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相似三角形性质和判定复习
相似三角形复习【知识要点】1、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 2、相似三角形的判定方法1.两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：2. 两个角对应相等的两个三角形__________．3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．4. 三边对应成比例的两个三角形___________．性质：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧比的平方、对应面积比等于相似比、对应周长比等于相似、对应边成比例、对应角相等4321判定：⎪⎩⎪⎨⎧、三边对应成比例夹角相等、两边对应成比例，且、两角对应相等3211.相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。
当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且大小也 相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。
全等三角形是相似三角形的特例。
2. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。
②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。
③三边对应成比例，两三角形相似。
3. 相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等。
②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。
③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
FEC【典型例题】1、如图在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上． （1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？2、如图所示，D 、E 两点分别在△ABC 两条边上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE ∽△ABC ．并证明3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE=DF ，∠EDF =∠A ．（1）求证：BCABEF DE =．(2)证明：BDE ∆与EFC ∆相似。
4、已知，如图，CD 是Rt ABC ∆斜边上的中线，DE AB ⊥交BC 于F ，交AC 的延长线于E ， 说明：⑴ ADE ∆∽FDB ∆； ⑵DF DE CD ∙=2．5、已知：如图，□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。
2023年中考数学一轮复习 相似三角形性质与判定 (1)课件
四、相似三角形的判定与性质
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,翻折∠C,使点C落在斜边AB上某一
点D处,折痕为EF(点E,F分别在边AC, BC上).
(1)若△CEF与△ABC相似,
①当AC=BC=2时,AD的长为
②当AC=3,BC=4时,AD的长为
或
;
.
(2)当点D是AB的中点时,△CEF与△ABC相似吗?请说明理由.
BD，且CE⊥BD，则
的值为
；
四、相似三角形的判定与性质
【类比探究】（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，
点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点
G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD；
四、相似三角形的判定与性质
证明：如图3，过点C作CH⊥AF交 AF的延长线于点H，
∵CG⊥EG，
∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形 ABCH 为矩形，
∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°，
∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°，
∴△DEA∽△CFH，
∴
∴
=
=
，
，
∴DE•AB＝CF•AD；
四、相似三角形的判定与性质
）
A．∠AED＝∠B
C．Βιβλιοθήκη =B．∠ADE＝∠C
D．
=
三、相似三角形的判定
3.（2012•徐州）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，
相似三角形的判定及性质
例1 如图1 20 , 在 ABC 中, AB AC, D是AC边上一点, BD BC. 求证 : BC2 AC CD .
分析 要证明BC 2 AC CD ,即证明 AC BC , 只要证明 AC、BC 和 BC、 BC CD CD为一对相似三角形的两 组对应边 即可.为此, 要证明ABC和BDC相似.
例1 如图1 21,圆内接ABC的角平分线CD延长后 EB DB A 交圆于一点E .求证 : . EC CB E
EB DB 分析 要证 , 应考虑EB、EC、 EC CB DB、CB这四条线段所在的两个三角形 是否相似. EB、EC在EBD中, DB、CB
D
B
C
在 ECB 中,因此可以考虑证明EBD与 ECB相似.
1 1 2 2
那么它们就相似.又由于三角形的内角和为1800 , 所以只要 两个三角形中有两个对应角相等, 那么第三个对应角一定 相等, 这样就有"两角对应相等, 两三角形相似".
单击图标, 打开几何画板, 通过动 画演示, 实验.解释 : 预备定理P 11 , 探究P . 13 ,引理P 14
D
A E
图1 16
C
E
D
探究 如果 D、E交于BA、CA的延长 线上, 且DE // BC图1 17, 那么结论是 否还成立?
B
A
对于图1 17的情形,同样可以证明 图1 17 ADE ~ ABC.这是判定两个三角 形相似的一个定理, 我们把它称为预备定理 .
C
预备定理 平行于三角形一边的直 线和其他两边(或两 边的延长线)相交, 所构成的三角形与原三 角形相似.
A D
B
C
图1 20
相似三角形的性质和判定复习讲义
相似三角形的性质及判定复习讲义一、知识梳理（一）、相似三角形的性质：1、相似三角形的对应角 ，对应边。
2、相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于。
3、相似三角形对应周长的比等于。
4、相似三角形对应面积的比等于 。
注意：在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角；若不能确定，则应进行分类讨论。
例1．如图，已知△，6，4，D 为边上一点，且2，E 为边上一点（不及A 、C 重合），若△及△相似，则（ ）A ．2B ．43C ．3或34D ．3或43 练习1．（2008•毕节地区）已知△的三条长分别为2，5，6，现将要利用长度为30和60的细木条各一根，做一个三角形木架及△相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（ ）A．10，25，30．B. 10，30，36或10，12，30C．10，30，36D．10，25，30或12，30，36例2．如图，D、E分别是，上的点，∠＝∠B，⊥于点G，⊥于点F.若＝3，＝5，求：（1）；（2）△及△的周长之比；练习2．两相似三角形的最短边分别是5和3，它们的面积之差为322，那么小三角形的面积为（）A．102B．142C．162 D．182练习3．（2013•重庆）已知△∽△，若△及△的相似比为3：4，则△及△的面积比为（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：16（二）、相似三角形的判定：1、判定两个三角形相似的条件：（1）平行截割：。
（2）两角对应相等：。
（3）两边夹：。
（4）三边比：。
2、判定两个三角形相似的一般步骤：（1）先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角（2）若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。
（3）若找不到相等的角，就分析三边是否对应成比例。
相似的性质和判定
三角形相似的判定和性质1一、知识梳理：1、相似的判定：①如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（两角对应相等，两个三角形相似。
）②如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
）③如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。
（三边对应成比例，两个三角形相似。
）④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
（斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。
）⑤两个三角形三边对应平行，则两个三角形相似。
（三边对应平行，两个三角形相似。
）⑥如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（全等三角形相似）。
