必修1第一章函数奇偶性练习题
高中数学必修一函数的性质奇偶性精选习题测试(打印版)(1)
奇偶性1．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）是偶函数，那么g （x ）＝ax3＋bx 2＋cx （ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（ ）A ．31 a ，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0D ．a ＝3，b ＝03．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（ ）A ．y ＝x （x －2）B ．y ＝x （｜x ｜－1）C ．y ＝｜x ｜（x －2） D ．y ＝x （｜x ｜－2）4．已知f （x ）＝x 5＋ax 3＋bx －8，且f （－2）＝10，那么f （2）等于（ ）A ．－26B ．－18C ．－10D ．105．函数1111)(22+++-++=x x x x x f 是（ ） A ．偶函数 B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数6．若)(x ϕ，g （x ）都是奇函数，2)()(++=x bg a x f ϕ在（0，＋∞）上有最大值5，则f （x ）在（－∞，0）上有（ ）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－37．函数2122)(x x x f ---=的奇偶性为________（填奇函数或偶函数） ．8．若y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3是偶函数，则m ＝_________．9．已知f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，若11)()(-=+x x g x f ，则f （x ）的解析式为_______．10．已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________．11．设定义在［－2，2］上的偶函数f （x ）在区间［0，2］上单调递减，若f （1－m ）＜f （m ），求实数m 的取值范围．12．已知函数f （x ）满足f （x ＋y ）＋f （x －y ）＝2f （x ）·f （y ）（x ∈R ，y ∈R ），且f （0）≠0，试证f （x ）是偶函数．13.已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f（x ）在R 上的表达式．14.f （x ）是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且f （x ）在［5，＋∞）上单调递减，试判断f （x ）在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．15.设函数y ＝f （x ）（x ∈R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．函数的奇偶性练习参考答案1． 解析：f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 为偶函数，x x =)(ϕ为奇函数，∴g （x ）＝ax 3＋bx 2＋cx ＝f （x ）·)(x ϕ满足奇函数的条件． 答案：A 2．解析：由f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，得b ＝0．又定义域为［a －1，2a ］，∴a －1＝2a ，∴31=a ．故选A ．3．解析：由x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，f （x ）＝－f （－x ）＝－（x 2＋2x ）＝－x 2－2x ＝x （－x －2）．∴,,)0()0()2()2()(<≥---=⎩⎨⎧x x x x x x x f 即f （x ）＝x （|x |－2）答案：D 4．解析：f （x ）＋8＝x 5＋ax 3＋bx 为奇函数，f （－2）＋8＝18，∴f （2）＋8＝－18，∴f （2）＝－26．答案：A 5．解析：此题直接证明较烦，可用等价形式f （－x ）＋f （x ）＝0． 答案：B 6．解析：)(x ϕ、g （x ）为奇函数，∴)()(2)(x bg x a x f +=-ϕ为奇函数．又f （x ）在（0，＋∞）上有最大值5， ∴f （x ）－2有最大值3．∴f （x ）－2在（－∞，0）上有最小值－3， ∴f （x ）在（－∞，0）上有最小值－1．答案：C7．答案：奇函数 8．答案：0解析：因为函数y ＝（m －1）x 2＋2mx ＋3为偶函数，∴f （－x ）＝f （x ），即（m －1）（－x ）2＋2m （－x ）＋3＝（m —1）x 2＋2mx ＋3，整理，得m ＝0．9．解析：由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，可得11)()(--=-x x g x f ，联立11)()(-=+x x g x f ，∴11)1111(21)(2-=----=x x x x f ．答案：11)(2-=x x f 10．答案：0 11．答案：21<m 。
数学必修1 1.3.2《函数的奇偶性》同步讲练
高中数学必修1 编辑：吉红勇高中数学必修一《函数奇偶性》导学导练【知识要点】1．偶函数的定义：如果对于函数()y f x =的定义域内的任意一个x ，都有 ，那么称函数()y f x =是偶函数． 2．奇函数的定义：如果对于函数()y f x =的定义域内的任意一个x ，都有 ，那么称函数()y f x =是奇函数． 3．函数图像与单调性：奇函数的图像关于 对称； 偶函数的图像关于 对称． 4．函数奇偶性证明的步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称；（2）计算()f x -的解析式，并考察其与()f x 的解析式的关系； （3）下结论.【范例析考点】考点一．判断函数的奇偶性：例1：判断下列函数是否是奇函数或偶函数：(1)3()f x x x =+ (2)()31f x x =+ (4)()0f x =(3) 331)(2-+-=x x x f (5))1(11)1()(<-+-=x x xx x f【变式练习】1、下列函数是偶函数的是( ) A、B 、C 、f(x)=x 3+3x D 、f(x)=x 2+x+22、函数x xx f +-=11lg)(在区间]1,1[-上是( )A ．奇函数又是增函数B ．偶函数又是增函数C ．奇函数又是减函数D ．偶函数又是减函数3、函数f(x)=111122+++-++x x x x 的图象 ( )A 、关于x 轴对称B 、关于y 轴对称C 、关于原点对称D 、关于直线x=1对称考点二：根据函数奇偶性定义求一些特殊的函数值：例2：已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，求(0)f 的值．【变式练习】1、函数f(x)=ax 7+6x 5+cx 3+dx+8，且f(-5)=-15，则f(5)= 2、已知8)(32005--+=xb ax x x f ，10)2(=-f ，则)2(f = .考点三：已知函数的奇偶性求参数值：例3：已知函数2()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，求实数m 的值．【变式练习】1、函数f(x)=21x b ax ++是定义在(－1，1)上的奇函数，且f(21)=52.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数； (3)解不等式f(t －1)+f(t)<0；考点四：利用函数奇偶性求函数解析式：例4：已知()f x 是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f(x)=x|x－2|，求x<0时，f(x)的解析式．编辑：吉红勇【变式练习】1、定义在()1,1-上的奇函数()21x m f x x nx +=++，则常数m = ，n = ；2、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，它们的定义域均为{x|x ∈R且x ≠±1}，若f(x)+g(x)=11-x ，则f(x)= ,g(x)=________ 3、设f(x)是R 上的奇函数，且x ∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+),那么x ∈(-∞,0)时f(x)为（ ） A 、-x(1+) B 、x(1+) C 、-x(1-) D 、x(1-)考点五：函数的单调性和奇偶性结合性质推导：例5：已知函数f （x ）是定义在集合{x|x ∈R 且x ≠0}上的奇函数，且在区间（-∞，0）上是减函数，若ab ＜0，a+b ≥0，求证：f （a ）+f （b ）≤0。
高一数学必修一函数专题：奇偶性
高一数学必修一函数专题：奇偶性第一部分：常见的奇函数和偶函数常见奇函数：第一种：nx x f =)(（n 为奇数）例：x x f =)(；x x x f 1)(1==-；3)(x x f =；331)(xx x f ==-。
第二种：n x x f =)(（n 为奇数）例：331)(x x x f ==；515)(x x x f ==。
第三种：)sin()(x A x f ϖ=例：)2sin()(x x f =；)sin()(x x f --=；x x f sin 21)(=。
第四种：)tan()(x A x f ϖ=例：x x f tan )(=；)21tan(2)(x x f --=；x x f tan 3)(=。
常见偶函数：第一种：n x x f =)(（n 为偶数）例：2)(x x f =；221)(x x x f ==-；4)(x x f =；441)(x x x f ==-。
第二种：c x f =)(（c 为常数）例：2)(=x f ；21)(-=x f 。
第三种：)cos()(x A x f ϖ=例：)cos(3)(x x f -=；)2cos(21)(x x f =；)cos()(x x f -=。
第四种：|)(|)(x g x f =（)(x g 为奇函数或者偶函数）例：|)sin(2|)(x x f -=；||)(4x x f =；|tan |)(x x f =；|)21cos(|)(x x f -=。
两种特殊的奇偶函数：第一种：)()()()(x f x g x g x f ⇒-+=是偶函数例：x x e e x f -+=)(，假设：)()()()()()(x f x g x g x f e x g e x g x x ⇒-+=⇒=-⇒=-是偶函数。
第二种：)()()()(x f x g x g x f ⇒--=是奇函数例：x x x f 313)(-=，假设：)()()()(313)(3)(x f x g x g x f x g x g xx x ⇒--=⇒==-⇒=-是奇函数。
高一数学 必修一函数的奇偶性
数学·必修1(人教A版)1.3.3函数的奇偶性►基础达标1．已知f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)的值为() A．－1B．0C．1D．无法确定解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.答案：B2．已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝()A．－2 B．0 C．1 D．2答案：A3．如果偶函数在区间[a，b]上有最大值，那么该函数在区间[－b，－a]上()A．有最大值B．有最小值C．没有最大值D．没有最小值解析：∵偶函数图象关于y轴对称，由偶函数在区间[a，b]上具有最大值，∴在区间[－b，－a]上有最大值．答案：A4．已知f(x)＝ax3＋bx＋5，其中a，b为常数，若f(－7)＝－7，则f(7)＝()A．7 B．－7 C．12 D．17解析：∵f(－7)＝－7，∴a(－7)3＋b(－7)＋5＝－7，∴73a＋7b＝12.∴f(7)＝73a＋7b＋5＝12＋5＝17.答案：D5．若函数f(x)＝(k－2)x2＋(k－1)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间是________．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴k－1＝0，∴k＝1，∴f(x)＝－x2＋3的递减区间为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)►巩固提高6．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()A．f(x)f(－x)是奇函数B．f(x)|f(－x)|是奇函数C ．f (x )－f (－x )是偶函数D ．f (x )＋f (－x )是偶函数解析：取f (x )＝x ，则f (x )f (－x )＝－x 2是偶函数，A 错，f (x )|f (－x )|＝x 2是偶函数，B 错；f (x )－f (－x )＝2x 是奇函数，C 错．故选D.答案：D7．已知定义在R 上的偶函数f (x )的单调递减区间为[0，＋∞)，则使f (x )＜f (2)成立的自变量取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：∵f (x )是偶函数且在[0，＋∞)为减区间，示意图如下：由图示可知：f (x )＜f (2)成立的自变量的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．答案：D8．设函数f (x )满足：①函数在(－∞，－1)上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值．则f (x )可以是：____________答案：f (x )＝x 2(答案不唯一)9．已知函数f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 2.求当x ∈(－∞，＋∞)时，f (x )的表达式．解析：当x ∈(0，＋∞)时，－x ∈(－∞，0)，因为x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x －x 2，所以f (－x )＝(－x )－(－x )2，因为f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ＋x 2.综上，x ∈(－∞，＋∞)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 2(x ＞0)，0(x ＝0)，x －x 2(x ＜0).10．已知函数f (x )＝－x 3＋3x .求证：(1)函数f(x)是奇函数；证明：显然f(x)的定义域是R.设任意x∈R，∵f(－x)＝－(－x)3＋3(－x)＝－(－x3＋3x)＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．(2)函数f(x)在区间(－1,1)上是增函数．证明：在区间(－1,1)上任取x1，x2，且x1＜x2.f(x2)－f(x1)＝－(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21)＋3(x2－x1)＝(x2－x1)(3－x22－x2x1－x21)．因为－1＜x1＜x2＜1，所以(x2－x1)＞0，(3－x22－x2x1－x21)＞0，所以f(x2)＞f(x1)．所以函数f(x)＝－x3＋3x在区间(－1,1)上是增函数．。
北师大版高中数学 必修第一册 2.4.1函数的奇偶性
所以f(-1)=f(1),
所以f(1)=-f(1),得f(1)=0.
