第四章三维问题

但这里表面压力与离心力的分配计算都有 其特殊性，现说明如下：
1．表面压力

如图，此面分布力分配 到e单元各节点的单元节 点载荷为：

注意到受载荷作用面为 旋转面，其面积元素可 写为：

则有：

其中 Le 为截面中三角形单元上受面积力作用 s 的一个边。 对图4－4问题，由于形状函数Nn在lm边上的值
• 可见离心力只分配为径向的节点载荷，而 轴向节点载荷项皆为零。
4．5 求积问题

计算单元刚度矩阵以及单元节点载荷时，常要 计算三角形域内的面积积分，其形式为

一般情况下，上式应采用适当的数值积分。对 简单三角形单元，上述积分可直接近似求得。 如当单元较小时，可取：

其中D为三角形单元的面积，而fl、fm、fn则为被 积函数f(r，z)在l、m、n 此3点的值。这也就是在 求积时，将被积函数f(r，z)近似取为l、m、n 这3 点处函数平均值来处理。
3 轴对称问题
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前已讲过轴对称问题。其结构几何特征是 旋转体，即几何形状对称于中心轴。如果 旋转体所受的载荷也对称于中心轴，则其 变形也是对称于此轴的。 工程中常见的旋转轴、轮盘、受均匀压力 的旋转体容器等，都属于轴对称问题。

如图4· 2，取柱坐标作为 参考系。结构受载荷而 产生轴对称变形时，其 位移、应变、应力都与 角坐标q无关，而只是径 向坐标r与轴向坐标z的函 数。阴影部分为通过中 心轴的平截面(子午面)。 轴对称变形的每个子午 面的变形在柱坐标系内 是完全一样的。因而， 结构虽处于三维应力状 态，但可以只研究其任 一个子午面内的情况。

计算单元刚度矩阵的公式如前仍为：

这里Ve为单元体积．由于简单四面体单 元为常应变单元，故积分结果为：

按节点分块，此单元刚阵可以表示为：

其中任一个子矩阵为：
2．3 载荷分配

三维弹性体内如受有均布的体积力(如重力)作用， 对于这种简单的四面体单元，可以逐个单元计算 出整个单元的全部体积力，再平均分配到4个节 点上，即每个节点分配1／4的单元体积力。

为矩阵第一行各元素的代数余子式。同样 可以确定al、bl、cl、dl…an、bn、cn、dn 等，它们是矩阵[L]第二、三、四行元素 的代数余子式。

在通常的右手坐标系xyz中，按上式 计算时，四面体单元的4个节点排列 的顺序应按右手规则，以使体积V为 正。即由n点看klm平面，应使k、l、 m为逆时针排列。

如果单元的某个表面作用有均布的面积力(如气 体压力)，也可将此面上的全部面积力平均分配 到相应的3个节点上，即每个节点分配到三角面 上面积力总和的1／3。
如果体积力、面积力不是均布的，则不应平均分 配，而应按做功相等的原则等效分配。


注意前泛函P计算公式中关于外力功 的表达，有：
为e单元内分布体积力和分布 面积力分配到单元节点的载荷，{q}和 {p}分别为单位体积力和单位面积力。




简单四面体单元公式简单，但是精度比较低， 单元内应力为常值且单元间应力不连续。为得 到一定准确度的结果，往往要求将单元划分比 较小，增加了整个问题求解的自由度，总的计 算效益是不理想的。 但是，能很好的逼近任意几何形状是它的突出 优点，是目前大型CAD软件所附的结构分析模 块的网格自动划分功能的常用单元。 对三维问题的有限元分析，一般多采用复杂一 些的、精度高一些的单元(如后的三维等参单 元)，其综合效益会更好。

轴对称问题中，上述截面内任一点p，实 际上代表一个半径为r的圆周(图4-2)，当 此圆周上各点都有径向位移u时，圆周被 拉伸，多出一个环向应变q。有：

全部应变的4项分量与两项位移分量之间 的几何关系（几何方程），以矩阵表示为:

轴对称问题的4项应力分量，以列阵表示为：
• 轴对称问题的应力与应变间的物理关系仍写为：
0
0 0 u z v 0 w y x
• 应力矢量定义为：
• 物理方程为：
• 弹性矩阵[D]的一般形式为教材中(4-4)式。
2 简单四面体单元
2．1 形状函数
一般的三维结构，都可以划分成很多小的 四面体，为四面体单元。大量的小四面体 单元拼合起来，可以逼近任意形状的实际 三维结构体。



