第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1)

合集下载

第三章 一阶线性微分方程组 第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1)

第三章 一阶线性微分方程组   第四讲 常系数线性微分方程组的解法(1)

第四讲 常系数线性微分方程组的解法(4课时)一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点:常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点:常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法:讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段:传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程:1 新课引入由定理3.6我们已知道,求线性齐次方程组(3.8)的通解问题,归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8),如何求出基本解组,至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组dYAY dx= (3.20) 其中A 是n n ⨯实常数矩阵,借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数,可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法,因为它比较直观.由线性代数知识可知,对于任一n n ⨯矩阵A ,恒存在非奇异的n n ⨯矩阵T ,使矩阵1T AT -成为约当标准型. 为此,对方程组(3.20)引入非奇异线性变换Y TZ = (3.21)其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为1dZT ATZ dx-= (3.22) 我们知道,约当标准型1T AT -的形式与矩阵A 的特征方程111212122212det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-2的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.下面分两种情况讨论.(一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ这时12100n T AT λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦方程组(3.20)变为11122200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3.23)易见方程组(3.23)有n 个解1110(),00xZ x e λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦把这n 个解代回变换(3.21)之中,便得到方程组(3.20)的n 个解12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1,2,,)i n =陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军3这里i T 是矩阵T 第i 列向量,它恰好是矩阵A 关于特征根i λ的特征向量,并且由线性方程组()0i i A E T λ-=所确定. 容易看出,12(),(),,()n Y x Y x Y x 构成(3.20)的一个基本解组,因为它们的朗斯基行列式()W x 在0x =时为(0)det 0W T =≠. 于是我们得到定理3.11 如果方程组(3.20)的系数阵A 的n 个特征根12,,,,n λλλ彼此互异,且12,,,n T T T 分别是它们所对应的特征向量,则121122(),(),,()n x xxn n Y x e T Y x e T Y x e T λλλ===是方程组(3.20)的一个基本解组. 例1 试求方程组353dxx y z dt dyx y z dt dzx y z dt ⎧=-+⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=-+⎪⎩的通解.解 它的系数矩阵是311151313A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦特征方程是311det()1510313A E λλλλ---=---=--4即 321136360λλλ-+-=所以矩阵A 的特征根为1232,3,6λλλ===.先求12λ=对应的特征向量1a T b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,a b c 满足方程1111()1310111a a A E b b c c λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即0300a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩可得,0a c b =-=. 取一组非零解,例如令1c =-,就有1,0,1a b c ===-. 同样,可求出另两个特征根所对应的特征向量,这样,这三个特征根所对应的特征向量分别是110,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 211,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3121T ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦故方程组的通解是236123()111()012()111t t t x t y t C e C e C e z t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(二) 常系数线性微分方程组的解法复特征根 从上一讲我们已经知道,求解方程组dYAY dx= (3.20) 归结为求矩阵A 的特征根和对应的特征向量问题.现在考虑复根情形.因为A 是实的矩阵,所以复特征根是共轭出现的,设1,2i λαβ=±是一对共轭根,由定理3.11,对应解是陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军5111(),x Y x e T λ= 222()x Y x e T λ=其中12,T T 是特征向量,这是实变量的复值解,通常我们希望求出方程组(3.20)的实值解,这可由下述方法实现.定理3.12 如果实系数线性齐次方程组()dYA x Y dx= 有复值解()()()Y x U x iV x =+其中()U x 与()V x 都是实向量函数,则其实部和虚部12()()(),()n u x u x U x u x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12()()()()n v x v x V x v x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦证明 因为()()()Y x U x iV x =+是方程组(3.8)的解,所以[]()()()()d dU x dV x U x iV x i dx dx dx+≡+ ()[()()]()()()()A x U x iV x A x U x iA x V x ≡+≡+由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等,所以上述恒等式表明:()()()dU x A x U x dx = , ()()()dV x A x V x dx= 即()U x ,()V x 都是方程组(3.8)的解.证毕.定理3.13 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是区间(,)a b 上的n 个线性无关的向量函数,12,b b 是两个不等于零的常数,则向量函数组112[()()],b Y x Y x + 212[()()],b Y x Y x - 3(),,()n Y x Y x (3.24)在区间(a, b )上仍是线性无关的.6证明 (反证法) 如果(3.24)线性相关,那么依定义3.1存在n 个不全为零的常数12,,,n C C C ,使得对区间(,)a b 上的所有x 皆有1112221233[()()][()()]()()0n n C b Y x Y x C b Y x Y x C Y x C Y x ++-+++≡所以112211122233()()()()()()0n n C b C b Y x C b C b Y x C Y x C Y x ++-+++≡因为12(),(),,()n Y x Y x Y x 线性无关,从而11220,C b C b += 11220,C b C b -= 30,,0n C C ==从上式可知,11220C b C b ==, 因为12,0b b ≠, 故120C C ==. 即所有常数12,,,n C C C 都等于零,矛盾. 证毕.由代数知识知, 实矩阵A 的复特征根一定共轭成对地出现.即,如果a ib λ=+是特征根,则其共轭a ib λ=-也是特征根. 由定理3.11,方程组(3.20)对应于a ib λ=+的复值解形式是1111222122()()()112()a ib x a ib x a ib x n n n t t it t t it x e T e e t t it ++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦1Y1112212212(cos sin )axn n t it t it e bx i bx t it +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦11121211212222211221cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ax ax n n n n t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx eie t bx t bx t bx t bx -+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军7这里1T 是对应于a ib λ=+的特征向量.由于矩阵A 是实的,所以上述向量的共轭向量是方程组(3.20)对应于特征根a ib λ=-的解,记作()2(),a ib x x e -=2Y T =21T T . 现将上述两个复值解,按下述方法分别取其实部和虚部为1112212212cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e t bx t bx -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦12YY 1211222121cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e it bx t bx +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦12YY由定理3.12和定理3.13,它们分别是方程组(3.20)的解, 并且由此得到的n 个解仍组成基本解组.例2 求解方程组3dxx y z dt dyx y dt dzx z dt ⎧=--⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 它的系数矩阵为111110301--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程是8111det()110301λλλλ----=--A E 即2(1)(25)0λλλ--+=特征根为11,λ= 2,312i λ=±先求11λ=对应的特征向量为1011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦T再求212i λ=+所对应的特征向量2T . 它应满足方程组2211((12))120302i a i i b i c ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A E T 0即2020320ia b c a bi a ci ⎧---=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩ 用2i 乘上述第一个方程两端,得422020320a bi ci a bi a ci ⎧--=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人:李相锋 李万军9显见,第一个方程等于第二与第三个方程之和. 故上述方程组中仅有两个方程是独立的,即20320a bi a ci -=⎧⎨-=⎩求它的一个非零解.不妨令2,a i = 则1,3b c ==. 于是212i λ=+对应的解是(12)222sin 22cos 21(cos 2sin 2)1cos 2sin 2333cos 23sin 2i t t t t i i t t e e t i t e t ie t t t +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故原方程组的通解为123()02sin 22cos 2()1cos 2sin 2()13cos 23sin 2t t t x t t t y x C e C e t C e t z x t t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(三) 矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11,我们已经知道,当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时,其基本解组的求解问题,归结到求这些特征根所对应的特征向量. 然而,当矩阵A 的特征方程有重根时,定理3.11不一定完全适用,这是因为,若i λ是A 的i k 重特征根,则由齐次线性方程组()i i λ-=A E T 0所决定的线性无关特征向量的个数i γ, 一般将小于或等于特征根i λ的重数i k . 若i γ=i k ,那么矩阵A 对应的约当标准型将呈现对角阵,其求解方法与3.5.1情形相同.若i γ<i k ,由线性代数的知识,此时也可以求出i k 个线性无关的特征向量,通常称为广义特征向量,以这些特征向量作为满秩矩阵T 的列向量,可将矩阵A 化成若当标准型10121m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-J J T AT J 其中未标出符号的部分均为零无素,而1010i ii i λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J (1,2,,)i m =是i k 阶约当块,12,m k k k n +++= 12,,,m λλλ是(3.20)的特征根,它们当中可能有的彼此相同.