{高中试卷}高一数学同步测试()—数列的求和[仅供参考]
高三数学数列求和试题答案及解析
高三数学数列求和试题答案及解析1.数列{an }满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝a m＋a n＋mn，则＋＋＋…＋＝()A．B．C．D．【答案】B【解析】令m＝1得an＋1＝a n＋n＋1，即an＋1－a n＝n＋1，于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)，上述n－1个式子相加得an －a1＝2＋3＋…＋n，所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，当n＝1时，a1＝1满足上式，所以an＝ (n∈N*)，因此＝＝2(－)，所以＋＋＋…＋＝2(1－＋－＋…＋－)＝2(1－)＝2.函数f(x)对任意x∈R都有. （1）求和(n∈N*)的值；（2）数列{an }满足：，求an；（3）令，，，试比较Tn 和Sn的大小。
【答案】（1），；（2）；（3）.【解析】（1）由于函数f(x)对任意x∈R都有，则令可求的；再令求出；（2）利用倒序相加结合（1）的结论可求出；（3）由及第（2）问的结论求出，用放缩法变形（），用裂项相消法求，再与比较大小.（1）令=2，则；令得，（4分）（2）由，两式相加得：，∴，（8分）（3），(n≥2)∴.（12分）【考点】倒序相加、裂项相消法求数列的前项和.3.对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则．【答案】【解析】因为，所以即因此数列任意相邻两项和为因为，因此所以或，又由.【考点】数列求和4.已知函数，且，则()A．0B．100C．5050D．10200【答案】C【解析】因为，所以，选C.5.已知等差数列的前项和为，且、成等比数列.（1）求、的值；（2）若数列满足，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）解法1是先令求出的表达式，然后令，得到计算出在的表达式，利用为等差数列得到满足通式，从而求出的值，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；解法2是在数列是等差数列的前提下，设其公差为，利用公式以及对应系数相等的特点得到、和、之间的等量关系，然后利用条件、成等比数列列方程求出的值，从而求出、的值；（2）解法1是在（1）的前提下求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求数列的和；解法2是利用导数以及函数和的导数运算法则，将数列的前项和视为函数列的前项和在处的导数值，从而求出.试题解析：（1）解法1：当时，，当时，.是等差数列，，得.又，，，、、成等比数列，，即，解得.解法2：设等差数列的公差为，则.，，，.，，.、、成等比数列，，即，解得.；（2）解法1：由（1）得.，.，①，②①②得. .解法2：由（1）得.，.，①由，两边对取导数得，.令，得. .【考点】1.定义法求通项；2.错位相减法求和；3.逐项求导6.数列{an }满足an+1＋(－1)n an＝2n－1，则{an}的前60项和为____________.【答案】1830【解析】当时，；当时，；当时，.将与相减得：；将与相减得：.所以，，所以.【考点】数列.7.在数列{an }中,若对任意的n均有an+an+1+an+2为定值(n∈N*),且a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{an}的前100项的和S100=.【答案】299【解析】设定值为M,则an +an+1+an+2=M,进而an+1+an+2+an+3=M,后式减去前式得an+3=an,即数列{an}是以3为周期的数列.由a7=2,可知a1=a4=a7=…=a100=2,共34项,其和为68;由a9=3,可得a 3=a6=…=a99=3,共33项,其和为99;由a98=4,可得a2=a5=…=a98=4,共33项,其和为132.故数列{an}的前100项的和S100=68+99+132=299.8.．己知数列满足，则数列的前2016项的和的值是___________．【答案】1017072【解析】这个数列既不是等差数列也不是等比数列，因此我们要研究数列的各项之间有什么关系，与它们的和有什么联系？把已知条件具体化，有，，，，…，，，我们的目的是求，因此我们从上面2015个等式中寻找各项的和，可能首先想到把出现“＋”的式子相加（即为偶数的式子相加），将会得到，好像离目标很近了，但少，而与分布在首尾两个式子中，那么能否把首尾两个式子相减呢？相减后得到，为了求，我们又不得不求，依次下去，发现此路可能较复杂或者就行不通，重新寻找思路，从头开始我们有，即，而，∴，因此，我们由开始的三个等式求出了，是不是还可用这种方法求出呢？下面舍去，考察，，，同样方法处理，，从而，于是，而，正好504组，看来此法可行，由此我们可得．【考点】分组求和．9.阅读如图程序框图，若输入的，则输出的结果是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，不成立，执行第一次循环，，；不成立，执行第二次循环，，；不成立，执行第三次循环，，；；不成立，执行第一百次循环，，；成立，输出，故选A.【考点】1.数列求和；2.算法与程序框图10.已知数列的各项都是正数，前项和是，且点在函数的图像上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。
高一数学同步数列求和
数列求和一、选择题1．(2010·改编题)数列{a n }满足a n ＝1－a n －1(n ∈N，n >1)，且a 2＝2，S n 是{a n }的前n 项和，则S 2 011＝( )A ．1 002B ．1 003C ．1 004D ．1 005 解析：由a n ＝1－a n －1得a n －1＋a n ＝1，a 1＝1－a 2＝－1， S 2 011＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 2 008＋a 2 009)＋(2 010＋2 011)＝－1＋1 005＝1 004.答案：C2．数列112，214，318，4116，…的前n 项和为( ) A.12(n 2＋n ＋2)－12n B.12n (n ＋1)＋1－12n －1 C.12(n 2－n ＋2)－12n D.12n (n ＋1)＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 解析：∵a n ＝n ＋12n ， ∴S n ＝112＋214＋…＋n 12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n ， ∴S n ＝n (1＋n )2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝12n (n ＋1)＋1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12n . 答案：A3．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项的和为10，则项数为( )A ．11B ．99C ．120D ．121解析：∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝n ＋1－1＝10，∴n ＝120.答案：C4．(2009·安徽铜陵模拟) 数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋3＋…＋n 的前n 项和S n 等于( )A.3n －1n ＋1B.2n n ＋1C.3n n ＋1D.4n n ＋3解析：a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以 S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 答案：B二、填空题5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(3n －2)，则前100项之和S 100等于________．解析：并项求和 a 1＋a 2＝a 3＋a 4＝a 5＋a 6＝…＝a 99＋a 100＝－3∴S 100＝－3×50＝－150.答案：－1506．数列5,55,555，…的前n 项和为________．解析：a n ＝＝59(10n －1)， ∴S n ＝59(10＋102＋…＋10n －n )＝59⎝ ⎛⎭⎪⎫10－10n ＋11－10－n ＝581(10n ＋1－10)－59n ＝5081(10n －1)－59n . 答案：5081(10n －1)－59n 7．已知f (x )＝4x 4x ＋2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝________. 解析：因为f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋41－x 41－x ＋2＝4x 4x ＋2＋44＋2·4x ＝4x4x ＋2＋22＋4x ＝1. 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫911＝…＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫511＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫611＝1. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＝5. 答案：5三、解答题8．已知等差数列{a n }，a 2＝9，a 5＝21.(1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝9a 1＋4d ＝21.解得a 1＝5，d ＝4，所以{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋1.(2)由a n ＝4n ＋1，得b n ＝24n ＋1， 所以{b n }是首项为b 1＝25，公比q ＝24的等比数列．于是得{b n }的前n 项和S n ＝25×(24n －1)24－1＝32×(24n －1)15. 9．(2009·海南三亚模拟)已知数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a 100－1的值． 解：(1)当n ≥2时，由a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ＝n 3，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)3，两式相减，得a n ＝3n 2－3n ＋1，n ＝2,3,4，… 当n ＝1时，有a 1＝13＝1，满足上述公式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－3n ＋1.(2)∵1a n －1＝13n (n －1)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，n ＝2,3,4… ∴1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a 100－1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫199－1100 ＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－1100＝33100. 10．(2010·广东惠州调研)等差数列{a n }前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N *，点(n ，S n )在二次函数f (x )＝x 2＋c 的图象上．(1)求c ，a n ；(2)若k n ＝a n2n ，求数列{k n }前n 项和T n . 解：(1)点(n ，S n )在二次函数f (x )＝x 2＋c 的图象上， ∴S n ＝n 2＋c ，a 1＝S 1＝1＋c ，a 2＝S 2－S 1＝(4＋c )－(1＋c )＝3.a 3＝S 3－S 2＝5，又∵{a n }为等差数列， ∴6＋c ＝6，∴c ＝0，d ＝3－1＝2，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)k n ＝2n －12n ， T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －32n －1＋2n －12n ① 12T n ＝122＋323＋524＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1② ①－②得：12T n ＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋123＋124＋…＋12n －2n －12n ＋1 ＝12＋2×－2n －12n ＋1＝32－2n ＋32n ＋1 ∴T n ＝3－2n ＋32n . 1．(2010·创新题)有限数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和，若把S 1＋S 2＋…＋S n n 称为数列{a n }的“优化和”，现有一个共2 009项的数列：a 1，a 2，a 3，…，a 2 009，若其“优化和”为2 010，则有2 010项的数列：1，a 1，a 2，a 3，…，a 2 009的优化和为________． 解析：依题意，S 1＋S 2＋…＋S 2 0092 009＝2 010，∴S 1＋S 2＋…＋S 2 009＝2 009×2 010.又数列1，a 1，a 2，…，a 2 009相当于在数列a 1，a 2，…，a 2 009前加一项1，∴其优化和为1＋(S 1＋1)＋(S 2＋1)＋…＋(S 2 009＋1)2 010＝2 009×2 010＋2 0102 010＝2 010. 答案：2 0102．(★★★★)S n ＝1－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝________. 解析：当n 是偶数时： S n ＝(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n －1)2－n 2]＝－(1＋2＋3＋4＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.当n 是奇数时： S n ＝12＋(－22＋32)＋(－42＋52)＋…＋[－(n －1)2＋n 2]＝1＋2＋3＋4＋5＋…＋n ＝n (n ＋1)2，或S n ＝S n －1＋(－1)n －1·n 2＝S n －1＋n 2 ＝－(n －1)n 2＋n 2＝n (n ＋1)2. 综上，S n ＝(－1)n －1·n (n ＋1)2. 答案：(－1)n －1·n (n ＋1)2。
