化工仪表及其自动化 第二章过程特性和数学模型

ARs
dh dt
h
RsQ1
令 T ARs , K Rs 则 T称为时间常数，K称为放大系数。
T
dh dt
h
KQ1
13
（2）RC电路
ei若取为输入参数， eo为输出参数，根据基尔霍夫定理
ei iR e0
由于 消去i
i C de0 dt
RC
de0 dt
e0
ei
图2-3 RC电路
或
T
de0 dt
27
hs KQ1 或
K hs 1 Q1 A
图2-6 水槽液位的变化曲线
K在数值上等于对象重新稳定后的输 出变化量与输入变化量之比。K越大， 就表示对象的输入量有一定变化时， 对输出量的影响越大，即被控变量对 这个量的变化越灵敏。
28
举例
以合成氨的转换炉为例，说明各个量的变化对被 控变量K的影响
T1T2
d 2h2 dt 2
T1
T2
dh2 dt
h2
KQ1
式中 T1 AR1 为第一只贮槽的时间常数； T2 AR2 为第二 只贮槽的时间常数；K R2 为整个对象的放大系数。
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（2）RC串联电路
RC串联电路
根据基尔霍夫定律
1
ei i1R1 C1
i1 i2 dt
1
C1
i1 i2 dt i2R2 e0
传递滞后
滞 分类 后
性 质
又叫纯滞后或时滞，一般用τ0表示。τ0的
产生一般是由于介质的输送需要一段时 间而引起的。
容量滞后
对象在受到阶跃输入作用x后，被控变量y 开始变化很慢，后来才逐渐加快，最后又 变慢直至逐渐接近稳定值。
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1.纯滞后
T
dyt
dt
yt
Kxt
0
当假定 y(t)的初始值 y(0) = 0, x(t) 是一个发生在t = 0的阶跃输入,幅值为 A,对上述方程式求解,可得
图2-8 不同输入作用时的被控变量变化曲线
30
二、时间常数T
从大量的生产实践中发现，有的对象受到干扰后， 被控变量变化很快，较迅速地达到了稳定值；有的对象 在受到干扰后，惯性很大，被控变量要经过很长时间才 能达到新的稳态值。
图2-9 不同时间常数对象的反应曲线
31
如何定量地表示对象受干扰后的这种特性呢？
19
图2-5 对象特性连接图
特点：把被研究的对象视为一个黑匣子，完全从外部 特性上来测试和描述它的动态特性，不需要深入了解 其内部机理 。
20
1、阶跃反应曲线法
对象在阶跃输入作用下，输出 量随时间的变化。
不需特殊的仪器或设备，简单 易行；但其精度较差。
阶跃反应曲线
21
2、矩形脉冲法
在对象突然加上一阶跃干扰， 一段时间后突然除去该阶跃干扰， 输出量随时间的变化。
T
（2-7） （2-8）
当 t →∞时，式（2-7）可得
dh 0 dt左下图所示，式（2-8）代表了曲线在起始点时切线 的斜率，这条切线在新的稳定值h（∞）上截得的一段时间 正好等于T。
由式（2-3），当 t =∞时，h = KQ1。 当 t=3T时，代入式（2-3）得
h3T KA 1 e3 0.95KQ1 0.95h（2-10）
几个概念
图2-1 对象的输入、输出量
3
通道 调节通道
？
干扰通道
对象的数学模型分为静态数学模型和动态数学模型
静态数学模型
基础 特例
动态数学模型
4
用于控制的数学模型与用于工艺设计与分析的数 学模型不完全相同。
一般是在工艺 流程和设备尺 寸等都确定的 情况，研究对 象的输入变量 是如何影响输 出变量的。
生产过程要求一氧化碳的转化率要高，蒸汽消耗量要少， 触媒寿命要长。通常用变换炉一段反应温度作为被控变量， 来间接地控制转换率和其他指标。
图2-7 一氧化碳变换过程示意图
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影响变换炉一段反应温度的因素主要有冷激流量、蒸 汽流量和半水煤气流量。改变阀门1、2、3的开度就可以 分别改变冷激量、蒸汽量和半水煤气量的大小。从下图 看出，冷激量对温度的相对放大系数最大；蒸汽量对温 度的相对放大系数次之；半水煤气量对温度的相对放大 系数最小。
在自动化领域中，往往用时间常数T来表示。时间 常数越大，表示对象受到干扰作用后，被控变量 变化得越慢，到达新的稳定值所需的时间越长。
32
举例
简单水槽为例
由前面的推导可知
T
dh dt
h
KQ1
假定Q1为阶跃作用，t<0时Q1=0； t>0或t=0时Q1为一常数，如左图。
图2-10 反应曲线
则函数表达式为 ht KQ1 1 et T
yt
KA1
t 0
eT
t 0
图2-13 具有纯滞后的一阶
（2-11）
对象反应曲线
可见，具有时滞的一阶对象与没有时滞的一阶对象,它们
的反应曲线在形状上完全相同,只是具有时滞的反应曲线在
时间上错后一段时间τ0。
40
举例
溶解槽及其 反应曲线
纯滞后时间
显然，纯滞后时间τ0与皮带输送机的传送速度v和传送距离L
精度较高，对正常生产的影响 较小。
矩形脉冲特性曲线
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3、频率特性法
矩形脉冲波法和正弦信号法。
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在测试过程中要注意：
