（）A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|＝3，|AC|＝3+3a，∴2|AE|＝|AC|∴3+3a＝6，从而得a＝1，∵BD∥FG，∴＝求得p＝，因此抛物线方程为y2＝3x．故选：D．10．正四面体ABCD的体积为1，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为（）A．B．C．D．解：正四面体ABCD的体积为1，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O 对称，根据几何体的对称性，重叠部分的体积为，大正四面体的体积减去4个尖端的小棱锥的体积（4个体积相等），其中每个小锥体积为．所以公共部分的体积为4×．故选：B．11．如图，等边△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（）A．动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上B．恒有平面A′GF⊥平面BCEDC．三棱锥A′﹣EFD的体积有最大值D．异面直线A′E与BD不可能垂直解：∵A′D＝A′E，△ABC是正三角形，∴A′在平面ABC上的射影在线段AF上，故A正确；由A知，平面A′GF一定过平面BCED的垂线，∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正确；三棱锥A′﹣FED的底面积是定值，体积由高即A′到底面的距离决定，当平面A′DE⊥平面BCED时，三棱锥A′﹣FED的体积有最大值，故C正确；当（A′E）2+EF2＝（A′F）2时，面直线A′E与BD垂直，故④错误．故选：D．12．已知双曲线（a，b＞0）的两条渐近线分别与抛物线y2＝4x交于第一、四象限的A，B两点，设抛物线焦点为F，着cos∠AFB＝﹣，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．解：双曲线（a，b＞0）的两条渐近线方程为y＝±x，由抛物线y2＝4x和y＝x，联立可得A（，），B（，﹣），由抛物线的方程可得F（1，0），设AF的倾斜角为α，斜率为tanα＝，而cos∠AFB＝cos2α＝cos2α﹣sin2α＝＝＝﹣，解得tanα＝2（负的舍去），设t＝，可得＝2，解得t＝，则e＝＝＝．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．直线3x﹣4y+5＝0关于直线x+y＝0对称的直线方程为4x﹣3y+5＝0 ．解：在直线l′上任取一点（x，y），此点关于直线x+y＝0的对称点（﹣y，﹣x）在直线l：3x﹣4y+5＝0上，∴3（﹣y）﹣4（﹣x）+5＝0，即4x﹣3y+5＝0，故答案为：4x﹣3y+5＝0．14．在正四棱锥P﹣ABCD中，PA＝AB，E，F分别是PB，PC的中点，设异面直线AE与BF 所成角的大小为α，则cosα＝．解：过P向底面ABCD作垂线，垂足为O，以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝，则OA＝OB＝1，∵PA＝AB，∴PO＝1，∴A（1，0，0），B（0，1，0），E（0，，），F（﹣，0，）∴＝（﹣1，，），＝（，﹣1，）∴cos＜，＞＝＝＝﹣∵异面直线AE与BF所成角为锐角，∴cosα＝﹣cos＜，＞＝故答案为15．已知直线l1：4x﹣3y+6＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 2 ．解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x＝﹣1的距离d2＝a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6＝0的距离d1＝，则d1+d2＝+a2+1＝，当a＝时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故答案为216．如图，平面ABC⊥α，D为AB的中点，|AB|＝2，∠CDB＝60°，P为α内的动点，且P 到直线CD的距离为，则cos∠APB的最小值为．解：空间中到直线CD的距离为的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，b＝，a＝＝2，则c＝1，于是A，B为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，故为60°．故cos∠APB的最小值为cos60°＝；故答案为三、解答题（共6题，第17题10分，其余各题每题12分）17．求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）一条渐近线方程为，且与椭圆x2+4y2＝64有相同的焦点；（2）经过点，且与双曲线有共同的渐近线．解：（1）椭圆方程可化为，焦点坐标为，故可设双曲线的方程为（a，b＞0），其渐近线方程为，则，又c2＝a2+b2＝48，所以可得a2＝36，b2＝12，所以所求双曲线的标准方程为；（2）由题意可设所求双曲线方程为，因为点在双曲线上，∴，解得，所以所求双曲线的标准方程为．18．在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2BC，∠ABC＝60°，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC？证明你的结论．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB＝2BC，∠ABC＝60°，在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC cos60°＝3BC2，∴AC2+BC2＝4BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°．∴AC⊥BC．又∵AC⊥FB，FB∩BC＝B，∴AC⊥平面FBC．（Ⅱ）线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．证明如下：因为AC⊥平面FBC，所以AC⊥FC．因为CD⊥FC，所以FC⊥平面ABCD．所以CA，CF，CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C﹣xyz．在等腰梯形ABCD中，可得CB＝CD．设BC＝1，所以，．所以，．设平面EAC的法向量为＝（x，y，z），则，所以取z＝1，得＝（0，2，1）．假设线段ED上存在点Q，设，所以．设平面QBC的法向量为＝（a，b，c），则所以取c＝1，得＝．要使平面EAC⊥平面QBC，只需，即，此方程无解．所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC⊥平面QBC．19．已知圆心在y轴上的圆C经过点，截直线y＝5所得弦长为，直线l：ax+y+2a＝0．（1）求圆C的方程；（2）若直线l与圆C相交于A、B两点，当a为何值时，△ABC的面积最大．解：（1）设圆C的方程为：x2+（y﹣b）2＝r2，把代入得3+（3﹣b）2＝r2，…………………………①又∵圆C截直线y＝5所得弦长为∴（b﹣5）2+3＝r2…………………………②联立①②解得b＝4，r＝2∴圆C方程为：x2+（y﹣4）2＝4；（2）圆心C到直线l：ax+y+2a＝0的距离，∴，由，此时即时等号成立，解得a＝﹣7或a＝﹣1故a＝﹣7或a＝﹣1时，△ABC的面积最大．