线性代数第一章行列式 ppt课件

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线性代数课件第一章行列式

an1 an2
ann
0
0
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
j1 j2 jn
ann
(1) (1 j2
a a jn ) 11 2 j2
1 j2 jn
(1) (123 n) a11a22 ann
a11a22 ann
anjn anjn
a11 0
0
计算主对角线行列式 0 a22
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
23
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．
= 1 + 4 + 0 + 0 + 1+ 0 = 6 14
τ(314625)=5，314625是奇排列。 τ(314652)=6，314652是偶排列。
逆序数的性质
(12n) 0，
(n(n 1)321) n(n 1)
2
0 (i1i2
in )
n(n 1) 2
15
定义2.3 把一个排列中两个数i , j的位置互换而保持其余数字的位置不动，则称对这个排列施行了一个对换，记作(i , j). 两个相邻位置数字的对换称为相邻对换，否则称为一般对换。
数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。
如：314652中， 31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数τ(314652)=6
记τk = 排列j1j2…jn中数字k前面比k大的数的个数。则 τ(314652)= τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 + τ6

线性代数课件第1章行列式

0156 1234
解 120 1 120 1 120 1
r2r1 0 1 5 1 r4r1 0 1 5 1 r3r2 0 1 5 1
D
015 6 015 6 000 7
．
123 4 003 3 003 3
120 1
r3 r4 0 1 5 1
21
003 3
课件
27
000 7
例2 计算 a b b b
式的值不变．即第 i 行乘 k 加到第 j 行上，有
a11
a12
a1n
a11 a12
a1n
ai1
ai2
ain
ai1 ai2
ain
aj1 kai1 aj2 ．kai2
ajn kain aj1 aj2
ajn
an1
an2
ann
an1 an2
ann
课件
25
为叙述方便，引进以下记号：
（1）交换行列式的 i , j 两行（列），记
为行列式 d e t ( a ij ) 的元素．
定理2 n 阶行列式也可定义为
a11 a12 Da21 a22
a1n
a2n (1)ta a p11 p22
apnn
an1 an2
ann
其中 t 为行标排列 p1p2 pn 的逆序数．
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17
定义4 对角线以下（上）的元素均为零的行列式称为上（下）三角行列式．
列组成的记号
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1
a． n2
ann
为 n 阶行列式，简记为 D det(aij ) ．
课件
16
n 阶行列式可表示为

线性代数课件_第一章_行列式——4-PPT精选文档20页

9
课件
19
END
D 1 ta p 1 q 1 a p 2 q 2 a p n q n
01.12.2019
课件
16
其中 p 1p 2 p n,q 1 q 2 q n 是两个 n级排列，t为行
标排列逆序数与列标排列逆序数的和.
01.12.2019
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17
思考题
证明在全部 n阶排列中n2,奇偶排列各占
t 4 3 0 1 1 2 2 2 0 1 6 65
所以 a1a 42a 33a 1 4a 2 5a 6 65 是六阶行列式中的项.
01.12.2019
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10
a 3a 2 4a 3 1a 4 5a 1 2a 5 66 下标的逆序数为
t4523 816
所以 a 3a 2 4a 3 1a 4 5a 1 2a 5 6不6是六阶行列式中的项.
t 1 0 2 2 1 0 6,
所以 a2a 33a 14a 25a 61a 46前5 边应带正号.
01.12.2019
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12
(2 )a 3a 2 4a 1 3a 4 5a 1 6a 6 25 行标排列341562的逆序数为
t 0 0 2 0 0 4 6 列标排列234165的逆序数为
01.12.2019
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4
二、对换与排列的奇偶性的关系
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明设排列为
a 1 ala abb b 1 b m 对换a与b a 1 albbab a 1 b m
除a,b 外，其它元素的逆序数不改变.
01.12.2019
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线性代数-行列式PPT课件

矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维数，而行向量或列向量生成的子空间的维数又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果一个线性方程组的系数矩阵的行列式不为零，则该线性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行列式为零，则该线性方程组可能无解、有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念之一，用于描述矩阵的某些性质和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，是解决实际问题的重要工具。

线性代数第一章行列式课件

a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设

线性代数PPT行列式

行列式的计算公式是n阶行列式的展开式，即用代数余子式表示n阶行列式的公式。
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0，然后利用代数余子式求出方程组的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通过将系数行列式展开，得到一系列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列式解线性方程组的方法，其基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解的情况，也可以用来求解方程组的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。

