华东师大版数学八年级上册-14.1 勾股定理 教案
华师大版 14.1勾股定理 教案
华师大版初中数学八年级（上）14.1勾股定理教案设计勾股定理教案设计【教材分析】（一）教材来源：新课标华师大版初中数学八年级上册第十四章。
（二）教材地位与作用：勾股定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。
学生通过对本节内容为学习勾股定理逆定理作铺垫，为学习“四边形”和“解直角三角形”奠定基础，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
【教学目标】一、知识与技能角度1.使学生初步理解勾股定理，会利用勾股定理解决日常生活中的简单问题；2.培养学生“观察---比较---分析---推理---概括”的能力。
二、过程与方法角度让学生经历勾股定理的探索过程，学会从特殊到一般的数学思想方法，体会数形结合的思想方法。
三、情感、态度与价值观1.培养学生积极参与，合作交流的意识；2.探索勾股定理的过程中体验解决问题方法的多样性，体验快乐，激发学习的兴趣；3.通过简单的了解勾股定理的历史，增强学生爱国情怀。
【教学重点】1.用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理；2.运用勾股定理解决简单的实际问题。
【教学难点】用面积法探索并证明勾股定理。
【教学方法】1.学情分析：八年级学生已经具备一定的观察、归纳、猜想和推理的能力。
已经掌握了通过分割、拼接法计算一些几何图形的面积,但运用面积法和割补思想来解决问题的意识和能力还不够。
另外，学生普遍学习积极性较高，课堂活动参与较主动，但合作交流的能力还有待加强。
2.学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的学习方式，让学生获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。
【教学用具】三角板、刻度尺、多媒体设备及必要设备等。
【教学过程】针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，进行教学。
教学过程的流程如下：一、创设情境，引入课题2002年，在北京召开了一届国际数学家大会，大会的会标采用了1700多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图，这弦图隐含着直角三角形三边之间的一种奇妙的关系。
华师大版八年级上册14.1.1勾股定理教案
直角三角形三边的关系曾庆朴一、教学内容：教科书第108页至第111页的内容二、教学目标：1、知识目标：体验勾股定理的探索过程，了解利用图形的面积验证勾股定理的方法，掌握勾股定理并会用它解决“已知直角三角形的两边，求第三边”和身边与实际生活相关的数学问题2、技能目标：在学生经历观察、归纳、猜想、探索勾股定理过程中，体会由特殊到一般的数学思想和数形结合的思想，并在探索过程中，发展学生的归纳、概括能力；3、情感目标：通过探索直角三角形的三边之间关系，培养学生积极参与、合作交流的意识，体验获得成功的喜悦，通过介绍勾股定理在中国古代的研究情况，提高学生民族自豪感，激发学生热爱祖国、奋发学习的热情。
三、教学重点：探索和验证勾股定理过程。
四、教学难点：通过面积计算验证勾股定理。
关键：关注性质的推导，主动探索，在实践中获得结论，并能正确地用语言表述性质。
五、教学方法及教学手段：采用导学互动的教学方法，通过计算面积为学生设计一个数学实验的平台，结合多媒体课件的演示，培养学生动手实践能力和合作交流的意识。
六、教学过程：提纲导学: 1．创设情境，导入课题多媒体演示2002年的数学会标图片，激发学生求知欲，成功导入本节课题。
2．出示导纲学生自学1.仔细观察14.1.1图中着色的三个正方形，你能发现图中正方形P、Q、R的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？2.试一试：动脑想一想其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？（图中每一小方格边长为1）⑴正方形P的面积为，正方形Q的面积为，正方形R的面积为。
⑵正方形P、Q、R的面积之间的关系是什么？⑶你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？3.动手做一做：①在练习本上画出两条直角边分别为cm5、cm12的直角三角形，②再用刻度尺量出斜边长，③验证上述的结论对这个直角三角形是否成立？4.让学生自己总结，并用符号语言、文字语言表达勾股定理的内容。
5.阅读第110页的读一读并完成做一做6尝试完成例1合作互动:1.小组讨论交流导纲中的内容2.出示分工表展示评价3.质疑解难勾股定理的变形：例题. 在Rt△ＡＢＣ中，ＡＢ＝c，ＢＣ＝a，AC＝b，∠B＝90°．（1）已知c＝6， a＝8，求b；（2）已知a＝24， b＝25，求c．(3)已知a:c＝3:4, b＝20,求a,c导学归纳:本节你有何收获?反馈训练:拓展运用：1.判断⑴已知a、b、c是三角形的三边，则a2+b2=c2。
八年级数学上册第14章勾股定理 教案华东师大版
第14章勾股定理14.1 勾股定理1.直角三角形三边的关系【基本目标】1.体验勾股定理的探索.2.会用勾股定理求直角三角形的边长.【教学重点】用勾股定理求直角三角形的边长.【教学难点】用拼图法证明勾股定理.一、创设情景，导入新课目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各类图形等.我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义.尤其是在两千年前，是非常了不起的成就.让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.对于任意的直角三角形也有这个性质吗？二、师生互动，探究新知1.勾股定理的证明.【活动】方法一：如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明.【分析】左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等.【教学说明】以上两图出示给学生，分两组交流、证明，完成后由学生代表展示.教师归纳板书：勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.求直角三角形的边长.【活动】出示习题：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB=____；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，则BC=____；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是____.【答案】（1）13（2）15（3）10或7【教学说明】先由学生独立完成，再由学生展示，注意（3）要分类，按8为直角边或斜边.最后教师板书：在Rt△ABC中，∠C=90°，三、随堂练习,巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评.四、典例精析，拓展新知例如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高.解：设BD=x，则DC=14-x,由勾股定理得：AB2-BD2=AC2-CD2,即132-x2=152-(14-x)2,解得x=5,∴AD=132-52=12.【教学说明】引导勾股定理可由直角三角形中两边求出第三边，也可以为建立三边之间联系提供依据.设BD=x，可否建立方程关系.五、运用新知，深化理解完成教材P112习题第1、2题.【教学说明】第2题中若学生有困难可引导如何构建直角三角形.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.新课程标准对勾股定理这部分的教学要求与旧大纲有所不同，新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是：体验勾股定理的探索过程，会用勾股定理解决简单实际的问题.本节课教师从引导构造的图形入手，用面积法证明勾股定理难度不大，但面积法在教材中首次用到，基于此教师在教学过程中应给予适当的引导，让学生体会成功的快乐.2.直角三角形的判定【基本目标】1.理解勾股定理的逆定理的证明方法.2.能用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形.【教学重点】用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形.【教学难点】勾股定理逆定理的证明.