2016-2017学年第二学期天一中学高一数学期中考试试卷
2016-2017学年度第二学期高一数学期中试卷及答
2016-2017学年度第二学期期中考高一年级数学试题卷考试时间:120分钟;满分:150分;命题人:注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将正确答案......填涂..在答题...卷.上.).1.设全集U=A ∪B={1,2,3,4,5},A ∩(∁U B )={1,2},则集合B=( ) A .{2,4,5}B .{3,4,5}C .{4,5}D .(2,4)2.过点M (﹣3,2),N (﹣2,3)的直线倾斜角是( ) A.B.C. D.3.函数3()3f x x x =+-的零点落在的区间是( )[].0,1A [].1,2B [].2,3C [].3,4D4.计算sin105°=( ) A.B.C.D.5.函数)32sin(π+=x y 的图像( )A.关于点)0,3(π对称, B.关于直线4π=x 对称, C.关于点)0,4(π对称, D.关于直线3π=x 对称6.要得到函数cos 23y x π=+()的图像,只需将函数cos 2y x =的图像( ) A .向左平行移动3π个单位长度 B .向右平行移动3π个单位长度 C .向左平行移动6π个单位长度D .向右平行移动6π个单位长度7.已知523cos sin =+x x ,则sin 2x =( ) A .1825 B .725 C .725- D .1625-8.已知2sin α+cos α=102,则tan2α=( ) A .34 B .43 C .-34 D .-439.函数y =2cos 24x π⎛⎫- ⎪⎝⎭-1是( )A .最小正周期为π的奇函数B .最小正周期为π的偶函数C .最小正周期为2π的奇函数 D .最小正周期为2π的偶函数 10.函数)2cos(62cos )(x x x f ++-=π的最小值为 ( ) A .211-B .27C .5-D .7 11.设m ,n 是不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,有以下四个命题:①若m ⊥α,n ⊥α,则m ∥n ; ②若α∩γ=m ,β∩γ=n ,m ∥n 则α∥β; ③若α∥β,β∥γ,m ⊥α,则m ⊥γ ④若γ⊥α,γ⊥β,则α∥β. 其中正确命题的序号是( ) A .①③ B .②③ C .③④ D .①④ 12.已知],1,1[-∈x 则方程x xπ2cos 2=-所有实根的个数是( )A.2B.3C.4D.5二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请将正确答案......写.在答题...卷.上.). 13.已知,3tan =α则=+)(4tan πα14.经过点)0,1(-,且与直线y x +=0垂直的直线方程是15.已知函数若对任意x 1≠x 2,都有成立,则a 的取值范围是16.设常数a 使方程sin 3cos x x a +=在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ,则123x x x ++= 。
2016-2017下学期期中考试高一级数学科试题参考答案 精品
2016-2017学年下学期学期期中考试高一级数学科参考答案一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一选项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CADCBABCDCDB二、填空题 本大题共4小题, 每小题5分,满分20分.13.错误!未找到引用源。
. 14. 2315.3- 16.100-三、解答题 本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.17.(本题满分10分)解:(1)∵A 为BC 的中点, ∴=(), ∴=2-=2-,∵D 为OB 的三等分点,∴==,∴==2--=2-. ……(5分)(2)∵DE :DC=2:5, ∴==-,∴==+-=.∴λ=. ……(10分) 18. (本题满分12分)解:(1)由32sin .a b A =根据正弦定理得3sin 2sin sin ,A B A =⋅ ……(2分)又sin 0A >所以3sin ,2B =……(4分) 由ABC ∆为锐角三角形得,3B π=………(6分) (2)由ABC ∆的面积为3,得1sin 32ac B = ………(7分) 又3sin 2B =4ac ∴= ………(8分) 由余弦定理得2222cos a c ac B b +-= ………(10分) 又1cos 2B =,23b ∴= ………(11分)3b ∴= ………(12分)19. (本题满分12分)解:不等式ax 2-(a +1)x +1>0可化为a (x -)(x -1)>0;(1)a <0时,不等式化为(x -)(x -1)<0,且<1; 所以不等式的解集为; ……(4分)(2)a >0时,不等式化为(x -)(x -1)>0;……(6分) 若0<a <1,则,不等式的解集为;……(8分)若a =1,则=1,不等式的解集为(-∞,1)∪(1,+∞);……(10分) 若a >1,则,不等式的解集为.……(12分)20. (本题满分12分)解:(1)因为f (x )=sin 2x +cos 2x +2sin x cos x +cos 2x=1+sin 2x +cos 2x ………(2分)=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4+1, ………(4分)所以函数f (x )的最小正周期为T =2π2=π ………(6分). (2)由(1)的计算结果知,f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4+1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,2x +π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,5π4, ………(8分)由正弦函数y =sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,5π4上的图象知当2x +π4=π2,即x =π8时,f (x )取最大值2+1; ………(10分)当2x +π4=5π4,即x =π2时,f (x )取最小值0. ………(11分)综上,f (x )在[0,π2]上的最大值为2+1,最小值为0.. ………(12分) 21. (本题满分12分)解:(1)因为213122n n a S n n +=--+,所以 ① 当1=n 时,121-=a ,则112a =-, ………………………………(1分)② 当2n ≥时,21113(1)(1)122n n a S n n --+=----+,……………………(2分)所以121n n a a n --=--,即12()1n n a n a n -+=+-,所以11(2)2n n b b n -=≥,而11112b a =+=, ……………………(5分)所以数列{}n b 是首项为12,公比为12的等比数列,所以12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.…………(6分)(2)由(1)得2n nn nb =. 所以 ①n n n n n T 221..........242322211432+-+++++=-, ②1232221..........24232212--+-+++++=n n n nn T , ……………(8分)②-①得:n n n nT 221......2121112-++++=-, ……………(10分)n n nn n n T 2222211211+-=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=.……………(12分)22. (本题满分12分)解:(1)∵数列{a n }为单调递增的等差数列,a 1=1,且a 3,a 6,a 12依次成等比数列, ∴错误!未找到引用源。
【配套K12】江苏省南京市2016-2017学年高一数学下学期期中试题
P45°30°60mBA2016—2017学年第二学期期中考试高一年级数学试卷2017年4月一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应位置.......上. 1.不等式103x x -<-的解集是 ▲ . 2.在等比数列{}n a 中,已知11a =,公比2q =,则该数列前10项的和10S 的值为 ▲ .3.若0x >,则函数()23x y x+=的最小值为 ▲ .4.在ABC 中,3BC =,1AC =,π3A =,则B = ▲ . 5.在正项等比数列{}n a 中,已知5是1a 与10a 的等比中项,则56+a a 的的最小值为 ▲ .6.1tan 751tan 75+=-oo▲ . 7.已知1sin cos 2αα-=,则44sin cos αα+的值为 ▲ .8.已知数列{}n a 中,24n n S a =-,则数列{}n a 的通项公式为n a = ▲ . 9.已知π1cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,,则sin a = ▲ .10.如图,为测一树的高度,在地面上选取A 、B 两点,从A 、B两点分别测得树尖的仰角为30o ,45o ,且A 、B 两点之间的 距离为60m ,则树的高度为 ▲ m .11.已知数列{}n a 中,n a n =,前n 项和为n S ,则122017111S S S +++=… ▲ . 12.若方程20x x m -+=和20x x n -+=的四个实根构成一个首项为15的等差数列,则||m n -= ▲ .13.若关于x 的不等式2160x ax ++≥对x ≥0恒成立,则a 的取值范围是 ▲ .14.若等腰ABC △的周长为9,则ABC △的腰AB 上的中线CD 的长的最小值是 ▲ .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内........作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分14分)ODCBA 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足a <b <c , a 2﹣c 2=b 2﹣85bc,a=3,△ABC 的面积为6. (1)求角A 的正弦值; (2)求边长b ,c 的值. 16.(本题满分14分)已知函数22()log (46)f x ax ax =-+.(1)当1a =时,求不等式2()log 3f x ≥的解集; (2)若()f x 的定义域为R ,求a 的取值范围. 17.(本题满分14分)已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且b 2=3,b 3=9,a 1=b 1,a 14=b 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)设c n = a n + b n ,求数列{c n }的前n 项和. 18.(本题满分16分)已知函数()2sin cos 3cos f x x x x =+(1)若02x π≤≤,求函数()f x 的值域;(2)设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若A 为锐角且3(),2,32f A b c ===,求()cos A B -的值.19.(本题满分16分)某隧道横截面如图,其下部形状是矩形ABCD ,上部形状是以CD 为直径的半圆.已知隧道的横截面面积为2+2π,设半圆的半径=OC x ,隧道横截面的周长(即矩形三边长与圆弧长之和)为()f x .(1)求函数()f x 的解析式,并求其定义域;(2)问当x 等于多少时,()f x 有最小值?并求出最小值. 20.(本题满分16分)已知{a n }是公差不为0的等差数列,5=6a ,1a ,3a ,7a 成等比数列, (1)求{a n }的通项公式;(2)设2n n n na b T =,为数列{}n b 的前n 项和,求n T ;(3)设14(1)2()n a n n n c n λλ-=+-⋅∈*N 为整数,,试确定整数λ的值,使得对任意的n ∈*N ,总有1n n c c +>成立.数学试卷参考答案及评分标准一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分.) 1.3(1,) 2.1023 3.12 4.π65.10 6.3- 7.23328.12n + 9.2616- 10.30330+11.20171009 12.22513.[) +∞-8, 14.322二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本题满分14分)解:(1)由a 2﹣c 2=b 2﹣85bc ,得:2222b c a bc+- =45,即cosA=45.…………3分∵A ∈(0,π),∴sinA=35. ………………6分 (2)∵S △ABC =12bcsinA=12bc 35⋅=6,∴bc=20,① ……………9分由2222b c a bc+-=45及bc=20、a=3,得b 2+c 2=41,② ……………12分由①、②及b <c 解得b=4,c=5. ……………14分16.(本题满分14分)解:(1)1a =时222log (46)log 3x x -+≥∴2463x x -+≥ ……………3分∴2430x x -+≥ ∴(][)13x ∈-∞+∞U ,, ∴不等式2()log 3f x ≥的解集为(][)13-∞+∞U ,,; ……………7分 (2)()f x 的定义域为R 即2460ax ax -+>恒成立 ①当0a ≠时,得0a >且216240a a =-<△∴302a <<……………12分 ②当0a =时2()log 6f x =,显然()f x 的定义域为R 成立综上得a 的取值范围为302a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭, ……………14分17.(本题满分14分)解:(1)等比数列{}n b 的公比32933b q b ===, …………2分 所以211b b q==,4327b b q ==. …………4分 设等差数列{}n a 的公差为d .因为111a b ==,14427a b ==,所以11327d +=,即2d =. …………6分 所以12(1)21n a n n =+-=- ……………8分 (2)由(I )知,21n a n =-,13n n b -=.因此1213n n n n c a b n -=+=-+. 从而数列{}n c 的前n 项和()11321133n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()12113213nn n +--=+- ……………12分 2312n n -=+. ……………14分18.