高中数学必修四 角的有关概念、弧度制第3讲
高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制课件 新人教A
角度与弧度间的换算
360 = 2rad 180 = rad
把角度换成弧度
1 = rad 0.01745rad
180
把弧度换成角度
1rad
=
180
57.30
=
5718'
例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度。
解：∵
67o30
弧 度
0
64
3
2
2 3 5 346
பைடு நூலகம்
3 2
2
角 度
0 -30o -45o -60o -90o-120-o135-o150-o180o-270o-360o
弧 度
0
-
6
-
4
-
3
-
2
- 2
3
- 3
4
- 5
6
-
- 3
2
-2
终边相同的角的表示
（1）用角度表示 与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z
=
135 2
o
∴ 67o30 = rad 135 = 3 rad
180 2 8
例2 把 4 rad化成度． 5
解： 4 rad = 4 180 = 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键．
特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
2k，k Z
它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：
高中数学人教B版必修4 1.1 教学课件 《弧度制和弧度制与角度制的换算》(人教)
弧度制和角度制的换算
360=2 rad 180= rad
1=
rad
180
0.01745rad
1rad
180
57.30
5718'
人民教育出版社 高中必修4
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正角的弧度数是正数 负角的弧度数是负数 零角的弧度数是0 这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制。
第一单元 · 基本初等函数
弧度制和弧度制 与角度制的换算
人民教育出版社 高中必修4
复习引入：
人民教育出版社 高中必修4
请大家回忆什么是角度制？ 把一个圆分成360等分，每一份叫做1° ——角度制。
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B’ B
A A’
当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长不相等。
新知讲解：
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常用特殊角的角度制与弧度制之间的转化。
角 度
0 30 45° 60 90 120135150 180 270 360
弧 度
例3 用弧度制表示 (1)终边在x轴上的角的集合. (2)终边在y轴上的角的集合. (3)终边在坐标轴上的角的集合.
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用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
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弧长公式： l r
由公式：
l r
l
r
比公式 l nr 简单。
180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）
的绝对值与半径的积。
课堂练习
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1、 已知扇形的圆心角为72°，半径等于20cm， 求扇形的弧长和面积。
高中数学必修四弧度制 (3)
若l= 3r，则∠AOB=
l r
= 3弧度。
B
l=2r
2弧度
O rA
3r
3 rad
r
OrA
B
-3弧度
l=3r
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所
对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度数的绝对
值是 l r
= 3，即∠AOB=－ l =－3弧度。
r
1、弧度制是以“弧度”为单位度量角 的制度，角度制是以“度”为单位度量角的
1、弧度制下角的集合与实数集的一一对应：
正角
正实数
零角
零
负角
2、求弧长：α = l R
负实数
例6:利用弧度制证明扇形面积公式S = 1 lR 其中是l扇形弧长，R是圆的半径。 2
证：如图：圆心角为1rad的扇形面积为： 1 πR2
2π
∴ 弧长为l的扇形圆心角为 l rad
R
R
oS l
∴ S = l 1 π R2 = 1 lR
弧度数的绝对值公式 角的弧度数的绝对值
l （l为弧长，r为半径）
r
一般地，我们规定： 正角的弧度数是正数。 负角的弧度数是负数。 零角的弧度数是0。
用角度制和弧度制来度量零角，单位 不同，但数量相同（都是0）。
用角度制和弧度制来度量任一非零角， 单位不同，数量也不同。
周角的弧度数是2π，而在角度制下 的度数是360。
θ
π 2
，π
平角： {θ|θ=180°} θ = π
周角： {θ|θ=360°} θ = 2π
0°到90°的角：{θ|0°≤θ＜90°}；
小于90°角：{θ|θ＜90°}
高中数学《弧度制》课件
弧度数是实数，这将为我们今后用函数观点讨论涉及角的计算问题带来方便.利
用弧度制度量角还有一个重要的原因，就是它能简化许多公式.例如若α=n°时，
弧长计算公式是l=
n
r 180
.而根据弧度数的计算公式|α|=
l r
，若α=
x
rad时，得到弧
长的另一计算公式：l=|x|r.
