降维法推导-二维变一维
13.降维法
十三、降维法方法简介降维法是将一个三维图变成几个二维图，即应选两个合适的平面去观察，当遇到一个空间受力问题时，将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解。
由于三维问题不好想像，选取适当的角度，可用降维法求解。
降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来，使我们很容易找到各物理量之间的关系，从而正确解决问题。
赛题精讲例1：如图13—1所示，倾角θ=30°的粗糙斜面上放一物体，物体重为G ，静止在斜面上。
现用与斜面底边平行的力F=G/2推该物体，物体恰好在斜面内做匀速直线运动，则物体与斜面间的动摩擦因数μ等于多少？物体匀速运动的方向如何？解析：物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦力四个力的作用下做匀速直线运动，所以受力平衡。
但这四个力不在同一平面内，不容易看出它们之间的关系。
我们把这些力分解在两个平面内，就可以将空间问题变为平面问题，使问题得到解决。
将重力沿斜面、垂直于斜面分解。
我们从上面、侧面观察，图13—1—甲、图13—1—乙所示。
如图13—1—甲所示，推力F 与重力沿斜面的分力G 1的合力F ′为：G G F F 22212=+=' F ′的方向沿斜面向下与推力成α角， 则 ︒=∴==451tan 1ααFG这就是物体做匀速运动的方向物体受到的滑动摩擦力与F ′平衡，即 2/2G F f ='=所以摩擦因数：3630cos 2/2=︒==G G F f N μ 例2：如图13—2所示，一个直径为D 的圆柱体，其侧面刻有螺距为h 的光滑的螺旋形凹槽，槽内有一小球，为使小球能自由下落，必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？解析：将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽，如图13—2—甲所示，当圆柱体转一周，相当于沿斜槽下降一个螺距h ，当圆柱转n 周时，外侧面上一共移动的水平距离为22122at n D =π①圆弧槽内小球下降的高度为221gt nh =② 解①、②两式，可得，为使螺旋形槽内小球能自由下落，圆柱体侧面绳子拉动的加速度应为hDga π=例3：如图13—3所示，表面光滑的实心圆球B 的半径R=20cm ，质量M=20kg ，悬线长L=30cm 。
13.降维法
十三、降维法方法简介降维法是将一个三维图变成几个二维图,即应选两个合适的平面去观察,当遇到一个空间受力问题时,将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解，由于三维问题不好想像,选取适当的角度,可用降维法求解，降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来,使我们很容易找到各物理量之间的关系,从而正确解决问题，赛题精讲例1：如图13—1所示,倾角θ=30°的粗糙斜面上放 一物体,物体重为G,静止在斜面上，现用与斜面底边平 行的力F=G/2推该物体,物体恰好在斜面内做匀速直线运 动,则物体与斜面间的动摩擦因数μ等于多少？物体匀速 运动的方向如何？解析：物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦力 四个力的作用下做匀速直线运动,所以受力平衡，但这四 个力不在同一平面内,不容易看出它们之间的关系，我们 把这些力分解在两个平面内,就可以将空间问题变为平面 问题,使问题得到解决，将重力沿斜面、垂直于斜面分解，我们从上面、侧面 观察,图13—1—甲、图13—1—乙所示，如图13—1—甲所示,推力F 与重力沿斜面的分力G 1的合力F ′为：G G F F 22212=+=' F ′的方向沿斜面向下与推力成α角, 则 ︒=∴==451tan 1ααFG这就是物体做匀速运动的方向物体受到的滑动摩擦力与F ′平衡,即 2/2G F f ='=所以摩擦因数：3630cos 2/2=︒==G G F f N μ 例2：如图13—2所示,一个直径为D 的圆柱体,其侧面刻有螺距为h 的光滑的螺旋形凹槽,槽内有一小球,为使小球能自由下落,必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？解析：将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽,如图13—2—甲所示,当圆柱体转一周,相当于沿斜槽下降一个螺距h,当圆柱转n 周时,外侧面上一共移动的水平距离为22122at n D =π① 圆弧槽内小球下降的高度为221gt nh =② 解①、②两式,可得,为使螺旋形槽内小球能自由下落,圆柱体侧面绳子拉动的加速度应为hDga π=例3：如图13—3所示,表面光滑的实心圆球B 的半径 R=20cm,质量M=20kg,悬线长L=30cm ，正方形物块A 的 厚度△h=10cm,质量m=2kg,物体A 与墙之间的动摩擦因 数μ=0.2,取g=10m/s 2，求：（1）墙对物块A 的摩擦力为多大？（2）如果要物体A 上施加一个与墙平行的外力,使物体A 在未脱离圆球前贴着墙沿水平方向做加速度a =5m/s 2 匀加速直线运动,那么这个外力大小方向如何？解析：这里物体A 、B 所受的力也不在一个平面内,混起来考虑比较复杂,可以在垂直于墙的竖直平面内分析A 、B 间压力和A 对墙的压力；在与墙面平行的平面内分析A 物体沿墙水平运动时的受力情况，（1）通过受力分析可知墙对物块A 的静摩擦力大小等于物块A 的重力，（2）由于物体A 贴着墙沿水平方向做匀加速直线运动,所以摩擦力沿水平方向,合力也沿水平方向且与摩擦力方向相反，又因为物体受竖直向下的重力,所以推力F 方向应斜向上，设物体A 对墙的压力为N,则沿垂直于墙的方向,物体B 受到物体A 的支持力大小也为N,有θμtan ,Mg N N f ==而又因为43tan 53sin ==++∆=θθ所以R L R h 在与墙面平行的平面内,对物体A 沿竖直方向 做受力分析,如图13—3—甲所示有mg F =αsin沿水平方向做受力分析,有 ma f F =-αcos 由以上各式,解得 )5/5arcsin(,520)()(22==++=a N ma f mg F因此,对物体A 施加的外力F 的大小为205N,方向沿墙面斜向上且与物体A 水平运动方向的夹角为).5/5arcsin(例4：一质量m=20kg 的钢件,架在两根完全相同的平 行长直圆柱上,如图13—4所示,钢件的重心与两柱等距, 两柱的轴线在同一水平面内,圆柱的半径r=0.025m,钢件 与圆柱间的动摩擦因数μ=0.20，两圆柱各绕自己的轴线做 转向相反的转动,角速度./40s rad =ω若沿平行于柱轴的 方向施力推着钢件做速度为s m /050.00=υ的匀速运动, 求推力是多大？