(本题满分16分)解:(1)()2sin cos 3f x x x x =+1333sin 22sin 223x x x π⎛⎫=+=++⎪⎝⎭ ................4分 由02x π≤≤得,42333x πππ≤+≤,3sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭.............6分 ∴330sin 213x π⎛⎫≤+≤+ ⎪⎝⎭,即函数()f x 的值域为30,1⎡⎢⎣.........8分 (2)由()33sin 23f A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 203A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,又由02A π<<,∴42333A πππ<+<,∴2,33A A πππ+==..............10分 在ABC ∆中,由余弦定理2222cos 7a b c bc A =+-=,得7a = ..........12分ODCBA ∴222222(7)3227cos 27273a cb B ac +-+-===⨯⨯ ∵02A π<<∴221sin 1cos 7B B =-=, ....................14分 ∴()12732157cos cos cos sin sin 272714A B A B A B -=+=⨯+⨯=.......16分19.(本题满分16分)解:(1)因为OC x =,所以矩形ABCD 面积为212π22x π+-∴2212π42224x x AD x xπππ+-+-==……………4分 ∴()22πf x x AD x =++242π2x x x x ππ+-=++4π1()2x x +=+ ……………8分又0AD > ∴24ππx +> ∴4ππx +<∴()f x 的定义域为4π0π⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭, ……………10分 (2)4π14π1()()24π22f x x x x x++=+⨯=+g ≥ ∴()f x 的最小值4π+ ……………14分 当且仅当1x x =即4π10πx ⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭,时()f x 取最小值 ……………16分20.(本题满分16分)解:(1)设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠. ∵1a ,3a ,7a 成等比数列,∴2111(6)(2)a a d a d +=+∴2124a d d =∵0d ≠∴12a d = …………………2分 又51=+4d=6a a ∴1d =,12a =所以2(1)1n a n n =+-=+ ..............4分(2)122n n n n a n b +== 12323412222n nn T +=+++L L 231123122222n n n n n T ++=++++L ..............6分 ∴23111111122222n n n n T ++=++++-L 1111(1)14211212n n n -+-+=+--13322n n ++=- ..............8分 ∴332n nn T +=-..............10分 (3)114(1)2n n n n c λ-+=+-⋅,1214(1)2n n n n c λ+++=+-⋅ 对任意的n ∈*N ,要1n n c c +>恒成立,①当n 为偶数时,1214242n n n n λλ++++⋅>-⋅∴13234n n λ+⋅>-⋅∴12n λ->-(246n =L ,,,) ∵n 为偶数∴当2n =时, 1max (2)2n --=-∴2λ>- ..............12分 ②当n 为奇数时,1214-24+2n n n n λλ+++⋅>⋅∴13234n n λ+⋅<⋅∴12n λ-<(135n =L ,,,) ∵n 为奇数∴当1n =时, 1max (2)1n -=∴1λ< ..............14分 由①②得 21λ-<< ∵λ为整数 ∴10λ=-或 ..............16分。
2016-2017年江苏省无锡市锡山区天一中学高一上学期数学期中试卷带答案(强化班)
2016-2017学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一(上)期中数学试卷(强化班)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1.(5分)已知全集A={70,1946,1997,2003},B={1,10,70,2016},则A ∩B=.2.(5分)函数y=的定义域为.3.(5分)若函数f(x)是幂函数,且满足=,则f(2)的值为.4.(5分)集合A={x|(x﹣1)(x﹣a)≥0},B={x|x≥a﹣1},若A∪B=R,则a 的最大值为.5.(5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是小时.6.(5分)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:则关于x的方程g(f(x))=x的解是x=.7.(5分)函数sgn(x)=,设a=+,b=2017,则的值为.8.(5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x﹣1)>0,则x的取值范围是.9.(5分)设f(x)为定义在R上的奇函数,f(1)=1,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)=.10.(5分)已知函数f(x)=﹣x2+ax+b的值域为(﹣∞,0],若关x的不等式的解集为(m﹣4,m+1),则实数c的值为.11.(5分)函数在[2,+∞)上是增函数,实数a的范围是(m,n](m<n),则m+n的值为.12.(5分)若函数f(x)=(4﹣x2)(ax2+bx+5)的图象关于直线对称,则f(x)的最大值是.13.(5分)已知函数,若函数g(x)=|f(x)|﹣a有四个不同零点x 1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则的最小值为.14.(5分)函数在R上的最大值为.二、解答题:本大题共6题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(见答题纸)15.(14分)已知集合A={x|2≤x≤11},B={x|4≤x≤20},C={x|x≤a}.(1)求A∪B与(∁R A)∩B;(2)若A∩C≠∅,求a的取值范围.16.(14分)设二次函数f(x)满足:对任意x∈R,都有f(x+1)+f(x)=2x2﹣2x﹣3(1)求f(x)的解析式;(2)若关于x的方程f(x)=a有两个实数根x1,x2,且满足:﹣1<x1<2<x2,求实数a的取值范围.17.(14分)(1)(2)(3)已知a,b,c为正实数,a x=b y=c z,,求abc的值.18.(16分)已知定义域为R的函数.(1)用定义证明:f(x)为R上的奇函数;(2)用定义证明:f(x)在R上为减函数;(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范围.19.(16分)设a为实数,函数f(x)=(x﹣a)2+|x﹣a|﹣a(a﹣1).(1)若f(0)≤1,求a的取值范围;(2)求f(x)在R上的单调区间(无需使用定义严格证明,但必须有一定的推理过程);(3)当a>2时,求函数g(x)=f(x)+|x|在R上的零点个数.20.(16分)已知函数f(x)=x+﹣4,g(x)=kx+3.(1)当a=k=1时,求函数y=f(x)+g(x)的单调递增与单调递减区间;(2)当a∈[3,4]时,函数f(x)在区间[1,m]上的最大值为f(m),试求实数m的取值范围;(3)当a∈[1,2]时,若不等式|f(x1)|﹣|f(x2)|<g(x1)﹣g(x2)对任意x1,x2∈[2,4](x1<x2)恒成立,求实数k的取值范围.2016-2017学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一(上)期中数学试卷(强化班)参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1.(5分)已知全集A={70,1946,1997,2003},B={1,10,70,2016},则A ∩B={70} .【解答】解:∵A={70,1946,1997,2003},B={1,10,70,2016},∴A∩B={70}.故答案为:{70}2.(5分)函数y=的定义域为(﹣2,8] .【解答】解:∵函数y=,∴1﹣lg(x+2)≥0,即lg(x+2)≤1,∴0<x+2≤10,解得﹣2<x≤8,∴函数y的定义域为(﹣2,8].故答案为:(﹣2,8].3.(5分)若函数f(x)是幂函数,且满足=,则f(2)的值为2.【解答】解:设f(x)=xα,依题意,=2﹣α=,∴α=1,∴f(x)=x,∴f(2)=2,故答案为:2.4.(5分)集合A={x|(x﹣1)(x﹣a)≥0},B={x|x≥a﹣1},若A∪B=R,则a 的最大值为2.【解答】解:当a>1时,A=(﹣∞,1]∪[a,+∞),B=[a﹣1,+∞),若A∪B=R,则a﹣1≤1,∴1<a≤2;当a=1时,易得A=R,此时A∪B=R;当a<1时,A=(﹣∞,a]∪[1,+∞),B=[a﹣1,+∞),若A∪B=R,则a﹣1≤a,显然成立,∴a<1;综上,a的取值范围是(﹣∞,2].则a的最大值为2,故答案为.2.5.(5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数,k、b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是24小时.【解答】解:由题意可得,x=0时,y=192;x=22时,y=48.代入函数y=e kx+b,可得e b=192,e22k+b=48,即有e11k=,e b=192,则当x=33时,y=e33k+b=×192=24.故答案为:24.6.(5分)已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:则关于x的方程g(f(x))=x的解是x=3.【解答】解:∵两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合{1,2,3},∴由函数性质得:f(3)=1,g(f(3))=g(1)=3.∵关于x的方程g(f(x))=x,∴x=3.故答案为:3.7.(5分)函数sgn(x)=,设a=+,b=2017,则的值为2017.【解答】解:∵sgn(x)=,设,∴a=+=,∴==2017.故答案为:2017.8.(5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x﹣1)>0,则x的取值范围是(﹣1,3).【解答】解:∵偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,∴不等式f(x﹣1)>0等价为f(x﹣1)>f(2),即f(|x﹣1|)>f(2),∴|x﹣1|<2,解得﹣1<x<3,故答案为:(﹣1,3)9.(5分)设f(x)为定义在R上的奇函数,f(1)=1,f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)=5.【解答】解:f(x)为定义在R上的奇函数,可得f(0)=0;f(1)=1,f(x+2)=f(x)+f(2),当x=1时,f(3)=f(1)+f(2)=1+f(2),当x=﹣1时,f(1)=f(﹣1)+f(2),可得f(2)=2.f(5)=f(3)+f(2)=1+2f(2)=1+4=5.故答案为:5.10.(5分)已知函数f(x)=﹣x2+ax+b的值域为(﹣∞,0],若关x的不等式的解集为(m﹣4,m+1),则实数c的值为21.【解答】解:由题意,函数f(x)=﹣x2+ax+b的值域为(﹣∞,0],∴△=a2+4b=0 ①;由不等式化简:x2﹣ax﹣b﹣﹣1<0m﹣4与m+1为方程x2﹣ax﹣b﹣﹣1=0的两根;m﹣4+m+1=a ②;(m﹣4)(m+1)=﹣b﹣﹣1 ③;函数y=x2﹣ax﹣b﹣﹣1的对称轴为x===;所以a=5;由①②知:m=4,b=﹣;由③知:c=21故答案为:2111.(5分)函数在[2,+∞)上是增函数,实数a的范围是(m,n](m<n),则m+n的值为0.【解答】解:∵函数在[2,+∞)上是增函数,∴,求得﹣4<a≤4,再结合实数a的范围是(m,n](m<n),可得m=﹣4,n=4,则m+n=0,故答案为:0.12.(5分)若函数f(x)=(4﹣x2)(ax2+bx+5)的图象关于直线对称,则f(x)的最大值是36.【解答】解:∵函数f(x)=(4﹣x2)(ax2+bx+5)的图象关于直线对称,点(2,0),(﹣2,0)在函数f(x)的图象上,∴点(﹣1,0),(﹣5,0)必在f(x)图象上,则,解得a=1,b=6.∴f(x)=(4﹣x2)(x2+6x+5)=﹣(x+2)(x﹣2)(x+1)(x+5)=﹣(x2+3x+2)(x2+3x ﹣10),令,则f(x)=﹣t(t﹣12)=﹣t2+12t=﹣(t﹣6)2+36,当t=6时,函数f(x)的最大值为36.故f(x)的最大值是36.13.(5分)已知函数,若函数g(x)=|f(x)|﹣a有四个不同零点x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则的最小值为2016.【解答】解:由题意,画出函数y=|f(x)|的图象,如图所示,又函数g(x)=a﹣|f(x)|有四个零点x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,所以0<a≤2,且log2(﹣x1)=﹣log2(﹣x2)=2﹣x3=x4﹣2,所以x1x2=1,x3+x4=4,则=a2﹣2a+2017=(a﹣1)2+2016,当a=1时,取得最小值2016.故答案为:2016.14.(5分)函数在R上的最大值为1.【解答】解:1)当x=0时,f(x)=0;2)当x≠0时,═,令,t∈R,原函数化为g(t)=,又因为t+或为t+,原函数的最大值为1.故答案:1.二、解答题:本大题共6题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(见答题纸)15.(14分)已知集合A={x|2≤x≤11},B={x|4≤x≤20},C={x|x≤a}.(1)求A∪B与(∁R A)∩B;(2)若A∩C≠∅,求a的取值范围.【解答】解:(1)集合A={x|2≤x≤11},B={x|4≤x≤20},∴A∪B={x|2≤x≤20}=[2,20];…3分∁R A={x|x<2或x>11},∴(∁R A)∩B={x|11<x≤20}=(11,20];…7分(2)集合A={x|2≤x≤11},C={x|x≤a},当A∩C≠∅时,a≥2.…14分.16.(14分)设二次函数f(x)满足:对任意x∈R,都有f(x+1)+f(x)=2x2﹣2x﹣3(1)求f(x)的解析式;(2)若关于x的方程f(x)=a有两个实数根x1,x2,且满足:﹣1<x1<2<x2,求实数a的取值范围.【解答】解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(x+1)+f(x)=2ax2+(2a+2b)x+a+b+2c=2x2﹣2x﹣3…3分所以,解得:a=1,b=﹣2,c=﹣1,从而f(x)=x2﹣2x﹣1…7分(2)令g(x)=f(x)﹣a=x2﹣2x﹣1﹣a=0由于﹣1<x1<2<x2,所以…10分解得﹣1<a<2…14分.17.(14分)(1)(2)(3)已知a,b,c为正实数,a x=b y=c z,,求abc的值.【解答】解:(1)原式=﹣1+=﹣1+2=2.(2)原式===﹣4.