一、创设情景，导入新课【实验观察】实验方法：用一根打上13个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起，然后用角尺量出最大角的度数.（90°），可以发现这个三角形是直角三角形.【显示投影片1】二、师生互动，探究新知【教师活动】古埃及人曾经用过这种方法来得到直角，这个三角形三边长分别为多少？（3,4,5）.这三边满足了怎样的条件呢？（32+42=52），是不是只有三边长为3,4,5的三角形才能构成直角三角形呢？请同学们动手画一画，如果三角形的三边分别为2.5cm,6cm,6.5cm,满足关系式“2.52+62=6.52”,画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为5cm,12cm,13cm 或8cm,15cm,17cm呢？【学生活动】动手画图，体验发现，得到猜想.【教师活动】操作投影仪，提出探究的问题，引导学生思考，然后再提问个别学生.【学生活动】拿出事先准备好的纸片、剪刀，实验、领会、感悟：（1）它们完全重合；（2）理由是在△A′B′C′中，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2，因为a2+b2=c2，因此，A′B′=c,从△ABC和△A′B′C′中，BC=a=B′C′,AC=b=A′C′,AB=c=A′B′，推出△ABC ≌△A′B′C′，所以∠C=∠C′=90°，可见△ABC是直角三角形.【教师归纳】如果一个三角形的三边长a、b、c有关系式a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角.【教学说明】采用实验、观察、比较的教学方法，突破难点.出示习题：（投影显示）1.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A.5,6,7B.10,8,4C.7,25,24D.9,17,152.以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（）【教学说明】引导学生用勾股定理的逆定理判别直角三角形的方法.两小边的平方和等于第三边的平方.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评.四、典例精析，拓展新知例某港口位于东西方向的海岸线上，“远航号”和“海天号”轮船同时离开港口，各自沿固定的方向航行，“远航号”每小时行16海里，“海天号”每小时行12海里，它们离开港口1.5小时后相距30海里，如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？解：由题意画出示意图，如图，由“远航号”沿东北方向，知道“海天号”沿西北方向航行.【教学说明】引导学生画出正确的示意图，体现数学建模思想.五、运用新知，深化理解若△ABC的三边a,b,c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状.【教学说明】根据所给条件，只有从关于a,b,c的等式入手，找出a,b,c三边之间的关系，应用分解因式可得（a-5）2+(b-12)2+(c-13)2=0，求出a=5,b=12,c=13,∵a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.这节课在勾股定理的基础上，让学生学会如何从三边的关系来判定一个三角形是直角三角形，即“勾股定理的逆定理”.在证明它时，学生可能有些困难，因此课堂教学时先动手操作观察，进而得出用勾股定理证明A′B′=AB.教案中设计题型前呼后应，使知识有序推进，有助于学生理解与掌握；通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究的兴趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人.3.反证法【基本目标】1.理解反证法.2.会用反证法证明较简单的题.【教学重点】用反证法证明几何命题.【教学难点】反证法中渗透“正难则反”的思想.一、创设情景，导入新课出示多媒体，展示《路旁苦李》的故事的动画场景，引入反证法的课题.二、师生互动，探究新知活动1反证法的步骤.教师给出问题：如果你当时也在场，你会怎么办？五戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断正确吗？学生讨论交流，选代表发言.如果李子不是苦的，路旁的人很多，早就没有这么多李子.教师出示，若a2+b2≠c2（a≤b≤c）,则△ABC不是直角三角形，你能按照刚才五戎的方法推理吗？学生活动，代表展示.若∠C是直角，则a2+b2=c2，而a2+b2≠c2，这是不可能的，即△ABC 不是直角三角形.【教师归纳】先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确.即：一、反设；二、推理得矛盾；三、假设不成立，原命题正确.活动2用反证法证明.教材P116例5.【教师活动】原命题结论的反向是什么？按照假设可以得到矛盾吗？【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示.教材P116例6.【教师活动】△ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么？按照假设可以推出矛盾吗？【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示.【教学说明】在几何命题中涉及到有“至少”“至多”“唯一”时，直接不易证明，可考虑反证法.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分,教师巡视并及时点评，主要是证明格式是否规范.四、典例精析，拓展新知例求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.【教师活动】（1）你首选的是哪一种证明方法？（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？（3）能不用反证法证明吗？你准备怎样证明？要求按问题解决的四个步骤进行：理解题意（画出图形，写出已知求证）；制订计划（选择证明方法，找出证明思路）；执行计划（写出证明过程）.【学生活动】讨论交流后独立完成.五、运用新知，深化理解.完成教材P117练习第1、2题.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.反证法是一种重要的证题方法，也是初中数学的难点，如何突破这一难点，并为学生更好地理解和掌握是需要教师精心设计的.在教学时应注意三个思维障碍：1.思维方向的转换，不能总用直接法；2.证明步骤存在障碍；3.归谬起点推证存在障碍.为使学生更好地理解并掌握反证法，应积极引导学生克服上述思维上的障碍，并通过有关题目训练，使学生掌握反证法.教师在教学中应强调当结论的反面不止一种情况时，应穷举；“归谬”这一步应包含“归导”与“揭谬”两个层次.14.2勾股定理的应用第1课时勾股定理的应用（1）【基本目标】1.会用勾股定理解决较综合的问题.2.树立数形结合的思想.【教学重点】勾股定理的综合应用.【教学难点】勾股定理的综合应用.一、创设情景，导入新课如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2）画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数.二、师生互动，探究新知如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上运动，量的滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑竿顶端A下滑多少米？【分析】滑竿在下滑中它的长度是不变的，先在直角三角形ACB中利用勾股定理求出AC的长，然后再在直角三角形ECD中利用勾股定理求出CE的长，即可求出AE的长.【教师点拨】勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，他的前提是直角三角形，在求解时常运用题目中的条件构造直角三角形，而构造直角三角形方式有两种：一是根据已知条件中的直角构造，二是作垂线构造.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分.四、典例精析，拓展新知例如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离.【分析】显然△ABC是直角三角形，根据示意图可求出AC和BC的长，从而根据勾股定理可以求出AB的长.解：由示意图可知AC=150－60=90(mm)，BC=180-60=120(mm)答：两圆孔中心A和B的距离为150mm.五、运用新知，深化理解.完成教材P123习题14.2中的第5题.