集合论习题选讲

偏序集<A, R>极大元是<A，S>中的极小元，偏序集<A, R> 极小元是<A，S>中的极大元、偏序集<A, R>最大元是 <A，S>
中的最小元，偏序集<A, R>最小元是<A，S>中的最大 元。
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15.设R为A上的关系，则R在A上传递当且仅当（R∘R）R 证明：必要性：若 R在A上具有传递性
5. A=且B≠，则BA= ?
6. 设A={a}，则{{φ},φ}P(P(A)) ？ 7. 设f：N×N→N,f(<x,y>)=xy,则f是满射的 ?
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6. 若集合A=B=C，则A（BC）=（AB）C ? 7. 设R为A上的关系，则R在A上自反当且仅当R∩=Ф ? 8. 设R为非空集合A上的等价关系，则R一定是偏序关系? 9. 两个可数集的笛卡儿积是可数集?
<x,y> ∈R∘R t ( <x,t> ∈R ∧ <t,y> ∈R )
<x,y> ∈R 所以 (因为R在A上传递) R ∘ R R
充分性：若（R∘R）R <x,y> ，<y,z> ∈R <x,z> ∈ R∘R

<x,z> ∈ R
( 因为R ∘ R
R)
所以R在A上传递。
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16.设A、B、C、D是集合，且A≈C，B≈D，证明： A×B≈C×D


再由T的定义知： <y, x>∈T
所以T具有对称性
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③ 再证T具有传递性

x, y，z∈A ,若<x,y>∈T ∧ <y, z>∈T 并且<y ,z>∈R ∧ <z, y>∈R
由T的定义知：<x ,y>∈R ∧ <y, x>∈R


再由R具有传递性知: <x ,z>∈R ∧ <z, x>∈R
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(2)如果R是整数集合上的小于或等于关系，那么S是 什么关系？如果R是正整数集合上的整除关系，那么S 是什么关系?
如果R是整数集合上的小于或等于关系，那么S是A上的 大于或等于关系。
如果R是正整数集合上的整除关系，那么S是正整数集 合上的倍数关系。
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(3)偏序集<A, R>和<A，S>中的极大元、极小元、最大 元、最小元等之间有什么关系？
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12.设A、B为任意集合，证明：
(1)
(2)
P(A)∩P(B) = P(A∩B)
P(A)∪P(B) P(A∪B)
针对（2）举一反例，说明P(A)∪P(B) = P(A∪B)对 某些集合A和B是不成立的 证明：(1) ① 先证 所以 xA ∧ xB 所以 x A∩B, 即 x∈P(A∩B) P(A)∩P(B) P(A∩B) x∈P(A)∩P(B), 则 x∈P(A) ∧ x∈P(B)
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复习—特征函数
设A为集合，对于任意的AA，A的特征函数 A : A→{0,1}定义为 A (a) ＝ 1，a∈A 0， a∈AA
举例: A的每一个子集A都对应于一个特征函数，不同的子 集对应于不同的特征函数。
例如A＝{a,b,c}, 则有
＝{<a,0>,<b,0>,<c,0>}， {a,b} ＝{<a,1>,<b,1>,<c,0 >}
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(2) P(A)∪P(B) P(A∪B) x∈P(A)∪P(B) 则 x∈P(A) ∨ x∈P(B) 所以 xA ∨ xB
① 若xA,则 x A∪B
所以 x∈P(A∪B) ② 若xB,则 x A∪B 所以 x∈P(A∪B) 因此 P(A)∪P(B) P(A∪B)
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③ 再证S具有传递性 x，y，z∈A,若<x, y>∈S 并且<y, z>∈S 又因R为偏序关系，所以R具有传递性 再由S的定义知：<x, z>∈S 由S的定义知：<y, x>∈R 并且<z, y>∈R
所以 <z, x>∈R
所以S具有传递性。 综上所述S为A上的偏序关系。

