电磁第十章(习题和解答
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L B dl B2r 0 I内 0 NI
∴ 螺线环 B 0 NI
2r
s B dS
r2
r1
0 NI 2r
h
dr
r dr h
0 NIh ln D2 0 NIh ln D2 1
2
D1
2
D1
∴ D2 e
D 12 1
（2）L Nn 0 N 2h
II
2
4 107 104 102 2 105 H 2
（3） 感
L di dt
L( I0
sint )
I0 L sint
0 N 2hI 0 sint 2
13
10-12 在半径为R 的圆柱形体积内,充满磁感应强度 B 的均匀
磁场，有一长度为L的金属棒放在磁场中, 如图所示，设磁场
在增加,并且dB dt 已知，求棒中的感应电动势, 并指出哪端电
势高。
2I 2r
2I 2 8 2r 2
Wm
V
wmdv
R2 R1
2I 2 8 2r 2
2rdr
R2 R1
2I 2 4r
dr
2I 2 4
ln
R2 R1
1
2
I
1
I
I
16
*磁 为10感z -轴1应5方三强向角度单形为位闭B矢合量导B，线0求x，2导如ye线图a中放t kˆ的置感，，生在式电这中动三B势角和。形a区是域常中量的，kˆ
导轨，ab和cd为垂直于导轨并可在其上自由滑动的
两根直裸导线，外磁场均匀向上。当外力使ab向右
平移时，cd
[B]
A) 不动
B) 向右移动 C) 转动 D）向左移动
M
d
B
b
N
c
a
5
10-6 如图所示，均匀磁场被限制在半径为R的无限长圆柱空间
内，其变化率为正的常数，在圆柱形外，距轴线为r的P点处置
一电子，求它的加速度。
I 0内
I
(r 2 R22 ) (R32 R22 )
I
( R32 r 2 ) ( R32 R22 )
I
H
I (R32 r 2 )
2r(R32 R22 )
B
1I(R32 r 2 ) 2r(R32 R22 )
r R3时， I0内 0 H 0 B 0
(2)
wm
1 2
BH
I
2r
为： m BS
B
vtlB0 sint c b
dm d vtlB0 sint
dt
dt
(B0lvt cos t B0lv sint )
B0lv(t cos t sint )
方向随时间变化 1
10-2 由导线弯成的宽为a高为b的矩形线圈，以不变的速率v平行于 其宽度方向从无磁场空间垂直于边界进入一宽度为3a的均匀磁场中， 线圈平面与磁场方向垂直（如图10—2），然后又从磁场中出来， 继续在无磁场的空间运动，试在附图中画出感应电流I与时间的函 数关系曲线，线圈的电阻的R，取线圈刚进入磁场时感应电流的方 向为正（忽略线圈自感）。
10-1 如图10—1所示，长为l 的导线杆ab以速率v在导线导轨 adcb上平行移动，杆ab在t=0时，位于导轨dc处。如果导轨处
于磁感应强度为B=B0 sint（B0、为常数）的均匀磁场中， B 垂直纸面向里，则t时刻导线回路中的感应电动势是怎样的？
d a
解：取回路方向顺时针， t 时刻导线回路中的磁通
d
(
B
)//d0RrBrd沿r径向12向B外R
2
盘边电势高于盘心
3
)
(
B
)
//
dr
沿径向向内
盘心电势高于盘边
r dr
7
10-8 两根平行无限长直导线相距为ｄ，载有大小相等方向相反
的电流I ，电流变化率 dI dt 270 ，一个边长为d的正方形线
圈位于导线平面内与一根导线相距d（如图所示），求线圈中的
解：
L E感 dl E感 2r
L顺时针方向
dm dB R2
dt
dt
R2 dB E感 2r dt
而 eE感 ma
B
R
e
eR2 dB
a m E感 2mr dt
P
a 顺时针方向
6
竖10直-7向(教上材的P匀32强6例磁)场如B图中所以示角，速一度半径绕为通R的过水盘平心导的轴体转圆动盘，，在圆
解：连接 oa、ob，形成一闭合回路
i
E涡
dl
E涡 dl E涡 dl E涡 dl
oa
=0 ab
bo
=0
O
O
dm
dt
E涡
∴ i E涡 dl
ab
半径
ab
d
a
m
dt
L
b
m
BS
B
L 2
R2 (L2)2
ab
L 2
R2
(L 2)2
dB dt
由a b, b端电势高。或由楞次定律判断
3)
0 Id
4 ln
2
2 2 3
y
d
dy
L
d
dm 0d ln 4 dI dt 2 3 dt