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题（或数学问题）.在实际生活中，很多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题，也就是通过构造直角三角形来完成.教学时应注意如何构造直角三角形，找出已知两个量，求出第三个量，或者利用勾股定理建立几个量之间的关系，解决问题时注意让学生动手，画出图形，从而建立直角三角形模型.本节课中由勾股定理解决立体图形上的最短路径问题，比较抽象，注意化“曲”为“平”，让学生动手操作，真正建立立体图形与平面图形之间的联系.第2课时勾股定理的应用（2）【基本目标】1.会用勾股定理解决简单的实际问题.2.树立数形结合的思想.【教学重点】勾股定理的应用.【教学难点】实际问题向数学问题的转化.一、创设情景，导入新课从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不同条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性.二、师生互动，探究新知例1如右图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．【分析】蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图），得到矩形ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC之长．（精确到0.01cm）解：如下图，在Rt△ABC中，BC＝底面周长的一半＝10cm，∴ AC＝Ab2+Bc2＝42+102＝116≈10.77（cm）（勾股定理）.答：最短路程约为10.77cm．三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分.四、典例精析，拓展新知例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如右图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【分析】由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面交于H．解：在Rt△OCD中，由勾股定理得CH＝0.6＋2.3＝2.9（米）＞2.5（米）．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.五、运用新知，深化理解.完成教材P123习题14.2中的第5题.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题（或数学问题）.在实际生活中，很多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题，也就是通过构造直角三角形来完成.教学时应注意如何构造直角三角形，找出已知两个量，求出第三个量，或者利用勾股定理建立几个量之间的关系，解决问题时注意让学生动手，画出图形，从而建立直角三角形模型.本节课中由勾股定理解决立体图形上的最短路径问题，比较抽象，注意化“曲”为“平”，让学生动手操作，真正建立立体图形与平面图形之间的联系.本章复习【基本目标】进一步理解勾股定理及其逆定理，能用它们解决问题.【教学重点】用勾股定理及逆定理解决问题.【教学难点】用勾股定理的逆命题证明几何问题.一、知识框图，整体建构二、知识梳理，快乐晋级本章通过问题的形式来梳理知识，以加深对基础知识的理解，对基本方法的把握.问题1：勾股定理与逆定理的内容是什么？问题2：勾股定理与逆定理的证明方法是怎样的，它们各体现什么样的数学思想？你是怎样理解的？问题3：如何判定一个三角形是直角三角形？问题4：反证法的步骤是什么？【教学说明】教师提出的问题以小组竞赛的形式回答，教师根据回答的情况，做必要的讲解与说明.三、典例精析，升华旧知例1（1）下列命题中正确的是（）A.1.5, 2, 2.5是勾股数B.至少有一个角大于60°的反面是至多有一个角大于60°C.边长为3a,4a,5a的三角形是直角三角形D.直角三角形的两边是3和4，它的面积是6（2）如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC=_________.（3）如图，长方形ABCD 中，AB=15cm,点E 在AD 上，且AE=9cm,连结EC 将长方形沿BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A ′处，则A ′C=____cm.【答案】（1）C（2）45°提示：连结AC ，由勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，AB=BC=5即可.（3）8 由条件知△BA ′C ≌△CDE,∴A ′C=DE ，在Rt △CDE 中，设A ′C=x ，∵A ′E=AE ，∴CE=9+x ，∵CE 2=CD 2+DE 2，∴（9+x ）2=x 2+152，解得x=8(cm).例2如图圆柱形的玻璃杯，高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm 的C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是多少厘米？解：画出全半侧面的展开图，如图，则EF=9cm,AE=4cm,CM=4cm,取点A 关于直线EF 的对称点A ′，则A ′E=4cm,连结A ′C 交EF 于P ，则PA+PC 最短，作GC ⊥EN 于G ，在Rt △A ′GC 中，22912 =15(cm).【教学说明】本例是“将军饮马”的数学模型与用勾股定理求立体图形表面两点间最短距离的有机融合.注意以处理这两个数学模型的方法讲解.例3在Rt △ABC 中，已知两直角边a 与b 的和为pcm ，斜边长为qcm ，求这个三角形的面积.【教学说明】因为Rt△ABC的面积等于12ab，所以只要求出ab就可以完成本道题.分析已知条件可知a+b=p,c=q,再联想到勾股定理a2+b2=c2，则这个问题就可以化归到一个代数问题上解决，由a+b=p,a2+b2=q2，求出ab.例4如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，你能算出水池的深度吗？【教学说明】对这类问题求解，关键是恰当的选择未知数，然后找到一个直角三角形，建立起它们之间的联系，列出方程，最终求解方程即得所求，设水池深为x米，BC=x米，AC=(x+1)米，因为池边长为4米，所以BA′=2米，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得x2+22=(x+1)2解得x=1.5.例5如图所示，△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC.解：因为AD是边BC上的中线，且BC=20，所以∠ADB=90°，即AD⊥BC.(勾股逆定理)【教学说明】要求AC的长度，首先确定AC所在的△ACD，而关键是要判断出△ADC是直角三角形，由于AB=26，BC=20，可得BD=10，而又知中线AD=24，所以可以先通过勾股定理判断出△ABD是Rt△，这样就可以得到∠ADC=90°，从而再应用勾股定理求出AC的长.例6已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD于点D,且CD2+AD2=2AB2.(1)求证AB=BC;(2)当BE⊥AD于点E时，试证明：BE=AE+CD.解：由条件CD2+AD2=2AB2，并结合图形，有CD2+AD2=AC2，又AC2=AB2+BC2（连结AC），从而2AB2=AB2+BC2，有BC=AB（勾股定理功不可没）；（2）过C作CF⊥BE于F,由AB=BC,∠ABE=∠BCF,∠AEB=∠CFB,知△ABE≌△BCF，有BF=AE，且CD=FE,∴BE=BF+EF=AE+CD.【教学说明】本题将全等三角形与勾股定理有机结合，注意由其平方条件联想勾股定理.四、师生互动，课堂小结这节课你有什么收获？还有什么疑惑？复习到哪些数学思想方法？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师总结归纳.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本章复习应紧紧围绕“勾股定理”为中心，师生共同建构知识网络，回顾各个知识考点、落实四基.在教学过程中发现的疑惑应及时解答.此外教案中的六个例题应试着让学生解答，教师再予以点拨，以达到复习提升的效果.。
新华东师大版八年级数学上册《14章 勾股定理 14.1 勾股定理 直角三角形的判定》优质课教案_2
8、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什么?