高一数学数列求和试题
高一数学数列求和试题1.数列的通项公式，其前n项和为Sn ，则S2012等于（）A．1006B．2012C．503D．0【答案】C【解析】因为，所以S2012===503. 故选C.【考点】数列的分组求和.2.已知函数f(x)＝x a的图象过点(4,2)，令an ＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 013＝( )A．－1B．－1C．－1D．＋1【答案】C【解析】由函数f(x)＝x a的图象过点(4,2)得:,从而;,从而,故选C.【考点】数列求和.3.已知数列的前项和为,则数列的前10项和为（）A．56B．58C．62D．60【答案】D【解析】当时，，当时，，则前10项依次为所以数列的前10项和为60.【考点】数列的通项公式与求和.4.已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若,求数列的前n项和.【答案】（1），（2）【解析】（1）求等差数列通项，通法是待定系数法. 由，及解得,代入等差数列通项公式得：，（2）求数列前n项和，需分析通项公式的结构.因为，为指数型，其和可利用等比数列前n项和公式因此当=1时，数列的前n项和，当时，，.综上，试题解析：解：（1）设公差为d，由，且成等比数列得：因为公差不为零，解得, 5分7分（2）由（1）知，所以当=1时，数列的前n项和 9分当时，令，则. 10分所以 13分故为等比数列,所以的前n项和.综上， 16分【考点】等差数列通项，等比数列前n项和公式5.已知数列{an }的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k＝( )．A．9B．8C．7D．6【答案】B【解析】根据题意，由于数列{an }的前n项和Sn＝n2－9n，可知公比为2，首项n=1时，为-8，则第k项满足，那么5＜ak＜8，解得k＝8，故答案为B。
【考点】数列的前n项和点评：主要是考查了等差数列的前n项和的运用，以及通项公式的表示，属于基础题。
高一数学数列求和试题答案及解析
高一数学数列求和试题答案及解析1.数列的通项公式，它的前n项和为，则_________．【答案】99【解析】,可得前n项和，所以，则.【考点】数列的求和.2.等比数列的前项和为4,前项和为12,则它的前项和是A．28B．48C．36D．52【答案】A【解析】由等比数列的性质“成等比数列”可得；成等比数列，.【考点】等比数列的前项和3.已知数列的前项和为，则的值是( ) A．B．73C．D．15【答案】C．【解析】∵，∴，，∴．【考点】数列求和．4.等比数列中，已知．（1）求数列的通项公式及前项和．（2）记,求的前项和．【答案】（1）数列的通项公式为，前项和．（2）的前项和．【解析】（1）按照等比数列的定义即可求数列的通项公式及前n项和．（2）根据（1）结果先求出，再用裂项相消法求的前n项和即可．（1）设等比数列的公比为，∵∴由得∴ 2分∴∴数列的通项公式为 4分6分（2）依题意，由（1）知 8分， 10分由裂项相消法得 12分【考点】数列求通项公式、求和的方法．5.定义为个正数的“均倒数”．若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则=( )A．B．C．D．【答案】C【解析】设数列{}的前n项和为，则由题意可得，∴，，∴，∴．【考点】数列的通项公式，数列求和．6.设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记.（1）（1）求数列与数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由．（3）记，设数列的前项和为，求证：对于都有【答案】(1)；(2)不存在，见解析；（3）见解析.【解析】（1）根据题中给的an =5Sn+1，继而可得an-1=5sn-1+1，两式子相减得，an-an-1=5an，因此,因而可得出an ，bn的通项公式;（2）根据bn的通项公式，算出的前n项和为Rn，再计算出是否存在正整数k;（3）根据bn 的通项公式，计算出cn的通项公式，再比较Tn与的大小.（1）当时，,又,,∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴，（2）不存在正整数，使得成立。
高中数学必修5数列求和精选题目(附答案)
高中数学必修5数列求和精选题目（附答案）1．公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d2. 推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解．一、分组转化法求和1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 注：1．分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n 项和的数列求和．2．分组转化法求和的常见类型2.．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，则其前20项和为( )A ．379＋1220 B ．399＋1220 C ．419＋1220D ．439＋12203．(2019·资阳诊断)已知数列{a n }中，a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝⎩⎨⎧a n ＋2，n 是奇数，2a n ，n 是偶数，则数列{a n }的前20项和为( )A ．1 121B ．1 122C ．1 123D ．1 124二、裂项相消法求和(一) 形如a n ＝1n (n ＋k )型4.(2019·南宁摸底联考)已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26. (1)求等差数列{a n }的通项公式； (2)设c n ＝1a n a n ＋1，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和T n . (二) 形如a n ＝1n ＋k ＋n型5.已知函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 019＝( )A. 2 018－1B. 2 019－1C. 2 020－1D. 2 020＋1注：1．用裂项法求和的裂项原则及消项规律注意留下了哪些项，避免遗漏．2．常见的拆项公式 (1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ；(4)2n (2n －1)(2n ＋1－1)＝12n －1－12n ＋1－1. 6.在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝6，a 11＝8，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ＋3·a n ＋4的前n 项和为( )A.n ＋1n ＋2 B.n n ＋2 C.n n ＋1D.2nn ＋17.各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝8，且2a 1，a 3,3a 2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1n log 2a n，求{b n }的前n 项和S n .三、错位相减法求和8.(2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n .9.(变结论)若本例中a n ，b n 不变，求数列{a n b n }的前n 项和T n .10．已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *)． 注： 错位相减法求和的4个步骤[易误提醒](1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n －1项和当作n 项和． (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q ＝1和q ≠1两种情况求解．巩固练习：1．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n －1，若该数列的前k 项之和等于9，则k ＝( )A ．80B ．81C ．79D ．822．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－153．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5B.3116或5C.3116D.1584．在等差数列{a n }中，a 4＝5，a 7＝11.设b n ＝(－1)n ·a n ，则数列{b n }的前100项之和S 100＝( )A ．－200B ．－100C ．200D ．1005．已知T n 为数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2n ＋12n 的前n 项和，若m >T 10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为( )A ．1 026B ．1 025C ．1 024D ．1 0236．已知数列：112，214，318，…，⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12n ，…，则其前n 项和关于n 的表达式为________．7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 018＝________. 8．(2019·成都第一次诊断性检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝3，S 4＝16，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 9．(2018·南昌摸底调研)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，记b n ＝a n S n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和T n 。
高中数学专题练习---数列求和最终版.doc
（2） ，
∴ ，
∴ ，而 是单调递减的，∴ ，
而 ，∴不存在 ，使得 成立.
4．（1） （2）
试题解析：（1）当 时， ，
当 时， ， ，
∴ ，即
∴ .
（2） ，∴ ， ，
∴ ，
即 ，解得 .
5．（1）由已知有 ，解得 ，故 ，
于是 ，即 ．
因此数列 是首项为3，公比为2的等比数列．
课间辅导---数列求和
1．（1） ；（2） .
试题解析：（1） ，即 ，化简得 或 .
当 时， ，得 或 ，
∴ ，即 ；
当 时，由 ，得 ，即有 .
（2）由题意可知 ，
∴ ①
②，
①-②得： ，
∴ .
考点：1.等差数列的综合；2.等比数列的综合；3.错位相减法的运用.
2．（1）证明见解析， ；（2） ．
；（2）由（1）知，
．
8．（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．
试题解析：（I）设等比数列的公比为 ，由题意知 ，且 ，
∴ ，解得 ，故 ．………………5分
（II）由（I）得 ，所以 ．………………6分
∴ ，………………8分
故数列 的前 项和为
．………………12分
9．（1）证明见解析；（2）① ；② ，且 ．
（1）由已知， ，即 ，
课间辅导---数列求和
1．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 的公差不为 ，数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
2．设数列 的前 项和为 ，若对于任意的正整数 都有 .
