理论力学：第11章 动量矩定理

11.1 动量矩
一、 质点 mO (mv) r mv
矢量（与力矩类似）
涵义：质点相对某点“转动”运动强度。瞬时量。 问题：直线运动的质点，对一点有动量矩吗？ 二、 质点系 1. 对定点
LO mO (mv) r mv
涵义：质系相对 O 点“转动”运动强度。 2. 对质心 C
注意滚子沿法向平衡： N Q cos 0
则

ΣmO (F (e) ) (Q sin P)r
(2)

式(1)(2)代入动量矩定理： dLO

ΣmO
(F
(e)
)
dt
P 2Q 得： g aCr (Q sin P)r
Q sin P
aC
g
P 2Q
② 求反力偶。 研究整体，画受力图和运动图。整体对 H 的 动量矩：
均质鼓轮（轮轴）质量为 M = 50kg， R = 100mm， r = 60mm， 对质心的回转半径 = 70mm，轴上绕一绳索，其上作用一水 平力 P = 200N。已知轮与地面间的静、动摩擦系数分别为 f =
0.20，f ´ = 0.15。求轮心 C 的加速度 a 和轮的角加速度 。 C
分析：★前面题目均是系统有确定的运动状态，而本题不定：
用冲量矩表示的动量矩定理
亦可有积分形式： mO (mv2 ) mO (mv1) mO (S )
注：上述后两种形式用的较少，书上也没提。
二、 质点系动量矩定理
由质点动量矩定理推广到质点系，质系受力分为外力和内力，内力矩之和为零。则
对定点 O：

dLO

mO
(F
(e)

2Q)r

P
b b
(1

sin

)
aC g

m

P

r


b 2


Q

r
sin

L 2
cos


G
b 2
m

P r


b 2


Q r

sin

L 2
cos


G
b 2

(P

2Q)r

P
b 2
(1
sin )
分析未知量：F、a 、N、 ，共 4 个，差一个方程。 C
★由运动学关系可知： a = R ，故可解。 C
★如果鼓轮纯滚动，上面求解即得到 a 和 ；如果有滑动，需要重新求解，方法类似上 C
面的方法。
解：I. 设鼓轮不滑动，受力和运动情况如图。
MaC P F 0 N Mg
由定轴转动微分方程：
Iz mz (F (e) )
1 W l2 W l
3g
2
3g
2l
III. 质心运动定理求反力，如图(c)。
MaC

F (e)
W aC W N A
g
l 3g
而 aC

2

4
则
W 3g W
NA W g
4
4
IV. 绳子剪断前后 A 反力的变化：
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。

aC g
b
L b
b
Qsin P

P r

2


Q
r
sin

2
cos


G
2

(P

2Q)r

P
2
(1
sin
)
P 2Q
bL
Pb1 sin Qsin P
(P G) Q cos
22
2P 2Q
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。
研究重物、轮子、滚子整体，画受力图 和运动图如图。
系统对 O 的动量矩： LO LPO LBO LOA
第 11 章 动量矩定理
是三大定理中最难理解的一个定理，尤其是相对动点的动量矩定理。动量矩的概念也是 难理解的。
物理中讲到的角动量定理，即本章的刚体定轴转动微分方程。它只是动量矩定理的特例， 其涵义远不能反映动量矩定理的内容。
与前面两个定理一样，先建立动量矩（与冲量矩）的概念，再建立动量矩与力矩（或冲 量矩）的关系。
P(R r) 200(0.1 0.06) 10.74 rad/s2
M 2 R2 50 0.072 0.12
aC R 0.110.74 1.074 m/s
2 Rr 0.072 0.1 0.06
F
P
200 146.3 N
而 LBO 1 Q r2 ， LPO P vr ， LOA Q vC r 1 Q r2
2g
g
g
2g
则
LO

P g
vr

1 2
Q g
r 2

Q g
vC r

1 2
Q g
r 2

P
2Q g
vC r
(1)
系统外力对 O 的力矩：
ΣmO (F (e) ) Pr Q sin r Q cos OE N OE
末时系统动量矩： Lz Iz盘 Iz杆 1 m1r2 1 m2 (2r)2
4
12
Lz Lz
11-4
1 4
m1r 2

1 12
m2
(2r)2

1 4
m1r
2
3m1 3m1 4m2
末时圆盘转速：
n
3m1
n
35
15 90 rpm 90 rpm 43.55 rpm


r

b
sin

2 2
2
Fra Baidu bibliotek
Q
cos


L 2

b 2
cos



G

b 2

b 3

b
L b

m

P
r

2


Q
r
sin

2
cos


G
6

代入动量矩定理： dLH dt

ΣmH
(F
(e)
)
(P
绝对动量矩： LO' rC ' MvC LC '
相对动量矩： LO' ' rC ' MvC ' LC '
三、 刚体 1. 平动刚体
11-1
LO r MvC
2. 转动刚体（对定轴或平面上定点）
Lz I z
LO IO
3. 平面运动刚体
对质心 C： LC IC
F
(e)
)
其中
IO