课
堂
小 结
这节课我们学到了什么？
布置作业 114 页 1、2、3 题
118 页 4、5 题
板书设计
1.勾股定理的逆定理： 2.例
教学反思
教学内容 知识部分
操作部分
1. 如果线段 a,b,c 能组成直角三角形, 则它们的比可能是
(
)
A. 3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5
2.将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是()
A. 是直角三角形;
B. 可能是锐角三角形;
C.可能是钝角三角形;
(2) 一个直角三角形的三边长为 5,12,13. 如果将这三边同时扩大 3 倍, 那么得到的三 生
角形还是直角三角形吗?
互 2.例.一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角,工人师
动 傅量得这个零件各边的尺寸如图所示,你说这个零件符号要求吗?
C
师指名
D
口答
A
B
教学过程：
主 (2) 分别以每组数为三边作出三角形, 用量角器量一量.
学
它们都是直角三角形吗?
习 如果三角形的三边长 a,b,c 满足 a2+b2=c2 ,
那么这个三角形是直角三角形.
那么这个 三角形是 直角三角 形.
满足 a2+b2=c2 的三个整数,称为勾股数
满
足
a2+b2=c2 的三个整
数,称为勾 股数
学生独立完成师指名
5. 以∆ABC 的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面是
口答
反
2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第14章勾股定理14.1勾股定理(第1课时)
第14章 勾股定理14.1 勾股定理第1课时 直角三角形的三边关系教学目标1.体验勾股定理的探索.2.会用勾股定理求直角三角形的边长.教学重难点重点：用勾股定理求直角三角形的边长. 难点：用拼图法证明勾股定理.教学过程导入新课2002年国际数学家大会在我国北京召开，投影显示本届国际数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.今天我们就来一同探索勾股定理.（板书课题）我国古代3000多年前有一个叫商高的人，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.画一个两直角边长分别为3和4的直角△ABC ，用刻度尺量出斜边的长，再画一个两直角边长分别为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量出斜边的长.你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42＝52，52+122＝132，那么就有勾2+股2＝弦2.对于任意的直角三角形也有这个性质吗？探究新知1.勾股定理的证明活动1：如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图所示的图形，利用面积证明.222(),ABCD ABCD S c S ab b a +-正方形正方形＝，＝从而222222(),.c ab a b c a b =+-+即＝活动2：给学生如图所示的图形，利用面积证明.分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等.左边S ＝2214,2ab c S a b ⨯++右边＝() .左边和右边的面积相等，即2214,2ab c a b ⨯++＝（）教学反思222.c a b +化简可得＝教学说明：以上两图出示给学生，分两组交流、证明，完成后由学生代表展示.教师归纳板书：勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.求直角三角形的边长活动：出示习题：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，则AB ＝____； （2）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝25，AC ＝20，则BC ＝____； （3）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是__________.【答案】（1）13 （2）15 （3）10或教学说明：先由学生独立完成，再由学生展示，注意（3）要分类，分8为直角边长或斜边长两种情况.最后教师板书：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边长，则c a b【合作探究，解决问题】【小组讨论，师生互学】例1 如图，在Rt △ABC 中，已知∠B ＝90°，AB ＝6， BC ＝8，求AC .解：根据勾股定理，可得AB ²+BC ²＝AC ²，所以AC10.例2 如图，Rt △ABC 的斜边AC 比直角边AB 长2 cm ，另一直角边BC 长为6 cm ，求AC 的长.解：由已知AB ＝AC -2，BC ＝6cm ，根据勾股定理，可得AB ²+BC ²＝（AC -2）²+6²＝AC ²，解得AC ＝10(cm).例3 如图，为了求出湖边两点A ，B 之间的距离，一名观测者在点C 设桩，使△ABC 恰好为直角三角形，通过测量，得到160米，BC 的长为128米，问A ，B 解：Rt △ABC 中，AC ＝100，BC ＝128， 根据勾股定理得教学反思96AB (米).答： A ，B 两点之间距离96米.课堂练习1.在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边长. （1）已知a ＝2.4，b ＝3.2，则c ＝_______.（2）已知c ＝17，b ＝15，则△ABC 的面积等于_______. （3）已知∠A ＝45°，c ＝18，则a 2＝______.2.直角三角形三边长是连续偶数，则这三角形的各边长分别为_______.3.△ABC 的周长为40 cm ，∠C ＝90°，BC ∶AC ＝15∶8，则它的斜边长为______.4.直角三角形的两直角边之和为14，斜边为10，则它的斜边上的高为________，两直角边分别为________.5.在Rt △ABC 中，已知两直角边长a ＝1，b ＝3，那么斜边c 的长为（ ）.A.2B.4C.22D.106.直角三角形的两直角边分别为5 cm ，12 cm ，则斜边上的高为（ ）.A.6 cmB.5 cmC.3060cm D.1313cm 参考答案1.（1）4 （2）60 （3）1622.6 8 103.17 cm4.4.8 6和85.D6.D课堂小结教师提问：这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 在学生自由发言的基础上，师生共同总结：知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边长和斜边长，那么222a b c +＝. 方法：（1） 观察——探索——猜想——验证——归纳——应用； （2）“割、补、拼、接”法.思想：（1） 特殊——一般——特殊； （2） 数形结合思想.布置作业请完成本课时对应练习！板书设计直角三角形的三边关系勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边长和斜边长，那么222a b c +＝.教学反思。
八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.1 勾股定理(直角三角形三边的关系)教案1 华东师大版