(3)∵a,b,c为正实数,a x=b y=c z=k>0,k≠1.∴x=,y=,z=.∵,∴==0,∴abc=118.(16分)已知定义域为R的函数.(1)用定义证明:f(x)为R上的奇函数;(2)用定义证明:f(x)在R上为减函数;(3)若对任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范围.【解答】(1)证明:∵,∴f(﹣x)===﹣=﹣f(x),∴f(x)为R上的奇函数;…5分(2)解:∵=﹣1+,令x1<x2,则<,∴f(x1)﹣f(x2)=﹣=>0,∴f(x1)>f(x2),∴f(x)在R上为减函数;…11分(3)解:∵f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0,f(x)为R上的奇函数,∴f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2),又f(x)在R上为减函数,∴t2﹣2t>k﹣2t2恒成立,∴k<(3t2﹣2t)min,由二次函数的单调性质知,当t=时,y=(3t2﹣2t)min,取得最小值,即(3t2﹣2t)min,=3×()2﹣2×=﹣.∴…16分.19.(16分)设a为实数,函数f(x)=(x﹣a)2+|x﹣a|﹣a(a﹣1).(1)若f(0)≤1,求a的取值范围;(2)求f(x)在R上的单调区间(无需使用定义严格证明,但必须有一定的推理过程);(3)当a>2时,求函数g(x)=f(x)+|x|在R上的零点个数.【解答】解:(1)f(0)=a2+|a|﹣a2+a=|a|+a,因为f(0)≤1,所以|a|+a≤1,当a≤0时,0≤1,显然成立;当a>0,则有2a≤1,所以.所以.综上所述,a的取值范围是.(2),对于y=x2﹣(2a﹣1)x,其对称轴为,开口向上,所以f(x)在(a,+∞)上单调递增;对于y=x2﹣(2a+1)x,其对称轴为,开口向上,所以f(x)在(﹣∞,a)上单调递减.综上所述,f(x)在(a,+∞)上单调递增,在(﹣∞,a)上单调递减.(3)g(x)=.∵y1=x2+(2﹣2a)x的对称轴为x=a﹣1,y2=x2﹣2ax+2a的对称轴为x=a,y3=x2﹣(2a+2)x+2a的对称轴为x=a+1,∴g(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.∵g(0)=2a>0,g(a)=a2+(2﹣2a)a=2a﹣a2=﹣(a﹣1)2+1,∵a>2,∴g(a)=﹣(a﹣1)2+1在(2,+∞)上单调递减,∴g(a)<g(2)=0.∴f(x)在(0,a)和(a,+∞)上各有一个零点.综上所述,当a>2时,g(x)=f(x)+|x|有两个零点.20.(16分)已知函数f(x)=x+﹣4,g(x)=kx+3.(1)当a=k=1时,求函数y=f(x)+g(x)的单调递增与单调递减区间;(2)当a∈[3,4]时,函数f(x)在区间[1,m]上的最大值为f(m),试求实数m的取值范围;(3)当a∈[1,2]时,若不等式|f(x1)|﹣|f(x2)|<g(x1)﹣g(x2)对任意x1,x2∈[2,4](x1<x2)恒成立,求实数k的取值范围.【解答】解:(1)a=k=1时,y=f(x)+g(x)=2x+﹣1(x≠0),y′=2﹣=(x≠0),令y′>0,解得:x>或x<﹣,令y′<0,解得:﹣<x<且x≠0,故函数在(﹣∞,﹣),(,+∞)递增,在(﹣,0),(0,)递减;(2)∵a∈[3,4],∴y=f(x)在(1,)上递减,在(,+∞)上递增,又∵f(x)在区间[1,m]上的最大值为f(m),∴f(m)≥f(1),解得(m﹣1)(m﹣a)≥0,∴m≥a max,即m≥4;(3)∵|f(x1)|﹣|f(x2)|<g(x1)﹣g(x2),∴|f(x1)|﹣g(x1)<|f(x2)|﹣g(x2)恒成立,令F(x)=|f(x)|﹣g(x),则F(x)在[2,4]上递增.对于F(x)=,(i)当x∈[2,2+]时,F(x)=(﹣1﹣k)x﹣+1,①当k=﹣1时,F(x)=﹣+1在[2,2+]上递增,所以k=﹣1符合;②当k<﹣1时,F(x)=(﹣1﹣k)x﹣+1在[2,2+]上递增,所以k<﹣1符合;③当k>﹣1时,只需≥2+,即≥(+)max=2+,所以﹣1<k≤6﹣4,从而k≤6﹣4;(ii)当x∈(2+,4]时,F(x)=(1﹣k)x+﹣7,①当k=1时,F(x)=﹣7在(2+,4]上递减,所以k=1不符合;②当k>1时,F(x)=(1﹣k)x+﹣7在(2+,4]上递减,所以k>1不符合;③当k<1时,只需≤2+,即≤(+)min=1+,所以k<2﹣2,综上可知:k≤6﹣4.赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型: 图形特征:60°60°60°45°45°45°运用举例:1.如图,若点B 在x 轴正半轴上,点A (4,4)、C (1,-1),且AB =BC ,AB ⊥BC ,求点B 的坐标;2.如图,在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示),已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ,则14S S += .ls 4s 3s 2s 13213. 如图,Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =2,点D 在BC 上运动(不与点B ,C 重合),过D 作∠ADE =45°,DE 交AC 于E . (1)求证:△ABD ∽△DCE ;(2)设BD =x ,AE =y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (3)当△ADE 是等腰三角形时,求AE 的长.EB4.如图,已知直线112y x =+与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ,抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,且B 点坐标为 (1,0)。
河南省天一大联考2016-2017学年高一下学期阶段性测试(三)(4月)数学
天一大联考2016——2017学年高一年级阶段性检测(三)数学第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,有且只有一项符合题目要求.1.tan 210= A. 3 B. 3- C. 3- D.32.为了调查N 名高二学生上数学记笔记的习惯,现用系统抽样的方法,从中抽取了容量为32的样本(无个体剔除),其中有两个相邻编号分别为112号和137号,则N=A. 960B. 832C. 800D. 6403.若函数()()sin 2f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移36π个单位后关于原点对称,则ϕ的值为 A. 3π- B. 3π C. 6π D.6π- 4.某品牌轿车在甲、乙两地的专卖店进行了八天的促销活动,现将每天的销售量(单位:辆)制成如图所示的茎叶图,已知甲地专卖店的销售量的众数为12,则乙地专卖店销售量的中位数为A. 15B. 14C. 13D. 125.根据如下样本数据得到的回归方程为已知x 每减少1个单位,y 就会减少0.94个单位,则表中数据x=A. 2.2B. 2.4C. 2.8D. 3.36.执行如图所示的程序框图,若输入的3x π=,则该程序运行后输出的n 的值为A. 3233- B. 0 C. -1 D. 3 7.将5位同学按身高由低到高编号为1,2,3,4,5,6,从中抽取3位同学按身高由低到高站成一排,其中编号为3的同学站在中间的概率为A. 25B.310C. 15D. 128.在[]0,2π上任取一个实数x ,则2sin x ≥的概率为 A. 14 B. 13 C. 12 D.34 9.执行如图所示的程序框图,当输出的T 的值为220时,输入的x 的值不可能是A. 1B. 5C. 13D. 1510.若函数()()5tan 4f x x θ=+的图象关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,则正数θ的最小值为A. 6πB. 4πC.3π D.23π 11.执行如图所示的程序框图,若输出的S 的值为2,则判断框内的条件可以是 A. 98?n < B. 99?n < C.100?n < D. 100?n ≤ 12.已知{},,1,0,1αβγ∈-,且12αβγ≤++≤,则1αβγ++=的概率为 A.16 B. 14 C. 13 D.12第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若事件A,B ,C 两两互斥,()()()0.3,0.4,0.6P A P A B P B C ===则()P C = .14.函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的图象如图所示,则tan ϕ= .15.已知一组数据132x +123432,32,32,32x x x x ++++的平均数为8,第二组数据22221234,,,x x x x 的平均数为6,则第三组数据1234,,,x x x x 的方差为 .16.给出下面的四个函数:①cos 2y x =;②sin y x =;③cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;④tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.其中最小正周期为π的有 .(填上函数的序号).三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.(本题满分10分)已知角α的终边上一点(),3x ,且tan 2.α=-(1)求x 的值;(2)若tan 2θ=,求2sin cos sin cos 1cos sin cos ααθθαθθ-+++的值.18.(本题满分12分)近几年来,在大学校园里手机已经成为一个具有较大覆盖面的传播媒体,手机文化所带来的影响开始显现.为此某大学对本校所有大学生每月上网流量使用情况进行了调查,随机抽取了100名学生在2016年的月均上网流量(单位:百兆),并制作了如图所示的频率分布直方图:(1)求图中m 的值;(2)若该校60%的大学生在2016年月均上网流量不超过T (百兆)试求T 的估计值.19.(本题满分12分)运行如图所示的程序框图,当输入实数x 的值为-3时,输出()g x 的值为-2.(1)求实数m 的值;(2)判断方程()220g x x x ++=的解的个数.20.(本题满分12分)如图所示,已知半圆O 的方程为()2280x y y +=≥,直线12,l l 的方程为2x y +=2y x -=(1)向半圆内随机投掷一粒豆子(豆子的大小忽略不计),求豆子落入阴影区域内的概率;(2)在半圆与x 轴围成的区域内(不包括边界)的所有整点中任取2个整点,求其中有且只有一个整点不在阴影区域内(不包括边界)的概率.21.(本题满分12分)22岁到32岁时足球运动员的黄金时间,某足球运动员20岁进入某足球联赛,通过一年的锻炼,技术日渐成熟,下面统计了他在该联赛的第2年到第6年的成绩,其进入联赛的年数x 与全年进球数y (单位:个)之间的数据如下表所示.(1)画出散点图;(2)求该足球运动员在进入联赛后全年进球数y 与他进入联赛的年数x 之间的回归直线方程;(3)试预测该足球运动员在进入联赛的第10年的全年进球数(精确到个位数).22.(本题满分120分)已知函数()2sin (3f x x b πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,b ω为常数),且510,33ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象关于直线1118x π=对称,且经过点,118π⎛⎫-- ⎪⎝⎭(1)求函数()f x 的解析式及单调递增区间;(2)若函数()y f x m =-在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个不同的零点,求实数m 的取值范围.。
2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题Word版含答案
2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.如图,正六边形ABCDEF 中,CD BA EF ++=( )A .0B .BEC .ADD .CF2.已知数列{n a }满足:11a =,2210,1n n n a a a +>-= ()*n N ∈,那么使n a <3成立的n 的最大值为( )A .2B .3C .8D .93.在数列1,1,2,3,5,8,,21,34,55,...x 中,x =( )A.11B.12C. 13D.144.已知正方形ABCD 的边长为2,点E 是AB 边上的中点,则DE DC ⋅的值为( )A. 1B. 2C.4D.65.在△ABC 中,2cos 22B a cc+=,(a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边),则△ABC 的形状为( ) A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形6.在等差数列{}n a 中,11a =,n S 为其前n 项和.若191761917S S -=,则10S 的值等于( ) A .246B. 258C. 280D. 2707.数列{}n a 的通项公式为*,2cos N n n a n ∈=π,其前n 项和为n S ,则=2017S ( ) A.B.C.D.8.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,若22()6c a b =-+,△ABC C 的大小为( ) A.3π B.23π C.6π D.56π9.数列{}n a 满足122,1,a a ==且1111(2)n n n n n n n n a a a a n a a a a -+-+⋅⋅=≥--,则数列{}n a 的第100项为( ) A .10012 B .5012 C .1100 D .15010.在ABC ∆中,若111,,tan tan tan A B C依次成等差数列,则( ) A .,,a b c 依次成等差数列 BC .222,,a b c 依次成等差数列D .222,,a b c 依次成等比数列 11.已知等差数列{a n }的前n 项和为,满足,,则当取得最小值时的值为( )A.7B.8C.9D.1012.已知数列{}n a 的通项公式5n a n =-,其前n 项和为n S ,将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后,剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项,记{}n b 的前n 项和为n T ,若存在*m N ∈,使对任意*n N ∈,总有λ+<m n T S 恒成立,则实数λ的取值范围是( ) A .2λ≥ B .3λ> C .3λ≥D .2λ>二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)13.已知2=a,1=b , 1=⋅b a ,则向量a 在b 方向上的投影是_____14.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =,某三角形三边之比为234::a a a ,则该三角形最大角的大小是 15.