2、相似的性质：①相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例。
②相似三角形的周长比，对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似比等于面积比的算术平方根。
3、推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
4、射影定理：射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
①CD2＝AD·BD；②AC2＝AD·AB；③BC2＝BD·AB二、相似的基本图形：（一）平行线型如图，若DE∥BC,则△ADE∽△ABC,形象地说图为“A”型或“X”型,故称之为平行线型的基本图形.例1、如图,在平行四边形ABCD中,E是AB延长线上一点,连结DE交AC于G，交BC于F,则图中相似三角形(不含全等三角形)共有 对. （二）相交线型若∠AED=∠B,则△ADE ∽△ABC,称之为相交线型的基本图形.例2、如图，D 、E 分别为△ABC 的边AC 、AB 上一点，BD,CE 交于点O,且CODOBO EO,试问△ADE 与△ABC 相似吗?如果是,请说明理由.（三）母子型如图，有△ACD ∽△ABC,称之为“子母”型的基本图形.特别地,令∠ACB=90,CD 则为斜边上高(如图9), 则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD.DABCABCD例3 如图,在△ABC 中,P 为AB 上一点,要使△APC ∽△ACB,还需具备的一个条件是 或 或 或 ； （四）旋转型△ADE ∽△ABC,称之为旋转型的基本图形.AB例4、如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4． 证明：△ABC ∽△DBE ．（五）三垂直型如右图，AB⊥BC, AD⊥DE, CE⊥BC,则△ABD∽△DCE,这种图形称之为三垂直型.AEBD C随堂练习一．选择题：1．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．= D．=2．△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC与△DEF相似的是（）DE=EF=DF=，AC=BC=DE=△BDE△CDE△DOE△AOC 的值为（）A． B． C． D．4．如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH上．若AB=5，BG=3，则△GFH的面积为何？（）A．10 B．11 C． D．二．填空题：5．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为．6．如图，四边形ABCD为矩形，，则∠MAN的度数为度．7．如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是8米，已知网高是0.8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为米．8．△ABC中，AB：AC：BC=4：3：2，△A1B1C1中，A1B1：A1C1：B1C1=3：2：4，则△ABC与△A1B1C1（相似或不相似）．9．如图，已知△ABC中，AE：EB=1：3，BD：DC=2，AD与CE相交于F，则= ．10．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则+= ．11．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，=，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．12．已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1=2，且点A，D1，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是．三．解答题：13．如图，等边△ABC，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试求出∠AFE的度数．（2）△AEF与△ABE相似吗？说说你的理由．（3）BD2=AD•DF吗？请说明理由．14．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2=GF•EF．15．如图，过▱ABCD的顶点A的直线交BD于点P，交CD于点Q，交BC的延长线于点R．求证：．16．如图，四边形ABCD，DCFE，EFGH是三个正方形．求∠1+∠2+∠3的度数．17．如下图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？九年级数学图形的相似2参考答案一．选择题（共4小题）1．D 2．C 3．D 4．D二．填空题（共8小题）5．5 6．90 7．2.4 8．相似 9．10．1 11．12．。
相似三角形的性质与判定复习
复习课
1.复习引入
（1）判定三角形相似的方法？ （2）相似三角形的性质有哪些？ 相似三角形对应角相等，对应边成比例； 相似三角形对应高的比、对应中线的比、 对应角平分线的比都等于相似比; 相似三角形周长比等于相似比; 相似三角形的面积比等于相似比的平方.
2. 例题分析பைடு நூலகம்
例题1 如图，在RT⊿ABC中，∠ACB=90°， E是BC延长线上的一点，EF⊥BC与F，∠CGB=∠A， 求证：（1）⊿BGC∽⊿BEG；
AB=CD，BD⊥CD，过点 A 作 AE⊥BD,垂足为点 E. （1）求证： AD DE CB BD ( 2) 如果 BD 平分∠ABC，求证：AE= 1 CD 2
A D
E B C
3.练习巩固
（1）已知，如图，矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交 于点 O，OF⊥BD 于点 O，交 CD 于点 E,交 BC 的延长线
A E B P C D
（3）如图，在⊿ABC中，AB=AC，点D在 CB的 延长线上，BD=BC，BE⊥DC交AD于点E. 求证： （1）⊿CBF∽⊿DCA；（2）AF=BF.
A E F
D
B
C
4.课堂小结
5.作业布置
OF 于点 F. 求证： AO2 OE
A O E B C F D
（1）已知，如图，矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交 于点 O，OF⊥BD 于点 O，交 CD 于点 E,交 BC 的延长线
OF 于点 F. 求证： AO2 OE
（2）在矩形 ABCD 中，AB= 3 ，AD= 6 ，P 是 BC 的 中点，AP 和 BD 相交于点 E. 求证：AP⊥BD
E
（2）CG· BE=EG· BG
相似三角形复习教案(带详细答案)
14、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（
）
（第 7 题）
A．
B．
C．
D．
15、在同一时刻，身高 1.6 米的小强在阳光下的影长为 0.8 米，一棵大树的影长为 4.8 米，
则树的高度为（
）
A、4.8 米
B、6.4 米
C、9.6 米
D、10 米
二、填空题
1、如图， D，E 两点分别在 △ABC 的边 AB，AC 上， DE 与 BC 不平
面积分别为 1，4，则图中三个阴影三角形面积之和
为
．
6、两个相似三角形的面积比 S1:S2 与它们对应高之比 h1:h2 之间的关系
B B3
B2 4
B1 1
O A1 A2 A3
A4 A
（第 5 题图）
为
．
7、.ΔABC的三边长为 2 , 10 ,2,ΔA'B'C'的两边为1和 5 ,若ΔABC∽ΔA'B'C',则Δ
【例 1】如图 ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别在 CB、BC 的延长线上，且 BAE ADB 。
求证： AB2 CD • BE 。
证明：在 ABC 中， AB ACABC ACB
在ACD和ABE中 ACD=ABE，ADC=BAE
ACD∽ABE AC = CD
BE AB AB=AC AB2 =CD BE
5+6+I=180=2+4+I 5+6=2+4 又1=2，4=3且1+5=3+6 1+25+6=2+4+3+6 5=3 DBI∽EIC DI：CE=BD：EI
中考总复习 相似三角形
【名师提醒】解相似三角形问题时，要注意相似三角形中 的对应关系，可根据相似三角形对应的字母写对应边，这 样可避免对应关系混乱.
命题点3 相似三角形的实际应用
例（’15兰州24题8分）如图，在一面 与地面垂直的围墙的同侧有一根高10 米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆 CD，它们都与地面垂直，为了测得电 线杆的高度，一个小组的同学进行了 如下测量：某一时刻，在太阳光照射 下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度 为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落 在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH 的长为5米.依据这些数据，该小组的同学计算出了电线 杆的高度. (1)该小组的同学在这里利用的是_____投影的有关知识 进行计算的； (2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程.
【解析】∵两个相似三角形的面积比是1:4，∴这两个相 似三角形的相似比是1:2， ∴它们的周长比是1:2.