20．如图所示，在五棱锥E﹣ABCDF中，侧面AEF⊥底面ABC，△AEF是边长为2的正三角形，四边形ABDF为正方形，BC⊥CD，且BC＝CD，G是△AEF的重心，O是正方形ABDF的中心．（Ⅰ）求证：OG∥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．【解答】解析：（Ⅰ）取AF中点M，BD中点N，连接MN，CN，易知C，N，O，M四点共线．由BC⊥CD，且BC＝CD，可知△BCD为等腰直角三角形，所以．因为O是正方形ABDF的中心，所以OM＝ON．所以CN＝NO＝MO，所以．又G是△AEF的重心，所以．所以，故OG∥CE．又因为EC⊂平面BCE，OG⊄平面BCE．所以OG∥平面BCE．（Ⅱ）：因为M为中点，△AEF是正三角形，所以ME⊥AF．因为侧面AEF⊥底面ABC，且交线为AF，所以ME⊥底面ABC．所以直线ME，MA，MC两两垂直．如图，以M为原点，以方向为x轴正方向，以方向为y轴正方向，以方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，2，0），．所以，，．设平面ABE的法向量为，则令z1＝1，则．设平面AED的法向量为，则，令z2＝1，则．所以．故二面角B﹣AE﹣D的余弦值为．21．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，点P是椭圆上任一点，⊙M是以PF2为直径的圆．（Ⅰ）当⊙M的面积为时，求PA所在直线的方程；（Ⅱ）当⊙M与直线AF1相切时，求⊙M的方程；（Ⅲ）求证：⊙M总与某个定圆相切．解：（Ⅰ）易得F1（﹣1，0），F2（1，0），A（0，﹣1），设点P（x1，y1），则，所以又⊙M的面积为，∴，解得x1＝1，∴，∴PA所在直线方程为或（Ⅱ）因为直线AF1的方程为x+y+1＝0，且到直线AF1的距离为化简得y1＝﹣1﹣2x1，联立方程组，解得x1＝0或∴当x1＝0时，可得，∴⊙M的方程为；当时，可得，∴⊙M的方程为（Ⅲ）⊙M始终和以原点为圆心，半径为r1＝（长半轴）的圆（记作⊙O）相切证明：因为＝，又⊙M的半径r2＝MF2＝，∴OM＝r1﹣r2，∴⊙M和⊙O相内切．22．已知椭圆C的离心率为，长轴的左、右端点分别为A1（﹣2，0），A2（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线x＝my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P，A2Q交于S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．解：（1）设椭圆C的方程为（a＞0，b＞0），∵a＝2，e＝，∴c＝，b2＝2，∴椭圆C的方程为；（2）取m＝0，得P（1，），Q（1，﹣），直线A1P的方程是y＝，直线A2Q的方程是，交点为S1（4，）．若P（1，﹣），Q（1，），由对称性可知S2（4，﹣），若点S在同一条直线上，则直线只能为l：x＝4．以下证明对于任意的m，直线A1P与A2Q的交点S均在直线l：x＝4上，事实上，由，得（m2+2）y2+2my﹣3＝0，记P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，记A1P与l交于点S0（4，y0），由，得，设A2Q与l交于点S′0（4，y′0），由，得，∵＝＝＝，∴y0＝y′0，即S0与S′0重合，这说明，当m变化时，点S恒在定直线l：x＝4上．。

安徽省合肥市第一中学2019_2020学年高二数学上学期段一考试(月考)试题理(含解析)

安徽省合肥市第一中学2019_2020学年高二数学上学期段一考试(月考)试题理(含解析)

合肥一中2017——2018学年第一学期高二年级段一考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 下列说法正确的是（）A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形【答案】C【解析】略2. 四个直立在地面上的字母广告牌在不同情况下，在地面上的投影（阴影部分）效果如图，则在字母的投影中，与字母属同一种投影的有（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据平行投影和中心投影的特点和规律．“L”、“K”与“N”属中心投影；故选A．3. 将图1所示正方体截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，在右侧的射影是正方形的对角线，在右侧的射影也是对角线是虚线．如图B．故选B．考点：简单空间图形的三视图．4. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，现给出下列命题：①若,,,，则；②若,，则③若,，则；④若,，则.其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】对于①，若，根据面面平行的判定定理，如果直线不相交，那么与不一定平行；故①错误；对于②，若 ,，则则与位置关系不确定（有可能在内）；故②错误；对于③，若,，则则与位置关系不确定（有可能在内）；故③错误；对于④， ,，则. ，则与位置关系不确定（有可能在内）；故④错误．故选A．5. 正方体中，分别是的中点，过三点的平面截正方体，则所得截面形状是（）A. 平行四边形B. 直角梯形C. 等腰梯形D. 以上都不对【解析】连接由正方体的性质得则在平面中，∴平面即为所得截面，即为过三点的正方体的截面，∴截面为等腰梯形，故选C【点睛】本题主要考查平面的基本性质，根据直线平行的性质是解决本题的关键6. 如图，已知四边形的直观图是一个边长为 1 的正方形，则原图形的周长为（）A. B. 6 C. 8 D.【答案】C【解析】试题分析：因为四边形的直观图是一个边长为的正方形，所以原图形为平行四边形，一组对边为，另一组对边长为，所以圆图形的周长为，故选C.考点：平面图形的直观图.7. 在中，，，，若把绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A. B. C. D.【解析】试题分析：依题意可知，旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，如图所以，，所以旋转体的体积为＝＝，故选B．考点：旋转体的性质与体积．8. 如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C，故应选.考点：1、空间几何体的体积；2、三视图.9. 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，半圆锥的底面直径为2，高故半圆锥的底面半径，母线长为，半圆锥的表面积选A10. 直三棱柱中，若，则异面直线与所成的角等于（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】延长到，使得，连接。

