《博弈与社会》第次作业参考答案

《博弈与社会》第3次作业
(北京航空航天大学校级通识课程 2018年春季学期)
(参考答案)
1. 假设一家雇主考虑与一名工人签约，雇主不确切知道工人的类型，只知道工人可能是两种类型，{}1,2i ∈，该率分别为π和1π-。

如果工人付出的“努力程度”是e ，那么两种类型的工人的“努力成本”(或“负效用”) 分别等于：
()21c e e =， ()222c e e =
任何一种类型的工人的效用函数都是：
()()i i U e w c e =-
其中w 代表工人的工资收入。

两种类型的工人的保留效用都等于0。

雇主收益与工人努力程度之间的关系是：
()e k e π=⋅
假设雇主和工人都是风险中性的，也就是当面临风险时，他们都最大化各自的期望受益。

(1) 如果雇主对工人的信息完全了解，那么雇主的最大化问题是什么 (1分)？这时雇主将激励工人选择怎样的努力水平，并为此支付给工人多少工资 (1分)，雇主将获得多少利润 (1分)？ 解：
如果雇主对工人的信息完全了解，也就是可以直接区分第1类工人和第2类工人，那么雇主的最大化问题是：
()()()()11221122max ,,1;e w e w k e w k e w ππ∏=⋅-+-⋅-
()()2
11111111
,0..:U w e w c e w e s t =-=-≥ ()()2
2222222
2,20U w e w c e w e =-=
-≥
注意由于雇主能够可以直接区分第1类工人和第2类工人，这里不需要激励相容约束，只需要参
与约束。

无论要激励工人选择怎样的努力水平，这时雇主向任何一类工人支付的工资都没有理由高于恰好使得该类工人获得保留效用的水平。

因此参与约束一定以等式成立：
()()211111111,0U w e w c e w e =-=-=
()()222222222,20U w e w c e w e =-=-=
⇒
211w e =， 2222w e =
带回到雇主的约束最大化问题，得到无约束最大化问题：
()()()()
22121122max ,12e e k e e k e e ππ∏=⋅-+-⋅-
⇒
12
k e *=
， 24
k e *
=
⇒
124
k w *
=
， 228
k w *
=
这时雇主获得的利润是：
()()()()
11221122,,1;e w e w k e w k e w ππ********∏=⋅-+-⋅-
()2212448k k k k k k ππ=⋅-+-⋅-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()2
2
14
8
k k ππ-=+
22
8
k k π+=
(2) 假设如题干所述，雇主对工人的信息不确切了解，写出这时雇主的最大化问题及其约束条件
(2分)？ 解：
如果雇主对工人的信息不确切了解，雇主的最大化问题及其约束条件是：
()()()()11221122
max ,,1;e w e w k e w k e w ππ∏=⋅-+-⋅-% ()()111
1,0..:U w e IR s t ≥
()()222
2,0U w e
IR ≥ ()()()111
1221,,U w e U w e IC ≥
()()()222
2112,,U w e
U w e IC ≥ 带入相关表达式，上述4个约束条件可以写成： ()2
1110w e IR -≥
()2
22220
w e IR -≥
()22
1122
1w e w e IC -≥-
()2
2
2211
222w e w e IC -≥-
(3) 求解第 (2) 问的最大化问题，得到雇主的最优合约 (3分)，这时雇主将获得多少利润？ 解：
第 (2) 问的最大化问题中，容易证明，当目标函数最大化时，2IR 和1IC 必定以等式成立，即：
22220w e -=， 221122w e w e -=-
⇒
2222w e =， 2222
11221
2
w e w e e e =+-=+ 带回到雇主的约束最大化问题，得到无约束最大化问题：
()()()()
2221211222
max ,12e e k e e e k e e ππ∏=⋅--+-⋅-% ⇒
12
k e *=
， ()2142k e ππ
*
⋅-=
-
⇒
()
()
12
222
1442k k w ππ*⋅-=
+
-， ()
()
22
22
2142k w ππ*
⋅-=
-
这时雇主获得的利润是：
()()()()
11221122
,,1;e w e w k e w k e w ππ********∏=⋅-+-⋅-% ()()()()()()22222221121124424242k k k k k k k ππππππππ⋅-⋅-⋅-=⋅--+-⋅----⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()()()()2222112114424242k k k k k ππππππππ⋅-⋅-⋅-=-+-----⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ ()
()
()
2
2
22124
42k k ππππ⋅--⋅=
+
- (4) 对比雇主知道和不知道工人私人信息的情况 (1分)？ 解：
对比第 (2 问和第 (3) 问的结果，与信息对称的情况相比，如果雇主对工人的私人信息不确切了解，也就是雇主不知道工人的类型，那么均衡时：
(a) 第1类工人 (高能力工人) 的努力程度不变，但是能够得到更高的工资 —— 因此能够获得正的剩余 (而不是0) —— 这是因为为了防止其模仿第2类工人，雇主不得不让渡给其一部分价值；
(b) 第2类工人 (低能力工人) 的努力程度更低，得到的工资也更低，并且仍然只能获得0剩余；
(c) 雇主设计合同，放弃激励第2类工人执行(与对称信息情况下相同水平的)更大的努力程
度，也就意味着放弃了部分本可以通过激励第2类工人工作获得的利润，但其价值在于能够更大程度提高第1类工人模仿第2类工人的成本，雇主因而能够通过激励第1类工人工作实现更大的利润；
(d) 与信息对称的情况相比，在信息不对称的情况下，雇主能够获得最大利润显然更低：
()
()()
2
2
2222
124
842k k k k πππππ⋅--⋅+∏
-∏=+
--%
()
()()
()
2
2
22121842k k ππππ⋅--⋅-=
-- ()()()()2
2
1211842k ππππ--=⋅---⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
()()()()
2
211214
22k ππππ⋅---=
--⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥⎣
⎦
()21114
22k ππ
π⋅--=
--⎛⎫
⎪⎝⎭
()()
2104
22k πππ⋅--=
<-
这是因为在信息不对称的情况下，雇主通过设计合同识别不同类型的工人，并对工人进行激励以实现利润的最大化，需要付出相应的成本。