3. 如图，在 △ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4， 则EC的长为( B )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【解析】本题考查平行线分线段成比例定理
AD AE = ， 又∵AD=6， DB=3， DB EC AE=4，∴ 6 = 4 ，解得EC=2. 3 EC
6.某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m， 同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗 杆的高度是____m. 20
【解析】根据题意可得
1.6 = 0.4 ，解得h=20m. h 5
7. 如图， 在△ABC中，∠C=90°，AD是 ∠CAB的角平分线，BE⊥AE，垂足为点E. 求证： △BDE～ △ABE. 证明：∵AD是∠CAB的角平分线， ∴ ∠CAD= ∠BAD ， ∵∠C=90°， ∴∠CAD+∠ADC=90°, ∵ BE⊥AE, ∴∠E=90°, ∴∠DBE+∠BDE=90°, ∵∠ADC= ∠BDE, ∴∠CAD= ∠BAD = ∠DBE ， ∴ △BDE～ △ABE.
3.3相似三角形的性质和判定
AD 求 DB
A D B E
C
例.四边形DEFG是△ABC 的内接矩形.AM⊥BC，若 DG=2DE,AM=18,BC=20,求 矩形的周长。
A
AN DG AM BC
D B E
N
G
C M F
相似三角形的判定定理1:
三边对应成比例的两个三角 形相似. 相似三角形的判定定理2:
两角对应相等的两个三角形 相似.
2
E
3 2
C
B
相似三角形的判定定理1:三边对应成比 例的两个三角形相似.
相似三角形的判定定理2:两角对应相 等的两个三角形相似. 相似三角形的判定定理3:两边对应成 比例且夹角相等的两个三角形相似.
斜边和一条直角边对应成比例 的两个直角三角形相似.
练一练
Rt△ABC与Rt△DEF中， AB=8，CB=10,∠A=90°， DE=4，FE=5，∠D=90°， 则这两个直角三角形（ ） 相似
若找不到相等的角，则判断三边是否对 应成比例。
常见图形归纳：
A D B E
E A B E A
1
A D C
B
D
A D2 1 B E C
①
A D2
C
②
C
D C
③
④
B
⑤
B C
⑥
每个基本图形两个三角 形相似的条件:图①② 为DE//BC;图③为 ∠ACB=Rt∠,CD⊥AB;图 ④⑤为 ∠1=∠B,∠2=∠C;图⑥ 为∠C=∠D或∠B=∠E
练一练
AE 1.若 AB
F A E
则△AEF∽△ABC
B
C
AF AC
练一练
2.请你填入一个比例 式，使△ACD∽△BCA
课件1：三 相似三角形的判定及性质
=
时,△ABC∽△AED.
解析:△ABC 与△ADE 有一个公共角∠A,当夹∠A 的两边对应成比例,即
=
答案:
时,这两个三角形相似.
''
4.在△ABC 和△A'B'C'中,∠A=∠A'=90°,
C'=
.
解析:∵∠A=∠A'=90°,
∴△ABC 和△A'B'C'均是直角三角形.
点,BM,CM 的延长线分别交 AC,AB 于 F,E 两点.求证:EF∥BC.
思路分析:要证明线段 EF∥BC,则需要利用平行线分线段成比例定理.
反过来思考,结合题目作出平行线以便利用判定定理来证明平行.
证法一:延长 AD 至 G,使 DG=MD,连接 BG,CG,如图所示.
∵BD=DC,MD=DG,
l,使截得的三角形与原三角形相似,这样的直线有
条.
错解:如图,过点 D 作 DE1∥BC,此时∠AE1D=∠B,∠A=∠A,所以△ABC
∽△AE1D;过点 D 作 DE2∥AB,此时∠CE2D=∠B,∠C=∠C,所以△ABC∽
△DE2C.
答案:2
错因分析:本题为探索性题目,由于对应元素不确定,因而存在多种情况,
∴ = , = ,∴ = .
∵BD=DC,∴AH=AG.
,
∵HG//BC,∴ =
= .
∵AH=AG,∴ = .∴EF//BC.
证法三:过点 M 作 BC 的平行线,分别与 AB,AC 交于
G,H 两点,如图所示.
相似三角形的判定及性质
R
r
19
习题 1.3
5.如图,线段EF平行于四边形ABCD的一边AD,BE与CF
交于一点G,AE与DF交于一点H.
求证:GH//AB.
H
A
D
E F
B
C
G
BH BC AD AG EH EF EF EG
预备定理 定义 引理 20
习题 1.3
6.已知:DE//AB,EF//BC. O 求证:△DEF∽△ABC.
(2) AD BC AC ED
3、已知：在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，AB=a，AC=b， A′B′=a′，当 A′C′为多少时，△ABC∽△A′B′C′？
22
小结
相
似
三
角 形
预备定理
的
概
念
判定定理1
判定定理2 直角三角形判定定理
判定定理3
23
EF 1 BC, FD 1 CA, DE 1 AB
2
2
2
EF FD DE 1 BC CA AB 2
∴△DEF∽△ABC
A
F
E
B
D
C
9
直角三角形相似的判定定理
定理
两角对应相等
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它 们相似。
两边对应成比例及夹角相等
（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例， 那么它们相似。
类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等
的两个直角三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定
理.