1.55d 105
I与L反向，为顺时8 针
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
Fe
eE感
mae
ae
eE感 m
er 2m
dB dt
4.4107 m / s2
a e 沿逆时10针
10-10 如图所示，铜棒AC在与垂直于纸面向里的磁场垂直的 平面内，以角速度ω转动，求AC棒上总的感应电动势
解：
AO
OAd
OC COd
2
03
l
(v
B)
dr
1
03
l
(v
B) dr
解： 斜线方程为 y b x
y
取面元 ds dxdy 取回 路逆 时针方向
dm B dS Bdxdy
b
d
s
dy
L
m B0 x2 yeatdxdy
O
B0e at
b x 2dx
0
b x
ydy
0
dx z
bx
1 2
B0e at
0b x2 (b
x)2 dx
1 60
B0b5e at
dm
取回路为顺时针方向
I
x
dx
m
s
BdS
0.15
0.05
0I 2x
(0.3 2x)dx
y L
0I 0.3ln 3 0.2 2.6108 I
2
A
x
dm 2.6 108 dI 5.2 108V
dt
dt
逆时针方向
15
R1 r R2时， I0内 I
H I
2r
B2
2I 2r
R2
r
R3时，
1
03
l
2
03
l
Brdr
Brdr 1
18
wenku.baidu.com
Bl
2 9
2
Bl
2
v
2 l 3
A
dr
AC
AO
OC
2 Bl 2 1 Bl 2
9
18
1 Bl 2
1dl r
O
3
Cv
6
AC 由A指向C
（即：C点电势高）
11
10-11 矩形载面螺线环（尺寸如图）上绕有Ｎ匝线圈，若线
（ me 9.11031 kg , e 1.6 1019 c ）
解: 磁场分布均匀 ∴感生电场具涡旋性， 为一系列同轴圆环.
作半径为r 的同轴圆形环路，取顺时 针为正，则
R
E 感
r
a e
A
L
E感
dl
dm
dt
E感
2r
dB dt
r
2
E感
r 2
dB dt
dB dt
0, E感沿顺时针
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
10-9 如图所示，半径为R的圆柱形空间内有一均匀磁场 B ,以
每秒 102 的速率减小，在该磁场空间中，离轴线O为r=5cm处 的A点有一电子，求：电子在A点的加速度？
dt
1 60
B0b5
de at dt
1 60
B0ab5e
at
沿逆时针方17向
10-16 如图所示，一长直导线通有电流I，与其相距为d处
有一N匝矩形线圈，线圈以速度v沿垂直与长直导线方向向
右移动时，线圈中的动生电动势是多少？ 解：取顺时针方向为回路的绕行方向，先
x dx
求回路在t 时刻的磁通：
B 0I
反向，因此 I A ，后恢复原状
线圈B中磁通的变化产生感应电流
IB
（0
I
）
B
c
A
d, 后恢复原状 3
10-4 如图所示，将 L2 线路放入 L1 时，请判断小线圈
上感应电流方向？以及电阻R上哪端的电势高？
B
B
B0 B0
I
R上左端电势高。
4
10-5 如图所示，M、N为两根水平放置的平行金属
盘的轴线与磁场 B 平行， 1) 盘边与盘心间的电势差；2) 盘边
和盘心的电势哪个高；3）当盘反转时，它们的电势高低如何？
答：１）盘边与盘心间的电势差就是盘上沿半径方向的感应电 动势，可以认为它是沿任意半径的一导体杆在磁场中绕一端转
动d的 结果(，而半B径)上 d线r元dr将B产生dr Brdr
2)
Il
v
2x
x0
d x0 b 0 I ldx 0 I ln x0 b
x0 2x
2
x0
d
b
感生电动势为：
N d N 0 Ilb dx0 N 0 Ilb v
dt
2x0 ( x0 b) dt
2x0 ( x0 b)
x0
d时，
N
0 Ilb v 2d(d b)
18
b
v
a
3a
解：以刚进入磁场的 时刻为计时起点。
2
10-3 如图所示，在塑料筒上分别绕有A、B两组线圈，线圈A 与电源相接，线圈B与电表相连，将一铁棒E插入线圈A时，
问两线圈中的电流会怎样变化？（分析整个过程，用文字简 述回答）
解： 不变，铁棒E插入线圈A时，线圈A中磁通增
加，感应电流阻碍磁通的增加，与原传导电流
圈中通有电流I ，由通过螺线环截面的磁通量 0 NIh
