工程力学习题答案第十三章王永跃

第十三章习 题 解 答

13−1 木制构件中的单元体应力状态如图所示，其中所示的角度为木纹方向与铅垂线的夹角。试求：

（l ）平行于木纹方向的切应力； （2）垂直于木纹方向的正应力。 解： 由图a 可知

MPa

0MPa,

6.1,MPa 2.0=-=-=x y x τσσ

（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力

MPa

1.0)]15(2sin[2

6.12MPa 9

7.1)]15(2cos[26

.1226.1215

15=-⨯+-=-=-⨯+-+--=

--

τσ （2）垂直于木纹方向的正应力

MPa

1.0)752sin(2

6.12MPa 52

7.1]752cos[26

.1226.127575-=⨯+-=-=⨯+-+--=

τσ 由图b 可知

MPa 25.1,0,0-===x y x τσσ

（1）平行于木纹方向的切应力：则由公式可直接得到该斜截面上的应力

MPa

08.1)]15(2cos[25.12cos MPa

625.0)15(2sin 25.12sin 1515-=-⨯⨯-==-=-⨯=-=--

αττατσx x

（2）垂直于木纹方向的正应力

MPa

08.1)752cos(25.12cos MPa

625.0)752sin(25.12sin 7575=⨯⨯-===⨯⨯=-=

αττατσx x

13−2 已知应力状态如图一所示（应力单位为MPa ），试用解析法计算图中指定截面的正应力与切应力

解：（a ）已知 MPa 20MPa,10,

0MPa 3-===x y x τσσ

则由公式可直接得到该斜截面上的应力

MPa 习题13−1图

(a)

(b)

MPa

10)4

2cos(20)42sin(210302cos 2sin 2MPa

40)4

2sin(20)42cos(21030210302sin 2cos 22=⨯⨯-⨯⨯-=+-==⨯⨯+⨯⨯-++=--++=

ππατασστππατασσσσσααx y x x y

x y x

（b ）已知 MPa

20MPa,10,0MPa 3===x y x τσσ

则：

MPa

21.21)5.222cos(20)5.222sin(2

10302cos 2sin 2MPa

93.12)5.222sin(20)5.222cos(21030210302sin 2cos 22=⨯⨯+⨯⨯-=+-==⨯⨯-⨯⨯-++=--++=

ατασστατασσσσσααx y x x y

x y x （c ）已知

60MPa

15MPa,20,

MPa 10-====ατσσx y x

则：

60(2cos[15)]60(2sin[2

20102cos 2sin 2MPa

49.30)]60(2sin[15)]60(2cos[22010220102sin 2cos 22-⨯⨯+-⨯⨯-=+-==-⨯⨯--⨯⨯-++=--++=

α

τασστατασσσσσααx y

x x y

x y

x

13−3 已知应力状态如图所示（应力单位为

MPa ），试用图解法（应力圆）计算图中指定截面的正应力与切应力。

13−4 已知应力状态如习题13−2图所示（应力单位为MPa ），计算图示应力状态中的主应力及方位。

习题13−2图

(c)

(b)

(a) (d)

习题13−3图

(a)

(b)

x y x 则由公式可直接得到该单元体的主应力

主应力为：

因为

，主应力

对应的方位角为

。

13−5 试确定图示应力状态中的主应力及方位、最大切应力（按三向应力状态考虑）。图中应力的单位为MPa 。 解：

（a ）已知 MPa 20MPa,20,0MPa 4===x y x τσσ

则由公式可直接得到该单元体的主应力

主应力为：

因为

，主应力

对应的方位角为

。

(a)

习题13−5图

(b) (c)

x y x 则由公式可直接得到该单元体的主应力

主应力为：

因为

，主应力

对应的方位角为

。

（c ）已知 MPa 20MPa,03,20MPa ==-=x y x τσσ

则由公式可直接得到该单元体的主应力

主应力为：

因为

，主应力

对应的方位角为

。

13−6已知应力状态如图所示（应力单位为MPa ），试画三向应力圆，求最大切应力。

解：图a 为单向应力状态，图b 为纯剪切应力状态，图c 为平面应力状态，其应力圆

(a)

习题13−6图

τ

(b) (c)

如图。

最大切应力分别为：

13−7已知应力状态如图所示，试画三向应力圆，并求主应力、最大切应力（应力单位为MPa ）。

解：图a 为三向主应力状

态

，

，应力圆如图（a ）。

图b 一方向为主应力，另两方向为纯剪切应力状态，则根据公式可直接得出另两主应力。于是有

其应力圆如图（b ）。

13−8图示悬臂梁，承受荷载F = 10KN 作用，试求固定端截面上A 、B 、C 三点最大切应力值及作用面的方位。

解：固定端截面的弯

矩

,剪

力

。

截面a 点的应力：

习题13−7图

(a)

(b)

习题13−8图

图a

图b

图c

图a

图b