南航CAD基础习题

习 题 集（CAD 技术及其应用）

1、写出曲线],sin ,[cos )(t t t t =r 在参数t =0处的切线方程和法平面方程。

2、写出曲],,[),(uv v u v u =r 在参面数(1,1)处的切平面方程和法线方程。

3、分别计算直线]2,21,1[)(t t t t +++=r 和圆]sin ,[cos )(t t t =r 的曲率.

4、设]0,1[0-=P , ]0,0[1=P , ]0,2[2=P , ⎩⎨⎧∈-+-∈+-=]

2,1[,)1()2(]1,0[,)1()(2110t t t t t t t P P P P r ,证明)(t r 在1P 处的非C 1连续但G 1连续。

5、已知132)(230+-=u u u F 、23132)(u u u F +-=、20)1()(-=u u u G 、

)1()(21-=u u u G （其中]1,0[∈u ）

是Hermit 基函数，T 0]0,0[P 、T 1]1,1[P 、T 2]0,2[P 是三个型值点。现构造通过这三个型值点的参数三次样条曲线)(u r ，使得起始0P 处的切矢量为]11[0=t ，终点2P 处的切矢量为]11[2-=t 。试计算：（1）该曲线在1P 点处的切矢量1t ；（2）计算第二个曲线段上的点)5.0(1r

6、给定平面上三个控制顶点0V =T ]0,0[、1V =T ]10,10[、2V =T ]0,20[，计算由这三个控制顶点定义的二次Bézier 曲线)(t r 上的点)3/1(r ，以及曲线在该点的切矢)3/1(r '，并画出曲线的大致形状草图。

7、已知一参数三次曲线段)(u r 的首末端点及首末端点上的切矢量分别是：]0,0[)0(=r ，]0,3[)1(=r ，]3,3[)0(='r ，]3,3[)1(-='r 。试根据三次Bézier 曲线的端点性质，求出与)(u r 等价的三次Bézier 曲线的控制顶点，并绘图说明。

8、利用上题的条件，根据均匀三次B 样条曲线的端点段性质计算出与)(u r 等价的三次均匀B 曲线的控制顶点，并绘图说明。

9、有一条k 次B 样条曲线：∑==n

i k i i u N u 0,)()(V r ，其节点是矢量U =[u 0,u 1,.u m -1,u m ]。

试解答如下问题：

(1) 用n 和k 表示m ；

(2) 如果k =2，n 充分大，当改动控制顶点V 2时，有几段曲线的形状会发生变化？写出这几段曲线的控制顶点。

(3) 如果k =2，n=5，在节点矢量除u 0=u 1=u 2外再无其它重节点，请绘出该曲线的草图，并在曲线段之间用黑点隔开。

10、设区间[a ,b ]上有一个分割：a =u 0≤u 1≤…≤u n ≤b ， n 充分大，在该分割上可以按照如下de-Boor 递推公式定义B 样条基函数：

⎩

⎨⎧∉∈=++],[0],[1110,i i i i i u u u u u u N )()()(1,11

111,,u N u u u u u N u u u u u N k i i k i k i k i i k i i k i -++++++-+--+--= （k ≥1） 式中约定0/0=0，i 为节点序号，k 为基函数多项式的次数，u i （i =0,1,…,n ）称为节点。

(1) 写出k 次B 样条基函数N i ,k (u )的定义域。

(2) 如果[u 0,u 1,…,u n ]内部无重节点，N i ,k (u )在哪些节点区间内部非0？

(3) 如果[u 0,u 1,…,u n ]= [0,1,…,n ]，试计算N 0,2(1.5)的值

11. 假设某二次NURBS 曲线r (u )控制顶点是V 0[0,1], V 1[1,1]和V 2[1,0]。首末两个控制顶点的权因子ω0和ω 2都是1. 节点矢量是[0 0 0 1 1 1]。 r (0.5)是第一象限内1/4圆弧的中点。试计算中间点的权因子ω 1的值.

12. 根据如下IGES 文件,写出NURBS 的表达式, 并说明表达式中基函数的节点矢量,基函数的次数、控制顶点以及控制顶点的权因子

13、如图所示，一个整圆可以由具有9个控制顶点或者7个控制顶点的NURBS 曲线表示。写出各表示方法中NURBS 曲线的节点矢量并计算出各控制顶点对应的权因子。

(a) 9点表示圆 (b) 7点表示圆

第13题图

14. 给定如图所示的四条边界曲线以及各曲线的端点，请你根据教材中的相关内容设计出一种曲面，使得该曲面插值于给定的四条边界曲线。

第13题图

)

0,0(r )1,0(r )1,0(r )1,1(r )0,(u r )1,(u r ),0(v r ),1(v r 0V 1V 2V 3V 4V 5

V 6V 0V 1V 2V 3V 4V 5V 6V 7V 8

V