⑴ 求螺线环外内直径之比，D2 D1
2
⑵ 若ｈ＝0.0 1ｍ,N= 100匝，求螺线环的自感系数，
⑶ 若线圈通以交变电流 i I0 cos t （I 0, 为常数），
求环内感应电动势。
D2
解：⑴ 取半径为r的圆为闭合回路，
D1
由环 路定 理
14
*10-13 如图所示，长直导线AB中的电流I沿导线向上，并以
dI dt 2 A S 的速度均匀增长，在导线附近放一个与之同
面的直角三角形线框，其一边与导线平行，求此线框中产生的
感应电动势的大小和方向。
解： 斜边方程为 y 0.3 2x
By
dS ydx (0.3 2x)dx
B 0I 2x
感应电动势 ，并说明线圈中的感应电流方向？
解： 无限长直导线外一点的 B 0 I
2r
线圈内 B1 B2
以 为正方向
I
1
Id
2
取一宽dy 的窄条，与导线相距y
B
B2
B1
0I 2
(1 y
d
1
) y
d m B dS Bddy
m
dm
d2d
0I 2
(
1 y
d
1
)ddy y
0 Id
(ln2 ln
∴ 螺线环 B 0 NI
2r
s B dS
r2
r1
0 NI 2r
h
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0 NIh ln D2 0 NIh ln D2 1
2
D1
2
D1
∴ D2 e
D 12 1
（2）L Nn 0 N 2h
II
2
4 107 104 102 2 105 H 2
（3） 感
L di dt
L( I0
sint )
I0 L sint
0 N 2hI 0 sint 2
13
10-12 在半径为R 的圆柱形体积内,充满磁感应强度 B 的均匀
磁场，有一长度为L的金属棒放在磁场中, 如图所示，设磁场
在增加,并且dB dt 已知，求棒中的感应电动势, 并指出哪端电
势高。
2I 2r
2I 2 8 2r 2
Wm
V
wmdv
R2 R1
2I 2 8 2r 2
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dr
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ln
R2 R1
1
2
I
1
I
I
16
*磁 为10感z -轴1应5方三强向角度单形为位闭B矢合量导B，线0求x，2导如ye线图a中放t kˆ的置感，，生在式电这中动三B势角和。形a区是域常中量的，kˆ
导轨，ab和cd为垂直于导轨并可在其上自由滑动的
两根直裸导线，外磁场均匀向上。当外力使ab向右
平移时，cd
[B]
A) 不动
B) 向右移动 C) 转动 D）向左移动
M
d
B
b
N
c
a
5
10-6 如图所示，均匀磁场被限制在半径为R的无限长圆柱空间
内，其变化率为正的常数，在圆柱形外，距轴线为r的P点处置
一电子，求它的加速度。
I 0内
I
(r 2 R22 ) (R32 R22 )
I
( R32 r 2 ) ( R32 R22 )
I
H
I (R32 r 2 )
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B
1I(R32 r 2 ) 2r(R32 R22 )
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(2)
wm
1 2
BH
I
2r
为： m BS
B
vtlB0 sint c b
dm d vtlB0 sint
dt
dt
(B0lvt cos t B0lv sint )
B0lv(t cos t sint )
方向随时间变化 1
10-2 由导线弯成的宽为a高为b的矩形线圈，以不变的速率v平行于 其宽度方向从无磁场空间垂直于边界进入一宽度为3a的均匀磁场中， 线圈平面与磁场方向垂直（如图10—2），然后又从磁场中出来， 继续在无磁场的空间运动，试在附图中画出感应电流I与时间的函 数关系曲线，线圈的电阻的R，取线圈刚进入磁场时感应电流的方 向为正（忽略线圈自感）。
10-1 如图10—1所示，长为l 的导线杆ab以速率v在导线导轨 adcb上平行移动，杆ab在t=0时，位于导轨dc处。如果导轨处
于磁感应强度为B=B0 sint（B0、为常数）的均匀磁场中， B 垂直纸面向里，则t时刻导线回路中的感应电动势是怎样的？
d a
解：取回路方向顺时针， t 时刻导线回路中的磁通