已知命题:“在等差数列{}n a 中,若210()4+24,a a a +=则11S 为定值”为真命题,由于印刷问题,括号处的数模糊不清,可推得括号内的数为 . 16.已知数列{}n a 中,11511,2n n a a a +==- .设12n n b a =-则数列{}n b 的通项公式为__.三、解答题(本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)已知不等式220ax x c ++>的解集为11{|}32x x -<<.(1)求a 、c 的值;(2)解不等式220cx x a -+<.18.(本小题满分12分)设{}n a 是公比不为1的等比数列,且534,,a a a 成等差数列.(1)求数列{}n a 的公比;(2)若453423a a a a a a +<<+,求1a 的取值范围.19.(本小题满分12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知向量m =(b ,a -2c ),n =(cosA -2cos C ,cosB ),且向量m ⊥n .(1)求sin C sin A的值;(2)若a =2,|m |=35,求△ABC 的面积S .20.(本小题满分12分)如图,△ABC 中,3B π=,2BC =,点D 在边AB 上,AD DC =, DE AC ⊥,E 为垂足.(1)若△BCD,求CD 的长; (2)若DE =,求角A 的大小.21.(本小题满分12分)在数1与100之间插入n 个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记作T n ,再令a n =lgT n ,n≥1.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)记,求数列{b n }的前n 项和S n .EDCA22.(本小题满分12分)已知数列{}n a 中,11a =,214a =,且1(1)nn n n a a n a +-=-(2,3,4,n = ).(1)求3a 、4a 的值; (2)设111n n b a +=-(*N n ∈),试用n b 表示1n b +并求{}n b 的通项公式;(3)设1sin 3cos cos n n n c b b +=(*N n ∈),求数列{}n c 的前n 项和n S ;2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题答案DCCBB CDADC CD 13._1 14.π3215.18 16. 112433n n b -=-⨯-17. 解:(Ⅰ)由220ax x c ++>的解集为11{|}32x x -<<知0a <且方程220ax x c ++=的两根为1211,32x x =-=.由根与系数的关系得112321132ac a⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩,由此得12,2a c =-=.(Ⅱ)不等式220cx x a -+<可化为260x x --<,解得23x -<<. 所以不等式的解集为{|23}x x -<<.18.解:(1)设数列{}n a 的公比为q (0,1q q ≠≠), 由534,,a a a 成等差数列,得3542a a a =+,即2431112a q a q a q =+.由10,0a q ≠≠得220q q +-=,解得122,1q q =-=(舍去). ∴2q =-. (2)211114534232118322416q a a a a a a a a a a =-⎧⇒<-<⇒-<<-⎨+<<+⎩19.解 (1)法一 由m ⊥n 得,b (cos A -2cos C )+(a -2c )cos B =0.根据正弦定理得,sin B cos A -2sin B cos C +sin A cos B -2sin C cos B =0. 因此(sin B cos A +sin A cos B )-2(sin B cos C +sin C cos B )=0, 即sin(A +B )-2sin(B +C )=0.因为A +B +C =π,所以sin C -2sin A =0. 即sin Csin A=2. 法二 由m ⊥n 得,b (cos A -2cos C )+(a -2c )cos B =0. 根据余弦定理得,b ×b 2+c 2-a 22bc +a ×a 2+c 2-b 22ac -2b ×a 2+b 2-c 22ab -2c ×a 2+c 2-b 22ac=0.即c -2a =0. 所以sin C sin A =c a=2.(2)因为a =2,由(1)知,c =2a =4.因为|m |=35,即b 2+ a -2c 2=35,解得b =3. 所以cos A =32+42-222×3×4=78.因为A ∈(0,π),所以sin A =158. 因此△ABC 的面积S =12bc sin A =12×3×4×158=3415.20.解(Ⅰ)连接CD ,由题意得BCD S ∆=1sin 2BC BD B ⋅⋅=,又2BC=,sin 2B =得23BD =.由余弦定理得CD ===,所以,边CD 的长为3.(Ⅱ)方法1:因为sin DE CD AD A ===. 由正弦定理知:sin sin BC CDBDC B=∠,且2BDC A ∠=,得2sin 2A =,解得cos A =,4A π=.所以角A 的大小为4π.方法2:由正弦定理得22sin sin AEA B=,得sin sin AE A B ⋅==.又sin tan cos DE AA AE A==,则sin cos AE A DE A ⋅=⋅A ==,得cos A =,4A π=.所以角A 的大小为4π.21.解:(I )∵在数1和100之间插入n 个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列, ∴设这个等比数列为{c n },则c 1=1,,又∵这n+2个数的乘积计作T n , ∴T n =q•q 2•q 3×…×q n+1=q 1+2+3+…+n•q n+1=×100=100×100=10n+2,又∵a n =lgT n ,∴a n =lg10n+2=n+2,n ∈N *. (II )∵a n =n+2, ∴=,∴S n =+++…++,①=,②①﹣②,得:==1+﹣=2﹣﹣,∴S n =4﹣22.已知数列{}n a 中,11a =,214a =,且1(1)n n nn a a n a +-=-(2,3,4,n = ).(1)求3a 、4a 的值; (2)设111n n b a +=-(*N n ∈),试用n b 表示1n b +并求{}n b 的通项公式;(3)设1sin3cos cos n n n c b b +=(*N n ∈),求数列{}n c 的前n 项和n S ;(1)317a =,4110a =.(2)当2n ≥时,1(1)1111(1)(1)(1)1n n n n n n n a n a n a n a n a n a +---=-==----, ∴当2n ≥时,11n n nb b n -=-故11,n n n b b n N n*++=∈ 累乘得1n b nb =又13b = ∴3n b n = n N ∈. (3)∵1sin 3cos cos n n n c b b +=∙sin(333)tan(33)tan 3cos(33)cos3n n n n n n+-==+-+∙,∴12n n S c c c =+++L (tan 6tan3)(tan9tan 6)(tan(33)tan3)n n =-+-+++-Ltan(33)tan3n =+-。
2016学年江苏省无锡市天一中学高一下学期期末数学试卷及参考答案
2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一(下)期末数学试卷一、填空题:每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1.(5分)直线l经过点(0,1)且倾斜角的余弦值为,则直线l的斜截式方程为.2.(5分)在等差数列{a n}中,若a n=25﹣2n(n∈N*),那么使其前n项之和S n 取得最大值的n=.3.(5分)若直线y=x+b与圆x2+y2=2相切,则b的值为.4.(5分)各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若=4,则=.5.(5分)已知点A(1,2),直线l:x﹣y﹣1=0,则点A关于直线l的对称点A'的坐标为.6.(5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是.7.(5分)已知(x,y)为所表示的平面区域M内的点,则z=y﹣2x的最大值为.8.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2﹣b2=bc,sinC=2sinB,则A=.9.(5分)给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题:①若m⊂α,l∩α=A,点A∉m,则l与m不共面;②若m、l是异面直线,l∥α,m∥α,且n⊥l,n⊥m,则n⊥α;③若l∥α,m∥β,α∥β,则l∥m;④若l⊂α,m⊂α,l∩m=点A,l∥β,m∥β,则α∥β.其中为真命题的是.10.(5分)在平面直角坐标系中,设直线l:kx﹣y+=0与圆C:x2+y2=4相交于A、B两点,,若点M在圆C上,则实数k=.11.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=2C,c=2,a2=4b ﹣4,则a=.12.(5分)已知不等式组表示的平面区域为Ω,若在Ω中存在一点P(x,y)使得﹣2≤ax﹣y≤3成立,则实数a的取值范围是.13.(5分)对于集合A={a1,a2,…,a n}(n∈N*,n≥3),定义集合S={x|x=a i+a j,1≤i<j≤n},若a n=2n+1,则集合S中各元素之和为.14.(5分)已知x>0,y>0,且满足x+﹣﹣=8,则2x+y的最小值为.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知∠ACB=90°,M为A1B与AB1的交点,N为棱B1C1的中点.(1)求证:MN∥平面AA1C1C;(2)若AC=AA1,求证:MN⊥平面A1BC.16.(14分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a3=6,S3=15.(1)求{a n}的首项a1和公差d的值;(2)设数列{b n}满足:对任意的正整数n,都有a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=(n2+n)•2n+1.求数列{b n}的通项公式b n及前n项和为T n.17.(14分)在△ABC中,三边a,b,c所对应的角分别是A,B,C,已知a,b,c成等比数列.(1)若+=,求角B的值;(2)若△ABC外接圆的面积为4π,求△ABC面积的取值范围.18.(16分)如图,GH是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库,设AB=ykm,并在公路北侧建造边长为xkm 的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在GH上),现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1,且∠ABC=60°.(1)求y关于x的函数解析式,并指出定义域;(2)如果中转站四堵围墙造价为1万元/km,两条道路造价为3万元/km,问:x取何值时,该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低?19.(16分)已知平面直角坐标系上一动点P(x,y)到点A(﹣2,0)的距离是点P到点B(1,0)的距离的2倍.(1)求点P的轨迹方程;(2)已知点Q(2,0),过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E,F两点,当△QEF的面积最大时,求直线l的方程;(3)过直线l′:3x+4y+14=0上一点R引点P的轨迹C的两条切线,切点分别为M,N,当线段MN的长度最小时,求MN所在直线的方程.20.(16分)已知数列{a n}满足,a1+a2+…+a n﹣pa n+1=0(p≠0,p≠﹣1,n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)若对每一个正整数k,若将a k+1,a k+2,a k+3按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列,且公差为d k.①求p的值及对应的数列{d k}.②记S k为数列{d k}的前k项和,问是否存在a,使得S k<30对任意正整数k恒成立?若存在,求出a的最大值;若不存在,请说明理由.2015-2016学年江苏省无锡市天一中学高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1.(5分)直线l经过点(0,1)且倾斜角的余弦值为,则直线l的斜截式方程为y=x+1.【解答】解:直线倾斜角的余弦值为,倾斜角为α,所以tanα=,∵直线l经过点(0,1),∴所求直线方程为:y﹣1=(x﹣0),即y=x+1.故答案为:y=x+1.2.(5分)在等差数列{a n}中,若a n=25﹣2n(n∈N*),那么使其前n项之和S n 取得最大值的n=12.【解答】解:由a n=25﹣2n≥0,解得n≤,又n∈N*,所以1≤n≤12,n∈N*,所以数列{a n}的前12项为正数,第13项起(含第13项)为负数,所以数列的前12项和最大,故答案为:12.3.(5分)若直线y=x+b与圆x2+y2=2相切,则b的值为±2.【解答】解:由题意知,直线y=x+b与圆x2+y2=2相切,∴=,解得b=±2.故答案为:±2.4.(5分)各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若=4,则=10.【解答】解:由题意可知:等比数列{a n}的公比q≠1,∵==q2+1=4,解得q2=3.则==q4+1=32+1=10.故答案为:10.5.(5分)已知点A(1,2),直线l:x﹣y﹣1=0,则点A关于直线l的对称点A'的坐标为(0,3).【解答】解:设点A(1,2)关于直线x﹣y﹣1=0的对称点A′的坐标为(a,b),则由,求得a=0,b=3,故点A′(0,3),故答案为:(0,3).6.(5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.【解答】解:∵所求圆经过坐标原点,且圆心(1,1)与原点的距离为r=,∴所求圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.故答案为:(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.7.(5分)已知(x,y)为所表示的平面区域M内的点,则z=y﹣2x的最大值为1.【解答】解:由z=y﹣2x,得y=2x+z,作出不等式对应的可行域,平移直线y=2x+z,由平移可知当直线y=2x+z经过点A(0,1)时,直线y=2x+z的截距最大,此时z取得最大值,代入z=y﹣2x,得z=1﹣2×0=1,故答案为:1.8.(5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2﹣b2=bc,sinC=2sinB,则A=30°.