重庆大学 线性代数 A201506 试卷答案

重庆大学《线性代数II 》课程试卷 第1页 共4页

重庆大学《线性代数II 》课程试卷

2014 — 2015 学年 第 2 学期

开课学院：数学与统计课程号： MATH10032 考试日期： 201506

考试方式：

考试时间： 120 分钟

一、填空题（每小题3分，共18分）

1.已知123,,,,αααβγ均为4维列向量，且123123,,,,,,,n m γααααβγαα=+=， 则123,,,3αααβ= 3()m n +

2.设123(1,1,),(1,,1),(,1,1)T

T

T

k k k ααα===是3

R 的基， 则k 满足的关系式 1,2k ≠-

3.设,A B 为三阶相似矩阵，且1220,1,1E A λλ+===-为B 的两个特征值，则行列式2A AB += 18

4.已知,A B 均是三阶矩阵，将A 的第三行的2-倍加到第二行得矩阵1A ，将

B 中第一列和第二列对换得到1B ，又11111102213A B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则AB = 111258123⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

5.设123,,ααα为四元非齐次线性方程组Ax β=的三个解，()3R A =，其中

123(1,2,3,4),(0,1,2,3)T T ααα=+=，则Ax β=的通解是

(2,3,4,5)(1,2,3,4)T T x k =+

6.在线性空间2P （次数不超过2的全体多项式）中，2

()23f x x x =++在基

21,(1),(1)x x --下的坐标为 (6,4,1)

二、单项选择题（每小题3分，共18分）

1.设A 为(1)n n >阶方阵，且A 的行列式0A a =≠，而A *

是A 的伴随矩阵，则

2A *

=【B 】

(A)2a (B)1

2(2)n a - (C)1

(2)

n a - (D)2n

a

2.设

112321233123(,,),(,,),(,,)T T T

a a a

b b b

c c c ααα===，则三条直线

(1,2,3)i i i a x b y c i +==（其中220,1,2,3)i i a b i +≠=交于一点的充分必要条件是【A 】 (A)

123,,ααα线性相关，12,αα 线性无关 (B) 123,,ααα线性无关

(C) 12312(,,)(,)R R ααααα= (D) 123,,ααα线性相关

3.任意两个n 维向量组1,

,m αα和1,,m ββ，若存在两组不全为零的数1,

,m λλ和

1,,m k k ，使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-=，

则【D 】 (A)

1,,m αα和1,,m ββ都线性相关

命

题人：

组

题人：

审题人：

命题时间：

教务处制

学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室

公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊

封

线

密

(B) 1,,m αα和1,,m ββ都线性无关 (C) 1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性无关 (D)

1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++--线性相关

4.设123,,ξξξ是0Ax =的基础解系，则方程组的基础解系还可以表示成【D 】 (A) 123,,ξξξ的一个等价向量组 (B) 123,,ξξξ的一个等秩向量组 (C) 122331,,ξξξξξξ--- (D) 122331,,ξξξξξξ+++

5.设A 为n 阶实矩阵，T

A 是A 的转置矩阵，则对于线性方程组（I ）：0Ax =和（II ）：

0T A Ax =，必有【A 】

(A)（II ）的解是（I ）的解，（I ）的解也是（II ）的解 (B)（II ）的解是（I ）的解，但（I ）的解不是（II ）的解 (C) （I ）的解不是（II ）的解，（II ）的解也不是（I ）的解 (D) （I ）的解是（II ）的解，但（II ）的解不是（I ）的解

6.二次型2

2

2

1231231223(,,)22f x x x ax ax x x x x x =++++是正定的，则a 的取值范围为【D 】

(A) a <

a <

(C) a ≥

(D) a >三、判断题（每小题2分，共10分）

1.加法和数乘按通常方式定义，满足lim ()0x f x →+∞

=的全体函数f 构成向量空间。（√）

2.在3R 中，定义22

1231233(,,)(,,)T x x x x x x x =+，则T 为线性变换。（⨯） 3.如果n 阶方阵A 是正定矩阵，则A 必是满秩矩阵。（√） 4.设有n 阶方阵12(,,,)n A ααα=，若12,,,n ααα为正交向量组，

则方阵A 为正交阵。（⨯）

5.向量组2

1(1,,,

,)(1,2,,)n s s s s t t t s n α-==线性无关的充要条件是(1,2,

,)

s t s n =为互不相同的数。（√）

四、计算题（一）（每小题8分，共16分）

1.计算n 阶行列式

000

00

00

00

0a b a b

a b b a

解：按第1列展开得：11

1(1)

(1)n

n n n n n n D a b b

a b +-+=+-=+-

2.设矩阵A 的伴随阵100001

00101003

8A *⎡⎤⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢

⎥-⎣⎦

，且113ABA BA E --=+，求矩阵.B 解：3

2A A A *

=⇒=，用A *

左乘，用A 右乘1

1

3ABA BA E --=+得：

1133A ABA A A BA A A A A B A B A E *-*-**=+⇒=+，即

1

1

100

06

00

00

1000600(2)66(2)6101060600

3060

301E A B E B E A -**-⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥-=⇒=-==⎢⎥⎢⎥

-⎢⎥⎢

⎥

--⎣⎦⎣⎦

五、计算题（二）（每小题12分，共24分） 1.已知线性方程组

12341234

12341234230

264132716x x x x x x x x x x px x x x x x t

+-+=⎧⎪+-+=-⎪⎨

+++=-⎪⎪---=⎩