高中数学必修四 角的有关概念、弧度制第3讲

第三讲 角的有关概念、弧度制

【开心自测】

1.. 下列命题正确的是： （ C ）

（A ）终边相同的角一定相等。 （B ）第一象限的角都是锐角。 （C ）锐角都是第一象限的角。 （D ）小于090的角都是锐角。

【教学重难点及考点占比】重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的

表示方法及判断。掌握弧度与角度之间的换算；难点：弧长公式、扇形面积公式的应用及 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。

【知识梳理】

一、角的概念的推广 1．角的定义：

（1）从同一点出发的两条射线组成的图形叫角．

（2）一条射线OA 绕着端点O 旋转到OB 所成的图形叫角.如图OA

叫角的始边，OB 叫角的终边，O 叫角的顶点.

2．正角、负角和零角

按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，一条射线没有

作任何旋转时，这时形成的角叫做零角. 3．象限角、象限界角

角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x 轴非负半轴上，角的终边在第几象限，就把这个角叫做

第几象限的角，如果角的终边落在坐标轴上，就把这个角叫做象限界角. 4．终边相同的角

所有与α角终边相同的角，连同α角在内，可以用式子写成Z k k ∈+︒⋅,360α来表示. 二、弧度制 1．︒1的角：周角的

360

1

为︒1的角 2．1弧度的角：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

3．弧度数：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0，一扇形的半径为R ，

弧长为l .则αα22

1

21R lR S R l ==

⋅= 4．角度制与弧度制的换算关系 π弧度=180

1,180π

=

︒︒弧度=01745.0弧度，1弧度=/1857)180

(

︒≈︒π

A

O

B

5．弧长公式，扇形的面积公式R l ⋅=α,

lR S 2

1=．

三、任意角的三角函数 1．任意角三角函数的定义

角α的终边上任意一点P 的坐标是),(y x ，它与原点的距离为)0(>r r ，则角α的三角函数定义为：

2．三角函数值的符号

一全正，二正弦、余割，三双切，四余弦、正割．

【金题精讲】

【例1】例1．（1）若角α与角β的终边关于y 轴对称，则（ A ）. A 、)(2Z k k ∈+=+ππβα B 、)(Z k k ∈+=+ππβα C 、)(22

Z k k ∈+=

+ππ

βα

D 、)(2

Z k k ∈+=

+ππ

βα

（2）已知θ为第二象限角，且2

sin

2

sin

θ

θ

-=，则

2

θ

是（ C ）. A 、第一或第二象限角 B 、第二或第四象限角 C 、第三象限角

D 、第四象限角

（3）如果θ是第一象限角，那么恒有（ B ）. A 、02

sin

>θ

B 、12

tan <θ

C 、2

cos 2sin

θθ

> D 、2

cos 2sin

θ

θ

<

例2．若α是第二象限的角，则2

,

2α

α是第几象限的角. 三或四 一或三

例3．（1）若角βα,的终边关于x 轴对称，试求βα+； k.3600

（2）若角βα,的终边关于y 轴对称，试求βα+ （2k+1）.1800

例4．设

θ是第二象限角，试比较2

tan ,2cos ,2sin θ

θθ

的大小.

cosα/2

例5．自行车大链轮有48个齿，小链轮有20

是多少？ 24∏/5

例6．根据任意角的三角函数的定义证明：

α

α

ααααcos sin 1tan sec 1tan sec 1+=

-+++ 【达标训练】

1．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度是（ D ）

A 、1

B 、

21 C 、656ππ或 D 、3

53π

π或 2．给出下列四个命题：（1）︒-60是第四象限角；（2）︒235是第三象限；（3）︒475是第二象限角； （4）︒-315是第一象限角，其中正确的有（ D ） A 、1个 Ｂ、2个 C 、3个 D 、4个 3．若α是第一象限角，则下面各角中是第四象限的角的是（ C ） A 、α-︒90 B 、α+︒90 C 、α-︒360 D 、α+︒180 4．若α是第二象限角，则2

α

-

是 第二或四 象限的角

5．三角形的三内角之比为2:5:8，则各角的弧度数分别为 ∏/15 ∏/3 8∏/15 6.已知34πβαπ<

+<，3

π

βαπ-<-<-，则βα-2的取值范围是 (-∏,∏/6) 7．一只走时正常的时钟，自零点开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少？ 24∏/11

8．求函数)4cos(211)32sin(2lg ππ

+-+⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡--

=x x y 的定义域. (2k ∏+∏/4, 2k ∏+7∏/12)∪(2k ∏+5∏/4, 2k ∏+3∏/2) 9．若α3是第三象限角，问α是哪个象限角？

一、三、四