【解答】解:将sinC=2sinB利用正弦定理化简得:c=2b,代入得a2﹣b2=bc=6b2,即a2=7b2,∴由余弦定理得:cosA===,∵A为三角形的内角,∴A=30°.故答案为:30°9.(5分)给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题:①若m⊂α,l∩α=A,点A∉m,则l与m不共面;②若m、l是异面直线,l∥α,m∥α,且n⊥l,n⊥m,则n⊥α;③若l∥α,m∥β,α∥β,则l∥m;④若l⊂α,m⊂α,l∩m=点A,l∥β,m∥β,则α∥β.其中为真命题的是①②④.【解答】解:m⊂α,l∩α=A,A∉m,则l与m异面,故①正确;若m、l是异面直线,l∥α,m∥α,在则α内必然存在两相交直线a,b使a∥m,b∥l,又由n⊥l,n⊥m,则n⊥a,n⊥b,∴n⊥α,故②正确;若l∥α,m∥β,α∥β,则l与m可能平行与可能相交,也可能异面,故③错误;若l⊂α,m⊂α,l∩m=A,l∥β,m∥β,则由面面平行的判定定理可得α∥β,故④正确;故答案为:①②④10.(5分)在平面直角坐标系中,设直线l:kx﹣y+=0与圆C:x2+y2=4相交于A、B两点,,若点M在圆C上,则实数k=±1.【解答】解:由直线kx﹣y+=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,联立两方程得:(1+k2)x2+2kx﹣2=0∴x A+x B=﹣,y A+y B=kx A++kx B+=∵,∴M(﹣,)代入圆x2+y2=4可得∴k=±1故答案为:±111.(5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=2C,c=2,a2=4b﹣4,则a=.【解答】解:在△ABC中,∵A=2C,c=2,∴由正弦定理得,,则,即a=4cosC,由余弦定理得,a=4×=2×,化简得a2(b﹣2)=2(b2﹣4),①又a2=4b﹣4,②,联立①②解得,或,∵A=2C,c=2,∴a>c=2,∴a=,故答案为:.12.(5分)已知不等式组表示的平面区域为Ω,若在Ω中存在一点P(x,y)使得﹣2≤ax﹣y≤3成立,则实数a的取值范围是﹣2≤a≤.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:则B(1,0),A(1,)则x≥1,则不等式﹣2≤ax﹣y≤3等价为y﹣2≤ax≤y+3,即≤a≤,设z=,则z的几何意义是区域内的点到点E(0,2)的斜率,则EB的斜率z==﹣2,EC的斜率z=﹣,此时﹣2≤z≤.设m=,则m的几何意义是区域内的点到点F(﹣3,0)的斜率,则FA的斜率m==,FB的斜率m=0,此时0≤m≤,若在Ω中存在一点P(x,y)使得﹣2≤ax﹣y≤3成立,则﹣2≤a≤,故答案为:﹣2≤a≤.13.(5分)对于集合A={a1,a2,…,a n}(n∈N*,n≥3),定义集合S={x|x=a i+a j,1≤i<j≤n},若a n=2n+1,则集合S中各元素之和为4n2+2n﹣12.【解答】解:a n=2n+1时,集合A={3,5,…,2n+1}(n∈N*,n≥3),由于集合S={x|x=a i+a j,1≤i<j≤n},∴集合S={6+2,6+4,6+6,…,6+2(2n﹣3)},∴集合S中的元素个数S(A)=2n﹣3(n≥3).∴集合S中各元素之和==4n2+2n﹣12.故答案为:4n2+2n﹣12.14.(5分)已知x>0,y>0,且满足x+﹣﹣=8,则2x+y的最小值为18.【解答】解:∵x>0,y>0,且满足x+﹣﹣=8,化为:=8+,令2x+y=t>0,则=8(2x+y)+(2x+y)=8(2x+y)+2+8++≥8(2x+y)+10+2=8(2x+y)+18,∴t2﹣16t﹣36≥0,解得t≥18,即2x+y≥18,当且仅当y=4x=12时取等号.故答案为:18.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知∠ACB=90°,M为A1B与AB1的交点,N为棱B1C1的中点.(1)求证:MN∥平面AA1C1C;(2)若AC=AA1,求证:MN⊥平面A1BC.【解答】解:(1)连接AC1,∵矩形AA1B1B中,M为A1B与AB1的交点,∴M是AB1的中点,又∵N为棱B1C1的中点,∴△AB1C1中,MN是中位线,可得MN∥AC1,…(4分)又∵AC1⊂平面AA1C1C,MN⊄平面AA1C1C,∴MN∥平面AA1C1C.…(6分)(2)∵矩形A1C1CA中,AC=AA1,∴四边形AA1C1C是正方形,可得AC1⊥A1C,又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,且BC⊂平面ABC,∴CC1⊥BC.∵∠ACB=90°,即AC⊥BC,∴结合CC1∩AC=C,得BC⊥平面AA1C1C,∵AC1⊆平面AA1C1C,∴BC⊥AC1,…(8分)∵BC、A1C是平面A1BC内的相交直线,∴AC1⊥平面A1BC又∵MN∥AC1,∴MN⊥平面A1BC.…(14分)16.(14分)设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a3=6,S3=15.(1)求{a n}的首项a1和公差d的值;(2)设数列{b n}满足:对任意的正整数n,都有a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=(n2+n)•2n+1.求数列{b n}的通项公式b n及前n项和为T n.【解答】解:(1)由a3=6,S3=15,可得a1+2d=6,3a1+d=15,解得a1=4,d=1;(2)由(1)可得a n=4+n﹣1=n+3,对任意的正整数n,都有a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=(n2+n)•2n+1,可得n=1时,a1b1=4b1=8,解得b1=2;当n>1时,a1b1+a2b2+a3b3+…+a n﹣1b n﹣1=[(n﹣1)2+n﹣1]•2n,①a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n=(n2+n)•2n+1,②②﹣①可得a n b n=(n2+n)•2n+1﹣[(n﹣1)2+n﹣1]•2n=n(n+3)•2n,由a n=n+3,可得b n=n•2n;则T n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n,③即有2T n=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1,④③﹣④,可得﹣T n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1,化简可得T n=(n﹣1)•2n+1+2.综上可得,b n=n•2n;T n=(n﹣1)•2n+1+2.17.(14分)在△ABC中,三边a,b,c所对应的角分别是A,B,C,已知a,b,c成等比数列.(1)若+=,求角B的值;(2)若△ABC外接圆的面积为4π,求△ABC面积的取值范围.【解答】解:(1)由题意得,,(2分)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,○由正弦定理有sin2B=sinAsinC,(3分)∵A+C=π﹣B,∴sin(A+C)=sinB,得,即,(5分)由b2=ac知,b不是最大边,∴.(6分)(2)∵△ABC外接圆的面积为4π,∴△ABC的外接圆的半径R=2,(7分)由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB,得,又b2=ac,∴,当且仅当a=c时取等号,∵B为△ABC的内角,∴,(9分)由正弦定理,得b=4sinB,(10分)∴△ABC的面积,(11分)∵,∴,∴.(12分)18.(16分)如图,GH是东西方向的公路北侧的边缘线,某公司准备在GH上的一点B的正北方向的A处建一仓库,设AB=ykm,并在公路北侧建造边长为xkm 的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在GH上),现从仓库A向GH和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1,且∠ABC=60°.(1)求y关于x的函数解析式,并指出定义域;(2)如果中转站四堵围墙造价为1万元/km,两条道路造价为3万元/km,问:x取何值时,该公司建中转站围墙和两条道路总造价M最低?【解答】解:(1)∵AB=y,AB=AC+1,∴AC=y﹣1.∵在Rt△BCF中,CF=x,∠ABC=60°,∴∠CBF=30°,可得BC=2x.由于2x+y﹣1>y,得x.在△ABC中,根据余弦定理AC2=AB2+BC2﹣2•AB•BC•cosB,可得(y﹣1)2=y2+(2x)2﹣2y•2x•cos60°,即(y﹣1)2=y2+4x2﹣2xy,解得y=.∵y>0且x,∴x>1.可得y关于x的函数解析式为y=,(x>1).函数的定义域为(1,+∞).(2)由题意,可得总造价M=3[y+(y﹣1)]+4x=﹣3+4x.令x﹣1=t,则M=﹣3+4(t+1)=16t++25≥=49,当且仅当16t=,即t=时,M的最小值为49.此时x=t+1=,y==.答:当x的值为时,该公司建中转站围墙和道路总造价M最低.19.(16分)已知平面直角坐标系上一动点P(x,y)到点A(﹣2,0)的距离是点P到点B(1,0)的距离的2倍.(1)求点P的轨迹方程;(2)已知点Q(2,0),过点A的直线l与点P的轨迹C相交于E,F两点,当△QEF的面积最大时,求直线l的方程;(3)过直线l′:3x+4y+14=0上一点R引点P的轨迹C的两条切线,切点分别为M,N,当线段MN的长度最小时,求MN所在直线的方程.【解答】解:(1)∵动点P(x,y)到点A(﹣2,0)的距离是点P到点B(1,0)的距离的2倍,∴(x+2)2+y2=4(x﹣1)2+4y2,∴(x﹣2)2+y2=4;(2)设直线方程为y=k(x+2),即kx﹣y+2k=0,(2,0)到直线的距离为d=,直线代入圆的方程,整理得(1+k2)x2+(4k2﹣4)x+4k2=0,∴|EF|=•,∴S=|EF|d=8△EFQ=8,设t=1+k2(t≥1),S△EFQ∴t=时,S取得最大值2,此时k=±,y=±(x+2).△EFQ(3)设R(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),则3x0+4y0+14=0,∴切线RM、RN方程分别为(x1﹣2)(x﹣2)+y1y=4,(x2﹣2)(x﹣2)+y2y=4,∵切线RM、RN都经过点R(x0,y0),∴(x1﹣2)(x0﹣2)+y1y0=4,(x2﹣2)(x0﹣2)+y2y0=4,∴直线MN方程为(x0﹣2)(x﹣2)+y0y=4,要求线段MN的长度最小,则要圆心到直线的距离最大,∴d=,∵3x0+4y0+14=0,消去y0得,(x0﹣2)2+y=(x0+)2+16,∴x0=﹣,d max=1,y0=﹣,∴当线段MN的长度最小时,MN所在直线的方程3x+4y﹣1=0.20.(16分)已知数列{a n}满足,a1+a2+…+a n﹣pa n+1=0(p≠0,p≠﹣1,n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)若对每一个正整数k,若将a k+1,a k+2,a k+3按从小到大的顺序排列后,此三项均能构成等差数列,且公差为d k.①求p的值及对应的数列{d k}.②记S k为数列{d k}的前k项和,问是否存在a,使得S k<30对任意正整数k恒成立?若存在,求出a的最大值;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)因为a1+a2+…+a n﹣pa n+1=0,所以n≥2时,a1+a2+…+a n﹣1﹣pa n=0,两式相减,得,故数列{a n}从第二项起是公比为的等比数列…(3分)又当n=1时,a1﹣pa2=0,解得,从而…(5分)(2)①由(1)得,[1]若a k+1为等差中项,则2a k+1=a k+2+a k+3,即或,解得…(6分)此时,所以…(8分)[2]若a k+2为等差中项,则2a k+2=a k+1+a k+3,即,此时无解…(9分)[3]若a k+3为等差中项,则2a k+3=a k+1+a k+2,即或,解得,此时,所以…(11分)综上所述,,或,…(12分)②[1]当时,,则由S k<30,得,当k≥3时,,所以必定有a<1,所以不存在这样的最大正整数…(14分)[2]当时,,则由S k<30,得,因为,所以a=13满足S k<30恒成立;但当a=14时,存在k=5,使得即S k>30,所以此时满足题意的最大正整数a=13…(16分)赠送:初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型:图形特征:BAPl运用举例:1. △ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为AP的中点,则MF的最小值为EM FB2.如图,在边长为6的菱形ABCD中,∠BAD=60°,E为AB的中点,F为AC上一动点,则EF+BF的最小值为_________。
2017年下学期期中考试高一数学试卷 精品
2017年下学期期中考试高一数学试卷时量:120分钟 总分:150分一、选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分,每小题仅有一个正确答案)1、下列说法:○12017年考入清华大学的性格外向的学生能组成一个集合;○2空集φ⊆{}0;○3数集{}x x x -2,2中,实数x 的取值范围是{}0≠x x 。
其中正确的个数是( )A 、3B 、2C 、1D 、02、已知全集I=R ,M={}22≤≤-x x ,N={}1<x x ,则(C I M )∩N 等于( )A 、{}2-<x xB 、{}2>x xC 、{}2-≤x xD 、{}12<≤-x x3、下列结论:○13232)(a a =;○2a a n n =;○3函数021)73()2(---=x x y 定义域是[)+∞,2;○4若,210,5100==b a 则12=+b a 。
其中正确的个数是( )A 、0B 、1C 、2D 、34、函数f (x )=log 3x -8+2x 的零点一定位于区间( )A .(5,6)B .(3,4)C .(2,3)D .(1,2)5、一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面( )A .必定都不是直角三角形B .至多有一个直角三角形C .至多有两个直角三角形D .可能都是直角三角形6、把根式32)(--b a 改写成分数指数幂的形式是( )A 、32)(--b a B 、(23)--b a C 、3232---b a D 、2323---b a 。
