初中数学培优教材

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八上数学暑假培优班教材

目录第十六章二次根式 (1)第一讲二次根式 (1)第二讲同类二次根式 (8)第三讲二次根式的加减法 (13)第四讲二次根式的乘除法 (17)第五讲二次根式复习 (24)第六讲二次根式达标测试卷 (29)第十七章一元二次方程 (35)第七讲一元二次方程的概念及解法（1） (35)第八讲一元二次方程解法（2） (39)第九讲一元二次方程的解法（3、4） (45)第十讲一元二次方程的判别式 (50)第十一讲一元二次方程的应用 (55)第十二讲一元二次方程复习 (61)第十九章正比例函数与反比例函数 (69)第十三讲函数的概念及表示法 (69)第十四讲正比例函数及图像 (75)第十五讲反比例函数及图像 (81)第十六讲函数综合复习 (87)第十七讲反比例函数复习 (90)第十八讲函数综合测试 (92)第二十章几何证明 (98)第十九讲命题和证明 (98)第二十讲暑假班复习 (105)第十六章二次根式第一讲二次根式【教学目标】知识与技能：掌握积的算术平方根的性质，理解最简二次根式的概念，并能把一个非最简二次根式化为最简二次根式.过程与方法：在学生原有知识的基础上，经历知识的产生过程，探究积的算术平方根的性质.情感、态度与价值观：培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学精神和合作精神【教学重点】会利用积的算术平方根的性质化简二次根式. 【教学难点】将一个非最简二次根式化为最简二次根式. 【考点链接】掌握二次根式的化简.1、代数式a （a 0≥）叫做二次根式，读作“根号a ”，其中a 是被开方数.举例说明：2、32、12+a 、)04(422≥--ac b ac b 等都是二次根式.在实数范围内，负数没有平方根，所以像2-，)0(≥=b a bab a 3、2a 与a 的关系：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(2a a a a a a a4、最简二次根式：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母.同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 举例说明：ab 3、y x +231、)(622b a m +等都是最简二次根式.【例1】设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1）12-x （2）x -2 （3）2x + （4）21x + （5）x1（6）12x -（7）2(1)x -+ （8）23x x -- （9）232x xx ++--【变式1】求使下列各式有意义的字母的取值范围：（1）34x - （2）183a - （3）24m +（4）1x- （5） x x +- （6） 321xx -+【例2】求下列二次根式的值（1）(144)(169)-⨯- （2）233(945)34⨯-（3）2243ππ-+-（）（）（4）221a a ++,2a =-其中（5）()2223(23)-++ （6）224323553⎛⎫--- ⎪⎝⎭;（7）2144x x x -+-+,()12x <<【变式2】求下列二次根式的值：（1）2)3(π- （2）122+-x x ，其中3-=x （3）c a-，其中a =2，c =12- （4）21(2)m +，其中m =-5（5）212x x ++，其中2x =-【例3】判断下列二次根式是不是最简二次根式：（1）35a（2）a 42 （3）324x （4）)1()12(32-≥++a a a （5）ab（6）22a b + （7）2961a a ++ （8）a b -【变式3】化简二次根式（1）72 （2）312a （3）)0(182≥x x（4）3a （5）x 25 （6）)0(92>b ab（7）3612y x（8）2329a bc （,,0a b c >）（9）23279(0)x x x -< （10）423- （11）3222aa ab ab a b-+-一、判断 1.()222ab ab-=-………………………………………………………（）2. 3－2的倒数是3＋2．…………………………………………………（）3. ()21x -＝()21x -．……………………………………………………（）4.8x ，13，29x +都不是最简二次根式．……………………………（）二、选择5. 在式子()22234,,1,20,21x y a x x x x +--<-+，,4x 中，是二次根式的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个三、简答6. 当x 取什么实数时，下列各式有意义? ⑴x -； ⑵()221x -； ⑶12x x -⋅-； ⑷()()12x x --；7. 已知a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简：()()222a a b c a b c -++-++．8. 已知10a -<<，化简221144a a a a ⎛⎫⎛⎫+---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．9. 已知|1－x |－2816x x -+＝2x －5,求x 的取值范围．10. 设1983-的整数部分是a ,小数部分是b ,求2a-b 的值.11. 已知223,y x x =-+-+求22x xy y -+的值.12. 已知294203x x yx -+-=+，求x y ⋅.13. 在△ABC 中，a 、b 、c 是三角形的三边，化简2()a b c -+－2|c －a －b |14. 已知：22816123610x x x x +++-+=，化简：()228212.x x ++-15. 解下列各式：（1）已知0a a +=,试化简22(1)a a -+.（2）a 、b 、c 分别是三角形三边的长.化简：222()()()a b c b c a c b a --+-++--.16. 在实数范围内分解因式：⑴363x x - ⑵2233x x -+1. 当x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义（1）3x + （2）32x - （3）25x -- （4）32x x -- （5）()21x -+ （6）23x x --2. 将下列二次根式化成最简二次根式：（1）0.75 （2）215（3）23125a b c （0,0a b >>）（4）212(0)x x y> （5）322550(0)m m m +> （6）1149-数学黑洞对于数学黑洞，无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去了，就像宇宙中的黑洞可以将任何物质（包括运行速度最快的光）牢牢吸住，不使它们逃脱一样.这就对密码的设值破解开辟了一个新的思路.123（即西西弗斯串）数学中的123就跟英语中的ABC 一样平凡和简单.然而，你按以下运算顺序，就可以观察到这个最简单的.黑洞值：设定一个任意数字串，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数，例如：1234567890，偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有 5 个.奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有 5 个.总：数出该数数字的总个数，本例中为 10 个.新数：将答案按“偶-奇-总” 的位序，排出得到新数为：5510.重复：将新数5510按以上算法重复运算，可得到新数：134.重复：将新数134按以上算法重复运算，可得到新数：123.结论：对数1234567890，按上述算法，最后必得出123的结果，我们可以用计算机写出程序，测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123.换言之，任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞.第二讲同类二次根式【教学目标】知识与技能：理解同类二次根式的含义，会判别几个二次根式是否是同类二次根式；过程与方法：通过与同类项类比，体会类比思想.情感态度与价值观：通过合并同类二次根式，体会类比与迁移的认知方法. 【教学重点】判断几个二次根式是否为同类二次根式. 【教学难点】合并同类二次根式.【考点链接】掌握同类二次根式的概念及同类二次根式的合并.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式.同类二次根式可以合并.【例1】判断下列二次根式，哪些是同类二次根式：（1）12 ，24，271，b a 4，)0(23>a b a ，)0(3>-a ab（2）227和 2.16 （3）22345+和1149-（4）32a a a +和331bab b + （5）22329124a b a ab b +++和32aa b+【变式1】判断下列各组根式是否是同类根式：（1） 15231753851634-- （2） 02n m n m m n m n m n<<+-【例2】根据题意求值：（1）已知最简二次根式423m +和32m -是同类根式，求m 的值.（2）若最简二次根式2a b a b +-与3a b -+是同类二次根式，求a 、b 的值【变式2】若最简根式21x +与132x -是同类二次根式，求1x x+的值【例3】合并下列各式中的同类二次根式并计算. （1）323132122++-；（2）xy b xy a xy +-3（3）320.0852-+ （4）4051000510-+（5）(4543)2312--+ （6）2293273-+（7）318(182)2x x x -+ （8）3(3)(4)b b a b ab ab b +-+【变式3】计算：（1）1131842332⎛⎫-+÷ ⎪ ⎪+⎝⎭ （2）111523⎛⎫÷+ ⎪⎝⎭（3）3325212523162---+-【例3】m 为何值时，最简二次根式22364m m --=与22364m m --=是同类二次根式？【变式3】（1）如果最简二次根式5214x +与34x +时同类二次根式，则x = （2）如果最简二次根式m n -与32n m n ++时同类二次根式，则m = .n =_______ .一、填空题：1. 3-，a b -，21a -+，2(1)a -中是二次根式的有 .2. 当01x ≤≤时，221212x x x x +++-+的值是 .3. 当x ，y 时，()()()()2323x y x y +-=+-4.2233x x y y ++=--成立的条件是 . 5. 计算：1250147⨯⨯= .6. 化简：2248xy y -= （当0y ≥时）322(1)x x x x -+>= .7. 如果21a a=-，那么2(2)1a a ---= . 二、化简求值. 8. 化简：2192334x x xx++9. 已知a ＝12,b ＝14,求b a b-－ba b +的值．三、计算题（1）630.1248++ （2）12462a b a b +-+（3）38218532-+ （4）535452+- （4）12112127333-+ （5）1(40.540.125)2123--+10. 合并同类二次根式：337834(0,0)y x xy x y x y x y x y x ⎛⎫⎛⎫---<< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1. 下列说法中，正确的是（）A.被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式B.m1与m 是同类二次根式C.m 与3m 是同类二次根式D.只有被开方数相同的二次根式才是同类二次根式2. 若最简根式1243+x 与24+x 是同类根式，那么x = . 3. 若最简二次根式5a b a +和8a b +是同类二次根式，则ab 的值为_________.4. 如果最简二次根式2m n n +与3m n +是同类二次根式，那么m ，n 的值为________.5. 合并下列各式中的同类二次根式：（1）5x +x 2x （x ≥0）；（2）3xy -4xy +a xy ；（3）3x 2+5x 8+7x 18；（4）21a +6b -2a +4b ；（5）121126321262366---- （6）332(0,0)b a ab a b ab a b a b-+->>柳卡趣题法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士.他对射影几何与微分几何都作出了重要贡献.如果我们用两条平行线分别表示哈佛和纽约这两座城市，O 点代表从哈佛出发的轮船出发的那一天(假设是十五号)，O 点的右侧数代表出发后的日期，O 点的左侧数代表出发前的日期.过点.作一条垂轴OS 垂直于这两条平行线，设OS 与代表纽约的平行线交于A ，A 点就代表从哈佛出发的轮船出发的那一天(也是十五号).我们将每艘轮船的出发日期与它到达日期之间用线段相连，这些线段都是长度相同的平行线段，表示它们各自的航行路程图线.最后我们将这艘从哈佛出发的轮船的出发时间与它的到达时间也用线段相连，不难发现这根线段的长度与上面的平行线段是等长的，这与条件“轮船都在同一航线上航行”相吻合.看!奇迹出现了，这条线段与从纽约出发的轮船的路程图线产生了15个交点，这15个交点的位置就是它们相遇的具体地点，因此“柳卡问题”的解应为15艘轮船.柳卡图第三讲二次根式的加减法【教学目标】知识与技能:了解同类二次根式的定义.能熟练进行二次根式的加减运算. 过程与方法：探索实际问题引入二次根式的加减法则，再进行归纳与运用. 情感态度价值观：培养学生由特殊到一般的思维能力. 【学习重点】二次根式加减法的运算.【学习难点】快速准确进行二次根式加减法的运算. 【考点链接】掌握二次根式加减法混合运算.【例1】计算：（1）483752+ （2）110.527538⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【变式1】计算：（1）9818- （2）14813250335+-（3）324020.15-+ （4）4131251520--【例2】化简：（1）m m m 21643932-+（2）x x x x 12463621-+（3）qp q p -+-8)(50（先判断出()q p -大于零）【变式2】（1）3256b a ⨯ （2）223a a b ⨯-（3）23285022a a a a a a+-+【例3】解方程：（1）27582723++=x （2）954452->+x x【变式3】解方程：（1）218798x x +<- （2）454224x x -<+（3）20.75312x x ->+ （4）22623-=-x1. 