于是,在变换(3.21)下方程组(3.20)化成12m d dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J J Z Z J (3.25) 根据(3.25)的形式,它可以分解成为m 个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题,我们通过一个具体重根的例子,说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构.对于一般情形,其推导是相似的.设方程组d Dx=YAY (3.26) 中A 是5.5矩阵,经非奇异线性变换=Y TZ 其中()(,1,2,,5)ij t i j ==T 且det 0≠T ,将方程组(3.26)化为d dx=ZJZ (3.27) 我们假定陇东学院数学系常微分方程精品课程教案1112210000100000000010000λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦J 这时,方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组 1112212313dz z z dx dz z dxdz z dx λλλ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(3.28)4245525dz z z dx dz z dxλλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (3.29) 在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得11123121232332!()xxxC z x C x C e z C x C e z C e λλλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=+= 同样对(3.29)可解得2245455()xx z C x C e z C eλλ=+= 这里125,,,C C C 是任意常数.由于在方程(3.28)中不出现45,,z z 在(3.29)中不出现123,,z z z .我们依次取12345123451234512345123451,00,1,00,1,00,1,00,1C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =========================可以得到方程组(3.27)的五个解如下11111121232!0,,00000000x xx x x x x e xe e e xe e λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Z Z Z , 222450000,000x x x e xe e λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z Z 从而1111112222002!000()00000000000x x x x x x x x x x exe e e xe x e e xe e λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Z (3.31) 是方程组(3.27)的一个解矩阵. 又det (0)10=≠Z ,所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27)的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换Y =TZ 中可得原方程组(3.26)的五个解,1111111211314151,x x x x x t e t e t e t e t e λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 11111111221222313241425152()(),()()()x x x x x t x t e t x te t x t e t x te t x t e λλλλλ⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦Y陇东学院数学系常微分方程精品课程教案11111211121322122232313323324142432515253()2!()2!()2!()2!()2!x x x x x t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e λλλλλ⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦Y ,222222222214141524242545343435444445545455()(),()()()x x x x x x x x x x t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e λλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦Y Y而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为,若把上面五个解写成矩阵形式12345()[(),(),(),(),()]x x x x x x =Y Y Y Y Y Y 则显然有det (0)0=≠Y T .至此我们已清楚地看到,若J 中有一个三阶若当块,1λ是(3.26)的三重特证根,则(3.26)有三个如下形式的线性无关解,12345()()()(),1,2,3()()i i i x i i i i p x p x x p x e i p x p x λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y (3.32) 其中每个()(1,2,3,1,2,3,4,5)ki p x i k ==是x 的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式12012()x x x e λ++R R R其中012,,R R R 都是五维常向量.而对于J 中的二阶若当块,2λ是(3.26)的二重根,它 所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式234()x x e λ+R R其中34,R R 也都是五维常向量.最后,我们还应指出,对于方程组(3.20),若i λ是A 的一个i k 重特征根,则i λ所对应的若当块可能不是一块而是几块,但是它们每一块的阶数都小于或等于i k ,而且这些阶数的和恰好等于i k . 这样,由以上分析我们得到定理3.14 设12,,,m λλλ是矩阵A 的m 个不同的特征根,它们的重数分别为12,,,m k k k . 那么,对于每一个i λ,方程组(3.20)有i k 个形如1122()(),()(),,()()i i i i i x x x k k x x e x x e x x e λλλ===Y P Y P Y P 的线性无关解,这里向量()(1,2,,)i i x i k =P 的每一个分量为x 的次数不高于1i k -的多项式. 取遍所有的(1,2,,)i i m λ=就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A 的特征根有重根时,线性方程组(3.20)的基本解组的形式,同时也告诉了我们一种求解方法,但这种求解方法是很繁的.在实际求解时,常用下面的待定系数法求解. 为此,我们需要线性代数中的一个重要结论.引理3.1 设n 阶矩阵互不相同的特征根为(1,2,,)i i m λ=,其重数分别是,1212,,,()m m k k k k k k n +++=, 记n 维常数列向量所组成的线性空间为V ,则(1) V 的子集合 {()0,}j kj j λ=-=∈V R A E R R V 是矩阵A 的(1,2,,)j k j m =维不变子空间,并且(2) V 有直和分解 12m =⊕⊕⊕V V V V ;现在,在定理3.14相同的假设下,我们可以按下述方法求其基本解组.陇东学院数学系常微分方程精品课程教案定理3.15 如果j λ是(3.20)的j k 重特征根,则方程组(3.20)有个j k 形如1011()()j j j k x k x x x e λ--=+++Y R R R (3.33) 的线性无关解,其中向量011,,,j k -R R R 由矩阵方程0112210()()2()(1)()0j j j j j j k j k k j k λλλλ--⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER (3.34)所确定.取遍所有的(1,2,,)j j m λ=,则得到(3.20)的一个基本解组.证明 由定理3.14知,若j λ是(3.20)的j k 重特征根,则对应解有(3.30)的形式.将(3.33)代入方程组(3.20)有21121011[2(1)]()j j j j j j k x k x j k j k x k xe x x e λλλ----+++-++++R R R R R R 1011()j j j k x k A x x e λ--=+++R R R消去j x e λ,比较等式两端x 的同次幂的系数(向量),有0112211()()2()(1)()0j j j j j j k j k j k k λλλλ---⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A ER (3.35)注意到方程组(3.35)与(3.34)是等价的.事实上,两个方程组只有最后一个方程不同,其余都相同.(3.35)与(3.34)同解的证明请见教材.这样,在方程组(3.31)中,首先由最下面的方程解出0R ,再依次利用矩阵乘法求出121,,,j k -R R R . 由引理3.1得知,线性空间V 可分解成相应不变子空间的直和,取遍所有的(1,2,,)j j m λ=,就可以由(3.34)最下面的方程求出n 个线性无关常向量,再由(3.31)逐次求出其余常向量,就得到(3.20)的n 个解. 记这n 个解构成的解矩阵为()x Y ,显然,(0)Y 是由(3.34)最下面的方程求出的n 个线性无关常向量构成,由引理3.1的2)矩阵(0)Y 中的各列构成了n 维线性空间V 的一组基,因此det (0)0≠Y ,于是()x Y 是方程组(3.20)的一个基本解组.例3 求解方程组123213312dy y y dx dy y y dxdy y y dx ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 系数矩阵为011101110⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 特征方程为2(2)(1)0λλ-+=特征根为 1232, 1.λλλ===-其中12λ=对应的解是211()11x x e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 下面求231λλ==-所对应的两个线性无关解.由定理3.15,其解形如陇东学院数学系常微分方程精品课程教案01()()x x x e -=+Y R R并且01,R R 满足0120()()0=⎧⎨=⎩A +E R R A +E R 由于111()111,111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 2333()333333⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 那么由20()0=A +E R 可解出两个线性无关向量11,0-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 101-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦将上述两个向量分别代入01()=A +E R R 中,均得到1R 为零向量.于是231λλ==-对应的两个线性无关解是21()1,0x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 31()01x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 最后得到通解2123111()110101x x x x C e C e C e ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Y 例4 求解方程组11232123312332dy y y y dx dy y y y dxdy y y y dx⎧=+-⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=++⎪⎩ 解 系数矩阵是311121111-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程为3(2)0λ-= , 有三重特征根1,2,32λ=由定理3.15,可设其解形如22012()()xx x x e =++Y R R R012,,R R R 满足方程组0121230(2)(2)(2)-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩A E R R A E RR A E R 0由于23111101000(2)101,(2)000,(2)000111101000--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A E A E A E 故0R 可分别取10,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 01,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦陇东学院数学系常微分方程精品课程教案再将它们依次代入上面的方程,相应地求得1R 为11,1⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10,1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2R 为120,12⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 00,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是,可得原方程组三个线性无关解 22212111012()010,()10,011012x x Y x x x e Y x x e ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦2231012()0101112xY x x x e ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦最后方程的通解可写成22112222233111()22()1()11122x x x x x x y x C y x e x x C y x C x x x x x ⎡⎤+--+⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--+⎢⎥⎣⎦本讲要点:1 . 常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A的特征根和特征向量。