答案:0
.
偶函数求值
角度二
例10.设f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,
则f(1)等于(
A.-3
B.-1
)
C.1
D.3
解析:∵f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0
解： −, − ， , , ,
1
3
1.设f （ x)是偶函数，在区间 , 上是减（增）
函数，则f 在区间 −, − 上是增（减）函数．
2.设f （ x)是奇函数，在区间 , 上是减（增）
函数，则f 在区间 −, − 上是减（增）函数．
奇同偶异
角度三
利用对称性研究性质
一方面它影响着对解 析式的化简，另一方面，也是衡
量奇偶性的重要指标；学生最常犯的错误是一上来就
考虑f(-x)与f(x)关系；
2.能化简就化简，化简后再验证f(-x)与f(x)关系；
3.在判断f（x）与f（-x）的关系时，有时应用
定义的变通形式较方便，常见的变通形式：f
（-x）=±f（x）⇔f（-x）±f（x）=0⇔f（-x）
(3)函数的定义域为{－1，1}，因为对定义域内
的每一个x，都有f(x)＝0，所以f(-x)＝f(x)，故函数
f(x)为偶函数．又f(-x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函
数．即该函数既是奇函数又是偶函数．
经验
如果不把x的值代入，发现不了既奇又偶，感
觉是偶。说明结合定义域 化简函数很必要
例1.判断并证明下列函数的奇偶性：
例6.已知f(x)是定义在区间[-2,0)∪(0,2]上的奇函数,当x>0时,f(x)的图
(word完整版)高一必修一数学函数的奇偶性经典习题秒杀(2021年整理)
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高一必修一数学函数的奇偶性经典习题秒杀例1．判断下列函数是否具有奇偶性 (1) x x f 2)(= （2）2)1()(-=x x f(3)0)(=x f（4)()1,0,1)(2∈-=x x x f (5)x x x f -+-=11)( (6)x x x x f 32)(35++=例2．已知函数xx x f 1)(-=⑴判断奇偶性⑵判断单调性⑶求函数的值域例3．若f （x ）为奇函数，且当x>0时，f （x ）=x ｜x-2｜ ,求x 〈0时f （x ）的表达式[课内练习］1．奇函数y=f(x ）,x ∈R 的图象必经过点 （ ）A ．（a,f(-a)）B ．（-a,f （a)）C ．（-a, -f （a ））D ．（a, f （a1）） 2．对于定义在R 上的奇函数f （x ）有 （ ）A ．f （x)+f(-x ）＜0B ．f （x) -f （—x)＜0C ．f(x ） f （—x ）≤0D ．f （x ） f （-x)＞03．已知8)(35-++=bx ax x x f 且f （-2）=0,那么f （2）等于4．奇函数f （x ）在1≤x ≤4时解吸式为54)(2+-=x x x f ,则当-4≤x ≤—1时,f(x)最大值为5．f(x ）=nx mx x ++23为奇函数，y=32++nx x 在(—∞，3)上为减函数,在（3，+∞)上为增函数，则m= n=[归纳反思］1．按奇偶性分类，函数可分为四类：(1）奇函数 (2）偶函数（3)既是奇函数又是偶函数 （4）既非奇函数又非偶函数2．在判断函数的奇偶性的基本步骤：（1)判断定义域是否关于原点对称（2）验证f(-x)=f （x ）或f(—x)=—f(x)3．可以结合函数的图象来判断函数的奇偶性[巩固提高］1．已知函数f(x)在［-5，5］上是奇函数,且f （3) ＜f （1）,则 （ )（A ）f(-1） ＜f （-3） （B ）f(0） ＞f （1）（C)f （-1) ＜f （1) （D ）f （-3） ＞f(-5）2．下列函数中既非奇函数又非偶函数的是 （ )(A ）y=x 1 （B ）y=112+x (C ）y=0 ， x ∈［—1，2] （D ）y=12+x x 3．设函数f （x)=211x ax ---是奇函数，则实数a 的值为 （ )（A ） -1 （B ） 0 (C ） 2 （D ） 14．如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间［-7，-3］上是 （ ）(A ）增函数且最小值为—5 （B)增函数且最大值为—5（C ）减函数且最大值为-5 （D ）减函数且最小值为-55．如果二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）是偶函数，则b=6．若函数f （x ）是定义在R 上的奇函数,则 f （0)=7．已知函数f(x ）在（0, +∞）上单调递增，且为偶函数，则f(—π)，f （-31), f(3)之间的大小关系是8．f （x ）为R 上的偶函数,在（0,+∞）上为减函数,则p= f(43-）与q= f(12+-a a。
高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)
函数的单调性和奇偶性例1 (1)画出函数y= -X2+2 I x | +3的图像，并指出函数的单调区间.解：函数图像如下图所示，当X>0时，y = -X2+2X+3 = - (X-1 ) 2+4;当X V 0 时，y = -X2-2X+3 = - ( X+1) 2 +4 .在(4, -1 ］和［0, 1 ］上，函数是增函数：在［-1 , 0］和［1 , +〜上，函数是减函数.评析函数单调性是对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，所以对于区间端点只要函数有意义，都可以带上.(2)已知函数f ( X)=X2+2 (a-1) X+2在区间(亠,4］上是减函数，求实数a的取值范围.分析要充分运用函数的单调性是以对称轴为界线这一特征.解：f ( X ) = X2+2 (a-1) X+2 =［X+ (a-1)］2- (a-1) 2+2，此二次函数的对称轴是X = 1-a.因为在区间(-a, 1-a］上f (x)是单调递减的，若使f (X)在(4, 4］上单调递减，对称轴X= 1-a必须在X=4的右侧或与其重合，即1-a>4 a<3.评析这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范围，要注意利用数形结合.例2判断下列函数的奇偶性：(1) f ( X)=-2 f ( X)=(X-1 ) •1 .解：(1) f (x)的定义域为R.因为f ( -X )=| -X+1 | - | -X-1 |=| X-1 | - | X+1 | = -f (X).所以f ( X )为奇函数.(2) f ( X)的定义域为｛X | -1WV 1｝，不关于原点对称.所以 f ( X )既不是奇函数，也不是偶函数.评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下：(1 )求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称.(2)计算f (-x)，并与f ( x)比较，判断f (-x) = f ( x)或f (-x) = -f (x)之一是否成立.f(-x)与-f (x)的关系并不明确时，可考查f (-x) ± (x)= 0是否成立，从而判断函数的奇偶性.例3已知函数f (x)= 1 +「.(1)判断f (x)的奇偶性.(2)确定f (x)在(-a, 0) 上是增函数还是减函数？在区间(0, +8)上呢？证明你的结论. 解：因为f (x)的定义域为R,又] 1f ( -x )= j 亠- J = j ： ... = f (x),所以f (x)为偶函数.(2) f ( 乂)在(-8, 0) 上是增函数，由于f (x)为偶函数，所以f (x)在(0, +8)上为减函数. 其证明：取X i V X2V0,] ] £_彳(心-珂)(乃+可)f (x i) -f (X2)= J「- j = I—「= r — h .因为x1v X2v 0,所以X2-X1> 0, X什X2< 0 ,2 2x 1+1 > 0, x 2+1 > 0,得 f (X1) -f (X2)V 0,即 f (X1)V f (X2).所以f ( X )在(-8, 0) 上为增函数.评析奇函数在(a,b)上的单调性与在(-b,-a)上的单调性相同，偶函数在(a,b)与(-b,-a)的单调性相反.1例4已知y=f (x)是奇函数，它在(0, +8)上是增函数，且 f (x)v 0，试问F (x)= 在(-8, 0)上是增函数还是减函数？证明你的结论.1 ]分析根据函数的增减性的定义，可以任取X1V X2< 0，进而判定F( X1)-F( X2)==「：• ' ■■-的正负•为此，需分别判定 f (X1)、f (X2)与f (X2)的正负，而这可以从已条件中推出.解：任取X1、X2^( -8, 0)且X1< X2，则有-X1 > -X2> 0 .T y = f (x)在(0, +8)上是增函数，且f (X)< 0,二 f (-x2)< f (-x1)< 0. ①又••• f (x)是奇函数，• •• f ( -X2)= -f (X2), f ( -X i)= -f (X i) ②由①、②得 f ( X2)> f (X i)> 0 •于是F (x i) -F (X2)= * '…一 >0，即F (X i)> F (X2),1所以F ( X)=在(-m, 0)上是减函数.评析本题最容易发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在( 0 , +8)内任取X i< X2，展开证明.这样就不能保证-X i , -X2,在(-8, 0)内的任意性而导致错误.避免错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动.ax例5讨论函数f (x)= 1-/ (a^0在区间(-1, 1)内的单调性.分析根据函数的单调性定义求解.解：设-1 < x1< x2< 1,贝Uf (X i) -f (X2)= • 一' 1 - _以帀―X?)(l+可巧)=''-'l'lT x1, x2€( -1, 1),且x1< x2 ,•- X1-X2< 0, 1+X1X2> 0,(1-x21)( 1-X22)> 0于是，当a> 0 时，f (X1)< f (X2);当a< 0 时，f (X1)> f (X2).故当a> 0时，函数在(-1, 1)上是增函数；当a< 0时，函数在(-1, 1) 上为减函数.评析根据定义讨论(或证明)函数的单调性的一般步骤是：(1 )设x1、X2是给定区间内任意两个值，且X1< X2；(2)作差f (X1) -f (X2)，并将此差式变形；(3)判断f (X1) -f (X2)的正负，从而确定函数的单调性.例6求证：f (x) = x+ .■. ( k> 0)在区间(0, k］上单调递减.解：设0 < X1 < X2 < k 贝Uf (X1) -f (X2)= X<|+ -X2---■ 0 V x1< X2w k2二X i-X2< 0, 0< X i X2< k ,••• f ( X1) -f (x2)> 0••• f ( X1)> f ( X2),• f ( X) = X+一中(0, k］上是减函数.评析函数f ( X)在给定区间上的单调性反映了函数 f (X)在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质.因此，若要证明 f (X)在］a,b］上是增函数(减函数)，就必须证明对于区间［a,b］上任意两点X1 , X2,当X1< X2 时，都有不等式 f ( X1)< f ( X2)( f(X1)> f ( X2))类似可以证明:函数f (X)= X+ 二(k > 0)在区间［k, +8］上是增函数.例7判断函数f (x)= 工-'二的奇偶性.分析确定函数的定义域后可脱去绝对值符号.)—2 01^ - 2| + x 0解：由II 1得函数的定义域为］-1, 1］.这时，丨X-2 | = 2-X.