计算：（1）483752+ （2）110.527538⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）23916234m m m +- （4）11366224x x x x+-（5）850()p q p q-+- （6）11112.5300524.5363--+-（7）3258718x x x -+ （8）2748()a b a b-+-（9）0221(32)44-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（10）0(2009)1232π-++-（11）3116943a a + （12）2196234x x x x+-（13）3234535a x a ax x a ⋅ （14）325x y xy÷2. 解下列方程及不等式：（1）111482752751233--+ （2）x x 53365>+（3）x x 3262>+ （4）()1251455x x -=-（5）155353x x ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6）()1381182x x -<+3. 解方程组：32261x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩232321x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩二次根式与算术平方根之区别一、二次根式是一种代数式，而算术平根是一种运算根据二次根式的定义，形如a （0a ≥）的式子叫做二次根式．可见，二次根式是一种代数式，一种含有二次根号“”的代数式，判别一个代数式是不是二次根式，需要先看它是否含有根号“”？再看它的被开方数a 是否为非负数？而算术平方根是指一种运算，一种与平方互逆关系的运算．如9的算术平方根是3，即9=3．这里的9作为9的算术平方根时需要进一步计算，结果等于3．而9作为代数式时，它是二次根式，不能说因为9=3，而9是二次根式，所以3也是二次根式；也不能说因为3不是二次根式，所以9也不是二次根式．二、二次根式比算术平方根内涵更丰富二次根式虽然建立在算术平方根上，但它比算术平方根的含义更丰富．对于二次根式a 来说，它表示的意义仍然是非负数a 的算术平方根．用二次根式的形式表示一个非负数的算术平方根具有形式简洁、含义深刻等优点，通过二次根式探索、表达算术平方根的性质更是如鱼得水、简便之极．公式()2a a =（a≥0），2||a a =，ab ab =（a ≥0，ab ≥0），a ab b=（0a ≥，0b >）充分体现了这一点．三、二次根式都可看作是算术平方根，用根号表示的算术平方根也都是二次根式任何一个二次根式都表示某个非负数的算术平方根，而只有用根号表示的算术平方根才是二次根式．如二次根式3x -表示3x -这个非负数的算术平方根，16的算术平方根16是二次根式．第四讲二次根式的乘除法【教学目标】知识与技能：掌握二次根式乘法法则，能熟练地应用它进行二次根式乘法运算．会逆用二次根式乘法法则，熟练地将二次根式化简过程与方法：体验二次根式乘除法法则的应用过程，培养逆向思维解决问题引导学生从特殊到一般总结归纳的方法以及类比的方法，解决数学问题．情感态度与价值观：通过本节课的学习使学生认识到事物之间是相互联系的,相互作用的.【教学重点】掌握二次根式乘除法的运算法则【教学难点】二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用【考点链接】掌握二次根式的乘除法混合运算.1. 二次根式的乘除法运算法则：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.2. 分母有理化的方法：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.分母有理化的方法，一般是把分子和分母乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号.3. 二次根式比较大小的常见方法（1）平方法：平方法比较两数a 、b 的大小时，当a >0且b >0时，如果22a b >，那么a>b ；如果22a b <，那么a，那么ab. （2）作差法：作差法比较比较两数a 、b 的大小时，如果a-b>0,那么a>b ；如果a-b<0,那么a<b.（3）作商法：作商法比较比较两数a 、b 的大小时，当a >0且b >0时，如果1a b >，那么a>b ；如果1a b <，那么a，那么ab.（4）倒数法（分子有理化法）：当a >0且b >0时，如果11a b>，那么ab ；当a <0且b <0时，如果11a b>，那么ab .【例1】计算：（1）3224⨯ （2）4ab b ⨯ （3）22abc abc ⨯（4）b a 32÷ （5）v u u 32106÷（u>0）（6）c b c a b a 22-÷+（a>b>0）（7）122⨯ （8）b a a +÷【变式1】（1）)0(22322>>+÷-b a b a b a（2）()548327⨯- （3）121520⨯⨯（4）226(0)x xy y ⨯>（5）10521-÷ （6）132624523÷ （7）22224652a b a bx bx++-÷【例2】计算、化简：（1）312（2）72ab（3）221a b+ （4）133+（5）23341+ （6）)(n m nm n m ≠--【变式2】化简：（1）nm n m 3294+- （2）22a b a b -+ （3）()()2x xy y x y -+÷-【例3】计算:（1） 2b a b aa b a b ++-- （2）(0,0)xy y xy xy x y x y x xy ⎛⎫--÷>> ⎪ ⎪-+⎝⎭【变式3】（1）()()362185438-÷+ （2）535353--+【例4】比较下列各式的大小：（1）811+与613+ （2） 257+与358+【变式4】计算：（1）()13223-与（2）19151511--与【例5】先化简再求值.4()()()a b a ba b a b ab b a ab ⎡⎤+-+÷⎢⎥+--⎣⎦，其中a =3，b =4【变式5】已知3232,3232x y -+==+-，求代数式22353x xy y -+的值.一、选择 1. 已知x ＝()1752+，y ＝()1752-，则代数式22x xy y -+的值为（）A ．13B ．112C ．7D ．5 2.若15m m +=，那么1m m-等于（）A ．1B ．－1C ．±1 D．±5 3. 化简x yx y--等于（） A ．x y + B ．x y - C ．x y -+ D ．x y -- 4. 已知A ＝1322+，B ＝，则1111A B +-+等于________________. 5. 当a ＜－b ＜1，化简()21a bb ++的结果是______________.二．计算6. ()()236236-++-7. 2x y xy x yx y x y++---+8. 已知11,5353x y ==-+，求下列各式的值（1）225x xy y -+ （2）x y x yx y x y+---+9. 已知32a b -=+，32b c -=-，求222a b c ab bc ac ++---的值.10. 已知451a =-，求出321212a a a ---的值.11. 已知2222a b =+=-，求代数式：ba ab a b ab bab a a b a b -⎛⎫+÷⋅ ⎪+-++⎝⎭的值.12. 计算：（1）104551-- （2）221111xx x x +-+++（3）()233633⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭ （4）111654246⎛⎫+-÷ ⎪ ⎪⎝⎭（5）1122323--- （6）63223-13. 化简求值：（1）已知2231+=x ，求211xx ++的值（2）已知21x =-，分别求2221x x x x ---和223111xx x -⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值14. 计算：（1）112315353----+ （2）625- 2. 化简（计算）：（1）64332(63)(32)++++（2）222694+4+1025x x x x x x +++--+（5x ≥）15. 已知171a =-，求54321999(2171817)a a a a a +--+-的值16. 化简已知11,11n n n nx y n n n n+-++==+++-（n 为自然数），问n 为何值时，代数式221913619x xy y ++的值为1998.从小立志科学救国------ 熊庆来的故事熊庆来（1893-1969）是云南弥勒县人，中国现代数学的先驱，为中国数学事业的发展做出了杰出贡献.熊庆来的父亲熊国栋，精通儒学，但更喜欢新学，思想很开明，对熊庆来的影响很大.少年时的熊庆来从他父亲那里常听到有关孙中山民主革命的事情，这在幼年熊庆来的心田播下了爱国的种子.1907年，熊庆来考入昆明的云南方言学堂，不久又升入云南高等学堂.当时满清王朝已日薄西山，各地的反清斗争风起云涌，抗捐、抗税、罢课、罢市、兵变遍及全国，清政府陷入于风雨飘摇之中.熊庆来由于参加了“收回矿山开采权”的抗法反清的示威游行而遭到学校的记过处分.现实的生活与斗争命命名熊庆来认识到：要使国家富强，必须掌握科学，科学能强国富民.1913年，熊庆来赴欧留学.1914年，第一次世界大战爆发，他从比利时经荷兰、英国，辗转到了法国巴黎.8年间先后获得高等数学、力学及天文学等多科证书，并获得理学硕士学位.1921年，28岁的熊庆来学成归国，一心想学以致用，救民于水火.1949年6月，国民党反动政府趁熊庆来去巴黎参加国际会议的机会，解散了熊庆来苦心经营12年的云南大学.年近花甲的熊庆来怀着“壮志难酬，报国无门”的心情，决定滞留在法国继续从事函数论的研究.“……祖国欢迎你，人民欢迎你！欢迎你回来参加社会主义建设的伟大事业……”1957年4月，周总理给熊庆来写信，动员他回国.同年6月，熊庆来在完成了函数论专著稿后，毅然启程，回到了祖国的怀抱.他表示，愿在社会主义的光芒中鞠躬尽瘁于祖国的学术建设事业.在回国后的7年中，他在国内外学术杂志上发表了近20篇具有世界水平的数学论文.还培养了杨乐、张广厚等一批数学人才，为祖国赢得了荣誉，表现了这位七旬老人热爱祖国的赤子之心.第五讲二次根式复习【教学目标】知识与技能：理解二次根式的概念，了解被开方数必须是非负数的理由，了解最简二次根式的概念，理解二次根式的性质；掌握二次根式的加、减、乘、除运算性质，会用它们进行有关实数的简单四则运算；了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.过程与方法：经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程发展学生的归纳概括能力.同时学生经历由实际问题引入数学问题的过程，发展学生的抽象概括能力.情感态度与价值观：培养学生善于思考，认真细致、一丝不苟的科学精神.二、重难点分析【教学重点】掌握本单元知识体系，理解各知识点之间的关联，会在理解二次根式的概念及性质基础上进行相关计算，解决问题.【教学难点】理解二次根式的性质和运算法则的合理性灵活应用本单元知识解题，会将本单元知识与其他单元知识综合运用.【考点链接】对重点类型及综合性比较强的题型作重点分析，养成独立的思维方式，达到举一反三的目的.1.二次根式的概念：代数式()0a a≥叫做二次根式. a有意义的条件是0a ≥.2. 二次根式的性质性质1()20a a a =≥；※2(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩性质2()2()0a a a =≥;性质 3 ab a b =⋅ ()0,0a b ≥≥ ※(0,0)ab a b a b =-⋅-≤≤ 性质 4a ab b=（0,a b ≥>0）一般地,我们有22ab a b b a =⋅=. 3. 最简二次根式化简二次根式：把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外,或者化去被开方数的分母的过程,称为化简二次根式,通常把形如()0m a a ≥的式子叫做最简二次根式.4. 同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二次根式.5. 二次根式的混合运算6. 分母有理化把分母中的根号化去就是分母有理化.即是指分母不含二次根式的运算的技术. 分母有理化的方法是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式,使分母不含根号.上述的适当代数式即是指有理化因式.【例1】求下列各式有意义的所有x 的取值范围.（1）32x - （2）31x + （3）12x x +-（4）311x x++- （5）21x x -- （6）245x x --【变式1】若02=+m m ，则m ；若()111--+x 有意义，则x 的取值范围是 . 【例2】最简二次根式：根式225,4,17,,26,123ma a x x +中最简二次根式为__________________. 同类二次根式根式为_________________________.【变式2】二次根式：①29x -；②))((b a b a -+；③122+-a a ；④x1；⑤75.0最简二次根式是A.①②B.③④⑤C.②③D.只有④若最简二次根式1522+x 与－172-x 是同类二次根式，则x =__________；【例3】将下列二次根式分母有理化（1）242a a ++ （2）22a a -+（3）512x（4）222p q p q --（p>q ）【变式3】分母有理化：（1）yx y y x x -- （2）21aa a ++ （3）53212-+【例4】化简：（1）()4442a ba ab b a b-÷++-（2）2224422222a a a a a a++++++-【变式4】运算与化简：（1）125-51125+14165；（2）ab ab b ab a b a ab -⎛⎫-÷ ⎪-+⎝⎭；（3）642642+-；（4）5322-+；【例5】化简求值：已知：3232,22a b +-==，求: 33ab a b +的值.【变式5】已知实数x 满足118,x x x x +=>,求1x x-的值.一、填空题：1. 若a 是a 的算术平方根，则a 的最小值为__________.2. 下列根式中是同类二次根式的个数是__________.（1）23a b 、（2）24ab 、（3）239a b 、（4）25123ab 、（5）52a b3. 2332+的有理化因式是____________________.4. 当a ≥0时，化简：23a =______________.5. 比较1413-________1312-的大小.6. 若三角形的两条边长分别为32+和132+，则第三边x 的取值范围是___ ____.7. 已知：2a a =-1，则2(1)a --∣1-2a ∣=________.8. 使21aa--有意义的条件是___ _________.9. 若5>a>4,则22(4)(5)a a ---＝___________________. 10. 不等式()231x -≤的解集为__________.11. 设21的整数部分为x ，小数部分为y ，则25()x y y-+=______________. 12. 已知21,a =+121b =-，则a 与b 的关系是（）.A ． a ＝b ；B ab ＝1；C a ＝-b ；D ab ＝-1.13. 如果等式()011x +=和2(32)23x x -=-同时成立，则需要条件（）. Ａ．1x ≠-；Ｂ．23x <且1x ≠-；Ｃ．