（1）设 ，求证：数列 是等比数列，并求出 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
高一数学数列试题答案及解析
高一数学数列试题答案及解析1.已知数列中，其前项和满足：（1）试求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】（1）先利用化简关系式得：再利用叠加得，又，所以.经验证和也满足该式，故（2）因为数列通项是一个等比加一个等差，所以用“分组求和法”求和，即.试题解析：（1）即这个式子相加得，又所以. 经验证和也满足该式，故（2）用分组求和的方法可得【考点】由求，叠加法求，分组求数列和.2.已知数列的首项，且，则为（）A．7B．15C．30D．31【答案】D【解析】由两边同加1，可得，，则是以2为首项，以2 为公比的等比数列.则，所以，.【考点】构造法求数列的通项公式.3.已知数列是等比数列，且则【答案】1【解析】略}中的项组成一个新数列, ,4.由公差的等差数列{an，…,则下列说法正确的是K^S*5U.CA．该数列不是等差数列B．该数列是公差为的等差数列C．该数列是公差为的等差数列D．该数列是公差为的等差数列【答案】C【解析】略5.△ABC的三个内角A、B、C的对边的长分别为a、b、c，有下列两个条件：（1）a、b、c成等差数列；（2）a、b、c成等比数列，现给出三个结论：（1）；（2）；（3）。
请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并证明之。
（I）组建的命题为：已知_______________________________________________求证：①__________________________________________②__________________________________________（II）证明：【答案】略【解析】可以组建命题一：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（1）0＜B≤（2）；命题二：△ABC中，若a、b、c成等差数列求证：（1）0＜B≤（2）1＜≤命题三：△ABC中，若a、b、c成等差数列，求证：（1）（2）1＜≤命题四：△ABC中，若a、b、c成等比数列，求证：（1）0＜B≤（2）1＜≤下面给出命题一、二、三的证明：（1）∵a、b、c成等差数列∴2b=a+c，∴b=≥且B∈（0，π），∴0＜B≤（2）（3）∵0＜B≤∴∴∴下面给出命题四的证明：（4）∵a、b、c成等比数列∴b2=a+c，且B∈（0，π），∴0＜B≤6.（本小题满分12分）已知数列为等差数列，为其前项和，且（）．（1）求，；（2）若，，（）是等比数列的前三项，设，求．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，，利用等式求出首项，第二步，令，，求出第二项，因为是等差数列，所以，代入等差数列的通项公式，然后再代入题设中所给的等式，求和；（2）按等差设，将，，三项设出，然后，求出，同时得到等比数列中的，然后再求公比，最后求出等比数列的通项，求和，按照错位相减法求和．试题解析：（1）．，又，故；又，故，得；等差数列的公差．．所以，．（2）由已知有，故，即．解得，或，又，故．等比数列的公比为，首项为．所以．所以．．．． 12分．．．【考点】1．等差数列；2．等比数列；3．错位相减法求和．7.在等比数列{an }中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3为（）A．4B．C．D．2【答案】A【解析】根据等比数列的性质，，代入数据解得．【考点】等比数列的性质8.设an ＝－n2＋10n＋11，则数列{an}前n项的和最大时n的值为（）A．10B．11C．10或11D．12【答案】C【解析】，，所以当，时，，当时，，所以前非负数项的和最大，即，或．【考点】1．数列的定义；2．数列的和的最大值．9.若数列的前n项和为，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】此题是已知求通项，当时，，当时，，验证：当时，成立，所以．【考点】已知求10.（本题12分）已知数列的前n项和为满足：．（1）求证：数列是等比数列；（2）令，对任意，是否存在正整数m，使都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）【解析】（1）已知，求，利用公式，得到关于数列的递推公式，，，然后列式等于常数，所以是等比数列；（2）第一步，先计算，同时求和，得到的通项公式，第二步，计算，并且根据裂项相消法得到数列的和，和是，第三步，当恒成立，等价于，并且．试题解析：（1）当时，，解得， 1分当时，由得， 2分两式相减，得，即（）， 3分则，故数列是以为首项，公比为3的等比数列．（2）由（1）知，，所以，则，由对任意都成立，得，即对任意都成立，又，所以m的值为1，2，3．【考点】1．已知求；2．等比数列的定义；3．裂项相消法求和；4．等差数列；5．数列的最值．11.等差数列中，已知，，，求n．【答案】【解析】本题主要考察等差数列的性质，在本题中，给出了两个不连续的数和前n项和，让我们求n，首先需要根据不连续的两个数值，列出有关第一项和公差的方程组，解出第一项和公差，再运用等差数列的前n项和公式联系本题所给条件，解出n的数值，即为本题答案。
高三数学数列求和试题答案及解析
高三数学数列求和试题答案及解析1.已知数列{an }满足a1＝1，a2＝－2，an＋2＝－，则该数列前26项的和为________．【答案】－10【解析】由于a1＝1， a2＝－2，an＋2＝－，所以a3＝－1，a4＝，a5＝1，a6＝－2，…，所以{an}是周期为4的数列，故S26＝6×＋1－2＝－10.2.已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，集合，(1)当时，用列举法表示集合A；(2)设其中证明：若则.【答案】(1) ， (2) 详见解析.【解析】(1)本题实质是具体理解新定义，当时，，，再分别对取得到 (2)证明大小不等式，一般利用作差法.,根据新定义：，所以，即.解：当时，，，可得，证明：由及可得所以.【考点】新定义，作差证明不等式，等比数列求和3.已知数列{an }的前n项和为Sn，对任意的n∈N*有Sn＝an－，且1<Sk<12，则k的值为()A．2B．2或4C．3或4D．6【答案】B【解析】本题考查等比数列的前n项和，考查考生对数列知识的综合运用能力，属于中档题．首先要根据Sn ＝an－，推出数列{an}是等比数列并求出其通项公式，然后用前n项和公式表达出Sn，再对选项中k的值逐一进行验证．∵a1＝a1－，∴a1＝－2.∵an＋1＝S n＋1－S n＝(a n＋1－a n)，∴a n＋1＝－2a n，数列{a n}是以－2为首项，－2为公比的等比数列，∴an ＝(－2)n，Sn＝(－2)n－.逐一检验即可知k＝4或2.4.设数列{an }的前n项和为Sn，点(n，)(n∈N*)均在函数y＝x＋的图象上，则a2014＝()A．2014B．2013C．1012D．1011【答案】A【解析】由题意得＝n＋，即Sn ＝n2＋n，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－[ (n－1)2＋ (n－1)]＝n；当n＝1时，a1＝S1＝1.∴an＝n，故a2014＝2014，选A.5.对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则．【答案】【解析】因为，所以即因此数列任意相邻两项和为因为，因此所以或，又由.【考点】数列求和6.已知数列{an }中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}前n项的和，则S2 013＝________.【答案】－1 005【解析】由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得该数列是周期为4的数列，且a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0.所以S2 013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 013＝503×(－2)＋1＝－1 005.7.数列的通项，其前n项和为．（1）求；（2）求数列｛｝的前n项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）化简通项公式为，考虑到的值是周期性出现的，而且周期是3，故将数列三项并为一组为+++……+分别求和，进而求；（2）求，观察其特征选择相应的求和方法，通常求数列前n项和的方法有①裂项相消法，在求和过程中相互抵消的办法；②错位相减法，通项公式是等差数列乘以等比数列的形式；③分组求和法，将数列求和问题转化为等差数列求和或者等比数列求和问题；④奇偶并项求和法，考虑数列相邻两项或者相邻几项的特征，进而求和的方法,该题利用错位相减法求和. 试题解析：(1) 由于，,∴；(2)两式相减得：【考点】1、三角函数的周期性；2、数列求和；3、余弦的二倍角公式.8.已知数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）令，数列{bn }的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小，并予以证明.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由于数列的递推式的结构为，在求数列的通项的时候可以利用累加法来求数列的通项公式；（2）先求出数列的通项公式，根据其通项结构选择错位相减法求出数列的前项和，在比较与的大小时，一般利用作差法，通过差的正负确定与的大小，在确定差的正负时，可以利用数学归纳法结合二项式定理进行放缩来达到证明不等式的目的.试题解析：（1）当时，.又也适合上式，所以.（2）由（1）得，所以.因为①，所以②.由①－②得，，所以.因为，所以确定与的大小关系等价于比较与的大小.当时，；当时，；当时，；当时，；……，可猜想当时，.证明如下：当时，.综上所述，当或时，；当时，.【考点】累加法、错位相减法、二项式定理9.已知，点在函数的图象上，其中（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）证明详见解析; ；（2）【解析】(1)把点（an ，an+1）代入f(x)=x2+2x中，整理可得递推公式an+1+1=(an+1)2，两边取常用对数，整理可证是公比为2，a1=2的等比数列，然后由数列的通项公式可推出数列{an}的通项公式.（2）由已知递推公式an+1=an2+2an变形整理得，代入中，整理可得最后利用裂项法求数列的前n项和Sn.试题解析：(Ⅰ)由已知,,两边取对数得,即是公比为2的等比数列.(*)由(*)式得(2)又.【考点】1.数列的递推公式及等比数列的定义和通项公式；2.求数列的前n项和.10.设数列满足，,且对任意，函数满足(Ⅰ)求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前项和.【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）【解析】由所以，是等差数列.而（2）第（1）题，通过求导以及，能够判断出是等差数列是等差数列，由第（1）题的结论能够写出的通项公式，根据的特征，选择求和的方法，利用分组求和的方法即可求出.【考点】考查函数的求导法则和求导公式，等差、等比数列的性质和数列基本量的求解.并考查逻辑推理能力和运算能力.11.已知数列的各项都是正数，前项和是，且点在函数的图像上．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。
人教A版数学高三数列求和精选试卷练习(含答案)5
（2）已知数列
bn
的前 n
项和
Mn
3n 1 2
， cn
anbn
，求数列{cn}，的前 n 项和 Tn
.
22．已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn＝2n2＋kn＋k，
15．已知数列{an} 的前 n
项和为
Sn
，
Sn
3an 2
3 n
N
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）若数列{bn}满足 an bn log3 a4n1 ，记 Tn b1 b2 b3 bn ，求证：
Tn
7 2
n
N .
16．已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 2Sn 3an 3n N .
（1）求数列an 的通项公式;
（2）设 bn
1 an an 1
，求数列{bn}的前 n 项和.
37．已知各项均为正数的数列 {an }
的前
n
项和为
Sn
，且满足
Sn
2n
1 2n Sn
(n N )
.
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）令 bn
an1 Sn Sn1
，若数列{bn} 的前
n
项和为 Tn
（1）求数列an 的通项公式；
试卷第 1页，总 8页
（2）设 bn
log2
an2
，求数列
1 bnbn1
的前
n
项和 Tn
.