• f ( X)= - ,• f (-X) = - = - = f (X)是偶函数，不是奇函数.且注意到f ( X)不恒为零，从而可知，f ( X )评析由于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具有奇偶性，若不作深入思考，便会作出其非奇非偶的判断.但隐含条件(定义域)被揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了.这样看来，解题中先确定函数的定义域不仅可以避免错误，而且有时还可以避开讨论，简化解题过程.函数奇偶性练习、选择题1 .已知函数f (X) = ax2+ bx+ c (a^ 0)是偶函数，那么g (X) = ax3+ bx2+ ex ( )已知函数f (x ) = ax + bx + 3a + b 是偶函数，且其定义域为］a — 1, 2a ］，则(2义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x ) = x — 2x ,则f (x )在R 上的表达式是()二、填空题X —2 —2-「的奇偶性为,1-x 2(填奇函数或偶函数)2若y =( m — 1) x + 2mx+ 3是偶函数，则m =1已知f (x )是偶函数，g (X )是奇函数，若 f(x) ■ g (x):X 一 1 则f (x )的解析式为 10•已知函数f( x )为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，贝y 方程f( x )= 0的所有实根之和为 三、解答题 11.设定义在［—2, 2］上的偶函数 f (x )在区间［0, 2］上单调递减，若f (1 — n ) v f (m ),求实 数m 的取值范围. 12.已知函数f (x )满足f (x + y ) + f (x — y )= 2f (x ) • f (y ) (x R, y R ),且 f (0)工 0, 试证f (x )是偶函数. 13.已知函数f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )= x 3 + 2x 2— 1，求f (x )在R 上的表达式.A .奇函数B .偶函数 C.既奇又偶函数D.非奇非偶函数A . a — — , b = 03B. a =— 1, b = oC. a = 1, b = 0D. a = 3, b = 0已知f (x )是定.A . y = x (x — 2)B . y = x (| x |— 1)C. y =1 x | (x — 2)D. y = x (| x | — 2)已知 f (x )= x 5 + ax 3 + bx — 8,且 f (— 2)= 10, 那么f (2)等于( A . — 26B.— 18C.— 10D. 10函数f (x) a Y —x ：—x 二1 是 (J x 2A .偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数 若:(x) , g (x )都是奇函数, f (x^ bg (x) 2 在(0,+m )上有最大值 5,则 f (x ) 在(—a,0)上有(A. 最小值—5B .最大值—5 C.最小值—1 D.最大值—3函数f (x)二14. f (x )是定义在(—s,— 5: : 5,+^)上的奇函数，且试判断f (x )在(— s,— 5］上的单调性，并用定义给予证明.15.设函数y =f (x ) (R 且x 丰0)对任意非零实数 求证f (x )是偶函数.函数的奇偶性练习参考答案1. 解析：f (x ) = ax 2 + bx + c 为偶函数，：：(x)二x 为奇函数，••• g (x )= ax 3 + bx 2 + cx = f (x ) • :(x)满足奇函数的条件.答案：A2 .解析：由f (x ) = ax 2 + bx + 3a + b 为偶函数，得b = 0.1 又定乂域为］a — 1, 2a ］, • a — 1 = 2a ,「・ a =—.故选 A .33.解析：由x > 0时，f (x ) = x 2— 2x , f (x )为奇函数，2 2•••当 X V 0 时，f (x )=— f (— x )=—( x + 2x )=— x — 2x = x (— x — 2).f (x )在］5,+s)上单调递减,X i 、X 2 满足 f ( x i • X 2)= f ( x i )+ f ( X 2),(X—O)，即f (x)= x( |x| - 2)(X 0),答案：D4.解析：f (x) + 8=x5+ ax3+ bx 为奇函数，f (- 2)+ 8= 18,「.f (2)+ 8=- 18,「. f (2)=- 26. 答案：A5•解析：此题直接证明较烦，可用等价形式 f ( —x)+ f (x)= 0. 答案：B6. 解析：(x)、g (x)为奇函数，••• f (x) - 2 二a「(x) • bg (x)为奇函数.又f (x)在(0,+s)上有最大值5, • f (x)—2有最大值3.• f (x)—2在(—a, 0) 上有最小值—3, • f (x)在(—a, 0) 上有最小值—1 . 答案:C7. 答案：奇函数8. 答案：0解析：因为函数y =( m—1) x2+ 2mx^ 3为偶函数，2 2••• f ( —x)= f (x),即(m—1) (—x) + 2m(—x)+ 3 =( m-1) x + 2m好3，整理，得m= 0.9. 解析：由f (x)是偶函数，g (x)是奇函数，可得1丄1立f(x) g(x)=X - 1F 八 _ 八—联1 \人)5入丿“，_ x T1111 f (X):(.- )22x -1_ X - 1X -1答案：f (X)二1210.答案：0 11.答案:1m -x -1 212. 证明：令x = y= 0，有f (0)+ f (0)= 2f (0) • f (0),又f (0)工0,二可证f (0)= 1.令x=0,•-f (y) + f ( —y)= 2f (0) • f (y)二f (—y) = f (y),故f (x)为偶函数.13. 解析：本题主要是培养学生理解概念的能力.f (x)= x3+ 2x2—1.因f (x)为奇函数，• f ( 0)= 0.当X V0 时，一x>0, f (—x) = (—x) 3+ 2 (—x) 2— 1 = —x3+ 2x2—1,• f (x)= x3—2x2+ 1.'X3+2X2-1 (x>0),因此，f(x)=20 (x = 0),X3一2x2 1 (x ：： 0).点评：本题主要考查学生对奇函数概念的理解及应用能力.14. 解析：任取X1<X2W —5，则一X1>—X2》一5.因f (X )在［5 ,+a］上单调递减，所以 f (—X1)V f (—X2)= f (X1)V—f (X2)= f ( X1) f(x)”2)> f ( X2),即单调减函数.精品文档点评：此题要注意灵活运用函数奇偶性和单调性，并及时转化.15. 解析：由X1, X2E R且不为0的任意性，令X1 = X2 = 1代入可证，f (1 )= 2f (1), ••• f (1)= 0.又令X1 = X2=—1 ,•f :—1 x(—1) = 2f (1 )= 0,•(—1)= 0.又令X1 = —1, X2= X,•f (—X) = f (—1) + f (X)= 0+ f (X)= f (X),即f (x)为偶函数.点评：抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特殊值，如，X1 = X2= 1, X1 X2= 0等，然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的式子即可. X2=—1 或X=。
高一数学必修一,函数的奇偶性题型归纳
函数的奇偶性 题型归纳题型一、函数奇偶性的概念➢ 函数奇偶性的定义：设函数D x x f y ∈=，)(，（D 为关于原点对称的区间）：①如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f -=，则称)(x f y =为偶函数；②如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f --=，则称)(x f y =为奇函数。
➢ 函数奇偶性的性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
②奇偶函数的图像：奇函数关于原点对称；偶函数关于y 轴对称。
③奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则必有0)0(=f 。
④偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =。
1. 若)(x f 是奇函数，则其图象关于（ ）【答案：C 】A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x y =对称2. 若函数))((R x x f y ∈=是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数)(x f y =图象上的是（ ）【答案：C 】A ．))(,(a f a -B ．))(,(a f a --C ．))(,(a f a ---D ．))(,(a f a -3. 下列说法错误的是（ ）【答案：D 】A.奇函数的图像关于原点对称B.偶函数的图像关于y 轴对称C.定义在R 上的奇函数()x f y =满足()00=fD.定义在R 上的偶函数()x f y =满足()00=f题型二、判断函数的奇偶性➢ 定义法：➢ 运算函数奇偶性的规律：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×÷奇=偶；奇×÷偶=奇；偶×÷偶=偶。
➢ 复合函数奇偶性判断：内偶则偶，两奇为奇。
➢ 抽象函数奇偶性：赋值法。
1、定义法：1. 下列函数中为偶函数的是（ ）【答案：C 】A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y2. 判断函数的奇偶性 ①)3,1(,)(2-∈=x x x f ②2)(x x f -=；③25)(+=x x f ； ④)1)(1()(-+=x x x f .⑤()xx x f 1-= ⑥()13224+-=x x x f 【答案：】（1）非奇非偶函数.（2）偶函数.（3）非奇非偶函数.（4）偶函数.（5）奇函数（6）偶函数.2、奇偶函数的四则运算法则：3. 下列函数为偶函数的是（ ）【答案：D 】A.()x x x f +=B.()xx x f 12+= C.()x x x f +=2 D.()2x x x f =4. 判断函数的奇偶性①53)(x x x x f ++=； ②1y 2+=x x【答案：（1）奇函数. （2）奇函数. 】5. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）。
必修1函数的性质奇偶