7.棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应的截面面积分别为S 1、S 2、S 3,则( )A .S 1<S 2<S 3B .S 3<S 2<S 1C .S 2<S 1<S 3D .S 1<S 3<S 28、若函数)(x f 满足)()()(b f a f ab f +=,且m f =)2(,n f =)3(,则=)72(f ( )A 、n m +B 、n m 23+C 、n m 32+D 、23n m + 9.已知实数0a ≠,2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩,若(1)(1)f a f a -=+,则实数a 的值是( )A 、34-B 3,2-C 34- 和32- D.32 10. 已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增,则满足不等式(21)(3)f x f -<的x 取值范围是( )1.(,2)2A .(1,2)B - .(,2)C -∞ 1.[,2)2D 11. 若函数()y f x =的定义域为{}38,5x x x -≤≤≠,值域为{}12,0y y y -≤≤≠,则()y f x =的图象可能是( )A B C D12. 用min{a ,b }表示a ,b 两数中的最小值。
2016-2017学年高一(下)期中数学试卷
2016-2017学年高一(下)期中数学试卷文科注意:本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题,所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题,所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效,不予记分。
请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1. 已知集合A ={x|x >−1},B ={x|x 2+2x −3<0}则A ∩B =( )A. (−1,3)B. (−1,1)C. (−1,+∞)D. (−3,1)2. 若a >b ,则下列不等式成立的是( )A. 1a >1bB. 1a <1bC. a 3>b 3D. a 2>b 23. 已知{a n }是等差数列,且a 2+a 5+a 8+a 11=48,则a 6+a 7=( ) A. 12 B. 16 C. 20 D. 244. 设x ,y ∈R ,且x +4y =40,则lgx +lgy 的最大值是( ) A. 40 B. 10 C. 4 D. 25.某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为x 米和3千米,测得灯塔A 在观察站C 的正西方向,灯塔B 在观察站C 西偏南30∘,若两灯塔A 、B 之间的距离恰好为√3千米,则x 的值为( ) A. 3 B. √3 C. 2√3 D. √3或2√36.已知{a n }是等比数列,其中a 1,a 8是关于x 的方程x 2−2xsinα−√3sinα=0的两根,且(a 1+a 8)2=2a 3a 6+6,则锐角α的值为( )A. π6B. π4C. π3D. 5π127. 已知数列{a n }的首项为−1,a n+1=2a n +2,则数列{a n }的通项公式为a n =( )A. 2n−1−2B. 2n −2C. 2n −1−2nD. −2n−1 8. 在△ABC 中,已知D 是BC 延长线上一点,点E 为线段AD 的中点,若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=( ) A. −14 B. 14C. −13D. 139.在△ABC中,A=30∘,AB=2,且△ABC的面积为√3,则△ABC外接圆的半径为( )A. 2√33B. 4√33C. 2D. 410.不等式(m+1)x2−mx+m−1<0的解集为⌀,则m的取值范围( )A. m<−1B. m≥2√33C. m≤−2√33D. m≥2√33或m≤−2√3311.数列{a n}的通项公式a n=ncos nπ2,其前项和为S n,则S2013等于( )A. 1006B. 2012C. 503D. 012.若不等式n2−n(λ+1)+7≥λ,对一切n∈N∗恒成立,则实数λ的取值范围( )A. λ≤3B. λ≤4C. 2≤λ≤3D. 3≤λ≤4请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.设向量a⃗=(m,1),b⃗ =(1,2),且|a⃗+b⃗ |2=|a⃗|2+|b⃗ |2,则m=______ .14.设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|−1<x<13},则ab的值是______ .15.若正实数{a n}满足a+2b=1,则1a +2b的最小值为______ .16.已知数列{a n}中,a1=0,a2=p(p是不等于0的常数),S n为数列{a n}的前n项和,若对任意的正整数n都有S n=na n2,则数列{a n}通项为______ ..三、解答题(本大题共6小题,共72.0分)17.(1)已知实数x,y均为正数,求证:(x+y)(4x +9y)≥25;(2)解关于x的不等式x2−2ax+a2−1<0(a∈R).18.已知数列{a n}中,a1=1,a3=4.(Ⅰ)若数列{a n}是等差数列,求a11的值;(Ⅱ)若数列{11+a n}是等差数列,求数列{a n}的通项公式.19.如图,在△ABC中,点P在BC边上,∠PAC=60∘,PC=2,AP+AC=4.(Ⅰ)求∠ACP;(Ⅱ)若△APB的面积是3√3,求sin∠BAP.220.某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每一小时可获+1)元.得的利润是50(5x−3x(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于1500元,求x的取值范围;(2)要使生产480千克该产品获得的利润最大,问:该厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.21.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知3b=4c,B=2C.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)若b=4,求△ABC的面积.22.已知递增数列{a n},a1=2,其前n项和为S n,且满足a n2+2=3(S n+S n−1)(n≥2).(1)求a2的值;(2)求数列{a n}的通项公式;=n,求其前n项和T n.(3)若数列{b n}满足log2b na n答案和解析【答案】 1. B 2. C 3. D 4. D 5. D6. C7. A8. A9. C 10. B 11. A 12. A13. −2 14. 6 15. 916. a n =p(n −1)17. (1)证明:(x +y)(4x +9y )=4+9+4y x+9x y=13+(4y x+9x y),又因为x >0,y >0,所以4yx >0,9x y>0,由基本不等式得,4y x+9x y≥2√4y x⋅9x y=12,当且仅当4yx =9x y时,取等号,即2y =3x 时取等号, 所以(x +y)(4x +9y )≥25;(2) 解:原不等式可化为[x −(a +1)]⋅[x −(a −1)]<0, 令[x −(a +1)]⋅[x −(a −1)]=0, 得x 1=a +1,x 2=a −1, 又因为a +1>a −1,所以原不等式的解集为(a −1,a +1).18. 解:(Ⅰ)设等差数列{a n }的公差d ,则a n =a 1+(n −1)d , 由题设,2d =4−1=3, 所以d =32.所以a n =1+32(n −1)=−12+3n 2,所以a 11=16;(Ⅱ)设b n =11+a n,则数列{b n }是等差数列,b 1=12,b 3=15,b n =12−320(n −1)=13−3n 20,即11+a n=13−3n 20,所以a n =7+3n13−3n .19. 解:(Ⅰ)在△APC 中,因为∠PAC =60∘,PC =2,AP +AC =4,由余弦定理得PC 2=AP 2+AC 2−2⋅AP ⋅AC ⋅cos∠PAC , 所以22=AP 2+(4−AP)2−2⋅AP ⋅(4−AP)⋅cos60∘,整理得AP 2−4AP +4=0, 解得AP =2. 所以AC =2.所以△APC 是等边三角形. 所以∠ACP =60∘.(Ⅱ) 法1:由于∠APB 是△APC 的外角,所以∠APB =120∘. 因为△APB 的面积是3√32,所以12⋅AP ⋅PB ⋅sin∠APB =3√32. 所以PB =3.在△APB 中,AB 2=AP 2+PB 2−2⋅AP ⋅PB ⋅cos∠APB =22+32−2×2×3×cos120∘=19,所以AB =√19.在△APB 中,由正弦定理得ABsin∠APB =PBsin∠BAP , 所以sin∠BAP =3sin120∘√19=3√5738. 法2:作AD ⊥BC ,垂足为D ,因为△APC 是边长为2的等边三角形, 所以PD =1,AD =√3,∠PAD =30∘. 因为△APB 的面积是3√32,所以12⋅AD ⋅PB =3√32. 所以PB =3. 所以BD =4.在Rt △ADB 中,AB =√BD 2+AD 2=√19, 所以sin∠BAD =BDAB=4√19,cos∠BAD =ADAB =√3√19. 所以sin∠BAP =sin(∠BAD −30∘)=sin∠BADcos30∘−cos∠BADsin30∘ =4√19×√32−√3√19×12=3√5738.20. 解:(1)根据题意,有100(5x −3x +1)≥1500,得5x 2−14x −3≥0,得x ≥3或x ≤−15, 又1≤x ≤10,得3≤x ≤10.(2)生产480千克该产品获得的利润为u =24000(5+1x −3x 2),1≤x ≤10, 记f(x)=−3x 2+1x +5,1≤x ≤10, 则f(x)=−3(1x −16)2+112+5 当且仅当x =6时取得最大值6112,则获得的最大利润为u =24000×6112=122000(元)故该厂以6千克/小时的速度生产,可获得最大利润为122000元. 21. 解:(Ⅰ)由3b =4c 及正弦定理得3sinB =4sinC , ∵B =2C ,∴3sin2C =4sinC ,即6sinCcosC =4sinC , ∵C ∈(0,π), ∴sinC ≠0, ∴cosC =23,sinC =√53, ∴sinB =43sinC =4√59.(Ⅱ)解法一:由3b =4c ,b =4,得c =3且cosB =cos2C =2cos 2C −1=−19, ∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =4√59×23+(−19)×√53=7√527, ∴S △ABC =12bcsinA =12×4×3×7√527=14√59. 解法二:由3b =4c ,b =4,得c =3,由余弦定理c 2=a 2+b 2−2abcosC ,得32=a 2+42−2a ×4×23, 解得a =3或a =73,当a =3时,则△ABC 为等腰三角形A =C ,又A +B +C =180∘,得C =45∘,与cosC =23矛盾,舍去, ∴a =73,∴S △ABC =12absinC =12×73×4×√53=14√59. 22. 解:(1)当n =2时,a 22+2=3(S 2+S 1),所以a 22+2=3(a 2+2a 1),即a 22−3a 2−10=0,依题意得,a 2=5或a 2=−2(舍去);(2)由a n 2+2=3(S n +S n−1)(n ≥2)得,a n+12+2=3(S n+1+S n ) 可得a n+12−a n 2=3(S n+1−S n−1),即a n+12−a n 2=3(a n+1+a n )由递增数列{a n },a 1=2,可得a n+1−a n =3(n ≥2).又因为a 2−a 1=3所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,即a n =2+3(n −1)=3n −1. 上式对n =1也成立,故数列{a n }的通项公式为a n =3n −1.(3)数列{b n }满足log 2b n a n=n ,可得bna n=2n ,即b n =(3n −1)⋅2n ,前n 项和T n =2⋅21+5⋅22+8⋅23+⋯+(3n −4)⋅2n−1+(3n −1)⋅2n , 2T n =2×22+5×23+⋯+(3n −4)⋅2n +(3n −1)⋅2n+1.两式相减可得,−T n =2⋅21+(3⋅22+3⋅23+⋯+3⋅2n )−(3n −1)⋅2n+1−T n=4+12(1−2n−1)1−2−(3n−1)⋅2n+1=3⋅2n+1−(3n−1)⋅2n+1−8,化简可得,T n=8+(3n−4)⋅2n+1【解析】1. 解:根据题意,x2+2x−3<0⇒−3<x<1,则B={x|x2+2x−3<0}=(−3,1),又由A={x|x>−1}=(−1,+∞),则A∩B=(−1,1);故选:B.根据题意,解x2+2x−3<0可以求出集合B,进而结合集合A由集合交集的定义计算可得答案.本题考查集合交集的计算,关键是掌握集合的表示方法.2. 解:令a=0,b=−1,显然A、B、D不成立,故选:C.通过特殊值代入各个选项,从而求出正确答案.本题考查了不等式的基本性质,属于基础题.3. 解:由等差数列的性质可得:a2+a11=a5+a8=a6+a7,因为a2+a5+a8+a11=48,所以2(a6+a7)=48,故a6+a7=24,故选D由等差数列的性质可得:a2+a11=a5+a8=a6+a7,代入已知可得答案.本题考查等差数列的性质,属基础题.4. 解:∵x>0,y>0,x+4y=40,∴40≥2√4xy,化为xy≤100,当且仅当x=4y=12×40,即x=20,y=5时取等号,∴lgx+lgy=lg(xy)≤lg100=2.故选D.利用基本不等式的性质和对数的运算性质即可求出.熟练掌握基本不等式的性质和对数的运算性质是解题的关键.5. 解:如图所示,在△ABC中,由余弦定理可得:(√3)2=32+x2−2×3×x×cos30∘,化为x2−3√3x+6=0,解得x=√3或2√3.故选:D.在△ABC中,利用余弦定理即可得出.本题考查了余弦定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.6. 解:∵a1,a8是关于x的方程x2−2xsinα−√3sinα=0的两根,∴a1⋅a8=−√3sinα,a1+a8=2sinα,∵(a1+a8)2=2a3a6+6,∴(a1+a8)2=2a1a8+6,∴4sin2α=2×(−√3sinα)+6,即2sin2α+√3sinα−3=0,α为锐角.∴sinα=√32,α=π3.故选:C .利用一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、三角函数求值即可得出.本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等比数列的性质、三角函数求值,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7. 解:由a n+1=2a n +2,则a n+1+2=2(a n +2), a 1+2=1,∴数列{a n }是以1为首项,以2为公比的等比数列, 则a n +2=1×2n−1, ∴a n =2n−1−2,∴数列{a n }的通项公式a n =2n−1−2, 故选:A .由题意可知a n+1+2=2(a n +2),根据等比数列的通项公式,即可求得数列{a n }的通项公式a n =2n−1−2.本题考查数列的递推式的应用,考查等比数列的前n 项和公式,考查计算能力,属于中档题. 8. 解:∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×32BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =)=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴λ=−14,故选:A .