1 2
Q g
r2

P g
r2
mO (F (e) ) M Pr
答：不行。只能列动量矩定理。因转动惯量只能对单个刚体 而言。
图 11-3-1
例 1 均质细杆 AB 长 l，重 W，如图。今突然剪断 B 端的
绳子，求绳子剪断前后铰链 A 的约束力的改变量 。
分析：求 A 处反力的改变量，即求绳子剪断前后 A 处反 力。
鼓轮可以纯滚动，也可以有滑动，但一般均是平面运动；
★首先需判断鼓轮的运动状态：设不滑动，求静摩擦力 F 和最大静摩擦力 F ，比较 F≤ F
max
max
是否成立。
★应该使用刚体平面运动微分方程求上述问题：
MaCx X (e)
MaCy

Y (e)
IC

mC (F (e) )
对定点 O： LO mO (MvC ) IC
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt

mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。

或
dmO (mv) mO (dS )
2 R2
0.072 0.12
N Mg 50 9.80 490.0 N
最大摩擦力： Fmax fN 0.2 490.0 98.0 N
所以，F≤ Fmax 不成立，鼓轮滑动。 II. 鼓轮滑动，受力和运动情况如图。（但此时 aC ≠ R ） 刚体平面运动微分方程：
11. 5 刚体平面运动微分方程
为普遍定理综合应用之一，即动量定理（质心运动定理）和动量矩定理（刚体定轴转动
微分方程）的综合应用。
MaCx X (e)
MaCy

Y (e)
IC

mC (F (e) )
注：一般需补充运动学或静力学方程。
例 11-8 典型题目，较难，综合动力学、静力学、运动学知识，详讲

dLC
'

mC
(F
(e)
)
dt
IC mC (F (e) )
二、 对任意动点的动量矩定理 只介绍特例： 平面运动刚体，瞬心 C ' ，质心 C ，满足 CC ' 常数，则
IC ' mC ' (F (e) )
常见两种情况：
11-6
1. 均质圆轮沿固定面纯滚动； 2. 均质直杆沿固定直角墙下滑。


M 2

MR2


P(R

r)
刚体平面运动微分方程：
MaCx ΣX (e)
MaCy

ΣY (e)
I A

ΣmA (F (e) )
11-7
注意：①对 A 列转动微分方程较方便；②由此看出，鼓轮在纯滚动时是向右滚动。
补充运动学方程： aC R
联立上述 4 个方程，得解：
动，在圆盘中心用铰链 D 连接一质量 m2 = 4kg 的均质细杆
AB，AB = 2r，可绕 D 转动。当 AB 杆在铅直位置时，圆盘的
m2 g
转速为 n = 90rpm。试求杆转到水平位置，碰到销钉 C 而相对
静止时，圆盘的转速。
解：系统对 z 轴动量矩守恒。
初时系统动量矩： Lz I z盘 1 m1r 2 4
MaCx ΣX (e)
MaCy

ΣY (e)
MaC P F ' 0 N Mg
例 2 （例 11-1，欧拉涡轮方程，在流体力学中的应用）（不讲）
已知水在涡轮机中的流动情况，求水对涡轮机的转动力矩（欧拉涡轮方程）。
M z Q(v1r1 cos1 v2r2 cos2 )
例 3 （书上例 11-7，动量矩守恒。）
质量为 m1 = 5kg，半径 r = 30cm 的均质圆盘，可绕铅直轴 z 转
3m1 4m2 3 5 4 4
31
可见，圆盘变慢了。
作业：11-2、4、10、13
11.3 刚体定轴转动微分方程
即物理中的角动量定理。（略讲）
Iz mz (F (e) )
或
I
z

mz
(
F
(e
)
)
问题：图示问题列刚体定轴转动微分方程可以吗？
IO

mO
(
)
dt
对定轴 z：
dLz dt
mz (F (e) )
亦可有积分形式动量矩定理：
LO 2

LO1

mO
(S (e)
)
三、 动量矩守恒
对定点：
mO
(
F
(e)
)

0
，→ LO
常矢量
对定轴： mz (F (e) ) 0 ，→ Lz 常量
例 1 图示系统。均质滚子 A、滑轮 B 重量和半径 均为 Q 和 r，滚子纯滚动，三角块固定不动，重 为 G，倾角为 ,重物重量 P。求：①滚子质心的 加速度 aC ；②求滚子运动到斜面中部时地面给 三角块的反力偶。设三较块底边长 b，斜面长 L。 分析：这两问均可用动量矩定理求。
LH

P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin



1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g

(P

2Q)r

P
b b
(1

sin

)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)

m

P
r

b


Q
b

Q
sin
WW W ΔN A N A N A0
42 4
例 2 例 11-5 （较典型题目）
作业：11-18
11.4 质点系相对动点的动量矩定理(*)
此部分较难，特别是公式推导不易理解。主要掌握两种：①对质心的动量矩定理；②平
面运动刚体对瞬心动量矩定理的两种情形。
一、 对质心的动量矩定理 平面运动刚体：
绝对动量矩： LC ri ' mivi
相对动量矩： LC ' ri ' mivi '
易证： LC LC '
3. 对定点 O 与对质心动量矩的关系 LO rC MvC LC '
4. 对动点 O ' 与对质心动量矩的关系（＊）