不与凡花争奇艳傲霜斗雪笑风寒

不与凡花争奇艳 傲霜斗雪笑风寒

——基于核心素养背景下对一道高考数学试题的赏析与启示

1． 问题呈现

2018年高考数学浙江卷第9题

已知a 、b 、e 是平面向量，e 是单位向量。若非零向量a 、e 的夹角为3π，向量b 满足2430b eb -+=，则a b -的最小值是（ ）

A. 1- B 1 C 。 2 D 。2

2. 命题赏析与启示

本题内容表述简约紧凑，看似简单，其实内涵丰富，堪称经典。题面涉及平面向量概念（非零向量，单位向量），向量特性（夹角，模，最值），向量数量积的关系式（核心条件）。命题角度新颖别致，具有灵动于内，淡中见隽，韵味无穷。令人耳目一新，却又似曾相识，真可谓“不与凡花争奇艳 傲霜斗雪笑风寒”的墨梅风骨。要求学生会用数学语言表达世界，深刻理解数学概念，领会数学本质，灵活运用。丰富而深刻地考查了数学思想与数学核心素养。

2.1 数形结合思想，体现数与形交乳之美。

人教A 版数学必修4第2.5节《平面向量应用举例》中写道“因为有了运算，向量的力量无穷。如果不能进行运算，向量只是示意方向的路标”，可见向量的灵魂在于运算。本题核心条件是2430b eb -+=，如何破解呢？从向量数量积的运算寻找突破口。由数量积的运算律将条件式等价变形为().(3)0b e b e --=。“数”转化为“形”，发挥直观想象。下面图解问题：

如图，设OA a =，OB e =，3OC e =,OD b =，则O D O B b e -=-，3OD OC b e -=-.因为().(3)0b e b e --=，所以，(3)(3)b e b e -⊥-。以线段BC 为直径作圆M ，半径为1，点D 在该圆上运动。原问题转化为：点D 在圆上运动时，求向量DA a b =-的模最小值。 由于非零向量a 模没有具体确定（选择题灵活性特点），因此，考虑D 点在圆上运动时观察向量a 模长情况。过圆心M 作向量a 所在直线的垂线，垂足是A ，并交圆于点D,则线

段AD 长度为向量DA a b =-模的最小值。在直角三角形OAM 中，OM=2,3MOA π

∠=, 则

AM =1AD a b =-=，选A.

若非零向量a 的模具体确定时，如a m =（0m >），则问题转化为圆外一点到该圆上点距离最小值求法。显然当点M 、D 、A 共线时，线段AD 距离最短，利用余弦定理解决问题。在教学中，变式探究往往可以透过现象揭示本质，收到理想的教学效果。如果以线段AC 为直径作圆，点D 是圆上动点，求线段AD 最大值。即已知非零向量a 、e 为单位向量，若().()0a b e b --=，则b 的最大值是——。特别地，已知a 、e 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量b 满足().()0a b e b --=，则b 的最大值是（ ）

A. 1 B 。2 C 。 D 。2

这就是2008年高考数学浙江卷理第9题。似曾相识，却令人耳目一新的感觉。高考命题，针对重点知识且又能较好的考查学生素养，出现同源异构属于正常现象，但对每年的命题规律窥见一斑，对复习教学工作起引领作用。把握好方向复习会更有效。

2.2。坐标思想，实现数与形交融之美。

本题另思路是坐标法。取(1,0)e =，设00(,)a x y =,(,)b x y =。因2430b eb -+=，则

22430x y x +-+=表示圆22(2)1x y -+=；又0.a e x ==,00y ,则

a b -=22(2)1x y -+=上点到直线y =距离最小值。

如图易求出与直线y =平行的圆切线方程为2y =

+-

1

(2,)

22-，所以切点到直线y =距离为 1d ==

即a b -1，选A 。

上面两种不同的解法，体现命题对考生的不同知识水平能力的考查，具有多角度，易入口，难深入命题特点。在复习教学中，做好复习策略，加强构建知识，把零碎知识片有机的结合在核心观念周围，提高应变能力，化归转化思想等综合能力。找到高考题在教材或近几年真题中的原型，进行变式探究，发挥高考试题的导向作用。

通过本次研修培训，笔者提高教学认识，对高考的研究，发掘数学核心素养在高考试题中，表现形式和内涵，从而在平时教学中，注重渗透素养理念，把教学内容与素养有机结合

起来，使素养落地生根于自己的课堂教学。