7．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S9=81，a3+a5=14．
高一数学同步测试—数列的求和
高一数学同步测试—数列的求和高一数学同步测试（14）—数列的求和一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内. 1．设等差数列{}n a 的前三项为5，247，437，其第n 项到第6n +项的和为T ，则当T 最小时n 应等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．32．数列{}n a 中，a 1=－60，且a n +1 =a n + 3，则那个数列的前30项的绝对值之和为（ ） A ．495 B ．765 C ．3105 D ．1203．化简S n = n +(n －1)×2+(n －2)×2 2+……+2×2 n －2+2n －1的结果是 （ ） A ．2 n +1+2－n －2 B ．2n +1－n +2 C ．2 n －n －2 D ．2n +1－n －24、在项数为21n +的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和之比为 （ ） A ．1n n + B ．12n n + C ．21n n+ D ．1 5．等比数列前n 项和为n S ，已知()21321123103,8,n n S a a a a a a a -=+++==则（ ）A ．28B ．256C ．512D ．10246．已知数列{}n a 的前n 项的和S n = n 2－4n+1，则|a 1|+|a 2|+……+|a 10|的值是 （ ）A ．56B ．61C ．65D ．677．等比数列前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ）A ．66B ．64C ．2663 D ．26038．己知等比数列{}n a 的公比q <0，前n 项的和S n ，则S 4 a 5 与S 5a 4的大小关系为 （ ） A ．S 4a 5 =S 5 a 4B ．S 4a 5 >S 5a 4C ．S 4a 5 <S 5a 4D ．不能确定9．已知：S n 是等比数列{}n a 的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，则582,,a a a （ ）A ．成等差数列B ．成等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既不成等差数列又不成等比数列 10．在50和350之间所有末位数是1的整数之和是 （ ）A ．5880B ．5539C ．5208D ．4877 二、填空题：请把答案填在题中横线上.11．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此连续下去，一天时刻可传遍 人.12．一个有穷等比数列的首项为1，起奇数项的和为85，偶数项和为170，则该数列的公比为 ；项数为 . 13．在等比数列{}n a 中166n a a +=，21128n a a -=，126n S =，则n = ；q = .14．设数列1()n n a a -=-(0)a ≠，则那个数列的前n 项和为 .三、解答题：解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设{}n a 是等比数列，求证：232,,n n n n n S S S S S --成等比数列.16．数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满足：)(,311*+∈+==N n b a b b n n n ．（Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列； （Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n .17．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元，（Ⅰ）问第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，有两种处理方案：（1）年平均获利最大时，以26万元出售该渔船； （2）总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船. 问哪种方案合算.18．已知数列{}n a 中13a =关于一切自然数n ，以1,n n a a +为系数的一元二次方程21210n n a x a x +-+=都有实数根αβ，满足(1)(1)2αβ--=，（1）求证：数列1{}3n a -是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求{}n a 的前n 项和n S ．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .若a 1=2，na n +1=S n +n (n +1) (1)求数列{}n a 的通项公式a n(2)令2nn nS T =①当n 为何正整数值时，T n >T n+1②若对一切正整数n ，总有T n ≤m,求m 的取值范畴.20．设数列{}n a 的首项为,11=a 前n 项和S n 满足关系式,0(3)32(31>=+--t t S t tS n n n=2，3，4，…）（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n a 的公比为)(t f ，作数列{}n b ，使得1111,()(2,3)n n b b f n b -===，求n b ； （3）求和11433221)1(+--+-+-=n n n n b b b b b b b b B .高一数学（上）同步测试（14）参考答案一、选择题：BBDAC DDBAA9、解：∵S 3，S 9，S 6成等差数列，∴S 3+S 6=2S 9 若q=1，则S 3=3191619,6,a S a S a ==，由96312S 0S S a ≠+≠可得，与题设矛盾，1q ∴≠369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---∴+=--- 整理，得q 3+q 6=2q 9.,,22)2()1(2q 10q 58287161314115263成等差数列得由a a a a q a q q a q q a q a q a a a q ∴===+=+=+∴=+≠一、 填空题：11、2421-； 12、公比为2，项数为8； 13、6n =，2q =或12q =； 14、()()11()11nn n a S a a a⎧=-⎪=⎨--≠-⎪+⎩11、解：依照题意可知，获知此信息的人数成首项2,11==q a 的等比数列，则一天内获知此信息的人数为：242424122112S -==--． 12、解：设此数列的公比为q ，项数为2项.由题意得：22221851(1)1701nnq q q q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩可得2q=，28n =，故此数列的公比为2，项数为8.13、解：∵{}n a 是等比数列，∴211128n n a a a a -==， 又∵166n a a +=，∴1642n a a =⎧⎨=⎩或1264n a a =⎧⎨=⎩ 当1642n a a =⎧⎨=⎩时6421261q q -=-得12q =，∴6n =；当1264na a =⎧⎨=⎩时2641261qq -=-得2q =， ∴6n =．14、解：∵11()()nn n n a a a a a +--==--（与n 无关的常数） ∴该数列是等比数列，首项为1.当1a =-时，该数列的公比为1，则nS n =；当1a ≠-时，该数列的公比不为1，则1()1nn a S a--=+．二、 解答题：15、证明：设{}n a 的公比为q ，则12n S a a =++…n a +21(1a q q =+++…1)n q -+212n n n n S S a a ++-=++…2n a +1n n aq aq +=++…21n aq -+21(1n a q q q =+++…1)n q -+ 322122n n n n S S a a ++-=++…3n a +221n n aq aq +=++…31n aq -+221(1n a q q q =+++…1)n q -+∴2322n n n n nn n nS S S S q S S S --==-，∴232,,n n n n n S S S S S --成等比数列.16、解：（Ⅰ）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ，两式相减得：,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同，,21=∴+nn a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列．（Ⅱ）,22,211111-+-+-=-+==n n n nn n n n b b b b a∴0122132432,2,2,b b b b b b -=-=-=,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得：,2221213222112101+=--+=++++=---n n n n b bn T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴--=.12222121-+=+--n n n n 17、解：（Ⅰ)由题设知每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯收入与年数的关系为()f n ，∴[]9824098)48(161250)(2--=-++++-=n n n n n f ，获利即为()f n ＞0， ∴04920,09824022<+->--n n n n 即，解之得：1010 2.217.1n n <<<<即，又n ∈N ， ∴n =3，4，…，17， ∴当n =3时即第3年开始获利； （Ⅱ）（1）年平均收入=)49(240)(nn n n f +-= ∵nn 49+≥14492=⨯n n ，当且仅当n =7时取“=”， ∴nn f )(≤40-2×14=12（万元）即年平均收益，总收益为12×7+26=110万元，现在n =7. （2）102)10(2)(2+--=n n f ，∴当102)(,10max ==n f n总收益为102+8=110万元，现在n =10，比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种.18、解：（1）由题意得：12n n a a αβ++=，1na αβ⋅=，代入(1)(1)2αβ--=得：1111()323n n a a +-=--，当113n n a a +==时方程无实数根，∴13n a ≠， 由等比数列的定义知：1{}3n a -是以11833a -=为首项，公比为12-的等比数列；（2）由（1）知1181()332n n a --=⨯-， ∴1811()323n n a -=⨯-+，（3）n S 218111[1()()()]32223n n-=+-+-++-+11616()2n =-⨯-．19、解：（1）∵na n+1=S n +n(n+1)，∴n=1时a 2=2+2=4n ≥2时na n+1 = S n +n(n+1) ① （n-1）a n = S n-1+(n-1)n ② ①- ②得 na n+1 -（n-1）a n = a n +2n ， ∴n(a n+1 - a n ）=2n ∴a n+1 - a n =2(n ≥2）， 又a 2-a 1=2∴数列{a n }是首项为2，公差为2的等差数列，∴a n =2n （2）①∵S n =2)22(n n +=n(n+1)，∴T n=nn n 2)1(+ 令T n >T n+1，即n n n 2)1(+>12)1)(2(+++n n n ，得n>2， 即n>2时T n>Tn+1②由①知当n>2时T n >T n+1 又T 1=1<T 2=3/2=T 3∴T 2、 T 3为{Tn}各项中数值最大的项，∴m ≥T 2=3/2 20、解：（1）∵3t S t tS n n3)32(1=+-- ① t S t tS n n 3)32(31=+-+ ②②—①得1)2(3320)32(3111=≥+==+-++a n tt a a a t ta n n n a 又得2112233()(23)3,3t t a a t a t a t ++-+==，∴{}2123,3n a t a a t +=是等比数列；（2）∵32)1(,332)(11+==∴+=--n n n b b f b tt t f 即31213211+=∴==--n b b b b n n n 又； （3）∵1211134)1()()1(++++--=--k k k k k k k b b b b b当n 为偶数时，则)(3442n n b b b B +++-= )]12(1395[94+++++-=n)3(9222)125(94+-=⋅++-=n n nn ； 当n 为奇数时，则)32()12(91)2)(1(9211+⨯+++--=+=+-n n n n b b B B n n n n97622++=n n .。
高一数学数列求和试题答案及解析
高一数学数列求和试题答案及解析1.数列的通项公式，它的前n项和为，则_________．【答案】99【解析】,可得前n项和，所以，则.【考点】数列的求和.2.已知函数f(x)＝x a的图象过点(4,2)，令an ＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 013＝( )A．－1B．－1C．－1D．＋1【答案】C【解析】由函数f(x)＝x a的图象过点(4,2)得:,从而;,从而,故选C.【考点】数列求和.3.已知数列的通项公式为，是数列的前n项和，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，则。
【考点】通过分母有理化进行裂项相消进行数列求和。