常系数线性微分方程组

常系数线性微分方程组

et r1 ,e2t r2 ,e2t r3


0
e2t
et e2t
故通解为
et 0
x(t)
X (t)C


0
e2t
e2t 0

c1 c2

et e2t 4e2t c3
e2t
0

4e2t
1 c1 0 et
的特解是线性无关的.
dx Ax (1) dt
2009年6月
南京航空航天大学 理学院 数学系
20
说明1: 当A只有一个特征值时,则方程组(1)
必有n个形如
t
t2
x(t ) (r0 1! r1 2! r2

t n1 (n 1)!
rn1
)et
rj ( A E)rj1 j 1,2,...,n 1
假设n n矩阵A的特征值为1,2 , ,s;相应重数为
n1, n2 , , ns ,且n1 n2 ns n.
若属于i的线性无关特征向量个数<ni 如何确定常系数线性微分方程组(1)的ni个 线性无关的特解?
2009年6月
南京航空航天大学 理学院 数学系
19
定理3.2 设i是矩阵A的ni重特征值,则 (1)解空间Ui {r U | ( A i E )ni r 0}的维数为ni;
故对应于1 1的全体特征向量为
kr 1
(k 0).
2009年6月
南京航空航天大学 理学院 数学系
16
当2 3 2时,解方程 A 2E x 0.

4 A 2E 0
1 0

第三章一阶线性微分方程组

第三章一阶线性微分方程组

含有n个未知函数
的一阶微分方程组的一般形式为:
(3.1) 方程组(3.1)在 上的一个解,是这样的一组函数
使得在 上有恒等式
含有n个任意常数
的解
称为(3.1)的通解. 如果通解满足方程组
则称后者为(3.1)的通积分. 如果已求得(3.1)的通解或通积分,要求满足初始条件
(3.2) 的解,可以把初始条件(3.2)代入通解或通积分之中,得到关于 的n个方程式,如果从其中解得 ,再代回通解或通积分中,就得到所求的初值问题的解.
。 定理的证明方法与定理2.2完全类似,也是首先证明(3.4)与积分方程
(3.5) 同解.为证(3.5)的解在
上的存在性,同样用逐次逼近法,其步骤可以逐字逐句重复定理2.2的证明.最后, 唯一性的证明,同样用贝尔曼不等式完成。 对于方程组(3.3)也有类似第二章关于纯量方程(1.9)的解的延展定理和解对初 值的连续依赖性定理,这只要在第二章相应定理中把纯量y换成向量Y即可。
是方程组
的基本解组. 定理3.5 方程组(3.8)必存在基本解组. 证明 由定理(3.1)′可知,齐次方程组(3.8)必存在分别满足初始条件
(3.11) 的n个解
.由于它们所构成的朗斯基行列式W
因而,由推论3.3知
是基本解组. 满足初始条件(3.11)的基本解组称为方程组(3.8)的标准基本解组.下面我们可以给出齐次方程组(3.8)的基本定理了. 定理3.6 如果 是齐次方程组(3.8)的基本解组,则其线性组合
是非齐方程组(3.7)的任意两个解,即有等式

于是有
上式说明
是齐次方程组(3.8)的解. 定理3.10 线性非齐次方程组(3.7)的通解等于其对应的齐次方程组(3.8)的通解与方程组(3.7)的一个特解之和.即若

常系数线性微分方程组的解法

常系数线性微分方程组的解法


A k ck ,
t c,
k!
k!

而数项级数
A k ck
k 1 k !
收敛 .
常系数线性方程组
2 矩阵指数的性质
(1) 若AB BA,则eAB eAeB. (2) 对任何矩阵A, (exp A)1存在,且
(exp A)1=exp(-A). (3) 若T是非奇异的,则
exp(T-1AT ) T-1(exp A)T.
,

0.
常系数线性方程组
例4
试求矩阵A=
2 1
1 4
特征值和特征向量.
解 特征方程为
det(
E

A)



1
2
1
4

2
6
9

0
因此 3为两重特征根, 为求其对应的特征向量
考虑方程组
1
(E A)c 1
1 1
c1 c2
例3
试求矩阵A=
3 5
5 3
特征值和特征向量.
解 A的特征值就是特征方程
det( E

A)



5
3
5
3

2

6

34

0
的根, 1 3 5i, 2 3 5i.
常系数线性方程组
对特征根1 3 5i的特征向量u (u1,u2 )T 满足
§4.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t), dt
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t)在

4.2(1)常系数线性微分方程的解法详解

4.2(1)常系数线性微分方程的解法详解
dt
t t0
易验证
d dt
( z1 (t )
z2 (t))
dz1(t) dt
dz2 (t) dt
d dt
[cz1
(t
)]
c
dz1(t dt
)
d dt
(z1(t)
z2 (t))
dz1(t) dt
z2 (t)
z1(t)
dz2 (t) dt
如 z j (t) j (t) i j (t) j 1,2 t [a,b],
dx dt
an x
0
…….(4.19)
x(m) ( ye1t )(m)
y( e m) 1t
1my(m1)e1t
m(m 1) 2!
y e 2 (m2) 1t 1
1m ye1t
L[ ye1t ]
e1t ( y(n) b1 y(n1) b2 y(n2) bn1 y bn y) 0
P1(t) P2 (t)e(2 1)t Pm (t)e(m 1)t 0
微分 k1 次
[Pr (t)e(r 1)t ](k1)
[Pr(k1) (t)
k1(r
1
)
P(k1 r
1)
(t
)
(r
1)k
Pr
(t)]e(r
1 )t
Qr (t)e(r 1)t
(Qr (t)) (Pr (t))
Q2 (t)e(2 1)t Qm (t)e(m 1)t 0
及 v(t) 都是实函数。那么这个解的实部 U (t) 和虚部
V (t) 分别是方程
dnx dt n
a1
(t)
d n1 x dt n1
an1 (t)
dx dt

一阶线性微分方程组解析

一阶线性微分方程组解析

第4章 一阶线性微分方程组一 内容提要1. 基本概念一阶微分方程组:形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(2121222111n n n nn y y y x f dxdy y y y x f dxdy y y y x f dx dy (3.1) 的方程组,(其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数)叫做一阶微分方程组。

若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式),,2,1))((,),(),(,()(21n i x y x y x y x f dxx dy n i i ==成立,则)(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n nn C C C x y C C C x y C C C x y ϕϕϕ 称为(3.1)通解。

如果通解满方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=Φ=Φ=Φ0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n nn n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x则称这个方程组为(3.1)的通积分。