1 函数奇偶性作业1：已知2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，定义域为[1,2]a a -.则a = ，b =2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D. R x xy ∈=,)21(3.函数()y f x =是R 上的偶函数，且在(,0]-∞上是增函数，若()(2)f a f ≤,则实数a 的取值范围是（ ）A.2a ≤ B.2a ≥- C.22a -≤≤ D.2a ≤-或2a ≥4.设函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数，则a = ． 5已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---= ．6．下列函数为偶函数的是 （ ）A ．y=3xB ．y=xC ．y=312+x D ．y=x 3 7.已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0,a 的取值范围是( )A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3) 8.若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________.9．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是 ( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23 10.定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( ) A ．f (3)<f (－2)<f (1) B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3) D ．f (3)<f (1)<f (－2)11．(2010·温州一模)设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0，5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示 则使函数值y <0的x 的取值集合为________．12.函数1()f x x x=-的图像关于（ ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称13.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是14已知函数()x f 是奇函数，且定义域为R ，若0>x 时，()2+=x x f ，则函数()x f 的解析式为（ ）15.已知()x f 的定义域在()2,2-上的奇函数，且定义域上递减，若()()02322<-+-a f a f 成立，求实数a 的取值范围.。
高中数学必修一函数的性质奇偶性精选习题测试(打印版)
VIP 免费 欢迎下载(X )在(— a, — 5］上的单调性，并用定义给予证明.15.设函数y = f (x ) (R 且x z 0)对任意非零实数 X 1、X 2满足f 求证f (x )是偶函数.函数的奇偶性练习参考答案1. 解析：f (x )= ax 2+ bx + c 为偶函数， (x) x 为奇函数， 奇函数的条件.2a ］, • a — 1 = 2a ,「. a =丄.故选 A .33.解析： 由 x >0 时，f (x )= x — 2x , f (x )为奇函数，••当 x v 0 时，f (x )=— f ( — x )=—( x + 2x ) =2X (X —2) (X 畠 0),—x — 2x = x (— x — 2). • f(x)=丿即 f (x )= x (|x | — 2)答案：D 4.解析：f (x )、x(—X-2)(x£0),53+ 8= x + ax + bx 为奇函数，f (— 2)+ 8 = 18,二 f (2)+ 8=— 18,二 f (2)=— 26.答案：A 5.解析：此 题直接证明较烦，可用等价形式f (— x )+ f (x )= 0.答案：B 6 .解析：「(X )、g (x )为奇函数，•f(x) - 2二a (x) bg(x)为奇函数.又f (X )在(0,+a )上有最大值 5, • f (X )— 2有最大值3.二 f (X ) — 2在(—a, 0)上有最小值—3, • f ( X )在(—a, 0)上有最小值—1.答案：C7.答案：奇函数8 .答案：0 解析：因为函数 y =( m- 1) x 2+ 2mx+ 3 为偶函数，• f (— x )= f (x ),即(m- 1) ( — x ) 2+ 2m (— x )2 1 + 3= (m- 1)x + 2m )+ 3,整理，得m= 0.9.解析：由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，可得f(x) - g(x) =_ x _ 1奇偶性 2 3 21.已知函数 f (x )= ax + bx + c (a z 0)是偶函数，那么 g (x )= ax + bx + cx ( D.非奇非偶函数 a — 1, 2a ］,贝卩( A 奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数22.已知函数f (x )= ax + bx + 3a + b 是偶函数，且其定义域为］A a , b = 0 3 (x )是定义在 y = x (x — 2) 5 3B. a =— 1, b = 0C. a = 1, b = 0D. a = 3, b = 0 3. 已知f A . 4. 已知f R 上的奇函数，当 x > 0时， B . y = x (| x | — 1) A — 26 (x )= x + ax + bx — 8，且 f (— 2)= 10, C.— 10 5.函数 f (x)- B .— 18 1 x 2 x - 1 曰 2是( .1 X 2 X 1 B .奇函数 f (x ) = x 2— 2x , y = 1 x | f (2)等于 10 C. 那么 D. 则f (x )在R 上的表达式是( )(x — 2) D. y = x (| x |— 2) ( )C.非奇非偶函数 既是奇函数又是偶函数 A 偶函数 6.若(x) , g ( X )都是奇函数，f (x) = • bg(x) 2 在(0,+a)上有最大值 5，则 f ( X )在(— a, 0) 上有( ) A .最小值—5 一 X —2—2 一" f 的奇偶性为— 心-X 2若y =( m-1) x 2+ 2m 灶3是偶函数，则B.最大值—5C.最小值—1D. D.最大值—3 7. 8. 9. 函数f (x)= (填奇函数或偶函数) m = 已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数, 10. 已知函数f (x )为偶函数，且其图象与 11. 设定义在［—2, 2］上的偶函数 值范围. 12. 已知函数f (x )满足f (x + y ) 是偶函数. 13. 已知函数f (x )是奇函数，且当 14. f (x )是定义在(— a,— 1 若 f(x) g(xp X - 1 x 轴有四个交点，则方程 f ( X ) 在区间［0, 2］上单调递减，若 (x )的解析式为=0的所有实根之和为 ____________ .f (1 — m ) v f (m )求实数m 的取+ f (x — y )= 2f (x ) • f (y ) (R 疗 R)，且 f (0)M0,试证 f(x )x > 0时，f ( x )= x 3+ 2x 2— 1,求f (x )在R 上的表达式. 5::5,+^)上的奇函数，且(x )在］5,+^)上单调递减，试判断 f(X i • X 2)= f ( x i )+ f ( X 2),g (x ) = ax 3 + bx 2+ cx = f (x ) •:(x)满足答案：A 2.解析：由f (x )= ax 2+ bx + 3a + b 为偶函数，得 b = 0.又定义域为［a — 1,联立f(x) g(x)二£&)=丄(」1) J .答案：f(x) J 10 .答案：0 2x — 1 —x — 1 x -1 x - 111.答案：m 芝1 12.证明：令x = y = 0,有f ( 0)+ f (0)= 2f (0) • f (0)，又f (0)z 0,「.可证f (0) 2。
高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)
高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)首先，画出函数y=-x^2+2|x|+3的图像，然后确定函数的单调区间。
当x≥0时，y=-x^2+2x+3=-(x-1)+4；当x<0时，y=-x^2-2x+3=-(x+1)^2+4.因此，在区间（-∞，-1］和［1，+∞）上，函数是增函数；在［-1，1］上，函数是减函数。
需要注意的是，函数单调性是针对某个区间而言的，对于单独一个点没有增减变化，因此对于区间端点只要函数有意义，都可以带上。
接下来，考虑函数f（x）=x^2+2(a-1)x+2在区间（-∞，4］上是减函数的情况下，求实数a的取值范围。
首先，要充分运用函数的单调性，以对称轴为界线这一特征。
将f（x）=x^2+2(a-1)x+2写成［x+(a-1)］^2-(a-1)^2+2的形式，可以发现其对称轴是x=1-a。
因为在区间（-∞，1-a］上f（x）是单调递减的，若使f（x）在（-∞，4］上单调递减，对称轴x=1-a必须在x=4的右侧或与其重合，即1-a≥4，a≤-3.最后，判断函数f（x）=-2的奇偶性和函数f（x）=(x-1)的奇偶性。
对于第一个函数，其定义域为R，因为f（-x）=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f（x），因此f（x）为奇函数。
对于第二个函数，其定义域为{x|-1≤x＜1}，不关于原点对称，因此f （x）既不是奇函数，也不是偶函数。
判断函数的奇偶性时，需要先求出函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称。
然后计算f（-x），并与f（x）比较，判断f（-x）=f（x）或f （-x）=-f（x）之一是否成立。
如果f（-x）与-f（x）的关系不明确，可以考查f（-x）±f（x）是否成立，从而判断函数的奇偶性。
最后，对于函数f（x）=|x|/x，需要判断其奇偶性并确定其在（-∞，+∞）上是增函数还是减函数。
由于f（x）的定义域为R，且f（-x）=f（x），因此f（x）为偶函数。
高中数学《函数的奇偶性》同步练习3 新人教B版必修1
函数的奇偶性1、下列说法中不正确的是 ______A 图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B 奇函数的图象一定经过原点C 偶函数的图象若不经过原点,则它与x 轴交点的个数一定是偶数D 图象关于y 轴呈轴对称的函数一定是偶函数2、设f(x)是R 上的偶函数 ,且在[ 0 ,+∞]上单调增 ,则 f(-2) ,f(-π) ,f(3) 的大小顺序是________3、已知五个函数：①xy 1=；②12+=x y ；③2)1(-=x y ；④2)()(x x f =；⑤ y=1(x∈R).其中奇函数的个数为______4、已知函数1)(2++=bx x x f 为R 上的偶函数，b =_____5、f(x) 是定义在R 上的奇函数 ,则f(0)=6、在直角坐标系中，函数y=x 2-3|x|+1的图象关于____对称7、判断下列函数的奇偶性 (1 ) f(x)= x 3+5x （2） 122)(2++=x x x x f(3 ) x x x f 2)(3-= (4) ⎩⎨⎧+-=)1()1()(x x x x x f .0,0<≥x x8、已知函数 f(x) =x 2-2x -1,试判断函数f(x)的奇偶性,并作出函数的图象参考答案函数的奇偶性（1）1、B2、f(-π)>f(3)>f(-2)3、14、05、06、y 轴7、（1）奇函数 （2）非奇非偶函数 （3）奇函数 （4）奇函数8、解：定义域为R对于任意x∈R，都有f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=x 2-2|x|-1=f(x)所以，y=f(x)是偶函数图象如下：x。
高中数学必修1第一章基础训练题(有详解)