2019-2020学年安徽省合肥市庐阳区第一中学高二上学期期中数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年安徽省合肥市庐阳区第一中学高二上学期期中数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年安徽省合肥市庐阳区第一中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．直线10x +-=的倾斜角为( ) A ．30° B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】D【解析】求出斜率，根据斜率与倾斜角关系，即可求解. 【详解】10x -=化为33y x =-+，直线的斜率为0150. 故选:D. 【点睛】本题考查直线方程一般式化为斜截式，求直线的斜率、倾斜角，属于基础题.2．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②存在每个面都是直角三角形的四面体；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据圆柱母线定义，①错误；可以举例说明满足条件的三棱锥存在，②正确；根据线线垂直关系，可证三侧面两两垂直，③正确；根据棱台的定义，判断④错误. 【详解】圆柱的母线与上下底面垂直，而圆柱的上、下底面的圆周上各取一点， 这两点的连线不一定垂直底面，①错误；如图正方体中，三棱锥1A ACD -，因为1AA ⊥平面ACD ， 所以11,AA AC AA AD ⊥⊥，因为CD ⊥平面1A AD ，所以1,CD A D CD AD ⊥⊥，四个面都是直角三角形，②正确；三棱锥1A A BD -中，11,,AA AB AA AD AB AD ⊥⊥⊥，AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABD ，1AA ⊥平面ABD ， 1AA ⊂平面1AA B ，1AA ⊂平面1AA D ，平面1AA B ⊥平面ABD ，平面1AA D ⊥平面ABD ， 同理平面1AA D ⊥平面1AA B ， 所以三个侧面两两互相垂直，③正确； 根据棱台是由棱锥被平行底面的平面所截， 截面和底面相似，而侧棱不一定相等，④错误. 故选:C.【点睛】本题考查几何体的结构特征，考查线线、面面垂直的判定，注意空间垂直的相互转化，属于中档题.3．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD （如图所示），若45ABC ∠=︒，1AB AD ==，DC BC ⊥，则这个平面图形的面积为（ ）A ．1244+B ．222+C ．1242+D ．122+【答案】B【解析】在直观图中，∵∠ABC=45°，AB=AD=1，DC ⊥BC∴AD=1，BC=1+2， ∴原来的平面图形上底长为1，下底为1+2，高为2， ∴平面图形的面积为1122++×2=2+2． 故选：B ．4．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个结论，其中正确结论是：( ) ①//l m αβ⇒⊥；②l m αβ⊥⇒⊥；③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒. A ．①与② B ．①与③C ．②与④D ．③与④【答案】B【解析】由面面平行的性质和线面垂直的定义，可判断①的真假；由线面垂直的性质、面面垂直的性质及空间关系，可判断②的真假；由线面垂直的判定定理，及面面垂直的判定定理，可判断③的真假；根据线面垂直、线线垂直的定义及几何特征，可判断④的真假. 【详解】过直线m 做一平面,,//n γγααβ=I Q ，//m n ∴，l ⊥平面α，,l n l m ∴⊥⊥，①正确；直线l ⊥平面α，若αβ⊥，则l 与m 可能平行， 异面也可能相交，②错误；直线l ⊥平面α，若//l m ，则m ⊥平面α，m ⊂平面β，αβ∴⊥，③正确；直线l ⊥平面α，若l m ⊥，则//m α或m α⊂， 则α与β平行或相交，④错误. 故选:B. 【点睛】本题以空间线面关系的判定为载体，考查了空间线面垂直，线面平行，面面垂直及面面平行的判定及性质，考查空间想象能力，属于中档题.5．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ．123S S S == B ．21S S =且23S S ≠ C ．31S S =且32S S ≠ D ．32S S =且31S S ≠【答案】D【解析】试题分析：结合其空间立体图形易知，112222S =⨯⨯=，2312222S S ==⨯⨯=，所以23S S =且13S S ≠，故选D ．【考点】空间直角坐标系及点的坐标的确定，正投影图形的概念，三角形面积公式．6．已知直线1:(2)(3)50l m x m y +++-=和2:6(21)5l x m y +-=互相平行，则m =( ) A ．4 B ．52-C ．4，52-D ．1-，92-【答案】B【解析】由12l l //或12,l l 重合直线方程的系数关系，求出m ，再代入直线方程验证，排除重合，即可求解. 【详解】若12l l //或12,l l 重合，(2)(21)6(3)0m m m +--+=， 即223200m m --=，解得4m =或52m =-， 当4m =时，1:6750l x y +-=，2:6750l x y +-=，12,l l 重合，不合题意，舍去；当52m =-，1:100l x y -+=，25:06l x y --=此时12l l //. 故选:B. 【点睛】本题考查直线的位置关系，要明确直线一般式方程与位置关系的充要条件，属于中档题. 7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．23B ．13C ．43D ．83【答案】A【解析】由三视图可知：该几何体为三棱锥P ﹣ABC ，过点P 作PD ⊥底面ABC ，垂足D 在AC 的延长线上，且BD ⊥AD ．由题中数据及锥体体积公式即可得出． 【详解】由三视图可知：该几何体为三棱锥P ABC -（如图），过点P 作PD ⊥底面ABC ，垂足D 在AC 的延长线上，且BD AD ⊥，1AC CD ==，2BD =，2PD =，∴该几何体的体积112122323V =⨯⨯⨯⨯=.故选A .【点睛】本题考查了三棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．已知直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为( ) A ．1010B．310C ．105D ．155【答案】A【解析】根据已知条件将直三棱柱补成长方体，作出异面直线所成的角，通过解三角形，即可求解. 【详解】如图，将三棱柱补成以1,,AB BC BB 为邻边的长方体， 连111,AD B D ，在长方体中，1111//,AB C D AB C D =， 所以四边形11ABC D 是平行四边形，11//AD BC ， 所以11B AD ∠（或补角）为异面直线1AB 与1BC 所成角，2AB =，11BC CC ==，所以11115,2AB B D AD ===，取1AD 中点E 连1B E ，则11B E AD ⊥，11110cos AE B AD AB ∴∠==. 故选:A.【点睛】本题考查异面直线所成的角，将几何体补成特殊的图形是解题的关键，用几何法求空间角，要先作再证后计算，属于中档题.9．已知圆224x y +=，直线l ：y x b =+，若圆224x y +=上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，则b 的取值范围为( )A ．()1,1-B ．[]1,1-C．⎡⎣D．(【答案】D【解析】圆224x y +=上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，所以圆心到直线l ：y x b =+的距离小于1，利用点到直线距离求出b 的取值范围.【详解】因为圆224x y +=上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，所以圆心到直线l ：y x b =+的距离小于11b b <⇒<⇒<，故本题选D.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了数形结合思想. 10．设m ，n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）． A．[1 B．(),11⎡-∞+∞⎣UC．[2-+ D．(),22⎡-∞-++∞⎣U【答案】D【解析】试题分析：因为直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切,所=1，即=++1mn m n ，所以()2+=++14m n mn m n ≤，所以+m n 的取值范围是(,2)-∞-⋃∞。