因此 P(A)∩P(B) P(A∩B)
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② 再证 P(A∩B) P(A)∩P(B)
x∈P(A∩B) 则 x A∩B 所以 xA ∧ xB 所以 x∈P(A) ∧ x∈P(B)
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所以 x∈P(A)∩P(B)
因此 P(A∩B) P(A)∩P(B) 综上所述 P(A∩B) = P(A)∩P(B)
10.集合的幂集P（B）关于集合的对称差运算和并运算构 成环 ?
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11.设A、B、C为任意集合，证明： （1）（A-B）- C = A - (B∪C) （2）(A-B)-C=(A-C)- (B-C) 证明：（1）(A-B)-C = (A∩～B)∩～C = A∩(～B∩～C) = A∩～(B∪C) = A - (B∪C) （2） (A-C)- (B-C)= (A∩～C)∩～(B∩～C) =(A∩～C)∩(～B∪C) = ((A∩～C)∩～B)∪((A∩～C)∩C) =(A∩～C)∩～B =(A-B)∩～C =(A∩～B)∩～C =(A-B)-C
第二部分 集合论 例题选讲
1. 设A，B为任意集合，A=B 充分必要条件是 A-B =B-A ? 2. 如果关系R是自饭的，则s（R）也是自反的 ?
3. A为实数集，x，y∈A，xRy x-y=2；则R为等价关系
4. 若A=P(X)，|X|2，x，yA，xRyxy yx，则R为等价 关系 ?
证明：由于A≈C，所以存在一一映射f 。
由于B≈D，所以存在一一映射g 。
构造A×B到C×D函数φ：A×B→C×D <x,y>∈A×B, φ(<x,y>)=<f(x),g(y)> 显然<f(x),g(y)> ∈C×D， 下面证明φ为双射函数
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① 先证φ为单射
<x,y>,<u,v>∈A×B,若φ(<x,y>)=φ(<u,v>) 即<f(x),g(y)> = <f(u),g(v)> 所以f(x) = f(u) 且g(y) = g(v) 而f,g为一一映射，所以x=u 且 y=v
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证明：(1)证明S也是A上的偏序关系。 ① 先证S具有自反性 x∈A 由于R具有自反性，所以 <x, x>∈R 所以S具有自反性。 由S的定义知：<x, x>∈S ,
② 再证S具有反对称性
x，y ∈A,若<x, y>∈S 并且<y, x>∈S 那么由S的定义知：<y, x>∈R并且<x, y>∈R 由于R是偏序关系，所以R具有反对称性, 所以 x=y 所以S具有反对称性。
再根据T的定义知: <x ,z>∈T
所以T具有传递性。 综上所述知T为A上的等价关系。
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14.设<A, R>为偏序集，在A上定义新的关系S如下：x, y∈A xSy yRx 称S为R的对偶关系
(1) 证明S也是A上的偏序关系。
(2) 如果R是整数集合上的小于或等于关系，那么S是 什么关系？如果R是正整数集合上的整除关系，那么S 是什么关系? (3) 偏序集<A, R>和<A，S>中的极大元、极小元、最 大元、最小元等之间有什么关系？
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(3) 举例：
令A={1},B={2} 则 A∪B={1，2} 则P(A)={，{1}}，P(B)={，{2}} 而P(A∪B)={，{1},{2},{1,2}}
显然P(A)∪P(B)= P(A∪B)不成立.
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13.设R是A上的自反和传递关系，如下定义A上的关系T， 使得 x, y∈A <x, y>∈T <x ,y>∈R ∧ <y, x>∈R 证明：T是A上的等价关系。
所以<x,y> = <u,v>
所以φ为单射
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② 再证φ为满射
任意<s,t>∈C×D 则 s∈C ,t∈D 由于f,g是一一函数，所以存在x∈A, y∈B,使得 f(x)=s ,g(y)=t
显然<x, y>∈A×B, 且φ(<x,y>)=<s, t>
所以φ为满射。 因此φ为双射函数。 所以A×B≈C×D
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{a} ＝{<a,1>,<b,0>,<c,0 >}
练习：
1． 设A, B，C为集合，若A ∪ B=A ∪ C，则B=C？
2． 设A, B，C为集合，若A ∩ B=A ∩ C，则B=C？
3． 设A, B，C为集合，若A ∪ B=A ∪ C且A ∩ B=A ∩ C ，
则 B=C？
4． 设A, B，C为集合，若A ∪ B= ～ A ∪ C，则B=C？ 5． 设A, B，C为集合，若A ∩ B= ～ A ∩ C，则B=C？ 6． 设A, B，C为集合，若A ∪ B= ～ A ∪ C且～ A ∪ B= A ∪ C ，则B=C？ 7． 设A, B，C为集合，若A ∪ B= ～ A ∪ C且A ∩ B= ～ A ∩ C ，则B=C？ 21
证明：① 先证T具有自反性
x∈A, 由于R是A上自反关系, 所以<x,x>∈R 即<x,x>∈R ∧ <x,x>∈R
由T的定义知：<x,x>∈T 所以T具有自反性
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② 再证T具有对称性 x,y∈A ,若<x,y>∈T 由T的定义知：<x,y>∈R ∧ <y, x>∈R 即 <y, x>∈R ∧ <x,y>∈R