柯西收敛准则

第十讲、柯西收敛准则
定理10.1 . （柯西收敛准则）数列{x n}极限存在的充要条件是:对于
∀>存在正数N , 使当n >N 时, 对于一切p∈+有| |
εx x ε0
+−<
n p n
注记10.1. （I）柯西准则的意义是：数列{x n}是否有极限可以根据其一
般项的特性得出，而不必事先知晓其极限的具体值(见下面的例子10.2）。

（II）定理10.1 的逆否命题为：
（柯西收敛准则）数列{x n}极限不存在的充要条件是: ∃ε0 > 0，使得对
∀∈, 均存在n >N 时, 存在p∈，使得
N | |
+ +−≥
+
x x ε
n p n 0
例子10.1 设x
n
sin 2n
=，试用柯西收敛准则证明该数列极限存在。

n
证明：注意到
sin 2(n p) sin 2n sin 2(n p) sin 2n
++
|x x |=
−−≤
+ n+p n
++
n p n n p n
1 1 2
≤+≤
n p n n
+
2
∈有于是，对∀ε> 0，取正数ε, 则当n >N 时, 对于一切p
N=
+
2 sin 2n
n p n n
+−≤<。

故由定理10.1 柯西收敛准则可知
ε
n n
证毕。

例子10.2.设x
n
1 1 1
=++++，证明数列{ }
1
x 收敛。

2 3 n
2 2 2 n
证明：注意到
1 1 1
|x x |=
n p n
+−+++
+++
2 2 2
(n 1) (n 2) (n p)
1 1 1
≤+++
n(n 1) (n 1)(n 2) (n p 1)(n p)
++++−+
1 1 1 1 1 1
=−+++−++++−−+ n n 1 n 1 n 2 n p 1 n p
1 1 1
=−<
n n p n
+
1
于是，对∀ε> 0，取正数ε, 则当n >N 时, 对于一切p
N=
1
|x x |
n p n
+−≤<ε。

故由定理10.1 柯西收敛准则可知
n
++++
1 1 1
存在。

lim 1
n→∞n
2 3
2 2 2 ∈有
+
证毕。

1 1 1
=++++，证明数列{ }
例子10.3.设x 1 x 发散。

n n
2 3 n
证明：利用定理10.1 柯西收敛准则，我们只需找到一个正数ε，使得对任意正整数N ，我们均可以找到n >N 及找到一个正整数p ，使得
| |
x +−x ≥ε
n p n
1
ε，p=n ，我们便有
=
为此，只需取
2
1 1 1 1 1
n 1 n 2 n n 2n 2
+++
|x x |=n
−+++≥⋅
= 2n n
于是，数列{x n}发散。

证毕。