2019-2020学年高二上学期期中考试数学理科试卷 Word版含解析

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数学理工类本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）.考生作答时，须将★答案★答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.选择题必须使用2B 铅笔将★答案★标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上.2.填空题和解答题用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知直线1:l y x =，若直线21l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为（ ） A.4π B. ()4k k Z ππ+∈C.34π D.3()4k k Z ππ+∈ 【★答案★】C 【解析】 【分析】根据直线垂直，则可求得2l 的斜率，再根据斜率求得倾斜角，即可选择. 【详解】因为直线1:l y x =，直线21l l ⊥，故可得21l k =-. 设直线2l 倾斜角为θ，则1tan θ=-，又[)0,θπ∈，故可得34πθ=. 故选：C.【点睛】本题考查直线垂直的斜率关系，以及由斜率求解倾斜角，属综合基础题.2. 如图是某学生在七次周考测试中某学科所得分数的茎叶图，则这组数据的众数和中位数分别为（ ）7983463793A. 84，86B. 84，84C. 83，86D. 83，84【★答案★】D 【解析】 【分析】根据茎叶图将数据一一列举，即可得到众数和中位数；【详解】解：由茎叶图可得，这几个数据分别是79,83,83,84,86,87,93； 故众数为83，中位数为84； 故选：D【点睛】本题考查茎叶图，考查学生分析解决问题的能力，确定众数与中位数是关键，属于基础题． 3. 准线方程为2x =的抛物线的标准方程为（ ） A. 24y x =- B. 28y x =-C. 24y x =D. 28y x =【★答案★】B 【解析】【详解】试题分析：由题意得，抛物线28y x =-，可得4p =，且开口向左，其准线方程为2x =. 故选B ．考点：抛物线的几何性质．4. 对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ） A. 123p p p =< B. 231p p p =< C. 132p p p =< D. 123p p p ==【★答案★】D 【解析】试题分析：根据随机抽样的原理可得，简单随机抽样、分层抽样、系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p 1＝p 2＝p 3.注意无论是哪种抽样，每个个体被抽到的概率均是相同的. 考点：随机抽样5. 如图是2018年第一季度五省GDP 情况图，则下列描述中不正确．．．的是（ ）A. 与去年同期相比2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长B. 2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省C. 2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D. 去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元【★答案★】C【解析】【分析】根据柱型图与折线图的性质，对选项中的结论逐一判断即可，判断过程注意增长量与增长率的区别与联系.【详解】由2018年第一季度五省GDP情况图，知：在A中, 与去年同期相比，2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长，A正确；在B中，2018年第一季度GDP增速由髙到低排位第5的是浙江省，故B正确；在C中，2018年第一季度总量和增速由髙到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个,故C不正确；在D中，去年同期河南省的总量增长百分之六点六后达到2018年的4067.6亿元，可得去年同期河南省的总量不超过4000亿元,故D正确，故选C.【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查折线图、柱形图等基础知识，意在考查阅读能力、数据处理能力，考查数形结合思想的应用，属于中档题.6. 已知点(2,1)在双曲线2222:1(0,0)x yE a ba b-=>>的渐近线上，则E的离心率等于A.32B. 52C. 5D. 52或5【★答案★】B 【解析】由题意得：点()2,1在直线by x a=上， 则12b a = 2252a b e a +∴==故选B7. 从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是（ ） A. B 与C 互斥 B. 任何两个均互斥 C. A 与C 互斥 D. 任何两个均不互斥【★答案★】C 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义可判断出结果.【详解】事件C 包含事件B ，故A 、B 错误； 事件A 与事件C 没有相同的事件，故C 正确，D 错误. 故选：C .【点睛】本题考查互斥事件的判断，属于基础题.8. 在区间[1,1]-上随机取一个数k ，则直线(5)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A.14B.12C.23D.34【★答案★】B 【解析】 【分析】这是一个几何概型长度类型，先得到直线(5)y k x =+与圆221x y +=相交时的k 的范围，再由k 是取自区间[1,1]-上的一个数，代入公式求解. 【详解】若直线(5)y k x =+与圆221x y +=相交， 则圆心到直线的距离小于半径， 即2511<+k k，解得1122k -<<， 又因为在区间[1,1]-上随机取一个数k ，所以直线(5)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为()11122112⎛⎫-- ⎪⎝⎭==--p . 故选：B【点睛】本题主要考查几何概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的x 等于（ ）A. 2B. 4C. 8D. 16【★答案★】C 【解析】执行程序框图，x 1,y 2==-；2,3x y ==；4,1x y ==；8,x = 结束循环，输出8,x =故选C. 