23x ≤或1x ≠-；Ｄ．23x ≤且1x ≠-二、计算：14. 化简3244a a a --+15. 已知： 112323x y ==+-，求：225x xy y -+.16. 若5的整数部分为a ，小数部分是b ，求：1a b-的值.17. 点P （）是第二象限的点,则2445a a a -++-=_________.18. 已知2218102x xx x ++=,则x 的值是____________. 19. 已知3,2a b ab +=-=,计算b aa b+的值.20. 若,a b 分别是613-的整数和小数部分,则求()()11a b +-的值.21. 已知a,b 分别为等腰三角形的两条边长,且a,b 满足43632b a a =+-+-,求此三角形的周长？22. 阅读理解题：化简352-时，甲的解法是：352- =3(52)(52)(52)+-+=52+，乙的解法是：352-=(52)(52)52+--=52+；（1）甲和乙的解法是否都正确？（2）对正确的解法请说明使用的方法或技巧，对错误的解法请加以改正.第六讲二次根式达标测试卷21.1 二次根式：1. 使式子4x -有意义的条件是 .2. 当__________时，212x x ++-有意义.3. 若11m m -++有意义，则m 的取值范围是 . 4. 当__________x 时，()21x -是二次根式.5. 在实数范围内分解因式：429__________,222__________x x x -=-+=.6. 若242x x =，则x 的取值范围是 .7. 已知()222x x -=-，则x 的取值范围是 . 8. 化简：()2211x x x -+<的结果是 . 9. 当15x ≤<时，()215_____________x x -+-=.10. 把1a a-的根号外的因式移到根号内等于 . 11. 使等式()()1111x x x x +-=-+成立的条件是 . 12. 若1a b -+与24a b ++互为相反数，则()2005_____________a b -=.13. 在式子()()()230,2,12,20,3,1,2xx y y x x x x y >+=--<++中，二次根式有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（）A. 7-B. 32mC. 21a +D.a b15. 若23a <<，则()()2223a a ---等于（） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 16. 若()424A a =+，则A =（）A. 24a +B. 22a +C. ()222a + D. ()224a + 17. 若1a ≤，则()31a -化简后为（）A. ()11a a --B. ()11a a --C. ()11a a --D. ()11a a --18. 能使等式22x xx x =--成立的x 的取值范围是（） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x > D. 2x ≥19. 计算：()()222112a a -+-的值是（） A. 0 B. 42a - C. 24a - D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（）()()()()()222323121232312223233224=⨯=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=-⨯=∴=-∴=-A. ()1B. ()2C. ()3D. ()421. 若2440x y y y -+-+=，求xy 的值.22. 当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值.23. 去掉下列各根式内的分母：()()21303y x x> ()()()51211x x x x ->+24. 已知2310x x -+=，求2212x x+-的值.25. 已知,a b 为实数，且()1110a b b +---=，求20052006a b -的值.21.2 二次根式的乘除26. 当0a ≤，0b <时，3__________ab =. 27. 若22m n +-和3223m n -+都是最简二次根式，则_____,______m n ==.28. 计算：23________;369__________⨯=⨯=. 29. 计算：()483273_____________-÷=.30. 长方形的宽为3，面积为26，则长方形的长约为（精确到0.0（1）.6. 下列各式不是最简二次根式的是（） A. 21a + B. 21x + C.24bD. 0.1y 31. 已知0xy >，化简二次根式2yx x-的正确结果为（）A. yB. y -C. y -D. y --32. 对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（） A. ()2a b a b +=+ B. 22a b a b +=+ C.()22222a b a b +=+ D.()2a b a b +=+33. 23-和32-的大小关系是（）A. 2332->-B. 2332-<-C. 2332-=-D. 不能确定 34. 对于二次根式29x +，以下说法中不正确的是（） A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 35. 计算：（1）232⨯ （2）353x x ⨯（3）()()3540,0ab a b a b ⋅-≥≥ （4）212121335÷⨯（5）532332b ab a b b a ⎛⎫⋅-÷ ⎪⎝⎭36. 化简：()()351.0,0a b a b ≥≥ ()2.x y x y-+ ()3213.a a a ---37. 把根号外的因式移到根号内：()11.55- ()()12.11x x --21.3 二次根式的加减38. 下列根式中，与3是同类二次根式的是（） A. 24 B. 12 C.32D. 18 39. 下面说法正确的是（）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式B. 8与80是同类二次根式C. 2与150不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为2的根式40. 与3a b 不是同类二次根式的是（）A.2ab B. b a C. 1abD. 3b a 41. 下列根式中，是最简二次根式的是（）A. 0.2bB. 1212a b -C. 22x y -D. 25ab 42. 若12x <<，则224421x x x x -++++化简的结果是（） A. 21x - B. 21x -+ C. 3 D. -3 43. 若2182102x x x x++=，则x 的值等于（）A. 4B. 2±C. 2D. 4±44. 若3的整数部分为x ，小数部分为y ，则3x y -的值是（） A. 333- B. 3 C. 1 D. 345. 在8,12,18,20中，与2是同类二次根式的是 .46. 若最简二次根式125a a ++与34b a +是同类二次根式，则____,____a b ==. 47. 一个三角形的三边长分别为8,12,18cm cm cm ，则它的周长是 cm.48. 若最简二次根式23412a +与22613a -是同类二次根式，则______a =. 49. 已知32,32x y =+=-，则33_________x y xy +=.50. 已知33x =，则21________x x -+=.51.()()200020013232______________-⋅+=.52. 计算： ⑴. 11221231548333+-- ⑵. ()1485423313⎛⎫-÷+-+ ⎪⎝⎭⑶.()()()2743743351+--- ⑷.()()()()222212131213++--53. 计算及化简：⑴. 2211a a a a ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⑵.2a b a b aba b a b-+----⑶.x y y x y x x y x y y xy x x y-+-+- ⑷.2a ab b a b aa b a ab b ab b ab ⎛⎫++--÷ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭54. 已知：3232,3232x y +-==-+，求32432232x xy x y x y x y -++的值.55. 已知：1110a a+=+，求221a a +的值.56. 已知：,x y 为实数，且113y x x <-+-+，化简：23816y y y ---+.第十七章一元二次方程第七讲一元二次方程的概念及解法（1）【教学目标】知识与技能：1. 掌握一元二次方程的概念，能准确判断一个方程是否是一元二次方程.2.记住一元二次方程的一般形式，能准确求出各项的系数.3.能根据实际问题的需要，通过设未知数列出一元二次方程2. 掌握一元二次方程的解法一：开平方法.过程与方法：通过观察，归纳一元二次方程概念的教学；使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式.情感态度与价值观：通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】一元二次方程系数含“-”号时不容忽视，常数中含字母时要一起带上.【教学难点】运用直接开平方法时注意通常有两个根.【考点梳理】掌握一元二次方程的概念及一元二次方程的解法一1. 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.2. 任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成20ax bx c ++= （a 、b 、c 是已知数，0a ≠）的形式，这种形式简称一元二次方程的一般式.其中2ax 叫做二次项， a 是二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项．3. 一元二次方程的解法解法1：直接开平方法如果一元二次方程的一边含有未知数的代数式的平方，另一方是一个非负数的常数，那么就可以直接用开平方法求解，这种方法适合()()20x h k k +=≥的形式.其解为x h k =-+.说明：对于一般形式下的一元二次方程不能直接用开平方法求解. 解法2：因式分解法：通过因式分解使一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使两个一次式分别等于0，这种解法，叫做因式分解法.一般步骤：将方程右边化为0将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程. 令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程.分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.【例1】判断下列方程是否为一元二次方程.（1）2235x =+ （2）250x x -= （3）2230x xy --= （4）5x x +=【变式1】判断下列方程是否为一元二次方程. （1）22(3)21x x x -=+ （2）133x x x+=-（3）2()10abx a b x +++= （4）23340x x -+=【例2】当m 取何值时，方程()11320m m x x +-+-=是一元二次方程.【变式2】（1）关于x 的方程()23120k x x k --+=，当k ，方程为一元二次方程.（2）关于x 的方程()()211320m x m x m -++++=，当m 时为一元一次方程；当m 时为一元二次方程.【例3】将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数. （1）2435x x -=；（2）()()22831x x x ++=-（3）3(1)2(1)8x x x -=++ （4）2(3)3y y -=-（5）234x x =+ （6）26y y =【变式3】将下列一元二次方程化成一般式，并写出方程中的各项及各项系数. （1）2()2a b x a b a -++= （a 、b 是常数，且a b ≠）（2）2(3)5726m x mx m mx --+=-（3）22(21)(1)(3)(2)y y y y --+=+- 【例4】用开平方法解下列方程：（1）()()224319310x x --+= （2）()2226x -=（3）()222312x -= （4）()()22212x +=+【变式4】用开平方法解下列方程：（1）()232x += （2）()23120x +-=（3）()23210x --= （4）()242510x ++=（5）()23127y -= （6）()()111x x -+=一、填空题 1．一元二次方程中，只含有______个未知数，并且未知数的______次数是2．它的一般形式为__________________．2．把2x 2－1=6x 化成一般形式为__________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______． 3．若（k ＋4）x 2－3x －2=0是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是______． 4．把（x ＋3）（2x ＋5）－x （3x －1）=15化成一般形式为______，a =______，b =______，c =______．5．若x x m －m +-222)(－3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是______． 6．方程y 2－12=0的根是______．7．把方程x x x +=-2232化为一元二次方程的一般形式（二次项系数为正）是__________，一次项系数是______．8．把关于x 的一元二次方程（2－n ）x 2－n （3－x ）＋1=0化为一般形式为_______________，二次项系数为______，一次项系数为______，常数项为______． 9．若方程2kx 2＋x －k =0有一个根是－1，则k 的值为______．二、选择题10．下列方程：（x ＋1）（x －2）=3，x 2＋y ＋4=0，（x －1）2－x （x ＋1）=x ，,01=+xx ,5)3(21,42122=+=-+x x x 其中是一元二次方程的有（）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．形如ax 2＋bx ＋c =0的方程是否是一元二次方程的一般形式，下列说法正确的是（）． A ．a 是任意实数 B ．与b ，c 的值有关 C ．与a 的值有关 D ．与a 的符号有关12．如果21=x 是关于x 的方程2x 2＋3ax －2a =0的根，那么关于y 的方程y 2－3=a 的解是（）． A ．5± B ．±1 C ．±2 D ．2±13．关于x 的一元二次方程（x －k ）2＋k =0，当k ＞0时的解为（）．。