满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解,叫做初值问题的解。

令n 维向量函数Y )(x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x y x y x y n ,F (x ,Y )=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),,,,( ),,,,(),,,,(21212211n nn n y y y x f y y y x f y y y x f⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=dx dy dx dy dx dy dx x dY n )(21,⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x n x x x x dx x f dx x f dx x f x F 0000)( )()()(21 则(3.1)可记成向量形式),,(Y x F dxdY= (3.2) 初始条件可记为Y (0x )=0Y ,其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=no y y y Y 20100 则初值问题为:⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(Y x Y Y x F dxdY(3.3) 一阶线性微分方程组:形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=)()()()( )()()()()()()()(21211222221212112121111x f x a y x a y x a dxdy x f x a y x a y x a dx dy x f x a y x a y x a dx dy n nn n n n n n (3.4)的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组.令A (x )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(a )(a )(a )(nn n11n 11x x x x a 及F ()x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x f x f x f n 则(3.4)的向量形式:)()(x F Y x A dx dY+= (3.5) F (0)≡x 时 Y x A dxdY)(= (3.6) 称为一阶线性齐次方程组,(3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。

常系数一阶线性微分方程的解法

常系数一阶线性微分方程的解法

常系数一阶线性微分方程的解法:
常系数一阶线性微分方程的一般形式为:
$$y'+p(t)y=q(t)$$
其中,$y(t)$ 是未知函数,$p(t)$ 和$q(t)$ 是已知的函数。

解决常系数一阶线性微分方程的方法如下:
将$y$ 作为一个未知数,将方程转化为$y'=f(t)y+g(t)$ 的形式,其中$f(t)=-p(t)$,$g(t)=q(t)$。

设$y_0$ 为方程的初始条件,即$y(t_0)=y_0$。

对于$t\in(t_0,t_1)$,则有:
$$y(t)=y_0+\int_{t_0}^t f(s)y(s)+g(s)ds$$对于$t\in(t_1,t_2)$,则有:
$$y(t)=y(t_1)+\int_{t_1}^t f(s)y(s)+g(s)ds$$
以此类推,可以通过递推的方法求解常系数一阶线性微分方程。

常系数一阶线性微分方程的解法是基于递推的原理,通过不断地计算当前时刻的未知函数值$y(t)$,来求解整个时间区间内的未知函数值。

注意,在解决常系数一阶线性微分方程时,需要先确定方程的初始条件$y_0$。

此外,在计算过程中,需要注意求解的时间区间的选择,以及如何确定当前时刻的未知函数值$y(t)$。

在解决常系数一阶线性微分方程时,还可以使用其他的方法,比如求解通解、特解、高阶线性微分方程的通解等。

这些方法都是基于常系数一阶线性微分方程的基本性质,并利用数学工具(如积分、微积分、线性代数等)来求解。

常系数线性微分方程的解法PPT课件

常系数线性微分方程的解法PPT课件
第6页/共63页
2、复值函数在点有导数的定义
如果 lim z(t) z(t0 )
t t0
t t0
极限存在,就称z(t)在t 0
微),且记此极限dz为(t0 ) dt
z或(者t0 )

点有导数(可
显然z(t) 在t 0 处有导数相当于(t) ,(t) 在t 0 处有导数,且
dz(t0 ) d(t0 ) i d(t0 )
x 化 为ye第一1t 种情况。
再构成线性无关的函数组:
e1 t , te1 t , t e2 1 t , , t k1 e 1 1 t
第22页/共63页
特征根 2 , 3 ,,的重m数分别为:
k2 , k3,, km ; ki 1
则有线性无关的函数组:
e1 t , te1 t , t 2e1 t , e2t , te2t , t e2 2t , emt , temt , t 2emt ,
(n a1n1 an1 an )et F ()et
要(4.20)是方程(4.2)的解的充要条件为:
F () n a1 n1 an1 an 0 (4.21)
称(4.21)是方程(4.19)的特征方程,它的根称为特征根。
第16页/共63页
于是有
求解常系数线性微分方程问题
L[ x]
dt
dt
dt
第7页/共63页
3、复值函数的微分运算性质
dz dt
[ z1 (t )
z2
(t)]
dz1(t) dt
dz2 (t) dt
线性性
dz dt
[c
z1
(t
)]
c
dz1(t dt
)
乘积性

一阶线性微分方程的解法

一阶线性微分方程的解法

一阶线性微分方程的解法一、引言微分方程是数学中的一种重要工具,用于描述自然界中的各种变化规律。

其中,一阶线性微分方程是最基本、最常见的微分方程类型之一。

本文旨在介绍一阶线性微分方程的解法,包括常数变易法和常系数法两种方法。

二、常数变易法常数变易法是一种求解一阶线性非齐次微分方程的常用方法。

设待解方程为:$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$其中,$P(x)$和$Q(x)$是已知函数,$y$是未知函数。

1. 求解齐次方程将方程改写为:$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$$解这个方程得到齐次方程的通解$y_h$。

2. 特解的猜测对于非齐次方程,我们猜测其特解为$y_p=u(x)y_h$,其中$u(x)$是待定函数。

3. 求解待定函数将$y_p$代入原方程,解得待定函数$u(x)$。

4. 得到通解将齐次方程的通解$y_h$与特解$y_p$相加,得到原方程的通解$y=y_h+y_p$。

三、常系数法对于具有形如$\frac{dy}{dx}+ay=b$的一阶线性非齐次微分方程,我们可以使用常系数法进行求解。

1. 求解齐次方程将方程改写为$\frac{dy}{dx}+ay=0$,解这个方程得到齐次方程的通解$y_h$。

2. 特解的猜测对于非齐次方程,我们猜测其特解为$y_p=C$,其中$C$是常数。

3. 求解待定常数将$y_p$代入原方程,解得待定常数$C$。

4. 得到通解将齐次方程的通解$y_h$与特解$y_p$相加,得到原方程的通解$y=y_h+y_p$。

四、实例分析现以一个具体的例子来说明一阶线性微分方程的解法。

考虑方程$\frac{dy}{dx}+2xy=x^2$,我们首先求解齐次方程$\frac{dy}{dx}+2xy=0$,得到齐次方程的通解$y_h=Ce^{-x^2}$,其中$C$为常数。

然后猜测非齐次方程的特解为$y_p=Ax^2$,将其代入原方程,得到待定常数$A=\frac{1}{2}$。

常系数线性微分方程组的解法

常系数线性微分方程组的解法
结论 微分方程组(5.33)有非零解如)=e〃的充要条件 人是是矩阵4的特征根,c是与4对应的特征向量.
即(p(t)二泌为(5.33)解o (肛-A)c = 0,有非零解
例3试求矩阵入= 特征值和特征向量.
-5 3
解掘特征值就是特征方程
与—3 ~5 一
det(4E — A) =
— X2 — 62 + 34 = 0
常系数线性方程组
筒壬一页帛啊下一页「'惭返回'
证明:由上面讨论知,每一个向量函数
都是(5①.3⑺3)/=的'v[e解j气=,,因le,2外此,・2矩,・阵…・,,n/"J* ]
是(5.33由)的于解*,矩V阵2,,v〃线性无关, de所t 0以(0 = det(e%i, e^v2,…,e^vn)。0 故①⑴是(5.33)的基解矩阵

(2) ^AB^BA^\eA+B =eAeB.
对任何矩阵A,(expA)T存在,且
(expA)"1=exp (-A).
(3) 若『是非奇异的,则 exp (T-1AT) = T-1(expA)T.
3常系数齐线性微分方程组的基解矩阵
(1)定理9矩阵
(0)二E.
0(0 = exp At 是(5.33)的基解矩阵,且①

类似第四章4.2.2,寻求
尤=Ax, (5.33)
形 口 (p(f) — e%c,c。0, (5.43)
的解,其中常数人和向量c是待定的
将(5.43)代入(5.33)得 人 = Ae^c,
因泌、0,上式变为 (2E - A)c = 0, (5.44)
方程(5.44)有非零解的充要条件是
det(2E -A) = 0,