【方法点睛】本题主要考查程序框图的条件结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10. 设12,F F 为椭圆2214x y +=的两个焦点，点P 在此椭圆上，且122PF PF ⋅=-，则12PF F △的面积为（ ） A. 1B. 2C. 3D. 2【★答案★】C 【解析】 【分析】 由122PF PF ⋅=-，可得1212cos 2PF PF F PF ⋅∠=-，再由124PF PF +=及余弦定理计算可得121cos 2F PF ∠=-，再根据同角三角函数的基本关系，可得123sin 2F PF ∠=，最后由面积公式计算可得；【详解】解：因为2214x y +=，所以124PF PF +=，1223F F =因为122PF PF ⋅=-，所以1212cos 2PF PF F PF ⋅∠=-在12F PF △中由余弦定理可得222121212122cos F F F P PF F P PF F PF =+-⋅∠， 即()22121222F P PF =+-⨯-又221212216FP PF F P PF ++⋅=， 即22128F P PF +=，124F P PF ⋅=所以121cos 2F PF ∠=-，再由221212sin cos 1F PF F PF ∠+∠= 所以123sin 2F PF ∠=所以121212113sin 43222PF F S PF PF F PF =⋅∠=⨯⨯=△ 故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的应用、椭圆的简单性质和椭圆的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．11. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点O 为坐标原点，点P 在双曲线左支上，12PF F △内切圆的圆心为Q ，过2F 作直线PQ 的垂线，垂足为B ，则||OB 为（ ） A. aB. bC.2a b+ D. ab【★答案★】A 【解析】 【分析】利用切线长定理，结合双曲线的定义，把12||||2PF PF a -=，转化为12||||2AF AF a -=，从而求得点A 的横坐标．再在三角形2PCF 中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在△12F CF 中，利用中位线定理得出OB ，从而解决问题．【详解】解：根据题意得1(,0)F c -，2(,0)F c ，设12PF F △的内切圆分别与1PF ，2PF 切于点1A ，1B ，与12F F 切于点A ， 则11||||PA PB =，111||||F A F A =，212||||F B F A =， 又点P 在双曲线右支上，12||||2PF PF a ∴-=，12||||2F A F A a ∴-=，而12||||2F A F A c +=，设A 点坐标为(,0)x ， 则由12||||2F A F A a -=， 得()()2x c c x a +--=， 解得x a =，||OA a =，∴在△12F CF 中， 1111()22OB CF PF PC ==-1211()222PF PF a a =-=⨯=， ||OB ∴的长度为a ．故选：A ．【点睛】本题考查两条线段长的求法，解题时要熟练掌握双曲线简单性质的灵活运用，属于中档题． 12. 下列说法正确的个数是（ ）①设某大学的女生体重(kg)y 与身高(cm)x 具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)(1,2,3,,)i i x y i n =，用最小二乘法建立的线性回归方程为0.8585.71y x =- ，则若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg ；②关于x 的方程210(2)x mx m -+=>的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；③过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；④已知F是椭圆221 43x y+=的左焦点，设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于3，则直线OP（O为原点）的斜率的取值范围是3333(,)(,)282-∞-.A. 1B. 2C. 3D. 4【★答案★】C【解析】【分析】根据回归方程的意义判断①；先推出方程的一根大于1 , 一根大于0小于1,结合椭圆与双曲线离心率定义可判断②；利用参数法求出动点P的轨迹可判断③；由题意画出图形，得到满足直线FP 的斜率大于3的P所在的位置，求出直线OP的斜率的取值范围可判断④.【详解】①根据回归方程的意义，结合回归方程为0.85 5.1ˆ87y x=-，可得该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，正确；②关于x的方程210(2)x mx m-+=>的两根之和大于2 , 两根之积等于1, 故两根中，一根大于1 , 一根大于0小于1,可分别作为椭圆和双曲线的离心率,正确；③设定圆C的方程为()()222x a x b r-+-=，定点()00,A x y，设()cos,B a r b rsinθθ++，(),P x y，由()12OP OA OB=+，得cos22x a rxy b rsinyθθ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，消去参数θ，得()()2220022x x a y y b r--+--=，即动点P的轨迹为圆，③错误.④由22143x y+=，得22224,3,1a b c a b===-=，则()1,0F-，如图：过F 作垂直于x 轴的直线，交椭圆于331,,1,22A B ⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，过F 斜率为3的直线与椭圆交于()8330,3,,55M N ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，当P 在椭圆弧上,AM BN 上时，符合题意， 又32OA k =-，32OB k =，338ON k =，当P 在椭圆弧AM 上时，直线OP 的斜率的取值范围是 3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，当P 在椭圆弧BN 上时， 直线OP 的斜率的取值范围是333,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，即满足直线FP 的斜率大于3，直线OP 的斜率的取值范围是3333,,282⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正确，综上可知正确命题个数为3，故选C. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查回归方程的意义、椭圆与双曲线的离心率、动点的轨迹以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1.必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效. 