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【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）A. a 2 1B. 12C. 8D. 27初中数学九年级培优目录第1 讲二次根式的性质和运算(P2 --- 7)第2 讲二次根式的化简与求值(P7 --- 12)第3 讲一元二次方程的解法(P13 --- 16)第4 讲根的判别式及根与系数的关系(P16 --- 22)第5 讲一元二次方程的应用(P23 --- 26)第6 讲一元二次方程的整数根(P27 --- 30)第7 讲旋转和旋转变换（一）(P30 --- 38)第8 讲旋转和旋转变换（二）(P38 --- 46)第9 讲圆的基本性质(P47--- 51)第10 讲圆心角和圆周角(P52 --- 61)第11 讲直线与圆的位置关系（P62 --- 69）第12 讲圆内等积证明及变换((P70 --- 76)第13 讲弧长和扇形面积(P76 --- 78)第14 讲概率初步(P78 --- 85)第15 讲二次函数的图像和性质(P85 --- 91)第16 讲二次函数的解析式和综合应用(P92 --- 98)第17 讲二次函数的应用(P99 --- 108)第18 讲相似三角形的性质(P109 --- 117)第19 讲相似三角形的判定(P118---- 124)第20 讲相似三角形的综合应用(P124 ---- 130)考点·方法·破译第1 讲二次根式的性质和运算1. 了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；2. 掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3. 会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏析【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C、D 含开方数4、9，故选 A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）A. 10B. 8C. 6D. 2⑵①a2b2 ；②x；③5x2 xy ；④27 abc ，最简二次根式是（）A ．①,②B ．③,④C．①,③ D ．①,④【例２】( 黔东南) 方程4x 8x y m 0 ，当y＞0 时，m 的取值范围是（）A ．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0 的结论. 由题意得4x－8＝0，x－y－m＝0.化为y ＝2－m，则2－m＞0，故选 C.【变式题组】2．（宁波）若实数x、y 满足x 2 ( y 3) 20 ，则xy 的值是.3．（荆门）若x 1 1 x (x y)2 ，则x－y 的值为（）A ．－ 1B ．1 C．2 D．34．（鄂州）使代数式x 3有意义的x 的取值范围是（）x 4A ．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3 且x≠45. （怀化） a 2 b 3 (c 4) 0 ，则a－b－c＝.【例３】下列二次根式中，与24 是同类二次根式的是（）A ．18 B．30 C．48 D．54【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样.A ．18 3 2 ；B ．30 不能化简； C. 48 4 3 ；D．54 3 6 ，而24 2 6 .故本题应选 D.【变式题组】6. 如果最简二次根式3a 8 与17 2a 是同类二次根式，则a＝．7. 在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A ． 3 和18B ． 3 和13C．a2 b和ab2 D ． a 1 和 a 18. 已知最简二次根式 b a 3b 和2b a 2 是同类二次根式，则a＝，b＝. 【例４】下列计算正确的是（）A ． 5 3 2B ．8 2 4C．27 3 3 D．(1 2)(1 2) 122 a(a＞0)【解法指导】正确运用二次根式的性质①( a) 2a(a≥0) ；② a 2 a0(a 0) ；③ab a b( a≥0, b≥0) ；④b b(b≥0, a＞0)a aa(a＜0)进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算. A 、 B 中的项不能合并.D.(1 2)(1 2) 1 ( 2) 2【变式题组】1..故本题应选 C.9. （聊城）下列计算正确的是（）A ．2 3 4 2 6 5B ．8 4 2C．27 3 3 D．( 3)2 310. 计算：( 15 4) 2007(4 15) 200711．(2 3 3 2) 2 (2 3 3 2) 212. ( 济宁) 已知 a 为实数，那么a2 ＝（）A ．aB ．－a C．－1 D．013. 已知a＞b＞0，a＋b＝6 ab ，则a ba b的值为（）2 1A ．B ．2 C． 2 D．2 2【例５】已知xy＞0，化简二次根式xy的正确结果为（）x2A ．yB ．y C．y D．y【解法指导】先要判断出y＜0，再根据xy＞0 知x＜0. 故原式xyx【变式题组】y . 选D. 14. 已知a、b、c 为△ ABC三边的长，则化简 a b c ( a b c) 2的结果是.15. 观察下列分母有理化的计算：并利用这一规律计算：1 12 1 ，2 13 213 2 ，4 34 3 ，算果中找出规律，(1 1L1) ( 2006 1) .2 13 2 2006 200516．已知，则0＜x＜1，则( x 1)2 4 ( x1) 2 4 .x x1 1 b 5 1 5 1【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：，其中 a ，b .a b b a(a b) 2 22⑵已知 x3 2 ， 32y3 2 ，那么代数式 32xy (x y)2 xy (x y)2值为 .【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋ y 的值，再代入求值 .ab a( a b) b 2(a b)2a b 5 1 5 1 【解】⑴原式＝，当 a， b时， ab ＝ 1，a ＋ b ＝ 5 ,原式＝ 5 .ab(a b)ab (a b)ab22⑵由题意得： xy ＝ 1， x ＋ y ＝ 10, 原式＝ .【变式题组】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋ b)2＋ (a － b)(2a ＋ b)－ 3a 2，其中 a2 3 , b3 2 .a2a 2a 418．（黄石）已知 a 是 43 的小数部分，那么代数式 ( 22) (a ) 的值为 .a 4a 4 a2a a【例７】已知实数 x 、y 满足 ( x x22008)( yy22008) 2008，则 3x 2－2y 2＋ 3x － 3y － 2007 的值为（）A ．－ 2008B ．2008C ．－ 1D ． 1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出 a 、b 的关系，再代入求值 .解: ∵ ( x x 22008)( y y22008) 2008，∴ ( xx22008)2008 yy 2008 ，( yy22008)yy22008 xx220082008xx22008 ，由以上两式可得 x ＝ y.选 D.∴ ( x x22008) 2008, 解得 x 2＝2008，所以 3x 2－ 2y 2＋ 3x － 3y － 2007＝ 3x 2－ 2x 2＋ 3x － 3x － 2007＝x 2－ 2007＝ 1，故【变式题组】19．若 a ＞0， b ＞ 0，且a( ab) 3 b( a5 b ) ，求 2a3bab的值 .演练巩固 · 反馈提高a b ab01. 若 m40 4 ，则估计 m 的值所在的范围是（）A ． 1＜ m ＜ 2B ． 2＜ m ＜ 3C ． 3＜m ＜ 4D ． 4＜m ＜ 502．（绵阳）已知12 n 是正整数，则实数 n 的最大值为（）A ． 12B ．11C ． 8D ． 303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（）1 A.7 B. 3C.2D. 204．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（）1 100 101 1 100992 2A.2 B. 6 C. 8 D. 1005．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.12B.x233 C.D.2a 2b06．（常德）设 a ＝ 20， b ＝ (－ 3)2, c 9 , d ( 1) 1 2, 则 a 、b 、 c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（）A ．c ＜ a ＜ d ＜bB ． b ＜ d ＜ a ＜ cC ． a ＜ c ＜ d ＜bD ． b ＜ c ＜ a ＜ d07．（十堰）下列运算正确的是（） A ． 32 5 B ． 32 6C ． ( 3 1)23 1D ．52325 308．如果把式子 (1 a)1 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）1 aA ．1 a B ． a 1C ．a 1D ．1 a09．（徐州）如果式子(x 1)2x 2 化简的结果为 2x － 3，则 x 的取值范围是（）A ． x ≤ 1B ．x ≥ 2C ． 1≤ x ≤ 2D ． x ＞ 010．（怀化）函数 yx 中自变量的取值范围是.x 211．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算 a ※ b ＝3 2 5 .那么 12※ 4＝ .3 2a21 a 112．（荆州）先化简，再求值：232，其中 a 3 .a2a 1 a a13．（广州）先化简，再求值：( a培优升级3)( a3) a(a 6) ，其中 a51 .201．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x － 2 和 5x ＋ 6，则这个数是 .02．已知 a 、b 是正整数，且满足 2(15 15 ) a b是整数，则这样的有序数对（ a ，b ）共有对.03．（全国）设 a5 1 ，则aa42a 3a 2a 23.04．（全国）设 x2 aa1, a 是 x 的小数部分 , b 是 x 的小数部 , 则 a 3 ＋b 3＋ 3ab ＝ .2 105．（重庆）已知yx22 x222 ，则 x ＋y ＝ .5x 4 4 5x06．（全国）已知 a2 1 ， a 2 2 6 ， a 6 2 ，那么 a 、b 、c 的大小关系是（）A ． a ＜ b ＜ cB ．b ＜ a ＜ cC ． c ＜ b ＜ aD ．c ＜ a ＜ b35207．（武汉）已知 yx 1 4 x （ x ， y 均为实数），则 y 的最大值与最小值的差为（）A ． 6 3B ．3C ． 5 3D ． 6308．（全国）已知非零实数a 、b 满足 2a 4 b 2(a 3)b 24 2a ，则 a ＋ b 等于（）A ．－ 1B ． 0C ．1D ． 209．（全国） 23 2 2 17 12 2 等于（）A ． 5 4 2B ． 4 2 1C ． 5D ． 110. 已知 x2 xy y 0( x 0, y0) ，则3x xy y的值为（）1 1 A ．B ．325x 2 3 C ．D ．343 xy4 y11.已知 a b 2 a 1 4 b 2 3 c 3 1c 5 ，求 a ＋ b ＋ c 的值 . 212. 已知 913 与 913 的小数部分分别是 a 和 b ，求 ab － 3a ＋ 4b ＋ 8 的值 .考点·方法·破译第 2 讲二次根式的化简与求值1. 会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2. 会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值 .3. 会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典· 考题· 赏析【例１】（河北）已知x1 2 ，那么x x 的值等于xx3x 12x9 x 1【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用 1x表示或化简变形 .x解：两边平方得，x1 2 4 ， xx1 2 ，两边同乘以 x 得， xx21 2 x ，∵ x 23x 1 5 x ， x29 x 1 11x ，22∴原式 = 1 1 511【变式题组】5 11 =5111. 若 a1 14 （0＜ a ＜1），则 a a a2. 设x1aa ，则 4x x 2的值为（）A. a1aB.1 aaC. a1 aD ．不能确定【例２】（全国）满足等式x y y x2003x2003y 2003xy＝ 2003 的正整数对（ x, y ）的个数是（） A ． 1B ． 2C ． 3D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解 .解：可化为xy( x y) 2003( x y) 2003( xy 2003) 0 ，∴ (xy 2003)( x y2003) 0∵xy2003 0 ，∴ xy2003 0，则 xy ＝2003，且 2003 是质数，∴正整数对（ x, y ）的个数有 2 对，应选 B. 【变式题组】3．若 a ＞ 0， b ＞ 0，且 a( a 4 b ) 3 b( a 2 b ) ，求 2a 3b ab 的值 .【例３】（四川）已知：xa1 (0 aa 1) ，求代数式a b abx2x 6 x 3 x 2 2x 2 4x 的值 . xx2 x x 2x24x【解法指导】视 x － 2，x 2-4 x 为整体，把xa约.1 平方，移项用含 a 的代数式表示 x － 2，x 2-4 x ，注意 0＜a ＜1 的制 a解：平方得，x a1 2 ，∴ x 2 aa 1 ， x2a4x 4 a21 2 ，a2x4x a1 2 ，a( x 3)(x 2)x( x 2) x 2x 24x∴化简原式＝g x x 3 x 2 x 24xa 1 ( 1 a)＝ (a 1 )2 a a a 2 2 a a 1 ( 1 a) a a【变式题组】2， 4．（武汉）已知 xx 31 232 1，求代数式x 3 ( 52 x 4 x 2x 2) 的值.5．（五羊杯）已知 m 12 ， n 12 ，且 (7 m 2 14m a)(3n 26n 7) 8 ，则 a 的值等于（）A ．－ 5B ． 5C ．－ 9D ．9【例４】（全国）如图，点 A 、C 都在函数 y等边三角形，则点 D 的坐标为.3 3 ( xx0) 的图像上，点 B 、D 都在 x 轴上，且使得△ OAB 、△ BCD 都是【解法指导】解：如图，分别过点 A 、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为E 、F. 设OE=a ，BF=b ，则 AE= 3 a ，CF = 3 b ，所以，点 A 、C 的坐标为（ a, 3 a ）、（ 2a ＋ b, 3 b ），所以3a23 3ya 3 ，解得，3b (2 a b) 3 3因此，点 D 的坐标为（ 2 6 ,0）【变式题组】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.b63ACOE BF Dx在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如52 2 ，3 3 3一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 15 5 3 3 33 5 3 ；（一）3 2 2 3 33 36 ；（二）3223 13 3 11 3 13 1 ；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化，2还可以用以下方法化简：2 3 1 3 13 123 13 3 13 1 1 3 13 13 1；（四）（ 1）请你用不同的方法化简2；53①参照（三）试得：2=；（要有简化过程） 5 3②参照（四）试得： 2 =；（要有简化过程）53 （ 2）化简：1 1 1L1 3 153752n 12 n 1【例５】（五羊杯）设 a 、b 、c 、d 为正实数， a ＜ b ， c ＜ d ，bc ＞ ad ，有一个三角形的三边长分别为a2c 2 ， b2d 2，(b a)2(d c)2，求此三角形的面积 .【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积 ( 为什么 ?) ，a2边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.c 2的几何意义是以 a 、c 为直角边的直角三角形的斜解：如图，作长方形 ABCD ，使 AB ＝ b － a ， AD ＝c ，延长 DA 至 E ，使 DE ＝d ，延长 DC 至 F ，使 DF ＝ b ，连结 EF 、FB 、EB ，则BF ＝a2c2， EF ＝b2d2，BE=(b a)2(d c)2，从而D知△ BEF 就是题设的三角形，而 S △ BEF ＝S 长方形 ABCD ＋ S △ BCF ＋ S △ ABE baCF － S △ DEF ＝ ( b － a) c ＋ 1 2( d －1 1c)( b － a) － bd ＝ ( bc －ad)d 22A cE【变式题组】7． ( 北京 ) 已知 a 、b 均为正数，且 a ＋b ＝ 2，求 U ＝a24b21演练巩固 · 反馈提高3 2 3 2xy x 2y2 01. 已知 x， y32，那么代数式32xy x2值为y202. 设 a7 1，则 3a312a26a 12 ＝（）A ． 24B ． 25C ． 4 7 10D ． 4 7 1203．（天津）计算 ( 3 1)20012( 3 1)20002( 3 1)1999200104．（北京）若有理数 x 、 y 、z 满足xy 11 z 2( x y z) ，则 2( x yz)205．（北京）正数 m 、 n 满足 m 4 mn 2 m 4 n4n 3 0 ，则m 2 m 2 n n 8200206．（河南）若 x3 1 ，则 x3(2 3) x2(1 2 3) x 3 5 的值是（）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 807. 已知实数 a 满足 2000a a 2001 a ，那么 a 20002的值是（）A ． 1999B ． 2000C ． 2001D ． 200208. 设 a1003 997 ， b 1001 999 ， c 2 1000 ，则 a 、b 、c 之间的大小关系是（）A ． a ＜ b ＜ cB ． c ＜ b ＜ aC ． c ＜ a ＜ bD ． a ＜ c ＜ b09. 已知 1 ( x 1)2x ，化简 x21 x x21 x44B3 32003培优升级01．（信利）已知 x1 3 ，那么1x 21 1 x 24 x 202．已知 a 4a 1 5 ，则 6 2 a03．（江苏）已知( xx22002)( yy22002) 2002 ，则 x 23xy 4 y26 x 6 y 5804．（全国）7x 29x 13 7x 25x 13 7x ，则 x ＝05．已知 x3 2 ， y3 2 ，那么 yx32 3 2 x2y206．（武汉）如果a b20022 ， ab2002 2 ， b3c3b3c ，那么 a 3b3c 的值为（）A ． 2002 2002B ． 2001C ． 1D ． 007．（绍兴）当 x12002 2时，代数式 (4 x32005 x2001)的值是（）A ． 0B ．－ 1C ． 1D ． 2200308．（全国）设 a 、b 、c 为有理数，且等式a b 2 c 35 26 成立，则 2a 999b 1001c 的值是（）A ． 1999B ． 2000C ． 2001D ．不能确定09．计算：（ 1）6 4 3 3 2( 63)( 32)（ 2）10 14 15 21 10141521（ 3）1 1 1L13 35 3 3 5 7 5 5 749 47 47 49（ 4）3 2 2 5 2 6 7 2 12 9 2 20 11 2 30 13 2 4215 2 5617 2 722210.已知实数 a 、 b 满足条件a bb1 ，化简代数式a (1 1)g a b( a b 1)2，将结果表示成不含 b 的形式 .11.已知 x1 a 2(a a0) ，化简：x 2 x 2x 2 x 212.已知自然数 x 、y 、z 满足等式x 2 6 y z 0 ，求 x ＋ y ＋z 的值 .考点·方法·破译第 3 讲一元二次方程的解法1. 掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3. 会应用一元二次方程解实际应用题。