10
定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的
斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
自学初中数学资料 相似三角形的性质和判定综合
自学资料一、相似三角形的性质和判定综合【知识探索】1．（1）三角形相似的判定方法①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似③判定定理1：如果一个三角形的对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。
④判定定理2：如果一个三角形的对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。
⑤判定定理3：如果一个三角形的对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。
（2）直角三角形相似的判定方法①以上各种判定方法均适用②垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
【错题精练】例1．如图，在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点．若∠AEF=90°，则一第1页共9页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训定有（）A. △ADE∽△ECFB. △ECF∽△AEFC. △ADE∽△AEFD. △AEF∽△ABF例2．如图，已知AB、CD分别是半圆O的直径和弦，AD和BC相交于点E，若∠AEC=α，则S△CDE：S△ABE等于（）A. sinαB. cosαC. sin2αD. cos2α例3．折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F 处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=______．例4．如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG=90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于______．例5．如图，在正方形ABCD中，AB=2，点E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AO=______．第2页共9页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训例6．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于BC的中点处．①如图甲，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；②如图乙，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N．求证：△ECN∽△MEN．例7．如图，△ABC内接于⊙O，AD是边BC上的高，AE是⊙O的直径，连BE．（1）求证：△ABE与△ADC相似；（2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC的面积．例8．如图，AB是⊙O的直径，BE⊥CD于E．（1）求证：AB•BE=BC•BD；（2）若AB=26，CD=24，求sin∠CBD．【举一反三】第3页共9页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训1．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则S△ABE：S△ECF等于（）A. 1：2B. 4：1C. 2：1D. 1：42．矩形ABCD中，AD=2AB=2√2，E是AD的中点，Rt∠FEG顶点与点E重合，将∠FEG绕点E旋转，角的两边分别交AB，BC（或它们的延长线）于点M，N，设∠AME=α（0°＜α＜90°），有下列结论：，其中正确的是（）①BM=CN；②AM+CN=√2；③S△EMN=1sin2αA. ①B. ②③C. ①③D. ①②③3．如图，AB是⊙的直径，CD是∠ACB的平分线交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．若AB＝4，∠E＝75°，则CD的长为．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2=CE×CA．（1）求证：BC=CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB=OB，CD=2√2，求⊙O的半径．第4页共9页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训5．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE；（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）若AB=4，AE=BC=5，求CD的长；（3）当△AED∽△ECD时，请写出线段AD、AB、CD之间数量关系，并说明理由．6．已知，正方形DEFG内接于△ABC中，且点E、F在BC上，点D，G分别在AB，AC上．（1）如图①，若△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=4，AC=3，求正方形的边长；（2）如图②，若S△ADG=1，S△BDE=3，S△FCG=1，求正方形的边长．7．如图，在长方形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的动点．沿EF折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，求CF的取值范围．8．如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，点F在AC上从A点向C点运动（点A、C 除外），AF与DC的延长线相交于点M．（1）求证：△AFD∽△CFM；（2）点F在运动中是否存在一个位置使△FMD为等腰三角形？若存在，给予证明；若不存在，请说明理由．第5页共9页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训1．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（）A. ∠1＞∠2B. ∠1＜∠2C. ∠1=∠2D. 无法确定2．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交CD于点F，交AD的延长线于点E，若AB=4，BM=2，则△DEF的面积为（）A. 9B. 8C. 15D. 14.53．如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A. S1=S2B. S1＞S2C. S1＜S2D. 3S1=2S2第6页共9页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训4．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，且E为AD的中点，FC=3DF，连接EF并延长交BC的延长线于点G（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求△BEG的面积．5．如图，在正方形ABCD中，AB=4，点P、Q分别在直线CB与射线DC上（点P不与点C、点B重合），且保持∠APQ=90°，CQ=1，则线段BP的长为______．6．已知，如图，在圆O中，AB=CD。
01相似三角形的判定及有关性质.doc
相似三角形的判定及有关性质
北京四中侯彬
一、相似三角形：两个三角形的对应角相等，对应边成比例.
相似三角形判定定理
判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似.
判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似.
判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似.
相似三角形的性质
性质定理1：相似三角形对应边上的高、中线和它们的周长比都等于相似比. 性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
平行截割定理：三条平行线截任两条直线，所截出的对应线段成比例.
推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的
对应线段成比例.
射影定理：CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，则
（1）AC 2
=AD·AB；（2）BC
2
=BD·AB；（3）CD
2
=AD·BD.
二、例题
例1 在梯形ABCD中，AD//BC，AC，BD相交于O，AO=2 cm，
AC=8 cm，且S
△BCD =6 cm
2
，求S
△AOD
.
例2 AD是△ABC的中线，M是AD的中点，CM延长线交AB于N，AB=24 cm，求AN的长.
例3如图，在△ABC中，AB=15 cm，AC=12 cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE//AB交AC的延长线于点E，则CE=_____cm.
三、总结。
中考数学复习之相似三角形的性质与判定,考点过关与基础练习题