4.己知数列的前n项和为，，当n≥2时，，，成等差数列. （1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数.【答案】（1）（2）10【解析】解.（1）当n≥2时，2=①所以2＝②②-①化简得，又，求得用该公式表示，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，求得 7分（2）求得，所以，所以，恒成立，所以最小正整数的值为10 14分.【考点】等比数列点评：主要是考查了等比数列以及数列求和的运用，属于基础题。
5.数列的通项公式，其前项和为，则等于( )A．1006B．2012C．503D．0【答案】D【解析】根据数列的通项公式可知当n=1,2,3,4,得到的项为0，-n,0,n,依次后面的项周期出现，那么可知 ,那么对于2013= ,可知其和为首项0，故答案为D【考点】数列求和点评：主要是考查了数列的周期性的运用，来求解数列的和，属于基础题。
6.已知数列满足，；（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和，并求当最大时序号的值.【答案】（1）（2），当=6或7时，最大【解析】（1）累乘法：4’5’6’(2) 7’是等差数列8’9’10’当=6或7时，最大12’【考点】数列求通项求和点评：数列求通项采用的是累乘法，此法适用于通项公式一般为形式的数列，与之类似的还有累和法求通项在数列中也经常用到，由通项公式是关于n的一次函数式可知数列是等差数列7.记项正项数列为，其前项积为，定义为“相对叠乘积”，如果有2013项的正项数列的“相对叠乘积”为，则有2014项的数列的“相对叠乘积”为_______。
人教新课标版数学高一必修5练习 2.5.2数列求和
第二章 2.5 第2课时一、选择题1．数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n 为( )A ．n 2＋1－12nB ．n 2＋1－12n －1C ．n 2＋2－12nD ．n 2＋2－12n －1[答案] A[解析] 由题设知，数列的通项为a n ＝2n －1＋12n ，显然数列的各项为等差数列{2n －1}和等比数列{12n }相应项的和，从而S n ＝[1＋3＋…＋(2n －1)]＋(12＋14＋…＋12n )＝n 2＋1－12n . 2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( ) A ．11 B ．99 C ．120 D ．121[答案] C [解析] 因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1＝10，解得n ＝120.3．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a 的值等于( ) A ．－4 B ．－1 C ．0 D ．1[答案] B[解析] a 1＝S 1＝4＋a ， a 2＝S 2－S 1＝42＋a －4－a ＝12， a 3＝S 3－S 2＝43＋a －42－a ＝48， 由已知得a 22＝a 1a 3， ∴144＝48(4＋a )， ∴a ＝－1.4．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400[答案] B[解析] S 100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200. 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1B ．56C ．16D ．130[答案] B[解析] a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＝1－16＝56.6．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B ．12(9n －1)C ．9n －1D ．14(3n －1)[答案] B[解析] ∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)， 两式相减得a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1， 又a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2·3n －1.∴a 2n ＝4·32n －2＝4·9n －1， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1＋9＋92＋…＋9n －1) ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1)．二、填空题7．数列22，422，623， (2)2n ，…前n 项的和为________．[答案] 4－n ＋22n －1[解析] 设S n ＝22＋422＋623＋ (2)2n① 12S n ＝222＋423＋624＋ (2)2n ＋1②①－②得(1－12)S n ＝22＋222＋223＋224＋…＋22n －2n 2n ＋1＝2－12n －1－2n 2n ＋1.∴S n ＝4－n ＋22n －1.8．已知数列a 1＋2，a 2＋4，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有10项，其和为240，则a 1＋a 2＋…＋a k ＋…＋a 10＝________.[答案] 130[解析] 由题意，得a 1＋a 2＋…＋a k ＋…＋a 10＝240－(2＋4＋…＋2k ＋…＋20)＝240－110＝130. 三、解答题9．求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n－1的前n 项和．[解析] 当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)， 则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2，当a ≠1时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1， ① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，②①－②得：S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1) ＝1－(2n －1)a n＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n ＋2(a －a n )1－a .又1－a ≠0，所以S n＝1－(2n－1)a n1－a＋2(a－a n)(1－a)2.10．(2014·全国大纲文，17)数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，a n＋2＝2a n＋1－a n＋2.(1)设b n＝a n＋1－a n，证明{b n}是等差数列；(2)求{a n}的通项公式．[解析](1)证明：由a n＋2＝2a n＋1－a n＋2得a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n＋2.即b n＋1＝b n＋2.又b1＝a2－a1＝1.所以{b n}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)得b n＝1＋2(n－1)＝2n－1，即a n＋1－a n＝2n－1.于是∑k＝1n(a k＋1－a k)＝∑k＝1n(2k－1)，所以a n＋1－a1＝n2，即a n＋1＝n2＋a1.又a1＝1，所以{a n}的通项公式为a n＝n2－2n＋2.一、选择题1．已知等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n，T n，且S nT n＝7n＋1n＋3，则a2＋a5＋a17＋a22b8＋b10＋b12＋b16＝() A．315B．325C．6 D．7[答案] A[解析]∵a2＋a5＋a17＋a22b8＋b10＋b12＋b16＝(a2＋a22)＋(a5＋a17)(b8＋b16)＋(b10＋b12)＝2a12＋2a112b12＋2b11＝a 11＋a 12b 11＋b 12＝a 1＋a 22b 1＋b 22， 又∵S 22T 22＝(a 1＋a 22)×22(b 1＋b 22)×22＝a 1＋a 22b 1＋b 22，∴a 1＋a 22b 1＋b 22＝7×22＋122＋3＝315.∴a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝315. 2．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3690 B ．3660 C ．1845 D ．1830[答案] D[解析] 不妨令a 1＝1，则a 2＝2，a 3＝a 5＝a 7＝…＝1，a 4＝6，a 6＝10，…，所以当n 为奇数时，a n ＝1；当n 为偶数时，各项构成以2为首项，4为公差的等差数列，所以前60项的和为30＋2×30＋30×(30－1)2×4＝1830.3．数列{a n }的通项公式是a n ＝2sin(n π2＋π4)，设其前n 项和为S n ，则S 12的值为( ) A ．0 B ． 2 C ．－ 2 D ．1 [答案] A[解析] a 1＝2sin(π2＋π4)＝1，a 2＝2sin(π＋π4)＝－1，a 3＝2sin(3π2＋π4)＝－1， a 4＝2sin(2π＋π4)＝1，同理，a 5＝1，a 6＝－1， a 7＝－1，a 8＝1，a 9＝1， a 10＝－1，a 11＝－1，a 12＝1， ∴S 12＝0.4．已知等差数列{a n }满足a 5＋a 2n －5＝2n (n ≥3)，则当n ≥1时，2a 1＋2a 3＋…＋2a 2n －1＝( ) A ．22n －23B ．22n ＋1－23C ．2n －23D ．2n ＋1－23[答案] B[解析] 由a 5＋a 2n －5＝2n (n ≥3)，得2a n ＝2n ， ∴a n ＝n .∴2a 1＋2a 3＋…＋2a 2n －1＝2＋23＋25＋…＋22n －1 ＝2(1－4n )1－4＝22n ＋1－23.二、填空题5．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．[答案] 3 2[解析] f (0)＋f (1)＝11＋2＋12＋2＝22，f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝22(2x ＋2)＋2x 2(2＋2x )＝22，∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (5)＋f (6)＝12[(f (－5)＋f (6))＋(f (－4)＋f (5))＋…＋(f (6) ]＋f (－5))＝12×12×(f (0)＋f (1))＝3 2.6．求和1＋(1＋3)＋(1＋3＋32)＋(1＋3＋32＋32)＋…＋(1＋3＋…＋3n －1)＝________. [答案] 34(3n －1)－n2[解析] a 1＝1，a 2＝1＋3，a 3＝1＋3＋32，…… a n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝12(3n －1)，∴原式＝12(31－1)＋12(32－1)＋……＋12(3n －1)＝12[(3＋32＋…＋3n )－n ]＝34(3n －1)－n2.三、解答题7．(2013·浙江理，18)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.[解析] (1)由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，a 1＝10， 即d 2－3d －4＝0. 故d ＝1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则 当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.8．已知数列{a n }和{b n }中，数列{a n }的前n 项和为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n . [解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ， ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式． ∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n ＝2n ，a n b n ＝(－2n ＋5)·2n .T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ， 2T n ＝3×22＋1×23＋…＋(－2n ＋7)×2n ＋(－2n ＋5)×2n ＋1. 两式相减得T n ＝－6＋(23＋24＋…＋2n ＋1)＋(－2n ＋5)×2n ＋1＝23(1－2n －1)1－2＋(－2n ＋5)×2n ＋1－6＝(7－2n )·2n ＋1－14.。
2019高一数学同步测试数列的求和