二、填空题：(本题共4小题，每小题5分)13. 我国古代数学算经十书之一《九章算术》有一衰分问题（即分层抽样问题）：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人.凡三乡，发役五百人，则北乡遣___________人.【★答案★】180 【解析】 【分析】根据分层抽样原理计算抽样比例，从而求出北乡应遣人数． 【详解】解：根据分层抽样原理，抽样比例为500181007488691245=++，∴北乡应遣1810018045⨯=（人)． 故★答案★为：180．【点睛】本题考查了分层抽样方法应用问题，属于基础题．14. 双曲线224160x y -+=的渐近线方程为_________.【★答案★】2y x =± 【解析】 【分析】首先将双曲线方程化为标准式，再只需要令其右边为0即可求双曲线的渐近线方程．【详解】解：因为224160x y -+=，所以221164y x -=所以220164y x -=，解得2y x =±故双曲线的渐近线方程为2y x =± 故★答案★为：2y x =±【点睛】本题考查双曲线的简单性质，利用方程右边为0得渐近线方程是解题的关键，属于基础题．15. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交其准线l 于点C ，且||||AF BF >，若||2||BC BF =，则||AF =_________. 【★答案★】4 【解析】 【分析】分别过A 、B 作准线的垂线，利用抛物线定义将A 、B 到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知即可得到||AF .【详解】作AM 、BN 垂直准线于点M 、N ， 则BN BF =，又||2||BC BF =，得||2||BC BN =23BN p ∴= ，43BN ∴=，83BC =， 48433CF ∴=+=， BC p AM CA =， 244AF AF∴=+，解得4AF =. 故★答案★为：4【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，掌握定义是解题的关键，考查了基本运算求解能力，属于基础题.16. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，过点(2,0)Q a -且斜率为11(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点,P M ，点M 关于原点的对称点为N ，设直线PN 的斜率为2k ，则12k k 的值为_________. 【★答案★】12- 【解析】 【分析】设()11,P x y ，()22,M x y ，则()22,N x y --，求得12112y y k x x -=-，12212y y k x x +=+，由题意可得22a b c ==，则椭圆的方程可化为22222x y b +=，采用点差法即可求得★答案★．【详解】解：设()11,P x y ，()22,M x y ，则()22,N x y --，∴12112y y k x x -=-，12212y y k x x +=+，∵椭圆的离心率22c e a ==， ∴2a c =，又222a b c =+， ∴22a b c ==，∴椭圆的方程可化为22222x y b +=， ∵直线l 与椭圆C 交于两点,P M ，∴2221122x y b +=，2222222x y b +=，作差得()()2222121220x x y y -+-=，即()()222212122x x y y -=--，∴12121212122122221212y y y y y x y k k x x x x x -+=⋅-=--=-+， 故★答案★为：12-． 【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质，考查点差法求斜率，考查计算能力，属于中档题． 三、解答题：(17题10分，其余每小题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 先后抛掷一枚骰子两次，将出现的点数分别记为,a b . （1）设向量(,)m a b =，(2,1)n =-，求1m n ⋅=的概率；（2）求在点数,a b 之和不大于5的条件下，,a b 中至少有一个为2的概率.【★答案★】（1）112；（2）12【解析】 【分析】首先求出先后抛掷一枚骰子两次包含的基本事件个数.（1）利用向量数量积的坐标运算可得21a b -=，再求出满足条件的基本事件个数，利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）列出点数,a b 之和不大于5的基本事件个数，再列出,a b 中至少有一个为2的基本事件个数，利用条件概率计算公式即可求解. 【详解】解：先后抛掷一枚骰子两次，“将出现的点数分别记为,a b ”包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)， (1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36个. （1）记“向量(,)m a b =，(2,1)n =-，且1m n ⋅=”为事件A ， 由1m n ⋅=得：21a b -=，从而事件B 包含(1,1),(2,3),(3,5)共3个基本事件， 故31()3612P A ==. （2）设“点数,a b 之和不大于5”为事件B ，包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)， (2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个基本事件； 设“,a b 中至少有一个为2”为事件C ，包含(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，共5个基本事件， 故“在点数,a b 之和不大于5的条件下，,a b 中至少有一个为2” 的概率：()51()102n BC P n B ===. 【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、条件概率计算公式、列举法求基本事件个数，属于基础题.18. 已知圆221240C x y x y m ++=：－－，（1）求实数m 的取值范围；（2）若直线240l x y +=：－与圆C 相交于M N 、两点，且OM ON ⊥，求m 的值.【★答案★】（1）5m <；（2）85【解析】 【分析】（1）将圆配凑成标准方程，利用20R >，解出即可．（2）设出直线，联立方程，利用韦达定理求出12y y ，再计算出12x x ，由OM ON ⊥，即12120x x y y +=，解出即可．【详解】解：（1）配方得22(1)(2)5x y m -+-=-,所以50m ->,即5m <.（2）设()()1122,,M x y N x y 、，OM ON ⊥，所以12120x x y y +=，由22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩得251680y y m -++=， 因为直线与圆相交于M N 、两点,所以()2162080m ∆=-+>,即245m <. 易得1212168,55m y y y y ++==， ()()12124242x x y y ∴=-⋅-()12121684y y y y =-++，从而由12120x x y y +=得8416055m m +-+=， 解得85m =，满足5m <且245m <，所以m 的值为85. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理及运算能力，属于基础题．19. 已知高中学生的数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，在一次考试中某班7名学生的数学成绩与物理成绩如下表： 数学成绩()x8883 117 92 108 100 112物理成绩()y 94 91 108 96 104 101 106（1）求这7名学生的数学成绩的极差和物理成绩的平均数；（2）求物理成绩y 对数学成绩x 的线性回归方程；若某位学生的数学成绩为110分，试预测他的物理成绩是多少？ 下列公式与数据可供参考：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybx a =+的系数公式：1221ˆni ii nii x ynx y b xn x==-⋅=-⋅∑∑，ˆˆa y bx =-⋅； 222222288831179210810011270994++++++=，222222294911089610410110670250++++++=，88948391117108929610810410010111210670497⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【★答案★】（1）极差是34分，平均数为100分；（2）1ˆ502yx =+，105分 【解析】 【分析】（1）根据极差和平均值的定义计算可得★答案★；（2）根据公式计算出ˆb和ˆa ，代入ˆˆˆy bx a =+即可得到回归方程，将110x =代入回归方程可得★答案★.【详解】（1）7名学生的数学成绩的最大值为117分，最小值为83分，所以7名学生的数学成绩的极差是11783-=34分； 7名学生的物理成绩的平均数为9491108961041011067++++++=100分.（2）∵数学成绩的平均分为100x =，物理成绩的平均分为100y =∴27049771001001ˆ7099471002b-⨯⨯==-⨯，从而1ˆ100100502a =-⨯= ∴y 关于x 的线性回归方程为1ˆ502y x =+ 当110x =时，105y =，即当他数学成绩为110分时，预测他物理成绩为105分. 【点睛】本题考查了求极差、平均数，回归直线方程，属于基础题.20. 某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w 立方米的部分按4元/立方米收费，超出w 立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（1）如果w 为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w 至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当3w =时，估计该市居民该月的人均水费．【★答案★】（Ⅰ）3；（Ⅱ）10.5元. 【解析】试题分析：（1）根据水量的频率分布直方图知月用水量不超过3立方米的居民占0085，所以w 至少定为3；（2）直接求每个数据用该组区间的右端点值与各组频率的乘积之和即可. 试题解析：（1）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[](](](](]0.5,1,1,1.5,1.5,2,2,2.5,2.5,3内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15．所以该月用水量不超过3立方米的居民占0085，用水量不超过2立方米的居民占0450．依题意，w 至少定为3（2）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表： 组号 12345678分组 []2,4 (]4,6 (]6,8 (]8,10 (]10,12 (]12,17 (]17,22 (]22,27频率 0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.0510.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）． 考点：1、频率分布直方图的应用；2、根据频率分布直方图求平均值.21. 在平面直角坐标系内，已知点()2,0A，圆B 的方程为()22216x y ++=，点P 是圆B 上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线BP 相交于点Q .（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（2）过点()1,1M -能否作一条直线m ，与点Q 的轨迹交于,C D 两点，且点M 为线段CD 的中点？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.【★答案★】（1）22142x y +=；（2）能，230x y -+=. 【解析】 【分析】（1）由题意4QA QB QP QB BP +=+==，224BA BP =<=.由椭圆的定义可得Q 的轨迹方程；（2）当直线m 的斜率不存在时，不符合题意. 当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为()11y k x -=+，代入Q 的轨迹方程. 设点()()1122,,,C x y D x y ，由点M 为线段CD 的中点，可得122x x +=-，可求k ，即求直线m 的方程. 【详解】（1）连接QA ，由题意QA QP =，||||||||4QA QB QP QB BP ∴+=+==. 又点A 在圆内，224BA BP ∴=<=.根据椭圆的定义，点Q 的轨迹是以,B A 为焦点，4为实轴长的椭圆. 其中222,24c a ==，2,2c a ∴==，2222b a c ∴=-=，所以Q 的轨迹方程为22142x y +=.（2）易知当直线m 的斜率不存在时，不符合题意.设经过点(1,1)M -的直线m 的方程为()11y k x -=+，即1y kx k =++把1y kx k =++代入轨迹方程22142x y+=，得222(12)4(1)2(1)40k x k k x k +++++-= ()*设点()()1122,,,C x y D x y ，则()12241212k k x x k++=-=-+，解得12k = 此时()*方程为23610x x ++=，方程根的判别式为3612240∆=-=>，所以()*方程有实数解.所以直线m 的方程为230x y -+=.【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，属于中档题.22. 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且||8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）点P 是抛物线C 上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 与抛物线C 的准线分别交于点M 、N ，求证：FM FN ⋅为定值.