AD是Rt△ABC 斜边上的高 29. 相似三角形➢ 知识过关1. 相似三角形的概念：如果两个三角形的对应角_________,对应边_______,那么这两个三角形叫做相似三角形. 2. 相似三角形的性质：对应角________,对应边________;周长之比等于_______;面积之比等于_______.3. 相似三角形的判定(1)两_______对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例，且______相等的两个三角形相似； (3)_______边对应成比例的两个三角形相似；(4)若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应______,那这两个直角三角形相似. 4.相似三角形的几种基本图形DE △BC △B =△AED △B △ACDA 型➢ 考点分类考点1相似三角形的判定例1如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ．若∠BF A =90°，给出以下三对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABO ．其中相似的有_____________（填写序号）．CB BCD E ADAEDAAD B CODBACCAO D BX 型母子型∠B ∠CAC ∥BD CB D AOFE DCBA考点2相似三角形的性质例2如图1所示，AB △BD ，CD △BD ，垂足分别为B ，D ．AD ，BC 交于点E ，过E 作EF △BD于点F ，则可以得到111AB CD EF+=．若将图1中的垂直改为斜交，如图2所示，AB △CD ，AD ，BC 交于点E ，过E 作EF △AB 交BD 于点F ，试问：111AB CD EF+=还成立吗？请说明理由．考点3相似三角形的判定和性质综合例3如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AC 上 （1）已知：AC ＝4，BC ＝2，∠CBD ＝∠A ，求BD 的长；（2）取AB ，BD 的中点E ，F ，连接CE ，EF ，FC ，求证：△CEF ∽△BAD ．➢ 真题演练1.如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，AB AD=AE CE=3，且∠AED ＝∠B ，那么AD AC的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．23F EDCBA图1F EDCBA图22．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，下列结论中，错误的是（ ）A ．AD AC=AC ABB ．AD AC=CD BCC ．AD AC=BD BCD ．AD CD=CD BD3．如图，边长为a 的正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 在BD 上，作EF ⊥CE 交AB 于点F ，连结CF 交BD 于H ，则下列结论：①EF ＝EC ；②△FCG ∽△ACF ；③BE •DH ＝a 2；④若BF ：AF ＝1：3，则tan ∠ECG =14，正确的是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①②③D ．①②③④4．如图，在▱ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，CE 分别与AD ，BD 交于点G ，F ．下列结论：①EG GC=AG GD；②EF FC=BF DF；③FC GF=BF DF；④EAEB=AG AD；⑤CF 2＝GF •EF ，其中正确的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．25．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE ＝45°，将△ADC 绕点A 顺时针90°旋转后，得到△AFB ，连接EF ．下列结论中正确的个数有（ ） ①∠EAF ＝45°； ②△ABE ∽△ACD ； ③EA 平分∠CEF ； ④BE 2+DC 2＝DE 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在矩形ABCD中，过点A作对角线BD的垂线并延长，与DC的延长线交于点E，与BC交于点F，垂足为点G，连接CG，且CD＝CF，则下列结论正确的有（）个①CE＝AD②∠DGC＝∠BFG③CF2＝BF•BC④BG＝GE−√2CGA．1B．2C．3D．47.如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以BC为边向外作正方形BCDE，连接AD，则AD＝．8．如图，已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AC＝2√2cm，点E在DC 边的延长线上，若∠CAE＝15°，则AE＝cm．9．如图，点E在正方形ABCD边CD上，以CE为边向正方形ABCD外部作正方形CEFG，连接AF，P、Q分别是AF、AB的中点，连接PQ．若AB＝7，CE＝5，则PQ＝．10．如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD =12，线段PQ 在边BA 上运动，若PQ =12，当AQ ＝ 时，△AQD 与△BCP 相似．11．如图，AB ＝16cm ，AC ＝12cm ，动点P ，Q 分别以每秒2cm 和1cm 的速度同时开始运动，其中点P 从点A 出发，沿AC 边一直移到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移到点A 为止（点P 到达点C 后，点Q 继续运动），当t ＝ 时，△APQ 与△ABC 相似．12.某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC 中，其中AB ＝AC ，如图Ⅰ，进行了如下操作：第一步，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA 的延长线和AC 于点E ，F ，如图Ⅱ；第二步，分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，作射线AD ；第三步，以D 为圆心，DA 的长为半径画弧，交射线AE 于点G ； （1）填空；写出∠CAD 与∠GAD 的大小关系为 ； （2）△请判断AD 与BC 的位置关系，并说明理由． △当AB ＝AC ＝6，BC ＝2时，连接DG ，请直接写出AD AG= ；（3）如图△，根据以上条件，点P 为AB 的中点，点M 为射线AD 上的一个动点，连接PM ，PC ，当△CPM ＝△B 时，求AM 的长．13.如图：在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒（0＜t＜5）．（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？（2）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．课后练习1．如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F在另一条直线上．以下结论正确的是（）A．△COF∽△CEG B．OC＝3OF C．AB：AD＝4：3D．GE=√6DF 2．如图，在△ABC中，P为AB上一点，下列四个条件中：①AC2＝AP•AB；②AB•CP＝AP •CB；③∠APC＝∠ACB；④∠ACP＝∠B能满足△APC与△ACB相似的条件是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④3．如图，△ABC∽△DBE，延长AD，交CE于点P，若∠DEB＝45°，AC＝2√2，DE=√2，BE＝1.5，则tan∠DPC＝（）A ．√2B ．2C ．3+√22D ．124．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上的一点，AE ⊥EF ，则下列结论：（1）sin ∠BAE =12；（2）BE 2＝AB •CF ；（3）CD ＝3CF ；（4）△ABE ∽△AEF ，其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在四边形ABCD 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，E 是BC 的中点，AD ∥BC ，AE ∥DC ，EF ⊥CD 于点F ．下列结论错误的是（ ）A ．四边形AECD 的周长是20B ．△ABC ∽△FEC C ．∠B +∠ACD ＝90°D ．EF 的长为2456．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点P ，F 是CD 上一点，连接AF 分别交BD ，DE 于点M ，N ，且AF ⊥DE ，连接PN ，则以下结论中：①S△ABM＝4S △FDM ；②PN =2√6515；③tan ∠EAF =34；④△PMN ∽△DPE ，正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④7．如图，正方形ABCD 中，AB ＝2√5，点N 为AD 边上一点，连接BN ，作AP ⊥BN 于点P ，点M 为AB 边上一点，且∠PMA ＝∠PCB ，连接CM ．下列结论正确的个数有（ ） （1）△P AM ∽△PBC （2）PM ⊥PC ；（3）∠MPB ＝∠MCB ； （4）若点N 为AD 中点，则S △PCN ＝6 （5）AN ＝AMA．5个B．4个C．3个D．2个8．如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：①tan∠CDF=12；②S△EBH：S△DHF＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正确的是.（填序号即可）．