（设钢件不发生横向运动）解析：本题关键是搞清滑动摩擦力的方向,滑动摩擦力 的方向与相对运动的方向相反,由于钢件和圆柱都相对地面 在运动,直接不易观察到相对地面在运动,直接不易观察到 相对运动的方向,而且钢件的受力不在同一平面内,所以考 虑“降维”,即选一个合适的角度观察，我们从上往上看,画 出俯视图,如图13—4—甲所示，我们选考虑左边圆柱与钢件之间的摩擦力,先分析相对运动的方向,钢件有向前的速度0υ,左边圆住有向右的速度ωr ,则钢件相对于圆柱的速度是0υ与ωr 的矢量差,如图中△v ,即为钢件相对于圆柱的速度,所以滑动摩擦力f 的方向与△v ,的方向相反,如图13—4—甲所示，以钢件为研究对象,在水平面上受到推力F 和两个摩擦力f 的作用,设f 与圆柱轴线的夹角为θ,当推钢件沿圆柱轴线匀速运动时,应有22000)(22cos 2ωθr v v f vv ff F +=∆== ①再从正面看钢件在竖直平面内的受力可以求出F N , 如图13—4—乙所示,钢件受重力G 和两个向上的支 持力F N ,且G=2F N ,所以把N N F f GF μ==,2代入①式,得 推力N r v v mgr v v F F N 2)(22)(222002200=+⋅=+⋅=ωμωμ例5：如图13—5所示,将质量为M 的匀质链条套在一个表面光滑的圆锥上,圆锥顶角为α,设圆锥底面水平,链条静止时也水平,求链条内的张力，解析：要求张力,应在链条上取一段质量元m ∆进行研究，因为该问题是三维问题,各力不在同一平面内,所以用“降维法”作出不同角度的平面图进行研究，作出俯视图13—5—甲,设质量元m ∆两端所受张力为T,其合力为F,因为它所对的圆心角θ很小,所以2sin 2θT F =,即F=T θ，再作出正视图13—5—乙,质量元受重力m ∆g 、支持力N 和张力的合力F 而处于平衡状态,由几何知识可得：2cot 22cotαπθα⋅=⋅∆=Mg mg F 所以链条内的张力2cot 22απ⋅==MgF T例6：杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁，演员骑摩托车从底部开始运动,随着速度增加,圈子越兜越大,最后在竖直圆筒壁上匀速率行驶,如图13—6所示，如果演员和摩托车的总质量为M,直壁半径为R,匀速率行驶的速率为v ,每绕一周上升的距离为h,求摩托车匀速走壁时的向心力，解析：摩托车的运动速度v ,可分解为水平速度v 1和竖直分速度为v 2,则向心力速度为Rv a 21=，处理这个问题的关键是将螺旋线展开为一个斜面,其倾角的余弦为22)2(2cos hR R a +=ππ,如图13—6—甲所示，所以有v hR R v v 221)2(2cos +==ππα向心加速度为：222221))2(2(h R R R v R v a +==ππ向心力 )4(422222h R RMv Ma F +==ππ 例7：A 、B 、C 为三个完全相同的表面光滑的小球,B 、C 两球各被一长为L=2.00m 的不可伸和的轻线悬挂于天花板上,两球刚好接触,以接触点O 为原点作一直角坐标系z Oxyz ,轴竖直向上,O x 与两球的连心线重合,如图13—7所示，今让A 球射向B 、C 两球,并与两球同时发生碰撞，碰撞前,A 球速度方向沿y 轴正方向,速率为s m v A /00.40=，相碰后,A 球沿y 轴负方向反弹,速率A v =0.40m/s ，（1）求B 、C 两球被碰后偏离O 点的最大位移量； （2）讨论长时间内B 、C 两球的运动情况，（忽略空气阻力,取g=10m/s 2） 解析：（1）A 、B 、C 三球在碰撞前、后的运动发生 在Oxy 平面内,设刚碰完后,A 的速度大小为A v ,B 、 C 两球的速度分别为B v 与C v ,在x 方向和y 方向的分速 度的大小分别为Bx v ,Cy Cx By v v v ,和,如图13—7—甲所示, 由动量守恒定律,有0=-Bx Cx mv mv ①A Cy By Ax mv mv mv mv -+= ②由于球面是光滑的,在碰撞过程中,A 球对B 球的作用力方向沿A 、B 两球的连心线,A 球对C 球的作用力方向沿A 、C 两球的连心线,由几何关系,得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==6tan 6tan ππCy Cx By Bx v v v v ③ 由对称关系可知 Cy Bx v v = ④解①、②、③、④式可得 s m v v Cy Bx /27.1==s m v v Cy Bx /20.2==由此解得 s m v v Cy Bx /54.2==图13—7甲设C 球在x >0, y>0, z >0的空间中的最大位移为,OQ Q 点的z 坐标为z Q ,则由机械能守恒定律可写出Q C mgz mv =221 ⑤ 所以 gv z CQ 22= 代入数值解得 z Q =0.32m而Q 点到O z 轴的距离为 )2()(22Q Q Q z L z z L L QD -=--=所以C 球离O 点的最大位移量 Q Q Lz OD z OQ 222=+= ⑥代入数值,得 m OQ 13.1= ⑦由对称性,可得B 球在0,0,0>><z y x 的空间的最大位移量OP 为m OQ OP 13.1== ⑧（2）当B 、C 两球各达到最大位移后,便做回到原点的摆动,并发生两球间的碰撞,两球第一次返回O 点碰撞前速度的大小和方向分别为s m v Bx /27.1= 方向沿正x 轴方向 By v =2.20m/s 方向沿y 轴方向s m v Cx /27.1= 方向沿正x 轴方向 Cy v =2.20m/s 方向沿y 轴方向设碰撞后的速度分别为11C B v v 和,对应的分速度的大小分别为x B v 1、y B v 1、x C v 1和y C v 1,由于两球在碰撞过程中的相互作用力只可能沿x 轴方向,故碰撞后,沿y 轴方向的速度大小和方向均保持不变（因为小球都是光滑的）,即y B v 1=By v 方向沿负y 轴方向 ⑨ y C v 1=Cy v 方向沿负y 轴方向 ⑩碰撞过程中,沿x 轴方向的动量守恒,则 Cx Bx x B x C mv mv mv mv -=-11 因为Cx Bx v v = 所以x B x C v v 11=即碰撞后两球在x 方向的分速度大小也相等,方向相反,具体数值取决于碰撞过程中是否机械能损失，在A 球与B 、C 两球同时碰撞的过程中,碰撞前,三者的机械能m mv E AD 82121==碰撞后三者的机械能 12222259.6212121E E m mv mv mv E C B A <=++=表明在碰撞过程中有机械能损失,小球的材料不是完全弹性体,故B 、C 两球在碰撞过程中也有机械能损失,即)(21)(21)(212222221111Y X X X Y XB BC C B B v v m v v m v v m +<+++ ○11 由⑨、⑩和○11三式,和 Cx Bx C B v v v v x X =<=11 ○12或C B C B v v v v =<=11当B 、C 两球第二次返回O 点时,两球发生第二次碰撞,设碰撞后两球的速度分别为22C B v v 和,对应的分速度的大小分别为y C x C B B v v v v y X 22,,22和,则有y y y y C B C B v v v v 1122=== y x x x C B C B v v v v 1122=<= 或 12B B v v < 12C C v v <由此可见,B 、C 两球每经过一次碰撞,沿x 方向的分速度都要变小,即x x x x x x X C B C B C B Cx B v v