一
弧度制
例 6 如图5.1-5，设扇形的圆心角α＝x，半径为r，弧长为l，扇形面积记为S.
360°的圆心角的弧长是2π，那么它对应的弧度数是2π rad；
180°的圆心角的弧长是π，那么它对应的弧度数是π rad；
90°的圆心角对应的弧度数是 rad；
2
1°的圆心角对应的弧度数是
180
rad.
一
弧度制
根据例3，我们可以得到角度制和弧度制之间的换算关系：
反过来有：
180°＝π rad， 1 = rad 0.01745rad.
（第7题）
二 习题5.1
8.如图，已知矩形ABCD截圆A所得的 BE 的长为2π，DE=7，求矩形在圆外 部分的面积.
（第8题）
二 习题5.1
9.已知弧长为60cm的扇形面积是240cm2，求： (1)扇形的半径； (2)扇形圆心角的弧度数．
温故而知新
10.当α是第二象限角时，试讨论 是哪个象限的角.
5.把下列各角从度化为弧度：
(1) 15°； (2) 36°； (3) －105°； (4) 145°.
6.把下列各角从弧度化为度：
(1)
2
；
10
(2) 3 ；
(3) －1.5；
2 (4) 5 .
二 习题5.1
高中数学新马高级中学弧度制课件苏教版必修四
正实数
零角
0
负角
负实数
探究（二）：度与弧度的换算
思考：我们知道周角是360°，那么以弧度为单位 度量是多少弧度？由此可得度与弧度有怎样的换 算关系？
360 2rad
o
思考：根据上述关系，1°等于多少弧度？1rad等 于多少度？
1 rad 0.01745rad 180
0
（1）252o
解 (1) 252 o 252
o ' o
(2) 11o15' 7
180 rad 5
rad
(2) 11 15 11.25 11.25 rad rad 180 16
练习 把下列各角从度化为弧度
（ 1 ） 75o （2） 210o （3）22o30，
例1 把下列各角从弧度化为度
3 （1） （2）3.5 5
3 3 180o 180o o 解 (1) rad 108 (2) 3.5rad 3.5 200.54o 5 5
练习
把下列各角从弧度化为度
(1)
12
2 (2) 5
4 (3) 3
例2 把下列各角从度化为弧度
（3）弧长公式： l
（ 2）“角化弧”时，将 n 乘以 180 180 将 乘以 ；
；“弧化角”时，
| | r
1 1 2 扇形面积公式： S lr r （其中 l为圆心角 所 2 2
对的弧长， 为圆心角的Байду номын сангаас度数，
r 为圆半径．）
弧度制
有人问：坐汽车从南京到盱眙有多远时，有人回答约 140公里，但也有人回答约88英里，请问这两种回答是 同一个意思吗？（已知1英里=1.6公里） 显然，两种回答都是同一个意思，但为什么会有不同 的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公 里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是， 他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制， 我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的 角的另外一种度量制---弧度制.
最新高中数学人教B版必修四1.1.2《弧度制和弧度制与角度制的换算》课件ppt.ppt
①163π； ②－315°. (2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的正半轴，终 边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图)．
[解析] (1)①163π＝4π＋43π. ∵0≤43π<2π，∴163π＝4π＋43π. ②－315°＝－315×1π80＝－74π＝－2π＋π4， ∵0≤π4<2π，∴－315°＝－2π＋π4. (2)135°＝135×1π80＝34π，225°可以看成是与－135°终边相 同的角，而－135°＝－34π， ∴阴影部分角的集合为{θ|－34π＋2kπ<θ<34π＋2kπ，k∈Z}．
• [答案] C
D．214π
[解析] －74π＝－2π＋π4，故选 C．
• 4．将－1 500°化为弧度是________．
[答案] －253π [解析] －1 500°＝－1 500×1π80＝－253π.
5．集合 A＝x|kπ＋π4<x<kπ＋π2，k∈Z，集合 B＝{x|6＋x－ x2≥0}，则 A∩B＝________.
(2)∵β1＝35π＝(35×180)°＝108°，与其终边相同的角为 108° ＋k·360°，k∈Z，
∴在－720°～0°范围内与 β1 有相同终边的角是－612°和－ 252°.