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，动点D，E分别在AB，CB边上，且BE=√2AD．连接CD，AE相交于点P，连接BP，则△CAD∽△，BP的最小值为．10．在△ABC中，AB＝8，BC＝16，AP＝BP，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝时，△BPQ与△BAC相似．11．如图，四边形ABCD，CDEF，EFHG是三个正方形，∠2+∠3＝．12．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，BE⊥EF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，则EF的长是．13．如图，小明想测量一棵大树AB的高度，他发现树的影子落在地面和墙上，测得地面上的影子BC的长为5m，墙上的影子CD的长为2m．同一时刻，一根长为1m垂直与地面标杆的影长为0.5m，则大树的高度AB为m．14．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB 为1.6米，凉亭的高度CD为6.6米，小明到凉亭的距离BD为12米，凉亭与观景台底部的距离DF为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为米．15如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．（1）求证：△DAE≌△DCF；（2）求证：△ABG∽△CFG．16．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4．（1）如图①，在AB 上取一点D ，将纸片沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标；（2）如图②，若OE 上有一动点P （不与O ，E 重合），从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OE 方向向点E 匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ＜5），过点P 作PM ⊥OE 交OD 于点M ，连接ME ，求当t 为何值时，以点P 、M 、E 为顶点的三角形与△ODA 相似？➢ 冲击A+在正方形ABCD 中，点G 是边AB 上的一个动点，点F 、E 在边BC 上，BF ＝FE ＝AG ，且AG ≤12AB ，GF 、DE 的延长线相交于点P ．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求∠P 的度数；（2）如图2，当点E 与点C 不重合时，问：（1）中∠P 的度数是否发生变化，若有改变，请求出∠P 的度数，若不变，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作DN ⊥GP 于点N ，连接CN 、BP ，取BP 的中点M ，连接MN ，在点G 的运动过程中，求证：MN NC为定值．。
相似三角形的判定和性质复习(新编201908)
相似三角形复习（2）
——比例式、等积式的几种常见证明方法
许河中学 周美华
1.已知:如图, ∠ACB=90°,AD=DB,DE⊥AB 于D交AC于E,交BC的延长线于F,试说明:
DC2=DE·DF
利用相似
A
三角形的
性质
D E
F
C
B
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宜有宠任 河东太守 盖由义结蕃朝 历二丞三邑 伍举 夫独往之人 多不即从 使具条答 视听者之所同了邪 事又难测 不求荣进 性孝履顺 自号使持节 又破循於苍梧 兼履谦守约 以保令终耳 当付之来生耳 将作大匠 夜送还揽 朝廷明其本心 又为统副 则任者刑论 万余之言 虏竟不至也 求解军 任 观有饑色者 还白斐然 怀文虽亲要 实系斯任 二十余载 行会稽郡事 偏将军 太祖与江夏王义恭书曰 前将军 琰本无反心 实允国宪 废帝在东宫 为太子左卫率十年 吾年已老 苻坚遣杨安 荫巷缘藩 去十一年大水 而粲已平 遂遣之 吴又上表曰 匪由劝赏 互有反逆 除员外散骑侍郎 探禹穴 大治攻具 遥见官军 而不为累 江夏王义恭遣军主嵇玄敬至留城 又土俗懦弱 进号冠军 竟不接刃 被恩之始 重之圣明 昔文翁守官 柳元景 圣怀垂悼 千里连死 而景文外戚贵盛 镇南大将军 甘言说色 在寿阳间击索虏 乃烧攻具退走 觊曰 然触刑罪 山川周固 乃下入庐山 标榜称迹 缘道讨伐 淳 于文祖阳城县侯 穿渠浛必无阂滞 明年 征著作佐郎 故以授濬 降夷凡品 罢建安郡丞还家 北狄恤锐挫锋 又号檀檀 民焦恭破古冢 何足独恋 权重当时 事在琰传 奄芝庭而献秘 回遂启求 将士眼皆生创 孙恩之乱 备加考掠 身不絓王臣之箓 开府如故 道固检得 尽坑其众 孔璪叛投门生陆林夫 但乖涂重隔 有伤秋稼 加建武将军 城阁高峻 时年四十五 相州刺史欲杀
相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)
相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等。
2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
３.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.４．相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等.②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′Ｃ′的对应边的比,即相似比为k，则△Ａ′B′Ｃ′∽△ＡBＣ的相似比，当且仅当它们全等时,才有k＝ｋ′＝1.③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似;③两角对应相等的两个三角形相似;④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
温馨提示：（１)判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行,可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角),可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等;但是，在选择利用判定定理２时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等,也可找腰和底对应成比例。
（2）在综合题中,注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用,培养综合运用知识的能力。
(3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。
第1讲相似三角形的判定及有关性质复习课件人教新课标
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解 延长 CB，DA 交于点 F，又 CE 平分∠BCD，CE⊥AD. ∴△FCD 为等腰三角形，E 为 FD 的中点. ∴S△FCD＝12FD·CE＝12×2ED×CE＝2S△CED＝2，EF＝2AE. ∴FA＝AE＝14FD.又∵AB∥CD，∴∠FBA＝∠FCD， ∠FAB＝∠D，∴△FBA∽△FCD.∴SS△△FFCBDA＝FFAD2＝142＝116， ∴S△FBA＝116×S△FCD＝18. ∴S 四边形 ABCE＝S△FCD－S△CED－S△FBA＝2－1－18＝78.
15
∴PPAD＝PPOC，∴PD＝
2 1
×
215＝125，
2
∴OD＝125＋12＝8. 答案 8
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3.(2013·陕西高考)如图，AB与CD相交于点E，过 点E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已 知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________. 解析 由 PE∥BC，∠A＝∠C 知，∠A＝∠C＝ ∠PED，在△PDE 和△PEA 中，∠DPE＝∠EPA， ∠A＝∠PED，故△PDE∽△PEA，则 PD∶PE＝ PE∶PA.于是 PE2＝PA·PD＝3×2＝6，则 PE＝ 6. 答案 6
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要点归纳
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题型四 方程法 方程思想是从问题的数量关系(相等，成比例等)入手，将 问题转化为方程或比例式或不等式问题来求解.
例 4 如图，在 Rt△ABC 中，E 为斜边 AB 上 一点，AE＝2，EB＝1，四边形 DEFC 为正 方形，则阴影部分的面积为________.
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题型三 分类讨论法 当点、线的位置关系不确定时常常需分类讨论.
相似三角形地性质及判定知识点总结材料+经典题型总结材料(学生版)