通过利用向量的三角形法则,以及向量共线,代入化简即可得出.本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.9. 解:在△ABC 中,由A =30∘,c =AB =2,得到S △ABC =12bcsinA =12b ×2×12=√3,解得b =2√3,根据余弦定理得:a 2=12+4−2×2√3×2×√32=4,解得a =2,根据正弦定理得:asinA=2R(R 为外接圆半径),则R =22×12=2.故选:C .由已知利用三角形面积公式可求b ,进而利用余弦定理解得a ,根据正弦定理即可求得外接圆半径R 的值.本题主要考查了三角形面积公式,余弦定理,正弦定理在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.10. 解:∵关于x 的不等式(m +1)x 2−mx +m −1<0的解集为⌀, ∴不等式(m +1)x 2−mx +m −1≥0恒成立,①当m +1=0,即m =−1时,不等式化为x −2≥0,解得x ≥2,不是对任意x ∈R 恒成立;②当m +1≠0时,即m ≠−1时,∀x ∈R ,使(m +1)x 2−mx +m −1≥0, 即m +1>0且△=(−m)2−4(m +1)(m −1)≤0, 化简得:3m 2≥4,解得m ≥2√33或m ≤−2√33, ∴应取m ≥2√33;综上,实数m的取值范围是m≥2√33.故选:B.关于x的不等式(m+1)x2−mx+m−1<0的解集为⌀,可转化成不等式(m+1)x2−mx+ m−1≥0恒成立,然后讨论二次项系数和判别式可得结论.本题主要考查了二次函数恒成立问题,即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号,列出等价条件求出对应的参数的范围,是基础题.11. 解:数列{a n}的通项公式a n=ncos nπ2,所以当n为奇数时,a n=0,当n为偶数时,a2=−2,a4=4,a6=−6,a8=8,所以S2013=a2+a4+a6+a8+⋯+a2012=−2+4−6+8+⋯−2010+2012=(−2+4)+(−6+8)+⋯+(−2010+2012)=2+2+⋯+2=503×2=1006.故选A.利用数列的通项公式,研究数列前n项和的规律.本题主要考查数列的前n项和,利用数列项的特点发现规律是解决本题的关键,考查学生分析问题的能力,综合性较强.12. 解:∵不等式n2−n(λ+1)+7≥λ,对一切n∈N∗恒成立,∴n2−n+7≥λ(n+1),∵n∈N∗,∴λ≤n2−n+7n+1对一切n∈N∗恒成立.而n2−n+7n+1=(n+1)2−3(n+1)+9n+1=(n+1)+9n+1−3≥2√(n+1)⋅9n+1−3=3,当且仅当n+1=9n+1,即=2时等号成立,∴n≤3.故选:A.推导出n2−n+7≥λ(n+1),从而λ≤n2−n+7n+1对一切n∈N∗恒成立.由此利用基本不等式能求出实数λ的取值范围.本题考查实数的取值范围的求法,涉及到数列、均值不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.13. 解:|a⃗+b⃗ |2=|a⃗|2+|b⃗ |2,可得a⃗⋅b⃗ =0.向量a⃗=(m,1),b⃗ =(1,2),可得m+2=0,解得m=−2.故答案为:−2.利用已知条件,通过数量积判断两个向量垂直,然后列出方程求解即可.本题考查向量的数量积的应用,向量的垂直条件的应用,考查计算能力.14. 解:∵不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|−1<x<13},∴a<0,∴原不等式等价于−ax2−bx−1<0,由根与系数的关系,得−1+13=−ba,−1×3=1a,∴a=−3,b=−2,∴ab=6.故答案为:6.对原不等式进行等价变形,利用根与系数的关系求出a、b的值,即可得出ab的值.本题考查了一元二次不等式的解法和应用问题,也考查了根与系数的应用问题,是基础题目.15. 解:1a +2b=(a+2b)(1a+2b)=1+4+2ba+2ab≥5+2√2ba⋅2ab=5+4=9,当且仅当a=b=13,故1a +2b的最小值为9.故答案为:9.1 a +2b=(a+2b)(1a+2b),展开后利用基本不等式求最值.本题考查了利用基本不等式求最值,关键是对“1”的代换,利用基本不等式求最值要注意:“一正、二定、三相等”,是基础题.16. 解:∵S n=na n2,∴S n+1=n+12a n+1,两式相减得:a n+1=n+12a n+1−n2a n,∴n−12a n+1=n2a n,∴当n≥2时,a n+1n =a nn−1=⋯=a21=p,∴a n=p(n−1).显然n=1时,上式也成立.∴对一切n∈N+,a n=p(n−1).故答案为:a n=p(n−1).由条件得S n+1=n+12a n+1,与条件式相减得出递推式,从而得出{a n+1n}是常数列,得出通项,再验证n=1的情况即可.本题考查了数列通项公式的求法,属于中档题.17. (1)化简不等式的左边,利用基本不等式求得最小值即可;(2)原不等式可化为[x−(a+1)]⋅[x−(a−1)]<0,求出不等式对应方程的根,再写出不等式的解集.本题考查了基本不等式与一元二次不等式的解法和应用问题,是中档题.18. (Ⅰ)根据等差数列的通项公式求得公差d,然后代入通项公式求得a11的值;(Ⅱ)设b n=11+a n ,则数列{b n}是等差数列,根据等差数列的定义求得b n=13−3n20,易得数列{a n }的通项公式.本题考查等差数列的性质,考查等差数列的通项公式,考查运算与推理的能力,属于中档题. 19. (Ⅰ) 在△APC 中,由余弦定理得AP 2−4AP +4=0,解得AP =2,可得△APC 是等边三角形,即可得解.(Ⅱ) 法1:由已知可求∠APB =120∘.利用三角形面积公式可求PB =3.进而利用余弦定理可求AB ,在△APB 中,由正弦定理可求sin∠BAP =∘√19的值.法2:作AD ⊥BC ,垂足为D ,可求:PD =1,AD =√3,∠PAD =30∘,利用三角形面积公式可求PB ,进而可求BD ,AB ,利用三角函数的定义可求sin∠BAD =BD AB =√19cos∠BAD =AD AB =√3√19.sin∠BAP =sin(∠BAD −30∘)的值.本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式,正弦定理,三角函数的定义,两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和数形结合思想,考查了转化思想,属于中档题.20. (1)利用已知条件列出不等式求解即可.(2)利用二次函数的性质,通过配方求解函数的最值即可.本题考查函数的实际应用,二次函数的性质,考查计算能力.21. (Ⅰ)由已知及二倍角的正弦函数公式,正弦定理得6sinCcosC =4sinC ,由于sinC ≠0,可求cosC ,进而可求sinC ,sinB 的值.(Ⅱ)解法一:由已知可求c ,利用二倍角的余弦函数公式可求cosB ,利用三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式可求sinA ,进而利用三角形面积公式即可得解;解法二:由已知可求c ,由余弦定理解得a ,分类讨论,利用三角形面积公式即可计算得解. 本题主要考查了二倍角的正弦函数公式,正弦定理,二倍角的余弦函数公式,三角形内角和定理,两角和的正弦函数公式,三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了转化思想和分类讨论思想,属于基础题.22. (1)由a 1=2,且满足a n2+2=3(S n +S n−1)(n ≥2).n =2时,即可得出. (2)由a n 2+2=3(S n +S n−1)(n ≥2)得,a n+12+2=3(S n+1+S n ),可得a n+12−a n 2=3(S n+1−S n−1),即a n+12−a n 2=3(a n+1+a n ),化为a n+1−a n =3(n ≥2).再利用等差数列的通项公式即可得出.(3)数列{b n }满足log 2b n a n =n ,可得bn a n =2n ,即b n =(3n −1)⋅2n ,再利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出.本题考查了数列递推关系、错位相减法、等比数列与等差数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.。
2016-2017高一下学期期中考试参考答案 精品
2016—2017学年高一(下)期中考试(数学)参考答案一、选择题(5*12=60分)1.D2.D3.D4.A5.C6.A7.B8.B9.A 10.C 11.D 12.D二、填空题(4*5=20分) 13.⎥⎦⎤ ⎝⎛3320, 14.y =-4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x +π4 15.π;]87,83[ππππk k ++,k ∈Z 16.51三、解答题(70分)17.(10分)(1)因为0<α<2π,sin α=54, 故cos α=53,所以tan α=34. -------5分 (2)cos 2α+sin (2π+α)=1-2sin 2α +cos α=1-2532+53=258.-----------5分18.(12分)解:(1)∵a ,b 的夹角为6π, ∴ ⋅=|a |•|b |•cos 6π=23, ……1分 ∴|a -b |2=(a -b )2 ……2分=a 2+b 2 -2⋅=1+3-3=1, ……3分1= ……4分 (2+≤≤]13,13[+-∈+ ……6分≤]3,0[∈⋅ ……7分(3)21)2()3(=+⋅-b a b a ,2135222=-⋅-∴b b a a .……8分 又|a |=1,|b |=3,23-=⋅∴.……9分 1cos 2a b a b θ∴==-·23-. ……10分 ],0[πθ∈ ……没有此说明扣1分 65πθ=∴. ……12分19.(12分)解:(1)因为f (x )=sin (π-ωx )cos ωx +cos 2ωx ,所以f (x )=sin ωx cos ωx +1+cos 2ωx 2=12sin 2ωx +12cos 2ωx +12=22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx +π4+12. 由于ω>0,依题意得2π2ω=π,所以ω=1.-------------------4 (2)由(1)知f (x )=22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4+12, 所以g (x )=f (2x )=22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x +π4+12. 当0≤x ≤π16时,π4≤4x +π4≤π2, 所以22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x +π4≤1.因此1≤g (x )≤1+22. 故g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π16上的最小值为1.-----------------------620.(12分)解:过点B 作BH ⊥OA ,垂足为H.设∠OAD=θ错误!未找到引用源。
河南省天一大联考20162017学年高一(下)段考数学模拟试题(三)(解析版)
河南省天一大联考20162017学年高一(下)段考数学模拟试题(三)(解析版)————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:2016-2017学年河南省天一大联考高一(下)段考数学试卷(三)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若向量=(2,4),=(﹣2,2n),=(m,2),m,n∈R,则m+n的值为()A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.12.已知角A是△ABC的一个内角,且,则△ABC的形状是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法判断△ABC的形状3.已知向量=(k,cos),向量=(sin,tan),若,则实数k的值为()A.B.﹣1 C.D.14.已知向量=(,),=(,),则∠ABC=()A.B.C. D.5.给出下面四个函数:①y=cos|2x|;②y=|sinx|;③;④.其中最小正周期为π的有()A.①②③B.②③④C.②③D.①④6.若是两个单位向量,且(2+)⊥(﹣2+3),则|+2|=()A.B.6 C.D.27.函数g(x)=sin(2x+)在[0,]上取得最大值时的x的值为()A.B.C.D.8.若,则函数f(x)的奇偶性为()A.偶函数B.奇函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数9.已知,则=()A.B.C.1 D.或10.函数f(x)=sin(2x+φ)|φ|<)的图象向左平移个单位后关于原点对称,则φ等于()A.B.﹣C.D.11.已知△ABC为锐角三角形,则下列判断正确的是()A.tan(sinA)<tan(cosB)B.tan(sinA)>tan(cosB)C.sin(tanA)<cos(tanB)D.sin(tanA)>cos(tanB)12.已知sinθ+cosθ=sinθcosθ,则角θ所在的区间可能是()A.(,) B.(,)C.(﹣,﹣) D.(π,)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.若角α的终边与的终边关于y轴对称,则角α的取值集合为.14.函数在(0,π)上的零点是.15.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω>0,|φ|<)的图象如图所示,则tanφ=.16.如图,在四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,设=,=,若,则=.(用向量a和b表示)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知扇形的中心角为2,扇形所在圆的半径为r,若扇形的面积值与周长值的差为f(r),求f(r)的最小值及对应r的值.18.已知点A,B,C是单位圆O上圆周的三等分点,设=,=,=(I)求证:()⊥(II)若|t++|=1,求实数t的值.19.已知角α的终边上一点(x,3),且tanα=﹣2.(I)求x的值;(II)若tanθ=2,求的值.20.已知ω>0,平面向量=(2sinωx,),=(2cos(ωx+),1),函数f (x)=的最小正周期是π.(I)求f(x)的解析式和对称轴方程;(II)求f(x)在上的值域.21.已知.(I)求sin2α的值;(II)求的值.22.设函数(ϖ>0)图象上的相邻的最高点与最低点之间的距离为.(1)求ϖ的值及单调递增区间;(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且b+c=2,A=,求f (a)的值域.【解答】解:∵=,∴(m,2)=(2,4)+(﹣2,2n),可得:m=2﹣2=0,2=4+2n,解得n=﹣1.