初一升初二数学培优教材(培训学校专用资料)

2013年07月第一讲平方根【学习目标】1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示;2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。

【知识要点】1、算术平方根：如果一个正数的平方等于a ，即，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作“" ，读作“根号a ”。

注意：（1）规定0的算术平方根为0，即；（2)负数没有算术平方根，也就是有意义时，一定表示一个非负数；（3)（）。

2、平方根：如果一个数的平方等于a,即，那么这个数x 就叫做a 的平方根(也叫二次方根）. 注意:（1)一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“” ，另外一个是“-”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数;（2）0只有一个平方根，是它本身；(3）负数没有平方根。

3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。

其中a 叫做被开方数。

【典型例题】例1、求下列各数的算术平方根与平方根(1) （2)100 （3）1（4）0 （5) (6）7 例2、计算（1) （2）（3）-2013年初一升初二暑期培优教材（数学）例3、计算（1）（2) （3）（4）（5) (6）例4、当有意义时，a的取值范围是多少？【经典练习】1、求下列各数的算术平方根和平方根。

（1）16 （2) （3）12（4)0。

01 (5）（6）（—）22、计算（1) （2）（3) （4）3、判断(1）－52的平方根为－5 ( ）（2)正数的平方根有两个，它们是互为相反数（）（3）0和负数没有平方根 ( ）(4）4是2的算术平方根（）（5)的平方根是±3 （）(6)因为的平方根是±,所以=±（）4、有意义，则的范围___________5、如果a（a＞0）的平方根是±m,那么（ )A。

a2=±m B。

a=±m2 C.=±m D.±=±m 【课后作业】1、下列各数中没有平方根的数是（ )A。

初中数学培优教材

初中数学培优教材在中国的教育体系中，初中阶段是学生们打下数学基础的关键时期。

在这个阶段，一本好的数学培优教材不仅可以帮助学生掌握基础知识，还可以提升他们的思维能力和解决问题的能力。

本文将探讨如何编写一本优质的初中数学培优教材，以帮助学生在这个阶段取得更好的成绩。

在编写初中数学培优教材时，首先要注重知识结构的系统性。

一本好的教材应该按照数学知识的难易程度和内在逻辑关系，将知识点进行合理安排和组织。

同时，要注重与小学教材的衔接，以及与高中教材的过渡，使得学生在不同阶段的学习能够连贯、有序。

初中数学培优教材要强调基础知识的巩固和掌握。

教材中应该包含大量的例题和练习题，这些题目应该涵盖初中数学的所有知识点，并且难度适中，适合大多数学生的学习水平。

同时，教材中还应该设置一些进阶的题目，供学有余力的学生挑战和提高。

初中数学培优教材不仅要注重基础知识的掌握，还要培养学生的数学思维和解决问题的能力。

教材中应该设置一些具有启发性的问题，引导学生主动思考和探索，培养他们的创新能力和解决问题的能力。

同时，要注重数学与实际生活的，让学生能够将数学知识应用到实际生活中去。

每个学生都是独一无二的，他们的学习需求和能力也是不同的。

因此，初中数学培优教材要学生的个性化需求，设置一些个性化的学习模块和拓展内容，供学生自主选择和学习。

同时，教材中还应该设置一些学习方法和策略的指导，帮助学生掌握正确的学习方法和技巧。

随着信息技术的发展，初中数学培优教材也应该注重与信息技术的结合。

教材中可以设置一些数字化的学习模块和在线测试系统，让学生能够随时随地进行学习和自我检测。

同时，也可以利用信息技术手段，如人工智能和大数据等，为学生提供更加精准的学习指导和个性化学习方案。

初中数学培优教材是帮助学生掌握数学知识、提升思维能力和解决问题能力的重要工具。

在编写教材时，要注重知识结构的系统性、基础知识的巩固和掌握、数学思维和解决问题能力的培养以及学生的个性化需求和与信息技术的结合等方面。

七年级数学培优教辅

七年级数学培优教辅一、教材知识巩固板块。

1. 有理数。

- 知识点梳理。

- 有理数的概念：整数和分数统称为有理数。

整数包括正整数、0、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数。

例如，2是正整数， - 3是负整数，0.5是有限小数属于分数，(1)/(3)是无限循环小数也属于分数。

- 有理数的分类：- 按定义分类：有理数整数正整数 0 负整数分数正分数负分数- 按性质符号分类：有理数正有理数正整数正分数 0 负有理数负整数负分数- 典型例题。