用位移法，就是只研究这个代表截面的 位移。 求得一个截面的位移分布，也就有了整 个三维结构内的位移分布，从而可以求 得体内任一点的应变及应力。 这样，一个三维问题，就可以转化为一 个二维问题。
由于结构的变形是对称于中心轴的，因而 子午面内各点都只有沿径向r的位移u和沿 轴向z的位移w，一般应为截面坐标r，z的 函数，即
回顾空间问题的几何方程为：

按有限元的习惯写法——算子形式，为：
x x 0 y z 0 xy y yz 0 zx z
0
y
0
x z
• 完成积分运算后得： 可见在轴对称情况下， 单元lm面上的均布载 荷p向l、m节点分配的 载荷并不相等的。
• 这两个单元节点载荷的和应等于作用在圆环面 均布载荷的总和，即

还应注意，由于单元上的一个节点实际 上代表一个节圆，因此，这里分配到单 元节点上的各项载荷，都是沿节圆均匀 分布力的总和，而不一定是合力。

由式(4．5b)求出al、a2、a3与a4，再代回 式(4．5a)，整理后得：

同理，用v式可求得a5到a8 ，用w求得a9 到a12 ,为：

用矩阵记法统一表达为：
• [N]为形状函数矩阵，可表示为：
• [I]为三阶单位矩阵，而各节点的形状函数 可按下式计算得到，即

如记矩阵
为四面体单元的体积，其他系 数皆可由[L]确定，如
简单四面体单元如下图，其中4个节点编号 设为k、l、m、n。单元变形时，各节点都 有沿x、y、z的3项位移，单元有4个节点， 共有12项节点位移，合起来以列阵表示为：

对于这种简单的四面体单元，其内部位移 可假设为坐标的线性函数．为满足完备性 条件，应取为
• 上式含12个a参数，可以由单元的12项节点位 移确定。将4个节点的坐标值代入(4．5a)中 的u式，在k、l、m、n 4个节点上，分别有
2．离心力 如旋转体绕中心轴z转动的角速度为w， 则体内任一点处单位体积的离心力大小 2 r ，沿半径方向而指向外，是一 为 种体积分布力。 按体积分布力移置公式，e单元的离心 力分配到e单元各节点的单元节点载荷为：

S 为子午截面上单元三角形面积域。
e
将形状函数矩阵[N]的分块表达式代入上 式，可得：

简单四面体单元内，位移是坐标的线性函数， 单元体的任一三角形界面，变形后仍保持为 一平面，且由该面上3个节点的位移决定。 因而相邻两单元的三角形交界面上，在变形 过程中，其位移是一致的，即两相邻单元的 位移在交界面上是连续的，单元满足相容性 条件。简单四面体单元的形状函数满足完备 性又满足相容性要求，因而用此单元分析三 维变形问题时，能收敛于精确解。

在讨论了单元刚度矩阵及外载荷向节点的移置的计 算公式后，由单元刚度阵去形成整体刚度矩阵及整 体节点载荷向量的形成过程与前平面问题相比无逻 辑上的差别。只要在“对号入座”的过程中注意在 此每单元有4个节点，每节点有3个自由度即可。 关于边界条件、约束情况的处理也与前完全类似。
因此，下面再讨论某种有限元的时候，我们就不再 讨论“单元”到“整体”的形成过程了。我们知道： 只要在单元水平讲清该单元的节点数、节点自由度、 形状函数及单元刚度阵等单元的特征就已经完全表 达清楚了此单元的特点了。
1. 2.
3. 4. 5.
6.
几何方程、物理方程恢复实际问题都是三维问题的 本来面目； 简单四面体单元：单元形状、节点数及节点自由度、 形状函数仍是位移场的线性插值表达； 方法过程是平面问题的直接推广； 轴对称问题，对几何和受载方面的特点； 轴对称问题简单三角形单元与平面问题单元的类似 性及不同点； 其特殊性：在载荷向节点移置上有点特殊。体会到： 一点代表一节圆；一线段代表一节圆面；一小面积 代表一节圆体。由此导致的数值积分的特殊性。
有时也可将变量r、z取为