同理，β2＝－420°且在－720°～0°范围内与 β2 有相同终例讲练
•弧度制的概念问题
去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先 要认识一种新的角度单位——弧度．
1．弧度制的概念 我们把弧长等于_半__径__长___的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的 角，用符号 rad 表示，读作弧度． 用__弧__度____作为单位来度量角的制度叫做弧度制． 用___度_____作为单位来度量角的制度叫做角度制．
3高中数学“弧度制”知识点全解析
高中数学“弧度制”知识点全解析一、引言弧度制是数学中描述角度大小的另一种方法，相比于传统的角度制，弧度制具有更加直接和简洁的特性。
通过弧度制，我们可以更方便地进行三角函数的相关运算和求解。
本文将详细解析高中数学中“弧度制”这一知识点，帮助同学们更好地理解和掌握相关概念和方法。
二、弧度制的定义弧度制是一种度量角的大小的制度，其基本思想是将角的大小与弧长直接联系起来。
在弧度制中，角的大小等于其所截取的弧长与半径的比值。
具体来说，如果一个角θ所截取的弧长为s，半径为r，则θ的弧度数为θ = s/r。
三、弧度与角度的转换1.从角度到弧度的转换：角度制中的1度等于π/180弧度。
因此，要将角度转换为弧度，只需将角度数乘以π/180即可。
例如，30度等于30 × π/180 = π/6弧度。
2.从弧度到角度的转换：弧度制中的1弧度等于180/π度。
因此，要将弧度转换为角度，只需将弧度数乘以180/π即可。
例如，π/2弧度等于π/2 × 180/π =90度。
四、弧度制的性质1.长度与角度的直接关系：在弧度制中，弧长与半径的比值直接给出了角的大小。
这使得在进行三角函数运算时，可以直接使用弧长进行计算，而无需先将弧长转换为角度。
2.三角函数的周期性：在弧度制中，正弦函数和余弦函数的周期为2π，正切函数的周期为π。
这与角度制中的周期360度相比，具有更加直观的特性。
3.简化运算：在涉及三角函数的运算中，使用弧度制可以避免复杂的度数计算，使计算过程更加简便和高效。
五、常见角的弧度数在弧度制中，一些常见的角的弧度数需要特别记忆：•30° = π/6•45° = π/4•60° = π/3•90° = π/2•180° = π•270° = 3π/2•360° = 2π六、弧度制在三角函数中的应用1.三角函数的定义：在弧度制中，正弦、余弦和正切函数的定义与角度制相同，只是角度的表示方式发生了变化。
高中数学 1-1-2弧度制和弧度制与角度制的换算课件 新人教B版必修4
(2010·新余市高一下学期期末测试)在单位圆中，面积
为1的扇形所对圆心角的弧度数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] B
[解析] 设扇形的弧长为l，由题意，
得 S＝12lR＝12l×1＝1，∴l＝2，
∴扇形所对圆心角的弧度数为Rl ＝21＝2.
[例4] 已知扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角为多 大时，它有最大面积？
[分析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，则扇形面积可 表示为 S＝12lr，l 与 r 之间还要满足周长为 20，即 l＋2r＝ 20，所以 l＝20－2r，这样 S 就能表示成关于 r 的二次函数， 再利用二次函数的性质求最值即可．
[解析] 设扇形的半径是 r，弧长是 l，由已知条件可 知：l＋2r＝20，即 l＝20－2r.由 0<l<2πr，得 0<20－2r<2πr， ∴π1＋01<r<10.
[点评] 用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式 为：β＝2kπ＋α(k∈Z)．这些角所组成的集合为{β|β＝2kπ＋ α，k∈Z}．
用弧度制分别写出第一、二、三、四象限角的集合． [解析] 第一象限角的集合：
S1＝α2kπ<α<π2＋2kπ，k∈Z
；
第二象限角的集合：
S2＝απ2＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z
rad≈0.01745rad，
1rad＝ (18π0)°≈57.3°＝57°18′.
3．在弧度制下，弧长公式为 l＝θr，扇形面积公式为
S＝
1 2lr .