高中数学必修1第一章基础训练题（有详解) 一、单选题 1．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x ，则（ ） A ．()()f x g x +是奇函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是偶函数 D ．()()f x g x ⋅是偶函数 2．已知奇函数()f x 定义在(1,1)-上，且对任意1212,(1,1)()x x x x ∈-≠都有2121()()0f x f x x x -<-成立，若(21)(32)0f x f x -+->成立，则x 的取值范围为（ ）A ．(0,1)B ．1(,1)3C ．13(,)35D ．3(0,5 3．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]2,0- B ．(],8∞-- C ．[)2,∞+ D ．(],0∞- 4．已知函数是定义在上的奇函数，对于任意的，且，有.若，则的解集为（ ） A ． B ． C ． D ． 5．设奇函数在上为单调递减函数，且，则不等式的解集为 ( ) A ． B ． C ． D ． 6．定义在的偶函数，当时，，则的解集为( ) A ． B ． C ． D ． 7．设奇函数在上是减函数，且，若不等式对所有的都成立，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．8．函数，则下列结论错误的是( ) A ．是偶函数 B ．的值域是 C ．方程的解只有 D ．方程的解只有 二、填空题 9．给定映射22f a b a b a b →+-：（，）（，），则在映射f 下，31（，）的原象是______．10．若函数f （x ）同时满足： ①对于定义域上的任意x 恒有f （x ）+f （﹣x ）＝0，②对于定义域上的任意x 1，x 2，当x 1≠x 2时，恒有0，则称函数f （x ）为“理想函数”．给出下列四个函数中①f （x ）； ②f （x ）； ③f （x ）；④f （x ），能被称为“理想函数”的有_______________（填相应的序号）．11．给出下列五个命题：①函数f （x ）＝22a x ﹣1﹣1的图象过定点（12，﹣1）；②已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f （x ）＝x （x+1），若f （a ）＝﹣2则实数a ＝﹣1或2．③若log a 12＞1，则a 的取值范围是（12，1）；④若对于任意x ∈R 都f （x ）＝f （4﹣x ）成立，则f （x ）图象关于直线x ＝2对称； ⑤对于函数f （x ）＝lnx ，其定义域内任意12x x ≠都满足f （122x x +）()()122f x f x +≥其中所有正确命题的序号是_____．12．下列结论中:①定义在R 上的函数f (x )在区间(-∞,0]上是增函数,在区间[0,+∞)上也是增函数,则函数f (x )在R 上是增函数;②若f (2)=f (-2),则函数f (x )不是奇函数;③函数y=x -0.5是(0,1)上的减函数;④对应法则和值域相同的函数的定义域也相同;⑤若x 0是二次函数y=f (x )的零点,且m<x 0<n ,那么f (m )f (n )<0一定成立.写出上述所有正确结论的序号:_____. 13．已知函数，若函数过点，那么函数一定经过点____________ 14．已知是R 上的增函数，则的取值范围是__________； 15．函数在区间上的最小值为___________．三、解答题 16．已知函数． （Ⅰ）用定义证明是偶函数； （Ⅱ）用定义证明在上是减函数； （Ⅲ）作出函数的图像，并写出函数当时的最大值与最小值. 17．设函数y ＝f （x ）的定义域为R ，并且满足f （x +y ）＝f （x ）+f （y ），f （）＝1，当x ＞0时，f （x ）＞0． （1）求f （0）的值； （2）判断函数的奇偶性； （3）如果f （x ）+f （2+x ）＜2，求x 的取值范围． 18．已知全集为R ，集合， . （1）求， ； （2）若，且，求a 的取值范围. 19．已知f （x ）为一次函数，g （x ）为二次函数，且f[g （x ）]=g[f （x ）]． （1）求f （x ）的解析式； （2）若y=g （x ）与x 轴及y=f （x ）都相切，且g （0）= ，求g （x ）的解析式． 20．已知函数． （1）求； （2）求值域．参考答案1．D【解析】【分析】逐个选项去判断是否是奇函数或者偶函数。
函数的奇偶性(必修1)
函数的奇偶性
教
学
流
程
观 图 激 趣 感 知 概 念
归 纳 提 炼 得 出 概 念
互 动 交 流 深 化 概 念
知 识 应 用 巩 固 提 高
课 堂 小 结 理 论 升 华
布 置 作 业 能 力 提 升
函数的奇偶性
创设 情境
一）观图激趣 感知概念
蝴蝶
建 筑 物
图象有什么 特点呢？
麦当劳
奇函数函数图象关于原点对称 偶函数函数图象关于y轴对称
函数的奇偶性
四）知识应用，巩固提高
例1. 根据奇偶性的定义判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) x x 3 x 5 (2) f ( x) x 2 1 (3) f ( x) x 1 (4) f ( x) x 2 , x [ 1, 3] (5) f ( x) 0
函数的奇偶性
六）布置作业 能力提升
巩固题：教材第52页习题2-1A 6、7题 ；教材 第53页习题2-1B2、3题 补充题：判断下列函数的奇偶性：
1 x2 1 x （1） f ( x) （2） f ( x) ( x 1) | x 2 | 2 1 x
(3)若F ( x)是定义在(a, a)(a 0)上的奇函数,则
x
函数的图象关于原点对称
函数的奇偶性
二）归纳提炼 得出概念
问题1：请同学们完成以下表格并作出函数
f ( x) x
2
2
的图象
x
f ( x) x2
… -3
…
9
-2
4
-1
1
0
0
1
1
3
9
…
高中数学必修一《函数的奇偶性练习题》
函数的奇偶性练习题1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A ．y ＝－x 3，x ∈R B ．y ＝sin2x ，x ∈RC ．y ＝2x ，x ∈RD ．y ＝－⎝⎛⎭⎫13x ，x ∈R2．函数f (x )＝a 2x －1ax (a >0，a ≠1)的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．34． 已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________．能力提升5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－134＝( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－126． 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，若f (1)＝1，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．27． 若函数f (x )＝|x －2|＋a 4－x 2的图象关于原点对称，则f a2＝( )A.33 B ．－33C ．1D ．－1 8．已知定义在R 上的奇函数f (x )是一个减函数，若x 1＋x 2＜0，x 2＋x 3＜0，x 3＋x 1＜0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上都有可能9． 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋1)＋f (x )＝3，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 005.5)＝________．10． 函数f (x )是定义在R 上的奇函数，下列结论中，正确结论的序号是________．①f (－x )＋f (x )＝0；②f (－x )－f (x )＝－2f (x )；③f (x )f (－x )≤0；④f （x ）f （－x ）＝－1.11． 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0是奇函数，则满足f (x )>a 的x 的取值范围是________．12．(13分)[2012·衡水中学一调] 已知函数f (x )＝x m －2x 且f (4)＝72.(1)求m 的值；(2)判定f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．难点突破13．(12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．1． 下列函数中既是奇函数，又在区间(－1，1)上是增函数的为( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝sin xC ．y ＝e x ＋e －x D ．y ＝－x 32．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－123．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1（x >0），－x 2－x －1（x <0），则f (x )为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．不能确定奇偶性4． 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________．能力提升5． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，0，x ＝0，g （x ），x >0，且f (x )为奇函数，则g (3)＝( )A ．8 B.18 C ．－8 D ．－186．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，如果x 1<0，x 2>0，且|x 1|<|x 2|，则有( )A ．f (－x 1)＋f (－x 2)>0B ．f (x 1)＋f (x 2)<0C ．f (－x 1)－f (－x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<07．] 已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－18．命题p ：∀x ∈R ，3x >x ；命题q ：若函数y ＝f (x －1)为奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(1，0)成中心对称．以下说法正确的是( ) A ．p ∨q 真 B ．p ∧q 真 C ．綈p 真 D ．綈q 假 9．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)f (x )＝1，若f (1)＝－5，则f (－5)＝________． 10． 设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________．11．设定义在[－2，2]上的奇函数f (x )在[0，2]上单调递减，若f (3－m )≤f (2m 2)，则实数m 的取值范围是________．12．(13分)已知函数f (x )＝lg 1＋x1－x.(1)求证：对于f (x )的定义域内的任意两个实数a ，b ，都有f (a )＋f (b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明．难点突破13．(12分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．1．A [解析] y ＝sin2x 在R 上不单调，y ＝－13x 不是奇函数，y ＝2x 为增函数，所以B ，C ，D 均错．故选A.2．A [解析] 因为f (－x )＝a －x －1a－x ＝－(a x －a －x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称．故选A.3．A [解析] 依题意当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－(2x 2＋x )，所以f (1)＝－3.