d
(
B
)//d0RrBrd沿r径向12向B外R
2
盘边电势高于盘心
3
)
(
B
)
//
dr
沿径向向内
盘心电势高于盘边
r dr
7
10-8 两根平行无限长直导线相距为ｄ，载有大小相等方向相反
的电流I ，电流变化率 dI dt 270 ，一个边长为d的正方形线
圈位于导线平面内与一根导线相距d（如图所示），求线圈中的
解：
L E感 dl E感 2r
L顺时针方向
dm dB R2
dt
dt
R2 dB E感 2r dt
而 eE感 ma
B
R
e
eR2 dB
a m E感 2mr dt
P
a 顺时针方向
6
竖10直-7向(教上材的P匀32强6例磁)场如B图中所以示角，速一度半径绕为通R的过水盘平心导的轴体转圆动盘，，在圆
解：连接 oa、ob，形成一闭合回路
i
E涡
dl
E涡 dl E涡 dl E涡 dl
oa
=0 ab
bo
=0
O
O
dm
dt
E涡
∴ i E涡 dl
ab
半径
ab
d
a
m
dt
L
b
m
BS
B
L 2
R2 (L2)2
ab
L 2
R2
(L 2)2
dB dt
由a b, b端电势高。或由楞次定律判断
3)
0 Id
4 ln
2
2 2 3
y
d
dy
L
d
dm 0d ln 4 dI dt 2 3 dt
1.55d 105
I与L反向，为顺时8 针
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
Fe
eE感
mae
ae
eE感 m
er 2m
dB dt
4.4107 m / s2
a e 沿逆时10针
10-10 如图所示，铜棒AC在与垂直于纸面向里的磁场垂直的 平面内，以角速度ω转动，求AC棒上总的感应电动势
解：
AO
OAd
OC COd
2
03
l
(v
B)
dr
1
03
l
(v
B) dr
解： 斜线方程为 y b x
y
取面元 ds dxdy 取回 路逆 时针方向
dm B dS Bdxdy
b
d
s
dy
L
m B0 x2 yeatdxdy
O
B0e at
b x 2dx
0
b x
ydy
0
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bx
1 2
B0e at
0b x2 (b
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1 60
B0b5e at
dm
取回路为顺时针方向
I
x
dx
m
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0.15
0.05
0I 2x
(0.3 2x)dx
y L
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2
A
x
dm 2.6 108 dI 5.2 108V
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逆时针方向
15
R1 r R2时， I0内 I
H I
2r
B2
2I 2r
R2
r
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1
03
l
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03
l
Brdr
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18
wenku.baidu.com
Bl
2 9
2
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v
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AC
AO
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2 Bl 2 1 Bl 2
9
18
1 Bl 2
1dl r
O
3
Cv
6
AC 由A指向C
（即：C点电势高）
11
10-11 矩形载面螺线环（尺寸如图）上绕有Ｎ匝线圈，若线
（ me 9.11031 kg , e 1.6 1019 c ）
解: 磁场分布均匀 ∴感生电场具涡旋性， 为一系列同轴圆环.