重点：弧度的概念，角度与弧度的换算，弧长公式． 难点：弧度概念的理解及角度与弧度的换算和弧度制 下弧长与扇形面积公式． 1．关于弧度的理解，主要明确以下几点： (1)和角度制对比，弧度制是以“弧度”为单位来度量 角的单位制，而角度制是以“度”为单位来度量角的单位 制． (2)根据圆心角定义，对于任何一个圆心角α，所对弧 长与半径的比是一个仅与角α的大小有关的常数．因此，弧 长等于半径的弧所对的圆心角的大小并不随半径变化而变 化，而是一个大小确定的角，可以取为度量角的标准．
高中数学弧度制知识点
高中数学弧度制知识点任意角与弧度制知识梳理:一、任意角和弧度制1、角的概念的推广定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角，记作：角或可以简记成。
注意：（1）“旋转”形成角，突出“旋转”（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于轴正半轴（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
例1、若，求和的范围。
（0,45）（180,270）2、角的分类：由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
可以将角分为正角、零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是-960（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是．3、“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
例1、30?；390?；?330?是第象限角300?60是第象限角585?1180?是第象限角2000是第象限角。
例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=④（填序号）.①{小于90°的角}②{0°～90°的角}③{第一象限的角}④以上都不对（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（B）A．B=A∩CB．B∪C=CC．ACD．A=B=C例3、写出各个象限角的集合：例4、若是第二象限的角，试分别确定2,的终边所在位置.解∵是第二象限的角。
∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）.（1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈Z）。
高中数学《弧度制》精品PPT课件
例6 课本P9 例3
例7一个扇形的面积为4cm2 , 周长为8cm，求扇形的圆心角及相应的弦长。
例8.已知一个扇形的周长为c,当它的圆心角取什么值时, 其面积最大?最大值是多少?
练习:课本p9 3,4,5,6
小结: 作业:见作业本
1.1.2 弧度制
一.复习ห้องสมุดไป่ตู้1.任意角的概念.
我们规定, 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角. 按顺时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有作任何旋转, 我们称它形成了一个零角. 2.象限角的概念. 在直角坐标系内讨论角, 使角的顶点与原点重合, 角的始边 与x轴的非负半轴重合, 那么角的终边在第几象限, 就说这个角 是第几象限. 非象限角的概念.
例4 写出与下列角终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角.
（1）-
53 3
（2）-21
例5 （1）第三象限角的集合是__________, =-4是第几象限角？
(2)终边落在如图的阴影部分（含边界）的角的集合是________
(3)设集合M= =（2k+1) , k Z, N = =（4k 1) , k Z
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
S k 360 ,k Z ,
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和
1. 角度制:1度的角等于周角的 1 .这种用 度为单位来度量的单位制叫做角度36制0 .
弧度制: 把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度.这种用弧度为单位来度 量的单位制叫做弧度制. 2. 正角的弧度是一个正数,负角的弧度是 一个负数, 零角的弧度是0. 如果半径为r 的圆的圆心角所对弧的长为L, 那么, 角的 弧度数的绝对值是
(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳
三角函数一、随意角、弧度制及随意角的三角函数1．随意角(1)角的观点的推行①按旋转方向不一样分为正角、负角、零角．正角 : 按逆时针方向旋转形成的角随意角 负角: 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角②按终边地点不一样分为象限角和轴线角．角 的极点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的会合为 k 360ok 360o 90o , k第二象限角的会合为 k 360o 90o k 360o 180o , k第三象限角的会合为 k 360o 180o k 360o 270o , k第四象限角的会合为k 360o 270ok 360o360o , k终边在 x 轴上的角的会合为 k 180o , k终边在 y 轴上的角的会合为 k 180o 90o , k终边在座标轴上的角的会合为k 90o ,k(2)终边与角 α同样的角可写成 α＋ k ·360 °(k ∈ Z)．终边与角 同样的角的会合为k 360o, k(3)弧度制① 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．②弧度与角度的换算： 360°＝ 2π弧度； 180°＝ π弧度．