零输入响应和零状态响应

yh (t ) C1e t C 2 e 2 t
激励函数中a = -1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：
y p (t ) C t et
X
三.求解
代入原微分方程得 求得 C 1 特解
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d2 d -t (Cte ) 3 (Cte -t ) 2(Cte -t ) e -t dt dt 2
第 15 页
各激励信号呈线性。
(3)零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对于各起 始状态呈线性。
X
四.对系统线性的进一步认识
例 3：已知一线性时不变系统，在相同初始条件下，当激励为
应为 ；当激励为 。求： (1)初始条件不变，当激励为 (2)初始条件增大 1 倍，当激励为 时的全响应 时的全响应 时，其全响 时，其全响应为
X
第
系统全响应
r ( t ) c i e i t r p ( t )
i 1 n
13 页
自由响应
强迫响应
c xi e
i 1
n
i t
c f i e i t rp (t )
i 1
n
rzi (t ) 零输入响应
式中
rzs (t ) 零状态响应
n
c e
i 1 i
对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。所谓瞬态响应指
t 时，响应趋于零的那部分响应分量；而稳态响应指 t
时，响应不为零的那部分响应分量。 X
四.对系统线性的进一步认识
由常系数微分方程描述的系统在下述意义上是线性的。
(1)响应可分解为：零输入响应＋零状态响应。 (2)零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于
X
二．起始状态与激励源的等效转换
第
4 页
在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。 即可以将原始储能看作是激励源。
电容的等效电路 电感的等效电路
外加激励源 系统的完全响应 可以看作 系统的完全响应 = 起始状态等效激励源 零输入响应 + 零状态响应 ( 线性系统具有叠加性 )
X
共同作用的结果
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，
为大于零的实常数。
。
sin(2t )
解：
设零输入响应为 rzi ( t ) ，零状态响应为 rzs ( t ) ，则有 ) 2e3t r1 (t
r1 (t ) rzi (t ) rzs (t ) 2e 3t sin(2t ) u(t )
例1： 求系统的零输入响应
d2 d y (t ) 3 y (t ) 2 y (t ) 0, y(0 ) 1, y '(0 ) 2 2 dt dt
第
8 页
解：特征方程
特征根 零输入响应 由起始条件 得零输入响应为
2 3 2 0
1 1, 2 2
y zi (t ) C1e t C2 e 2t
5.5e 3t 0.5sin(2t ) u(t )
X
电容器的等效电路
iC (t ) C
第
5 页

v C (t )

vC (0 ) 0, t 0
电路等效为起始状态为零的电容与电压源 vC (0 )ut 的 串联 vC(0 )
iC (t ) C
源自文库

vC (t )

等效电路中的 电容器的起始 状态为零
X
电感的等效电路
i L (t )
第
i 1
n
由初始条件求待定系数。
X
三.求解
例2： 求系统的零状态响应
d2 d y (t ) 3 y(t ) 2 y(t ) et u(t ), y(0 ) 1, y '(0 ) 2 dt 2 dt
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解：特征方程
特征根 齐次通解
2 3 2 0
1 1, 2 2
y (0 ) C1 C2 1 y '(0 ) C1 2C2 2
yzi ( t ) 4e t 3e 2 t , t 0
X
三.求解
零状态响应
系统零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由 状态值 vC (0 )
第
9 页
iL (0 ) 为零决定的初始值求出待定系数。
所以：
yzs (t ) et e2t t et
X
三.求解
求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷积积分法。
第 12 页
(t )
e(t )
线性时不变系统
h(t )
h(t )
r (t )
系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即
r (t ) e(t ) h(t )
r2 (t ) rzi (t ) 2rzs (t ) [e 3t 2sin(2t )]u(t )
X
四.对系统线性的进一步认识
解得
第 17 页
rzi (t ) 3e3t u (t ) rzs (t ) [e3t sin(2t )]u(t )
r3 (t ) rzi (t ) rzs (t t0 )
§2.4 零输入响应和零状态响应
•系统响应的划分
•起始状态与激励源的等效转换
•系统响应的求解
•对系统线性的进一步认识
系统响应划分
自由响应＋强迫响应
第
2 页
(Natural+forced)
暂态响应+稳态响应
(Transient+Steady-state)
零输入响应＋零状态响应
(Zero-input+Zero-state)
n
i t
c xi e
i 1
i t
c fi e
i 1
n
i t
自由响应
零输入响应
零状态响应的 齐次解
X
第 14 页
两种分解方式的区别： 1、 自由响应与零输入响应的系数各不相同
ci
c xi
与
c xi
不相同
c i 由初始状态和激励共同确定
由初始状态确定
2、 自由响应包含了零输入响应和零状态响应中的齐次解
n d k y zs (t ) m d k x (t ) a k dt k bk dt k 系统方程： k 0 k 0 d k y zx (0 ) 起始条件： 0, k 0,1,2, , n k dt
解的形式：齐次解+特解
y (t ) Ci ei t y p (t )
y p (t ) t et
零状态响应：
yzs (t ) C1et C2e2t t et
由起始状态导出初始条件
C1 1 y (0 ) C1 C2 0 y(0 ) 0 y(0 ) 0 y '(0 ) 0 y '(0 ) 0 C 2 1 y '(0 ) C1 2C2 1 0
X
各种系统响应定义
自由响应： 强迫响应： 暂态响应： 也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形 式无关。对应于齐次解。 形式取决于外加激励。对应于特解。 是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的 有关成分，随着时间t 增加，它将消失。
第
3 页
稳态响应： 由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量。 零输入响应： 没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系 统储能）所产生的响应。 零状态响应： 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于 零），由系统的外加激励信号产生的响应。
3e3t u (t ) [e3(t t0 ) sin(2t 2t0 )]u (t t0 )
r4 (t ) 2rzi (t ) 0.5rzs (t )
3e3t u (t ) 0.5 e 3t sin(2t ) u (t ) 2
系统方程：
n d k y zi (t ) a k dt k 0 k 0 d k y zi (0 ) 起始条件： ck , k 0,1,2, , n k dt
解的形式：
yzi (t ) Ci ei t
i 1
n
由起始条件求待定系数。 X
三.求解
6 页
L
v L (t )


i L (0 ) 0，t 0
故电路等效为起始状态为零的电感L和电流源 i L (0 )u(t ) 的并联。

i L (t )
v L (t ) L i L (0 )

X
三.求解
零输入响应
系统零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的
第
7 页
系统状态值决定的初始值求出待定系数。