故选A. 4．3 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想，解此题的关键是利用y ＝f (x )为奇函数． 已知函数y ＝f (x )为奇函数，由已知得g (1)＝f (1)＋2＝1， ∴f (1)＝－1，则f (－1)＝－f (1)＝1，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝1＋2＝3. 【能力提升】5．A [解析] 依题意f －134＝f －54＝f 34＝32.故选A.6．A [解析] 由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，根据f (x )为R 上的奇函数，得f (0)＝0，所以f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，f (4)＝f (0)＝0，所以f (3)－f (4)＝－1.故选A.7．A [解析] 函数f (x )定义域为{x |－2<x <2}，依题意函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，得a ＝－2，所以f a 2＝f (－1)＝|－1－2|－24－1＝33.故选A.8．A [解析] 由x 1＋x 2＜0，得x 1＜－x 2. 又f (x )为减函数，所以f (x 1)＞f (－x 2)，又f (x )为R 上的奇函数，所以f (x 1)＞－f (x 2)． 所以f (x 1)＋f (x 2)＞0.同理f (x 2)＋f (x 3)＞0，f (x 1)＋f (x 3)＞0， 所以f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＞0.故选A.9．1.5 [解析] 由f (x ＋1)＋f (x )＝3得f (x )＋f (x －1)＝3，两式相减得f (x ＋1)＝f (x －1)，所以f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (－2 005.5)＝f (－1.5)＝f (－2＋0.5)＝f (0.5)＝1.5.10．①②③ [解析] 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以①正确，由f (－x )＋f (x )＝0，可推得选项②，③正确，④中，要求f (－x )≠0，故④错误．11．(－1－3，＋∞) [解析] 由函数f (x )是奇函数，所以当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ＝－f (x )＝x 2－ax ，所以a ＝－2.当x <0时，f (x )>a 即－x 2－2x >－2⇒x 2＋2x －2<0，解得－1－3<x <0；当x ≥0时，f (x )>－2恒成立．综上，满足f (x )>a 的x 的取值范围是(－1－3，＋∞)．12．解：(1)因为f (4)＝72，所以4m －24＝72，所以m ＝1.(2)因为f (x )的定义域为{x |x ≠0}，又f (－x )＝－x －2－x＝－x －2x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－x 2－2x 2＝(x 1－x 2)1＋2x 1x 2，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，1＋2x 1x 2>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数．(或用求导数的方法) 【难点突破】13．解：(1)因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0， 即－1＋b 2＋a ＝0，所以b ＝1.所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，所以a ＝2.(2)方法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<f (－2t 2＋k )． 因f (x )是减函数，所以t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0.从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.方法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0，即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0. 整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0.上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.课时作业(六)B【基础热身】1．B [解析] 由题中选项可知，y ＝|x |，y ＝e x ＋e －x 为偶函数，排除A ，C ；而y ＝－x 3在R 上递减，故选B.2．B [解析] 因为函数f (x )＝ax 2＋bx 在[a －1，2a ]上为偶函数，所以b ＝0，且a －1＋2a ＝0，即b ＝0，a ＝13.所以a ＋b ＝13.3．A [解析] 若x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2－(－x )＋1＝x 2＋x ＋1＝－f (x )．若x >0，则－x <0，所以f (－x )＝－(－x )2－(－x )－1＝－x 2＋x －1＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．4.32[解析] 函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，那么f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝32.【能力提升】5．D [解析] 因为f (x )为奇函数，所以x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ，即g (x )＝－2－x ，所以g (3)＝－2－3＝－18.故选D.6．D [解析] 因为x 1<0，x 2>0，|x 1|<|x 2|，所以0<－x 1<x 2.又f (x )是(0，＋∞)上的增函数，所以f (－x 1)<f (x 2)．又f (x )为定义在R 上的偶函数，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x 1)－f (x 2)<0.选D.7．A [解析] 由已知f (x )是偶函数且是周期为2的周期函数，则f (－2 012)＝f (2 012)＝f (0)＝log 21＝0，f (2 011)＝f (1)＝log 22＝1，所以f (－2 012)＋f (2 011)＝0＋1＝1，故选择A.8．A [解析] 命题p 是真命题．对于命题q ，函数y ＝f (x －1)为奇函数，将其图象向左平移1个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，该图象的对称中心为(－1，0)，而得不到对称中心为(1，0)，所以命题q 为假命题，所以p ∨q 是真命题．故选A.9．－15[解析] 因为f (x ＋2)f (x )＝1，所以f (x ＋4)f (x ＋2)＝1，于是有f (x ＋4)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，f (－5)＝f (－1)＝1f （－1＋2）＝1f （1）＝－15.10．－9 [解析] 由f (a )＝a 3cos a ＋1＝11得a 3cos a ＝10， 所以f (－a )＝(－a )3cos(－a )＋1＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.11．{1} [解析] 因为f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，且在[0，2]上单调递减，所以f (x )在[－2，2]上单调递减，所以f (3－m )≤f (2m 2)等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2≤3－m ≤2，－2≤2m 2≤2，3－m ≥2m 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤5，－1≤m ≤1，－32≤m ≤1，即m ＝1，所以m 的取值范围是{1}．12．解：函数的定义域为{x |－1<x <1}＝(－1，1)．(1)证明：∀a ，b ∈(－1，1)，f (a )＋f (b )＝lg 1＋a 1－a ＋lg 1＋b 1－b ＝lg （1＋a ）（1＋b ）（1－a ）（1－b ），f a ＋b 1＋ab ＝lg 1＋a ＋b 1＋ab 1－a ＋b 1＋ab＝lg 1＋ab ＋a ＋b 1＋ab －a －b ＝lg （1＋a ）（1＋b ）（1－a ）（1－b ）， 所以f (a )＋f (b )＝f a ＋b1＋ab.(2)∀x ∈(－1，1)，f (－x )＋f (x )＝lg 1－x 1＋x ＋lg 1＋x 1－x ＝lg （1－x ）（1＋x ）（1＋x ）（1－x ）＝lg1＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． 【难点突破】13．解：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， 所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0. (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， 所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3， 又f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3， 即f ((3x ＋1)(2x －6))≤f (64)．(*) 方法一：因为f (x )为偶函数， 所以f (|(3x ＋1)(2x －6)|)≤f (64)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.解上式，得3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3.所以x 的取值范围为x ⎪⎪－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5. 方法二：因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以(*)等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧（3x ＋1）（2x －6）>0，（3x ＋1）（2x －6）≤64或⎩⎪⎨⎪⎧（3x ＋1）（2x －6）<0，－（3x ＋1）（2x －6）≤64， ⎩⎨⎧x >3或x <－13，－73≤x ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧－13<x <3，x ∈R .所以3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3.所以x 的取值范围为 x⎪⎪⎪ )－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5.。
高一数学必修1函数奇偶性专项练习、题型分析