③ 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr④ 若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr，C2r l ，S1 lr 1 r2 ． 222 ．随意角的三角函数定义设 α是一个随意角，角 α的终边上随意一点P(x ， y)，它与原点的距离为 r rx 2 y 2 ，那么角 α的正弦、余弦、rrx（三角函数值在各象限的符号规律归纳为：一全正、二正弦、三正切分别是： sin α＝ y ， cos α＝ x ， tan α＝ y．正切、四余弦）3．特别角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0π /6π/4π /3π /22π /33π /45π/6π3π /22πsina01/2√ 2/2√ 3/21√ 3/2√ 2/21/20-10 cosa1√ 3/2√ 2/21/20-1/2-√ 2/2-√ 3/2-101 tana0√ 3/31√ 3-√ 3-1-√ 3/300二、同角三角函数的基本关系与引诱公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2α＋ cos2α＝ 1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin α(2)商数关系：＝tanα.（3）倒数关系：tan cot 1cos α2．引诱公式公式一： sin( α＋ 2kπ)＝sin α， cos(α＋ 2kπ)＝cos_α，tan(2k )tan此中 k∈Z .公式二： sin( π＋α)＝－ sin_α， cos( π＋α)＝－ cos_α， tan( π＋α)＝ tan α.公式三： sin( π－α)＝ sin α， cos( π－α)＝－ cos_α，tan tan．公式四： sin( －α)＝－ sin_α， cos(－α)＝ cos_α，tan tan .ππ公式五： sin －α＝ cos_α， cos－α＝ sin α.22ππ公式六： sin 2＋α＝ cos_α， cos2＋α＝－ sin_α.π口诀：奇变偶不变，符号看象限．此中的奇、偶是指π引诱公式可归纳为 k· ±α的各三角函数值的化简公式．的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．假如奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；假如偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把πα当作锐角时，依据 k· ±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．2．．．果符号．B. 方法与重点一个口诀1、引诱公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．cos α(2)和积变换法：利用 (sin θ±cos θ)2＝1 ±2sin θcos θ的关系进行变形、转变．（ sin cos、sin cos、sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1＝ sin 2θ＋ cos 2θ= sinπ＝tan 42（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcos a tan b ak bm sinn cos m tan n mk n三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y sin x 与 y cosx 的周期是）。
人教版B版高中数学必修4：弧度制和弧度制与角度制的换算_课件4
变式训练2 将下列角度与弧度互化 (1)480°； (2)－1120°； (3)－136π；
16π (4) 3 .
解析 (1)480°＝480×1π80＝83π； (2)－1120°＝－1120×1π80＝－596π； (3)－136π＝－163π×18π0°＝－390°； (4)163π＝136π×18π0°＝960°.
其中α是圆心角的弧度数，n是圆心角的角度数． 由此可知，弧度制下的扇形的弧长与面积公式要比角度制 下的简单.
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析
例1 下列命题中，假命题是( ) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同度量单位 B．一度的角是周角的3160，一弧度的角是周角的21π C．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度 D．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径
(4)－158π＝－4π＋25π，0<25π<2π， ∴25π是第一象限角，∴－158π是第一象限角．
例4 一扇形周长为20，问扇形的半径和圆心角各取何值 时，才能使扇形的面积最大？
剖析 解答本题，需灵活运用弧度制下的弧长与面积公 式．本题是求扇形面积最大值，关键是寻找面积S与半径r的函 数关系式，然后再求函数的最大值．
解法2 (化为角度)： β＝1π0＝1π0×18π0°＝18°，γ＝1≈57.30°， φ＝172π×18π0°＝105°. 显然，15°<18°<57.30°<105°. 故α<β<γ<θ＝φ.
规律技巧 ①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住π rad＝180°这一关系；②以后用弧度制表示角时，“弧度”或 “rad”可以省略不写，而只写这个角所对应的弧度数即可，但 是在用角度表示时，“度”或“°”却不能省略，以防止与弧 度混淆；③用弧度作为单位时，常出现π，如果题目中没有特 殊的要求，应当保留π的形式，不要写成小数．
高中数学 必修四 1.1.1任意角和弧度制
又k∈Z，故所求的最大负角为β=-50°. (2)由360°≤10 030°+k·360°<720°， 得-9670°≤k·360°<-9310°，又k∈Z，解得k=-26. 故所求的角为β=670°.