即将被积函数取为单元中心点的数值fc，求积时 作为常值处理，则近似有：

作为更精确一点的近 似，可以将三角形的 单元划分成4个相等 的小三角形区域(图 4—6)。整个单元的 积分应为此4个分区 域内积分之和。而在 每个小三角形区域内， 又可以采用前述的方 法近似求积。
本章要点
为零，故作用在lm边上的分布载荷分配在n节

点上的载荷亦为零，故此单元节点载荷为：

工程结构常受有面分布的压力．其方向与受力 面垂直，当单元受力边 Le 与中心轴z有任意 s 夹角a(图4—4)时，如巳知法向压力值p，则径 向及轴向力可计算求得，有: 对于图4—5所示的单元，单元节点载荷为


其形状函数在lm边的表达 式为：



单元内应变为常值，按物理方程，单元内的 应力也是常值。当然，一般受力情况下，三 维体内有限大小的四面体内的应力并不是常 值，用常应力单元来代替它，只是近似的。 对此单元，单元间的应力是不连续的。只有 当单元划分得较小时，单元内的应力才会接 近于常值，此时计算的应力在单元间的不连 续才会比较小，因而可以作为真实应力分布 的近似。 一般，把这种单元应力的计算值作为单元中 心一点的应力近似值是比较适当的。
4．2 应变与应力

将假定的位移代入式(4．12)，得到单元内
应变为：

将应变矩阵[B]按节点分块表示为：

由(4．12)，得到应变矩阵[B]中任一子矩阵 [Bi] 为：

其中bi、ci及D如前，而
• 按物理关系式，有应力 • 注意轴对称问题三角形单元的形函数虽与平面
问题三角形单元相同，但其应变、应力则不相


单元内位移场由节点位移插值表示为：
• 如假定位移为坐标的线性函数，形函数矩阵 [N]与平面三角形单元的完全相同，只不过 需将其中的坐标x改为r，y改为z，即：
其中D为单元的三角形面积，其他系数为：
• 由平面问题的分析可知，这种形状函数是 满足单元收敛的充分必要条件，故有限元 分析结果能收敛于真解。
第四章
三维问题
4.1 三维应力状态

实际问题本质上都是立体的、空间的。对承受 载荷的弹性体，应有三维应力状态。对弹性体 内每点的位移，有u、v、w分别代表对应空间 坐标系x、y、z方向的位移。 u、v、w本身也 代表弹性体内的位移场，即它们都是物体内有 效的空间坐标的函数，一般可以表示为：
u=u(x,y,z)， v=v(x,y,z)， w=w(x,y,z)。
2．2 单元刚阵

将表达式(4．6)代入几何关系式(4．2)，经 过微分运算，可以得到单元内应变为
其中应变矩阵[B]是形状函数矩阵经微分算
子矩阵作用所得的结果。[B]中任一个子矩
阵[Bi]的显式应为：
由V及bi、ci、di等式可见前式，这里[Bi]的每 项元素都是由节点坐标决定的常数。因而简 单四面体单元内，各点的应变都是一样的， 这是一种常应变单元。
同。这里不仅有环向应变q及环向应力sq，而且 单元内应变、应力并非常值，是r、z的函数。
4．3 单元刚阵
由于一个三角形单元实际上代 表一个环状的单元体，计算单 元刚阵时，Ve为图4－3所示的 环状单元体积域。由于单元为 一旋转体，其体积元素应为： 故单元刚度阵： 计算式为：
4．4节点载荷 轴对称结构常受有内外表面的分布压力以 及结构旋转时由离心力而形成的体积分布 力，这些分布载荷均应在每个单元内，按 做功等效的原则，分配到相应的节点上， 形成单元节点载荷 e ，再叠加成整个 Q 结构的载荷{Q}。这与前方法是一致的。
• 其物理关系矩阵[D]见教材p69.。
4 轴对称问题的简单三角形单元
4．1 形状函数

轴对称问题的分析，转化为对其任一个子午面 的分析，可将此截面剖分为许多三角形单元， 可构造与前平面问题类似的简单三角形单元。 单元有3个节点，每节点有沿r及z的两项位移u 及w。单元有6个自由度。单元节点位移可以列 阵表示为：