不等式选讲学案

不等式选讲
1.绝对值不等式：
例1.（2013年高考福建）设不等式2x a -<（*a N ∈）的解集为A ，且
32A ∈，12
A ∉. （1）求a 的值；
（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值.
演变1.（2011年高考福建）设不等式|21|1x -<的解集为M ．
（1）求集合M ；
（2）若a b M ∈、，试比较1ab +与a b +的大小．
演变2.（2014年高考辽宁）设函数()2|1|1f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x
≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N .
（1）求M ；
（2）当x M
N ∈时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤.
例2.设函数()|24|1f x x =-+
（1）若关于x 的不等式()f x t ≥恒成立，求t 的取值范围；
（2）若不等式()f x ax ≤的解集非空，求a 的取值范围
演变1.（2012年高考辽宁）已知()|1|f x ax =+（a R ∈），不等式()3f x ≤的解集为 {|21}x x -≤≤.
（1）求a 的值；
（2）若|()2()|2
x f x f k -≤恒成立，求k 的取值范围.
例3.设函数()||3f x x a x =-+，其中0a ≠
（1）当2a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；
（2）若不等式()0f x ≤的解集包含{|1}x x ≤-，求a 的取值范围
演变1.（2012年高考新课标）已知函数()|||2|f x x a x =++-
（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围
例4.（2013年高考新课标1）已知函数()|21||2|f x x x a =-++，()3g x x =+
（1）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；
（2）设1a >-，且当1[,)22
a x ∈-
时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围.
演变1.设函数()|2||2|f x x x a =++-
（1）当2a =时，求函数()f x 的值域；
（2）当4a <-时，若存在2x ≤-，使得()4f x x -≤成立，求实数a 的取值范围
例5.已知函数()|1||23|f x x x =--+
（1）若()f x a ≤恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）对于任意非零实数m ，不等式|21||1|||()m m m f x -+-≥⋅恒成立，求实数x 的取值范围
演变1.设函数()12f x x x =-+-
（1）求不等式()2f x ≤的解集；
（2）若不等式||||||()a b a b a f x ++-≥⋅（0a ≠，a b R ∈，）恒成立，求实数x 的取值范围
2.柯西不等式：
例1.（2014年高考新课标1）若0a >，0b >，且
ab b a =+11 （1）求33b a +的最小值；
（2）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.
演变1.（2013年高考新课标2）设a b c 、、均为正数，且1a b c ++=，证明：
（1）13ab bc ca ++≤；
（2）222
1a b c b c a
++≥.
例2.已知a 、b 为正实数
（1）求证：22
a b a b b a
+≥+； （2）若函数22
(1)1x x y x x
-=+-（01x <<）的最小值为t ，x y z t ++=，求222
23x y z ++的最小值.
演变1.已知a 、b 、c 均为正数，且1=++c b a ，求证：
（1）
9111≥++c
b a ； （2）222111100()()()3a b
c a b c +++++≥.
演变2.已知a 、b 、c 为实数，且220a b c m +++-=，222111049
a b c m +++-= （1）求证：2
2
2211()4914a b c a b c ++++≥； （2）求实数m 的取值范围
3.综合应用：
例1.已知函数()|2||1|f x x x =+--
（1）求()f x 的值域；
（2）设233()ax x g x x
-+=（0a >），若对任意(0,)s ∈+∞，任意t R ∈，恒有()()g s f t ≥成立，试求实数a 的取值范围
演变1.（2014年高考新课标2）设函数()1f x x x a a
=++-（0a >） （1）证明：()2f x ≥；
（2）若()35f <，求a 的取值范围.
例2.已知函数()|21||2|f x x x =---，不等式()0f x ≤的解集为M
（1）若关于x 的不等式()f x m ≤有解，求m 的取值范围；
（2）设a b M ∈，，22
1a b +=，若34a b t +≥恒成立，求t 的取值范围
演变1.（2014年高考福建）已知定义在R 上的函数()21-++=x x x f 的最小值为a .
（1）求a 的值； （2）若r q p ，，
为正实数，且a r q p =++，求证：3222≥++r q p .
演变2.（2012年高考福建）已知函数()|2|f x m x =--，m R ∈，且(2)0f x +≥的解集为
[1,1]-
（1）求m 的值；
（2）若,,a b c R ∈，且
11123m a b c ++=，求证：239a b c ++≥。