高考数学讲义双曲线.知识框架

双曲线的定义与性

质

要求层次

重难点

双曲线的定义及标准方

程 A 由定义和性质求双曲线的方程；由双曲线的标准方程探求几何性质

双曲线的简单几何性质

A

直线与双曲线的位置关系

要求层次

重难点

双曲线的定义与性

质

A 判别式和韦达定理的应用；直线与双曲线相交截得的弦长

直线与双曲线的位置关系

A

（一） 知识内容

1．双曲线的定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数（小

于12||F F 且不等于零）的点的轨迹叫做双曲线．

这两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程：

①22

221(00)x y a b a b -=>>，，焦点坐标为(0)c -，

，(0)c ，，222c a b =+； ②22

221(00)y x a b a b -=>>，，焦点坐标为1(0)F c -，

，2(0)F c ，，222c a b =+； 3．双曲线的几何性质（用标准方程22

221(00)x y a b a b

-=>>，来研究）

： 知识内容

高考要求

模块框架

双曲线.知识框架

⑴范围：x a ≥或x a -≤；如图．

⑵对称性：以x 轴、y 轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，这个对称中心又叫做双曲线的中心．

⑶顶点：双曲线与它的对称轴的两个交点叫做双曲线的顶点． ⑷实轴与虚轴：

两个顶点间的线段叫做双曲线的实轴．如图中，1A ，2A 为顶点，线段12A A 为双曲线的实轴． 在y 轴上作点1(0)B b -，，2(0)B b ，，线段12B B 叫做双曲线的虚轴．

⑸渐近线：直线b

y x a =±；

⑹离心率：c

e a

=叫做双曲线的离心率，1e >．

双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．

B 1

x=-a

x=a

P M

A 1

A 2

B 2

F 2

F 1O y x

<教师备案>1．渐近线的理解：

过双曲线上的一点()M x y ，（考虑对称性，不妨设M 是第一象限内的点）

作平行于y 轴的直线，设它与直线b

y x a

=相交于点P ，（见上页图）

则2

2||b b PM x x a a a =-2222()b x x a a x x a

=-=

+- 当x a >时，22x x a -随着x 的增大而增大，从而||PM 越来越接近于0．

这说明，当点M 以双曲线C 的顶点2A 开始在第一象限沿此双曲线移动并越来越远离点2A 时，点M 和直线b

y x a

=就越来越接近，而且

22b b x x a a a >-故双曲线始终在直线的下方，且与直线越来越接近，不会相交．

其它象限内的情况与此类似． 2．双曲线的开口大小：

渐近线的斜率的绝对值2221b c a e a -=-e 越大，b

a

也越大，双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．

3．画双曲线的草图时，一般都是先画出以2,2a b 为边长的矩形，它的对角线

恰为双曲线的渐近线，且双曲线的顶点在此矩形上，故可由此作出双曲线的较好的草图．

4．求双曲线的渐近线方程有一个比较容易的办法是直接令右边的常数为零，

方程所表示的两条直线就是所求的渐近线方程．对于双曲线22

221y x a b

-=，

它的渐近线方程即为22220y x a b -=，即直线a

y x b

=±．