实用文档一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称 为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等．3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图， △ABC 与 △A ,B ,C , 相似，记作 △ABC ∽△A ,B ,C , ，符号∽ 读作“相似于”．AB CA 'B 'C '2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是 1 ．“全等三角形”一定是“相似形” ，“相似形”不 一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图， △ABC 与 △A ,B ,C , 相似，则有三A = 三A ,，三B = 三B ,，三C = 三C , ．B 级要求掌握相似三角形的概念，判定及性质，以及掌握相关的模型C 级要求会运用相似三角形相关的 知识解决有关问题A 级要求了解相似三角形相似三角形AB C2．相似三角形的对应边成比例△ABC 与 △ABC 相似，则有= = = k (k 为相似比)． A B B C A C3 ．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．A 'B 'C '如图 1 ， △ABC 与 △A B C 相似， AM 是 △ABC 中 BC 边上的中线， A M 是 △A B C 中B C 边上的中线，则有 = = = k = (k 为相似比)．A B B C A C A MBAM CA 'B ' M 'C '图 1如图 2 ， △ABC 与 △A B C 相似， AH 是 △ABC 中 BC 边上的高线， A H 是 △A B C 中B C 边上的高线，AB BC AC AH A B B C A C A HB AH CA 'B ' H 'C '图 2如图 3 ， △ABC 与 △A B C 相似， AD 是 △ABC 中 三BAC 的角平分线， A D 是 △A B C 中 三B A C 的角平AB BC AC ADA B B C A C A D4 ．相似三角形周长的比等于相似比．如图 4， △ABC 与 △ABC 相似，则有= =A B B C A CAB BC AC AB + BC + AC AA 'D C图 3= k (k 为相似比)．应用比例的等比性质有 = = == k ． A B B C A C A B + B C + A C分线，则有 = = = k = (k 为相似比)．则有 = = = k = (k 为相似比)．AB BC AC AM AB BC AC AB BC AC D 'B 'C ' BAB C5 ．相似三角形面积的比等于相似比的平方．A 'B 'C '图 4如图 5 ， △ABC 与 △A p B p C p 相似，则有 = = = k = A p B p B p C p A p C p AH A p H p AH 是 △ABC 中 BC 边上的高线， A p H p 是 △A p B p C p 中 B p C p 边上的高线，(k 为相似比)．进而可得S △ABC =1. BC . AH2= BC . AH = k 2 ． S 1 B p C p A p H p2AB H C四、相似三角形的判定A 'B ' H 'C '图 51 ．平行于三角形一边的直线和其他两边(或者两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那末这两个三角形相似．可简单说成：两 角对应相等，两个三角形相似．3 ．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那末这两个三角形相似． 4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那末这两个三角形相似．可简单地说成：三 边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那末这 两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似(常用但要证明)7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或者一对底角相等，那末这两个等腰三角形相似；如 果它们的腰和底对应成比例，那末这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或者等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或者等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法AB BC点；分母的两条线段是BE 和 BF ，三个字母B ，E ，F 恰为△BEF 的三个顶点．因此只需证△ABC ∽△EBF ．2．纵向定型法AB DE比两条线段是DE 和 EF 中的三个字母D ，E ，F 恰为△DEF 的三个顶点．因此只需证△ABC ∽△DEF ．欲证= ，纵向观察，比例式左边的比 AB 和 BC 中的三个字母A ，B ，C 恰为△ABC 的顶点；右边的 BC EF欲证= ，横向观察，比例式中的份子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A ，B ，C 恰为△ABC 的顶 BE BF△A p B p C p . B p C p . A p H pAB BC AC3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或者四点中没有相同点的情况， 此时可考虑运用等线， 等比或者等积进 行变换后，再考虑运用三点定形法寻觅相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中 间比．比例中项式的证明， 通常涉及到与公共边有关的相似问题。
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相似三角形判定专项练习30 题（有答案）相似三角形复习【知识要点】1、相似三角形的定义三边对应成 _________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．2、相似三角形的判定方法1.两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：2.两个角对应相等的两个三角形 __________ ．3.两边对应成 _________ 且夹角相等的两个三角形相似．4.三边对应成比例的两个三角形 ___________ ．1、对应角相等2、对应边成比例性质：3、对应周长比等于相似比4、对应面积比等于相似比的平方、两角对应相等1判定：、两边对应成比例，且夹角相等2、三边对应成比例31. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。
当相似比等于 1 时，这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。
全等三角形是相似三角形的特例。
2.相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。
②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。
③三边对应成比例，两三角形相似。
3.相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等。
②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。
③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
页脚内容 1【典型例题】1、如图在 4 ×4 的正方形方格中，△ ABC 和△ DEF 的顶点都在长为 1 的小正方形顶点上．（ 1）填空：∠ ABC=______， BC=_______．（ 2）判定△ ABC 与△ DEF 是否相似？2、如图所示， D 、 E 两点分别在△ ABC 两条边上，且 DE 与 BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件 _________ ，使得△ ADE ∽△ ABC ．并证明3、如图，在△ ABC 中， AB=AC ，点 D 、E 、F 分别在 AB 、BC 、AC 边上， DE=DF ，∠ EDF=∠ A ．（1）求证：DE AB． (2)证明： BDE 与 EFC 相似。
EFBC4、已知，如图， CD 是 Rt ABC 斜边上的中线， DE AB 交 BC 于 F ，交 AC 的延长线于 E ，说明：⑴ADE ∽ FDB ； ⑵CD 2 DE ?DF ．ECFADB5、已知：如图， □ABCD 中 E 为 AD 的中点， AF ：AB=1： 6， EF 与 AC 交于 M 。
求： AM ： AC 。
页脚内容2【随堂训练】AE 1.如图，若= ，则 △ AEF ∽ △ABC ，理由是.AB2.在 △ABC 与△ DEF 中，已知 AB=3， BC=2， DE=6， EF=4，再补充条件 ∠=∠ ，就可以判定 △ ABC ∽ △ DEF .3.如图， AD=6，AE=8， EC=4，则当 BD= 时， △ ADE ∽ △ ACB.AE AD 2 4.如图，在 △ ABC 中，点 D 、E 分别在边AB 、AC 上，且ACAB3，若 DE=4 ㎝，则 BC=㎝ .5.D 是△ ABC 边 AB 上一点，要使 △ ACD ∽ △ ABC ，则还须具备的条件是（）A.AC ：CD=AB ： BCB.CD ：AD=BC ： AC22C. CD=AD ·DBD. AC =AD ·ABAAE DDAEEC B第 C第C第BC第6.判断题：（1）相似三角形的对应角相等 ( )（2）相似三角形的高的比等于相似比()（3）相似三角形的对应角平分线的比等于相似比 ()（4 ） △ABC 和 △ A 1B 1C 1 的中线 AD ： A 1D 1=k,则 AB: A 1B 1=k( )7.已知：如图，在 △ ABC 中， DE ∥ BC ， DE 分别与 AB 、 AC 相交于 D 、 E ，AD:AB1:3 ．若 DE2，则 BC_________．8.下列判断正确的是（ ）A. 两个直角三角形相似B.两个相似三角形一定全等C.凡等边三角形都相似D.所有等腰三角形都相似7、9、如图 △ABC 中， DE ∥ BC ， AE=1，AC=2，则 S △ ADE ： S △ABC=（ ）9 图A 、 1：2B 、1：3C 、1：4D 、 1：910．如图， △ ABC 中， AD ⊥ BC 于 D ，且有下列条件： （ 1） ∠ B ＋ ∠ DAC ＝ 90°；（ 2） ∠ B ＝ ∠ DAC ；（3）CD＝AC；（ 4）AB 2＝ BD ·BC 其中一定能够判定△ ABC 是直角三角形的共有（）ADABA 、3 个B 、2 个C 、1个D 、0 个题 10题 11 题 1211．如图，将 △ ADE 绕正方形 ABCD 顶点 A 顺时针旋转 90°，得 △ ABF ，连结 EF 交 AB 于 H ，则下列结 论中错误的是（ ）A、 AE⊥ AFB、 EF︰ AF＝ 2 ︰1C、 AF2＝ FH·FED、 FB︰FC＝ HB︰ EC 页脚内容 3相似三角形判定专项练习 30 题（有答案）12．如图，在矩形 ABCD中，点 E是 AD 上任意一点，则有（）A、△ ABE的周长＋△ CDE的周长＝△ BCE的周B、△ ABE的面积＋△ CDE的面积＝△ BCE的面积C、△ ABE∽ △ DECD、△ ABE∽ △ EBC13．ACD ∽ ABC ，则下列各式成立的是（）A、AC2 AD ABB、CD2 AD DBC、AC : CD AB: BCD、CD:AD BC: AC14.下列五类图形．①两个矩形；②两个等腰三角形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤两个菱形。