高一数学同步测试—数列的求和一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内.1．设等差数列{}n a 的前三项为5，247，437，其第n 项到第6n +项的和为T ，则当T 最小时n 应等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．32．数列{}n a 中，a 1=－60，且a n +1 =a n + 3，则这个数列的前30项的绝对值之和为（ ） A ．495 B．765C ．3105D ．1203．化简S n = n +(n －1)×2+(n －2)×2 2+……+2×2 n －2+2n －1的结果是 （ ）A ．2 n +1+2－n －2B ．2n +1－n +2C ．2 n －n －2D ．2n +1－n －24、在项数为21n +的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和之比为 （ ）A ．1n n+ B ．12n n+ C ．21n n+ D ．1 5．等比数列前n项和为nS ，已知()21321123103,8,n n S a a a a a a a -=+++==则（ ）A ．28B ．256C ．512D ．10246．已知数列{}n a 的前n 项的和S n = n 2－4n+1，则|a 1|+|a 2|+……+|a 10|的值是 （ ）A ．56B ．61 C．65D ．677．等比数列前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项和为（ ）A ．66B ．64C ．2663D ．26038．己知等比数列{}n a 的公比q <0，前n 项的和S n ，则S 4 a 5 与S 5a 4的大小关系为（ ）A ．S 4a 5 =S 5 a 4B ．S4a 5 >S 5a 4C ．S 4a 5 <S 5a 4D ．不能确定9．已知：S n 是等比数列{}n a 的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，则582,,a a a （ ）A ．成等差数列B ．成等比数列C ．既成等差数列又成等比数列D ．既不成等差数列又不成等比数列10．在50和350之间所有末位数是1的整数之和是 （ ） A ．5880 B ．5539C．5208D ．4877二、填空题：请把答案填在题中横线上.11．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍 人.12．一个有穷等比数列的首项为1，起奇数项的和为85，偶数项和为170，则该数列的公比为 ；项数为 .13．在等比数列{}n a 中166n a a +=，21128n a a -=，126n S =，则n = ；q = .14．设数列1()n n a a -=-(0)a ≠，则这个数列的前n 项和为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设{}n a 是等比数列，求证：232,,n n n n n S S S S S --成等比数列.16．数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满足：)(,311*+∈+==N n b a b b n n n ．（Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列； （Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n .17．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元，（Ⅰ）问第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，有两种处理方案：（1）年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；（2）总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.问哪种方案合算.18．已知数列{}n a 中13a =对于一切自然数n ，以1,n n a a +为系数的一元二次方程21210n n a x a x +-+=都有实数根αβ，满足(1)(1)2αβ--=，（1）求证：数列1{}3n a -是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求{}n a 的前n 项和n S ．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .若a 1=2，na n +1=S n +n (n +1) (1)求数列{}n a 的通项公式a n (2)令2n n nS T =①当n 为何正整数值时，T n >T n+1②若对一切正整数n ，总有T n ≤m,求m 的取值范围.20．设数列{}n a 的首项为,11=a 前n 项和S n 满足关系式,0(3)32(31>=+--t t S t tS n n n=2，3，4，…）（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n a 的公比为)(t f ，作数列{}n b ，使得1111,()(2,3)n n b b f n b -===，求n b ； （3）求和11433221)1(+--+-+-=n n n n b b b b b b b b B .参考答案一、选择题：BBDAC DDBAA9、解：∵S 3，S 9，S 6成等差数列，∴S 3+S 6=2S 9若q=1，则S 3=3191619,6,a S a S a ==，由96312S 0S S a ≠+≠可得，与题设矛盾，1q ∴≠369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q---∴+=--- 整理，得q 3+q 6=2q 9.,,22)2()1(2q 10q 58287161314115263成等差数列得由a a a a q a q q a q q a q a q a a a q ∴===+=+=+∴=+≠一、 填空题：11、2421-； 12、公比为2，项数为8； 13、6n =，2q =或12q =；14、()()11()11nn na S a a a ⎧=-⎪=⎨--≠-⎪+⎩11、解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项2,11==q a 的等比数列，则一天内获知此信息的人数为：242424122112S -==--． 12、解：设此数列的公比为q ，项数为2项.由题意得：22221851(1)1701nnq q q q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩ 可得2q =，28n =，故此数列的公比为2，项数为8.13、解：∵{}n a 是等比数列，∴211128n n a a a a -==， 又∵166n a a +=， ∴1642n a a =⎧⎨=⎩或1264n a a =⎧⎨=⎩ 当1642n a a =⎧⎨=⎩时6421261qq -=-得12q =，∴6n =；当1264na a =⎧⎨=⎩时2641261qq -=-得2q =， ∴6n =．14、解：∵11()()nn n n a a a a a +--==--（与n 无关的常数） ∴该数列是等比数列，首项为1.当1a =-时，该数列的公比为1，则n S n =；当1a ≠-时，该数列的公比不为1，则1()1nn a S a--=+．二、 解答题：15、证明：设{}n a 的公比为q ，则12n S a a =++…n a +21(1a q q =+++…1)n q -+ 212n n n n S S a a ++-=++…2n a +1n n aq aq +=++…21n aq -+21(1n a q q q =+++…1)n q -+322122n n n n S S a a ++-=++…3n a +221n n aq aq +=++…31n aq -+221(1n a q q q =+++…1)n q -+∴2322n n nn nnn nS S S S q S S S --==-，∴232,,n n n n n S S S S S --成等比数列. 16、解：（Ⅰ）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ， 两式相减得：,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同，,21=∴+nn a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列．（Ⅱ）,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a∴0122132432,2,2,b b b b b b -=-=-=,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得： ,222121322211211+=--+=++++=---n n n n b bn T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴--=.12222121-+=+--n n n n17、解：（Ⅰ)由题设知每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯收入与年数的关系为()f n ，∴[]9824098)48(161250)(2--=-++++-=n n n n n f ，获利即为()f n ＞0， ∴04920,09824022<+->--n n n n 即，解之得：1010 2.217.1n n <<+<<即，又n ∈N ， ∴n =3，4，…，17， ∴当n =3时即第3年开始获利；（Ⅱ）（1）年平均收入=)49(240)(nn n n f +-= ∵n n 49+≥14492=⨯nn ，当且仅当n =7时取“=”，∴nn f )(≤40-2×14=12（万元）即年平均收益，总收益为12×7+26=110万元，此时n =7.（2）102)10(2)(2+--=n n f ，∴当102)(,10max ==n f n总收益为102+8=110万元，此时n =10，比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需10年，故选择第一种. 18、解：（1）由题意得：12n na a αβ++=，1na αβ⋅=，代入(1)(1)2αβ--=得：1111()323n n a a +-=--，当113n n a a +==时方程无实数根，∴13n a ≠，由等比数列的定义知：1{}3n a -是以11833a -=为首项，公比为12-的等比数列；（2）由（1）知1181()332n n a --=⨯-， ∴1811()323n n a -=⨯-+， （3）n S 218111[1()()()]32223n n-=+-+-++-+11616()2n =-⨯-．19、解：（1）∵na n+1=S n +n(n+1)，∴n=1时a 2=2+2=4n ≥2时na n+1 = S n +n(n+1) ① （n-1）a n = S n-1+(n-1)n ②①- ②得 na n+1 -（n-1）a n = a n +2n ， ∴n(a n+1 - a n ）=2n ∴a n+1 - a n =2(n ≥2）， 又a 2-a 1=2∴数列{a n }是首项为2，公差为2的等差数列，∴a n =2n（2）①∵S n =2)22(n n +=n(n+1)，∴T n =n n n 2)1(+ 令T n >T n+1， 即n n n 2)1(+>12)1)(2(+++n n n ，得n>2， 即n>2时T n >T n+1②由①知当n>2时T n >T n+1 又T 1=1<T 2=3/2=T 3 ∴T 2、 T 3为{Tn}各项中数值最大的项，∴m ≥T 2=3/2 20、解：（1）∵3t S t tS n n 3)32(1=+-- ① t S t tS n n 3)32(31=+-+ ②②—①得1)2(3320)32(3111=≥+==+-++a n tt a a a t ta n n n a 又得2112233()(23)3,3t t a a t a t a t ++-+==，∴{}2123,3n at a a t+=是等比数列；（2）∵32)1(,332)(11+==∴+=--n n n b b f b tt t f 即31213211+=∴==--n b b b b n n n 又； （3）∵1211134)1()()1(++++--=--k k k k k k k b b b b b 当n 为偶数时，则)(3442n nb b b B +++-= )]12(1395[94+++++-=n )3(9222)125(94+-=⋅++-=n n nn ； 当n为奇数时，则)32()12(91)2)(1(9211+⨯+++--=+=+-n n n n b b B B n n n n97622++=n n .。
高一数学《数列》同步训练(共7份)含答案必修5
必修5《数列》同步训练（共7份）含答案2．1 数列的概念与简单表示法一、选择题：1．下列解析式中不．是数列1，-1，1，-1，1，-1…，的通项公式的是 （ ） A.(1)n n a =- B.1(1)n n a +=- C.1(1)n n a -=- D.{11n n a n =-，为奇数，为偶数2，的一个通项公式是 （ ）A. n aB. n a =C. n a =D.n a =3．已知数列{}n a ，1()(2)n a n N n n +=∈+，那么1120是这个数列的第 （ ）项. A. 9 B. 10 C. 11 D. 124．数列{}n a ，()n a f n =是一个函数，则它的定义域为 （ ）A. 非负整数集B. 正整数集C. 正整数集或其子集D. 正整数集或{}1,2,3,4,,n5．已知数列{}n a ，22103n a n n =-+，它的最小项是 （ ）A. 第一项B. 第二项C. 第三项D. 第二项或第三项6．已知数列{}n a ，13a =，26a =，且21n n n a a a ++=-，则数列的第五项为（ ）A. 6B. 3-C. 12-D. 6-二.填空题：7、观察下面数列的特点，用适当的数填空（1），14，19，116，； （2）32，54，，1716，3332，。
8.已知数列{}n a ，85,11n a kn a =-=且，则17a =.9.根据下列数列的前几项的值，写出它的一个通项公式。