奇偶性概念考察1.下面四个结论中, 正确命题的个数是( )①偶函数的图象一定与y 轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y 轴对称④既是奇函数, 又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x ∈R) A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.下列判断正确的是（ ）A.定义在R 上的函数f(x), 若f(-1)=f(1),且f(-2)=f(2), 则f(x)是偶函数；B.定义在R 上的函数f(x)满足f(2)>f(1), 则f(x)在R 上不是减函数；C.定义在R 上的函数f(x)在区间 上是减函数, 在区间 上也是减函数, 则f(x)在R 上是减函数；D.既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个。
3.对于定义域为R 的任意奇函数f(x)一定有( ) A. f(x)－f(－x)＞0 B. f(x)－f(－x)≤0 C. f(x)·f(－x)＜0D. f(x)·f(－x)≤04、 是定义在R 上的奇函数, 下列结论中, 不正确的是( ) （A ）0)()(=+-x f x f （B ）)(2)()(x f x f x f -=--（C ）)(x f ·)(x f -≤0 （D ）1)()(-=-x f x f判断函数奇偶性1. 下列函数中:①y ＝x2(x ∈[－1, 1])； ②y ＝｜x ｜； ④y ＝x3(x ∈R), 奇函数的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个D. 4个. 2.下列函数中是偶函数的是... ）A.y=x4 (x<0) B 、y=|x+1| C 、y= D 、y=3x-13. 判断下列函数的奇偶性: (1)x x x f -+-=11)( (2)2211)(x x x f -+-=（3）x x y 2112-+-= （4）⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y（5）y =（6）⎩⎨⎧<+≥-=)0(1)0(1)(x x x x x f（7）122)(2++=x xx x f ； （8） a x f =)( （R x ∈）（9）⎩⎨⎧+-=)1()1()(x x x x x f .0,0<≥x x （10）()f x =（11） （12）22x (0)f(x)=x (0)x x x x ⎧+<⎪⎨->⎪⎩（13）|1||1|y x x =-++若f(x)是偶函数, 则 ______.5.下列给出的函数中, 既不是奇函数也不是偶函数的是 （A ）2xy =（B ）2y x x =-（C ）2y x =（D ）3y x =已知函数 的图象关于原点对称, 则 ________________奇偶函数四则运算性质1.判断下列函数的奇偶性(1)2413)(x x x f += (2)xx y 13+= （3）x x y +=4（4） x x x f 2)(3-=；（5）2||1y x x =-+ （6）y = 2.函数 , 是（ ）A. 偶函数B. 奇函数C. 不具有奇偶函数D. 与 有关已知函数 是 上的偶函数, 则实数 _____；不等式 的解集为_____.若 是偶函数, 讨论函数 的单调区间？已知函数 是偶函数, 判 的奇偶性。
人教新课标版数学高一-必修一 1.3.2奇偶性
数学人教A 必修1第一章1．3.2 奇偶性1．了解奇函数、偶函数的定义，明确定义中“任意”两字的意义． 2．了解奇函数、偶函数图象的对称性． 3．会用定义判断函数的奇偶性．1．偶函数和奇函数偶函数奇函数定义条件如果对于函数f (x )的定义域内______一个x ，都有f (－x )＝______ f (－x )＝______结论 函数f (x )叫做偶函数 函数f (x )叫做奇函数 图象特征 图象关于______对称 图象关于______对称(1)奇函数和偶函数的定义中的“任意”是指定义域中所有的实数；由于f (－x )与f (x )有意义，则－x 与x 同时属于定义域，即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．(2)函数f (x )是偶函数对定义域内任意一个x ，有f (－x )－f (x )＝0f (x )的图象关于y 轴对称．(3)函数f (x )是奇函数⇔对定义域内任意一个x ，有f (－x )＋f (x )＝0f (x )的图象关于原点对称．【做一做1－1】 函数y ＝f (x )，x [－1，a ](a ＞－1)是奇函数，则a 等于( )．A ．－1B ．0C ．1D ．无法确定【做一做1－2】下列条件，可以说明函数y＝f(x)是偶函数的是()．A．在定义域内存在x使得f(－x)＝f(x)B．在定义域内存在x使得f(－x)＝－f (x)C．对定义域内任意x，都有f(－x)＝－f(x)D．对定义域内任意x，都有f(－x)＝f(x)2．奇偶性基本初等函数的奇偶性如下：【做一做2－1】函数y＝x是()．A．奇函数B．偶函数C．奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【做一做2－2】函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝__________.答案：1．任意f(x)－f(x)y轴原点【做一做1－1】 C【做一做1－2】D2．奇偶性【做一做2－1】A【做一做2－2】0理解函数的奇偶性剖析：函数f (x )的奇偶性的定义是用f (－x )＝±f (x )来刻画函数f (x )的图象的特征(图象关于原点或y 轴对称)的；函数的奇偶性是对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同．从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的局部性质，而奇偶性是函数的整体性质．只有对函数f (x )的定义域的每一个值x ，都有f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )，才能说f (x )为偶函数或奇函数；定义中要求“对于函数f (x )的定义域内任意一个自变量x ，都有f (－x )＝f (x ) (f (－x )＝f (x ))”成立，其前提为f (－x )和f (x )都有意义，所以－x 也属于f (x )的定义域，即自变量x 的取值要保持关于原点的对称性，于是奇(偶)函数的定义域是一个关于原点对称的数集，这是函数存在奇偶性的前提．例如将函数f (x )＝x 2＋1，f (x )＝x 的定义域分别限定为(0，＋)与(－3,3]，那么它们都为非奇非偶函数；函数的奇偶性定义中的等式f (－x )＝－f (x )〔或f (－x )＝f (x )〕是其定义域上的恒等式，而不是对部分x 成立．如：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，|x |≤1，x ＋1，|x |>1，尽管当|x |≤1时，都有f (－x )＝f (x )，但当|x |＞1时，f (－x )≠f (x )，所以它不是偶函数．题型一 判断函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(2)f (x )＝x 3－2x ；(3)f (x )＝x 4＋x 2＋1.分析：先求出定义域，再判断f (－x )与f (x )的关系． 反思：判断函数奇偶性的方法： (1)定义法：(2)图象法：如果函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数；如果函数的图象关于原点和y 轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果函数的图象关于原点和y 轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数．本题(1)容易错解为：由题意得f (x )＝2x 2＋2xx ＋1＝2x ，f (－x )＝－2x ＝－f (x )，则函数f (x )＝2x 2＋2xx ＋1是奇函数．其错误原因是没有讨论该函数的定义域．避免出现此类错误的方法是在讨论函数的奇偶性时，要遵循定义域优先的原则．题型二 利用函数奇偶性作图 【例2】 已知函数f (x )＝1x 2＋1在区间[0，＋∞)上的图象如图所示，请在坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，并说明作图依据．分析：先证明f (x )是偶函数，再依据其图象关于y 轴对称作图．反思：利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．题型三 利用函数的奇偶性求函数的解析式【例3】 若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x (1－x )，求函数f (x )的解析式．反思：(1)若f (x )是奇函数，f (0)有意义，则f (0)＝0；(2)已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式，求对称区间上的解析式时，首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知解析式的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．题型四 易混易错题易错点 分段函数奇偶性的判断【例4】 判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x 3，x ≥0的奇偶性．答案：【例1】 解：(1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数又不是偶函数．(2)函数的定义域为R ，关于原点对称， f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝2x －x 3＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(3)函数的定义域为R ，关于原点对称， f (－x )＝(－x )4＋(－x )2＋1＝x 4＋x 2＋1＝f (x )，所以f (x )是偶函数．【例2】 解：∵f (x )＝1x 2＋1，∴f (x )的定义域为R .又对任意x R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )，∴f (x )为偶函数．则f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如图所示．【例3】 解：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．当x ＞0时，－x ＜0， ∴f (x )＝－f (－x )＝x (1＋x )．当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝－f (0)， ∴f (0)＝0.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1＋x )，x >0，0，x ＝0，x (1－x )，x <0.【例4】 错解：∵当x ＜0时，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )；当x ≥0时，f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，∴当x ＜0时，函数f (x )是偶函数；当x ≥0时，函数f (x )是奇函数．错因分析：“当x ＜0时，函数是偶函数；当x ≥0时，函数是奇函数”这种说法是错误的．函数的奇偶性是函数的一个整体性质，是针对函数的整个定义域而言的．因此判断函数的奇偶性时，要考虑整个定义域，依据定义进行判断．