- 例1：将下列数分类： - 5，(3)/(4)，0， - 0.3，π，3.14159，-(22)/(7)。

- 解：有理数有 - 5，(3)/(4)，0， - 0.3，3.14159，- (22)/(7)；π是无理数（不属于有理数范畴）。

2. 整式的加减。

- 知识点梳理。

- 单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。

例如，3x是单项式， - 5也是单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

如3x的系数是3，次数是1；-5的系数是 - 5，次数是0。

- 多项式：几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

例如，2x^2+3x - 1，它有三项，分别是2x^2、3x、 - 1，其中 - 1是常数项，这个多项式的次数是2。

- 整式：单项式与多项式统称为整式。

- 整式的加减：实质就是合并同类项。

同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。

例如，3x^2y和-5x^2y是同类项。

合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

- 典型例题。

- 例2：化简3a + 2b - 5a - b。

- 解：3a+2b - 5a - b=(3a - 5a)+(2b - b)= - 2a + b。

初一上册数学培优班培训教材

1. 正数：像3．1．+0.33等的数，叫做正数．在小学学过的数，除0外都是正数．正数都大于0． 2. 负数：像1-．3.12-．175-．2008-等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数．负数都小于0． 3.0既不是正数，也不是负数．4. 一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号．正数前面的“＋”可以省略，注意3与3+表示是同一个正数． 5. 用正．负数表示相反意义的量：如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义．譬如：用正数表示向南，那么向北3km 可以用负数表示为3km -．“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量． 6. 非正数：负数和0统称为非正数． 7. 非负数：正数和0统称为非负数．【例1】填空：（1）如果收入2000元，可以记作2000+元，那么支出5000元，记为___________．（2）高于海平面300米的高度记为海拔300+米，则海拔高度为600-米表示___________．（3）向东走200-米，表示___________．模块一正数与负数的概念有理数的概念知识精讲典型例题【巩固】冬季的一天，室内的温度是20C ︒，室外温度是12C -︒，则室内外的温差是____________度．【例2】可口可乐的外包装上印有“60030±(mL )”字样，请问“30mL ±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603mL ，611mL ，589mL ，573mL ，627mL ，问抽查产品的容量是否合格？【例3】（1）对于“0”的说法正确的有（）①0是正数与负数的分界；②0℃是一个确定的温度；③0为正数；④0是自然数；⑤不存在既不是正数也不是负数的数． A ． 3个 B ．4个 C ． 5个 D ．2个（2）下列语句：①不带“-”号的数都是正数；②带“-”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④0℃表示没有温度．其中正确的有（） A ． 0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【例4】为了简记我班某小组同学的数学成绩，采用了以80分为标准的办法，高于80分的记为正，低于80分的成绩记为负，现有10名同学的成绩记录如下：20,10,5,15,9,3,10,8,4,16+--++-+++-，求这10名同学的平均成绩．【巩固】一位出租车司机对自己两小时的运营状况进行记录：自A 地出发，向东记为正，则向西记为负．所走路程（单位：千米）为：862452+--+-+，，，，，问：①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A 地的什么位置？答：他们 ____（填：有或没有）回到出发点，在A 地的正 ______方向，距A 地 ____千米． ②若每千米耗油1．5升，则今天共耗油 _______升．能力提升1. 有理数的定义：正整数，零，负整数，正分数，负分数统称为有理数．2. 有理数的分类：整数和分数统称为有理数，其中整数包括：正整数，零和负整数．分数包括：正分数和负分数．()⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数正分数分数负分数()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数【例5】（1）下列各数中：+3、 2.1-、23-、9、 75，负有理数有（）A ． 2个B ．3个C ．4个D ．5个（2）在192-与122-之间的整数有_________________________________．（3）有理数中，是整数而不是正数的是____________，是分数而不是正分数的是____________．【例6】（1）下列说法正确的是（）A ．非负有理数就是正有理数B ．非正有理数就是负有理数C ．正整数和负整数统称为整数D ．整数和分数统称为有理数模块二有理数的分类知识精讲典型例题（2）下列说法正确的是（）A．正数、零、负数统称为有理数B．正有理数、负有理数统称为有理数C．整数和分数统称为有理数D．小数一定是有理数能力提升【例7】在下表适当的空格里打上“√”号．模块三数轴知识精讲1．规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．2．三要素：原点、正方向和单位长度．3．单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变．数轴的画法①画一条水平的直线；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．注意：数轴上的点不都代表有理数，如π．利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．典型例题【例8】（1）数轴上有一个点从原点开始向左移动3个长度单位，再向右移动5个长度单位后，它所表示的有理数是（）A． 3 B．5 C．3-D．2（2）有理数a．b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（）a11A．a＞b B．a＞b-C．a＜b D．a-＜b【例9】在数轴上，下面说法中不正确的是( )．A．两个正数，小的离原点近B．两个有理数，大数对应的点在右边C．两个负数，较大的数对应的点离原点近D．两个有理数，大的离原点较远能力提升【例10】（1）与在数轴上表示数2的点距离等于3个单位的点所表示的数是（）A ．1-B ．5C ．3或3-D ．1-或5（2）数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数是 _________【例11】如右图所示，数轴上的点M 和N 分别对应有理数m 、n ，那么以下结论正确的是( )A ．0m <，0n <，m n >B ．0m <，0n >，m n >C ．0m >，0n >，m n <D ．0m <，0n >，m n <1. 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0．2. 代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0．3. 几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．这两点是关于原点对称的．【例12】填空：（1）3的相反数是_______，2-的相反数是_______，0的相反数是_______；（2）m -的相反数是_______，1m -+的相反数是_______，m n a b +-+的相反数是_______．（3）( 2.4)--的相反数是____________，(4)+-与_________互为相反数M模块四相反数知识精讲典型例题【巩固】下列说法错误的是( )A ．(3)+-与(3)--互为相反数B ．(3)+-与(3)++互为相反数C ．(3)+-与(3)-+互为相反数D ．3-与(3)--互为相反数【例13】（1）如果a 表示有理数，那么下列说法中正确的是（）A ．a +和()a --互为相反数B ．a +和a -一定不相等C ．a -一定是负数D ．()a -+和()+a -一定相等（2）若a ，b 互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（）A ． 2a -和2b -B ．1a +和1b +C ．1a +和1b -D ．2a 和2b（3）已知(1)a -与5-互为相反数，则_____a = 【例14】下列说法:①一个数的相反数不是负数，则这个数一定是负数； ②一个数的相反数大于它的相反数，则这个数是正数； ③若“a -”是正数，则“a ”是负数；④一个数不小于它的相反数，则这个数是正数，正确的序号有___________1. 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．模块五绝对值能力提升知识精讲2. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号．②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0．④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5．3. 求字母a 的绝对值：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩4. 绝对值相同的数有两个，它们互为相反数．5. 若几个数的绝对值的和为0，那么这几个数也分别为0．6. 一个数的绝对值是非负数．绝对值最小是数是0．【例15】（1）下列说法，不正确的是（）A ．数轴上的数，右边的数总比左边的数大B ．绝对值最小的有理数是0C ．在数轴上，右边的数的绝对值比左边的数的绝对值大D ．离原点越远的点，表示的数的绝对值越大（2）绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？【例16】有理数a 与b 满足a b >，则下面哪个答案正确 ( )A ．a b >B ．a b =C ．a b <D ．无法确定【例17】（1）已知||7||12x y ==，，且x y >，求x y +的值．典型例题能力提升（2）已知|3||2|0x y -++=，求xy 的值．【习题1】某轿车的车圈零件的半径设计标准是200mm ，估计误差0.5±mm ，甲工人制作的零件半径为200.4mm ，乙工人制作的零件半径为199.2mm ，则__________工人制作的产品合格【习题2】下列说法：①存在最小的自然数；②存在最小的正有理数；③不存在最大的正有理数；④存在最大的负有理数；⑤不是正整数就不是整数，错误的序号是___________ 【习题3】与原点距离不大于3个单位长度的点表示的整数是__________________ 【习题4】如下四个命题：①有理数由负有理数和正有理数组成． ②有理数由分数和整数组成． ③正有理数由正分数和正整数组成． ④负有理数由负分数和负整数组成．其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【习题5】数轴上的点A 、B 分别表示数3-和2，点C 是A 、B 的中点，则点C 所表示的数是_________．【习题6】0|3||2|=++-b a ，则=a _________；=b ________ 【习题7】已知n m ,互为相反数，试求：3222nm n m +-++的值【习题8】如果||4,||3a b ==，且a b <，，试求a b +的值．课后作业【习题9】一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续向前走了1.5km到达小颖家，然后向西走了9.5km到达小明家，最后回到超市．（1）以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置；（2）小明家距离小彬家多远？（3）货车一共行驶了多少千米？【习题10】数轴上，N点与点O的距离为N点与30所对应点之间的距离的4倍，那么N点表示的数是多少？1. 有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数. 2. 有理数加法的运算律：①加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a b b a +=+②加法结合律：三个数加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.()()a b c a b c ++=++【例1】计算：（1）(25)(35)-+-；（2）(12)(3)-++；（3）(8)(7)++-；（4）0(7)+-。

八年级数学培优资料(全套)

八年级数学培优资料（全套）目录第01讲全等三角形的性质与判定6经典·考题·赏析6演练巩固·反馈提高10培优升级·奥赛检测12第02讲角平分线的性质与判定14经典·考题·赏析15培优升级·奥赛检测18第3讲轴对称及轴对称变换19经典·考题·赏析19演练巩固·反馈提高23培优升级·奥赛检测24第4讲等腰三角形27经典·考题·赏析27培优升级·奥赛检测34第五讲等边三角形36经典考题赏析36巩固练习反馈提高39第06讲实数41经典·考题·赏析41演练巩固反馈提高43培优升级奥赛检测44第7讲变量与函数45经典·考题·赏析46演练巩固·反馈提高49第8讲一次函数的图象与性质50经典·考题·赏析51演练巩固·反馈提高54培优升级·奥赛检测57第9讲一次函数与方程、不等式58经典·考题·赏析58演练巩固·反馈提高61第10讲一次函数的应用62经典·考题·赏析62演练巩固反馈提高69第11讲幂的运算72经典·考题·赏析72演练巩固反馈提高73培优升级奥赛检测74第12讲整式的乘除75经典·考题·赏析76演练巩固·反馈提高78第13讲因式分解及其应用80经典·考题·赏析80演练巩固反馈提高83培优升级奥赛检测84第14讲分式的概念•性质与运算85经典•考题•赏析86演练巩固反馈提高89培优升级奥赛检测90第15讲分式的化简求值与证明91经典•考题•赏析92演练巩固反馈提高96培优升级奥赛检测97第16讲分式方程及其应用99经典·考题·赏析99演练巩固·反馈提高102培优升级·奥赛检测104第17讲反比例函数的图象与性质106经典·考题·赏析106演练巩固·反馈提高110培优升级·奥赛检测113第18讲反比例函数的应用115经典·考题·赏析115演练巩固反馈提高119培优升级奥赛检测120第19讲勾股定理122经典·考题·赏析122演练巩固·反馈提高127培优升级•奥赛检测129第20讲平行四边形131经典•考题•赏析131演练巩固反馈提高135培优升级奥赛检测137第21讲菱形与矩形139经典·考题·赏析139演练巩固反馈提高141培优升级奥赛检测143第22讲正方形145经典•考题•赏析145演练巩固·反馈提高150培优升级·奥赛检测152第23讲梯形154经典•考题•赏析154演练巩固反馈提高. 155培优升级奥赛检测158第24讲数据的分析161经典·考题·赏析161演练巩固·反馈提高165培优升级·奥赛检测166模拟测试卷（一）169模拟测试卷(二) 172模拟测试卷（三）174A F CEDB B AC DE F第01讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中 AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF =⎧⎨=⎩∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C .【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．502.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .AE第1题图A BCDEBCDO第2题图A B C D O FE A C EFBD点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠F AC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠F AC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA 【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P ∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90° D ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.EFB ACDG第2题图B （E ）OC F 图③DA【例４】（第21高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠P AQ ＝90°，∠P AD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高， ∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ， ∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠P AD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠P AD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D21ABC PQ E F D演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC 05将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（） A . △ABE ≌△CBD B . ∠ABE ＝∠CBD C . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______第1题图 a αc ca50° b72°58°10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____.11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，Pcm /s , Qcm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D .⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E . ⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB 垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌D A C .QP.BD B AC EFAE BF D CA EF C D B △A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE ,则OE 平分∠AOB ，正确的是（） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .F 第6题图 21A B C E N M 321 A D E B C F A D E CO AE O BF C D 第1题图 B 第2题图第3题图 A B CD A 1 B 1C 1D 1A B C DEAE B D C 09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。

