电路原理-动态电路的暂态过程

O
t0
t
幅度为A的阶跃函数：
A ε(t)
0 Aε (t ) A
t 0 t 0
A
t
O
负单位阶跃函数：
ε (t t 0 )
t0
0 - ε(t t0 ) 1
t t0 t t0
O
t
1
单位阶跃函数对应着物理世界中在某一时刻发生突变的 物理量。应用单位阶跃函数可以描述电路中因开关动作导
程亦是指t≥0时电路的输入—输出方程。如果输入—输出方 程是n阶微分方程，则电路方程的初始条件是所求变量（电 压或电流）及其(n－1)阶导数在t＝0＋时的值。
电路的瞬态过程
电路 条件 改变
电阻电路 动态电路
瞬间完成
渐变完成
新稳态 新稳态
动态电路的渐变过程称为瞬态过程（又称过渡过程），处 于瞬态过程中的工作状态称为瞬态。此过程中的电路响应称 为瞬态响应。求解瞬态响应的过程称为瞬态分析。
0 ε (t ) 1
δ(t ) 0
t 0 t 0
t0
ε (t )
1 t
δ (t ) 1 t
Байду номын сангаас
O
dε (t ) δ(t ) dt



δ(t )dt 1
O
ε(t ) δ( ) d

t
0 δ( ) d 1
t
t 0 t 0
例4-2-1 图示电路表示一个未充电的电容元件在
电路出现瞬态过程的原因是，动态元件的储能不能突变。
S(t 0) 10
S(t 0) 10
+
6V 6 V
-
50
+ u
+
6V 6 V
-
5μF
+ u
10
u u 6 50
du C 10 5 10 uC 6 dt
6
解得 u＝5V
u/V
uC (6e－2000t 6) V t≥0
+ + u 2H u L
C
-
-
1. 建立t>0时的电路方程 t>0时的电路：
iR 10
A 20
iL
+
6V 6V
对节点A使用KCL： iR iC iL 对网孔1和网孔2使用KVL：
6 10iR uC 20iL uL uC 0
1
1F
iC
+ u - 2
C
+
2H u L
diL dt
a. 换路前一瞬时的电容电压和电感电流
电容未充电 电路已到达稳态
电容初始电压为零 uC (0 ) 0 此时电感可等效为短路
6 iL ( 0 ) 0.2 10 20
10
20
+
6V 6V
-
iL (0 )
性常系数微分方程。
线性常系数微分方程的求解
1. 先求对应的齐次方程的通解
df (t ) A Bf (t ) C dt
df (t ) 特征方程 A Bf (t ) 0 dt
特征根
Ap B 0
B t A
通解前的 系数a是未 知量
p
B A
通解
f (t ) ae
至此a仍 然未知
uC 20iL 2
由电容和电感元件的元件约束：
uL 2 iC di L dt
diL d 2iL iC 20 2 dt dt
duC dt
d 2 iL diL iR 2 20 iL dt dt d 2iL diL 6 20 202 30iL dt dt
2. 确立初始条件
在换路瞬间电容电压始终为U0，与其电流iC 无关，故对于 uC (0 ) U0 的电容元件，在换路瞬间相当于电压源。
某一时刻的电容电压 uC 、电感电流 i L 分别决定了该时刻 电容元件、电感元件储存的能量，而该时刻电路中的储能和
从该时刻起电路中所存在的激励共同决定电路中的响应。因
此，电容电压和电感电流这两种变量在动态电路的分析中扮 演了非常重要的角色。
例4-2-2 图示一个已充电且电压为 5 V 的电容元件在
t 0 时，通过开关S闭合使电容元件两极板被短接
放电的电路。求电容的放电电流 iC 。
S(t 0) i C
iC
uC / V
1μF
+ -
u C 5V
1μF
+ -
5 t /s
uC
O
uc 51 (t )
例4-2-3 图示电路，开关S在 t 0 时断开，求电感 电流 i L 和电感电压 uL
例 图示电路，t=0时开关S闭合。已知S闭合前的电路已
经处于稳定状态，电容元件是未充电的。1）试以电感
电流iL为输出变量建立t>0时的电路方程并确定方程的初 始条件；2）求电容电流的初始值iC(0+)和电阻电流的初 始值iR(0+)。
iR 10 20 iL
+
6V 6V
S(t 0) 1F i
u/V 6
5
t /s
O
O
t /s
4-2 单位阶跃函数和 单位冲激函数
一、单位阶跃函数
单位阶跃函数的定义：
ε (t )
0 ε (t ) 1
t 0 t 0
1 t
O
移位的单位阶跃函数：
ε (t t 0 ) 1
0 ε(t t0 ) 1
t t 0 t t 0
0
q(0 ) q(0 )
0 0
iC ( ) d
1 0 i L (0 ) i L (0 ) u L ( ) d L 0
(0 ) (0 ) u L ( ) d
0
0
若换路瞬间ic (t)和uL(t)为有限值，则因为0-到0+的Δt无穷小， 积分项应为0，于是：
状态变量：独立的电容电压和独立的电感电流
非状态变量 ：除去独立的电容电压和独立的电感
电流以外的其他的电压和电流（包括电容电流、
电感电压、电阻电压、电阻电流等）
4-4 输入——输出方程的 建立和初始条件的确定
输入-输出方程的建立依据