v v v v v v 332211=>=>=>= ……而y 方向的分速度的大小保持不变,即y t y y y y y C B C B C B Cy B v v v v v v v v 332211======= ……当两球反复碰撞足够多次数后,沿x 方向的分速度为零,只有y 方向的分速度，设足够多的次数为n,则有 0==nx nx C B v v ○13 s m v v v y ny ny B C B /20.2=== ○14 即最后,B 、C 两球一起的Oyz 平面内摆动,经过最低点O 的速度由○14式给出,设最高点的z 轴坐标为Qn z ,则 Qn Cny mgz mv =221 得gv z Cny Qn 22=代入数值,得 m z Qn 24.0= ○15 最高点的y 坐标由下式给出：Qn Qn Qn Qn z z L z L L y )2()(22-±=--±=代入数值,得：m y Qn 95.0±= ○16 例8：一半径R=1.00m 的水平光滑圆桌面,圆心为O,有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近,立柱与桌面的交线是 一条凸的平滑的封闭曲线C,如图13—8所示，一根不可伸 长的柔软的细轻绳,一端固定在封闭曲线上某一点,另一端系一质量为m=7.5×10—2kg 的小物块，将小物块放在桌面上并把绳拉直,再给小物块一个方向与绳垂直、大小为s m v /0.40=的初速度,物块在桌面上运动时,绳将缠绕在立柱上，已知当绳的张力为T 0=2.0N 时,绳即断开,在绳断开前物块始终在桌面上运动，（1）问绳刚要断开时,绳的伸直部分的长度为多少？（2）若绳刚要断开时,桌面圆心O 到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直,问物块的落地点到桌面圆心O 的水平距离为多少？已知桌面高度H=0.80m,物块在桌面上运动时未与立柱相碰，取重力加速度大小为10m/s 2，解析：（1）这一问题比较简单，绳断开前,绳的张力即为物块所受的向心力,因为初速度与绳垂直,所以绳的张力只改变物块的速度方向,而速度大小不变,绳刚要断开时,绳的伸直部分的长度可求出，设绳的伸直部分长为x ,则由牛顿第二定律得：xv m T 200=代入已知数值得：x =0.60m（2）选取桌面为分析平面,将物块的落地点投影到此分析平面上,然后由平抛运动的知识求解，如图13—8—甲所示,设绳刚要断开时物块位于 桌面上的P 点,并用A 点表示物块离开桌面时的位置, 先取桌面为分析平面,将物块的落地点投影到此分析 平面上,其位置用D 点表示,易知D 点应在直线PA 的延长线上,OD 即等于物块落地点与桌面圆心O 的水平距离,而AD 等于物块离开桌面后做平抛运动的 水平射程，即 gH v AD 20= 故20222)2(g H v x R x OD +-+= 代入已知数值得物块落地点到桌面圆心O 的水平距离 m OD 47.2=例9：如图13—9所示是一种记录地震装置的水平摆,摆球m 固定在边长为L,质量可忽略不计的等边三角形的顶点A 上，它的对边BC 跟竖直线成不大的夹角α,摆球可以绕固定轴图13—8BC 摆动，求摆做微小振动的周期，解析：若m 做微小振动,则其轨迹一定在过A 点,垂直于BC 的平面内的以O 为圆心,OA 为半径的圆弧上，因此我们可以作一个过A 点垂直于BC 的平面M,如图13—9—甲所示,将重力mg 沿M 平面和垂直于M 平面方向分解,则在平面M 内,m 的振动等效于一个只在重力αsin mg g m ='作用下简谐运动,摆长.2360sin L LL =︒='所以周期 αππsin 2322g Lg L T =''=例10：六个相同的电阻（阻值均为R ）连成一个电 阻环,六个结点依次为1、2、3、4、5和6,如图13—10 所示，现有五个完全相同的这样的电阻环,分别称为D 1、 D 2、…、D 5，现将D 1的1、3、5三点分别与D 2的2、4、 6三点用导线连接,如图13—10—甲所示，然后将D 2的 1、3、5三点分别与D 3的2、4、6三点用导线连接……依次类推,最后将D 5的1、3、5三点分别连接到D 4的2、4、6三点上，证明：全部接好后,在D 1上的1、3、两点间的等效是电阻为R 627724， 解析：由于连接电阻R 的导线,连接环D 之间的导线均不计电阻,因此,可改变环的半径,使五个环的大小满足：D 1<D 2<…<D 5.将图13—10—甲所示的圆柱形网络变成圆台形网络,在沿与底面垂直的方向将此圆台形网络压缩成一个平面,如图13—10—乙所示的平面电路图，现将圆形电阻环变成三角形,1、3、5三点为三角形的顶点,2、4、6三点为三角形三边的中点,图13—10—乙又变为如图13—10—丙所示电路图，不难发现,图13—10—丙所示的电路相对虚直线3、6具有左右对称性，可以用多种解法求，如将电路等效为图13—10—丁， A 1B 1以内的电阻R R B A 5411=A 2B 2以内的电阻R R R R R R R R B A B A B A 1914)2()2(111122=+++=A 3B 3以内的电阻R R R R R R R R B A B A B A 7152)2()2(222233=++⋅+=A 4B 4以内的电阻R R R R R R R R B A B A B A 265194)2()2(333344=++⋅+=A 5B 5以内的电阻R RR R R R R R B A B A B A 627724)2()2(444455=++⋅+=即为D 1环上1、3两点间的等效电阻，例11：如图13—11所示,用12根阻值均为r 的相同的电阻丝构成正立方体框架，试求AG 两点间的等效电阻，解析：该电路是立体电路,我们可以将该立体电路“压扁”,使其变成平面电路,如图13—11—甲所示，考虑到D 、E 、B 三点等势,C 、F 、H 三点等势,则电路图可等效为如图13—11—乙所示的电路图,所以AG 间总电阻为 r r r r R 65363=++=例12：如图13—12所示,倾角为θ的斜面上放一木 制圆制,其质量m=0.2kg,半径为r,长度L=0.1m,圆柱 上顺着轴线OO ′绕有N=10匝的线圈,线圈平面与斜面 平行,斜面处于竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度 B=0.5T,当通入多大电流时,圆柱才不致往下滚动？