初中数学培优教材

初中数学培优教材第一讲一元二次方程【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。

2、了解一元二次方程的解或近似解。

3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。

【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

（1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。

这三个条件必须同时满足，缺一不可。

（2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。

（3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。

2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。

3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。

【经典例题】例1、下列方程中，是一元二次方程的是 ①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程.（2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________.（3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

学而思初中数学培优教材

学而思初中数学培优教材学而思初中数学培优教材是一套专为初中生量身定制的数学学习教材。

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5. 数学历史：《简明数学史》（作者：吴大猷）
物理：
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2. 学习物理必备：《学习物理必备500例》（作者：李永乐）
3. 初中物理知识点：《初中物理知识点速记130讲》（作者：肖海潮）
4. 物理疑问解答：《物理疑问解答300例》（作者：许光旭）
5. 物理实验：《初中物理实验指导书》（作者：鄢卫华）
化学：
1. 化学基础：《初中化学基础巩固与拓展》（作者：杨官璋）
2. 学生必备：《学生必备化学速查手册》（作者：高程）
3. 化学家的秘密：《化学家的秘密》（作者：布林肯夫人）
4. 化学实验：《初中化学实验指导书》（作者：马振和）
5. 化学竞赛：《竞赛化学入门与提高》（作者：朱炜华）。

初一数学同培优教材

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$"证明线段的不等关系
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如图在内有一点连接则 ! $%&'
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证明!
如图"延长&(
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于点则两个不等式相加得 ) %&#%)#&(#()()#)'#('
整式的乘除 $.!
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乘法公式 $"!
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因式分解 $-!
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第章分式 2 !
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如图在中为边上一点且则 " " $%&' ( &'
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人教版七年级数学培优教程

比例数.
有限小数
可化为分数形式，是有理数
小数无限循环小数
无限不循环小数不可化为分数形式，不是有理数
有理数的分类：
正整数
整数
零
自然数
有理数（按定义分类）
负整数
分数
正分数负分数
正整数
正有理数
正分数
有理数（按符号分类）零（零既不是正数，也不是负数）
负有理数
负整数负分数
该定义更接近分类而非本质定义，例如小数是有理数吗？下面给出有理数更加接近本质的定
义.
定义：能写成 m （m、n 为整数，n≠0，（m，n）=1）的数. n
例： 12 3 ， 3 3 ， 0.1
1
，
0.3
1
82
1
10
3
有理数：rational number，rational（有道理的）的词根为 ratio（比例），有理数可以理解为
6、数轴上：B 到 A 的距离为 1，C 到 B 的距离为 2，求 AC=________
动点（规律类） 1、数轴上：点 A 从原点向右移一个单位，再向左移动两个单位，求现在位置 2、数轴上：点 A 向左移动 3 个单位，向右移动 5 个单位到 2014，求开始的位置 3、数轴上：点 A 从原点开始按照右移 1 个单位，左移 2 个单位，右移 3 个单位，左移 4 个单位……右移 99 个单位，左移 100 个单位的规律移动（1）最后的位置________．（2）共移动了多少个单位长度？（3）若 A 为一个起始为 300kg 的质点，每移动一个单位减少 1kg，A 点消失的位置？基础夯实【例 3】（1）如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为

学而思七年级数学培优教材word版(全年级章节培优)