1. KCL定理 2. KVL定理 3. 元件的u-i关系


初始值的确定步骤
致的某些电压、电流发生的跃变。
S1 (t 0)
u/V u/V 6 6 (t ) O t /s u/V
+
6V 6 V
+
R S2 (t 1s)
6
1
t /s
-
O
u
1
t /s
O
6
6 (t 1)
t<0 S1断开，S2闭合； t=0 S1闭合，S2闭合； t=1 S1闭合，S2断开。
u [6ε(t ) 6ε(t 1)]
2. 求特解 根据原方程等号右边的函数式，设特解为与其相同的形 式b，并将特解带回原方程求出特解 b C / B 3. 通解与特解之和就是方程的解
f (t ) ae
B t A
C / B
4. 利用初始条件求出通解中的未知系数a
f (t ) ae
B t A
C / B
f (0) a C / B a f (0) C / B



δ(t )dt 1
单位冲激函数的理解：从一个时刻看，其幅度是无穷大，但从一段 时间看，它带来的能量变化是有限的。
移位的单位冲激函数：
δ(t t0 ) 0 t t0
δ(t t0 ) 1 t



δ(t t0 ) dt 1
O
t0
三、单位阶跃函数与单位冲激函数的关系
df (t ) A Bf (t ) C dt
的完整解为：
B t A
f (t ) ( f (0) C / B)e
C / B
换路
换路：指电路工作条件的改变。 包括：电源或电路的接通与断开、开关的接通与断开、 电路连接结构或元件参数的改变。 设定 t＝0 发生换路。 换路在0到0+的瞬 t＝0－ 表示换路前的终了瞬间。 间内完成 t＝0＋ 表示换路后的初始瞬间。 本章以后分析的动态电路大多是t≥0时的电路，电路方
uC (0+) ＝ uC (0－)
iL (0 ) iL (0 )
q (0+) ＝ q (0－)
(0 ) (0 )
注意：只有iL、uC不能突变，其他电压、电流均能突变。 【例】 当电容的充电电流或电感的充磁电压有限时， 若 iL (0 ) 0，uC (0 ) 0， 则在换路瞬间此电感和电容各处于 什么状态？ 解 由电容电压和电感电流的连续性条件可知 iL (0 ) iL (0 ) 0 uC (0 ) uC (0 ) 0 说明在换路瞬间（ 0-到0+的Δt 时间段内），电感电流始终为零， 与其两端电压uL 无关，此电感处于开路状态；电容电压始终为 零，与其电流iC 无关，此电容处于短路状态。
t=0+