【★答案★】（1）24y x =；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，设直线:2AB pl y x =-，与抛物线方程联立，再利用抛物线定义，由128AB AF BF x x p =+=++=求解.（2）设00(,)P x y ，得到直线101110:()y y PA y y x x x x --=--，令1x =-，得到011010(1)(1)y x y x y x x +-+=-，再根据点,,A B P 均在抛物线2:4C y x =上 ，将2004y x =，2114y x =，代入化简得到01014M y y y y y -=+，同理可得点N 的纵坐标为02024N y y y y y -=+，然后由数量积坐标运算求解.【详解】（1）由题意知(,0)2p F ，则直线:2AB pl y x =-， 代入抛物线2:2(0)C y px p =>，化简得22304p x px -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212123,4p x x p x x +==，因抛物线C 的准线方程为2p x =-， 由抛物线的定义得128AB AF BF x x p =+=++=，∴382p p p +=⇒=，故抛物线C 的方程为24y x =.（2）设00(,)P x y ，则直线101110:()y y PA y y x x x x --=--， 当1x =-时，101011011010()(1)(1)(1)y y x y x y x y y x x x x ---+-+=+=--，∵点,,A B P 均在抛物线2:4C y x =上∴2004y x =，2114y x =∴22010101220101(1)(1)44444y y y y y y y y y y y +-+-==+-， 即点M 的纵坐标为01014M y y y y y -=+，同理可得点N 的纵坐标为02024N y y y y y -=+，∴2010********010*******444()16()M N y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y ---++⋅=⋅=+++++， 由（1）知121212124,44y y x x p y y x x +=+-==-=-， ∴4M N y y ⋅=- ∴(2,)(2,)40M N M N FM FNy y y y ⋅=⋅=+=，为定值.【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系，焦点弦以及定值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。

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为正方形，
平面
，
点．
（1）求证： //平面
；
， ， ， 分别为 、 、 的中
（2）求三棱锥
的体积．
19. 已知
的顶点
（I）求顶点 的坐标；
（II）求直线 的方程．
， 边上的中线
所在直线方程为
， 的角平分线 所在直线方程为
．
20. 如图1，矩形
中，
置（如图2所示）连结 、
， ，其中
， 、 分别为 、 边上的点，且
安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中数学（理科）试题
一、单选题
1. 直线
的倾斜角为( )
A．
B．
C．
D．
2. 给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②存在每个面都是直角三角形的四面体；③若三
棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是( )
11. 在平面直角坐标系 A． ，
中，若圆 B． ，
与直线 C．
交于 ， 两点，且
，求 的值为( ) D．
12. 在三棱锥
中， ， ， 两两互相垂直，
线段 的中点，当 ， 运动时，点 的轨迹把三棱锥
A．
B．
.点 ， 分别在侧面 分成两部分的体积之比等于（ ）
C．
，棱 D．
上运动.
，为
二、填空题
13. 过点
的直线与 轴、 轴分别交于 、 两点，若 恰为线段 的中点，则直线 的方程为_______________.
14. 在梯形
中，
的体积为________.
，
，
.将梯形
绕 所在的直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体
15. 在三棱锥
中，
平面
，
，且三棱锥的最长的棱长为 ，则此三棱锥的外接球体积为_____________.
，直线 的方程为
，点 是直线 上一动点，过点 作圆的切线 ､ ，切点为 ､ .
（1）当 的横坐标为 时，求
的大小；
（2）求证：经过 ､ ､ 三点的圆 必过定点，并求出所有定点的坐标.
安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中数学（理科）试题
16. 已知直线
交圆
安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中数学（理科）试题
于
，
两点，则
的取值范围为____________.
三、解答题
17. 已知圆 的圆心在 轴上，且经过点
（1）求圆 的标准方程；
（2）过点
的直线 与圆 相交于
. 两点，且
，求直线 的方程.
18. 如图所示，四棱锥
中，底面
，
.
，将
沿 折起至
位
安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中数学（理科）试题
(1)求证： (2)求二面角
平面
；
的余弦值.
21. 如图，三棱锥
中，
平面 ，
，
，点 ， 分别为 ， 的中点.
()求证：
平面
；
(2) 是线段 上的点，且
平面
.
①确定点 的位置；
②求直线 与平面 所成角的正弦值.
22. 如图，已知圆
，
B．
，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
C．
D．
9. 已知圆 A．
，直线l：
，若圆 B．
安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中数学（理科）试题
上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为
C．
D．
10. 设 ， A． C．
，若直线
与圆
相切，则 B． D．
的取值范围是（ ）．
A．
B．
C．
D．
3. 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD（如图所示），若
，
，
，则这个平面图形
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
安徽省合肥一中2019-2020学年高二（上）期中数学（理科）试题
4. 已知直线 ① A．②④
平面 ，直线 ；②
平面 ，则下列四个命题正确的是（ ）
；③
；④
.
B．①②
C．③④
D．①③
5. 在空间直角坐标系
中,已知
的正投影图形的面积，则（）
A．
C．
且
.若
分别是三棱锥
在
B．
且
D．
且
坐标平面上
6. 已知直线 A．
和 B．
互相平行，则 ( ) C． ，
D． ，
7. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
8. 在直三棱柱 A．
中，
，
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