2015年全国高中数学联赛试题

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分

1.设,a b 为不相等的实数，若二次函数2()f x x ax b =++满足()()f a f b =，则(2)f 的值为

2.若实数α满足cos tan αα=，则41cos sin αα

+的值为 3.已知复数数列{}n z 满足111,1(1,2,3,)n n z z z ni n +==++=，其中i 为虚数单位，n z 表示n z 的共轭复数，则2015z 的值为

4.在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,边DC （包含点,D C ）上的动点P 与CB 延长线上（包含点B ）的动点Q 满足DP BQ =,则向量PA 与向量PQ 的数量积PA PQ ⋅的最小值为

5.在正方体中随机取3条棱，它们两两异面的概率为

6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{}(,)(36)(36)0K x y x y x y =+-+-≤所对应的平面区域的面积为

7.设ω为正实数，若存在,(2)a b a b ππ≤<≤，使得sin sin 2a b ωω+=，则ω的取值范围是

8.对四位数(19,0,,9)abcd a b c d ≤≤≤≤，若,,a b b c c d ><>，则称abcd 为P 类数，若 ,,a b b c c d <><，则称abcd 为Q 类数，用(),()N P N Q 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则 ()()N P N Q -的值为

二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

9.（本题满分16分）若实数,,a b c 满足242,424a b c a b c +=+=，求c 的最小值.

10.（本题满分20分）设1234,,,a a a a 是4个有理数，使得

{}311424,2,,,1,328i j a a i j ⎧⎫≤<≤=----⎨⎬⎩⎭

，求1234a a a a +++的值. 11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，12,F F 分别是椭圆2

212

x y +=的左、右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点,A B ，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果直线11,,AF l BF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围.

一、（本题满分40分）设12,,

,(2)n a a a n ≥是实数，证明：可以选取{}12,,,1,1n εεε∈-，使得222111(1)n n n i i i i i i i a a n a ε===⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

∑∑∑. 二、（本题满分40分）设{}12,,,n S A A A =，其中12,,,n A A A 是n 个互不相同的有限集合

（2n ≥），满足对任意的,i j A A S ∈，均有i

j A A S ∈，若1min 2i i n k A ≤≤=≥.证明：存在1n

i i x A =∈，使得x 属于12,,,n A A A 中的至少n k 个集合（这里X 表示有限集合X 的元素个数）. 三、（本题满分50分）如图，ABC ∆内接于圆O ，P 为BC 上一点，点K 在线段AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过,,K P C 三点的圆Ω与边AC 交于D ，连接BD 交圆Ω于点E ，连接PE 并延长与边AB 交于点F .证明：2ABC FCB ∠=∠.（解题时请将图画在答卷纸上）

四、（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k ：

对任意正整数n ，(1)12k n -+不整除()!!

kn n .