【方法技巧】 1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角α 化成k·360°+β 的形式(其中 0°≤β <360°，k∈Z)，其中的β 就是所求的角. (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所 给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用 连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.
4.将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为_______， 将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角度数________. 【解析】将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角为35°60°=-25°，将35°角的终边按逆时针方向旋转两周后的角为 35°+2×360°=755°. 答案：-25° 755°
【解析】(1)错误.终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)，不一定 是零角. (2)错误.如-10°与350°终边相同，但是不相等. (3)错误.如-330°角是第一象限角，但它是负角. (4)错误.终边在x轴上的角不属于任何象限. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2.下列各组角中，终边不相同的是( )
2.判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举 出反例即可.
【变式训练】射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针 旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，则 ∠AOD=________.
高中数学必修四知识点大全
知识点串讲必修四第一章：三角函数 1.1．1 任意角1、角的有关概念: ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称：③角的分类：2、象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外）在第几象限,我们就说这个角是第几象限角． 终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内,可构成一个集合S ＝{ β ｜ β = α + k ·360 ° ， k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和． 注意：⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角；⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍；⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角． 3、写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示） ． 解:｛α | α = 90°+ n ·180°，n ∈Z ｝．4、已知α角是第三象限角,则2α，2α各是第几象限角？ 解:α 角属于第三象限，∴ k ·360°+180°＜α＜k ·360°+270°（k ∈Z ） 因此，2k ·360°+360°＜2α＜2k ·360°+540°(k ∈Z ） 即(2k +1）360°＜2α＜（2k +1)360°+180°(k ∈Z ） 故2α是第一、二象限或终边在y 轴的非负半轴上的角．又k ·180°+90°＜2α＜k ·180°+135°（k ∈Z) ． 当k 为偶数时，令k =2n (n ∈Z ），则n ·360°+90°＜2α＜n ·360°+135°(n ∈Z ） ,当k 为奇数时，令k =2n +1 (n ∈Z ）,则n ·360°+270°＜2α＜n ·360°+315°(n ∈Z) ，负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边终边顶点AO B 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角因此2α属于第二或第四象限角． 1。
高中数学必修4《弧度制》
R2
10 R
(R
5)2
25.
10
1
R
10 当R
5时，即L
10
R
5
2时，Smax 25
练习1．化下列各角为度数或弧度：
1）－225°
2）
12
2．已知扇形OAB的圆心角为120°，
半径为6，求扇形弧长及所含弓形的面积。
思考：钟表分针和时针在3点到5点40分 这段时间里 分针转过_______弧度的角， 时针转过___弧度的角。
4
4
S 1 LR 1 R2 1 15 25 75
2
2
24
8
2) 已知扇形的周长为20cm,当扇形的
中心角为多大时，它有最大面积？这是？
解:2) 设圆半径为R, 则
（弧长,扇
L
20
2R
R, S
1
LR
1
(20
2R)R
形面积）
(10R R)R
22
若时针转过3cm,则时针转过的弧长是
_________
作业: P习题1. (1) 2.(1),(3) 4. 6. 7 (3) (4). 8.
小结：
角的度量形式(角度制,弧度制),弧度的单 位.弧度的意义,角度制与弧度制间的互 换.会用弧度研究有关问题(弧长,扇形面 积等)
小宝结：剑锋从磨砺出 本节课重点学习了圆的标准方程和一
3°在半径为R的圆中，任一角α的弧度数的
绝对值都满足|α|= L R
其中L是圆心角α所对圆弧的长,R是圆的半径.
人教版高中数学必修四弧度制和弧度制与角度制的换算公开课教学课件共18张PPT
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2、
-144o
3、－25º 4、 所求扇形的中心角的弧度数为
小结
圆周角度360
换
算 等价
六十进制 区别
十进制
圆周弧度2
角度制
弧度制
角的度量
三角函数
温故而知新
1、角度制：初中时我们用角度制度量角，1度的角 等于周角的1/360。
周角的 1/360
1°
n° l R
1弧度的概念
如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，记作1rad，读作1弧度.