（1）数列0.7,0.77,0.777,0.7777,…的一个通项公式为.（2）数列4,0,4,0,4,0,…的一个通项公式为.（3）数列1524354863,,,,,,25101726的一个通项公式为.10.已知数列{}n a 满足12a =-，1221n n na a a +=+-，则4a =.三.解答题11.已知数列{}n a 中，13a =，1021a =，通项n a 是项数n 的一次函数，①求{}n a 的通项公式，并求2005a ；②若{}n b 是由2468,,,,,a a a a 组成，试归纳{}n b 的一个通项公式.12.已知{}n a 满足13a =，121n n a a +=+，试写出该数列的前5项，并用观察法写出这个数列的一个通项公式.2.2等差数列一.选择题：1、等差数列｛a n ｝中，a 1=60,a n+1=a n+3则a 10为………………………………（ ） A 、-600 B 、-120 C 、60 D 、-602、若等差数列中，a 1=4,a 3=3,则此数列的第一个负数项是……………………（ ）A 、a 9B 、a 10C 、a 11D 、a 12 3.若数列{}n a 的通项公式为25n a n =+，则此数列是 （ ）A.公差为2的等差数列B. 公差为5的等差数列C.首项为5的等差数列D. 公差为n 的等差数列4.已知｛a n ｝是等差数列，a 7+a 13=20，则a 9+a 10+a 11=……………………（ ） A 、36 B 、30 C 、24 D 、185.等差数列3,7,11,,---的一个通项公式为 （ ）A.47n -B.47n --C.41n +D.41n -+6.若{}n a 是等差数列，则123a a a ++，456a a a ++，789a a a ++，，32313n n n a a a --++，是 （ ）A.一定不是等差数列B.一定是递增数列C.一定是等差数列D.一定是递减数列二.填空题：7.等差数列{}n a 中，350a =，530a =，则7a =.8.等差数列{}n a 中，3524a a +=，23a =，则6a =.9.已知等差数列{}n a 中，26a a 与的等差中项为5，37a a 与的等差中项为7，则n a =.10.若｛a n ｝是等差数列，a 3,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a 8=.三.解答题11.判断数52，27()k k N ++∈是否是等差数列{}n a :5,3,1,1,,---中的项，若是，是第几项？12.等差数列｛a n｝中，a1=23，公差d为整数，若a6>0,a7<0.（1）求公差d的值;（2）求通项a n.13、若三个数a-4,a+2,26-2a，适当排列后构成递增等差数列，求a的值和相应的数列.2.3等差数列的前n 项和一.选择题：1.等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a += （ ）A.12B.24C.36D.482.从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为 （ ）A.0B.90C.180D.3603.已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （ ）A.有最小值且是整数B.有最小值且是分数C.有最大值且是整数D.有最大值且是分数4.等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( )A.130B.170C.210D.2605.在等差数列{}n a 和{}n b 中，125a =，175b =，100100100a b +=，则数列{}n n a b +的前100项和为 （ ）A.0B.100C.1000D.100006.若关于x 的方程20x x a -+=和20x x b -+=()a b ≠的四个根组成首项为14的等差数列，则a b += （ ） A.38B.1124C.1324D.3172二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16分，把正确答案写在题中横线上.7.等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s =.8.等差数列{}n a 中，若232n S n n =+，则公差d =.9.有一个 凸n 边形，各内角的度数成等差数列，公差是100，最小角为1000，则边数n=.10.若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且满足733n n S n T n +=+，则88a b =. 三.解答题11.在等差数列{}n a 中，40.8a =，11 2.2a =，求515280a a a +++.12.已知等差数列｛a n｝的项数为奇数，且奇数项的和为44，偶数项的和为33，求此数列的中间项及项数。
高中数学 第二章 数列同步测试 新人教A版必修5(2021年最新整理)
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数列(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．(2014·高考福建卷)等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若a1＝2,S3＝12，则a6等于（) A．8 B．10 C．12 D．142．（2014·高考重庆卷）对任意等比数列{a n｝，下列说法一定正确的是（)A．a1,a3，a9成等比数列B．a2，a3,a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列3．在等差数列{a n｝中，若a2＝4，a4＝2,则a6＝（）A．－1 B．0 C．1 D．64．(2014·高考辽宁卷）设等差数列{a n｝的公差为d。
若数列{2a1a n｝为递减数列,则（) A．d<0 B．d>0 C．a1d〈0 D．a1d>05．（2014·高考重庆卷)在等差数列{a n}中,a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝（)A．5 B．8 C．10 D．146．等比数列｛a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则数列｛a n}的公比为（）A．1 B．3 C。
错误! D。
错误!7．等比数列｛a n｝的前n项和为S n,已知S3＝a2＋10a1,a5＝9，则a1＝（）A.错误! B．－错误! C.错误! D．－错误!8．（2014·高考大纲全国卷)设等比数列｛a n｝的前n项和为S n，若S2＝3，S4＝15，则S6＝（）A．31 B．32 C．63 D．649．（2014·高考课标全国卷Ⅱ)等差数列{a n｝的公差为2，若a2,a4,a8成等比数列，则｛a n}的前n项和S n＝( ）A．n(n＋1） B．n（n－1） C。
北师大版高中数学必修五《数列求和》同步测试题.docx
《数列求和》同步测试题1．在数列{}n a 中，若对于任意的n N *∈均有12n n n a a a ++++为定值，且72a =，93a =，984a =，则数列{}n a 的前100项的和100S = .2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11++=n n a n ，10n S =，则=n .3．已知{}n a 是递增的等差数列，24,a a 是方程2560x x -+=根. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和 4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()121n n a S n N *+=+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）求数列21n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有1112,353(2)n n n n a S a a S n --==-+≥． （1）求数列n a 的通项公式；（2）若,)12(n n a n b -=求数列}{n b 的前n 项和.n T 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2103,100a S ==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设13nn n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．7．数列{}n a 的前n 项和为n S ,且n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{}n b 满足1143,b a b S ==（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式（2）设n c =nnb a ，求数列{}nc 的前n 项和n T . 8．求数列1111,,,,13355779⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅的前n 项和n S 9．正项数列{}n a 满足02)12(2=---n a n a n n ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令nn a n b )1(1+=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．10．数列{n a }的前n 项和为n S ，n a 是n S 和1的等差中项，等差数列{n b }满足140b S +=，91b a =．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若()1(16)18n n n c b b =++，求{}n c 的前n 项和n W ．11．等差数列{}n a 中，13a =，其前n 项和为n S . 等比数列{}n b 的各项均为正数，11b =，且2212b S +=，33a b =.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .12．在数列{a n }中，已知a 1=-20，a 1+n =a n ＋4(n ∈*N )． (1)求数列{a n }的通项公式和前n 项和A n ；(2)若nA b n n 242+=(n ∈*N )，求数列{b n }的前n 项S n ．13．已知数列{}n a 与{}n b ，若13a =且对任意正整数n 满足12,n n a a +-= 数列{}n b 的前n 项和2n nS n a =+．（I ）求数列{}{}n n a b ,的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和.n T14．已知S n 是数列{}n a 的前n 项和，且11=a ，)(2*1N n S na n n ∈=+．（1）求234,,a a a 的值；（2）求数列{}n a 的通项n a ；（3）设数列{}n b 满足2(2)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 15．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =，且2a ，3a ，41a +成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设2(2)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S 。
浙江省建德市新安江高级中学高三数学《数列求和》同步练习
浙江省建德市新安江高级中学高三数学《数列求和》同步练习 一、基础练习 1．数列}{n a 的前n 项的和1322+-=n n S n ，则1054a a a +++Λ= ；2. 数列,,1614,813,412,211Λ的前n 项和为 （ ） A ．n n n 21)2(212-++ B ．1211)1(21--++n n n C ．n n n 21)2(212-+- D ．)211(2)1(21n n n -++ 3. 22222210099989721-+-++-L = 。
4.化简)1(1431321211+++⋅+⋅+⋅n n K 结果是 （ ） A ．12+n n B ．1+n n C ．12+n n D ．122+n n 5.数列}{n a 的通项公式为nn a n ++=11，且1101-=n S ，则=n ； 6.设数列11,(12),,(122),n -++++L L L 的前n 项和为n S ，则n S 等于 （ ）()A 2n ()B 2n n - ()C 12n n +- ()D 122n n +--7.求和：n n n n 221232221132+-++++-Λ= ； 二、例题讲练类型1.分组求和法例 1. 已知数列}{n a 的前n 项是,,1212,129,126,123432⋅⋅⋅-+-+-+-+写出数列}{n a 的通项公式，并求其前n 项和n S变式：已知数列}{n a 的前n 项是5，55，555，5555，…，写出数列}{n a 的通项公式，并求其前n 项和n S类型2.裂项相消法例2.在数列}{n a 中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n S变式：正数数列{a n }的前n 项的和为S n 且满足12+=a S n n（1） 求数列{a n }的通项公式； （2） 设b n =a a n n 11+,数列{b n }的前n 项的和记为B n ，求证: B n <21类型3.错位相减法例3. 设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．变式：已知数列}{n a 满足1a ，,,,,,12312ΛΛ----n n a a a a a a 是首项为1，公比为2的等比数列.（1）求n a 的表达式； （2）如果n n a n b )12(-=，求数列}{n b 的前n 项的和类型4.并项求和法例4.求22222227069684321+-+⋅⋅⋅-+-+-的值三、巩固练习 1. 11+103+1005+……+[10n +(2n －1)]的值为： （ ） A.2)110(910n n +- B.21)110(910n n +-- C.21)110(91n n +-+ D.2)1()110(910-+-n n 2.已知等比数列{a n }前n 项和为S n 且S 5=2, S 10=6，则a 16+a 17+a 18+a 19+a 20等于： （ ）A 、12B 、16C 、32D 、543. 数列9，99，999，9999，……的前n 项和为4.数列}{n a 的前项的和)34()1(2117139511--++-+-+-=-n S n n Λ， 则=-1122S S ；5.若)12()12(4+-=n n a n ，则}{n a 的前n 项的和n S 是 ； 6、1)1(11411311212222-+++-+-+-n Λ的值为 （ ） A 、)2(21++n n B 、)2(2143++-n n C 、)2111(2143+++-n n D 、211123+-+-n n 7. 求和=-+++=-1212231n n n S Λ 8..数列}{n a 中，11=a ，当2≥n 时，其前n 项n S 和满足)21(2-=n n n S a S（1）求n S 的表达式；（2）设12+=n S b n n ，求数列}{n b 的前n 项的和9.已知正项数列}{n a 的前n 项的和为n S ，方程0442=-+n S x x 有一根为1-n a . （1）求数列}{n a 的通项n a ；（2）令n n S S S S T 1111321+⋅⋅⋅+++=，求n T .。