6m16m10A 6直角三角形三边的关系课题名称直角三角形三边的关系〔勾股定理〕第1课时三维目标知识与能力：1、了解勾股定理的历史背景，体会勾股定理的探索过程；2、会用面积法证明勾股定理；3、能应用勾股定理进展简单的计算。
过程与方法：让学生经历用面积法、拼图法探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想，渗透观察、归纳、猜测、验证的数学方法，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。
情感态度与价值观：1、通过了解勾股定理的历史，激发学生热爱祖国，热爱祖国的悠久文化，鼓励学生发奋学习。
2、让学生体验自己努力得到结论的成就感，体验数学充满了探索和创造，感受数学之美，探究之趣。
重点目标 探索和证明勾股定理难点目标用拼图的方法证明勾股定理导入示标情景引入，示标导学：狂风将一根木制旗杆吹裂,随时都可能折断, 情况危急怎么办？〔动画展示出现问题〕:你能确定这个平安区域的半径吗?〔教师抓住某些学生的答复进展引导〕那么你能确定这个平安区域的半径至少是多少米吗？ 师：那么，在一个直角三角形中，两边的长度，能求出第三边的长度吗？师：接到热心市民的报警后，“119〞迅速赶到现场，决定从断裂处将旗杆折断。
现在需要划出一个平安戒备区域。
生：积极思考为消防员出谋划策。
建立数学模型：在一个直角三角形中,两边的长度,能求出第三边的长度吗?带着这样的问题，让我们一起进入“勾股定理〞的学习！学做思一：【活动1】：探究一“地砖里的秘密？〞2500年以前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯到朋友家作客时，仔细观了朋友家的地砖时，他发现了一个隐藏在地砖中的秘密，你能找学生观察发现到吗？相信自己通过仔细观察也能发现？目标三导预设问题，启发思考：问题：地砖是由一样的等腰直角三角形拼接而成的，每个直角三角形都相邻三个正方形，这三个正方形面积间有怎样的关系？思考计算，观察发现：蓝色正方形：〔〕蓝色正方形：〔〕绿色正方形：〔〕绿色正方形：〔〕黄色正方形：〔〕黄色正方形：〔〕【发现】：黄绿蓝SSS=+222ACBCAB=+平方和等于斜边的平方直角三角形直角边长的。
新华东师大版八年级数学上册《14章 勾股定理 14.1 勾股定理 直角三角形的判定》优质课教案_6
【学习目标】
1.会应用勾股定理来解决实际问题。(重点)
2.学会将实际问题转化为数学问题，体现“转化”的数学思想，并能从中构造出直角三角形求解。(难点)
【问题导学】
一、认真阅读课本P111中“例2”，完成下列问题：
1.在直角三角形ABC中，如图14.1.6，已知了哪条边的长度？另两条边的长度不知道，但它们之间有什么关系？
2.在解答中，它采用了数学中的什么思想？
二、认真阅读课本P111中“例3”，完成下列问题：
1.在构造成的直角三角形中，如图14.1.7，已知了哪些边？它们分别是直角三角形的什么边？所求的点A到点B的距离又是直角三角形的什么边？
2.在？
【课堂检测】
P112练习题1、2
【学习小结】
【活动预设】
导入：
一、自主学习
二、小组交流
三、展示点拨
四、课堂检测
归纳总结：方程思想
《14.1勾股定理》导学案
主备：审阅：
初中数学华东师大八年级上册第14章 勾股定理《勾股定理》教学设计
《勾股定理》教学设计一、内容和内容解析勾股定理是几何中几个重要定理之一，揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是对直角三角形性质的进一步学习和深入，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，在实际生活中用途很大。
它不仅在数学领域而且在其他自然科学领域中也被广泛地应用，而说明数学是一门基础学科，是人们生活的基本工具。
学生接受勾股定理的内容“在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方”这一事实从学习的角度不难，包括对它的应用也不成问题。
但对勾股定理的论证，教材中介绍的面积证法即：依据图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会改变。
学生接受起来有障碍（是第一次接触面积法），因此从面积的“分割”“补全”两种方法进行演示同时学生动手亲自拼接图形构成“赵爽弦图”并亲自验证三个正方形之间的面积关系得到勾股定理的证明。
有利的让学生经历了“感知、猜想、验证、概括、证明”的认知过程，感触知识的产生、发展、形成以提高学生学习习惯和能力。
二、教学目标及目标解析1、教学目标①、了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理的内容。
②、在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想。
③通过观察课件探究拼图等活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维，体验解决问题方法的多样性，并学会与人合作、与人交流，培养学生的合作交流意识和探索精神。
④、在对勾股定理历史的了解过程中，感受数学文化，增强爱国情操，激发学习热情，养成关爱生活、观察生活、思考生活的习惯。
2、目标解析①、通过学生了解“赵爽弦图”、了解“毕达哥拉斯”探究勾股定理的过程而猜想、验证勾股定理，自愿接受这一理论事实并能简单运用。
②、通过面积法探究勾股定理，让学生感触到直角三角形这一图形与a2+b2=c2 数量关系建立对应关系，同时不同图形从面积角度的论证得到面积的割补是形的变化而面积这一数量不变。
更深层次的建立数形结合的方法。
③、通过观察、探究的活动让学生感触知识的产生过程，学生从中学会合作交流，协作探究、归纳总结的学习方法，提高学生的探索能力。
华师大版八年级数学上册教学设计：141勾股定理(3课时)
（一）教学重难点
1.重点：勾股定理的理解与应用，以及勾股定理的证明方法。
2.难点：理解勾股定理在直角三角形中的具体运用，以及在实际问题中的灵活应用。
（二）教学设想
1.教学方法：
-采用启发式教学，引导学生通过观察、思考、探索发现勾股定理，培养学生自主学习能力。
-利用几何画板等教学工具，直观演示勾股定理的图形特征，降低学生的理解难度。
1.知识复习：回顾前两节课的学习内容，巩固勾股定理的知识。
2.课堂测试：进行勾股定理的测试，检验学生的学习效果。
3.知识拓展：介绍勾股定理在其他领域的应用，如计算机科学、天文学等。
4.课堂总结：总结勾股定理的学习，强调其在数学和实际生活中的重要性。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的几何知识和勾股数的概念。在此基础上，他们对勾股定理的学习将更加深入和系统。然而，由于勾股定理涉及到的逻辑推理和空间想象力要求较高，部分学生对定理的理解和运用可能存在困难。因此，在教学过程中，教师需要关注以下几点：
2.重点强调：强调勾股定理在直角三角形中的重要作用，以及在解决问题中的应用价值。
3.情感态度：鼓励学生勇于探究、积极思考，培养数学学习兴趣。
4.课后作业：布置适量的课后作业，巩固所学知识，为下一节课的学习做好准备。
五、作业布置
为了巩固学生对勾股定理的理解和应用，确保学生在课后能够自主复习和提升，特布置以下作业：
华师大版八年级数学上册教学设计：141勾股定理（3课时）
一、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生理解并掌握勾股定理的概念及其在直角三角形中的应用，能准确辨识直角三角形中的勾股数，并能够运用勾股定理进行有关计算。