∴m+n=﹣1.故选:B.【解答】解:∵,∴tanA===﹣4<0.又角A是△ABC的一个内角,∴90°<A<180°,∴△ABC是钝角三角形.故选:C.【解答】解:∵向量=(k,cos),向量=(sin,tan),,∴=,解得实数k=.故选:C.【解答】解:设向量与的夹角为θ,则∠ABC=π﹣θ,向量=(,),则||=1,=(,),则||=1,且=×+×=,则cosθ==,又由0≤θ≤π,则θ=,则∠ABC=π﹣=;故选:D.【解答】解:由于:①y=cos|2x|的最小正周期为=π;②y=|sinx|的最小正周期为=π;③的最小正周期为=π;④的最小正周期为,故选:A.【解答】解:∵(2+)⊥(﹣2+3),∴(2+)•(﹣2+3)=﹣4+3+4=﹣1+4=0.可得:=.则|+2|===.故选:A.【解答】解:在[0,]上,2x+∈[,],sin(2x+)∈[﹣,1],故当2x+=,即x=时,函数g(x)=sin(2x+)在[0,]上取得最大值为1,故选:B.【解答】解:==cosx.∵f(﹣x)=cos(﹣x)=cosx=f(x).∴函数f(x)是偶函数.故选:A.【解答】解:∵已知=,sin2α+cos2α=1,∴sinα=﹣,cosα=﹣,则=﹣sinα+2•=1﹣sinα﹣cosα=1++=,故选:B.【解答】解:函数f(x)=sin(2x+φ)φ|<)的图象向左平移个单位后,得到函数y=sin[2(x+)+φ]=sin(2x++φ)的图象,再根据所得图象关于原点对称,可得+φ=kπ,k∈z,∴φ=﹣,故选:D.【解答】解:锐角△ABC中,A+B>,∴>A>﹣B>0,又正弦函数在(0,)上单调递增,∴sinA>sin(﹣B)=cosB,又正切函数在(0,1)上单调递增,∴tan(sinA)>tan(cosB).故选:B.【解答】解:∵sinθ+cosθ=sinθcosθ,设sinθ+cosθ=t,则1+2sinθcosθ=t2,∴t=,求得t=1+(不合题意,舍去),或t=1﹣,即sinθ+cosθ=1﹣=sinθcosθ,故sinθ和cosθ异号,故排除A、D.在(,)上,sinθ∈(,1),cosθ∈(﹣,0),sinθ+cosθ>0,不满足条件,故排除B.(﹣,﹣)上,sinθ∈(﹣1,﹣),cosθ∈(0,),sinθ+cosθ<0,满足条件,故选:C.【解答】解:∵角α的终边与的终边关于y轴对称,∴,∴角α的取值集合为:.故答案为:.【解答】解:令f(x)=0得tan(2x+)=1,∴2x+=+kπ,解得x=+,k∈Z.当k=0时,x=,当k=1时,x=.故答案为:或.【解答】解:根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象知,A=1,=﹣=,∴T=π,∴ω==2;根据五点法画图知,ω•+φ=2×+φ=π,解得φ=,∴tanφ=tan=.故答案为:.【解答】解:由题意可得四边形ABCD是梯形,且AB=2CD.由△AOB∽△COD 可得==,∴AO=AC,即=.∴==(+)=(+)=,故答案为.【解答】解:(I)由题意可得===1,且,,两两夹角均为120°,所以:()•=1×1×cos120°﹣1×1×cos120°=0,所以()⊥.(II)因为|t++|=1,所以=+++2t+2=1,因为===﹣,则t2+1+1﹣t﹣t﹣1=1,则t2﹣2t=0,解得t=0或2.19.已知角α的终边上一点(x,3),且tanα=﹣2.(I)求x的值;(II)若tanθ=2,求的值.【考点】G9:任意角的三角函数的定义;GI:三角函数的化简求值.【分析】(I)利用任意角的三角函数的定义,求得x的值.(II)利用同角三角函数的基本关系,求得要求式子的值.【解答】解:(I)由三角函数的定义,得,解得.(II)=+=+=0.【解答】解:(I)向量=(2sinωx,),=(2cos(ωx+),1),则函数f(x)==4sinωxcos(ωx+)+=4sinωx(cosωx﹣sinωx)+=2sinωxcosωx﹣2sin2ωx+=sin2ωx+cos2ωx=2sin(2ωx+),由ω>0得f(x)的最小正周期是T==π,解得ω=1,所以函数f(x)=2sin(2x+);由2x+=+kπ,k∈Z,解得f(x)的对称轴方程为x=+,k∈Z;(II)∵,∴2x∈[﹣,],∴,∴sin(2x+)∈[﹣,1],2sin(2x+)∈[﹣1,2],∴f(x)在上的值域是[﹣1,2].【解答】解:(I),则,又∵,∴,∴.所以(II)由(I)知,又,所以,所以.【解答】解:(1)f(x)=sin(2),…由条件,T=2=⇒ω=.∴…令…解得单调递增区间:k∈Z…(2)由余弦定理:∵∴a2=b2+c2﹣2bccosA=(b+c)2﹣3bc=4﹣3bc…又2=b+c≥2⇒0<bc≤1,故1≤a2<4,又2=b+c>a,故1≤a≤2 …由f(a)=sin(πa+),,所以f(a)的值域为[﹣,].…。
江苏省徐州市2016-2017学年高一数学下学期期中试题
2016—2017学年度第二学期高一年级期中考试数学试卷考试时间:120分钟一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分.)1. 函数()f x =的定义域是▲ .2. 在数列{}n a 中,111,2n n a a a +=-=,则6a 的值为▲ .3. 经过点()11,和()2-,4的直线的一般式方程为▲ .4. △ABC 中, A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足csinA =acosC ,则角C =▲ .5. 设π20<≤x ,且x 2sin 1-=,cos sin x x -则x 的取值范围是▲ .6. 边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角之和为▲ .7. △ABC 中,3sin 5A =,5cos 13B =,则cosC = ▲ . 8. 已知直线l 经过点(1,0)P 且与以(2,1)A ,(3,2)B -为端点的线段AB 有公共点,则直 线l 的倾斜角的取值范围为▲ .9. 已知三角形ABC 中,有:22tan tan a B b A =,则三角形ABC 的形状是▲ .10.设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且212a =,11n n n a S S ++=,则n S = ▲ . 11.已知等差数列{}n a 满足:11101a a <-,且它的前n 项和n S 有最大值,则当n S 取到最小正值时,n = ▲ . 12.已知m y y m x x -=+=+2s i n ,2s i n 33,且)4,4(,ππ-∈y x ,R m ∈,则=++)3t a n (πy x ▲ .13.已知R a ∈,关于x 的一元二次不等式22170x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数,则实数a 的取值范围为▲ .14. 我们知道,如果定义在某区间上的函数()f x 满足对该区间上的任意两个数1x 、2x ,总有不等式1212()()()22f x f x x x f ++≤成立,则称函数()f x 为该区间上的向上凸函数(简称上凸). 类比上述定义,对于数列{}n a ,如果对任意正整数n ,总有不等式:212n n n a a a +++≤成立,则称数列{}n a 为向上凸数列(简称上凸数列). 现有数列{}n a满足如下两个条件:(1)数列{}n a 为上凸数列,且1101,28a a ==;(2)对正整数n (*,101N n n ∈<≤),都有20n n a b -≤,其中2610n b n n =-+. 则数列{}n a 中的第三项3a 的取值范围为▲ .二、解答题(本大题共6道题,共计90分)15.设直线34+50x y -=的倾斜角为α,(1)求tan 2α的值;(2)求cos()6πα-的值。
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2016-2017学年第二学期天一中学高一数学期中考试
试卷必修2
试卷满分:150分考试时间:120分钟
卷I
一、选择题(本大题共2道小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线x=3的倾斜角是()
A.90°B.60°
C.30°D.不存在
2.圆(x+2)2+y2=5的圆心为()
A.(2,0)
B.(0,2)
C.(-2,0)
D.(0,-2)
3、已知,
a b
αα
⊂
//,则直线a与直线b的位置关系是()
A、平行;
B、相交或异面;
C、异面;
D、平行或异面。
4.如图,水平放置的圆柱形物体的三视图是()
5、在右图的正方体中,M、N分别为棱BC和棱CC1的中点,
则异面直线AC和MN所成的角为()
1
D1
B1
A1
A .30°
B .45°
C .90°
D . 60°
6.直线2x-y +4=0同时过第( )象限
A .一,二,三
B .二,三,四
C .一,二,四
D .一,三,四
7.若三点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上,则实数b 等于( )
A .2
B .3
C .9
D .-9
8.以A(1,3),B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A .3x -y -8=0
B .3x +y +4=0
C .3x -y +6=0
D .3x +y +2=0 9.两个球的半径之比为1∶3,那么两个球的表面积之比为
( )
A .1∶9
B .1∶27
C .1∶3
D .1∶1
10.已知以点A (2,-3)为圆心,半径长等于5的圆O ,则点M (5,-7)与圆O 的位置关系是( )
A .在圆内
B .在圆上
C .在圆外
D .无法判断 11.在同一直角坐标系中,表示直线y =ax 与直线y =x +a 的图象(如图所示)正确的是( )
12.圆x 2+y 2+2x +4y -3=0上到直线l :x +y +1=0的距离为2的点有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个
二、填空题(本大题共4道小题,每小题5分,共20分。
把答案填在题中横线上)
13、已知l 1:2x +my +1=0与l 2:y =3x -1,若两直线平行,则m 的值为________. 14.已知直线5x +12y +a =0与圆x 2-2x +y 2=0相切,则a 的值为________. 15、过点(1,2)且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 16、已知,a b 为直线,,,αβγ为平面,有下列三个命题: (1) a b αβ////,,则a b //; (2) ,a b γγ⊥⊥,则a b //; (3) ,a b b α⊂//,则a α//;
(4) ,a b a α⊥⊥,则b α//;
其中正确命题是 。
三、解答题(本大题共6道小题,共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17、(本小题满分10分)如下图(2),建造一个容积为3
16m ,
深为2m ,宽为2m 的长方体无盖水池,如果池底的造价为120m 2
/元,池壁的造价为80m 2
/元,求水池的总造价。
18.(本小题满分12分)已知直线2x +(t -2)y +3-2t =0,分别根据下列条件,求t 的值:
(1)过点(1,1);
(2)直线在y 轴上的截距为-3.
19、(本小题满分12分)求经过M (-1,2),且满足下列条件的直线方程 (1)与直线2x + y + 5 = 0平行 ; (2)与直线2x + y + 5 = 0垂直;
20.(本小题满分12分)求圆心在直线y =-4x 上,且与直线l :x +y -1=0相切于点P (3,2m
2m
图2
-2)的圆的方程.
21.(本小题满分12分)直线l 经过点P (5,5),且和圆C :x 2+y 2=25相交,截得的弦长为45,求l 的方程.
22、(本小题满分12分)如下图(4),在正方体1111ABCD A B C D -中, (1)求证直线BD 与平面1111D C B A ; (2)求证:面11BB DD ⊥面1AB C (2)求二面角11A B C C --的大小;
2016-2017学年第二学期天一中学高一数学期中考试
图(4)
1
A 1
B 1
D 1
C C
A
B
D
2m
2m
图(2)
试卷答案必修2
(非选择题 共90分)
一、选择题(本大题共2道小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的)
二、填空题(本大题共4道小题,每小题4分,共16分。
把答案填在题中横线上) 13、3
2
-
14、 15、3,2+==x y x y 16、(2)。
17、(本小题满分12分)如下图(2),建造一个容积为3
16m ,深为2m ,宽为2m 的长方体无盖水池,如果池底的造价为120m 2
/元,池壁的造价为80m 2
/元,求水池的总造价。
解:分别设长、宽、高为,,am bm hm ;水池的总造价为y 元
16,2,2V abh h b ====,
4a m ∴=———————————
则有2
428S m =⨯=底————————6分
()2224224S m =⨯+⨯=壁—————9分
12080120880242880y S S =⨯+⨯=⨯+⨯=底壁(元)———————10分
18. (1)过点(1,1) 所以当x=1,y=1时 2+t-2+3-2t=0 t=3
2)直线在y 轴上的截距为-3 所以过点(0,-3) -3(t-2)+3-2t=0
5t=9
t=9/5
19.(本小题满分12分)点M(-1,2)
(1)2
-
=
k-----3分直线方程为0
2=
+y
x--------5分
(2)
2
1
=
k---------6分直线方程为0
5
2=
+
-y
x--------8分
20(本小题满分12分)求圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程.
(x-1)2+(y+4)2=8.
21.(本小题满分12分)直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交,截得的弦长为45,求l的方程.
解:由题意易知直线的斜率k存在,设直线的方程为
由题意知,圆C:的圆心为(0,0),半径为5,圆心到直线的距离
在中,即解得
所以的方程为
22. 19、(本小题满分12分)如下图(4),在正方体
1111
ABCD A B C D
-中,
∴
1
AEC
∠为二面角
11
A B C C
--的平面角。
———————————4分
(2)证明:
1
D D ABCD
⊥面,AC ABCD
⊂面
1
D D AC
∴⊥——6分
又在正方形ABCD中AC BD
∴⊥1
A
1
B
1
D
1
C
C
A B
D
E
—————————————8分
1D D
BD D = 11AC DD B B ∴⊥面 ————————————10分
又
1AC AB C ⊂面 ∴面11BB DD ⊥面1AB C ———————————12分
(3)画出二面角11A B C C --的平面角; (2)求证:面11BB DD ⊥面1AB C 解:(1)如图,取1B C 的中点E ,连接1,AE EC 。
11,,AC AB B C 分别为正方形的对角线 11AC AB B C ∴==
E 是1B C 的中点 1AE B C ∴⊥ ——————2分
又
在正方形11BB C C 中 11EC B C ∴⊥ ——————————3分。