作半径为r 的同轴圆形环路，取顺时 针为正，则
R
E 感
r
a e
A
L
E感
dl
dm
dt
E感
2r
dB dt
r
2
E感
r 2
dB dt
dB dt
0, E感沿顺时针
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
10-9 如图所示，半径为R的圆柱形空间内有一均匀磁场 B ,以
每秒 102 的速率减小，在该磁场空间中，离轴线O为r=5cm处 的A点有一电子，求：电子在A点的加速度？
dt
1 60
B0b5
de at dt
1 60
B0ab5e
at
沿逆时针方17向
10-16 如图所示，一长直导线通有电流I，与其相距为d处
有一N匝矩形线圈，线圈以速度v沿垂直与长直导线方向向
右移动时，线圈中的动生电动势是多少？ 解：取顺时针方向为回路的绕行方向，先
x dx
求回路在t 时刻的磁通：
B 0I
反向，因此 I A ，后恢复原状
线圈B中磁通的变化产生感应电流
IB
（0
I
）
B
c
A
d, 后恢复原状 3
10-4 如图所示，将 L2 线路放入 L1 时，请判断小线圈
上感应电流方向？以及电阻R上哪端的电势高？
B
B
B0 B0
I
R上左端电势高。
4
10-5 如图所示，M、N为两根水平放置的平行金属
盘的轴线与磁场 B 平行， 1) 盘边与盘心间的电势差；2) 盘边
和盘心的电势哪个高；3）当盘反转时，它们的电势高低如何？
答：１）盘边与盘心间的电势差就是盘上沿半径方向的感应电 动势，可以认为它是沿任意半径的一导体杆在磁场中绕一端转
动d的 结果(，而半B径)上 d线r元dr将B产生dr Brdr
2)
Il
v
2x
x0
d x0 b 0 I ldx 0 I ln x0 b
x0 2x
2
x0
d
b
感生电动势为：
N d N 0 Ilb dx0 N 0 Ilb v
dt
2x0 ( x0 b) dt
2x0 ( x0 b)
x0
d时，
N
0 Ilb v 2d(d b)
18
b
v
a
3a
解：以刚进入磁场的 时刻为计时起点。
2
10-3 如图所示，在塑料筒上分别绕有A、B两组线圈，线圈A 与电源相接，线圈B与电表相连，将一铁棒E插入线圈A时，
问两线圈中的电流会怎样变化？（分析整个过程，用文字简 述回答）
解： 不变，铁棒E插入线圈A时，线圈A中磁通增
加，感应电流阻碍磁通的增加，与原传导电流
圈中通有电流I ，由通过螺线环截面的磁通量 0 NIh
⑴ 求螺线环外内直径之比，D2 D1
2
⑵ 若ｈ＝0.0 1ｍ,N= 100匝，求螺线环的自感系数，
⑶ 若线圈通以交变电流 i I0 cos t （I 0, 为常数），
求环内感应电动势。
D2
解：⑴ 取半径为r的圆为闭合回路，
D1
由环 路定 理
14
*10-13 如图所示，长直导线AB中的电流I沿导线向上，并以
dI dt 2 A S 的速度均匀增长，在导线附近放一个与之同
面的直角三角形线框，其一边与导线平行，求此线框中产生的
感应电动势的大小和方向。
解： 斜边方程为 y 0.3 2x
By
dS ydx (0.3 2x)dx
B 0I 2x
感应电动势 ，并说明线圈中的感应电流方向？
解： 无限长直导线外一点的 B 0 I
2r
线圈内 B1 B2
以 为正方向
I
1
Id
2
取一宽dy 的窄条，与导线相距y
B
B2
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(1 y
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1
) y
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