探究1：深化弧度的概念
思考1：1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小 是否有关？为什么？
B’ B l=R
1弧度
1弧度l=r O r R A A’
思考2：如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心旋转 到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？
2rad
2r
B
r
A O
思考3：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l， 那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？
探究2：角度与弧度的换算
解的？
正角
正实数
零角
零
十进制
负角
负实数
探究3：与扇形有关的公式
思考1：角度制下，扇形的圆心角是n°,则扇形的面积是？
思考2：类比思考1，在弧度制下，若扇形的圆心角是 弧 度，则扇形的面积是？还有其它的表示方法么？
A
r
OS l B
例题讲解
例1 把
解：∵ ∴
化成弧度。
例2 把 化成度。
解：∵ 1rad=
人教版高中数学必修四 弧度制和弧度制与角度 制的换算公开课教学课
三角函数、三角恒等变换知识点总结
高中数学必修4三角函数知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合：（3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第四象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角： （4）由α的终边所在的象限， 来判断2α所在的象限，来判断3α所在的象限 （5）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一角α的弧度数的绝对值rl=||α，其中l 为以角α为圆心角时所对圆弧的长。
（6）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ； 练习：已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
（22cm ） 二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系I ）在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan （注意r>0）练习：已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。
角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。
II ）作单位元交角α的终边上点),(y x P ，则=αsin ；=αcos ；=αtan （2）在图中画出 角α的正弦线、 余弦线、正切线；练习：（1）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_____ （sin tan ααα<<）（2）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是______222,33xk x k k Z ππππ⎧⎫∣-<≤+∈⎨⎬⎩⎭（3）特殊角的三角函数值：三、同角三角函数的关系与诱导公式： （1）同角三角函数的关系平方关系__________________；商数关系_____________________ 练习；（1）已知53sin +-=m m θ，)2(524cos πθπθ<<+-=m m ，则θtan ＝____（125-） （2）若11tan tan -=-αα，则ααααcos sin cos 3sin +-＝____；2cos sin sin 2++ααα＝___（35-；513）； （3）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sinf 的值为______（－1）。
高中数学必修4《第一章三角函数》精品课件：1.1.1任意角
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.
S={ －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°}
课堂小结
Office组件之word2007
1.角的概念推广 正角、负角、零角、象限角
2.终边相同的角
3.终边在x轴、y轴上的角的表示
4.终边在各个象限上的角的表示
Office组件之word2007
思考2：终边在x轴上的角的集合表示
终边在x轴上：S={α|α=k·180°，k∈Z}；
新课教学
Office组件之word2007
思考3：终边在y轴非正半轴、非负半轴
上的角分别如何表示？
y轴非负半轴:α= 90°＋k·360°，k∈Z ； y轴非正半轴:α= 270°＋k·360°，k∈Z .
思考4：终边在y轴上的角的集合表示
y
x o
知识探究（三）：终边相同的角 Office组件之word2007
思考1：－32°，328°，－392°是第几 象限的角？这些角有什么内在联系？
y
328° o
－392° x
－32°
新课教学
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思考2：与－32°角终边相同的角有多 少个？这些角与－32°角在数量上相 差多少？
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1.1.1 任意角
知识探究（一）：角的概念的推广
Office组件之word2007
复习：角的定义 角是由平面内一条射线绕其端点从
一个位置旋转到另一个位置所组成的 图形（如图）.
B
始边
终边
A O
顶点
新课教学
Office组件之word2007
思考1：你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋
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第三讲 角的有关概念、弧度制
【开心自测】
1.. 下列命题正确的是： （ C ）
（A ）终边相同的角一定相等。
（B ）第一象限的角都是锐角。
（C ）锐角都是第一象限的角。
（D ）小于090的角都是锐角。
【教学重难点及考点占比】重点：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角的
表示方法及判断。
掌握弧度与角度之间的换算；难点：弧长公式、扇形面积公式的应用及 把终边相同的角用集合和数学符号语言表示出来。
【知识梳理】
一、角的概念的推广 1．角的定义：
（1）从同一点出发的两条射线组成的图形叫角．
（2）一条射线OA 绕着端点O 旋转到OB 所成的图形叫角.如图OA
叫角的始边，OB 叫角的终边，O 叫角的顶点.