华师大版数学八年级上册14.1《勾股定理》教案
《勾股定理》教案教学目标1、了解勾股定理的证明，掌握勾股定理，初步会用它进行有关的计算；2、通过对勾股定理的应用，判定直角三角形，培养学生方程的思想和逻辑推理能力；3、对比介绍我国古代数学家和西方数学家对勾股定理的研究，培养学生的爱国主义精神；4、学会用“反证法”证明.教学重点勾股定理的应用；直角三角形的判定.教学难点勾股定理的证明；反证法证明.教学过程（一）激发学生兴趣，引人新课首先由计算机显示一幅星空的画面，我国著名的数学家华罗庚先生曾提议------向宇宙空间发射勾股定理的图形与外星人联系.引人课题勾股定理（二）定理的探求，证明及命名1、探求定理，猜想结论教师用计算机演示：在RtΔABC中，∠A、∠B、∠C所对的边为a、b、c，通过平移、旋转，变动ΔABC的形状、大小，以改变a、b、c的长度.在此过程中始终计算a2、b2、c2请同学们观察a2、b2、c2之间的数量关系，得到猜想.再演示非直角三角形的a2、b2、c2之间不具备这样的关系，得到a2+b2=c2，是直角三角形所特有的性质.请同学们用语言叙述猜想，并画图写出已知、求证.直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方.这就是著名的“勾股定理”.也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.2、定理的证明目前世界上已有几百种勾股定理的证明方法，而我国古代数学家用割补、拼接图形计算面积的方法也有了很多种证法.教师用计算机演示其中一种.参看“试一试”，观察书本图，正方形P中有（）个小方格，即P的面积为（）平方厘米；正方形Q中有（）个小方格．即Q的面积为（）平方厘米；正方形R中有（）个小方格，即R的面积为（）平方厘米.P、Q、R之间的面积之间有什么关系？这也是一种证明方法.另一种证明方法参看课本“读一读”及正文部分.3、定理的命名(1)约2000年前，代算书《周髀算经》中就记载了公元前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是，在直角三角形中，如果勾为3，股为4，那么弦为5.人们还发现，勾为6，股为8，那么弦一定为10.勾为5，股为12，那么弦一定为13等.同样，有……，即……，所以我国称它为勾股定理.(2)西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前580—前500年)是古希腊杰出的数学家，天文学家，哲学家.他不仅提出了定理，而且努力探求了证明方法.4、应用师生共同学习书上例题.（三）直角三角形的判定试一试：学生按照书上“试一试”的要求画三角形.观察画出的三角形，思考、总结：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.若△ABC中，AB2+BC2=AC2，那么∠B=90°.（四）反证法一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c），此时a2+b2≠c2，这个三角形是否一定不是直角三角形呢？学生思考，动手完成书上“做一做”.猜想：当一个三角形的三边长a、b、c（a≤b≤c）有关系a2+b2≠c2，那么这个三角形不是直角三角形.用“反证法”证明.完成“读一读”，反证法具体证明过程参看书本.练习1在RtΔABC中，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c：（1）已知a=6，b=8；则c=？。
新华东师大版八年级数学上册《14章 勾股定理 14.1 勾股定理 直角三角形的判定》优质课教案_1
理解掌握勾股定理与勾股定理的逆定理是本节课的重难点，通过对勾股定理逆定理的学习，逆定理判定步骤的练习，学会使用逆定理。
五、教学设计
教学环节
起止时间（’”- ’”）
环节目标
教学内容
学生活动
媒体作用及分析
情景导入
9”-43”
调动学生学习积极性
古埃及人画直角 的方法
学生猜想
通过图像直观看到绳子的段数以及画直角的方法
展示本节要点知识
六、教学流程图Байду номын сангаас
如下图
注：此模板可另附纸，为教学案例和教学论文的发表奠定基础。
例题讲解
8’44”-12’40”
学习勾股定理逆定理的证明以及使用步骤
勾股定理逆定理的证明以及使用步骤
应用知识解决问题
展示课题
巩固练习
12’40”-39’10”
学会使用勾股定理逆定理
练习勾股定理逆定理
习题练习
展示不同的解法，对知识的活学活用
本节小结
39’10”-40’48”
归纳知识要点
知识要点
总结归纳
回忆旧知
43”-1’45
回忆旧知，引发思考
直角三角形的性质
学生主动展示
展示旧知
探索归纳
2’39”-8’43”
归纳出勾股定理的逆定理
通过尺规作图做出不同类型的三角形，进而归纳出勾股定理的逆定理
（学生通过小组讨论分析发现三边的关系就是直角三角形的三边的关系）学生小组合作，动手操作探寻规律
展示各个小组的研究成果，便于待优生学习。
2018年观摩活动教学设计表
一、基本信息
学校
课名
直角三角形的判定
2024秋八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理3直角三角形的判定教案(新版)华东师大版
针对以上学情，教师在教学过程中需要关注学生的个体差异，对于不同层次的学生制定不同的教学策略。对于知识掌握较好的学生，可以适当增加难度，引导他们进行深入思考和探索；对于知识掌握不足的学生，要耐心引导，帮助他们弥补知识漏洞。同时，教师需要激发学生的学习兴趣，培养他们的自主学习能力，引导他们养成良好的学习习惯。此外，教师还需注重培养学生的团队合作意识，让他们在小组讨论和合作中共同进步。
（2）在线教学平台：利用在线教学平台，发布学习任务和练习题，方便学生随时随地进行学习和练习，提高教学效果和效率。
（3）互动式教学：通过小组讨论、问答等方式，鼓励学生积极参与课堂互动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。
（4）数学软件辅助教学：利用数学软件进行几何图形的绘制和计算，帮助学生更直观地理解直角三角形的性质和勾股定理的应用。
教学过程设计
1.导入新课（5分钟）
目标：引起学生对直角三角形的兴趣，激发其探索欲望。
过程：
开场提问：“你们知道直角三角形是什么吗？它与我们的生活有什么关系？”
展示一些关于直角三角形的图片或视频片段，让学生初步感受直角三角形的美妙和特点。
简短介绍直角三角形的基本概念和重要性，为接下来的学习打下基础。
2.直角三角形基础知识讲解（10分钟）
学情分析
本节课的授课对象为八年级的学生，他们已经掌握了初中数学中的一些基本知识，如代数、几何等。在知识方面，学生对于平面几何的基本概念和性质已经有所了解，对于三角形的相关知识也有所掌握。在能力方面，学生已经具备了一定的逻辑推理能力和数学运算能力，能够进行简单的数学建模。
华师大版数学八年级上册第14章《勾股定理》教学设计
华师大版数学八年级上册第14章《勾股定理》教学设计一. 教材分析《勾股定理》是华师大版数学八年级上册第14章的内容，本章主要让学生通过探究、发现、验证勾股定理，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
本章内容与实际生活联系紧密，有利于激发学生学习数学的兴趣。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平面几何有了一定的认识。