常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的简介
常系数线性微分方程是微分方程的一种形式,其特点是方程中的未知函数和其导数都是一次的,且系 数是常数。
这种类型的微分方程在解决实际问题中非常有用,因为它们能够描述许多自然现象和系统的动态行为 。
解法的历史背景和发展
早期解法
在17世纪,数学家开始研究常系数线性微分方程的解法,如牛顿 和莱布尼茨等。
经济学问题
根据经济学原理和经济数据,建立微分方程 描述经济系统的变化趋势。
几何问题
通过几何图形和空间关系,建立微分方程描 述物体的运动轨迹。
生物学问题
根据生物学原理和实验数据,建立微分方程 描述生物种群的增长规律。
常系数线性微分方程的一般形式
y'' + p*y' + q*y = f(x)
其中,y''表示y的二阶导数,p和q是常数,f(x)是x的函数。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量代换,将微分方程转化为 更容易求解的形式。
详细描述
首先,选择一个新的变量代换,将微分方程 中的未知函数表示为这个新变量的函数。然 后,将这个新变量的函数代入微分方程,得 到一个更容易求解的方程。最后,对方程进 行求解,得到未知函数的通解。
积分因子法
总结词
通过寻找一个积分因子,将微分方程转化为 一个更简单的方程,从而求解。
数值解法
对于难以解析求解的方程,可以采 用数值方法进行近似求解,如欧拉
法、龙格-库塔法等。
A
B
C
D
人工智能算法
结合人工智能技术,如神经网络、遗传算 法等,可以提供新的求解思路和方法。
自适应算法
根据问题的具体情况,采用自适应算法可 以更好地控制求解精度和计算量。

(整理)常系数线性微分方程的解法

(整理)常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法摘要:本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合,举出了每个方法的例题,以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词:特征根法;常数变易法;待定系数法Method for solving the system of differential equationwith Constant Coefficients LinearAbstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysisand synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution.Key Words: Characteristic root ;Variation law ;The undetermined coefficientmethod前言:常系数性微分方程因形式简单,应用广泛,解的性质及结构已研究的十分清楚,在常微分方程中占有十分突出的地位。

它的求解是我们必须掌握的重要内容之一,只是由于各种教材涉及的解法较多,较杂,我们一般不易掌握,即使掌握了各种解法,在具体应用时应采用哪种方法比较适宜,我们往往感到困难。

本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较,让我们能更好的解常系数线性微分方程。

1.预备知识 复值函数与复值解如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ,有复值()()()z t t i t ϕψ=+与它对应,其中()t ϕ和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ϕ,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义()()()0lim lim lim t t t t t t z t t i t ϕψ---=+.如果()()00lim t t z t z t -=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ϕ,()t ψ在0t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每一点都连续时,就称()z t 在区间a tb ≤≤上连续.如果极限()()000limt t z t z t t t ---存在,就称()z t 在0t 有导数(可微).且记此极限为()0dz t dt或者()'0z t ,显然()z t 在0t 处有导数相当于()t ϕ,()t ψ在0t 处有导数,且()()()000dz t d t d t i dt dt dtϕψ=+. 如果()z t 在区间a t b ≤≤上每点都有导数,就称()z t 在区间a t b ≤≤上有导数.对于高阶导数可以类似地定义.设()1z t ,()2z t 是定义在a t b ≤≤上的可微函数,c 是复值常数,容易验证下列等式成立:()()()()1212dz t dz t dz t z t dt dt dt +=+⎡⎤⎣⎦,()()11dz t d cz t c dt dt⎡⎤=⎣⎦, ()()()()()()122211dz t dz t d z t z t z t z t dt dt dt⎡⎤•=•+⎣⎦. 在讨论常系数线性微分方程时,函数Kt e 将起着重要的作用,这里K 时复值常数.我们现在给出它的定义,并且讨论它的简单性质。

第四讲:常微分方程(

第四讲:常微分方程(

第四讲:常微分方程(一)一阶微分方程1. 知识范围(1)微分方程的概念:微分方程的定义阶解通解初始条件特解(2)可分离变量的方程(3)一阶线性方程2. 要求(1)理解微分方程的定义,理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。

(2)掌握可分离变量方程的解法。

(3)掌握一阶线性方程的解法。

(二)可降价方程1. 知识范围(1)y(n)= ƒ(x)型方程(2)y″= ƒ(x,y′)型方程2. 要求(1)会用降价法解(1)y(n)= ƒ(x)型方程(2)会用降价法解y″= ƒ(x,y′)型方程(三)二阶线性微分方程1. 知识范围(1)二阶线性微分方程解的结构(2)二阶常系数齐次线性微分方程(3)二阶常系数非齐次线性微分方程2. 要求(1)了解二阶线性微分方程解的结构。

(2)掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

(3)掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法(自由项限定为ƒ(x)=Pn (x)为x的n次多项式。