第1讲与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A ．－18% B ．－8% C ．＋2% D ．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ．－5吨 B ．＋5吨 C ．－3吨 D ．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为，整数为，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置 15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007.【变式题组】 01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 . 02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____. 【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m2＝－4,m ＝－8【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( ) A ．5 B ． 15 C ．－5 D ．－1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ．－ 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ．－2，0，1D ． 2，1，0 【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b|＞a ，则a,b 、－a,－b 的大小顺序是( ) A ． b ＜－a ＜a ＜－b B ． –a ＜b ＜a ＜－b C ． –b ＜a ＜－a ＜b D ． –a ＜a ＜－b ＜b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a|,用式子表示为|a|＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴标出a 、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a≠b ，则|a|≠|b|；④若|a|≠|b|，则a≠b ，其中正确的个数为（）A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a|＋b |b|＋c|c|的值可能是____.【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a+bab的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a|≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a+b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ． 02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ． 0 D ． 403．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a －b|＝b －a ，求a 和b 的值【例７】（第l8届迎春杯）已知(m ＋n)2＋|m|＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n)2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径. 解：∵(m ＋n)2≥0，|m|≥O∴(m ＋n)2＋|m|≥0，而(m ＋n)2＋|m|＝m ∴ m≥0,∴(m ＋n)2＋m ＝m ，即(m ＋n)2＝0 ∴m ＋n ＝O ① 又∵|2m －n －2|＝0 ∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】01．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l|＝0，求a －B ． 02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a|＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a≤x≤96,求y 的最大值. 演练巩固·反馈提高 01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( )A ．156 B ． 172 C ． 190 D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ．－6C ． 16D ．－1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( ) A ． 0和6 B ． 0和－6 C ． 3和－3 D ． 0和3 06．若－a 不是负数，则a( )A ．是正数B ．不是负数C ．是负数D ．不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b,则|a|＝|b| ②若a ＝－b,则|a|＝|b| ③若|a|＝|b|，则a ＝－b ④若|a|＝|b|,则a ＝bA ． ①②B ． ③④C ． ①④D ． ②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b|的大小关系正确的是( )A ． |b|＞a ＞－a ＞bB ． |b| ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b|＞b ＞－aD ． a ＞|b|＞－a ＞b09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____. 10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____. 11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a|a＋|b|b ＋|abc|abc ＋|c|c12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、ba 的形式，试求a 、b 的值.13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x 为有理数时，|x －l|＋|x －3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15．点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB|．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a －b| 当A 、B 两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b －a ＝|a －b|；②如图3，点A 、B 都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b －(－a)＝|a －b|； ③如图4，点A 、B 在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b －（－a ）＝|a －b|；综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB|＝|a －b|．回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , 3 ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 4 ；⑵数轴上表示x 和－1的两点分别是点A 和B ，则A 、B 之间的距离是 |x+1| ，如果|AB|＝2，那么x ＝ 1或3；⑶当代数式|x ＋1|＋|x －2|取最小值时，相应的x 的取值范围是 7 ．培优升级·奥赛检测01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A ． 1998B ． 1999C ． 2000D ． 2001 02．（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b|＋|b －c|＝|a －c|；③（a －b ）(b －c)(c －a)＞0；④|a|＜1－bc ．其中正确的结论有( ) A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个03．如果a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a|＋b |b|＋c |c|＋abc|abc|的所有可能的值为（）A ．－1B ． 1或－1C ． 2或－2D ． 0或－2 04．已知|m|＝－m ，化简|m －l|－|m －2|所得结果( )A ．－1B ． 1C ． 2m －3D ． 3－ 2m05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p|＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最小值( ) A ． 30 B ． 0 C ． 15 D ．一个与p 有关的代数式 06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a|＋|x －b|＝a －b 成立的x 取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m 、n 满足|m|＋|n|－5＝0所有这样的整数组(m ，n)共有组 09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m|m ＋|n|n ＋|p|p ＝1．则2mnp |3mnp|＝ .10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.11．已知(|x ＋l|＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋l|）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（）A．0.3元B．16.2元C．16.8元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________ 03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________ 【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【变式题组】01．（－2.5）＋（－312）＋（－134）＋（－114）02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）03．0.125＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25）【例３】计算111112233420082009++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n =-++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.解：原式＝1111111(1)()()()2233420082009-+-+-++-＝111111112233420082009-+-+-++-＝112009-＝20082009【变式题组】01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111248163264128256+++++++＝__________.【例４】如果a ＜0，b ＞0，a ＋b ＜0，那么下列关系中正确的是（） A ．a ＞b ＞－b ＞－a B ．a ＞－a ＞b ＞－b C ．b ＞a ＞－b ＞－a D ．－a ＞b ＞－b ＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论. 解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b ＞a 【变式题组】01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的大小【例５】425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）＝425＋33311＋1.6＋21811＝4.4＋1.6＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511 ()()()()(1) 32632 --+---+-+02．434－（＋3.85）－（－314）＋（－3.15）03．178－87.21－（－43221）＋1531921－12.79【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝49(491)2⨯+＝1225∴S＝1225 2【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋12004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提高01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±503．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－304．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）A．两数一定都是正数B．两数都不为0C．至少有一个为负数D．至少有一个为正数05．下列等式一定成立的是（）A．|x|－x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝006．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）A．－a B．0 C．2a D．－2a08．设x是不等于0的有理数，则||||2x xx值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________10．用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25⑶－0.5－314＋2.75－712⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远？⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？14．将1997减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？培优升级·奥赛检测534333231301．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于（） A ．14B ．14-C ．12D ．12-02．自然数a 、b 、c 、d 满足21a ＋21b ＋21c ＋21d ＝1，则31a ＋41b ＋51c ＋61d 等于（） A ．18B ．316C ．732D ．156403．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（） A ．30 B ．32 C ．34 D ．3604．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c 大小关系是（） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b05．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为（）A ．1B ．2C ．3D ．406．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（） A ．－22003 B ．22003 C ．－22004 D ．2200407．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m ＋1，则(4m ＋1)2004＝__________08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________ 10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________ 11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________ 12．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.第03讲有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算. 5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析【例１】计算⑴11()24⨯-⑵1124⨯⑶11()()24-⨯-⑷25000⨯⑸3713 ()()(1)() 5697 -⨯-⨯⨯-【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.解：⑴11111 ()() 24248⨯-=-⨯=-⑵11111() 24248⨯=⨯=⑶11111 ()()() 24248 -⨯-=+⨯=⑷250000⨯=⑸3713371031 ()()(1)()() 569756973 -⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=-【变式题组】01．⑴(5)(6)-⨯-⑵11()124-⨯⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯-⑸111112(2111)42612-⨯-+-02．24(9)5025-⨯3．1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯---04．111 (5)323(6)3333 -⨯+⨯+-⨯【例２】已知两个有理数a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（）A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0C．a、b异号D．a、b异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.解：由ab＜0知a、b异号，又由a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D．【变式题组】01．若a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，则下列各式中，错误的是（）A．a＋b＞0 B．b＋c＜0 C．ab＋ac＞0 D．a＋bc＞002．已知a＋b＞0，a－b＜0，ab＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|.03．(山东烟台)如果a＋b＜0，ba>，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 04．(广州)下列命题正确的是（）A．若ab＞0，则a＞0，b＞0 B．若ab＜0，则a＜0，b＜0C．若ab＝0，则a＝0或b＝0 D．若ab＝0，则a＝0且b＝0 【例３】计算⑴(72)(18)-÷-⑵11(2)3÷-⑶13()()1025-÷⑷0(7)÷-【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.解：⑴(72)(18)72184 -÷-=÷=⑵1733 1(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255 ()()()() 10251036 -÷=-⨯=-⑷0(7)0÷-=【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷-⑵112(1)36÷-⑶10(2)3÷-⑷13()(1)78÷-02．⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷⑶530()35÷-⨯03．113()(10.2)(3) 245÷-+-÷⨯-【例４】（茂名）若实数a、b满足a ba b+=，则abab＝___________.【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a、b的取值范围，进一步代入结论得出结果.解：当ab＞0，2(0,0)2(0,0)a ba ba ba b>>⎧+=⎨-<<⎩；当ab＜0，a ba b+=，∴ab＜0，从而abab＝－1.【变式题组】01．若k是有理数，则(|k|＋k)÷k的结果是（）A．正数B．0 C．负数D．非负数02．若A．b都是非零有理数，那么aba ba b ab++的值是多少？03．如果x yx y+=，试比较xy-与xy的大小.【例５】已知223(2),1 x y=-=-⑴求2008xy的值；⑵求32008xy的值.【解法指导】na表示n个a相乘，根据乘方的符号法则，如果a为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1 x y=-=-⑴当2,1x y ==-时，200820082(1)2xy =-= 当2,1x y =-=-时，20082008(2)(1)2xy =-⨯-=- ⑵当2,1x y ==-时，332008200828(1)x y ==- 当2,1x y =-=-时，3320082008(2)8(1)x y -==--【变式题组】 01．（北京）若2(2)0m n m -+-=，则nm 的值是___________.02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()n nx y --的值，这里n 是正整数.【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（）A ．0.135×106B ．1.35×106C ．0.135×107D ．1.35×107 【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．【变式题组】 01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（） A ．1.03×105 B ．0.103×105 C ．10.3×104 D ．103×103 02．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（）A ．25.3×105亩B ．2.53×106亩C ．253×104亩D ．2.53×107亩【例７】（上海竞赛）222222221299110050002200500010050009999005000k k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22(50)50k -+原式＝2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ ＝222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+＝49222+1++⋅⋅⋅+个＝99【变式题组】3333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅A．31003B．31004C．1334D．1100002．（第10届希望杯试题）已知111111111. 2581120411101640+++++++=求11111111 2581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．1个或3个02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（）A．互为相反数B．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C．都是负数D．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数03．已知abc＞0，a＞0，ac＜0，则下列结论正确的是（）A．b＜0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＞0，c＞0 04．若|ab|＝ab，则（）A．ab＞0 B．ab≥0 C．a＜0，b＜0 D．ab＜005．若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2，则代数式a bm cdm+-+的值为（）A．－3 B．1 C．±3 D．－3或106．若a＞1a，则a的取值范围（）A．a＞1 B．0＜a＜1 C．a＞－1 D．－1＜a＜0或a＞107．已知a、b为有理数，给出下列条件：①a＋b＝0；②a－b＝0；③ab＜0；④1ab=-，其中能判断a、b互为相反数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个08．若ab≠0，则a ba b+的取值不可能为（）A．0 B．1 C．2 D．－209．1110(2)(2)-+-的值为（）A．－2 B．(－2)21 C．0 D．－21010．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（）A．2.89×107 B．2.89×106 C．2.89×105 D．2.89×10411．已知4个不相等的整数a、b、c、d，它们的积abcd＝9，则a＋b＋c＋d＝___________.12．21221(1)(1)(1)n n n+--+-+-（n为自然数）＝___________.13．如果2xy x y+=，试比较xy -与xy 的大小.14．若a 、b 、c 为有理数且1a b ca b c++=-，求abc abc的值.15．若a 、b 、c 均为整数，且321a b c a -+-=.求a c cb b a-+-+-的值.培优升级·奥赛检测01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则,,x y y z z xy z z x x y ------中负数的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个或2个02．计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测201021-的个位数字是（）A ．1B ．3C ．7D ．5 03．已知23450ab c d e ＜，下列判断正确的是（）A ．abcde ＜0B ．ab2cd4e ＜0C ．ab2cde ＜0D ．abcd4e ＜004．若有理数x 、y 使得,,,xx y x y xy y +-这四个数中的三个数相等，则|y|－|x|的值是（）A ．12-B ．0C ．12D ．3205．若A ＝248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A －1996的末位数字是（） A ．0 B ．1 C ．7 D ．906．如果20012002()1,()1a b a b +=--=，则20032003a b +的值是（） A ．2 B ．1 C ．0 D ．－107．已知5544332222,33,55,66a b c d ====，则a 、b 、c 、d 大小关系是（）A ．a ＞b ＞c ＞dB ．a ＞b ＞d ＞cC ．b ＞a ＞c ＞dD ．a ＞d ＞b ＞c08．已知a 、b 、c 都不等于0，且a b c abca b c abc+++的最大值为m ，最小值为n ，则2005()m n +＝___________.09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组：15,3,4.25,5.753-第二组：112,315- 第三组：52.25,,412-10．一本书的页码从1记到n ，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，23，42，51，16，…(＊)，在(＊)中左起第m 个数记为F(m)，当F(m)＝12001时，求m 的值和这m 个数的积.12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x 的值.13．(第12届“华杯赛”试题)已知m 、n 都是正整数，并且111111(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233A m m =-+-+⋅⋅⋅-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233B n n =-+-+⋅⋅⋅-+证明：⑴11,;22m n A B m n ++==⑵126A B -=，求m 、n 的值.第04讲整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念. 3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；⑵不是，因为代数式是与x的商；⑶是，它的系数为π，次数为2；⑷是，它的系数为32，次数为3.【变式题组】01．判断下列代数式是否是单项式02．说出下列单项式的系数与次数【例２】如果与都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、n的值.【解法指导】单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别的，该题是针对x与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.解：由题意得【变式题组】01．一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3.且当x＝2,y＝－1时，这个单项式的值为32，求这个单项式.02．（毕节）写出含有字母x、y的五次单项式______________________.【例３】已知多项式⑴这个多项式是几次几项式？⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？【解法指导】n个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.解：⑴这个多项式是七次四项式；(2)最高次项是,二次项系数为－1，常数项是1.【变式题组】01．指出下列多项式的项和次数⑴(2)02．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项⑴(2)【例４】多项式是关于x的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n－k的值【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.解：因为是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次项系数为－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次项为,一次项为－7x，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.【变式题组】01．多项式是四次三项式，则m的值为（）A．2 B．－2 C．±2 D．±102．已知关于x、y的多项式不含二次项，求5a－8b的值.03．已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求n的值.【例５】已知代数式的值是8,求的值.【解法指导】由，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法.解：由得由（3【变式题组】01．(贵州)如果代数式－2a+3b+8的值为18，那么代数式9b－6a+2的值等于（）A．28 B．－28 C．32 D．－3202．（同山）若,则的值为_______________.03．（潍坊）代数式的值为9,则的值为______________.【例６】证明代数式的值与m的取值无关.【解法指导】欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.证明：原式＝∴无论m的值为何，原式值都为4.∴原式的值与m的取值无关.【变式题组】01．已知,且的值与x无关，求a的值.02．若代数式的值与字母x的取值无关，求a、b的值.【例７】（北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有（）个A．4 B．12 C．15 D．25【解法指导】首先写出符合题意的单项式,x、y、z都是正整数，再依x+y+z＝7来确定x、y、z的值.解：为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当x＝4时，y＝1,2,z＝2,1.当x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C．【变式题组】01．已知m、n是自然数，是八次三项式，求m、n值.02．整数n＝___________时，多项式是三次三项式.演练巩固·反馈提高01．下列说法正确的是（）A．是单项式B．的次数为5 C．单项式系数为0 D．是四次二项式02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（）A．100b+a B．10a+b C．a+b D．100a+b03．若多项式的值为1，则多项式的值是（）A．2 B．17 C．－7 D．704．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（）A．B．C．D．05．若多项式是关于x的一次多项式，则k的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定06．若是关于x、y的五次单项式，则它的系数是____________.07．电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_______个座位.08．若,则代数式xy+mn值为________.09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____________.10．(河北)有一串单项式(1)请你写出第100个单项式；⑵请你写出第n个单项式.11．（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x＝2，y＝－1时，这个单项式值为32，求这个单项式.12．（天津）已知x＝3时多项式的值为－1，则当x＝－3时这个多项式的值为多少？13．若关于x、y的多项式与多项式的系数相同，并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.A：计时制：0.05元/分B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）.此外，每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；(2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.培优升级·奥赛检测01．（扬州）有一列数,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差.若,则为（）A．2007 B．2 C．D．－102．（华师一附高招生）设记号*表示求a、b算术平均数的运算，即,则下列等式中对于任意实数a、b、c都成立的是（）①②③④A．①②③B．①②④C．①③④D．②④03．已知,那么在代数式中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是（）A．B．C．D．04．在一个地球仪的赤道上用铁丝箍半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上一个铁丝箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n大小关系（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定05．（广安）已知_____________.06．某书店出售图书的同时，推出一项租书业务，每租看一本书，租期不超过3天，每天租金a元，租期超过3天，从第4天开始每天另加收b元，如果租看1本书7天归还，那么租金为____________元.07．已知＝_____________.08．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简后的结果是______________.09．已知＝______________.10．（全国初中数学竞赛）设a、b、c的平均数为M,a、b的平均数为N,又N、c的平均数为P，若a＞b ＞c，则M与P大小关系______________.11．(资阳)如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使得A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，。

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专题一：勾股定理的应用【例1】如图，∠B=∠ADC=90º，AD=13，CD=12，BC=3，则AB 的长是多少？3【例2】如图，已知AM 是△ABC 的BC 边上的中线. 试说明：22222()AB AC AM MC +=+【训练】如图，已知∠C=90º，AM=CM ，MP ⊥AB 于点P 。

试说明：222BP BC AP =+【点拨】勾股定理的应用必须在直角三角形中，利用勾股定理解决问题时，必须先构造直角三角形。

专题二：勾股定理的逆定理的应用【例1】在△ABC 中，三边长a 、b 、c 满足a:b:c=9:15:12，试判断△ABC 是不是直角三角形。

【例2】在△ABC 中，已知221,2,1a n b n c n =-==+（n>1）,试说明：∠C=90º。

【例3】如果△ABC 的三边长分别a 、b 、c ，且满足222506810a b c a a c +++=++，判断△ABC 的形状。

【训练】已知一个三角形的三边长分别是2222,21,221(n n n n n n ++++为正整数）试猜想这个三角形是不是直角三角形，并说明理由。

【点拨】根据三角形三边的数量关系判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方即可。

若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

【例1】已知△ABC是等腰三角形，∠A=90º，AB=AC，点D是边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，连接EF，若BE=12，AE=5，求线段EF的长。

【训练】如图，将长方形ABCD折叠，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm。

求EF的长。

【点拨】转化思想就是通过一定的方法或途径，把需要解决的问题转化成另一类已经解决或易于解决的问题，从而使原来的问题得到解决。

在含有直角三角形的图形中，求线段的长往往使用勾股定理，如果无法直接用勾股定理来计算，那么常常需要运用转化思想来解决。

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学而思初中数学培优教材学而思初中数学培优教材是一套专为初中学生量身打造的优质教材。

本教材从数学的基本概念出发，循序渐进地引导学生理解数学的本质和应用方法。

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教材通过大量的例题和思考题，引导学生主动思考、独立解决问题。

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总的来说，学而思初中数学培优教材是一套科学、系统的教材，能够有效提升学生的数学水平。

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