但学生在学习过程中，可能对勾股定理的证明和应用存在一定的困难。
因此，在教学过程中，要注重引导学生参与探究活动，激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。
三. 教学目标1.了解勾股定理的背景、证明方法及应用。
2.掌握勾股定理的证明方法，提高空间想象能力。
3.会运用勾股定理解决实际问题，提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：勾股定理的证明及应用。
2.难点：勾股定理的证明方法及在实际问题中的运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究勾股定理。
2.运用多媒体辅助教学，提高学生的空间想象能力。
3.实行小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
4.注重实践操作，让学生在动手动脑中学习数学。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.勾股定理相关图片、视频资料。
3.勾股定理证明的课件。
4.练习题及拓展问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示勾股定理的起源和发展，激发学生学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示勾股定理的定义，引导学生理解并掌握勾股定理。
3.操练（15分钟）学生分组讨论，尝试证明勾股定理。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成课后练习题，巩固对勾股定理的理解和应用。
5.拓展（10分钟）出示一些实际问题，让学生运用勾股定理解决。
引导学生发现数学与生活的联系。
6.小结（5分钟）教师总结本节课的学习内容，强调勾股定理的重要性和应用价值。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关勾股定理的练习题，要求学生在课后完成。
8.板书（5分钟）教师板书勾股定理的定义、证明方法和应用实例。
新华东师大版八年级数学上册《14章 勾股定理 14.1 勾股定理 直角三角形的判定》优质课教案_7
勾股定理学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2.勾股定理的简单计算学习重点：勾股定理的简单计算学习难点：勾股定理的灵活应用导学过程：一、知识链接；我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
二、自主学习：1、画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗2、探究勾股定理：方法一；如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明。
方法二已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
求证：a 2＋b 2=c 2。
归纳1．勾股定理的具体内容是： 。
2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） 两锐角之间的关系： ；若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；三边之间的关系：三、巩固练习： 1.课本P69 复习巩固第1、2题。
2.在Rt △ABC ，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c 。
⑵已知a=1,c=2, 求b 。
⑶已知c=17,b=8, 求a 。
⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a 。
⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c 。
华师大版-数学-八年级上册--第十四章第二节 勾股定理的应用(1) 教案--
勾股定理的应用（1）三维教学目标知识与技能：1、运用勾股定理以及勾股定理的逆定理进行简单的计算。
2、能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能应用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题。
过程与方法：1、经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型过程，并能用勾股定理来解决此问题，发展学生的应用意识。
2、在解决实际问题的过程中，体验解决问题的策略，发展学生的实践能力和创新精神。
情感态度与价值观：1、通过一系列的问题，培养学生独立思考的习惯及与他人合作、交流的意识品质。
2、在解决实际问题的过程中形成实事求是的态度，体会数学的应用价值。
教学重点：勾股定理在生活中的运用。
教学难点：如何将实际问题转化为数学模型。
课堂导入在一棵树的10m 高的D 处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m 处的池塘A 处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A 处，•如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？教学过程一、复习巩固1、勾股定理以及逆定理的内容。
2、勾股定理应用的条件。
二、勾股定理在生活中的运用例1如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．（精确到０.０１cm ）分析 蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图14.2.2），得到矩形 ＡＢＣD ，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC 之长． 图14.2.1解 如图14.2.2，在Rt △ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm ，∴ AC ＝22BC AB +＝22104+＝116≈１０．７７（cm ）（勾股定理）． 图14.2.2答： 最短路程约为１０．７７cm ．例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH ．如图１４.２.３所示，点D 在离厂门中 0.8米处，且CD ⊥ＡＢ， 与地面交于H ． 图14.2.3解 在Rt △OCD 中，由勾股定理得B AC ＣＤ＝22OD OC -＝228.01-＝０.６，C Ｈ＝０.６＋２.３＝２.９＞２.５．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．三、课堂练习1. 如图，从电杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A 到电杆底部B 的距离．2. 现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其仍为直角三角形，两直角边同时扩大到原来的两倍，问斜边扩大到原来的多少倍?3. 如图，为了加固一个高2米、宽3米的大门，需在相对角的顶点间加一块木条．求木条的长度．答案：1、m 625722=-2、2倍3、m 133222=+四、课堂小结本课时是运用勾股定理和判定直角三角形的勾股逆定理来解决实际问题，解决这类问题的关键是画出正确的图形，通过数形结合，构造直角三角形，碰到空间曲面上两点间的最短距离问题，一般是化空间问题为平面问题来解决，即将空间曲面展开成平面，然后利用勾股定理及相关知识进行求解，遇到求不规则面积问题，通常应用化归思想，将不规则问题转换成规则问题来解决．课堂作业1、 某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，为了安全起见梯子的底部与墙基的距离是2.5米。