① 加测试信号之前，对象的输入量和输出量应尽可能稳 定一段时间，不然会影响测试结果的准确度。 ② 对于具有时滞的对象，当输入量开始作阶跃变化时， 其对象的输出量并未开始变化,这时要在记录纸上标出开 始施加输入作用的时刻，即反应曲线的起始点，以便计 算滞后时间。 ③为保证测试精度，排除测试过程中其他干扰的影响， 测试曲线应是平滑无突变的。
注意：安装成分分析仪器时，取样管线太长，取样点安装离设 备太远，都会引起较大的纯滞后时间，工作中要尽量避免。
图2-12 时间常数T的求法
结论
从加入输入作用后，经过3T时间，液位已经变化了全部 变化范围的95％，这时，可以近似地认为动态过程基本结束。 所以，时间常数T是表示在输入作用下，被控变量完成其变 化过程所需要的时间的一个重要参数。
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三、滞后时间τ
定义
对象在受到输入作用后，被控变量却不能
立即而迅速地变化，这种现象称为滞后现象。
比较困难 表达形式 对象在一定形式输入作用下的输出曲线或数据来表示
6
参量模型
当数学模型是采用数学方程式来描述时，称为参 量模型。
静态数学模型比较简单,一般可用代数方程式表示。 动态数学模型的形式主要有微分方程、传递函数、 差分方程及状态方程等
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第二节 对象数学模型的建立
建模目的
设计控制系统的基础 控制系统的调试和控制器参数确定的基础 制定工业过程操作优化方案 新型控制方案及控制算法的确定 计算机仿真与过程培训系统 设计工业过程的故障检测与诊断系统
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T1＜T2＜T3＜T4
说明 时间常数大的对象（如T4) 对输入的反应较慢， 一般认为惯性较大。
图2-11 不同时间常数对象的反应曲线
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在输入作用加入的瞬间，液位h的变化速度是多大呢？
将式（2-3）对 t 求导，得 当 t =0
dh KQ1 et T dt T
dh KQ1 h
dt t0 T
对象特性可用一阶微分方 程描述的对象
（1）水槽对象
依据
对象物料蓄存量的变化率 ＝单位时间流入对象的物料－单位时间流出对象的物料
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Q1 Q2 dt Adh
（2-1）
若变化量很微小，可以近似认为Q2与h 成正比， 与出水阀的阻力系数Rs成反比
h Q2 Rs
图2-2 水槽对象
将上式代入（2-1）式，移项
e0
ei
T RC K=1
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2、积分对象
当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例关系时，
称为积分对象。
Q2为常数，变化量为0
dh
1 A Q1dt
其中，A为贮槽横截面积
1
h A Q1dt
（2-2）
图2-4 积分对象
说明，所示贮槽具有积分特性。
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3.二阶对象
（1）串联水槽对象
串联水槽对象
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④ 加试测试信号后，要密切注视各干扰变量和被控变 量的变化，尽可能把与测试无关的干扰排除。 ⑤ 测试和记录工作应该持续进行到输出量达到新稳定 值基本不变时为止。
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三、混合建模
途径 先由机理分析的方法提供数学模型的结构形式，
然后对其中某些未知的或不确定的参数利用实测的方法 给予确定。
举例
以换热器建模为例，可以先列写出其热量平衡方程 式，而其中的换热系数K值等可以通过实测的试验数据 来确定。
假定输入、输出量变化很小的情况下， 贮槽的液位与输出流量具有线性关系。
Q12
h1 R2
Q2
h2 R2
假定每只贮槽的截面积都为A，则
Q1 Q12 dt Adh1 Q12 Q2 dt Adh2
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消去Q12、Q2、h1
dh1 dt
1 A
Q1
Q12
dh2 dt
1 A
Q12
Q2
整理得
（2-3）
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从上页图反应曲线可以看出，对象受到阶跃作用后，被 控变量就发生变化，当t→∞时，被控变量不再变化而达到 了新的稳态值h（∞），这时上式可得：
h KQ1 或
K h
Q1
（2-4）
对于简单水槽对象，K=RS，即放大系数只与出水阀的阻 力有关，当阀的开度一定时，放大系数就是一个常数。
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