α为实常数;ƒ(x)e ax(Acos (x)e ax,其中Pnβx + Bsinβx),其中α、β、A、B为实常数)。

知识点讲授一、一阶微分方程(一)介绍有关概念:(1)凡含有未知函数的导数(或微分)的方程,称为微分方程.若未知函数只含有一个自变量,这样的微分方程称为常微分方程;(2)微分方程的阶:微分方程中所含未知函数导数的最高阶数,称为微分方程的阶.(3)微分方程的解:在研究实际问题时,首先建立微分方程,然后设法找出满足微分方程的函数,也就是说,要找到这样的函数,将其代入微分方程后,能使该方程成为恒等式,这个函数叫做微分方程的解.求微分方程解的过程,叫做解微分方程.(4)微分方程的通解:如果微分方程的解中包含有任意常数,并且独立的(即不可合并而使个数减少)任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解称为微分方程的通解.(5)微分方程的特解:通解中任意常数取某一特定值时,所得到的解称为微分方程的特解.确定通解中任意常数的附加条件叫微分方程的初值条件.该特解又叫满足初值条件的特解.(6)形如d()()dyP x y Q xx+=(1)的微分方程称为一阶线性微分方程,其中()P x,()Q x都是自变量x的已知函数,()Q x称为自由项.所谓“线性”指的是,方程中关于未知函数y及其导数y'都是一次式.当()0Q x≠时,称方程(1)称为一阶线性非齐次微分方程;当()0Q x≡时,方程(1)变为d()0dyP x yx+=.(2)称方程(2)为方程(1)所对应的一阶线性齐次微分方程.例1 求微分方程32d x y x=的通解. 解 将所给方程分离变量,得3d 2d yx x y=, 两端积分,有3d 2d yx x y=⎰⎰, 积分后,得411ln 2y x C =+, 从而有44111122ee ex C x C y +==⋅即4112e ex C y =±⋅,由于1e C ±仍是任意常数,把它记作C .于是所给方程的通解为412e x y C =.例2 求微分方程2ln 01y xxy y '-=+的通解. 解 将所给方程分离变量,得21ln d d y xy x y x+=,两端积分,有21ln d d y xy x y x+=⎰⎰,积分后,得22111ln (ln )22y y x C +=+, 即有2212ln (ln ) (2)y y x C C C +-==.例3 求微分方程22sin d (3)cos d 0x y x x y y ++=满足初值条件1π6x y ==的特解. 解 先求方程的通解.将所给方程分离变量,得2cos 2d d sin 3y xy x y x =-+. 等式两端分别积分,有2cos 2d d sin 3y xy x y x =-+⎰⎰, 积分后,得2lnsin ln(3)ln y x C =-++. 从而有2(3)sin x y C +=.下面再来求满足所给初值条件的特解,把初值条件1π6x y ==代入上面的通解中,得2π(13)sin6C +=,即2C =.于是,所求特解为2(3)sin 2x y +=.例4 求微分方程22d d d d y yx xy y x x=-的通解. 解 将原方程化为222d d 1y y y x y x xy x x⎛⎫ ⎪⎝⎭==--, 令y u x =,则y ux =,d d d d y uu x x x=+,将它们代入上面的方程,原方程化为 2d d 1u u u x x u +=-,即d d 1u u xx u =-. 分离变量,得111d d u x u x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,两端积分,得111d d u x u x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰⎰,解得ln ln ln u u x C -=+,即e u Cux =.将yu x=代入上式,得所给方程通解为e yx Cy =.例5 求微分方程d 2tan d y x y x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足初值条件2π2x y ==的特解.解 先求所给方程的通解.将原方程改写为d 2tan d y y y x x x=+. 令y u x =,则y ux =,d d d d y uu x x x=+.将它们代入上面的方程,原方程可化为 d 2tan d u u x u u x+=+,即d 2tan d ux u x=, 分离变量后得2cot d d u u x x =.两端积分,得2cot d d u u x x =⎰⎰,得ln sin 2ln ln u x C =+,即2sin u Cx =.用y u x =代入上式,便得所给方程的通解为2sin yCx x=.为了求出满足所给初值条件的特解,再把初值条件2π2x y ==代入通解中,得πsin4, 48C C ==,故得所求的特解为2sin8y x x =.或2arcsin 8y x x =..方法一【常数变易法】.(1) 求出对应的线性齐次微分方程(2)的通解; (2) 用常数变易法或用公式求方程(1)的通解.先求线性非齐次微分方程(1)所对应的线性齐次微分方程(2)的通解. 分离变量,得d ()d yP x x y=-, 两端积分,并把任意常数写成ln C 的形式,得ln ()d ln y P x x C =-+⎰,化简后即得线性齐次微分方程的通解为()d e P x xy C -⎰= 其中C 是任意常数.再设()d ()e P x xy C x -=⎰是方程(1)的解:.将()d ()e P x x y C x -⎰=及()d ()d ()e ()e )[()]P x x P x xy C x C x p x --⎰⎰''=+- 代入方程(1),()d ()d ()d ()e ()e)[()]()()e ()P xx P xx P xx C xCx px Px Cx Qx---⎰⎰⎰'+-+=,整理,得()d ()()e P x xC x Q x ⎰'=,两边积分,得()d ()()e d P x xC x Q x x C ⎰=+⎰.则()d ()d e ()e d P x x P x x y Q x x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 是方程的通解. 方法二【公式法】.()d ()d e ()e d P x x P x x y Q x x C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰ 例6 求微分方程 d (e )d 0x x y y x x -+-=的通解.解法1 当0x ≠时,将所给方程化为d 1e d x y y x x -+= 其对应的线性齐次微分方程为 d 10d y y x x+=,分离变量,得d d y xy x=-,两端积分,得ln ln ln y x C =-+, 化简后,即得对应齐次方程的通解为Cy x=. 设方程的解为()C x y x=, 其中()C x 为待定函数.对x 求导,得2d ()()d y C x C x x x x'=-.代入方程,化简后得()e x C x x -'=, 积分,得()e d e e (1)e x x x x C x x x x C x C ----==--+=-++⎰, 即得所给微分方程的通解为 1(1)e (0)x y x C x x-⎡⎤=-++≠⎣⎦. 解法2 直接利用公式.由方程可知,1(), ()e x P x Q x x-==。

常系数微分方程组的解法

常系数微分方程组的解法
幂级数法
将高阶线性微分方程转化为幂级数形式,然后通过幂 级数的性质求解方程。
高阶非线性微分方程的解法
分离变量法
将非线性微分方程转化为多个一阶微分方程 ,然后分别求解。
迭代法
通过迭代公式逐步逼近非线性微分方程的解。
数值解法
利用数值计算方法求解非线性微分方程的近 似解,如欧拉法、龙格-库塔法等。
05
解决微分方程组对于理解复杂系统的 行为和预测未来发展趋势具有重要意 义。
常系数微分方程组的定义
常系数微分方程组是指方程中的系数 为常数的一类微分方程组。
常系数微分方程组的一般形式为 dy/dx = f(x, y),其中 f(x, y) 是已知 的函数。
02
线性常系数微分方程组的解法
特征根法
总结词
神经传导
在神经传导过程中,微分方程组可以用来描述神 经信号的传递速度和传导通路的建立。
生态系统的稳定性
微分方程组可以用来分析生态系统的稳定性,如 物种之间的相互作用和生态平衡的维持。
THANKS
感谢观看
特征根法是一种通过解方程的特征方程来求解线性常系数微 分方程组的方法。
详细描述
特征根法的基本思想是,对于形如$y'' + py' + qy = 0$的一阶 线性常系数微分方程,通过求解其特征方程$lambda^2 + plambda + q = 0$,得到其特征根$lambda_1$和 $lambda_2$,然后利用这些特征根来求解原微分方程。
线性微分方程的方法。
02
通过将多个变量分离,可以将一个复杂的微分方程组
分解为多个简单的微分方程,从而简化求解过程。
03

常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法在微积分学中,常系数线性微分方程是一类重要的微分方程,其形式为:\[a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1y' + a_0y = 0\]其中,\(y^{(n)}\) 表示 \(y\) 的 \(n\) 阶导数,\(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0\) 是常数系数。

解常系数线性微分方程有多种方法,下面将介绍其中两种常见的解法:特征根法和常数变易法。

一、特征根法特征根法是解常系数线性微分方程的一种常用方法。

它的基本思想是假设解具有指数形式:\[y = e^{rx}\]其中,\(r\) 是待定的常数。

代入微分方程得:\[a_nr^n e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1}e^{rx} + \cdots + a_1re^{rx} +a_0e^{rx} = 0\]化简后得:\[e^{rx}(a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_1r + a_0) = 0\]由指数函数的性质可知,对于任意 \(x\),\(e^{rx} \neq 0\),因此上式成立等价于:\[a_nr^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_1r + a_0 = 0\]这个方程被称为特征方程。

解特征方程,求得所有的根 \(r_1, r_2, \ldots, r_n\)。

根据根的个数和重数,我们可以得到不同类型的解:1. 根为实数如果根 \(r\) 是实数,那么相应的解为:\[y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} + \cdots + C_ne^{r_nx}\]其中,\(C_1, C_2, \ldots, C_n\) 是待定常数。

2. 根为复数如果根 \(r\) 是复数,那么相应的解为:\[y = e^{\alpha x}(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x))\]其中,\(\alpha\) 和 \(\beta\) 是复数的实部和虚部,\(C_1\) 和 \(C_2\) 是待定常数。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