解析：要准确地表达各物理量之间的关系,最好画出正视图,问题就比较容易求解了，如图13—12—甲所示,磁场力F m 对线圈的力矩为M B =NBIL ·2r ·sin θ,重力对D 点的力矩为：M G =mgsin θ,平衡时有：M B =M G 则可解得：A NBL mg I 96.12== 例13：空间由电阻丝组成的无穷网络如图13—13所示,每段电阻丝的电阻均为r,试求A 、B 间的等效电阻R AB ，解析：设想电流A 点流入,从B 点流出,由对称性可知,网络中背面那一根无限长电阻丝中各点等电势,故可撤去这根电阻丝,而把空间网络等效为图13—13—甲所示的电路，（1）其中竖直线电阻r ′分别为两个r 串联和一个r 并联后的电阻值,所以 r r r r r 3232=⋅=' 横线每根电阻仍为r,此时将立体网络变成平面网络，（2）由于此网络具有左右对称性,所以以AB 为轴对折,此时网络变为如图13—13—乙所示的网络，其中横线每根电阻为21r r =竖线每根电阻为32r r r ='='' AB 对应那根的电阻为r r 32=' 此时由左右无限大变为右边无限大， （3）设第二个网络的结点为CD,此后均有相同的网络,去掉AB 时电路为图13—13—丙所示，再设R CD =R n －1（不包含CD 所对应的竖线电阻）则N B A R R =',网络如图13—13—丁所示，此时 1111111333222------++=+⋅+⋅=+''''+=n n n n n n n R r rR r R r R r r R r R r r R当∞→n 时,R n =R n －1 ∴ 上式变为n n n n n R r rR r R r rR r R 3432++=++=由此解得：r r R n 6213+= 即r r R B A 6213+=' 补上AB 竖线对应的电阻r 32,网络变为如图13—13—戊所示的电路， r r r r r r R r R r R B A B A AB 21212)321(21)213(221321)213(262133262133232322=++=++=+++⋅=+⋅='' 例14：设在地面上方的真空室内,存在匀强电场和匀强磁场,已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的,电场强度的大小E=4.0V/m,磁感应强度的大小B=0.15T,今有一个带负电的质点以v =20m/s 的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动,求此带电质点的电量与质量之比q/m 以及磁场的所有可能方向（角度可用反三角函数表），解析：因为带负电的质点做匀速直线运动,说明此质点所受的合外力为零，又因为电场强度和磁感应强度的方向相同,所以该带电质点所受的电场力和洛仑兹力的方向垂直共面,且必受重力作用,否则所受合外力不可能为零,设质点速度方向垂直纸面向里，由此该带电质点的受力图如图13—14所示，由平衡条件有有水平方向：θθsin cos Bqv Eq = ①在竖直方向：mg Bqv Eq =+θθcos sin ②解得：34tan =θ 34arctan =θ q/m=2 同理,当质点速度方向垂直纸面向外时受力情况如图13—14—甲,由平衡条件可解出θ值与上式解出的一样,只是与纸平面的夹角不同,故此带电质点的电量与质量之比为2，磁场的所有可能方向与水平方向的夹角都是 34tan 34arctan ==θθ或针对训练1．如图13—15所示,一个重1000N的物体放在倾角为30°的斜面上,物体与斜面间的摩擦系数μ为1/3，今有一个与斜面最大倾斜线成30°角的力F作用于物体上,使物体在斜面上保持静止,求力F的大小，2．斜面倾角θ=37°,斜面长为0.8m,宽为0.6m,如图13—16所示，质量为2kg的木块与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5,在平行于斜面方向的恒力F的作用下,沿斜面对角线从A 点运动到B点（g=10m/s2,sin37°=0.6），求：（1）力F的最小值是多大？（2）力F取最小值时木块的加速度，3．质量为0.8kg的长方形木块静止在倾角为30°的斜面上,若用平行于斜面沿水平方向大小等于3N的力推物体,它仍保持静止,如图13—17所示,则木块所受摩擦力大小为,方向为，4．如图13—18,四面体框架由电阻同为R的6个电阻连接而成,试求任意两个顶点AB间的等效电阻，5．如图13—19所示三棱柱由电阻同为R的电阻线连接而成,试求AB两个顶点间的等效电阻，6．将同种材料粗细均匀的电阻丝连接成立方体的形状,如图13—20所示,每段电阻丝电阻均为r，试求：（1）AB两点间等效电阻R AG；（2）AD两点间等效电阻R AD，。
降维方法
国内当前流行的文本分类算法有最大熵(MaximumEntropy，ME),K近邻法(KNN)，朴素贝叶斯法(NB)，支持向量机法(SVM)，线性最小平分拟合法(LLSF)，神经网络法(Nnet)等，其中KNN、NB和SVM的分类效果相对较好。
文本分类由文本表示，特征降维和分类器训练组成，分类算法只是其中的一个环节，另外两个环节也非常重要。
目前普遍采用向量空间模型来表示文本，常见的特征词加权方法有：布尔权重、词频权重、TF—IDF权重等，常见的特征选择方法有文档频率，互信息和统计等。
基于机器学习文本分类的基础技术由文本的表示(representation) 、分类方法及效果(effectiveness)评估3 部分组成。
Sebastiani对文本分类发展历程及当时的技术进行了总结，主要内容包括:(1)文本关于项(term)或特征的向量空间表示模型(VSM)及特征选择(selection)与特征提取(extraction)两种表示空间降维(dimensionality reduction)策略,讨论了χ2,IG,MI,OR 等用于特征过滤的显著性统计量及项聚类和隐含语义索引(LSI)等特征提取方法;(2) 当时较成熟的分类模型方法,即分类器的归纳构造(inductiveconstruction)或模型的挖掘学习过程;(3) 分类效果评估指标,如正确率(precision) 召回率(recall) 均衡点(BEP) Fβ(常用F1)和精度(accuracy)等,以及之前报道的在Reuters 等基准语料上的效果参考比较。
1、中文评论语料的采集利用DOM 构建网页结构树，对结构树的分析实现了中文评论的自动采集的方法。
以及对情感语料进行情感标注，利用中文分词技术对情感语料进行分词等基础性研究。
2、情感词典的构建利用PMI 算法，在基础情感词典和中文宾馆评论语料库的基础上构建宾馆评论领域情感词典的方法。
3、文本处理中的特征选择、特征权值和向量表示CHI 统计方法和采用情感词典作为情感特征选择的方法，以及降维的维度选择等相关问题。
多元积分的降维计算法
(
2)
这 种 积 分 的 被 积 式 其 实 是 一 个 外 微 分 形 式 .外 微 分 形 式 是 可 以 作 形 式 运 算 的 对 象 :它 可 以 自 由 进 行
变量 替 换 ,也 能 进 行 凑 微 分(凑 微 分 实 际 上 是 第 一 类 变 量 替 换)和 分 部 积 分 .因 此 ,讨 论 多 元 积 分 的 凑
计 算 多 元 函 数 积 分 的 统 一 方 案 :使 用 凑 微 分 、换 元 和 分 部 积 分 等 手 段 将 被 积 式 变 形 成 特 定 形 式 后 应 用 广 义
S
t
oke
s公 式 ,区 域 上 的 积 分 就 能 不 断 转 化 成 边 界 上 的 积 分 ,从 而 实 现“降 维”.此 方 案 中 不 必 使 用 通 常 的 化 累
y ”解 释 成 满 足 反 交 换 性 的 外 积 (实 质 上 就 是 对 积
分 区 域 规 定 了 方 向)
[收 稿 日 期]2019
12
20; [修 改 日 期]2021
02
17
[基 金 项 目] 湖 北 工 业 大 学 校 内 资 助 项 目(
337/187)
[作 者 简 介] 罗 志 刚(
)
只 从 右 边 向 左 边 用(
11 式 而 不 是 反 过 来 用 ,毕 竟 求 一 个 已 知 外 微 分 形 式 的 外 微 分 很 容 易 .