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20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：高中学生学科素质训练高一数学同步测试（14）—数列的求和一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内.1．设等差数列{}n a 的前三项为5，247，437，其第n 项到第6n +项的和为T ，则当T 最小时n 应等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3 2．数列{}n a 中，a 1=－60，且a n +1 =a n + 3，则这个数列的前30项的绝对值之和为（ ）A ．495B ．765C ．3120XXD ．1203．化简S n = n +(n －1)×2+(n －2)×2 2+……+2×2 n －2+2n －1的结果是 （ ）A ．2 n +1+2－n －2B ．2n +1－n +2C ．2 n －n －2D ．2n +1－n －2 4、在项数为21n +的等差数列中，所有奇数项和与偶数项和之比为（ ）A ．1n n +B ．12n n +C ．21n n + D ．15．等比数列前n 项和为n S ，已知()21321123103,8,n n S a a a a a a a -=+++==则（ ）A ．28B ．256C ．512D ．1024 6．已知数列{}n a 的前n 项的和S n = n 2－4n+1，则|a 1|+|a 2|+……+|a 10|的值是（ ）A ．56B ．61C ．65D ．677．等比数列前n 项和为54，前2n 项和为60，则前3n 项和为 （ ）A ．66B ．64C ．2663D ．26038．己知等比数列{}n a 的公比q <0，前n 项的和S n ，则S 4 a 5 与S 5a 4的大小关系为 （ ）A ．S 4a 5 =S 5 a 4B ．S 4a 5 >S 5a 4C ．S 4a 5 <S 5a 4D ．不能确定9．已知：S n 是等比数列{}n a 的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，则582,,a a a （ ）A．成等差数列B．成等比数列C．既成等差数列又成等比数列D．既不成等差数列又不成等比数列10．在50和350之间所有末位数是1的整数之和是（）A．5880 B．5539 C．5220XX D．4877二、填空题：请把答案填在题中横线上.11．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍人.12．一个有穷等比数列的首项为1，起奇数项的和为85，偶数项和为170，则该数列的公比为；项数为.13．在等比数列{}na中166na a+=，21128na a-=，126nS=，则n=；q=.14．设数列1()nna a-=-(0)a≠，则这个数列的前n项和为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．设{}na是等比数列，求证：232,,n n n n nS S S S S--成等比数列.16．数列{a n}的前n项和12-=nnaS，数列{b n}满足：)(,311*+∈+==Nnbabbnnn．（Ⅰ）证明数列{a n}为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n}的前n项和T n.17．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元，（Ⅰ）问第几年开始获利？（Ⅱ）若干年后，有两种处理方案：（1）年平均获利最大时，以26万元出售该渔船； （2）总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船. 问哪种方案合算.18．已知数列{}n a 中13a =对于一切自然数n ，以1,n n a a+为系数的一元二次方程21210n n a x a x +-+=都有实数根αβ，满足(1)(1)2αβ--=，（1）求证：数列1{}3n a -是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求{}n a 的前n 项和n S ．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .若a 1=2，na n +1=S n +n (n +1)(1)求数列{}n a 的通项公式a n(2)令2n n n S T =①当n 为何正整数值时，T n >T n+1②若对一切正整数n ，总有T n ≤m,求m 的取值范围.20．设数列{}n a 的首项为,11=a 前n 项和S n 满足关系式,0(3)32(31>=+--t t S t tS n n n=2，3，4，…） （1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n a 的公比为)(t f ，作数列{}n b ，使得1111,()(2,3)n n b b f n b -===，求nb ；（3）求和11433221)1(+--+-+-=n n n n b b b b b b b b B .高一数学（上）同步测试（14）参考答案一、选择题：BBDAC DDBAA9、解：∵S 3，S 9，S 6成等差数列，∴S 3+S 6=2S 9 若q=1，则S 3=3191619,6,a S a S a ==，由96312S 0S S a ≠+≠可得，与题设矛盾，1q ∴≠369111(1)(1)2(1)111a q a q a q q q q ---∴+=---整理，得q 3+q 6=2q 9.,,22)2()1(2q 10q 58287161314115263成等差数列得由a a a a q a q q a q q a q a q a a a q ∴===+=+=+∴=+≠一、 填空题：11、2421-； 12、公比为2，项数为8； 13、6n =，2q =或12q =；14、()()11()11nn n a S a a a ⎧=-⎪=⎨--≠-⎪+⎩11、解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项2,11==q a 的等比数列，则一天内获知此信息的人数为：242424122112S -==--．12、解：设此数列的公比为q ，项数为2项.由题意得：22221851(1)1701nnq q q q q ⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩可得2q =，28n =，故此数列的公比为2，项数为8.13、解：∵{}n a 是等比数列，∴211128n n a a a a -==， 又∵166n a a +=，∴1642n a a =⎧⎨=⎩或1264n a a =⎧⎨=⎩ 当1642n a a =⎧⎨=⎩时6421261q q -=-得12q =，∴6n =； 当1264n a a =⎧⎨=⎩时2641261qq -=-得2q =， ∴6n =． 14、解：∵11()()nn n n a a a a a +--==--（与n 无关的常数）∴该数列是等比数列，首项为1.当1a =-时，该数列的公比为1，则n S n=；当1a ≠-时，该数列的公比不为1，则1()1nn a S a --=+．二、 解答题： 15、证明：设{}n a 的公比为q ，则12n S a a =++…n a +21(1a q q =+++…1)n q -+212n n n n S S a a ++-=++…2n a +1n n aq aq +=++…21n aq -+21(1n a q q q =+++…1)n q -+ 322122n n n n S S a a ++-=++...3n a +221n n aq aq +=++ (31)n aq -+221(1n a q q q =+++…1)n q -+∴2322nn n n nn n nS S S S q S S S --==-，∴232,,n n n n n S S S S S --成等比数列.16、解：（Ⅰ）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ，两式相减得：,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同，,21=∴+nn a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列．（Ⅱ）,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a∴0122132432,2,2,b b b b b b -=-=-=,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得：,222121322211211+=--+=++++=---n n n n b bnT n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴--=.12222121-+=+--n n n n17、解：（Ⅰ)由题设知每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯收入与年数的关系为()f n ，∴[]9824098)48(161250)(2--=-++++-=n n n n n f ，获利即为()f n ＞0， ∴04920,09824022<+->--n n n n 即，解之得：1010 2.217.1n n <<<<即，又n ∈N ， ∴n =3，4，…，17， ∴当n =3时即第3年开始获利；（Ⅱ）（1）年平均收入=)49(240)(n n n n f +-=∵n n 49+≥14492=⨯n n ，当且仅当n =7时取“=”，∴n n f )(≤40-2×14=12（万元）即年平均收益，总收益为12×7+26=110万元，此时n =7.（2）102)10(2)(2+--=n n f ，∴当102)(,10max ==n f n总收益为102+8=110万元，此时n =10，比较两种方案，总收益均为110万元，但第一种方案需7年，第二种方案需20XX ，故选择第一种.18、解：（1）由题意得：12n na a αβ++=，1na αβ⋅=，代入(1)(1)2αβ--=得：1111()323n n a a +-=--，当113n n a a +==时方程无实数根，∴13n a ≠，由等比数列的定义知：1{}3n a -是以11833a -=为首项，公比为12-的等比数列； （2）由（1）知1181()332n n a --=⨯-， ∴1811()323n n a -=⨯-+， （3）n S 218111[1()()()]32223n n -=+-+-++-+11616()2n=-⨯-．19、解：（1）∵na n+1=S n +n(n+1)，∴n=1时a 2=2+2=4n ≥2时na n+1 = S n +n(n+1) ① （n-1）a n = S n-1+(n-1)n ② ①- ②得 na n+1 -（n-1）a n = a n +2n ， ∴n(a n+1 - a n ）=2n ∴a n+1 - a n =2(n ≥2）， 又a 2-a 1=2∴数列{a n }是首项为2，公差为2的等差数列，∴a n =2n（2）①∵S n=2)22(n n +=n(n+1)，∴T n=n n n 2)1(+ 令T n>T n+1，即n n n 2)1(+>12)1)(2(+++n n n ，得n>2， 即n>2时T n>Tn+1②由①知当n>2时T n >T n+1 又T 1=1<T 2=3/2=T 3∴T 2、 T 3为{Tn}各项中数值最大的项，∴m ≥T 2=3/2 20、解：（1）∵3tS t tS n n 3)32(1=+--①tS t tS n n 3)32(31=+-+②②—①得1)2(3320)32(3111=≥+==+-++a n tt a a a t ta n n n a 又得2112233()(23)3,3t t a a t a t a t ++-+==，∴{}2123,3n a t a a t +=是等比数列；（2）∵32)1(,332)(11+==∴+=--n n n b b f b tt t f即31213211+=∴==--n b b b b n n n 又；（3）∵1211134)1()()1(++++--=--k k k k k k k b b b b b当n 为偶数时，则)(3442n n b b b B +++-= )]12(1395[94+++++-=n )3(9222)125(94+-=⋅++-=n n nn ；当n 为奇数时，则)32()12(91)2)(1(9211+⨯+++--=+=+-n n n n b b B B n n n n97622++=n n .。