线性代数1行列式PPT

0 0 0 0 b11 b1n bn1 bnn
a11 a1k D1 ak1 akk

b11 b1n D2 bn1 bnn

则有： D1 D2 要求：记住D的形式以及本题结论。 D
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
2
仍然看例
解：令 D D2
的位置换到先把为了利用前面的结果11aaijnnnnnaaaaaaad????????2122221110?34????11idnnjnjnnnijijijiinijijijiinjjjijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa?????????????????????????1111?11?1?11?11?1?11?1?11?11?111111110000????????前页35nnjnjnnnjnijijiijinijijiijinjjjijjiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa????????????????????????1111?11?11?11?1?1?11?11?11?1?111111111100001?1?????????????引理得证
b11 b12 b1n D b21 b22 b2 n bn1 bn 2 bnn
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
19
bij a ji (i, j 1,, n)
则称D'为D的转置行列式，且有D=D'。
1
2 4
17
行列式的定义二（用行标排列）: S n 阶行列式也可定义为: D (1) aq 1 aq n , 其中 s 为行标排列 q1q2 qn 的逆序数。总结：事实上，行列式的定义可以写出三种形式：

线性代数课件PPT第一章行列式 S1_3 行列式定义

任意一项前面的符号就是
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故左端＝ a11 B =右端.
14
回顾：在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解：（分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12

高等数学线性代数行列式教学ppt(1)

例1 计算下列排列的逆序数.
1）２１７９８６３５４
解： 2 1 7 9 8 6 3 5 4 01 00 13 4 45
t 5 4 4 3 1 0 0 1 0 18
1.2 行列式的性质
一、行列式的性质二、利用性质计算行列式
返回
一、行列式的性质
a11
记D
a22
ann
a11
DT
a22
ann
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式.
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.
a11 a12 a1n 上三角行列式 0 a22 a2n
0 0 ann
a11a22 ann .
性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号.
an1 an2
ann an1 an2
a1n bin . ann
性质6 把行列式的第 j 行(列)元素的 k 倍加到第 i 行(列)的对应元素上去，行列式值不变．
1
2 2, 1
2 2r1r2 1
2 2.
34
34 58
二、利用性质计算行列式
计算行列式常用方法：利用运算 ri krj把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值．
a11 a1n
ai1 ain
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
第i行
相同
第 j行
当 i j 时,
an1 ann
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
同理 a1i A1 j a2i A2 j ani Anj 0, (i j).

线性代数-行列式(完整版)ppt课件

设 D
,
31
(1)当为何值时， D 0,
(2)当为何值时 D0.
解 230 0，或 3
2
D
2
31
.
例3 求二阶行列式
a 1 b2
.
(2)三阶行列式
记号
a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 称为三阶行列式. a 31 a 32 a 33
它表示数
a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32 a 1a 3 2a 2 3 1a 1a 2 2a 1 3 3a 1a 1 2a 3 32
27下三角行列式的值等于其主对角线上. 各元素的乘积 .
同理可得上三角形行列式
a 11 a 12 a 13 a 1n
0
D 0
a 22 a 23 a 2n
0 a 33 a 3 n a11a22ann
0 0 0 a nn
其中 aii 0 (i1,2,n)
特殊情况 : 对角形行列式
a1n
a21 a22 a2n1 0
0 0 a2n1 a2n
an11 an12 0 an1 0 0
0
0 an12 an1n1 an1n
0 an1 an2 ann1 ann
( 1 ) aaa a N (j1 j2 jn 1 jn ) 1 j12 j2
和式中仅当 j1n ,j2n 1 , ,jn 12 ,jn1时，
a1j1a2j2annj0
D ( 1 ) nN (n (n ( 1n ) 1 ) 3) 2 a 1 n 1 a 2 ,n 1 a n 1
29
(1) 2 12n .
注：
类似可得
a11 a12 a1n1 a1n 0 0 0

线性代数课件第一章

一个标准次序（例如 n 个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这 n 个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有 1 个
逆序. 一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.
在一个 n 阶排列中，任何一个数对不是构成逆序就是构成顺序．如果我们把顺序的个数称为顺序数，则一个 n 阶排列的顺序数与逆序数的和为 n(n –1)/2 .
a12a21) a12a21)
x1 x2
b1a22 a11b2
a12b2 b1a21
, .
当 a11a22 – a12a21 0 时，求得方程组（１）的解为
x1
x2
b1a22
a11a22 a11b2
a11a22
a12b2
a12a21 b1a21
a12a21
, .
（２）
为了记忆该公式，引入记号
(为偶排列)．带负号的三项列标排列：132 , 213 , 321
(为奇排列)．故三阶行列式可以写成
a11 a12 a13
a21 a22 a23 (1)t a1p1 a2 p2 a3 p3 ,
a31 a32 a33
其中 t 为排列 p1p2p3 的逆序数，表示对1，2，3 三个数的所有排列 p1p2p3 求和．
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
并称之为二阶行列式．其中 aij 称为行列式的元素，
aij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下
标称为行标，表示该元素所在的行，第二个下标称为列
标，表示该元素所在的列，常称 aij 为行列式的(i , j ) 元1由a11成a11baaa1a1111b122二12二aaa22122b222阶22阶22ba1abaa行行11112aa22baa22ba11a1列12列22a22122baaa112式12式1222,.1b12的，,. 定即bb12 义aa，12（22 ,（２２a）11b）2