有了外微分的计算规则以及前面讨论过的积分号下凑微分和变 量 替 换 的 技 巧,就 可 以 使 用 这 些 规
则和技巧一步步去找到符合要求的 ω .下面写出这个计算方案中的关键定理 .
分课程中定义的二重积分和三重积分就是普通积分.
因子分析︱使用Stata做主成分分析
因子分析︱使用Stata做主成分分析文章来自计量经济学圈主成分分析在许多领域的研究与应用中，往往需要对反映事物的多个变量进行大量的观测，收集大量数据以便进行分析寻找规律。
多变量大样本无疑会为研究和应用提供了丰富的信息，但也在一定程度上增加了数据采集的工作量，更重要的是在多数情况下，许多变量之间可能存在相关性，从而增加了问题分析的复杂性，同时对分析带来不便。
如果分别对每个指标进行分析，分析往往是孤立的，而不是综合的。
盲目减少指标会损失很多信息，容易产生错误的结论。
因此需要找到一个合理的方法，在减少需要分析的指标同时，尽量减少原指标包含信息的损失，以达到对所收集数据进行全面分析的目的。
由于各变量间存在一定的相关关系，因此有可能用较少的综合指标分别综合存在于各变量中的各类信息。
主成分分析与因子分析就属于这类降维的方法。
主成分分析是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。
主成分分析，是考察多个变量间相关性一种多元统计方法，研究如何通过少数几个主成分来揭示多个变量间的内部结构，即从原始变量中导出少数几个主成分，使它们尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此间互不相关.通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合，作为新的综合指标。
最经典的做法就是用F1（选取的第一个线性组合，即第一个综合指标）的方差来表达，即Var(F1)越大，表示F1包含的信息越多。
因此在所有的线性组合中选取的F1应该是方差最大的，故称F1为第一主成分。
如果第一主成分不足以代表原来P个指标的信息，再考虑选取F2即选第二个线性组合，为了有效地反映原来信息，F1已有的信息就不需要再出现在F2中，用数学语言表达就是要求Cov(F1, F2)=0，则称F2为第二主成分，依此类推可以构造出第三、第四，……，第P个主成分。
2. 问题描述下表1是某些学生的语文、数学、物理、化学成绩统计：首先，假设这些科目成绩不相关，也就是说某一科目考多少分与其他科目没有关系。
降维的原理
降维的原理降维是指将高维数据映射到低维空间的过程，其目的是为了减少数据的复杂度和提高计算效率。
在实际应用中，降维技术被广泛应用于数据压缩、特征提取和数据可视化等领域。
本文将介绍降维的原理及其常见的方法。
降维的原理可以从线性代数和统计学的角度来理解。
在高维空间中，数据点之间的距离和角度关系复杂多变，给数据分析和处理带来了困难。
而在低维空间中，数据点之间的关系相对简单，更容易进行分析和处理。
因此，通过降维可以将原始数据中的噪声和冗余信息去除，保留主要特征，从而提高数据的表达能力和分类准确度。
在实际应用中，降维的方法主要包括主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）、t分布邻域嵌入（t-SNE）等。
其中，PCA是一种常用的线性降维方法，它通过寻找数据中的主成分来实现降维。
而LDA则是一种监督学习的降维方法，它在保持数据类别信息的同时，将数据映射到低维空间。
另外，t-SNE是一种非线性降维方法，它可以有效地保留数据的局部结构，适用于数据可视化和聚类分析。
除了上述方法外，还有一些其他的降维技术，如自编码器、核主成分分析（Kernel PCA）等。
这些方法各有特点，可以根据具体的应用场景选择合适的方法进行降维处理。
需要注意的是，降维并不是万能的，它也存在一些局限性。
首先，降维可能会丢失一部分信息，导致数据表达能力下降。
其次，降维过程需要消耗一定的计算资源和时间。
因此，在选择降维方法时，需要综合考虑数据的特点、应用需求和计算资源等因素。
综上所述，降维是一种重要的数据预处理技术，它可以有效地提高数据的表达能力和计算效率。
在实际应用中，我们可以根据具体的需求选择合适的降维方法，并结合特征选择、模型训练等步骤，实现对高维数据的有效分析和处理。
希望本文对降维技术有所帮助，谢谢阅读！。
二维映射一维 数学变化
二维映射一维数学变化1.引言1.1 概述概述部分：二维映射一维是一种数学变化的方法，它将二维空间的数据映射到一维空间中。
这种变化在许多领域中都有广泛的应用，如数据压缩、图像处理、模式识别等。
通过将二维数据映射到一维空间，我们可以简化数据的表示和处理，并且能够更有效地对数据进行分析和应用。
在二维映射一维的过程中，需要选择适当的映射函数或算法来实现数据的转换。
常见的方法包括哈希函数、曲线拟合和数据压缩算法等。
这些方法在不同的应用场景下具有各自的优势和适用性。
本文将对二维映射一维的概念进行详细介绍，包括其基本原理、常用的映射方法以及其数学特性和应用场景的探讨。
同时，本文还将分析二维映射一维的优势和局限性，并对其未来的发展和应用前景进行展望。
通过对二维映射一维的研究和理解，我们可以更好地理解数学变化和数据处理的基本原理，为解决实际问题提供有效的方法和工具。
希望本文能够为读者提供有关二维映射一维的全面了解，并激发更多关于数学变化和数据处理的思考和研究。
1.2文章结构1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
下面对每个部分的内容进行具体介绍：1. 引言引言部分主要对本文的主题进行概述和背景介绍，引起读者的兴趣和注意。
首先，我们将介绍二维映射一维的概念和基本原理，以及其在数学变化中的重要性。
然后，我们将介绍本文的结构和各个部分的内容安排，以便读者了解文章的整体框架。
最后，我们将说明本文的目的，即为了揭示二维映射一维的数学变化的规律，以及其未来的发展和应用前景。
2. 正文正文部分主要对二维映射一维的概念和应用进行详细阐述。
首先，我们将介绍二维映射一维的概念，包括其定义、原理和数学模型等相关内容。
然后，我们将讨论二维映射一维在实际应用中的具体场景，如图像处理、数据压缩等领域的应用案例，并深入探讨其在这些领域中所起到的作用和意义。
此外，我们还将介绍一些常用的二维映射一维的方法和算法，为读者提供更多的实际操作和应用方面的参考。
隐蔽化多维化开化(石润婷)
隐蔽化多维化开化(石润婷)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：隐蔽化、多维化、开放化──论当今信息学竞赛中数学建模的灵活性杭州外国语学校石润婷【关键字】数学建模隐蔽化多维化开放化【摘要】数学建模是信息学奥林匹克竞赛的有机组成部分。
当今信息学竞赛越来越追求数学建模的灵活性。