1. 确立换路前一瞬时的电容电压 uC (0 ) 和电感电流 iL (0 ) 对于换路前已处于稳态的电路，电容电压和电感电流为常 量，故电容电流和电感电压为零。此时，可将电容开路， 电感短路，得到只含电阻、独立源与受控源的t=0-时刻的 等效电路，从而计算 uC (0 ) 和 iL (0 ) 2. 确定换路后一瞬间的电容电压uC (0 )和电感电流 iL (0 ) 根据电容电流和电感电压为有限值条件下，电容电压和电 感电流的连续性，可得 iL (0 ) iL (0 )，uC (0 ) uC (0 )，
R S(t 0) iL
R
iL
+
1mH u L
+
6V is 0.2ε (t )A 1mH u L
0.2A 6V
di L 2 10 4 (t ) dt
-
u L (t ) L
这是一个瞬间存在的，幅度无穷大，强度有限的电压
4-3 电容电压、电感 电流的连续性条件
电容和电感元件的伏安关系表达式
单位阶跃函数还可以用来“起始”任意一个函数f(t)
f (t )
f (t )ε (t t0 )
f (t ) t t 0 f (t ) ε ( t t 0 ) t t0 0
O t
O
t0
t
二、单位冲激函数
单位冲激函数的定义：
δ(t ) 0 t0
O δ (t ) 1 t
1 t u (t ) u (t0 ) i ( )d C t0
1 2 WC Cu (t ) 2
1 t i(t ) i(t0 ) u ( )d L t0
1 2 WL Li (t ) 2
在换路瞬间
1 uC (0 ) uC (0 ) C

0
iC ( ) d
第四章 动态电路的暂态 过程·暂态与稳态
内容提要 动态电路的过渡过程
单位阶跃函数 单位冲激函数 电容电压和电感电流的 连续性条件 输入-输出方程和初始条件 的确定 动态电路的响应
4-1 动态电路的过渡过程
动态电路
电容和电感元件是动态元件，其电压 电流关系（u-i关系）是用导数或积分形式 表示的。 du u (t ) u (t ) 1 t i ( )d iC 0 C t0 dt
【例】当电容的充电电流或电感的充磁电压有限时， 若 iL (0 ) I0，uC (0 ) U0， 则在换路瞬间电感和电容相当于什么元件？ 解 由电感电流和电容电压的连续性原理，
iL (0 ) iL (0 )，uC (0 ) uC (0 )， 说明在换路瞬间电感电流始终为I0，与其两端电压uL 无关，故 对iL (0 ) I 0的电感元件，在换路瞬间相当于电流源。
t 0 时通过开关S接入一个5 V的电压源，求电容
电压 uC 和电容电流 iC
S(t 0) i C
iC
+
5V 6 V
-
1μF
+ -
uC
us 5ε(t )V 6V
+
-
1μF
+ -
uC
du c 5 10 6 (t ) dt 这是一个瞬间存在的，幅度无穷大，强度有限的电流 ic (t ) C
di uL dt
1 t i(t ) i(t0 ) u ( )d L t0
含有动态元件的电路是动态电路。
电路的输入、输出方程
如果将电路中的电压源的电压或电流源的电流 称为输入，将待求的响应电压或响应电流称为输出，
可以建立一种描述该电路的输出变量与输入变量之
间的关系的电路方程，通常称其为输入——输出方 程。 当电路中的电阻元件、电容元件、电感元件 都是线性非时变元件时，输入——输出方程将是线



3. 求解电路中其他变量的初始值。 可在t=0+时刻利用替代定理，用电压等于 uC (0 )的电压源 替代电容元件，用电流等于 iL (0 ) 的电流源替代电感元 件，从而得到只含电阻元件、独立源和受控源的t=0+时 刻的等效电路，再计算电路其他变量的初始值。 4. 根据t>0时的电路方程计算输出变量的（n-1）阶导数 的初始值。