第四讲 常系数线性微分方程组的解法(4课时)一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点:常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点:常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法:讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段:传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程:1 新课引入由定理3.6我们已知道,求线性齐次方程组(3.8)的通解问题,归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8),如何求出基本解组,至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组dYAY dx= (3.20) 其中A 是n n ⨯实常数矩阵,借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数,可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法,因为它比较直观.由线性代数知识可知,对于任一n n ⨯矩阵A ,恒存在非奇异的n n ⨯矩阵T ,使矩阵1T AT -成为约当标准型. 为此,对方程组(3.20)引入非奇异线性变换Y TZ = (3.21)其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为1dZT ATZ dx-= (3.22) 我们知道,约当标准型1T AT -的形式与矩阵A 的特征方程111212122212det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λλλλ---==-的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵A 的特征根.下面分两种情况讨论.(一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ 这时12100n T AT λλλ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦方程组(3.20)变为11122200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦(3.23) 易见方程组(3.23)有n 个解1110(),00x Z x e λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 220010(),,()0001n x xn Z x e Z x e λλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦把这n 个解代回变换(3.21)之中,便得到方程组(3.20)的n 个解12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1,2,,)i n =这里i T 是矩阵T 第i 列向量,它恰好是矩阵A 关于特征根i λ的特征向量,并且由线性方程组()0i i A E T λ-=所确定. 容易看出,12(),(),,()n Y x Y x Y x 构成(3.20)的一个基本解组,因为它们的朗斯基行列式()W x 在0x =时为(0)det 0W T =≠. 于是我们得到定理3.11 如果方程组(3.20)的系数阵A 的n 个特征根12,,,,n λλλ 彼此互异,且12,,,n T T T 分别是它们所对应的特征向量,则121122(),(),,()n xxxn n Y x e T Y x e T Y x e T λλλ=== 是方程组(3.20)的一个基本解组. 例1 试求方程组353dxx y z dt dyx y z dt dzx y z dt ⎧=-+⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=-+⎪⎩的通解.解 它的系数矩阵是311151313A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦特征方程是311det()1510313A E λλλλ---=---=--即 321136360λλλ-+-=所以矩阵A 的特征根为1232,3,6λλλ===.先求12λ=对应的特征向量1a T b c ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,,a b c 满足方程1111()1310111a a A E b b c c λ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即0300a b c a b c a b c -+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩可得,0a c b =-=. 取一组非零解,例如令1c =-,就有1,0,1a b c ===-. 同样,可求出另两个特征根所对应的特征向量,这样,这三个特征根所对应的特征向量分别是110,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 211,1T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 3121T ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦故方程组的通解是236123()111()012()111t t t x t y t C e C e C e z t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(二) 常系数线性微分方程组的解法复特征根 从上一讲我们已经知道,求解方程组dYAY dx= (3.20) 归结为求矩阵A 的特征根和对应的特征向量问题.现在考虑复根情形.因为A 是实的矩阵,所以复特征根是共轭出现的,设1,2i λαβ=±是一对共轭根,由定理3.11,对应解是111(),x Y x e T λ= 222()x Y x e T λ=其中12,T T 是特征向量,这是实变量的复值解,通常我们希望求出方程组(3.20)的实值解,这可由下述方法实现.定理3.12 如果实系数线性齐次方程组()dYA x Y dx= 有复值解()()()Y x U x iV x =+其中()U x 与()V x 都是实向量函数,则其实部和虚部12()()(),()n u x u x U x u x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12()()()()n v x v x V x v x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦证明 因为()()()Y x U x iV x =+是方程组(3.8)的解,所以[]()()()()d dU x dV x U x iV x i dx dx dx+≡+ ()[()()]()()()()A x U x iV x A x U x iA x V x ≡+≡+由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等,所以上述恒等式表明:()()()dU x A x U x dx = , ()()()dV x A x V x dx= 即()U x ,()V x 都是方程组(3.8)的解.证毕.定理3.13 如果12(),(),,()n Y x Y x Y x 是区间(,)a b 上的n 个线性无关的向量函数,12,b b 是两个不等于零的常数,则向量函数组112[()()],b Y x Y x + 212[()()],b Y x Y x - 3(),,()n Y x Y x (3.24) 在区间(a, b )上仍是线性无关的.证明 (反证法) 如果(3.24)线性相关,那么依定义3.1存在n 个不全为零的常数12,,,n C C C ,使得对区间(,)a b 上的所有x 皆有1112221233[()()][()()]()()0n n C b Y x Y x C b Y x Y x C Y x C Y x ++-+++≡ 所以112211122233()()()()()()0n n C b C b Y x C b C b Y x C Y x C Y x ++-+++≡因为12(),(),,()n Y x Y x Y x 线性无关,从而11220,C b C b += 11220,C b C b -= 30,,0n C C ==从上式可知,11220C b C b ==, 因为12,0b b ≠, 故120C C ==. 即所有常数12,,,n C C C 都等于零,矛盾. 证毕.由代数知识知, 实矩阵A 的复特征根一定共轭成对地出现.即,如果a ib λ=+是特征根,则其共轭a ib λ=-也是特征根. 由定理3.11,方程组(3.20)对应于a ib λ=+的复值解形式是1111222122()()()112()a ib x a ib x a ib x n n n t t it t t it x e T e e t t it ++++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦1Y1112212212(cos sin )axn n t it t it e bx i bx t it +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦11121211212222211221cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin ax ax n n n n t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx t bx eie t bx t bx t bx t bx -+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦这里1T 是对应于a ib λ=+的特征向量.由于矩阵A 是实的,所以上述向量的共轭向量是方程组(3.20)对应于特征根a ib λ=-的解,记作()2(),a ib x x e -=2Y T =21T T . 现将上述两个复值解,按下述方法分别取其实部和虚部为1112212212cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e t bx t bx -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦12Y Y 1211222121cos sin cos sin 1[()()]2cos sin ax n n t bx t bx t bx t bx x x e it bx t bx +⎡⎤⎢⎥+⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦12Y Y由定理3.12和定理3.13,它们分别是方程组(3.20)的解, 并且由此得到的n 个解仍组成基本解组.例2 求解方程组3dxx y z dt dyx y dt dzx z dt ⎧=--⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 它的系数矩阵为111110301--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程是111det()110301λλλλ----=--A E 即2(1)(25)0λλλ--+=特征根为11,λ= 2,312i λ=±先求11λ=对应的特征向量为1011⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦T再求212i λ=+所对应的特征向量2T . 它应满足方程组2211((12))120302i a i i b i c ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A E T 0即2020320ia b c a bi a ci ⎧---=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩ 用2i 乘上述第一个方程两端,得422020320a bi ci a bi a ci ⎧--=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪⎩显见,第一个方程等于第二与第三个方程之和. 故上述方程组中仅有两个方程是独立的,即20320a bi a ci -=⎧⎨-=⎩求它的一个非零解.不妨令2,a i = 则1,3b c ==. 于是212i λ=+对应的解是(12)222sin 22cos 21(cos 2sin 2)1cos 2sin 2333cos 23sin 2i t t t t i i t t e e t i t e t ie t t t +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故原方程组的通解为123()02sin 22cos 2()1cos 2sin 2()13cos 23sin 2t t t x t t t y x C e C e t C e t z x t t -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(三) 矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11,我们已经知道,当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时,其基本解组的求解问题,归结到求这些特征根所对应的特征向量. 然而,当矩阵A 的特征方程有重根时,定理3.11不一定完全适用,这是因为,若i λ是A 的i k 重特征根,则由齐次线性方程组()i i λ-=A E T 0所决定的线性无关特征向量的个数i γ, 一般将小于或等于特征根i λ的重数i k . 若i γ=i k ,那么矩阵A 对应的约当标准型将呈现对角阵,其求解方法与3.5.1情形相同.若i γ<i k ,由线性代数的知识,此时也可以求出i k 个线性无关的特征向量,通常称为广义特征向量,以这些特征向量作为满秩矩阵T 的列向量,可将矩阵A 化成若当标准型121m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-J J T AT J其中未标出符号的部分均为零无素,而1010i ii i λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J (1,2,,)i m =是i k 阶约当块,12,m k k k n +++= 12,,,m λλλ 是(3.20)的特征根,它们当中可能有的彼此相同.