其表现大致有模型的隐蔽化、多维化和开放化三条。
本文通过对这“三化”的含义及表现的探讨，研究相应的解题策略。
一、引子数学建模作为信息学奥林匹克竞赛的一个不可或缺的组成部分，自该竞赛诞生以来，一直在进化，在完善，在发展。
当今信息学竞赛越来越追求数学建模的灵活性。
也正是这种灵活性，使数学建模的魅力毕现，从而赋予信息学竞赛以无限的生命力和广阔的发展前景。
通过对一系列新兴竞赛题的考察和研究，我发现当今信息学竞赛中数学建模的灵活性可以概括为模型的隐蔽化、多维化和开放化这三条。
下面，让我们通过对这“三化”的含义及其表现的探讨，以获得相应的解题策略。
二、主体（一）隐蔽化１、定义“隐蔽”的本意是“借旁的事物来遮掩”。
而具体落实到信息学竞赛中，“旁的事物”和被“遮掩”的对象便有了特定的指代。
显然，从我们的论题便可一目了然：被“遮掩”的对象即数学模型；而“旁的事物”在这里指的是扑朔迷离的现实情景。
这样，信息学竞赛中数学模型隐蔽化的定义便显而易见了，即借扑朔迷离的现实情景来遮掩数学模型。
２、表现隐蔽化在信息学竞赛中的一大表现就是“老模型，新面孔”也就是说，沿用我们都熟悉的模型，而制造出全新的场景来容纳此模型，从而给原本赤裸裸的模型披上了新装，将它“掩护”起来。
因而相同的模型，在不同竞赛题中的表现往往变幻莫测，如《最佳旅行路线》（NOI97）和《新型导弹》两题，就是典型的例子。
题目请参阅附录一、二。
这两题前者描述的是一个由“林荫道”、“旅游街”组成的街道网格，而后者描述却的是一个“导弹爆炸”问题。
降维思维法
第六讲降维思维法一、降维思维含义降维法是将一个三维图变成几个二维图，即应选两个合适的平面去观察，优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来，从而容易找到各物理量之间的关系正确解决问题。
（实质：划立体为平面-------高中只有平面规律）二、降维思维分类1、“力”的降维：分解定律---平行四边形例1：如图13—1所示，倾角θ=30°的粗糙斜面上放一物体，物体重为G，静止在斜面上。
现用与斜面底边平行的力F=G/2推该物体，物体恰好在斜面内做匀速直线运动，则物体与斜面间的动摩擦因数μ等于多少？物体匀速运动的方向如何？2、“运动”的降维：分解定律---平行四边形例2：杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁。
演员骑摩托车从底部开始运动，随着速度增加，圈子越兜越大，最后在竖直圆筒壁上匀速率行驶，如图13—6所示。
如果演员和摩托车的总质量为M，直壁半径为R，匀速率行驶的速率为v，每绕一周上升的距离为h，求摩托车匀速走壁时的向心力。
课后作业 姓名______________1、如图所示，表面光滑的实心圆球B 的半径R=20cm ，质量M=20kg ，悬线长L=30cm 。
正方形物块A 的厚度△h=10cm ，质量m=2kg ，物体A 与墙之间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s 2。
求：（1）墙对物块A 的摩擦力为多大？（2）如果要物体A 上施加一个与墙平行的外力，使物体A 在未脱离圆球前贴着墙沿水平方向做加速度a =5m/s 2 匀加速直线运动，那么这个外力大小方向如何？2、一质量m=20kg 的钢件，架在两根完全相同的平行长直圆柱上，如图所示，钢件的重心与两柱等距，两柱的轴线在同一水平面内，圆柱的半径r=0.025m ，钢件与圆柱间的动摩擦因数μ=0.20。
两圆柱各绕自己的轴线做转向相反的转动，角速度./40s rad =ω若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件做速度为s m /050.00=υ的匀速运动，求推力是多大？3、如图所示，将质量为M 的匀质链条套在一个表面光滑的圆锥上，圆锥顶角为α，设圆锥底面水平，链条静止时也水平，求链条内的张力。
SPSS第10章-SPSS的因子分析
4、KMO检验：该统计量取值在0-1之间，越接近于1说
明变量间的相关性越强，原有变量适合做因子分析。
0.9以上表示非常合适；0.8-0.9表示合适；0.7-0.8表示
一般；0.6-0.7表示尚可；0.5-0.6表示不太合适；0.5以
下表示极不合适。
rij2
KMO
i j
rij2
pij 2
18
10.3.1 因子分析的基本步骤
• 1、因子分析的前提条件； 因子分析的前提条件是原始变量之间应
存在较强的相关关系。 • 2、因子提取； • 3、使因子更具有命名可解释性； • 4、计算各样本的因子得分。
19
10.3.2 因子分析的前提条件
1、计算相关系数并进行统计检验
如果相关系数矩阵中的大部分相关系数小 于0.3，那么这些变量不适合进行因子分析。
24
可见，主成分分析关键的步骤是如何求出
上述方程中的系数。通过方程的推导可以发
现，每个方程中的系数向量是原始变量相关
系数矩阵的特征值对应的特征向量。具体求
解步骤如下：
1) 将原有变量进行标准化处理；
2) 计算变量的相关系数矩阵；
3) 求相关系数矩阵的的特征根 1 2 ... p
及对应的特征向量 u1、u2、...、up
13
10.2.2 因子分析的模型和概念
• 数学模型
假设原有变量有p个，分别用 x1、x2、x3、...、xp 表示，
且每个变量的均值是0，标准差是1，现将每个原有变量 用m(m<p)个因子 f1、f2、...、fm的线性组合来表示,即：
x1 a11 f1 a12 f2 ......a1m fm 1
25
因子分析利用主成分分析得到的p个特征根λ和对 应的特征向量u，在此基础上计算因子载荷矩阵Λ：
数据降维的常用方法分析
数据降维的常用方法分析数据降维是一种数据处理技术，通过减少数据的维度来帮助人们更好地理解数据，提高机器学习模型的效果和效率。
在大数据时代，降维技术尤为重要，因为大量的高维数据往往会使数据处理和分析变得困难和耗时。
本文将介绍数据降维的常用方法，包括主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）、因子分析（FA）和独立成分分析（ICA）。
主成分分析（PCA）是一种常用的数据降维方法，通过线性变换将原有的高维特征表示转化为一组新的低维特征表示。
PCA的核心思想是找到一组方向，使得数据在这些方向上的投影具有最大的方差。
简单来说，PCA希望能找到最能代表数据特征的方向，并将数据映射到这些方向上。
通过选择保留的主成分个数，可以实现数据降维。
PCA在不需要先验知识的情况下进行降维，但可能会丢失一些原始数据的细微差别。
线性判别分析（LDA）是一种有监督的降维方法，主要用于特征提取和分类。
LDA的目标是找到一个投影，使得同类样本的投影点尽可能接近，不同类样本的投影点尽可能远离。