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ba a b
x 1 22
12 2
a a a a 1
11 22
12 21
x2
a11b2 aa
b1a21 a a
11 22 12 21
二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
求解公式为
x
1
b1a 22 a11a 22
a12b2 a12a21
x
2
a11b2 a11a 22
D2 D
例1
求解二元线性方程组
32x1x1 2xx22
12 1
解
3 2
因为 D
3 ( 4 ) 7 0
21
122
D
12 (2)14
1 11
3 12
D2 2
32421 1
所以
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
213 7
二、三阶行列式
定义设有9个数排成3行3列的数表
a11 a12 a13
a 21 a 22 a 23
三阶行列式的计算 ——对角线法则
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
实线上的三个元素的乘积冠正号，虚线上的三个元素的乘积冠负号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.
第一章行列式
内容提要
§1 二阶与三阶行列式
§2 全排列和对换 §3 n 阶行列式的定义
行列式的概念.
§4 行列式的性质 §5 行列式按行（列）展开
行列式的计算.
在以往的学习中，我们接触过二元、三元等简单的线性方程组.
但是，从许多实践或理论问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等.
b1 b2
由消元法，得
( a 1 a 2 1 2 a 1 a 2 2 ) x 1 1 b 1 a 2 2 a 1 b 2 2
( a 1 a 2 1 2 a 1 a 2 2 ) x 1 2 a 1 b 2 1 b 1 a 21
当 a 1a 1 2 2a 1a 时2 2，1 该0 方程组有唯一解
a12 x2 a22 x2
b1 b2
若令
D a11 a12 a21 a22
(方程组的系数行列式)
D1
b1 b2
a12 a22
D2
a11 a 21Βιβλιοθήκη b1 b2则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22a12b2 a11a22a12a21
D1 D
x2
a11b2b1a21 a11a22a12a21
引进记号
a 31 a 32 a 33
原则：横行竖列
主对角线 a 1 1 a 1 2 a 1 3
a 2 1 a 2 2 a 2 3
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
副对角线 a 3 1 a 3 2 a 3 3
a13a22a31a12a21a33a11a23a32
称为三阶行列式.
二阶行列式的对角线法则并不适用！
线性代数（第六版）
同济大学数学系.线性代数[M]. 第六版.北京：高等教育出版社，
2014.
课程简介：
“线性代数”是一门本科阶段必修的主干课程，课程内容主要包括矩阵和向量的基本理论、基本方法及它们在解方程组中的应用。
通过本课程的学习，一方面使学生比较系统的理解线性代数的基本概念和基本理论，掌握基本方法，为今后的专业学习打下良好的数学基础。另一方面培养学生抽象思维能力、空间想象能力、综合运用所学的知识来分析和解决实际问题的能力。
b1a 21 a12a 21
原则：横行竖列
我们引进新的符号来表示“四个数分成两对相乘再相减”.
a 11 a 12 数表 a 2 1 a 2 2
a 11 a12 记号 a 2 1 a 2 2
表达式 a11a22称a12为a2由1 该
数表所确定的二阶行列式，即
Da11 a21
a12 a22
a11a22a12a21
定义把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示.
例3 求解方程 1 1 1
2 3 x 0. 4 9 x2
解方程左端 D 3 x 2 4 x 1 9 x 8 2 x 2 12 x25x6,
由 x25x60得
x2或 x3.
练习1：
利用对角线法则计算下列三阶行列式：
x
y x y
y x y x
x y x
y
2(x3 y3)
§2 全排列及其对换
1 2 -4
例2 计算行列式 D - 2 2 1
-3 4 -2
解按对角线法则，有
D1 2 ( 2 ) 2 1 ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) 4 1 1 4 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 4 ) 2 ( 3 )
4 6 3 4 2 8 24 1.4
我们先讨论未知量的个数与方程的个数相等的特殊情形.
在讨论这一类线性方程组时，我们引入行列式这个计算工具.
§1 二阶与三阶行列式
我们从最简单的二元线性方程组出发，探求其求解公式，并设法化简此公式.
一、二元线性方程组与二阶行列式
二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
主要内容：一、排列及其逆序数二、对换的定义三、对换与排列奇偶性的关系
一、排列及其逆序数
引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解
123
百位 1 十位 1 2 个位 1 2 3
2
3
3种放法
13
2种放法 1种放法
共有 3 2 1 6种放法.
问题把 n 个不同的元素排成一列，共有多少种不同的排法？
b1a 21 a12a 21
请观察，此公式有何特点？ ➢分母相同，由方程组的四个系数确定. ➢分子、分母都是四个数分成两对相乘再
相减而得.
二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 b2
其求解公式为
x
1
b1a 22 a11a 22
a12b2 a12a21
x
2
a11b2 a11a 22
其中，aij(i1,2;j1,2)称为元素.
i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列.
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 a 1 1 副对角线 a 2 1
a 12 a 22
a11a22a12a21
即：主对角线上两元素之积－副对角线上两元素之积
二元线性方程组
aa1211xx11