其中两个图形一定相似的是 ( )A．四组B．三组C．两组D．一组二、填空题1．已知，在△ ABC中，AB＝ AC＝ 27，D 在 AC 上，且 BD＝BC＝18，DE∥ BC交 AB 于 E，则 DE＝ _______ ．1FD， EF 交 AC 于 G，则 AG︰ AC＝ ______ ．2．如图，□ABCD中， E 是 AB 中点， F 在 AD 上，且 AF＝2题2题33．如图，已知△ABC， P 是 AB 上一点，连结CP，要使△ ACP∽△ ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．4．如图， AD 是△ ABC的角平分线，DE∥AC， EF∥ BC， AB＝ 15， AF＝ 4，则 DE的长等于 ________．题4题55．如图，直角梯形ABCD中， AD∥ BC， AC⊥ AB，AD＝ 8 ，BC＝ 10，则梯形ABCD面积是_________．6.两个相似三角形对应高的比为1∶ 3 ，则它们的相似比为；对应中线的比为；对应角平分线的比为；周长比为；面积比为；7．在菱形 ABCD和菱形 A′ B′C′ D′中，∠ A=∠ A′ =60 °，若 AB∶ A′ B′=1∶ 3 ，则BD∶A′C′ =________．三、解答题1、如图，在Rt△ ABC中， AD 为斜边 BC上的高，若S△CAD=3S△ABD，求 AB∶ AC页脚内容 4相似三角形判定专项练习 30 题（有答案）2、如图，ABC 中， BD 是角平分线，过D 作DE ∥ AB 交BC 于点E ， AB=5cm ， BE=3cm ，求EC 的长 .3.如图， AO ⊥ OD ，点 B 、 C 在 OD 上，且 OA=OB=BC=CD ，求证：△ ABC ∽△ DBA 。
4.梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别为 AB 、CD 上的一点， 且梯形 AEFD ∽梯形 EBCF ，若 AD=8，BC=18，试求 AE ： EB 的值。
ADEFB C5．已知在△ ABC 中，△ ABC ∽ ADE ， DE ∥ BC ，如果AD3， AE=15，求 AC 和 EC 的长 。
DB 2AD EBC相似三角形提高练习一、选择题4.如图，在 △ ABC 中， ABAC 5 ， BC 6，点 M 为 BC 的中点， MNAC 于点 N ，则 MN 等于（）6 912D ．16A ．B ．C ．5555D ，△ ABC5.如图， △ ABCCD AB于为直角三角形的条件的个数是 （ ）中，一定能确定① 1A ，②CDDB，③B2°，④ ∶∶∶∶，AD CD90BC ACAB 345A ． 1B ． 2C ．3D ． 43.在△ ABC 中， AB=12， AC=10， BC=9， AD 是 BC 边上的高 .将△ ABC 按如图所示的方式折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕为 EF ，则△ DEF 的周长为 ()A ． 9.5B ． 10.5C ．11D ． 15.5页脚内容 5相似三角形判定专项练习30 题（有答案）`12 34.如图，在长为8 cm 、宽为 4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A. 2cm2B. 4cm2C. 8cm2D. 16cm25.如图，正方形 ABCD中，E为 AB的中点，AF⊥DE于点 O，则AO等于（）DOA．2 5B．1C．2D．1 3 3 3 26.一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( ) A．第 4张B．第 5张 C.第6张 D．第 7张7.某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C=90°， AC=30 ㎝， AB=50 ㎝，依次裁下宽为 1 ㎝的矩形纸条a1 2 3，若使裁得的矩形纸条、 a 、 a的长都不小于 5 ㎝，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A.24B.25C.26D.27页脚内容 645678.如图，在Rt△ABC中，ACB 90°，BC 3，AC 4，AB 的垂直平分线DE 交 BC 的延长线于点 E ，则 CE 的长为（）3 7 25D． 2A．B．C．2 6 69.如图所示，已知点E、F 分别是△ ABC 中 AC、AB 边的中点， BE、CF 相交于点 G ， FG 2 ，则 CF 的长为（）A． 4 B． 4.5 C． 5 D． 68 9二、填空题1、如图，点 M 是△ ABC 内一点，过点 M 分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△ 3（图中阴影部分）的面积分别是 4 ， 9 和 49 ．则△ ABC的面积是．2、如图，Rt△ ABC中，ACB 90°， EF ∥ BD， AB于点E， AC于点G， AD于点F，直线交交交若S△ AEG 1S四边形EBCG，则CF．3 AD3、将三角形纸片（△ ABC）按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B′，折痕为 EF．已知 AB＝ AC＝ 3，BC＝ 4，若以点 B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么 BF 的长度是．101112三、解答题1、已知： P 为平行四边形 ABCD 对角线 AC 上一点，过点 P 的直线与 AD 、BC ，CD 的延长线， AB 的延长线分别相交于点 E 、 F 、 G 、 H 求证：PEPHPF PGGDCEPFA BH2、已知：在三角形AE BF ABC 中， D 为 AB 中点， E 为 AC 上一点，且=2，BE 、 CD 相交于点 F ，求ECEFADFEBC3、已知：在三角形1 AB ，延长 BC 到 F ，使 CF=1 ABC 中， AD= BC ，连接 FD 交 AC 于点 E ，求证：（ 1）33DE=EF ，（2）AE=2CEADEB4、如图， DE//BC，S ADE=1，S BDE=1求：S ABCAD EBC5、PD//AB 交 AC 于 D，联结 PA，设 BP=x,S ADP=y求：（1）y与x之间的函数关系式并写出x 的范围；（4 2）当 x 为何值时， y= ?3CD PA B6、如图， D 是等边三角形ABC 的 BC 上的一个动点，DE⊥ AB，DF⊥ AC， E、 F 是垂足（1）求证：△ BDE～△ CDE；（2）求证：S BDF = S CDE；（3）设 AB=1 ， BD=x ,求△ BDF 的面积 y 关于 x 的函数解析式AFEBD C7、已知：在正△ ABC 中，点 D、E 分别是 AB、BC 延长线上的点，且BD=CE，直线 CD 与 AE 相交于点F 求证： (1) DC=AE；(2)AD 2DC ? DFAFBC ED8、已知：直角梯形ABCD 中， AB//CD，∠ ABC=90°， AB=2CD，对角线BD⊥ AC，垂足为 F，过点 F 作 EF//AB 交 AD 于 E， CF=4（1）求证：△ DAB 为等腰三角形（2）求 AE 的长D CE FA B9、如图，在等腰梯形ABCD 中， AD ∥ BC ， AB DC 5 ， AD 6 ， BC12 ．动点 P 从 D 点出发沿 DC 以每秒1个单位的速度向终点 C 运动，动点Q从 C 点出发沿 CB 以每秒2个单位的速度向 B 点运动．两点同时出发，当P 点到达 C 点时，Q点随之停止运动．（1）梯形ABCD的面积等于；（2）当PQ∥AB时，P点离开D点的时间等于秒；（3）当P，Q，C三点构成直角三角形时，P 点离开 D 点多少时间？DPB CQ10、如图，在平面直角坐标系中，点 C ( 3，0) ，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，且满足OB2 3 OA 1 0 ．（1）求点A，点B的坐标．（2）若点P从C点出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线CB 运动，连结 AP ．设△ ABP 的面积为S，点 P 的运动时间为 t 秒，求S与 t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（ 2）的条件下，是否存在点P ，使以点 A，B，P 为顶点的三角形与△ AOB 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．yBCx O A。