与PCA不同，LDA在降维的过程中，利用了类别信息。
通过选择最能区分各个类别的投影，可以实现数据的降维。
因子分析（FA）是一种经典的数据降维方法，主要用于探索性数据分析和潜在变量分析。
FA的目标是通过寻找潜在的因子结构来解释观测到的变量之间的相关性。
FA假设观测到的变量是由一组潜在因子和测量误差共同决定的，通过找到最能解释数据中变异的潜在因子，可以实现数据的降维。
与PCA和LDA相比，FA更加注重数据背后的因果关系和隐含结构。
独立成分分析（ICA）是一种用于解决盲源分离问题的数据降维方法。
ICA假设观测到的数据是由多个相互独立的源信号混合得到的，通过寻找独立源信号，可以实现数据的降维和源信号的分离。
ICA广泛应用于信号处理、图像处理和语音识别等领域。
除了上述常用的数据降维方法，还有一些其他的方法，如核主成分分析（KPCA）、非负矩阵分解（NMF）和局部线性嵌入（LLE）等。
【深度学习】数据降维方法总结
【深度学习】数据降维⽅法总结引⾔： 机器学习领域中所谓的降维就是指采⽤某种映射⽅法，将原⾼维空间中的数据点映射到低维度的空间中。
降维的本质是学习⼀个映射函数 f : x->y，其中x是原始数据点的表达，⽬前最多使⽤向量表达形式。
y是数据点映射后的低维向量表达，通常y的维度⼩于x的维度（当然提⾼维度也是可以的）。
f可能是显式的或隐式的、线性的或⾮线性的。
⽬前⼤部分降维算法处理向量表达的数据，也有⼀些降维算法处理⾼阶张量表达的数据。
之所以使⽤降维后的数据表⽰是因为：①在原始的⾼维空间中，包含有冗余信息以及噪⾳信息，在实际应⽤例如图像识别中造成了误差，降低了准确率；⽽通过降维,我们希望减少冗余信息所造成的误差,提⾼识别（或其他应⽤）的精度。
②⼜或者希望通过降维算法来寻找数据内部的本质结构特征。
在很多算法中，降维算法成为了数据预处理的⼀部分，如PCA。
事实上，有⼀些算法如果没有降维预处理，其实是很难得到很好的效果的。
数据降维的⽬的 数据降维，直观地好处是维度降低了，便于计算和可视化，其更深层次的意义在于有效信息的提取综合及⽆⽤信息的摈弃。
数据降维的⽅法 主要的⽅法是线性映射和⾮线性映射⽅法两⼤类。
⼀、线性映射 线性映射⽅法的代表⽅法有：PCA（Principal Component Analysis），LDA（Discriminant Analysis）1.1 主成分分析算法（PCA） 主成分分析(PCA) 是最常⽤的线性降维⽅法，它的⽬标是通过某种线性投影，将⾼维的数据映射到低维的空间中表⽰，并期望在所投影的维度上数据的⽅差最⼤，以此使⽤较少的数据维度，同时保留住较多的原数据点的特性。
是将原空间变换到特征向量空间内，数学表⽰为AX = γX。
为什么要⽤协⽅差矩阵来特向分解呢？ 协⽅差矩阵表征了变量之间的相关程度（维度之间关系）。
对数据相关性矩阵的特向分解，意味着找到最能表征属性相关性的特向（最能表征即误差平⽅最⼩）。
机器学习基础---无监督学习之降维
机器学习基础---⽆监督学习之降维⼀：降维之数据压缩将讨论第⼆种⽆监督学习的问题：降维。
数据压缩不仅能让我们对数据进⾏压缩，使得数据占⽤较少的内存和硬盘空间，还能对学习算法进⾏加速。
（⼀）降维是什么（⼆维降⾄⼀维）假使我们要采⽤两种不同的仪器来测量⼀些东西的尺⼨，其中⼀个仪器测量结果的单位是英⼨，另⼀个仪器测量的结果是厘⽶，我们希望将测量的结果作为我们机器学习的特征。
现在的问题的是，两种仪器对同⼀个东西测量的结果不完全相等（由于误差、精度等），⽽将两者都作为特征有些重复，因⽽，我们希望将这个⼆维的数据降⾄⼀维。
如果能把数据从⼆维减少到⼀维，⽤来减少这种冗余，通过降维，也就说想找出⼀条线，看起来⼤多数样本所在的线，所有的数据都投影到这条线上，通过这种做法，能够测量出每个样本在线上的位置。
就可以建⽴新的特征，只需要⼀个数就能确定新特征。
意味着：之前要⽤⼀个⼆维数字表⽰的特征可以⼀维数直接表⽰。
通过这种⽅法，就能够把内存的需求减半或者数据空间需求减半。
（⼆）降维是什么（三维降⾄⼆维）将数据从三维降⾄⼆维：这个例⼦中我们要将⼀个三维的特征向量降⾄⼀个⼆维的特征向量。
过程是与上⾯类似的，我们将三维向量投射到⼀个⼆维的平⾯上，强迫使得所有的数据都在同⼀个平⾯上，降⾄⼆维的特征向量。
很难看出图中的数据分布在⼀个平⾯上，所以这时降维的⽅法就是把所有的数据都投影到⼀个⼆维平⾯上：意味着现在可以把每个样本⽤两个数字表⽰出来，即下图中的z1、z2：这就是降维以及如何⽤它来压缩数据，接下来将继续探讨如何⽤这个技术来对学习算法进⾏加速。
⼆：降维之数据可视化⽤⼀个具体的例⼦来说：假设收集了许多统计数据的⼤数据集，如下图中的全世界各国的情况：这⾥有很多的特征和国家，那么⽤什么⽅法能够更好地理解这些数据呢？如何可视化这些数据？这⾥有50个特征，但是很难绘制50维的数据，可以⽤使⽤降维的⽅法，例如⽤下⾯⼆维向量表⽰：这样的话，如果能⽤2个数字来表⽰50个特征，要做是从50维降到2维，就可以把这些国家在⼆维平⾯上表⽰出来，这样做了之后，z的值通常不会是你所期望的，具有物理意义的特征，所以要弄清楚这些特征⼤致意味着什么。
下料问题(cutting stock problem)
下料问题(cutting stock problem) 实用下料问题摘要针对一维下料优化问题，由于使用传统的规划求解，计算量很大，而且很难求出最终结果，所以我们采用种新的优化思想方法——启发式多层次逐层优化方法，并结合贪心算法解决此问题, 基本思想是在求解时，尽可能多的重复使用最优的一种方法进行下料，直到所涉及到的某种零件需求加工完;然后对剩余的零件重复上步的操作，直到所有剩余的零件数目均减小至零为止。
原问题的最优解就是各个序列优化问题所求得的最优下料方式的总和,由于题目中有四天和六天的时间约束，所以分为两个阶段:无时间约束搜寻下料方式和有交货时间限制的下料方式逐步优化，利用Mathematica求得结果:完成任务所需原材料数:811，利用率:97.60%，废料总长度为:58012.5mm此时所用方案64种，具体见附录。
最终求得只需9天便可完成全部53套零件的加工任务。
具体的一维下料问题的下料方式数，耗材量，废料长度，利用率如下表所示:对于二维下料问题，下料方式要满足零件长，宽方向上的套裁，我们通过降维启发式方法即根据题目中宽度单一的特点，我们将原料按照组合50、50，组合50、30、20，组合35、35、30，组合30、30、20、20，以及组合20、20、20、20、20方案将原料切割成3000*50，3000*35，3000*30，3000*20四种“标准件”，转化成了等宽度单一料长的一维下料优化问题，即可通过使用第一题中的启发式多层次逐层优化方法，首先考虑无时间条件约束的情况，我们将这一过程分为两个阶段来实现。