新华东师大版八年级数学上册《14章 勾股定理 14.1 勾股定理 直角三角形的判定》优质课教案_9
勾股定理的教学设计（第一课时）一、教案背景（一）教材分析这节课是九年制义务教育初级中学教材华师大版八年级上册第十四章第一节《勾股定理》第一课时：直角三角形三边的关系。
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它是直角三角形的一条重要性质，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系。
它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，它是数形结合的典范。
它可以解决许多直角三角形中的计算问题，勾股定理有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中有着广泛的作用。
是初中数学教学内容重点之一。
学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
也可了解我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。
（二）学情分析1．通过初一一年的数学学习，初二学生能积极参与数学学习活动，对数学学习有较强的好奇心和求知欲，他们能探索具体问题中的数量关系和变化规律，也能较清楚地表达解决问题的过程及所获得的解题经验，他们愿意对数学问题进行讨论，并敢于对不懂的地方和不同的观点提出自己的疑问。
2.考虑到三角尺学生天天在用，较为熟悉，但真正仔细研究过三角尺的同学并不多，通过这样的情景设计，能非常简单地将学生的注意力引向本节课的本质。
3.以与勾股定理有关的人文历史知识为背景展开对勾股定理的认识，能激发学生的学习兴趣。
（三）教学设想1．课型：新授课2．设计理念：本教案以学生手中舞动的三角尺为知识背景展开，以勾股定理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终，让学生对勾股定理的发展过程有所了解，让他们感受勾股定理的丰富文化内涵，体验勾股定理的探索和运用过程，激发学生学习数学的兴趣，特别是通过向学生介绍我国古代在勾股定理研究和运用方面的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养他们的民族自豪感和探究创新的精神。
3．教学思路：探索结论-得出结论-历史介绍-初步应用结论-应用结论解决简单的实际问题。
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14.1 勾股定理
【教学目标】
1.掌握勾股定理的内容；
2.会用勾股定理进行简单计算。
【教学重点】
勾股定理的推导过程 【教学难点】
能对图形性质或数量关系进行猜想及检验。
【教学过程】 一、导入新课：
知识回顾:我们学过直角三角形的哪些性质？ 二、自主学习
（一）观察左图
正方形A 中含有 个小方格，即A 的面积是 个单位面积。
正方形B 的面积是 个单位面积。
正方形C 的面积是 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
你是怎样得到上面的结果的？与同伴交流交流。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分“割”成若干个直角边为整数的三角形
A B C 图2-1
1
43318
2=⨯⨯⨯=c S
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C “补”成边长为6的正方形面积的一半
（2）你能发现图中三个正方形A ，B ，C 的面积之间有什么关系吗？
S A +S B
=S C
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积
议一议
你认为右图中的三个正方形的面积A 、B 、C 还存在上述关系吗？直三角形三边长度之间有什么关系吗？与同伴进行交流。
分割成若干个直角边为整数的三角形
思考：面积A ，B ，C 还有上述的关系吗？
S A +S B =S C
c S 2
162=⨯18
=c S
1
44312=⨯⨯⨯+
议一议
（1）你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与同伴进行交流。
观察所得到的各组数据，你有什么发现？ 猜想:两直角边a 、b 与斜边c 之间的关系？
S a +S b =S
c
a 2+
b 2=c
2
猜想两直角边a 、b 与斜边c 之间的关系？
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a
2+b 2=c
2
赵爽弦图
思考：大正方形面积怎么求？
大正方形的面积可以表示为 ，又可以表示为 。
所以
结论：
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的。
图1-2是在北京召开的2002年国际数学家大会（TCM －2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就。
A B C 图
3-1
42 32 52 C
a b
22
1
()42
b a ab
c -+⨯=222
22b ab a ab c -++=222
a b c +=
A
B
C
a
a
c
b a
b
c
图1-1
图1-2
结论变形 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方
c 2=a 2+b 2 a 2=c 2 - b
2 b 2 =c 2 - a 2
三、课堂练习
1.求下列直角三角形中未知边的长:
方法小结: 可用勾股定理建立方程。
2.已知Rt △ABC 中，∠C=90°。
①若a = 5，b = 12，则c= ； ②若c= 10，b = 8，则a = .
③若a=2，c=6，则b= 。
3.若一个直角三角形的三边长分别为3，4， x ，则x ＝ .
4.如图,一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木条,则木条的长为 ( )
A.3 米
B.4 米
C.5米
D.6米
5.湖的两端有A 、Ｂ两点，从与ＢA 方向成直角的BC 方向上的点C 测得CA=130米,CB=120米,则AB 为 ( )
A.50米
B.120米
C.100米
D.130米 附加题：
a b
C
12
x
16
x
17
8
３
４
A
B
C
130
?
x
20
c
如图，一根竹子高１丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端３尺处。
折断处离地面的高度是多少？
四、课堂小结：
1、这节课你学到了什么知识？
2、运用“勾股定理”应注意什么问题？
3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？
五、作业布置：
教材117页1、2题。