B-S期权定价模型及其应用

ˆ 4 波动率估计
s t
4
2、伊藤引理（Ito’s lemma）
若已知 x 的运动过程，利用伊藤引理
能够推知函数 G (x, t ) 的运动过程
由于任何衍生品价格均为其标的资产
价格及时间的函数，因而可利用伊藤 引理推导衍生品价格的运动过程
5
伊藤引理（Ito，1951）
若随机过程 x 遵循伊藤过程：
衍生品的价格由微分方程的边界条件决定
例：欧式看涨期权的边界条件为： C(0，t)＝ 0 C(ST ,T)= max（ST – K，0）
理论上通过解B-S微分方程，可得 Call 的价格。
问题：微分方程难于求解！
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4、风险中性定价方法
观察B-S微分方程及欧式Call 的边界条件发现： C(S, t)与 S、r、t、T、σ以及 K 有关，而与股票 的期望收益率μ无关。这说明欧式Call 的价格与
★
ln( S / K ) (r / 2)(T t ) d2 d1 T t T t
2
此即 Black-Scholes 期权定价公式。
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如何理解B-S期权定价公式
（1）
SN (d1 )
可看作证券或无价值看涨期权的多头；
可看作K份现金或无价值看涨期权的多头。 Ke r (T t ) N (d 2 ) （2）可以证明，f / S N (d1 ) 。为构造一份欧 式看涨期权，需持有 N (d1 ) 份证券多头，以及卖 空数量为
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C 42 N (0.7693) 38.049 N (0.6278) 4.76 (元)
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根据 Call - Put 平价公式
P S C Ke
有：
- r (T -t )
P C Ke Ke
- r ( T -t )
S
r (T t )
N (d 2 ) SN (d1 )
f f 1 f 2 2 f df ( S S )dt Sdz 2 S t 2 S S
2
7
例1：伊藤引理的运用
f 1 f 2 f 1 , 0, 2 若 f (S , t ) ln S ，则 2 S S t S S
d ln S (
将该期望收益以无风险利率折现，得到欧式 Call 价格：
ˆ C (S , t ) e r (T t ) E[max (ST K ,0)]
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得： C ( S , t ) SN (d1 ) Ke r (T t ) N (d 2 )
ln( S / K ) (r 2 / 2)(T t ) 其中： d1 (T t )
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B-S期权定价公式的运用
（1）对公司负债及资本进行估值
一家公司A发行两种证券：普通股100万股及
1年后到期的总面值8000万元的零息债券。已知
公司总市值为1亿元，问：公司股票及债券如何
定价？
令V为当前A公司资产市场价值，E为A公司资
本市场价值，D为A公司债券市场价值。
V=E+D
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考虑股东1年之后的收益：当A公司价值VT大于 债券面值时，收益为VT -8000；当A公司价值小于 债券面值时，收益为0。股东相当于持有一个执行 价格为8000万元的欧式Call, 标的资产为公司价值. 当前资本价值为：
股价运动过程
风险中性定价
C (S , t ) e
ST St e
r (T t )
ˆ E[max (ST K ,0)]
, z N (0, T t)
( r q 2 / 2)(T t ) z
仅需要将St变成St e-q(T-t) ，带入原来的B-S微分 方程即可
dx a( x, t )dt b( x, t )dz
则G (x, t )将遵循如下伊藤过程：
G G 1 G 2 G dG ( a b )dt bdz 2 x t 2 x x
2
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股价运动是一种简单的伊藤过程：
dS Sdt Sdz
以股票为标的资产的衍生品价格 f (S, t ) ， 其运动过程可通过伊藤引理得到：
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（3）B-S微分方程的推导
股票及衍生品的运动过程分别为： dS Sdt Sdz
f f 1 f 2 2 f df S S dt＋ Sdz 2 t 2 S S S
2
为消除不确定性，构造投资组合：
f 衍生品：－1；股票：＋ S
dS ：股票的瞬间收益率 S

：股价收益率的瞬间标准差
3
波动率估计
1 观测证券价格的历史数据S0 、 S1 、…… 、 Sn ， 观测时间间隔为t（以年为单位） 2 计算每期以复利计算的回报率 ui＝Ln(Si / Si-1 ), i=1,……,n 3 计算回报率的标准差s
s 1 n (ui u )2 n 1 i 1
d rdt
f 1 f 2 2 f ( S )dt r (- f S )dt 2 t 2 S S
2
f f 1 2 2 2 f rS S rf 2 t S 2 S
此即 Black-Scholes 微分方程。
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任意依赖于标的资产 S 的衍生品价格 f 应 满足该方程
Black-Scholes 期权定价模型
王春雷
引言
二叉树期权定价模型：
变量离散、时间离散
当股价的变动是一个连续的运动过程 变量连续、时间连续 如何对以它为标的资产的衍生品定价？ ——本节讨论的问题
2
1、股票价格的运动过程
dS dt dz, dz dt S
：股票的期望瞬间收益率
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例：Black-Scholes公式的运用
假设一种不支付红利股票目前的市价为42元， 某投资者购买一份以该股票为标的资产的欧式 看涨期权，6个月后到期，执行价格为40元。假 设该股票年波动率为20%，6月期国库券年利率 为10%，问：该份期权价格应为多少元？ 解：由上述条件知： S=42, K=40, T-t=0.5 , σ=0.2, r=0.1