同一维下料问题类似，在有时间约束时，我们将交货时间紧促的零件排在优先位置加工，如此得到结果:所需原料数:458，下料方式数为:66，利用率为:97.71%一、题的重述1. 背景“下料问题(cutting stock problem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用。
维数变化的原理应用
维数变化的原理应用1. 引言维数变化是在数学和物理学中经常遇到的一种现象，它描述了物体或系统的维度随着某些参数变化而发生变化的情况。
维数变化的原理在科学研究和工程应用中具有重要意义。
本文将介绍维数变化的原理以及其应用。
2. 维数变化的原理维数变化的原理可以通过以下几个方面来理解和描述：2.1 维度的概念在数学中，维度描述了一个空间或对象所具有的自由度或可变性的数量。
一维空间是线性的，二维空间是平面的，三维空间是立体的，以此类推。
维度的变化意味着空间或对象的性质发生了改变。
2.2 维数变化的机制维数变化可以通过改变系统的参数来实现。
通常情况下，参数的改变会引起系统内部结构的变化，从而导致维度的变化。
例如，在物理领域中，通过调节材料的温度或压力，可以实现物质的相变，从而改变材料的维度。
2.3 维数变化的影响维数变化可能会对系统的性质产生重大影响。
例如，在几何学中，维数的变化会导致空间曲率的变化。
而在物理学中，维数的变化可能会引起量子效应的出现。
同时，维数的变化还可能导致系统的对称性发生改变，从而影响其行为和性质。
3. 维数变化的应用维数变化的原理在许多科学领域和工程应用中发挥着关键作用。
以下是几个典型的应用案例：3.1 数据降维在数据分析和机器学习领域，降维是一种常用的技术。
它可以通过维数变化的原理将高维数据转化为低维数据，从而减少数据的复杂性和计算量。
降维可以帮助我们更好地理解和分析数据，同时也可以提高机器学习模型的效果和性能。
3.2 物质的相变维数变化的原理在物质科学中扮演着重要角色。
通过调节物质的温度、压力或其他参数，可以实现物质的相变，从而改变其维度和性质。
例如，水在不同温度下可以存在为固体、液体或气体，这种相变的过程涉及到维数的变化。
3.3 曲面和流形维数变化的原理在几何学中也有广泛的应用。
通过维数变化，我们可以研究曲面和流形等几何对象的性质和形态。
曲面的起伏和形状变化可以通过维数的改变来描述和分析，从而帮助我们理解和解决相关问题。
PCA的数学原理
⎝
⎠
pR
⎝ pR a1
pR a2
⋯
⎠ pR aM
其中pi 是一个行向量，表示第i个基，aj 是一个列向量，表示第j个原始数据记录。
特别要注意的是，这里R可以小于N，而R决定了变换后数据的维数。也就是说，我们可以将一N维数据 变换到更低维度的空间中去，变换后的维度取决于基的数量。因此这种矩阵相乘的表示也可以表示降维 变换。
16-5-6
CodingLabs
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CodingLabs - PCA的数学原理
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PCA的数学原理
作者 张洋 | 发布于 2013-06-22
机器学习 线性代数 PCA
PCA（Principal Component Analysis）是一种常用的数据分析方法。PCA通过线性变换将原始数据变换 为一组各维度线性无关的表示，可用于提取数据的主要特征分量，常用于高维数据的降维。网上关于 PCA的文章有很多，但是大多数只描述了PCA的分析过程，而没有讲述其中的原理。这篇文章的目的是 介绍PCA的基本数学原理，帮助读者了解PCA的工作机制是什么。
/articles/pca-tutorial.html
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CodingLabs - PCA的数学原理
好，现在我们从A点向B所在直线引一条垂线。我们知道垂线与B的交点叫做A在B上的投影，再设A与B
−−−−−−
的夹角是a，则投影的矢量长度为|A|cos(a)，其中|A| = √x2 + y2 是向量A的模，也就是A线段的
向量的表示及基变换
既然我们面对的数据被抽象为一组向量，那么下面有必要研究一些向量的数学性质。而这些数学性质将 成为后续导出PCA的理论基础。
【高中物理】13.降维法
十三、降维法方法简介降维法是将一个三维图变成几个二维图，即应选两个合适的平面去观察，当遇到一个空间受力问题时，将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解。
由于三维问题不好想像，选取适当的角度，可用降维法求解。
降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来，使我们很容易找到各物理量之间的关系，从而正确解决问题。
赛题精讲例1：如图13—1所示，倾角θ=30°的粗糙斜面上放 一物体，物体重为G ，静止在斜面上。
现用与斜面底边平 行的力F=G/2推该物体，物体恰好在斜面内做匀速直线运 动，则物体与斜面间的动摩擦因数μ等于多少？物体匀速 运动的方向如何？解析：物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦力 四个力的作用下做匀速直线运动，所以受力平衡。
但这四 个力不在同一平面内，不容易看出它们之间的关系。
我们 把这些力分解在两个平面内，就可以将空间问题变为平面 问题，使问题得到解决。
将重力沿斜面、垂直于斜面分解。
我们从上面、侧面 观察，图13—1—甲、图13—1—乙所示。
如图13—1—甲所示，推力F 与重力沿斜面的分力G 1的合力F ′为：G G F F 22212=+=' F ′的方向沿斜面向下与推力成α角， 则 ︒=∴==451tan 1ααFG这就是物体做匀速运动的方向物体受到的滑动摩擦力与F ′平衡，即 2/2G F f ='=所以摩擦因数：3630cos 2/2=︒==G G F f N μ 例2：如图13—2所示，一个直径为D 的圆柱体，其侧面刻有螺距为h 的光滑的螺旋形凹槽，槽内有一小球，为使小球能自由下落，必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？解析：将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽，如图13—2—甲所示，当圆柱体转一周，相当于沿斜槽下降一个螺距h ，当圆柱转n 周时，外侧面上一共移动的水平距离为22122at n D =π① 圆弧槽内小球下降的高度为221gt nh =② 解①、②两式，可得，为使螺旋形槽内小球能自由下落，圆柱体侧面绳子拉动的加速度应为hDg a π=例3：如图13—3所示，表面光滑的实心圆球B 的半径 R=20cm ，质量M=20kg ，悬线长L=30cm 。