正解：显然f (x )的定义域关于原点对称．当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3，f (x )＝x 2，于是f (－x )≠±f (x )，故函数f (x )既不是奇函数又不是偶函数．1函数f (x )＝x 4＋x 2( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数2函数y ＝2(1)1x x x ++( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 3若函数f (x )满足()()f x f x -＝1，则f (x )图象的对称轴是( )．A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．不能确定 4已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝21x +，试求f (x )的解析式． 5定义在[－3，－1][1,3]上的函数f (x )是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f (x )的图象． (2)比较f (1)与f (3)的大小．答案：1． B 定义域是R ，f (－x )＝(－x )4＋(－x )2＝x 4＋x 2＝f (x )，所以函数是偶函数． 2． D 定义域是(－，－1)∪(－1，＋)，不关于原点对称，所以函数既不是奇函数又不是偶函数．3． B 由于f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称． 4．解：当x ＜0时，－x ＞0，此时f (x )＝f (－x )＝21x -+， ∴f (x )＝2,0,12,0,1x x x x ⎧≥⎪⎪+⎨⎪<⎪-+⎩即f (x )＝21x +.5．解：(1)因为f (x )是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．(2)观察图象，知f (3)＜f (1)．。
高一上必修1 函数的奇偶性练习题
函数的奇偶性一、选择题1．若)(x f 是奇函数，则其图象关于 （ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x y =对称2．若函数))((R x x f y ∈=是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数)(x f y =图象上的是（ ）A ． ))((a f a -，B ． ))((a f a --，C ． ))((a f a ---，D ．))((a f a -，3．下列函数中为偶函数的是 （ ）A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y4. 如果奇函数)(x f 在[]7,3上是增函数，且最小值是5，那么)(x f 在[]3,7--上是（ ）A ．增函数，最小值是5-B ．增函数，最大值是5-C ．减函数，最小值是5-D ．减函数，最大值是5-5. 已知函数)(1222)(R x a a x f x x ∈+-+⋅=是奇函数，则a 的值为 （ ）A ．1-B ．2-C ．1D ．26. 已知偶函数)(x f 在],0[π上单调递增，则下列关系式成立的是 ( )A ．)2()2()(f f f >->-ππB ．)()2()2(ππ->->f f f C ．)2()2()(ππ->>-f f f D ．)()2()2(ππ->>-f f f 二、填空题 7．若函数)(x f y =是奇函数，3)1(=f ，则)1(-f 的值为____________ .8．若函数)(x f y =)(R x ∈是偶函数，且)3()1(f f <，则)3(-f 与)1(-f 的大小关系为_________________.9．已知)(x f 是定义在[)2,0-Y (]0,2上的奇函数，当0>x 时，)(x f 的图象如右图所示，那么f (x ) 的值域 是 .10．已知分段函数)(x f 是奇函数，当),0[+∞∈x 时的解析式为2x y =，则这个函数在区间)0,(-∞上的解析式 为 ．三、解答题11. 判断下列函数是否具有奇偶性：(1)35()f x x x x =++； (2) 2(),(1,3)f x x x =∈-； (3)2)(x x f -=；(4)25)(+=x x f ； (5) )1)(1()(-+=x x x f .12．判断函数122+-=x x y 的奇偶性，并指出它的单调区间.13．已知二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函 数)(x f 的单调递增区间.能力题14．设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是增函数,则()2f -与()223f a a -+（a R ∈）的大小关 系是 （ ）A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f a a -+ D ．与a 的取值无关若函数 15． 已知)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，且在公共定义域{}1,|±≠∈x R x x 上有11)()(-=+x x g x f ，求)(x f 的解析式.练习五一、选择题二、填空题7．3- 8．)1()3(->-f f 9．[)(]3,22,3Y -- 10．2x y -= 三、解答题11．(1)奇函数，(2)非奇非偶，(3)偶函数，(4) 非奇非偶函数，(5)偶函数12．偶函数. Θ⎩⎨⎧<++≥+-=,0,12,0,1222x x x x x x y ∴函数122+-=x x y 的减区间是(]1,-∞- 和 ]1,0[，增区间是]0,1[- 和 ),1[+∞. 13．Θ二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称，∴1=m ，则1)(2+-=x x f ，函数)(x f 的单调递增区间为(]0,∞-. 能力题14．B (提示: Θ()f x 是定义在R 上的偶函数,且在)0,(-∞上是增函数,∴()f x 在),0(+∞上是减函数，)2()2(f f =-. Θ22)1(3222≥+-=+-a a a ,∴()223f a a -+)2(f ≤，因此()223f a a -+)2(-≤f . )15．⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=+,11)()(,11)()(x x g x f x x g x f ⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=+--=+11)()(11)()(x x g x f x x g x f 得11)(,1)(22-=-=x x g x x x f .。
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函数奇偶性知识点
1．奇函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 就叫做奇函数．
2．偶函数：一般地，对于函数()f x 的定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 就叫做偶函数．
3．具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
4. 利用定义判断函数奇偶性的步骤：
（1）首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
（2）确定()f x -与()f x 的关系；
（3）作出相应结论：若()()f x f x -=或()()0f x f x --=，则()f x 是偶函数；若
()()f x f x -=-或()()0f x f x -+=，则()f x 是奇函数．
5.注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定；(2)由()()0f x f x -±=或
()1()f x f x -=±来判定；(3)借助函数的图象判定。
函数奇偶性练习题
一.选择题. 1.已知()f x 是R 上的偶函数，且在区间[0,+)∞上是增函数，则(2)()(3)f f f π--、、的大小关系是 （ ）
A.()(2)(3)f f f π->->
B.(3)()(2)f f f π>->
C.(2)(3)()f f f π->>- Ｄ.()(3)(2)f f f π->>-
2. 已知函数2()3f x ax bx a b =+++是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则 （ ）
A ．3
1=a ，b ＝0 B ．1a =-，b ＝0 C ．1a =，b ＝0 D ．3a =，b ＝0 3．下列命题中错误的是 ( ) ①图象关于原点成中心对称的函数一定为奇函数 ②奇函数的图象一定过原点
③偶函数的图象与y 轴一定相交 ④图象关于y 轴对称的函数一定为偶函数
A ．①②
B ．③④
C ．①④
D ．②③
4．如果奇函数()f x 在(0，＋∞)上是增函数，则()f x 在(－∞，0)上 ( )
A ．减函数
B ．增函数
C ．既可能是减函数也可能是增函数
D ．不一定具有单调性
5.已知()f x ＝x 7＋ax 5＋bx －5，且(3)f -＝5，则(+3)f ＝ ( )
A ．－15
B ．15
C ．10
D ．－10
6．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，()f x ＝2x
－3，则(2)f -的值等于( )
A ．－1
B ．1 C.114 D ．－114 7．设()f x 在[－2，－1]上为减函数，最小值为3，且()f x 为偶函数，则()f x 在[1,2]上
A ．为减函数，最大值为3
B ．为减函数，最小值为－3 （ ）
C ．为增函数，最大值为－3
D ．为增函数，最小值为3
8下列四个函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上为增函数的是 ( )
A ．y ＝x 3
B ．y ＝－x 2＋1
C ．y ＝|x |＋1
D ．y ＝2－|x |
9.若函数()f x ＝(x ＋1)(x ＋a )为偶函数，则a ＝ ( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．不存在
10．定义域为2[32,4]a a --上的函数f(x)是奇函数，则a= （ ）
A.1或2
B.1
C.2
D.0
二.填空题.
11.已知()f x 是奇函数，定义域为{x|x ∈R 且x ≠0},又()f x 在（0，+∞）上是增函数，且(1)0f -=,则满足()f x >0的x 取值范围是________.
12.若()f x 是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时为增函数，那么使()()f f a π<的实数a 的取值范围是_______.
13.(),()x g x ϕ都是奇函数，()f x =()()a x bg x ϕ++2在（0，+∞）上有最大值5，则()f x 在（-∞，0）上有最_______值________.
14. 若函数))(12()(a x x x x f -+=
为奇函数，则a = . 三.解答题
15.()f x 是定义在（－∞，－5］ ［5，＋∞）上的奇函数，且()f x 在［5，＋∞）上单调递减，试判断()f x 在（－∞，－5］上的单调性，并用定义给予证明．
16.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，求满足(21)f x -＜1
()3
f 的x 取值范围.。