2
2
)dt dz
该微分方程的解为：
ln ST ln St ( / 2)(T t ) ( z (T ) z (t ))]
2
ST St e
( 2 / 2)(T t ) z
, z N (0,
T t)
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3、Black-Scholes 微分方程
E VN (d1 ) Be
rT
N (d 2 )
给出其它具体数值，公司价值的波动率为0.3,
无风险利率为8%，根据B-S公司得到E=2824万元. 公司负债价值D=V-E=7176万元。
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（2）确定贷款担保价值或担保费用
假设某银行为公司发行的债券提供了信用担 保。 1年之后，若公司价值VT大于债券面值时， 银行无须支付；若公司价值VT小于债券面值时, 银行须支付 VT – B。这相当于银行出售了一个欧 式put, 标的资产仍为公司价值，执行价格为债券 面值B。 利用上面的例子，可采用B-S看跌期权定价公 式或看涨看跌期权平价公式，得到欧式put 的价值 为209万元，A公司应支付209万元的担保费。
（1）原理
衍生品与标的资产（股票）价格不确定性 的来源相同 与二叉树期权定价模型的思想类似，我们 通过构造股票与衍生品的组合来消除这种 不确定性
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（2）假设条件
股价遵循几何布朗运动 股票交易连续进行，且股票无限可分 不存在交易费用及税收 允许卖空，且可利用所有卖空所得 在衍生品有效期间，股票不支付股利 在衍生品有效期间，无风险利率保持不变 所有无风险套利机会均被消除
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投资组合的价值为：
投资组合的价值变动为： f d -df dS S 2 f 1 f 2 2 ( S )dt 2 t 2 S 价值变动仅与时间 dt 有关，因此该组合 成功消除了 dz 带来的不确定性
f -f S S
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根据无套利定价原理，组合收益率应 等于无风险利率 r (无套利机会)：
投资者的风险偏好无关。
在对欧式Call 定价时，可假设投资者是风险中
性的（对所承担的风险不要求额外回报，所有证
券的期望收益率等于无风险利率）
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用风险中性方法对欧式 Call 定价
假设股价期望收益率为无风险利率 r，则：
dS rSdt Sdz
欧式 Call 到期时的期望收益为：
ˆ E[max(ST K ,0)]
计算得到欧式看跌期权价格为：P =0.81(元)
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影响欧式看涨期权价格的因素
当期股价 S 越高，期权价格越高
到期执行价格 K 越高，期权价格越低
距离到期日时间 T-t 越长，期权价格越高
股价波动率σ越大，期权价格越高 无风险利率 r 越高，期权价格越高
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B-S期权定价公式的扩展：红利
K e rT N (d 2 )
的现金。
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Black-Scholes 期权定价公式用于不支付股利的
欧式看涨期权的定价（通过 Call-Put 平价公式
可计算欧式看跌期权的价值）。
注意： 该公式只在一定的假设条件下成立，如 市场完美（无税、无交易成本、资产无限可分、 允许卖空）、无风险利率保持不变、股价遵循几 何布朗运动等。
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（3）带有可转化特征的融资工具的定价
认股权证指赋予投资者在某一时期以约定价格
向发行人购买公司新股的权利。
假设公司有N股流通股，M份流通欧式认股权 证，一份认股权证使持有人在时刻T以每股K的价 格购买x股新股的权利。
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设时期T公司权益价值为ET ，来自百度文库持有人选择执
行认股权，公司权益价值变为 ET + MxK ，股票数
量变为 N+Mx 。执行认股权证后瞬间，股价变为
(ET + MxK)/ (N+Mx)。只有当这一股价大于执行价
格 K 时，持有人才会执行认股权。
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（1）当ET/N>K时，持有人执行，其收益为：
xN ET N K N Mx
（2）当ET/N>K时，持有人不执行，其收益为0。 一份认股权证的价值为： xN C N Mx 其中C是基于公司股票价格的欧式Call，执行 价格为K。利用B-S公式得一份认股权证的价值。