2．正角、负角和零角
按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，一条射线没有
作任何旋转时，这时形成的角叫做零角. 3．象限角、象限界角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x 轴非负半轴上，角的终边在第几象限，就把这个角叫做
第几象限的角，如果角的终边落在坐标轴上，就把这个角叫做象限界角. 4．终边相同的角
所有与α角终边相同的角，连同α角在内，可以用式子写成Z k k ∈+︒⋅,360α来表示. 二、弧度制 1．︒1的角：周角的
360
1
为︒1的角 2．1弧度的角：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
3．弧度数：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0，一扇形的半径为R ，
弧长为l .则αα22
1
21R lR S R l ==
⋅= 4．角度制与弧度制的换算关系 π弧度=180
1,180π
=
︒︒弧度=01745.0弧度，1弧度=/1857)180
(
︒≈︒π
A
O
B
5．弧长公式，扇形的面积公式R l ⋅=α,
lR S 2
1=．
三、任意角的三角函数 1．任意角三角函数的定义
角α的终边上任意一点P 的坐标是),(y x ，它与原点的距离为)0(>r r ，则角α的三角函数定义为：
2．三角函数值的符号
一全正，二正弦、余割，三双切，四余弦、正割．
【金题精讲】
【例1】例1．（1）若角α与角β的终边关于y 轴对称，则（ A ）. A 、)(2Z k k ∈+=+ππβα B 、)(Z k k ∈+=+ππβα C 、)(22
Z k k ∈+=
+ππ
βα
D 、)(2
Z k k ∈+=
+ππ
βα
（2）已知θ为第二象限角，且2
sin
2
sin
θ
θ
-=，则
2
θ
是（ C ）. A 、第一或第二象限角 B 、第二或第四象限角 C 、第三象限角
D 、第四象限角
（3）如果θ是第一象限角，那么恒有（ B ）. A 、02
sin
>θ
B 、12
tan <θ
C 、2
cos 2sin
θθ
> D 、2
cos 2sin
θ
θ
<
例2．若α是第二象限的角，则2
,
2α
α是第几象限的角. 三或四 一或三
例3．（1）若角βα,的终边关于x 轴对称，试求βα+； k.3600
（2）若角βα,的终边关于y 轴对称，试求βα+ （2k+1）.1800
例4．设
θ是第二象限角，试比较2
tan ,2cos ,2sin θ
θθ
的大小.
cosα/2<sinα/2<tanα/2
例5．自行车大链轮有48个齿，小链轮有20
是多少？ 24∏/5
例6．根据任意角的三角函数的定义证明：
α
α
ααααcos sin 1tan sec 1tan sec 1+=
-+++ 【达标训练】
1．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度是（ D ）
A 、1
B 、
21 C 、656ππ或 D 、3
53π
π或 2．给出下列四个命题：（1）︒-60是第四象限角；（2）︒235是第三象限；（3）︒475是第二象限角； （4）︒-315是第一象限角，其中正确的有（ D ） A 、1个 Ｂ、2个 C 、3个 D 、4个 3．若α是第一象限角，则下面各角中是第四象限的角的是（ C ） A 、α-︒90 B 、α+︒90 C 、α-︒360 D 、α+︒180 4．若α是第二象限角，则2
α
-
是 第二或四 象限的角
5．三角形的三内角之比为2:5:8，则各角的弧度数分别为 ∏/15 ∏/3 8∏/15 6.已知34πβαπ<
+<，3
π
βαπ-<-<-，则βα-2的取值范围是 (-∏,∏/6) 7．一只走时正常的时钟，自零点开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少？ 24∏/11
8．求函数)4cos(211)32sin(2lg ππ
+-+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡--
=x x y 的定义域. (2k ∏+∏/4, 2k ∏+7∏/12)∪(2k ∏+5∏/4, 2k ∏+3∏/2) 9．若α3是第三象限角，问α是哪个象限角？
一、三、四。