于是,在变换(3.21)下方程组(3.20)化成12m d dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦J J Z Z J(3.25) 根据(3.25)的形式,它可以分解成为m 个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题,我们通过一个具体重根的例子,说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构.对于一般情形,其推导是相似的.设方程组d Dx=YAY (3.26) 中A 是5.5矩阵,经非奇异线性变换=Y TZ 其中()(,1,2,,5)ij t i j ==T 且det 0≠T ,将方程组(3.26)化为d dx=ZJZ (3.27) 我们假定1112210000100000000010000λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦J 这时,方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组 1112212313dz z z dx dz z dxdz z dx λλλ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩(3.28)4245525dz z z dx dz z dxλλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (3.29) 在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得11123121232332!()xxxC z x C x C e z C x C e z C e λλλ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭=+= 同样对(3.29)可解得2245455()xx z C x C e z C e λλ=+=这里125,,,C C C 是任意常数.由于在方程(3.28)中不出现45,,z z 在(3.29)中不出现123,,z z z .我们依次取12345123451234512345123451,00,1,00,1,00,1,00,1C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C =========================可以得到方程组(3.27)的五个解如下11111121232!0,,00000000x xx x x x x e xe e e xe e λλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Z Z Z , 222450000,000x x x e xe e λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦Z Z 从而1111112222002!000()00000000000x x x x x x x x x x exe e e xe x e e xe e λλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Z (3.31) 是方程组(3.27)的一个解矩阵. 又det (0)10=≠Z ,所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27)的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换Y =TZ 中可得原方程组(3.26)的五个解,1111111211314151,x x x x x t e t e t e t e t e λλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 11111111221222313241425152()(),()()()x x x x x t x t e t x t e t x t e t x t e t x t e λλλλλ⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥+⎢⎥⎢⎥+⎣⎦Y11111211121322122232313323324142432515253()2!()2!()2!()2!()2!x x x x x t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e t x t x t e λλλλλ⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦Y ,222222222214141524242545343435444445545455()(),()()()x x x x x x x x x x t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e t e t x t e λλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦Y Y 而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为,若把上面五个解写成矩阵形式12345()[(),(),(),(),()]x x x x x x =Y Y Y Y Y Y 则显然有det (0)0=≠Y T .至此我们已清楚地看到,若J 中有一个三阶若当块,1λ是(3.26)的三重特证根,则(3.26)有三个如下形式的线性无关解,12345()()()(),1,2,3()()i i i x i i i i p x p x x p x e i p x p x λ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y (3.32) 其中每个()(1,2,3,1,2,3,4,5)ki p x i k ==是x 的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式12012()x x x e λ++R R R其中012,,R R R 都是五维常向量.而对于J 中的二阶若当块,2λ是(3.26)的二重根,它 所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式234()x x e λ+R R其中34,R R 也都是五维常向量.最后,我们还应指出,对于方程组(3.20),若i λ是A 的一个i k 重特征根,则i λ所对应的若当块可能不是一块而是几块,但是它们每一块的阶数都小于或等于i k ,而且这些阶数的和恰好等于i k . 这样,由以上分析我们得到定理3.14 设12,,,m λλλ 是矩阵A 的m 个不同的特征根,它们的重数分别为12,,,m k k k . 那么,对于每一个i λ,方程组(3.20)有i k 个形如1122()(),()(),,()()i i i i i x x x k k x x e x x e x x e λλλ===Y P Y P Y P的线性无关解,这里向量()(1,2,,)i i x i k =P 的每一个分量为x 的次数不高于1i k -的多项式. 取遍所有的(1,2,,)i i m λ= 就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A 的特征根有重根时,线性方程组(3.20)的基本解组的形式,同时也告诉了我们一种求解方法,但这种求解方法是很繁的.在实际求解时,常用下面的待定系数法求解. 为此,我们需要线性代数中的一个重要结论.引理3.1 设n 阶矩阵互不相同的特征根为(1,2,,)i i m λ= ,其重数分别是,1212,,,()m m k k k k k k n +++= , 记n 维常数列向量所组成的线性空间为V ,则(1) V 的子集合{()0,}j kj j λ=-=∈V R A E R R V 是矩阵A 的(1,2,,)j k j m = 维不变子空间,并且(2) V 有直和分解12m =⊕⊕⊕V V V V ;现在,在定理3.14相同的假设下,我们可以按下述方法求其基本解组.定理3.15 如果j λ是(3.20)的j k 重特征根,则方程组(3.20)有个j k 形如1011()()j j j k x k x x x e λ--=+++Y R R R (3.33) 的线性无关解,其中向量011,,,j k -R R R 由矩阵方程0112210()()2()(1)()0j j j j j j k j k k j k λλλλ--⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A E R (3.34)所确定.取遍所有的(1,2,,)j j m λ= ,则得到(3.20)的一个基本解组.证明 由定理3.14知,若j λ是(3.20)的j k 重特征根,则对应解有(3.30)的形式.将(3.33)代入方程组(3.20)有21121011[2(1)]()j j j j j j k x k x j k j k x k x e x x e λλλ----+++-++++R R R R R R1011()j j j k x k A x x e λ--=+++R R R消去j x e λ,比较等式两端x 的同次幂的系数(向量),有0112211()()2()(1)()0j j j j j j k j k j k k λλλλ---⎧-=⎪⎪-=⎪⎨⎪-=-⎪⎪-=⎩A E R R A E R R A E R R A E R (3.35)注意到方程组(3.35)与(3.34)是等价的.事实上,两个方程组只有最后一个方程不同,其余都相同.(3.35)与(3.34)同解的证明请见教材.这样,在方程组(3.31)中,首先由最下面的方程解出0R ,再依次利用矩阵乘法求出121,,,j k -R R R . 由引理3.1得知,线性空间V 可分解成相应不变子空间的直和,取遍所有的(1,2,,)j j m λ= ,就可以由(3.34)最下面的方程求出n 个线性无关常向量,再由(3.31)逐次求出其余常向量,就得到(3.20)的n 个解. 记这n 个解构成的解矩阵为()x Y ,显然,(0)Y 是由(3.34)最下面的方程求出的n 个线性无关常向量构成,由引理3.1的2)矩阵(0)Y 中的各列构成了n 维线性空间V 的一组基,因此det (0)0≠Y ,于是()x Y 是方程组(3.20)的一个基本解组.例3 求解方程组123213312dy y y dx dy y y dxdy y y dx ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩解 系数矩阵为011101110⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 特征方程为2(2)(1)0λλ-+=特征根为 1232, 1.λλλ===-其中12λ=对应的解是211()11x x e ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 下面求231λλ==-所对应的两个线性无关解.由定理3.15,其解形如01()()x x x e -=+Y R R并且01,R R 满足0120()()0=⎧⎨=⎩A +E R R A +E R 由于111()111,111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 2333()333333⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A +E 那么由20()0=A +E R 可解出两个线性无关向量11,0-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 101-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦将上述两个向量分别代入01()=A +E R R 中,均得到1R 为零向量.于是231λλ==-对应的两个线性无关解是21()1,0x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 31()01x x e --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Y 最后得到通解2123111()110101x x x x C e C e C e ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦Y 例4 求解方程组11232123312332dy y y y dx dy y y y dxdy y y y dx ⎧=+-⎪⎪⎪=-++⎨⎪⎪=++⎪⎩解 系数矩阵是311121111-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦A特征方程为3(2)0λ-= , 有三重特征根1,2,32λ=由定理3.15,可设其解形如22012()()x x x x e =++Y R R R012,,R R R 满足方程组0121230(2)(2)(2)-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩A E R R A E RR A E R 0由于23111101000(2)101,(2)000,(2)000111101000--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦A E A E A E 故0R 可分别取10,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 01,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦再将它们依次代入上面的方程,相应地求得1R 为11,1⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 10,1⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2R 为120,12⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 00,0⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是,可得原方程组三个线性无关解 22212111012()010,()10,011012x x Y x x x e Y x xe ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦2231012()0101112x Y x x x e ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦最后方程的通解可写成22112222233111()22()1()11122x x x x x x y x C y x e x x C y x C x x x x x ⎡⎤+--+⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--+⎢⎥⎣⎦本讲要点:1 . 常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A的特征根和特征向量。

相关文档
最新文档